Resistncia dos materiais I-10Introduo - Esforos comunsMateriais slidos tendem a deformar-se (ou eventualmente se romper) quando submetidos a solicitaes mecnicas. A Resistncia dos Materiais um ramo da Engenharia que tem como objetivo o estudo do comportamento de elementos construtivos sujeitos a esforos, de forma que eles possam ser adequadamente dimensionados para suport-los nas condies previstas de utilizao.

Figura 01

A Figura 01 d formas grficas aproximadas dos tipos de esforos mais comuns a que so submetidos os elementos construtivos: (a)Trao: caracteriza-se pela tendncia de alongamento do elemento na direo da fora atuante. (b) Compresso: a tendncia uma reduo do elemento na direo da fora de compresso. (c) Flexo: ocorre uma deformao na direo perpendicular da fora atuante. (d) Toro: foras atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seo transversal tende a girar em relao s demais. (e) Flambagem: um esforo de compresso em uma barra de seo transversal pequena em relao ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura na barra.Pgina 1 de 173

(f) Cisalhamento: foras atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto , um deslocamento linear entre sees transversais. Em muitas situaes prticas ocorre uma combinao de dois ou mais tipos de esforos. Em alguns casos h um tipo predominante e os demais podem ser desprezados, mas h outros casos em que eles precisam ser considerados conjuntamente.

Tenso normal e tenso transversalSeja o exemplo de uma barra de seo transversal S submetida a uma fora de trao F. evidente que outra barra de seo transversal maior (por exemplo, 2 S), submetida mesma fora F, trabalha em condies menos severas do que a primeira. Isso sugere a necessidade de definio de uma grandeza que tenha relao com fora e rea, de forma que os esforos possam ser comparados e caracterizados para os mais diversos materiais.

Figura 01

Tenso a grandeza fsica definida pela fora atuante em uma superfcie e a rea dessa superfcie. Ou seja, Tenso = fora / rea #1.1# Por essa definio, a unidade de tenso tem dimenso de presso mecnica e, no Sistema Internacional, a unidade bsica a mesma da presso: pascal (Pa) ou Newton por metro quadrado (N/m2).Pgina 2 de 173

A Figura 01 (a) representa uma barra tracionada por uma fora F. A parte (b) da figura mostra um seccionamento transversal hipottico. Ento, a tenso , normal ao corte, dada por: = F / S #A.1# Onde S a rea da seo transversal da barra. Obs.: suposto que as tenses esto uniformemente distribudas ao longo da seo. Em vrios casos, isso no pode ser considerado verdadeiro e o resultado da frmula acima um valor mdio. Tenses podem ter componentes de modo anlogo s foras. Na Figura 01 (c), considerada uma seo hipottica que faz um ngulo com a vertical. E a fora atuante nessa seo pode ser considerada a soma vetorial da fora normal (F cos. ) com a fora transversal (F sen. ). Portanto, a tenso nessa superfcie a soma dos componentes: Tenso normal: em geral simbolizada pela letra grega sigma minsculo (). Tenso transversal (ou de cisalhamento): em geral simbolizada pela letra grega tau minsculo ().

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Resistncia dos materiais I-20Trao e compresso: generalidadesConsidera-se, conforme Figura 01 deste tpico, uma barra redonda de dimetro D e comprimento L, inicialmente na condio livre, isto , sem aplicao de qualquer esforo.

Fig 01 Se aplicada uma fora de trao F, as seguintes deformaes so perceptveis:

o comprimento aumenta de L para L1 = L + L. o dimetro diminui de D para D1. Alongamento (ou deformao longitudinal) da barra definido pela relao entre a variao de comprimento e o comprimento inicial = L / L #A.1#. uma grandeza adimensional e tambm pode ser dada em termos percentuais = 100 L / L #A.2#. Paralelamente ao aumento de comprimento, ocorre uma reduo do dimetro, denominada contrao transversal, que dada por: t = (D - D1) / D #B.1#. As grandezas anteriores so, portanto, variaes relativas do comprimento tracionado e da dimenso transversal a esse comprimento. O coeficiente de Poisson (em geral, simbolizado por ou ) a relao entre essas variaes. = t / #C.1#. Valores tpicos de para metais esto na faixa de 0,20 a 0,40.

