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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME
CAMPUS DE JI-PARANÁ
FRANCIELE DALLABRIDA
CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA
E VETORIAL NO CURSO DE LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA DA UNIR NO CAMPUS DE JI-PARANÁ.
Ji-Paraná
2013
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME
CAMPUS DE JI-PARANÁ
FRANCIELE DALLABRIDA
CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA
E VETORIAL NO CURSO DE LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA DA UNIR NO CAMPUS DE JI-PARANÁ.
Trabalho de Conclusão de Curso submetido
ao Departamento de Matemática e
Estatística, da Universidade Federal de
Rondônia, Campus de Ji-Paraná, como
parte dos requisitos para obtenção do título
de Licenciada em Matemática, sob a
orientação do professor Dr. Ariveltom
Cosme da Silva.
Ji-Paraná
2013
FRANCIELE DALLABRIDA
CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA E
VETORIAL NO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DA
UNIR NO CAMPUS DE JI-PARANÁ.
Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado como parte dos requisitos para
obtenção do título de Licenciado (a) em Matemática e teve o parecer final como Aprovado, no
dia 01 de Março de 2013, pelo Departamento de Matemática e Estatística, da Universidade
Federal de Rondônia, Campus de Ji-Paraná.
Banca Examinadora
___________________________________________
Prof. Ms. Cristiane Johann Evangelista – UNIR
___________________________________________
Prof. Ms. Marlos Gomes de Albuquerque – UNIR
___________________________________________
Prof. Dr. Ariveltom Cosme da Silva– UNIR
AGRADECIMENTOS
Agradeço, primeiramente, a Deus por ter conseguido chegar até aqui;
Em seguida, aos meus pais José Luiz Dallabrida e Dilma Prado da Fonseca Dallabrida por
todo o apoio aos meus projetos, aos incentivos nos momentos difíceis e por todo o amor
dedicado a mim;
A meu marido Elihebert Saraiva pelo afeto, paciência, apoio e dedicação em todo o curso e,
especialmente, na conclusão deste trabalho, às minhas irmãs Grazielle Dallabrida e Karolay
Ketrom Dallabrida pelo estímulo aos meus estudos e ao companheirismo de sempre;
A todos os meus professores que instruíram minha formação inicial e, em especial, aos
professores coordenadores do programa PIBID Marlos Gomes de Albuquerque, Marcos
Leandro Ohse e Emerson da Silva Ribeiro, que me proporcionaram uma proximidade com
as práticas e as tendências que norteiam esta honrada profissão;
Ao meu professor orientador Ariveltom Cosme da Silva e ao professor Luiz Aberto Nogueira
pela paciência e dedicação ao me ajudar neste intento e a todos que contribuíram para esta
pesquisa;
A todos os meus amigos pelos momentos de convivência, nestes quatro anos, e pela
companhia prazerosa e amigável.
5
SUMÁRIO página
Resumo........................................................................................................................................6
Introdução...................................................................................................................................7
1- Considerações sobre geometria analítica e o tratamento vetorial...................................9
1.1 Contexto histórico da Geometria Analítica Vetorial..........................................9
1.2 – Teoria dos Registros de Representação Semiótica........................................12
1.2.1- Exemplos de Conversão e de Tratamento.................................15
1.3- A importância da utilização de recursos metodológicos que auxiliam a
aprendizagem da Geometria Analítica e Vetorial.....................................................................17
2- Metodologia da pesquisa...............................................................................................23
2.1- Opção metodológica.......................................................................................23
2.2- Procedimentos executados para a análise dos dados......................................25
3- Apresentação e análise dos dados.................................................................................26
3.1-Análise geral........................................ ........................................................................26
3.1.1- Apontamentos relacionados ao período de monitoria..............................26
3.1.2- Aspectos condescendentes à aplicação dos questionários1 e 2................26
3.2- Análise específica.......................................................................................................27
3.2.1- Refletindo sobre as indagações advindas da monitoria.......................27
3.2.2- Análises das concepções obtidas através do questionário 1................28
3.2.3- Análises dos erros e dificuldades apresentadas pelos alunos a partir do
questionário 2.....................................................................................................................37
Considerações Finais..............................................................................................................................42
Referências..............................................................................................................................................43
Apêndice.................................................................................................................................................45
6
RESUMO
DALLABRIDA, Franciele. Concepções sobre o ensino de Geometria Analítica e Vetorial no
curso de licenciatura plena em matemática da UNIR no campus de Ji-Paraná. 2013. 46f.
Monografia (Licenciatura em Matemática) – Departamento de Matemática e Estatística,
Universidade Federal de Rondônia, Ji-Paraná.
Este estudo se enquadra dentre os trabalhos que pesquisam o ensino de Geometria
Analítica, tendo como foco o tratamento vetorial aplicado a essa parte da matemática e cujo
objetivo de investigação é analisar concepções sobre esta disciplina, tais como: as
dificuldades dos alunos em relação ao tratamento vetorial, se há vantagens na utilização deste
tratamento, se os discentes encontram aplicabilidade na disciplina e a importância dos
recursos didático-metodológicos usados em seu ensino. Para realização desta pesquisa, a
fundamentação desse trabalho apoiou-se em autores como Duval (1995), Eves (2004), Castro
(2001), Santos (2008), Barros e Karrer (2011), Venturini (2009) e Parâmetros Curriculares
Nacionais (2006). No que concerne ao método de investigação, optou-se pela abordagem da
pesquisa qualitativo-descritiva, que, segundo Lakatos e Marconi (2010), toma como objeto de
análise registros, entrevistas e questionários. À luz desta metodologia, e com o intuito de
complementar as reflexões sobre o assunto, utilizam-se quesitos relacionados à metodologia
da Análise de erros em matemática explorada por Cury (2008), a qual se caracteriza em uma
ferramenta auxiliar a pratica do professor, bem como um direcionamento metodológico para o
planejamento de aula visando à superação das dificuldades encontradas pelos alunos em
determinados conteúdos. A pesquisa desenvolveu-se pela análise de concepções, observações
e reflexões a partir dos registros do período de monitoria e da aplicação de dois questionários.
Quanto à análise dos dados, foi possível confirmar a hipótese de que os alunos possuem
dificuldades em representações de vetores devido a diversos fatores. Buscou-se verificar,
também, se o tratamento vetorial apresenta aspectos vantajosos relacionados à sua interação
com os conceitos geométricos. Em relação a esse levantamento, a pesquisa concluiu que a
interação dos vetores com a Geometria Analítica se fez necessária como aponta o contexto
histórico. Nas opiniões investigadas, alega-se que, apesar da aplicação de vetores na
Geometria Analítica ser algo novo ou pouco trabalhado antes da disciplina, seu uso
possibilitou a compreensão de vários conceitos, promoveu conexões com outras disciplinas do
curso e possibilitou diversas aplicações em contextos reais.
Palavras-chave: Geometria Analítica. Tratamento Vetorial. Representações Semióticas.
7
INTRODUÇÃO
Este Trabalho de Conclusão de Curso se insere dentro do ramo de pesquisa
pertinente ao Ensino da Matemática, em específico ao ensino de Geometria Analítica e
Vetorial nos cursos de Licenciatura Plena em Matemática.
Sabe-se que a geometria analítica plana é apresentada aos alunos no último ano do
ensino médio, quando ela é estudada no plano cartesiano. No Ensino Superior,
especificamente nas áreas de exatas, ela ressurge com sua terceira dimensão, apresentando,
nesse caso, um tratamento vetorial para o seu estudo.
Essa alteração de tratamento no estudo da Geometria Analítica é considerada uma
das justificativas para a dificuldade dos alunos em desenvolver a transição - que deveria ser
algo espontâneo - das referidas dimensões. Isso provoca inquietações a respeito dessa
mudança de tratamento, ou seja, se ela pode ser trabalhada de maneira significativa para os
discentes e quais aspectos contribuem para a superação deste fator por parte dos acadêmicos.
Nesta ocasião, considerando a Geometria Analítica com tratamento Vetorial como
elemento de grande relevância sobre o processo de ensino-aprendizagem da Matemática nos
cursos de exatas, um campo cabível de investigação e aberto às discussões no âmbito da
Educação Matemática, o presente trabalho apresenta como objetivo de pesquisa analisar
concepções sobre esta disciplina, tais como: as dificuldades dos alunos em compreender as
representações semióticas1, se há vantagens na utilização do tratamento vetorial, se os
discentes encontram aplicabilidade na disciplina e a importância dos recursos didático-
metodológicos usados em seu ensino.
Deve-se salientar ainda que não existem muitos estudos que discutem essa
temática de pesquisa, e neste contexto, este trabalho tem o intuito de promover uma discussão
sobre o ensino de Geometria Analítica no ensino superior e colaborar com a formação dos
discentes do curso de Licenciatura em Matemática da UNIR, enfocando os aspectos
pertinentes ao público alvo, através de análise dos dados obtidos.
A escolha dessa temática de pesquisa se deu em função das aulas da disciplina de
Geometria Analítica e Vetorial terem proporcionado a mim afinidades como: gosto pela
1 Representações estudadas por R. Duval, semiótica é uma palavra de origem grega, semeiotiké significa a arte
dos sinais, sintomas.
8
disciplina, curiosidade e motivação por meio de desafios que estão presentes na possibilidade
de visualizar a geometria plana e espacial através de vetores, além dos diversos debates, nos
quais foram discutidos temas referentes à importância do seu uso e as suas aplicações.
