formulas resmat

Fundação Universidade Federal do Rio Grande - Departamento de Materiais e Construção RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil

1

Propriedades Geométricas de Áreas Planas

0

dAx

yr

x

y

∫∫

∫∫

∫∫

==

==

==

==

dArIdAxyI

A

Ii

AI

i

dAxIdAyI

dAxMdAyM

2Pxy

yy

xx

2y

2x

SySx

yxAII

xAIIyAII

A

yAdAy

A1

yA

xAdAx

A1

x

eixosdeTranslação

ygxgxy

2ygy

2xgx

i

ii

i

ii

+=

+=+=

====∑∑∫∑

∑∫

G

0

y

ygy

xg

x

A

x

2xy

2yx

yx

xyxy

xy

xy

I2

II

II

I22tg2cosI

2senI2cos

2senI2cos

+

−

−−=θθ

θ+θ

θ−θ

yxminmax,

yxuv

yxyxv

yxyxu

2

III

2sen2

III

2

II

2

III

2

II

2

III

eixosdeRotação

±

+=

+θ−

=

−−

+=

−+

+=

0

u

y

v

x

θ

Seção retangular

h

b

G

0x

xg

y yg

x

y0I

12hb

I12bh

I

4hb

I3hb

I3bh

I

bhA2h

y2b

x

ygxg

3

yg

3

xg

22

xy

3

y

3

x

===

===

===

http://www.dmc.furg.br/resistencia


2

Seção triangular

( )

( )

( )

( )

( )

A bh x b c y h

I bh I bh b bc c

I bh b c

I bh I bh b bc c

I bh b c

x y

xy

xg yg

xg yg

= = + =

= = −

= −

= = −

= −

12

13

13

112

3 3

2

3 2 2

2

12 3 3

24 3 2

36 36

72 2

+

+

2

h

b

0x

xg

y yg

c

G

x

y

Seção circular

G

y

x

r

d

A r d

I I r d

I r d

x y

P

= =

= = =

= =

π π

π π

π π

2 14

2

14

4 164

4

12

4 132

4

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

d r d r

A r r d d

I I r r d d

I r r d d

e e i i

e i e i

x y e i e

P e i e i

=

i

=

= − = −

= = − = −

= − = −

2 2

2 2 14

2 2

14

4 4 164

4 4

12

4 4 132

4 4

π π

π π

π π

G

y

x

re

ri

Esforço Normal

θσ=τθσ=σε=σ∆

=ε=σ θθ 2sen2cosELL

AN 2

( )

nAN

12E

GTLLAE

LNL

Uadmadm

xzyT

σ=σσ≤=σ

ν+=εν−=ε=ε∆α=∆=∆



3

Lei de Hooke

( )[ ]( )[ ]( )[ ] zxzxyxzz

yzyzxzyy

xyxyzyxx

GE1

GE1

GE1

γ=τσ+σν−σ=ε



Torção

w746HP1f2Tf2PTP

dxIGT

IGLT

IGLT

IT

iL

PPi

ii

PP i

=π=ωπ=ω=

=φ=φ=φρ=τ ∑ ∫

Seção transversal retangular Seção transversal elíptica

b

a Gbac

LT

bac

T

32

21

max

=φ

=τ

b

a Gba

)ba(LT

ba

T2

33

22

2max

π

+=φ

π=τ

Seção transversal triangular equilátera Seção transversal vazada de parede fina

a

aa

4

3max

aG

LT188,46

a

T20

=φ

=τ

Ω

t

∫Ω=φ

Ω=τ

s2

max

tds

G4

LT

t2T

Flexão

qdxMd

VdxdM

qdxdV

2

2

−==−=

zI

My

IM

yI

WWMy

yIM

y

y

z

zx

max

zz

z

zxx

z

zx ±±=σ==σ

ρ=ε=σ

CCTT admadmadmmaxadmmaxmax yIM

σ≤σσ≤σσ≤=σ

yIM

nyIM

EE

nt

2xt

1x1

2 =σ=σ=

2211

22x

2211

11x2211 IEIE

yEMIEIE

yEM0dAyEdAyE

+=σ

+=σ=+ ∫∫



4

Esforço Cortante

)circulark,retangulark(AV

k

dAQItV

dAFItVQ

xIVQ

HIVQ

q

34

23

maxadmmax

AA

===ττ≤τ

=τ==τ== ∫∫

Análise de Tensões

θτ−θσ−σ

−σ+σ

=σ

θτ+θσ−σ

+σ+σ

=σ

′

′

2sen2cos22

2sen2cos22

xyyxyx

y

xyyxyx

x

θτ+θσ−σ

−=τ ′′ 2cos2sen2 xy

yxyx

222tg

2

22tg

22

yx

xy

yxc

2xy

2yx

max

yx

xyp

2xy

2yxyx

2,1

σ+σ=σ

τ

σ−σ−=θτ+

σ−σ±=τ

σ−σ

τ=θτ+

σ−σ±

σ+σ=σ

Analogia de Mohr

*** VyeMyEIM

qvariávelRigidez =′=⇒=

EIV

yeEIM

yMqconstante Rigidez**

* =′=⇒=



5

Teorias de Resistência

Critérios de Escoamento

Teoria da Máxima Energia de Distorção (von Mises)