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Fig 02

Os ensaios de trao determinam graficamente a relao entre a tenso aplicada e o alongamento em uma amostra (corpo de prova) de um determinado material. Mais informaes podem ser vistas nas pginas de Ensaios de materiais I-10 deste site. A Figura ao lado 02 (a) d a curva aproximada para um ao estrutural tpico Existe um valor-limite de tenso at o qual a tenso aplicada ( = F / S) proporcional deformao longitudinal = E #C.1#. Essa igualdade conhecida como lei de Hooke e indica, portanto, a regio de proporcionalidade entre tenso aplicada e deformao no mesmo sentido dessa tenso. O coeficiente E denominado mdulo de elasticidade ou mdulo de Young (homenagem ao cientista ingls Thomas Young). Desde que uma grandeza adimensional, conclui-se que o mdulo de elasticidade E tem a mesma unidade da tenso (pascal, Pa, no Sistema Internacional). Obs: para compresso, pode-se supor a mesma lei, considerando a tenso com sinal contrrio. Entretanto, alguns materiais exibem valores de E diferentes para trao e compresso. Nesses casos, podem-se usar as notaes Et e Ec para a distino entre eles. A tabela abaixo informa valores tpicos de E e para alguns metais.

Aos E (GPa) 206 0,30

Alumnio 68,6 0,34

Bronze 98 0,33

Cobre 118 0,33

Ferro fundido 98 0,25

Lato 64 0,37

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Voltando Figura 02 (a), os pontos marcados tm as definies a seguir comentadas. p: limite de proporcionalidade do material, isto , tenso abaixo da qual o material se comporta segundo a lei de Hooke. e: limite de escoamento (tenso a partir da qual as deformaes so permanentes. Indica o incio da regio plstica do material. A regio elstica do material est, portanto, esquerda desse limite e abrange a regio de proporcionalidade anterior). b: tenso mxima de ensaio do material. r: tenso de ruptura de ensaio do material. Em materiais pouco dcteis (frgeis) como ferro fundido, nem todos esses limites ocorrem e uma curva tpica parecida com a Figura 02 (b). No caso de aos, o teor de carbono exerce significativa influncia nas tenses mximas. Abaixo alguns valores tpicos de tenses de escoamento e de ruptura para aos-carbono comerciais. Teor C % e (MPa) r (MPa) 0,10 177 324 0,20 206 382 0,30 255 470 0,40 284 520 0,50 343 618

Em geral, para fins de dimensionamento no caso de materiais dcteis, considera-se tenso admissvel igual tenso de escoamento dividida por um coeficiente de segurana. No caso de materiais frgeis, conforme visto a tenso de escoamento no definida e normalmente usada a de ruptura dividida pelo coeficiente de segurana.

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Resistncia dos materiais I-30Energia da deformao elsticaCom a suposio de deformao elstica de acordo com a lei de Hooke, deseja-se saber a energia gasta para deformar a barra da condio de repouso A (sem fora aplicada) at B, onde uma fora F mantm a barra no comprimento L + L (Figura 01 deste tpico). Deve ser notado que essa energia no o simples produto F L, uma vez que a fora varia com o valor da deformao.

Fig 01 Seja x uma deformao genrica entre A e B, isto , 0 x L. De acordo com a lei de Hooke, = F(x) / S = E = E x / L #A.1#. Onde F(x) a fora que produz uma deformao absoluta x. Portanto, se x = 0, F(x) = 0 #A.2#. se x = L, F(x) = F #A.3#. De acordo com o conceito de trabalho, dW = F(x) dx. Conforme relao #A.1#, F(x) = (E S/L) x. Substituindo e realizando a integrao, W = 0, L F(x) dx = (E S/L) L2 / 2. Considerando #A.3# e #A.1#, L = F L / (S E). Substituindo e simplificando, chega-se ao resultado final W = L F2 / (2 E S) #B.1#.

Tenso devido dilatao linearSe, conforme Figura 01 (a), uma barra de comprimento L a uma determinada temperatura t for submetida a uma variao (positiva neste caso) de temperatura t, a variao do seu comprimento dada por L = L t #A.1#.

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Onde o coeficiente de dilatao linear do material da barra. Uma simples anlise dimensional da frmula acima permite concluir que a unidade de no Sistema Internacional 1/K ou 1/C, uma vez que variaes unitrias de graus Kelvin e Celsius so idnticas.