A partir dessas aulas, passei a me interessar pela disciplina, principalmente em
relação ao porquê que muitos dos meus colegas haviam desistido da disciplina e a
consideravam tão abstrata, enquanto, para mim, era algo bastante natural e instigante. Em
outro momento, tive a oportunidade de participar de uma monitoria não subsidiada com os
alunos do período seguinte que estavam cursando a disciplina. Durante as aulas de monitoria,
percebi que as principais dúvidas estavam relacionadas ao conceito de vetores, à
representação gráfica dos exercícios e aos diversos termos algébricos envolvidos na
Geometria Analítica.
Essas dúvidas dos alunos e algumas minhas ao longo do curso foram decisivas
para eu realizar essa pesquisa, pois pretendia me aprofundar no assunto e compreender
aspectos envolvidos em seu ensino, principalmente porque em breve serei professora.
Nessa perspectiva, retornamos a priori essa pesquisa, tendo como base teórica os
estudos de alguns autores ligados às discussões e às propostas voltadas à Geometria Analítica
com tratamento Vetorial como campo de investigação. Dessa maneira, a fundamentação desse
trabalho apoiou-se em autores como, Duval (1995), Eves (2004), Castro (2001), Santos
(2008), Barros e Karrer (2011), Venturini (2009) e Parâmetros Curriculares Nacionais (2006).
Utiliza-se como método de investigação a pesquisa qualitativo-descritiva,
fundamentada em Lakatos e Marconi (2010), tomando como objeto de análise registros,
entrevistas e questionários. Para corresponder ao nosso objetivo de pesquisa, o presente
Trabalho de Conclusão de Curso ficou estruturado da seguinte forma:
No Capítulo I, apresenta-se a base teórica, onde se discute três temas
fundamentais ao estudo: Contexto histórico referente à Geometria Analítica e o tratamento
Vetorial, as representações semióticas e a importância de recursos didático-metodológicos no
ensino da disciplina. No Capítulo II, relata-se a metodologia de pesquisa utilizada para
obtenção dos objetos de estudo, apresentando as opções metodológicas, os procedimentos de
coleta de dados. No último capítulo, elucida-se a análise dos dados e dos aspectos sobre o
ensino de Geometria Analítica e Vetorial. E nas considerações finais, apresenta-se uma
síntese dos resultados principais relativos à análise da pesquisa.
9
CAPÍTULOI – CONSIDERAÇÕES SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA E O
TRATAMENTO VETORIAL
1.1 – Contexto histórico da Geometria Analítica e Vetorial
A Matemática, na sua essência, trata da construção de modelos para compreender
padrões existentes na natureza como foi considerado um dia por Galileu. Desta maneira, a
relação entre o homem e a matemática é apresentada por Fiorentini: “O conhecimento
matemático emerge do mundo físico e é extraído pelo homem através dos sentidos
(FIORENTINI, 1995, p.9)”. Disto nasce a necessidade de compreender as transformações da
natureza e do universo, bem como estudá-las e interpretá-las. Conforme a matemática se
propõe, o conhecimento da Geometria Analítica é uma ferramenta fundamental.
Em diversos casos, a sistematização do senso comum em relação à matemática
surge através de conceitos geométricos que estão subentendidos e relacionados a outros
contextos internos ou externos aos conhecimentos Matemáticos. Como afirmam Bishop &
Gofree (1986, apud PONTE et al., 1997, p. 88):
O significado matemático é obtido através do estabelecimento de conexões entre a
idéia matemática particular em discussão e os outros conhecimentos pessoais do
indivíduo. Uma nova idéia é significativa na medida em que cada indivíduo é capaz
de a ligar com os conhecimentos que já tem. As idéias matemáticas formarão
conexões de alguma maneira, não apenas com outras idéias matemáticas como
também com outros aspectos do conhecimento pessoal. Professores e alunos
possuirão o seu próprio conjunto de significados, únicos para cada indivíduo.
Para Santos (2009), foi por cerca de 300 anos a.C. que Euclides2 escreveu “Os
elementos”, obras em que reuniu todas as descobertas realizadas por seus antecessores sobre a
Geometria. Essas obras, por serem consideradas a melhor conjectura acerca da Geometria até
o início do século XX, foram a única referência utilizada pelas escolas secundárias. “Nenhum
trabalho, exceto a Bíblia, foi tão ligeiramente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum
exerceu influência maior no pensamento científico” (EVES, 2004, p. 167). Eves, 2004, afirma
também que, diferentemente do que se possa imaginar, Os Elementos de Euclides não tratam
apenas de Geometria, tratam também da Teoria dos Números e da Álgebra Elementar.
2 Euclides (c. 330 a. C. – 260 a. C.) foi um dos primeiros geômetras e é reconhecido como um dos matemáticos
mais importantes da Grécia Clássica e de todos os tempos. Muito pouco se sabe da sua vida. (WIKIPÉDIA, 2012)
10
Para Domingues (2008, p. 1):
A geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesar do seu
brilhantismo, faltava operacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser
conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não
eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra
estaria razoavelmente aparelhada para a fusão criativa com a geometria.
A geometria analítica, também denominada de coordenadas geométricas, é uma parte
dos conhecimentos matemáticos que exerce a função de estabelecer as relações existentes
entre a Álgebra e a Geometria através de processos específicos, pois, desta forma, as
propriedades presentes nas figuras geométricas, retas, circunferências e outros segmentos
podem ser compreendidos através de métodos algébricos.
Segundo Eves (1992), ao se estudar a historia da origem da geometria analítica
através da Historia da Matemática, percebe-se que não há um direcionamento exato sobre o
verdadeiro “inventor” deste campo da Geometria. Porém, alguns autores, assim como Rosa
(2003), dizem que a variação da Geometria grega para a Geometria Analítica relaciona-se a
Arquimedes3, aproximadamente três séculos antes de Cristo e que seus estudos paralisaram
após a destruição da biblioteca de Alexandria.
Mas o grande avanço nos estudos relacionados à Geometria analítica se deve a dois
grandes matemáticos: Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650) que, com
métodos diferentes, chegaram a resultados comuns. Como afirma VENTURINI (2009, p.7):
Considerando os estudos de grandes estudiosos como Pierre de Fermat e René
Descartes, podemos destacar a diferença entre seus estudos. Descartes partia de um
lugar geométrico para encontrar equação, Fermat partia de uma equação e então
buscava o lugar geométrico correspondente.
A geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas
e independentes, no qual Descartes teve mais sucesso e destaque porque superou Fermat em
publicações e, principalmente, na notação algébrica. Por isso o livro Geometria, contendo os
3 Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.) foi um matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo
grego. Embora poucos detalhes de sua vida sejam conhecidos, são suficientes para que seja considerado um dos principais cientistas da Antiguidade Clássica. (WIKIPÉDIA, 2013)
11
estudos de Descartes, é considerado por inúmeros historiadores como o precursor da
Geometria Analítica, sendo, então, considerado pai da matemática moderna e quem construiu
a estruturação da Geometria em um sistema cartesiano.
Para Duval (1995), a Geometria Analítica favorece uma aprendizagem com três
formas diferentes de processos cognitivos, que são: a visualização, a construção e o
raciocínio, todas se interacionando para capacitar o aluno com as habilidades necessárias de
formação.
Com base nesses estudos, a Geometria Analítica passa a ser vista como uma
disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço. As
noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente, na busca por
resultados numéricos que expressem as ideias da união da Geometria com a Álgebra. Os
vetores, que constituem a base dos estudos do espaço vetorial4, são componentes que possuem
as características relacionadas a tamanho, direção e sentido.
Sabe-se que o tratamento vetorial foi incorporado na Geometria Analítica nos
séculos XVIII e XIX para uma potencialidade tecnológica dos estudos de eletromagnetismo.
Os vetores são muito utilizados na Física como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados
à Cinemática Vetorial, Dinâmica, Campo Elétrico, entre outros conteúdos afins.
Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz foram alguns dos grandes
estudiosos que concentraram parte de seus estudos na Geometria Analítica, concretizando
uma base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito
utilizado atualmente na Engenharia. Esse envolvimento dos vetores na Geometria Analítica
veio, enfim, a ocasionar infinitas facilidades em sua aplicação e em seu ensino, tornando mais
acessíveis as demonstrações de vários teoremas e definições de René Descartes.
Esta disciplina desperta interesse e pode ser trabalhada desde o ensino médio, devido
ao tratamento vetorial ser uma vertente que pode ajudar os alunos a se sobressaírem em
diversas situações cotidianas, visto que, muitas das demonstrações feitas na Geometria
Analítica Plana, quando tratada de modo cartesiano, podem ficar mais simples se for dado um
4 Espaço vetorial é o envolvimento de vetores com as operações de adição e multiplicação por números reais,
ou seja, é um conjunto de elemento que possuem duas operações definidas sobre os elementos deste conjunto, adição e multiplicação por números reais. (WIKIPÉDIA, 2013)
12
tratamento vetorial. Por exemplo, é mais fácil provar que duas retas são paralelas exibindo
seus vetores diretores do que procurando seus coeficientes angulares.
Porém, os alunos da educação básica têm um contato restrito ou até mesmo não
chegam a trabalhar com a Geometria Analítica através de um tratamento Vetorial por motivos
da organização curricular das escolas de nosso estado. E essas complicações presentes nos
históricos dos alunos trazem dificuldades durante a formação inicial dos que ingressam nos
cursos de exatas e principalmente nos cursos de licenciatura em matemática.