Teoria da Máxima Tensão Tangencial (Tresca)

2Y

2221

21 σ=σ+σσ−σ

Y221

Y121

Y2121

0e0

0e0

0e0

σ=σ⇒<σ<σ

σ=σ⇒>σ>σ

σ=σ−σ⇒<σ>σ

Critérios de Fratura

Teoria da Máxima Tensão Normal (Critério

de Rankine) Teoria de Mohr

U2U1 σ=σσ=σ

Flambagem

YLIM

minmin

min

e2

2

CR2e

min2CR

EA

Ii

iLE

L

EIP

σπ=λ==λ

λπ

=σπ=

π+=σ

+=σ

−

π=

−

=

CR2max

e2max

crmax

emax

PP

2sec

i

ce1

AP

EIP

2L

seci

ce1

AP

1PP

2secey1

EIP

2

Lsecey



6

L

Le = L 2L 0,7 L 0,5L

Linha Elástica

[ ] )x(tgyEI)x(M

yy1

y1EI)x(M1

2/32θ≅θ=′=′′

′+

′′=

ρ=

ρ

Trabalho de Deformação Conservação de energia ie UU =

A,BB,AAp,BBm,AA,BB,A

1,22,12,121

kkke

kkke

L

2

L P

2

L

2

L

2

i

yYyMaxwelldeTeorema

UUUUUUBettideTeorema

M21UP2

1UClayperondeTeorema

dxGA2V

dxGI2T

dxEI2M

dxEA2N

UdeformaçãodeernointTrabalho

ϕ=ϕϕ==

=++=

ϕ=δ=

χ+++=

∑∑

∫∫∫∫



7

Teorema de Castigliano

kkkk

LL PLLk

kk

PV

V,PT

T,PM

M,PN

N:onde

dxGAVV

dxGITT

dxEIMM

dxEANN

PU

∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=

χ+++=δ⇒∂∂

=δ ∫∫∫∫

kkkk

LL PLLk

kk

MV

V,MT

T,MM

M,MN

N:onde

,dxGAVV

dxGITT

dxEIMM

dxEANN

MU

∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=

χ+++=ϕ⇒∂∂

=ϕ ∫∫∫∫

XV

V,XT

T,XM

M,XN

N:onde

,dxGAVV

dxGITT

dxEIMM

dxEANN

XU

LL PLL

∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=

∆−=χ+++⇒∆−=∂∂

∫∫∫∫

Princípio dos Trabalhos Virtuais

∫∫∫∫

∫∫∫∫

χ+++=ϕ

χ+++=δ

LL PLL

LL PLL

AG

dxVv

IG

dxTt

IE

dxMm

AE

dxNn.1

AG

dxVv

IG

dxTt

IE

dxMm

AE

dxNn.1

∑=

=δn

1i i

iii

AE

LNn.1:treliçasPara

∫∫ =ϕ=δLL IE

dxMm.1ou

IE

dxMm.1:lmentetransversacarregadasvigasPara

Análise de Deformações

( )θ

γ+θ

ε−ε−=

γ

θγ

−θε−ε

−ε+ε

=ε

θγ

+θε−ε

+ε+ε

=ε

2cos2

2sen22

2sen2

2cos22

2sen2

2cos22

xyyx'xý

xyyxyx'y

xyyxyx'x

yx

xyp

2xy

2yxyx

b,a 2tg222 ε−ε

γ=θ

γ+

ε−ε±

ε+ε=ε



8

( ) ( )xy

yxt

2xy

2yxmax 2tg

γ

ε−ε−=θγ+ε−ε=γ

( ) θθγ+θε+θε=εε+ε−ε=γ θ cossensencos2 xy

2y

2xyxOBxy

( )

( ) ( ) minmaxmaxbacbaba

bacba

bba

a

E1

E1

EEEEE

ε−ε=γσ+σν−

−=εσ+σν−

=ε+ε

σ+σν

−=εσν

+σν

−=εσν

−σ

=ε

.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

Diagrama retangular

Diagrama triangular

Diagrama triangularqualquer

Diagrama parabólicode 20. grau



Diagrama parabólicode grau n

b

h

b

h

x

x

h

b

c

b

h

x

x

b

b

b

h

h

hx

x

x

FORMA ÁREA X

bh b/2

bh/2 b/3

bh/2 (b+c)/3

2bh/3 3b/8

bh/3

bh/4

bh/n+1

b/4

b/n+2

b/5

TABELA DE ÁREAS - Analogia de Mohr


formulas resmat

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