Fig 01

Se a barra for impedida de dilatar, conforme Figura 01 (b), ela ser submetida a uma fora e, por conseqncia, tenso de compresso. Considerando o trabalho na regio elstica conforme lei de Hooke, pode-se usar a sua formulao para determinar a tenso (neste caso, claro, o esforo de compresso e no de trao). = E = E L / L. Substituindo L pelo valor de #A.1#, o resultado = E t #B.1#. A tabela abaixo d valores aproximados do coeficiente de dilatao linear para alguns metais ou ligas comuns. 10-5 1/C Aos 1,2 Alumnio 2,3 Bronze 1,9 Cobre 1,7 Ferro fundido 1,2 Lato 1.9

Exemplo de questoFonte: prova perito Polcia Federal, ano desconhecido. Uma haste tem eixo reto e seo transversal constante, circular, com dimetro d = 5,0 mm. O material da haste tem mdulo de elasticidade E = 2100,00 tf/cm2 e segue a lei de Hooke. Se a deformao axial do material for = 0,001 qual a fora normal atuante na haste? (a) 0,412 tf (b) 0,041 tf (c) 4,123 tf (d) 41,230 tf

Soluo: aplicando a frmula = E , tem-se = 2100 0,001 = 2,1 tf/cm2. Para dimetro D = 5,0 mm = 0,5 cm, a rea S = 0,52 / 4 0,196. Portanto, F = S = 2,1 0,196 0,412 tf. Resposta (a).

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Resistncia dos materiais I-40Resilincia, tenacidade, ductilidadeEm pgina anterior foi visto que a energia da deformao de uma barra (comprimento L, seo transversal S e mdulo de elasticidade do material E), da condio livre at a situao de equilbrio com uma fora F, dada por:

#A.1# Multiplicando dividendo e divisor por S, W = (F/S)2 L S / 2 E. Considerando que: F / S = (tenso) e L S = V (volume da barra), chega-se ao resultado:

#A.2# Resilincia Ur a mxima energia de deformao que uma barra pode absorver sem sofrer deformaes permanentes. Assim, na frmula anterior, ela pode ser dada de forma aproximada com o uso da tenso de escoamento ( e):

#B.1#

Figura 01

Mdulo de resilincia ur de um material a energia de deformao por unidade de volume at o limite de proporcionalidade. Usando essa definio e a igualdade anterior (#A.2#) e simplificando,

#B.2#Pgina 10 de 173

Considerando a lei de Hooke, = E , tem-se E = / . Substituindo na anterior e simplificando,

#B.3# No diagrama tenso-deformao segundo Figura 01 (a), ur equivale rea abaixo da parte da curva at o limite de proporcionalidade p (tenso at a qual a lei de Hooke vlida). A tabela abaixo d valores aproximados do mdulo de resilincia para alguns materiais. Material Acrlico E (GPa) 3,4 p (MPa) 14 3 ur (MJ/m ) 0,029 Ao alto C Ao mdio C 206 206 965 310 2,26 0,23 Borracha Cobre 0,001 118 2 28 2,1 0,0033 Duralumnio 72 124 0,11

Tenacidade a capacidade de o material absorver energia devido deformao at a ruptura. uma propriedade desejvel para casos de peas sujeitas a choques e impactos, como engrenagens, correntes, etc. Em geral, no definida numericamente. Pode-se considerar, de forma similar ao mdulo de resilincia, a rea total abaixo da curva (ut) conforme Figura 01 (b). Algumas vezes so usadas as seguintes aproximaes: materiais dcteis #C.1#

materiais frgeis

#C.2#

Onde r a tenso de ruptura e r o alongamento correspondente a essa tenso de ruptura.

Figura 02

A Figura 02 mostra diagramas tpicos de tenso x deformao para um ao de alto teor de carbono (para molas por exemplo) e um de mdio/baixo teor (para estruturas por exemplo).Pgina 11 de 173

Nota-se que o ao para molas tem uma resilincia maior, como seria esperado. J o ao de mdio carbono apresenta uma rea sob a curva maior, isto , uma tenacidade mais alta. Entretanto, essas comparaes so aproximadas. O diagrama considera a tenso em relao rea inicial e, na regio plstica, no a tenso real no material. Outra propriedade bastante usada no estudo de materiais a ductilidade. Em geral, uma caracterstica no definida numericamente. Quanto mais dctil um material, maior a deformao de ruptura (r). Isso significa que um material dctil pode ser, por exemplo, trefilado com mais facilidade. Alguns autores consideram um valor para o alongamento de ruptura (r): r > 0,05 #D.1# para material dctil. O contrrio da ductilidade a fragilidade. Voltando Figura 02, pode-se notar que aos de elevado carbono so mais frgeis (ou menos dcteis) que os de mdio carbono.