Podemos perceber essa consequência pelo baixo rendimento por parte dos
acadêmicos, fato este apresentado com muita propriedade por Andrade (2007):
[...] escutamos dos alunos, inclusive daqueles que tinham desempenho satisfatório, o
comentário de que esta [Geometria Analítica] era a parte da Matemática mais
complicada e difícil, ocasionando, como consequência, baixo rendimento por parte
destes do ponto de vista da avaliação somativa. (ANDRADE, 2007, p. 22)
Nesta perspectiva de conhecer o contexto histórico sobre a disciplina, fica clara a
presença de uma evolução positiva em relação ao seu entendimento e seu ensino. Porém,
existem algumas dificuldades para o acadêmico devido a diversos fatores relacionados à
formação que receberam na escola básica e à formação inicial que estão recebendo na
universidade. Ou seja, as complicações se apresentam, sobretudo, por causa da conversão de
tratamento durante a graduação.
Desta maneira, alguns autores vêm se dedicando a analisar como seu ensino se dá
nos cursos de exatas com o intuito de promover uma aproximação destes futuros professores a
uma aprendizagem significativa e esclarecedora quanto às inúmeras formas de compreensão
dos conceitos analíticos através do tratamento vetorial, contribuindo, assim, com os docentes
do ensino superior e com o desenvolvimento de pesquisas na área.
1.2 – Teoria dos Registros de Representação Semiótica
Diante das inúmeras complicações apresentadas pela maioria dos alunos na
compreensão dos conteúdos matemáticos em todos os níveis de escolaridade, pesquisadores
têm buscado desenvolver novas alternativas para solucionar esse problema. Como afirma
Machado:
13
“Nas últimas décadas tem havido uma preocupação muito grande entre os
pesquisadores em Educação Matemática com relação à aquisição do conhecimento
por parte dos estudantes e com a forma como se processa essa aprendizagem
(MACHADO, 2010, p. 167). Neste mister, a Teoria dos Registros de Representação
Semiótica tem-se mostrado um importante instrumento para os estudos concernentes
a esta matéria, bem como quanto à organização de situações de aprendizagens de
conhecimentos matemáticos (MACHADO, 2007, p. 8).”
Nesse sentido, a Teoria dos Registros de Representação Semiótica desenvolvida
pelo filósofo e psicólogo francês Raymond Duval se apresenta como alternativa para o
processo de ensino e aprendizagem da Matemática, em especial em virtude da grande
diversidade de registros de representações referentes às atividades Matemáticas realizadas
pelo homem. E a função das representações no ensino da matemática, investigada por
Raymond Duval, trouxe uma contribuição expressiva para o campo da Educação
Matemática, que é um dos principais campos de atuação em pesquisas do funcionamento
cognitivo da aprendizagem matemática.
Para Duval (1995), a aquisição de conhecimentos matemáticos compõe uma área
de estudos privilegiada, devido à possibilidade de averiguações das atividades cognitivas
primordiais para o saber, pois, na matemática, estão presentes conjecturas como: a
contextualização, a conceitualização, o raciocínio, a compreensão e a resolução de
problemas, que são processos básicos para o indivíduo obter resultados e respostas para
os problemas surgidos a partir de suas realizações cotidianas.
Estas atividades cognitivas exigem a utilização de códigos de representação e de
expressão que vão além da linguagem natural e das imagens que são as formas mais
comuns de representar: a escrita dos números, as operações, as relações, as figuras
geométricas, os gráficos, diagramas, etc. Sendo assim, é necessária a interação entre
diversos registros no intuito de haver uma compreensão total do objeto em estudo,
efetivando, então, o que Barros e Karrer (2011) consideram como representação
semiótica: “representação semiótica é uma representação que, além de sua formação no
interior de um registro, admite mais duas atividades cognitivas: o tratamento e a
conversão”.
Duval (1995) compreende o tratamento como a transformação de uma
representação em outra representação do mesmo registro. Já a conversão, ele considera a
transformação de uma representação em outra representação de um registro diferente. Como
ele expõe com suas palavras:
14
“Um tratamento é a transformação de uma representação em uma outra do mesmo
registro, isto é, uma transformação estritamente interna a um registro. Existem
tratamentos que são específicos a cada registro e que não precisam de nenhuma
contribuição externa para serem feitos ou justificados. Uma conversão é a
transformação de uma representação de um registro D em uma outra representação
de registro A, conservando, pelo menos, a referência ao mesmo objeto ou à mesma
situação representada, mas mudando, de fato, o conteúdo da representação
(DUVAL, apud ALMOULOUD, 2007, p. 72).”
Duval (1995) chama de semiósis a elaboração ou produção de uma representação
semiótica, e noésis as ações cognitivas como a apropriação conceitual de um objeto. Para
ele, não é possível ter noésis sem semiósis, visto ser esta que determina as condições de
possibilidade e de exercício da noésis. Ou seja, o indivíduo precisa distinguir um objeto de
sua representação para que não haja confusão e não o leve à perda de compreensão em
algum momento. Um mesmo objeto pode apresentar diversas representações e o processo
cognitivo mental, após a identificação correta do objeto, relaciona-o com o conjunto de
imagens e de concepções que o indivíduo pode ter sobre o objeto, fornecendo os meios de
que dispõe para exteriorizar seu raciocínio concluído.
Na aplicação de tratamentos na matemática, tem-se a utilização de representações
semióticas como eixo central porque os tratamentos matemáticos não podem ser
concretizados independentemente, necessitam ser acompanhados pela criação e
desenvolvimento de sistemas semióticos específicos. Desta forma, percebe-se que a
formação do pensamento científico é inseparável do surgimento de simbolismos
específicos para representar os objetos e suas relações.
Duval (1995) considera três tipos de Registros de Representação. São eles:
registro figural, registro simbólico e registro da língua natural. Essas representações
semióticas possuem duas características estruturais: a forma (também chamada
representante) e o conteúdo (também conhecido por representado). Percebe-se que um
vetor é um conceito matemático que pode ser representado pelos três tipos de registros
como aponta Castro (2001, p.13):
Um vetor v pode ser representado pelos três tipos de registro, indicados por Duval.
No simbólico através de n-uplas, ou combinações lineares de vetores em relação a
uma base fixada, no figural, por uma flecha, registro de um representante da classe
de eqüipolência de . E na linguagem natural, “vetor”. CASTRO (2001, p.13)
Como essas características são muito próximas, os alunos, em diversos
momentos de sua vida acadêmica, confundem objetos matemáticos com suas
15
representações. Como exemplos, têm-se: um vetor e o desenho de uma flecha, um gráfico
e outra função, um numeral e sua escrita, etc. Para Duval, essas confusões talvez sejam
um dos grandes problemas da matemática, conforme descreve:
O ponto comum à grande maioria dos bloqueios dos alunos, quaisquer que sejam os
domínios de atividade matemática e qualquer que seja o nível do currículo, é a
incapacidade de converter a representação de um objeto em uma outra representação
do mesmo objeto. Duval (1995, pg. 12).
Para que haja esclarecimentos dessas confusões, o indivíduo precisa compreender
a total diferença entre conversão e tratamento, realizando cada processo necessário em cada
situação de representação de registro.
Castro (2001) considera que um vetor do plano ou do espaço pode ser
representado por três registros diferentes. São eles:
Registro gráfico: Um vetor (não nulo) pode ser representado por um segmento
orientado mais comumente relacionado a uma flecha;
Registro simbólico: Este registro é representado por duas classes, combinações
lineares e n-uplas;
Registro da linguagem natural: Esse registro é muito utilizado na matemática por ser
responsável pela descrição de um contexto, ou seja, é a parte que define um objeto,
enuncia um teorema, entre outras situações. Como exemplo prático, tem-se o “vetor”.
Percebe-se que, com uma palavra, existe uma associação a outros elementos que a
envolve.
1.2.1. Exemplos de conversão e de tratamento
Para compreender os processos de tratamento e conversão, temos exemplos
contundentes apresentados por Castro (2001, p. 14), nos quais é possível perceber a
diferença entre esses métodos, desmistificando as confusões entre ambos no emprego dos
registros de representações:
Figura 1: Exemplo de conversão
16
Fonte: Dissertação de mestrado de Samira Choukri de Castro. 2001, p. 14.
Em (1) temos uma representação do vetor no registro simbólico. Em (2) temos
uma representação do mesmo vetor no registro figural. Ao se passar de (1) para (2), fizemos
uma conversão de registros do simbólico para o figural.
Figura 2: Exemplo de tratamento
Fonte: Dissertação de mestrado de Samira Choukri de Castro. 2001, p. 14.
De (3) para (4) efetuamos uma operação que transformou a representação do
vetor , permanecendo no interior de um registro simbólico. Fizemos então um tratamento
de uma representação do vetor .
Figura 3: Exemplos de conversão dos três registros
17
Fonte: Dissertação de mestrado de Samira Choukri de Castro. 2001, p.14.
Admite-se, então, que, para haver uma conversão, precisa-se alterar o tipo de
registro, ou seja, deve haver uma transferência entre os tipos de registro até o resultado final.
Quando se refere ao tratamento de uma representação, ter-se-ão alterações com componentes
do registro, porém, não haverá mudança no tipo de registro, sendo, então, apenas uma
transformação interna deste registro.
Então, em meio às atividades realizadas pelos alunos ao longo da disciplina,
devem existir diversas operações de conversão e tratamento para que o aluno, através de seus
próprios mecanismos de reconhecimento de um objeto, consiga distinguir estes dois
fenômenos e realize com êxito a sua conclusão do exercício que lhe foi apresentado.
1.3 – A importância da utilização de recursos metodológicos que auxiliam a
aprendizagem da Geometria Analítica e Vetorial.
Ao realizar uma análise referente ao ensino de Geometria Analítica e segundo
Miguel (1994) é possível apontar uma tendência de alguns professores em dar prioridade ao
18
acúmulo de conhecimentos geométrico sem considerar determinados aspectos relevantes, tais
como as motivações que levaram ao seu desenvolvimento e sua aplicação no cotidiano. Nesse
sentido, alguns deles seguem apenas a lógica de conhecimento pré-estabelecida, geralmente
iniciando do mais simples para o mais complicado, acentuando as dificuldades por não
apresentarem situações e problematizações que contextualizem o conteúdo. Esta é uma prática
comum entre uma determinada parte dos professores iniciantes, pois, segundo Gonçalves
(2005, p. 68), “os futuros professores tendem a reproduzir os procedimentos didático-
pedagógicos de seus formadores”.
Partindo desse pressuposto, verificamos a necessidade de uma mudança tanto nas
práticas pedagógicas quanto na concepção de ciência exata adotada pelo professor frente ao
ensino de Geometria Analítica. Na percepção de Miguel (1994), é possível superar esse
paradigma através de uma interação mais crítica entre a pedagogia, a matemática e a história,
e desta forma, buscando encontrar melhores maneiras para conduzir o processo de ensino-
aprendizagem. Essa reflexão vai também ao encontro do que diz Giesta (2005, p. 19): “O
educador que, corajosamente, analisa sua prática e as respostas que dela obtém evita,
também, a alienação e a apatia frente às situações emergentes da educação escolarizada e do
exercício do magistério”.
Então, para que deixe de ser apenas transmissores de conteúdos considerados
prontos e acabados, Nobre (1996, p. 31) sugere que seja dado um tratamento diferenciado à
transmissão dos conhecimentos, ou seja, que se tente acompanhar o conceito a ser trabalhado
a partir de seu desenvolvimento histórico. Desta forma, a educação assume um caminho
distinto que, ao invés de ensinar o para quê, ensina-se o porquê das coisas.
À medida que o tempo vai passando, as reflexões sobre a prática, as leituras que
fazemos no dia a dia e as experiências adquiridas mescladas com reflexões teóricas
me apontam falhas e mostram caminhos para o aprimoramento desta prática
pedagógica, uma vez que as críticas sobre a tão falada e criticada forma tradicional
de se ensinar Matemática são cada vez mais acentuadas; logo, novas formas estão
sendo buscadas, trabalhadas e compartilhadas nos meios acadêmicos. (SANTOS,
2011, p. 13)
No intuito de promover uma discussão a respeito dos recursos metodológicos que
podem motivar e enriquecer a aprendizagem da Geometria Analítica, faz-se necessário
averiguar as propostas inovadoras apontadas em estudos recentes, que contribuem
significativamente com a matemática por abordar aspectos pedagógicos que fundamentam e
humanizam os conteúdos da disciplina. Entre estes estudos destaca-se a utilização da História
da Matemática, o uso frequente das TIC’s (Tecnologias de Informação e Comunicação) e a
19
contextualização trabalhada através da Resolução de Problemas.
Em relação à história da matemática, pode-se dizer que as discussões sobre suas
potencialidades pedagógicas sucedem há algum tempo. Hodiernamente, esse tema está
presente em todo congresso que reúne educadores e historiadores matemáticos. As discussões
abrangem, entre outras, questões relativas à inserção de componentes históricos no ensino de
matemática não só nos níveis fundamental e médio, mas também em cursos de formação para
o exercício de diferentes graus de ensino. Andrade mostra que:
Contextualizar esses conhecimentos no tempo e no espaço, por intermédio da
História da Matemática, parece-nos de grande importância para os alunos que
passarão a ter a possibilidade de sentir/viver a humanização da Matemática, bem
como a sua importância para a compreensão/alteração do meio físico-
econômico/social da humanidade. Por isso, tem que ser mais bem compreendida por
todos para que a sociedade possa ser mais justa e igualitária, melhorando, assim, as
relações de poder entre comandantes e comandados. (ANDRADE. 2006, p. 4)
Nos cursos de formação de professores e de formação continuada, a história da
matemática normalmente é incluída como parte integrante dos conteúdos das disciplinas,
assim favorecendo a aprendizagem por meio do ensino dos conceitos envolvidos segundo seu
desenvolvimento histórico. Dessa forma, ela auxilia na construção do conhecimento
matemático e possibilita a compreensão da matemática como um processo dinâmico,
permitindo uma alteração da visão estática que muitas vezes detém-se a respeito dessa
ciência.
Para a compreensão de diversos fatores presentes na Geometria Analítica, pode-se
buscar amparo na história da matemática, pois o entendimento sobre seu surgimento e sua
contextualização histórica possibilita um norteamento fundamental para um crescimento
contundente da aprendizagem dos acadêmicos. Por exemplo, a própria notação algébrica
presente na Geometria Analítica é intrinsecamente relacionada à história de sua origem.
Outro recurso metodológico que vem ganhando destaque há algum tempo na área
das exatas é uso de tecnologias na educação, que promove um grande avanço por facilitar
processos e motivar os estudantes, que, nos dias de hoje, possuem um contato direto e amplo
com as ferramentas disponibilizadas pela modernidade.
Os PCNs (2006, p.118) afirmam que “a matemática deve acompanhar
criticamente o desenvolvimento tecnológico contemporâneo, tomando contato com os
20
avanços das novas tecnologias nas diferentes áreas do conhecimento para se posicionar
frente às questões da atualidade.” Esta colocação elucida a necessidade da matemática de se
apropriar destes recursos para seu beneficio e para sua aprimoração.
A agilidade com que essas tecnologias se aperfeiçoam influencia constantemente
nas frequentes mudanças no sistema de ensino, principalmente na postura do professor que,
através de sua didática, tem o papel de mediador entre o conhecimento e o aluno. Entretanto,
para que os educadores sejam atuantes de tais mudanças, devem obter uma preparação
adequada, como assegura Venturini (2009, pg. 4):
Para ser o agente de mudanças, os educadores devem estar realmente preparados,
principalmente se tratando de algo novo, como por exemplo, utilizar Softwares de
Geometria dinâmica em suas aulas de matemática, pois assim como escolher um
bom livro texto não é garantia de um bom aprendizado, escolher um software de boa
qualidade não é garantia de sucesso e aprendizado em suas aulas.
Essa preparação do professor deve ocorrer durante o curso de formação inicial
bem como nos cursos de formação continuada, uma vez que as tecnologias são um campo
vasto que se inovam constantemente, trazendo informações novas que devem ser
disseminadas no meio acadêmico. O professor que sabe utilizar as tecnologias em suas aulas
de forma adequada sabe também que um bom recurso didático vai muito além de facilitar ou
complementar uma explicação de determinado assunto. Necessita também atender às
necessidades de aprendizagem dos educandos.
Nesta perspectiva, Almeida (2000) apresenta, como conclusão de seu estudo das
características de ambientes de aprendizagem com a inserção da tecnologia da informação à
prática pedagógica, um roteiro para o professor, conforme segue abaixo:
Aprender a aprender para resolver problemas com que se deparam na vida e na
profissão;
Assumir uma atitude de abertura para o novo, o inesperado e o imprevisível;
Dominar recursos dessa tecnologia, usá-los em sua prática conforme os objetivos
pedagógicos e permitir que seus alunos selecionem para uso os recursos mais
adequados à atividade em desenvolvimento;
Compreender como se aprende e como se ensina com o uso da tecnologia;
Criar ambientes de aprendizagem, nos quais a tecnologia é utilizada pelo aluno para
a busca, articulação e troca de informações e experiências, para a resolução de
problemas e a reconstrução contínua do conhecimento, a reflexão, a interação e a
cooperação;
Investigar a própria ação e formação, tomar consciência de suas dificuldades e
estratégias adotadas para sobrepujá-las;
Desenvolver a autonomia para tomar decisões em relação aos recursos a utilizar em
sua prática pedagógica e intervir no processo de aprendizagem individual e grupal
(ALMEIDA, 2000, p. 453).
21
Quanto à geometria analítica e vetorial, é notável que diversas conceitualizações
presentes em seu conteúdo podem ser trabalhadas e discutidas através de softwares
geométricos e programas específicos, pelo fato destes instrumentos proporcionarem
interpretações variadas para um mesmo problema ou objeto através de visualizações,
construções e sistematizações. Ou seja, o campo computacional também possibilita a
aprendizagem por meio dos registros e representações. Por esses e outros fatores, a utilização
da informática é vista como uma ferramenta eficaz na prática do aluno. Assim expõe Zuchetti
(2007, p.86):
Como forma de resgate do ensino da parte gráfica da matemática, ou seja, da
geometria, propomos a informática como ferramenta essencial para seu ensino, para
a visualização, para construção de ambientes que venham a favorecer o aprendizado,
não só levando em consideração a geometria, mas também a outras áreas do
conhecimento. (ZUCHETTI, 2007, p. 86)
Outra vantagem desse recurso é acessibilidade que ele possui, pois a maioria dos
softwares, que são criados para explorar a matemática, é gratuita ou disponibilizada
facilmente. Associar matemática e informática pode tornar certos conceitos bem mais claros e
atrativos. É vasta a variedade de assuntos que podem ser explorados com tal recurso,
destacando-se, principalmente, os que envolvem geometria. Além de ser uma atividade
prazerosa, criativa e dinâmica, o uso da informática permite ao aluno o desenvolvimento de
habilidades indispensáveis para o aprendizado de Matemática e para resolução de problemas.