Tenso admissvel e coeficiente de seguranaOs grficos da Figura 01 deste tpico j foram vistos em pgina anterior. So curvas tpicas aproximadas de tenso x deformao para materiais dcteis (a) e frgeis (b). A Figura 02 do tpico anterior tambm mostra a diferena. Os materiais frgeis no apresentam limite definido (e) para as regies elstica e plstica. Assim, para efeito de dimensionamento, usa-se a tenso de ruptura (r). Para os materiais dcteis, usa-se a tenso de escoamento e. Coeficientes de segurana so empregados para prevenir incertezas quanto a propriedades dos materiais, esforos aplicados, variaes, etc. No caso de peas tracionadas, usual o conceito da tenso admissvel, que dada por:

Figura 01

#A.1# para materiais dcteis.

#A.2# para materiais frgeis.Pgina 12 de 173

Onde c o coeficiente de segurana. A escolha do coeficiente de segurana uma tarefa de responsabilidade. Valores muito altos significam, em geral, custos desnecessrios e valores baixos podem provocar falhas de graves conseqncias. A tabela abaixo d alguns critrios genricos para coeficientes de segurana. Coeficiente 1,2 - 1,5 1,5 - 2,0 2,0 - 2,5 2,5 - 3,0 3,0 - 4,0 4,0 - 5,0 Carregamento Exatamente conhecido Bem conhecido Bem conhecido Tenso no material Exatamente conhecida Bem conhecida Bem conhecida Propriedades do material Exatamente conhecidas Exatamente conhecidas Razoavelmente conhecidas Ensaiadas aleatoriamente No ensaiadas No ensaiadas Ambiente Totalmente sob controle Estvel Normal Normal Normal Varivel

Razoavelmente Razoavelmente conhecido conhecida Razoavelmente Razoavelmente conhecido conhecida Pouco conhecido Pouco conhecida

Observaes: Cargas cclicas devem ser dimensionadas pelo critrio de fadiga (aqui no dado). Se houver possibilidade de choques, o menor coeficiente deve ser 2 multiplicado por um fator de choque (em geral, de 1,5 a 2,0). Os dados da tabela so genricos e muitas vezes subjetivos. No devem ser usados em aplicaes crticas e/ou de elevada responsabilidade. Nesses casos, informaes devem ser obtidas em literatura ou fontes especializadas, normas tcnicas, etc.

Figura 02

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Exemplo (fonte: prova PF 2004, com adaptaes. Responder Certo ou Errado): Considere a figura 02, que ilustra o esquema de um mecanismo biela/manivela usado para bombeamento de gua em uma mina. Considere que a barra cilndrica de 100 m de comprimento que aciona o mbolo, em movimento alternado, sofre uma carga de 138 kN quando puxa o mbolo para cima e de 13,8 kN quando o empurra para baixo. Nessa situao, sabendo que no existem problemas de flambagem, se a barra for feita de ao com peso especfico de 80 kN m3 (8 105 N mm3) e tenso admissvel de 100 MPa, para que o sistema opere corretamente, a seo transversal da barra no poder ser inferior a 1.500 mm2 Soluo: desde que no h flambagem, no se considera a carga de compresso (13,8 kN). Se j dada a tenso admissvel, adm = 100 MPa (100 106 N/m2), ela supostamente inclui o coeficiente de segurana. Se S a rea da seo transversal da barra, adm = F / S. Portanto, S = F / 100 106. Onde F a fora mxima de trao. Essa fora deve ser a carga de trao (138 103 N) mais o peso prprio da barra, que dado pelo pelo especfico (80 103 N/m3) multiplicado pelo volume (100 S). Assim, S = (138 103 + 80 103 100 S ) / 100 106 Resolvendo a equao, S = 0,0015 m2 = 1500 mm2. Resposta Certo.

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Resistncia dos materiais I-50Reservatrio cilndrico de parede finaUm reservatrio cilndrico de raio r e espessura t considerado de parede fina se r / t 10 #A.1#. Nessa condio, pode-se supor que as tenses se distribuem de maneira uniforme ao longo da espessura do cilindro.