A resolução de problemas é uma das metodologias que estimula o aprender a
aprender e promove a contextualização dos conteúdos de matemática. A aprendizagem torna-
se significativa à medida que os alunos encontram situações de resolução de problemas,
porque não se trata apenas de buscar a resolução do problema, mas entender a finalidade e
utilidade da situação questionada e quais os objetivos de aprendizagem.
Essa metodologia constitui-se de uma atitude de construção do conhecimento em
que todos os processos e métodos utilizados são fundamentais e não apenas o resultado final
obtido. Os alunos devem identificar a partir da situação, quais são os objetivos e os possíveis
caminhos para solucionar o problema.
Uma das tarefas que a aprendizagem fundamentada nessa abordagem busca
realizar é estimular o aluno a ser um constante pesquisador.
A resolução de problemas tem um papel extremamente importante no ensino da
Matemática em todos os níveis e isto inclui saber organizar as suas ideias e ter criatividade
22
para fazer novas descobertas. Em Pozo, encontra-se uma justifica para a utilização de
resolução de problemas.
Em função dos seus valores formadores do desenvolvimento de estratégias de
pensamento e raciocínio. ... a Matemática é o idioma das ciências e da tecnologia.
Nesse sentido, aprender a resolver problemas matemáticos e a analisar como os
especialistas e os não-especialistas resolvem esse tipo de tarefas pode contribuir para
um aumento do conhecimento científico e tecnológico de maneira geral. ... a
complexidade do mundo atual faz com que esse tipo de conhecimento seja uma
ferramenta muito útil para analisar certas tarefas mais ou menos cotidianas como,
por exemplo, pedir um empréstimo, analisar os resultados eleitorais, jogar na Loteria
Esportiva ou tomar decisões no âmbito do consumo diário.” (POZO, 1998, p.45)
Desta forma, a Geometria Analítica e Vetorial pode ter seus conceitos trabalhados
a partir desta metodologia com o intuito de ligar seus princípios a atividades cotidianas, para
que, através dos problemas elaborados, os alunos investiguem e busquem a melhor forma de
aplicar o que aprendeu na disciplina e possam saber que essa aprendizagem é contínua devido
à necessidade humana de resolver problemas através da matemática.
23
CAPÍTULO II - METODOLOGIA DA PESQUISA
2.1 – Opção Metodológica
No que se refere ao método de investigação, optou-se pela abordagem da pesquisa
qualitativo-descritiva, que, segundo Lakatos e Marconi (2010), toma como objeto de análise
registros, entrevistas e questionários.
Neves (1996) elucida que, para a pesquisa em educação, a obtenção de dados
descritivos, mediante contato direto e interativo do pesquisador com a situação do objeto de
estudo, é extremamente positiva para o desenvolvimento da pesquisa, pois vai além da busca
por enumerar e quantificar eventos com métodos e técnicas estatísticas.
À luz desta metodologia e com o intuito de complementar as reflexões sobre o
assunto, utilizam-se quesitos relacionados à metodologia da Análise de erros em matemática
estudada por Cury (2008), que se caracteriza em uma forma possível do professor admitir as
dificuldades dos alunos através de erros cometidos por eles e realizar um planejamento
contendo essas reflexões e objetivando um enfrentamento dessas dificuldades.
Para Cury (2008, p. 13),
“A análise das respostas, além de ser uma metodologia de pesquisa, pode ser,
também, enfocada como metodologia de ensino, se for empregada em sala de aula,
como “trampolim para a aprendizagem” (BORASI, 1985), partindo dos erros
detectados e levando os alunos a questionar suas respostas, para construir o próprio
conhecimento. Assim, a análise das produções dos estudantes não é um fato isolado
na prática do professor; ela é – ou deveria ser – um dos componentes dos planos
pedagógicos das instituições e dos planos de aula dos docentes, levando em conta os
objetivos do ensino de cada disciplina.”
A análise de erros, neste trabalho, é vista exclusivamente como ferramenta de
pesquisa. Então, entende-se por ela como objeto norteador para a forma como foi conduzida
parte da pesquisa de modo que alcance os objetivos propostos. Ela foi empregada nesta
pesquisa, notoriamente, na busca por uma organização dos dados e pela delimitação das
questões que estariam nos questionários, de forma que resgatasse o máximo de elementos
pertinentes para a pesquisa, bem como determinar quais seriam os estudantes entrevistados.
Na utilização de uma análise de erros as concepções são adquiridas a partir de erros cometidos
pelos alunos em determinadas atividades e tem a função de contribuir com as reflexões
24
realizadas pelo professor frente a esses erros. Em função disso, vários trabalhos relacionados
ao ensino de Geometria Analítica referem-se à utilização de “análise de erros”.
Essa pesquisa também toma como pressuposto o respeito à diversidade das formas
distintas de se chegar a uma conceitualização de pesquisa em educação, a forma que D’
Ambrósio (2008, p. 91) discorre:
Cada indivíduo tem sua prática. Todo professor ao iniciar sua carreira, vai fazer na
sala de aula, basicamente, o que ele viu alguém, que o impressionou, fazendo. E vai
deixar de fazer algo que viu e não aprovou. Essa memória de experiências é
impregnada de emocional, mas aí entra também o intuitivo... Mas, sem dúvida o
racional, isto é, aquilo que se aprendeu nos cursos, incorpora-se à prática docente. E
à medida que vamos exercendo, a crítica sobre ela, mesclada com observações e
reflexões teóricas, vai-nos dando elementos para aprimorá-la. Essa prática, por sua
vez, vai novamente solicitar e alimentar teorizações que vão, por sua vez, refletir em
sua modificação. O elo entre teoria e prática é o que chamamos de pesquisa.
Com base na metodologia empregada, esta pesquisa discute os problemas
enfrentados pelos estudantes de matemática em relação ao ensino de geometria analítica com
ênfase vetorial. Para isso, os dados foram obtidos por intermédio de observações, registros e
interpretações dos questionários respondidos pelos alunos.
Nesta perspectiva, os sujeitos da pesquisa foram alunos de diferentes turmas do
curso de matemática que haviam cursado ou estavam cursando (período da monitoria) a
disciplina de Geometria Analítica e Vetorial. Esta escolha se deu para atender às
características da investigação, pois havia a necessidade de se trabalhar hipóteses com um
público que já tivesse adquirido conhecimentos na disciplina, para que fosse observada a
relação dos alunos com a disciplina e com os registros de representações.
A coleta de dados se iniciou durante a monitoria acadêmica, cujo intuito seria o
de realizar as primeiras análises. Ali foram realizados registros sobre as questões em que os
alunos tinham mais dificuldades, conceitos que eles consideravam abstratos demais, entre
outros fatores. A segunda etapa da coleta de dados foi a aplicação do questionário 1 com
características de uma entrevista, contendo oito questões abertas para identificar a opinião dos
alunos a respeito de diversos aspectos da disciplina. Por fim, houve a terceira etapa com a
aplicação do questionário 2 contendo cinco questões ligadas ao conteúdo para averiguar como
os alunos estão relacionando a conversão e o tratamento de vetores.
Nesta pesquisa, procedeu-se à análise e descrição dos problemas relacionados ao
aprendizado da geometria analítica. Nesse sentido, propõem-se, depois de analisado os dados,
25
algumas sugestões que visem minimizar as reprovações nesta disciplina assim como também
maximizar o aprendizado de geometria analítica.
2.2–Procedimentos executados para a Análise dos Dados
Para a análise das informações, a investigação procedeu-se em duas etapas a fim
de que se buscasse o foco das concepções sobre o aprendizado de Geometria Analítica e
Vetorial no curso de licenciatura em Matemática da UNIR.
1ª Etapa – Análise Geral
Na análise geral da pesquisa, serão considerados aspectos sobre a coleta de dados,
apresentando colocações presentes nos questionários que justifiquem a escolha das perguntas
entre outros fatores, procurando refletir sobre a importância e enfoque das observações
realizadas.
Outros objetivos pertinentes à análise geral são:
Verificar os principais apontamentos presentes em um primeiro diagnóstico
realizado durante a monitoria;
Analisar como questões abertas e subjetivas do primeiro questionário podem
contribuir com a pesquisa;
Elucidar uma justificativa coerente para o uso de um segundo questionário com
questões sobre o conteúdo específico da disciplina aplicado aos alunos.
2ª Etapa – Análise Específica
Para a análise específica dos dados, serão apresentadas as indagações quanto à
temática, sendo realizadas as análises e as fundamentações necessárias para cada momento da
pesquisa. Com o desígnio de promover uma reflexão sistematizada, optou-se pela seguinte
sequência de explanação:
As indagações advindas da monitoria;
As concepções obtidas através do questionário 1;
As concepções adquiridas a partir do questionário 2.
Deve-se salientar que essa estrutura foi motivada pela possibilidade de descrever
com coesão e praticidade os questionamentos que permeiam os quesitos pesquisados.
CAPÍTULO III – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
26
3.1 – Análise Geral
3.1.1 – Apontamentos relacionados ao período de monitoria
A monitoria ocorreu durante o primeiro semestre de 2011, com a turma de
licenciatura de matemática com ingresso em 2009, contando, inicialmente, com um número
considerável da turma. Entretanto, apenas quatro alunos tiveram uma participação assídua nos
horários estipulados até a conclusão da disciplina de Geometria Analítica e Vetorial.
Através dessa experiência, acredita-se que foi proporcionada uma interação maior
dos monitores com a disciplina e com os acadêmicos daquela turma. Além disto, é
interessante ressaltar que a monitoria acadêmica contribui com a formação, tanto dos
monitores quanto dos discentes participantes. Ela também possibilita ao monitor a pesquisa-
ação, uma vez que ele reflete sobre suas ações e se indaga ao deparar com determinadas
situações que o desafiam.
Os registros e relatórios elaborados pelo monitor trazem relatos significantes que
apontam diversos aspectos relacionados às dificuldades dos acadêmicos e as suas próprias
dúvidas. Essa forma de registro tem a competência de agregar também as observações do
processo em que se dá a evolução do aluno.
Como a monitoria propicia aos monitores uma iniciação à pesquisa, os relatos
surgidos a partir dos atendimentos efetivados durante o período ocorrido vêm ao encontro dos
objetivos desta pesquisa, complementando a busca por compreensões e interpretações
almejadas pela investigação.
3.1.2 – Aspectos condescendentes à aplicação dos questionários 1 e 2
A aplicação dos questionários 1 e 2 condiz com uma averiguação ampla de um
determinado objeto de estudo.
Através dos questionamentos levantados é possível identificar a visão que o aluno
tem sobre a disciplina de geometria analítica e vetorial, possibilitar que ele reconheça a suas
dificuldades ou a ausência delas, verificar as opiniões deles sobre o tratamento vetorial, entre
outras averiguações.
Depois de verificados os estudos preliminares dos dados, o questionário 2 tem o
papel de realizar um último reconhecimento das possíveis divergências em relação ao estudo
da Geometria Analítica e Vetorial, pois a elaboração destas atividades aplicadas pretende
constatar as possíveis dificuldades dos alunos em transitar entre a conversão e o tratamento de
27
vetores.
3.2 – Análise Específica
3.2.1 – Refletindo sobre as indagações advindas da monitoria
O período de monitoria trouxe alguns questionamentos postos pelos alunos que
puderam evidenciar alguns fatores.
As primeiras dúvidas partiram da noção de vetores, pois no primeiro dia, ao
perguntar aos alunos o que é um vetor, a maioria respondeu que vetor é um seguimento de
reta orientado e outros não conseguiram definir apenas concordando com os demais. Sabe-se
que um vetor é compreendido como uma classe de equipolência de seguimentos orientados.
Porém, é preciso entendê-lo como uma grandeza com características próprias.
Essa primeira evidência de dificuldade dos alunos surge do fato de a imagem estar
associada ao desenho de uma flecha, ou simplesmente pelos alunos relacioná-la diretamente
ao plano cartesiano. Essa conceituação parcial do vetor concebida pelo aluno, além de criar
uma limitação em suas percepções, pode dificultar a visualização das aplicações de vetores
em situações reais que envolvam geometria.
Outras situações que evidenciaram dificuldades dos alunos foram atividades que
envolviam a adição de vetores e seus múltiplos. Como exemplo, temos a fala da aluna A:
“Sempre que precisar achar o vetor resultante, a gente tem que usar a regra do
paralelogramo?”. Percebe-se que, ao ser indagada, a aluna generalizou o método para todos
os exercícios de resultantes, esquecendo que os múltiplos de um vetor também formam os
vetores resultantes. Esse tipo de dúvida é bastante comum aos acadêmicos que estão
começando a interagir com a disciplina.
Um exercício em que se pedia que fosse feito um esboço de um vetor no plano e
outro no espaço trouxe uma situação inusitada. Um aluno B pediu que fosse feito no quadro
um dos itens que tivesse as coordenadas em três dimensões, afirmando: “Eu preciso entender
melhor como se desenha o vetor no espaço, porque eu só sei fazer no plano”. A colocação
deste aluno mostra a dificuldade que os alunos têm em realizar a representação gráfica dos
vetores.
Possivelmente essa problemática se dá porque a conversão do registro das n-uplas
para o registro figural nem sempre é uma atividade imediata do pensamento. Outro fator é que
a base utilizada é tridimensional e os alunos, normalmente, estão mais habituados a trabalhar
28
com coordenadas bidimensionais.
Uma dificuldade percebida que exigiu bastante atenção foi a falta de entendimento
dos alunos em relação ao produto escalar, pois eles não compreendiam como o escalar de dois
vetores poderia ser um número real, como se apresenta a fala do aluno C: “Se um vetor é dado
por coordenadas, o produto dele por outro vetor deveria dar um resultado em coordenadas
também.” É notável que os alunos tiveram complicações em compreender que o produto
escalar é o resultado do produto do comprimento de um vetor A pela projeção escalar de um
vetor B em A. E que sua função é determinar a posição desses vetores no espaço, visto que
esse escalar define a inclinação angular em que os vetores ficarão dispostos.
Um último questionamento em que cabe apontar uma reflexão foi sobre a
dificuldade dos alunos em saber retomar conceitos de geometria plana, espacial e álgebra para
resolver os problemas de Geometria Analítica e Vetorial. Pode-se perceber essa complicação
a partir da fala da aluna D: “Nossa! Para achar o volume de um prisma hexagonal, além de
vetores eu preciso me lembrar de área, reta, plano cartesiano, equações, [...] é muita coisa.”
Ela consegue relacionar os conteúdos necessários para a solução, mas conceitua trabalhoso o
fato de ter que resgatar conhecimentos anteriores, isso decorre da constante falta de revisão do
estudo realizado pelos alunos.
Esse hábito de seguir adiante sem retomar o estudo atrapalha a compreensão da
geometria, pois ela sempre será trabalhada a partir de seus conceitos primordiais como: ponto,
reta, plano, entre outros.
3.2.2 – Análises das concepções obtidas através do questionário 1
O primeiro questionamento realizado a esses acadêmicos foi: Qual a importância
da disciplina de Geometria Analítica e Vetorial para sua formação inicial? Com pergunta,
esperava-se que os argumentos apresentados por eles fossem positivos, visto que a disciplina
faz parte do curso e abrange um conhecimento necessário dentro da matemática.
Como era o esperado, as respostas dos alunos apresentaram características
semelhantes em suas afirmações positivas em relação à importância dos estudantes de
matemática aprender sobre Geometria Analítica e Vetorial. Porém, exploraram pontos
diversificados que possibilitaram uma analise individual, como apontam os alunos E, F, J e K.
Aluno E:
29
Aluna F:
Aluno J:
Aluno K:
Na colocação do aluno E, nota-se que ele considerou de suma importância o
conhecimento da teoria da disciplina. Ele define com suas palavras que o domínio de
conteúdo e o que a Geometria Analítica possibilitou a ele de compreensão do mundo irão
ajudá-lo em algumas circunstâncias.
Para a aluna F, A disciplina de Geometria Analítica e Vetorial é importante para
sua formação porque a disciplina compreende à junção da Geometria Plana e Espacial com
Física Básica, promovendo-lhe a aprendizagem de conceitos que não possuía anteriormente.
Ou seja, percebe-se que esta aluna confirma as hipóteses de que a Geometria Analítica e
Vetorial contribui com outras disciplinas do curso.
O aluno J considera a disciplina importante porque ela apresenta conteúdos que
podem ser ensinados desde o Ensino Médio. Possivelmente ele apontou essa importância
porque, como futuro professor, este aluno se preocupa em conhecer bem o que vai ensinar.
O posicionamento do aluno K está relacionado ao fato de os conceitos explorados
pela disciplina trazerem motivação ao aluno para que ele sinta-se competente a resolver
30
situações-problemas que envolvam o espaço tridimensional e aplique-os também em suas
atividades cotidianas. Enfim, este aluno determina a importância da disciplina através do
quanto aprendê-la pode colaborar com a praticidade que ela promove.
Num segundo questionamento, realizaram-se as seguintes indagações: Teve
dificuldades ao cursar esta disciplina? Quais? Esta pergunta tem o intuito de identificar se os
alunos apresentam ou não dificuldades durante a disciplina e apontar quais são para
verificarmos se eram dúvidas comuns ou distintas.
Para essas perguntas, as respostas foram divergentes. Os alunos F, G, J e L
afirmaram que não tiveram dificuldades; entretanto, os alunos E, H, I e K responderam que
tiveram dificuldades ao cursar a disciplina. Como três das afirmações negativas foram iguais e
sucintas, será apresentada apenas a resposta do aluno L por ser a única que apresentou uma
justificativa. As respostas afirmativas serão todas expostas, porque cada aluno justificou de
forma única, cabível à análise.
Aluno L:
Pela justificativa apresentada, ficou clara a hipótese de que alguns alunos não
encontraram dificuldades ao cursar a disciplina, ou por possuírem as habilidades necessárias
de interação com os conceitos geométricos ou porque já se identificavam com características
abstratas da matemática, conseguindo trabalhar facilmente com a conversão e o tratamento de
vetores.