Fig 01

Tambm suposto que est sujeito a uma presso interna uniforme p, maior que a atmosfrica e relativa mesma, isto , presso manomtrica. O quadriltero pequeno da Figura 01 representa uma poro elementar da parede do cilindro, que sofre ao das tenses: 1 ao longo da circunferncia. 2 no sentido longitudinal. Considera-se uma poro cilndrica de largura x como em A da mesma figura. Se essa poro cortada diametralmente (B da figura), a tenso 1 atua na direo perpendicular s superfcies das extremidades S1. Para o equilbrio esttico, a fora devido a essas tenses deve ser igual fora devido presso interna p. Assim, 2 1 S1 = 2 1 x t = p 2r x. Notar que a fora devido presso igual ao valor dela multiplicado pela rea frontal s extremidades das superfcies S1 (2r x) e no ao longo da circunferncia. Portanto, 1 = p r / t #B.1#.

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Fig 02

Para a tenso 2, considera-se um corte transversal do cilindro conforme Figura 02. A tenso 2 atua sobre uma coroa circular conforme indicado no lado direito da figura. Como t pequeno em relao a r, pode-se supor sua rea igual a 2 r t. E a fora para equilibrar igual presso interna multiplicada pela rea do crculo de raio r. Assim,

2 2 r t = p r2. Portanto, 2 = ( 1/2 ) p r / t #C.1#. Por essa e pela igualdade #B.1#, pode-se concluir que a tenso determinante para dimensionamento 1, ou seja, a tenso no sentido da circunferncia do cilindro. Outro aspecto importante: junes (soldadas ou de outros tipos) paralelas ao eixo do cilindro sofrem tenses iguais ao dobro das tenses em junes ao longo da circunferncia.

Reservatrio esfrico de parede finaSeja um reservatrio esfrico de raio r e espessura t de parede. A parede considerada fina se r / t 10 #A.1#, de forma similar ao cilndrico do tpico anterior.

Fig 01

Se o reservatrio preenchido por um fluido sob presso p (relativa a atmosfrica), a simetria sugere que as tenses so as mesmas em quaisquer direes.

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Considerando-se uma semi-esfera conforme lado direito da Figura 01, a tenso atua perpendicularmente rea cortada (aproximadamente igual a 2 r t). E a fora para manter a condio de equilbrio esttico igual presso interna multiplicada pela rea do crculo de raio r. Assim, 2 r t = p r2. Ou = ( 1/2 ) p r / t #B.1#. Observar que igual menor tenso calculada para o reservatrio cilndrico do tpico anterior. Por isso, pode-se supor que o reservatrio esfrico o que suporta maior presso com a menor quantidade de material.

Algumas consideraes sobre reservatriosAlm das tenses superficiais, reservatrios submetidos a presses internas esto sujeitos a tenses radiais, que variam do valor da presso na superfcie interna at zero na superfcie externa. Na suposio de paredes finas conforme tpicos anteriores, essas tenses so em geral de 5 a 10 vezes menores que as demais e podem ser desprezadas. As frmulas dos dois tpicos anteriores valem para reservatrios sob presso interna. No caso de reservatrios submetidos a presses externas (para vcuo por exemplo), falhas podem ocorrer antes da ruptura devido deformao das superfcies. Essas frmulas so as mais simples para reservatrios cilndricos e esfricos. Existem vrias outras consideraes a tomar no projeto dos mesmos (coeficientes de segurana, reforos em apoios e outros locais como tampas e sadas de tubos, temperatura, corroso, etc). Consultar normas tcnicas e outras fontes sobre o assunto.

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Resistncia dos materiais I-60Deformao por cisalhamentoSe um material sofre um esforo de cisalhamento puro conforme Figura 01 (a), ele se deforma conforme (b) da mesma figura.

Fig 01

Na

regio

elstica,

o

ngulo

de

distoro

e

a

tenso

so

proporcionais

= G #A.1#. O coeficiente G denominado mdulo de elasticidade transversal ou mdulo de rigidez do material. A relao com o mdulo de elasticidade (simbolizado por "E") e o mdulo de Poisson (aqui simbolizado por "") dada por G = E / [ 2 (1 + ) ] #A.2#.

Fig 02 Para uma barra de seo transversal S constante, submetida a uma fora cisalhante F e sem considerar a deformao por flexo, tem-se o ngulo aproximadamente igual a y / L para pequenas deformaes (Figura 02). Ento = F / S = G G y / L. Rearranjando a igualdade, y F L / (G S) #A.3#.