Já os alunos E, H, I e K afirmaram que tiveram algum tipo de dificuldades, como
se apresentam abaixo:
Aluno E:
Aluna H:
31
Aluna I:
Aluno K:
Através destas respostas, podem-se verificar os diferentes tipos de dificuldades
enfrentadas por estes alunos. As respostas da aluna I e do aluno E mostram que as
dificuldades enfrentadas por eles ocorreram devido à restrição de conhecimentos anteriores à
disciplina. Percebe-se também que a aluna I relaciona a sua dificuldade ao fato de estes
conhecimentos só terem sidos trabalhados durante o curso e não no ensino médio. Este
último relato pode enfatizar a necessidade de se trabalhar a Geometria Analítica com o
tratamento Vetorial desde o ensino básico.
A aluna H relatou com exatidão os tópicos em que mais encontrou dificuldades,
sendo que estes tópicos são também algumas das dificuldades encontradas pelos alunos da
monitoria. Isto evidencia que esses conceitos estão sendo alguns dos quais os alunos estão
encontrando complicadores da conversão de registros. Como exemplo, tem-se a dificuldade
desta aluna em realizar a representação gráfica, ou seja, ela tinha complicações ao converter o
registro simbólico para o registro figural. E o aluno K expressou que sua maior dificuldade
está na aplicação dos conceitos da disciplina. Isso provavelmente aconteceu pelo fato de as
aulas presenciadas por este acadêmico terem tido um caráter técnico, nas quais as atividades
não envolviam situações práticas.
Num terceiro e quarto questionamentos, cujo intuito era o de verificar as
concepções dos alunos em relação ao tratamento vetorial na disciplina, foi-lhes perguntado:
32
Você já tinha conhecimento do tratamento vetorial aplicado a Geometria Analítica
antes do curso? Como foi, para você, relacionar vetores, álgebra e geometria em uma mesma
disciplina?
Em sua opinião, o tratamento vetorial facilita os conceitos apresentados pela
Geometria Analítica?
As respostas ao terceiro questionamento apresentaram uma unanimidade. Todos
responderam que não tinham conhecimento da aplicação do tratamento vetorial na Geometria
Analítica antes do curso. Entretanto, apresentaram opiniões diferentes em relação à interação
da Álgebra, Geometria e Vetores.
Nas respostas ao quarto questionamento, todos, de alguma forma, concordaram,
totalmente ou parcialmente, com o fato de que os Vetores podem facilitar os conceitos
apresentados pela Geometria Analítica. Para contemplar as respostas com justificativas mais
bem elaboradas do terceiro e quarto questionamentos, apresentam-se, respectivamente,
abaixo, as respostas:
Respostas do questionamento 3:
Aluna F:
Aluno L:
Respostas da questão 4:
Aluna H:
33
Aluna I:
Na resposta três, os acadêmicos afirmaram que a Geometria Analítica estudada
através de um tratamento vetorial foi uma forma inédita de estudar geometria. Garantem
também que a relação existente entre vetores, geometria e álgebra é algo natural, de fácil
compreensão e que esses conceitos se completam para sintetizar um contexto. O aluno L
afirma também que alguns conceitos são mais complicados, mas não por causa desta relação
entre os conteúdos e, sim, apenas pelas dificuldades relacionadas ao próprio conceito de vetor.
Na quarta questão, as respostas são bem próximas, porque todos os acadêmicos
participantes da pesquisa concordam que o tratamento vetorial pode ser um facilitador no
estudo em questão. A aluna H diz, em suas palavras, que, se o entendimento de direção,
sentido e módulo de um seguimento orientado estiver bem estabelecido pelo aluno, a
visualização de formas geométricas por todas as partes através de vetores contribui
significativamente com a aprendizagem. Já a aluna I considera que facilita, porém, depende
se, para o caso, é indicada a aplicação de vetores. Com essas duas posições, evidencia-se que,
como processo facilitador, os vetores, quando utilizados de forma coerente, são capazes
abranger diversas conjecturas da disciplina.
No quinto questionamento temos: Para você, esta disciplina possui aplicações em
contextos reais? Poderia Citar algumas?
Com esta pergunta, deseja-se saber a opinião dos acadêmicos sobre a
aplicabilidade da Geometria Analítica e Vetorial.
Essa questão foi respondida com a afirmação positiva pela maioria dos alunos,
exceto um dos entrevistados que usou a afirmação negativa. Para apresentar a oposição
34
existente de opiniões, foram usadas as respostas dos alunos L e G.
Aluno L:
Aluno G:
O aluno L, assim como os demais alunos da pesquisa, considera que as aplicações
são inúmeras devido às possibilidades que as teorias apresentadas pela disciplina fornecem ao
indivíduo. E ainda cita como exemplo a modelagem de diversas situações desenvolvidas a
partir da Geometria Analítica. O aluno G opõe-se à opinião dos demais, concluindo que a
disciplina não dá todo o suporte necessário para que eles possam aplicar. Distinguiu as
aplicações apresentadas pelo professor como restritas ao dizer que elas apenas permeavam
dentro da matemática e em casos específicos da física. E, por fim, levantou uma crítica à falta
de situações-problemas durante a explicação do conteúdo. O termo “infelizmente” utilizado
por este aluno deixa evidente que ele acredita ou sabe que existem muitas aplicações.
Entretanto, sente que não possui uma sistematização ou bagagem completa para aplicar a
teoria em contextos reais.
No sexto questionamento, abordamos o seguinte assunto: Em sua opinião, as aulas
ministradas foram motivadoras? Os professores utilizaram recursos metodológicos
atualizados nas aulas?
Esse questionamento foi posto com o intuito de averiguar se o ensino de
Geometria Analítica e Vetorial acompanha as novas tendências de ensino e se os alunos veem
esse desenvolvimento ocorrer de forma efetiva através da utilização das modernidades que
tem o objetivo de promover aulas mais dinâmicas e eficientes. Espera-se deste
35
questionamento afirmações de caráter positivo, pois, atualmente, o curso de licenciatura tem
se preocupado bastante em melhorar a qualidade do profissional e isso inclui a inserção de
novas técnicas motivacionais para o ensino de matemática, visto que ela precisa deixar de ser
considerada maçante e abstrata.
Como era o provável, os oito alunos concordaram que as aulas foram
motivadoras e que o professor regente buscou alguma forma de utilizar recursos
metodológicos para complementar a explicação do conteúdo.
Abaixo, apresentamos as opiniões de três alunas para verificar os possíveis
levantamentos feitos por todos eles.
Aluna F:
Aluna H:
Aluna I:
Para a aluna F, as aulas se tornaram motivadoras porque o professor utilizou de
forma proveitosa o tempo da aula. Além dos conceitos, ele conseguiu trabalhar exemplos e
aplicar alguns programas específicos para que os alunos tivessem a visualização gráfica das
atividades realizadas e cita como exemplo o Winplot, que é um software bastante prático e
recomendado para atividades que envolvam geometria.
A aluna H se sentiu motivada a partir das situações-problemas que o professor
36
aplicava a eles no inicio de cada aula com intuito de despertar o interesse dos alunos para
introduzir o conteúdo. Desta respectiva resposta, é notável que este professor aproveite esse
tipo de recurso metodológico como um auxílio didático, inovando sua metodologia.
Por sua vez, a aluna I considerou que as aulas despertaram seu interesse em
aprender Geometria Analítica através de vetores, mas acredita que a Universidade deveria
disponibilizar ao professor uma diversidade maior de recursos porque, normalmente, eles
usam os que possuem, o que nem sempre é o suficiente. Se houvesse maiores possibilidades,
mais conceitos poderiam ser explorados através de vivências e práticas.
O sétimo questionamento foi: Você conheceu o contexto histórico da Geometria
Analítica com tratamento Vetorial durante a disciplina?
Este questionamento complementa a indagação anterior. Sendo assim, espera-se
que este recurso metodológico esteja presente nas aulas para uma fundamentação do contexto
a ser estudado.
Ao contrário do esperado, todos os alunos pesquisados afirmaram não terem
conhecido os fatos históricos referentes à disciplina, como elucida o aluno E:
Para este aluno, a possível justificativa foi a quantidade de horas da carga horária
da disciplina e a quantidade de conteúdos ser muito grande, desta maneira, não sobrando
tempo para o professor tratar da historia da Geometria Analítica com tratamento vetorial. Esse
fator interfere bastante na aplicação deste recurso. Entretanto, o professor pode preparar uma
aula específica para tratar da história da Geometria na perspectiva de gerar um entendimento
do conteúdo, pois, independentemente da carga horária ser pequena, o acadêmico necessita
desse conhecimento para compreender diversos aspectos envolvidos em sua aprendizagem.
No oitavo e último questionamento, procurou-se analisar as possíveis dificuldades
encontradas por estes futuros professores ao trabalhar esta disciplina no Ensino Médio com a
seguinte pergunta: Você encontraria dificuldades em ensinar Geometria Analítica através de
vetores no Ensino Médio? Quais?
Ao responder a esta pergunta, os alunos concordaram que poderiam ter algumas
dificuldades devido à realidade de o ensino médio dificultar o ensino desta disciplina, como
apontam H e I.
37
Aluna H:
Aluna I:
As colocações das duas alunas discutem as dificuldades enfrentadas pelo
professor de matemática da escola básica ao motivar os seus alunos e transmitir os
conhecimentos para eles de forma satisfatória, pois isto não depende somente da bagagem
acadêmica que ele possui. Elas afirmam também que um acompanhamento da turma ou um
diagnóstico prévio da realidade desses alunos podem contribuir com o ato de lecionar,
possibilitando um planejamento tranquilo e direcionado ao resultado esperado.
3.2.3– Análises das concepções adquiridas a partir do questionário 2
O primeiro exercício aplicado para análise das complicações apresentadas pelos
alunos em relação aos registros de representação semiótica foi:
1. Sejam e (0,1) dois vetores do plano. Determine as coordenadas de
tal que:
a)
b)
Neste primeiro exercício, têm-se dois registros: o das n-uplas sendo vetores e
e o das combinações lineares, sendo o vetor . A solução final deverá ser apresentada no
registro das n-uplas. Portanto, o aluno realizará a conversão do registro das combinações
38
lineares para o registro das n-uplas, finalizando com o tratamento dentro desse registro
chegando à solução.
Apenas a aluna H se confundiu ao realizar o tratamento dentro do registro das n-
uplas presentes neste exercício.
Aluna H:
No item a), ela conseguiu realizar todos os processos com êxito, chegando à
solução correta; entretanto, no item b), ela conseguiu realizar apenas a conversão da
combinação linear para a soma das n-uplas. No momento de realizar o tratamento de
multiplicação do numero real -2 pelas coordenadas (0, 1), confundiu-se concluindo
erroneamente.
O segundo exercício aplicado foi:
2. São dados dois vetores e . Trace o vetor tal que:
Este exercício traz os vetores e em um registro gráfico e o vetor em um
registro simbólico como combinações lineares. Para resolvê-lo, o aluno deverá realizar a
conversão do registro das combinações lineares para o registro gráfico, usando conceitos
estudados, concluindo-o em uma nova representação gráfica.
Dois alunos cometeram erros ao resolver esta atividade. São eles:
Aluno E:
39
Este aluno deveria saber que, para realizar a adição de vetores, é necessário usar a
regra do paralelogramo e, através dela, representar o vetor nos itens a e b, ou seja, ele se
esqueceu de projetar os vetores e , representando o vetor de forma equivocada.
Aluno K:
Já este aluno deveria saber trabalhar com múltiplos de vetores com o mesmo
sentido ou com sentido contrário. Entretanto, ele não conseguiu representar o vetor e ainda
expressou dúvida através do ponto de interrogação.
O terceiro exercício foi:
3. Escreva as coordenadas dos vetores indicados nas figuras.
Nesse exercício, espera-se que os alunos realizem apenas a conversão do registro
gráfico para o registro das n-uplas. Quatro alunos erraram as coordenadas indicadas no
gráfico. Como exemplo, será usada a resposta do aluno G:
40
Ele, assim como os demais alunos, acertou as coordenadas de , mas cometeu um
erro nas coordenadas de porque confundiu a quantidade de unidades que há no eixo Z. Neste
caso, a conversão do registro gráfico para o registro das n-uplas não ocorreu com êxito e o
resultado final deu uma terna ordenada que representa outro vetor não desejado.
O quarto exercício da sequência didática foi:
4. Os seguintes vetores são dados em relação à base ( ) do espaço. Escreva cada
vetor como combinação linear de .
a) (1,-2,3)
b)
Este exercício traz a conversão do registro das n-uplas para o registro das
combinações lineares. Todos os alunos fizeram corretamente a conversão entre esses
registros. Como exemplo, temos o aluno E:
Percebe-se que os alunos não tiveram dificuldades em transitar por estes dois
registros, provavelmente por não haver complexidade nessa conversão de registros, pois era
apenas necessário fazer a passagem de uma simbolização para outra sem operar o tratamento
dentro de qualquer um dos registros, tornando, assim, a semioses um processo rápido que
resultou em uma noésis simples de fácil ação cognitiva para esse aluno.
A última atividade posta para os acadêmicos foi:
5. Dado o vetor .
a) Escreva as coordenadas do vetor que tem o dobro do comprimento do vetor e
o mesmo sentido de .
Este exercício possibilita ao aluno fazer a conversão do registro da linguagem
natural para o registro da n-uplas após realizar o tratamento do registro das combinações
lineares. Novamente, os alunos tiveram um resultado unânime e positivo, visto que todos
conseguiram fazer a questão e acertá-la devido à familiaridade com o registro da linguagem
41
natural que possuem e, possivelmente, já possuíam também uma naturalidade em reconhecer
e trabalhar com o registro das combinações lineares, como foi observado na questão anterior.
Pode-se observar o desenvolvimento realizado pelos alunos, mediante a solução
apresentada pela aluna F:
42
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa foi motivada pelo desejo de compreender o ensino de Geometria
Analítica sob um tratamento vetorial, além de produzir um material que servisse de base de
estudo e, possivelmente, a ser utilizado em aulas de matemática para contribuir com uma
aprendizagem significativa. Aprendizagem esta que pode ser alcançada através do
relacionamento dos conteúdos matemáticos aos conhecimentos práticos dos alunos.
Quanto à análise dos dados, foi possível confirmar a hipótese de que os alunos
possuem dificuldades em representações de vetores. Através da monitoria, foi evidenciado
que eles apresentam dúvidas em relação a conceitos e conteúdos abordados pela disciplina,
por algumas dificuldades de entendimento e até mesmo de transição dos elementos
envolvidos nas conversões de registros.
A aplicação do questionário 1 trouxe uma série de evidências que apontam a
necessidade de complementar o ensino de Geometria Analítica e Vetorial com os recursos
metodológicos apresentados no item 1.3 do capítulo I, visto que as opiniões apresentadas
abordaram reflexões sobre essa importância e sua contribuição para o aprimoramento da
aprendizagem em um contexto geral da formação dos acadêmicos.
A sequência didática serviu de referencial para mostrar quais são os momentos em
que os alunos se atrapalham ao trabalhar com o tratamento vetorial. Entre os cinco exercícios
aplicados, apenas dois foram realizados com sucesso por todos os alunos e isso porque esses
exercícios tinham como base o registro da linguagem natural e o registro das combinações
lineares, com os quais os alunos possuem maior familiaridade e conseguem transpor um para
outro de forma bastante espontânea.
Esta pesquisa também verificou se o tratamento vetorial apresenta aspectos
vantajosos relacionados à sua interação com os conceitos geométricos. Em relação a esse
levantamento, a pesquisa concluiu que essa interação se fez necessária como aponta o
contexto histórico. Nas opiniões investigadas, alega-se que, apesar de a aplicação de vetores
na Geometria Analítica ser algo novo ou pouco trabalhado antes da disciplina, possibilitou a
compreensão de vários conceitos, promoveu conexões com outras disciplinas do curso e
possibilitou diversas aplicações em contextos reais.
Este trabalho atende à finalidade e expectativa às quais se propôs. Todavia,
ressalta-se que este trabalho é apenas uma parcela daquilo que pode ser pesquisado em
relação a este assunto, visto que as discussões em relação ao ensino de Geometria Analítica
43
com tratamento vetorial é uma fonte inesgotável de pesquisa.
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num curso de Licenciatura em Matemática. Universidade do Estado de Mato
Grosso, Faculdade de Ciências Exatas – Curso de Licenciatura Plena em Matemática, Cáceres
– MT, BRASIL. Trabalho de Conclusão de Curso, 2007, p. 86.
APÊNDICE
Questionário aplicado a8 alunos do curso de Licenciatura Plena em Matemática da UNIR que
cursaram a disciplina de Geometria Analítica e Vetorial, em prol do trabalho de conclusão de
curso da acadêmica Franciele Dallabrida, com o tema: CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO
DE GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORIAL NO CURSO DE LICENCIATURA
PLENA EM MATEMÁTICA DA UNIR NO CAMPUS DE JI-PARANÁ.
Nome:_______________________________________ Período:__________________
QUESTIONÁRIO 1
1. Qual a importância da disciplina de Geometria Analítica e Vetorial para sua formação
inicial?
2. Teve dificuldade ao cursar esta disciplina? Quais?
3. Você já tinha conhecimento do tratamento vetorial aplicado a Geometria Analítica
antes do curso? Como foi para você relacionar vetores, álgebra e geometria em uma
mesma disciplina?
4. Em sua opinião o tratamento vetorial facilita os conceitos apresentados pela Geometria
Analítica?
5. Para você esta disciplina possui aplicações em contextos reais? Poderia citar algumas?
6. Em sua opinião as aulas ministradas foram motivadoras? Os professores utilizaram
recursos metodológicos atualizados nas aulas?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA - UNIR
CAMPUS DE JI-PARANÁ
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA - DME
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7. Você conheceu o contexto histórico da Geometria Analítica com tratamento Vetorial
durante a disciplina?
8. Você encontraria dificuldades em ensinar Geometria Analítica através de vetores no
Ensino Médio? Quais?
QUESTIONÁRIO 2
1. Sejam e (0,1) dois vetores do plano. Determine as coordenadas de
tal que:
c)
d)
2. São dados dois vetores e . Trace o vetor tal que:
3. Escreva as coordenadas dos vetores indicados nas figuras.
4. Os seguintes vetores são dados em relação à base ( ) do espaço. Escreva cada
vetor como combinação linear de .
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c) (1,-2,3)
d)
5. Dado o vetor .
b) Escreva as coordenadas do vetor que tem o dobro do comprimento do vetor e o
mesmo sentido de .