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Energia da deformao por cisalhamentoA equao #A.3# do tpico anterior pode ser reescrita para a fora F em funo do deslocamento y F = (G S / L) y. A energia ou trabalho de deformao dada pela integrao do produto da fora pelo deslocamento W = 0,y (G S / L) y dy = |0,y (G S / L) y2 / 2 = G S y2 / (2 L). Para exibir o trabalho em funo da fora F, substitui-se y pelo valor da igualdade #A.3# do mesmo tpico. W = G S (F L / G S)2 / (2 L), isto , W = F2 L / (2 G S) #A.1#.

Exemplo de cisalhamento: unio soldadaSeja o exemplo da Figura 01 abaixo: a uma chapa central so soldadas duas laterais totalizando 4 filetes de solda de seo triangular, de comprimento L e largura t.

Fig 01 O conjunto tracionado por uma fora F atuante conforme figura. Nessa condio, os esforos nos filetes de solda so basicamente de cisalhamento. Considerando que a trao aplicada se distribui igualmente pelos 4 filetes, cada um suporta um esforo de cisalhamento igual a F/4. O detalhe A da figura uma ampliao do corte do filete. A menor seo tem largura: h = t 2 / 2. E, portanto, o mximo cisalhamento deve ocorrer nessa seo. A tenso de cisalhamento aplicada ao material da solda dada por = (F / 4) / (L h) = (F / 4) / (L t 2 / 2) = F / (2 2 L t). Valores tpicos de tenses admissveis em soldas para aos esto na faixa de 75 MPa. Consultar dados dos fabricantes.

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Tenso admissvel de cisalhamento: em pgina anterior foram dados alguns critrios para tenses admissveis de peas tracionadas. Alguns autores sugerem, para o cisalhamento, a tenso admissvel de trao multiplicada por um fator que varia de 0,5 a 0,6.

Coeficiente de Poisson - Mais informaesEm pgina anterior foi dada a definio bsica do coeficiente de Poisson, isto , a razo entre a deformao transversal e a deformao longitudinal. Rigorosamente, deve ser definido com sinal = - (transversal / longitudinal) #A.1#. Obs: smbolos usuais so "" ou "". Num sistema de coordenadas ortogonais, como em (a) da Figura 01, seria a relao entre a deformao ao longo do eixo y e a deformao ao longo do eixo x.

Fig 01

Se h deformao em ambas as direes, lgico supor que pode haver tenses associadas. Considerando agora o caso genrico, isto , as trs dimenses, tem-se a forma generalizada da lei de Hooke (demonstrao omitida) x = (1 / E) [ x (y + z) ] y = (1 / E) [ y (x + z) ] z = (1 / E) [ z (x + y) ] #B.1#. Onde deformao, E mdulo de elasticidade, tenso e mdulo ou coeficiente de Poisson. Naturalmente, essas relaes so vlidas para materias isotrpicos (propriedades idnticas em todas as direes).

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Portanto, no caso de tenses no plano em coordenadas ortogonais como em (a) da Figura 01, a igualdade anterior fica reduzida a x = (1 / E) ( x y ) y = (1 / E) ( y x ) #C.1#. Para coordenadas polares como em (b) da mesma figura, ocorrem as relaes = (1 / E) ( r ) #C.2#. Notar que o coeficiente de Poisson no pode ser maior que 0,5 porque, se fosse, um elemento tensionado poderia atingir volume nulo ou negativo. Valores tpicos para aos esto na faixa de 0,20 a 0,40. Borracha apresenta valor perto de 0,5 e cortia, perto de 0 (essa uma das razes para uso da cortia em rolhas de garrafas. Praticamente no h variao de comprimento ao ser pressionada pelos lados).

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Resistncia dos materiais I-70

Deformao plstica residualNo esquema da Figura 01, a barra considerada de seo transversal S constante. So conhecidos tambm os valores de: L: comprimento inicial. E: mdulo de elasticidade do material. E: tenso de escoamento do material. Lmax: aumento do comprimento devido aplicao do esforo de trao.

Fig 01

Com esses dados, deseja-se saber o aumento permanente Lperm, que ocorre depois de retirada a fora tracionante F. Supe-se que o material se comporta conforme o grfico na parte direita da referida figura. Do incio da deformao (0) at o escoamento (1), h uma relao linear entre tenso e deformao . Iniciado o escoamento, a tenso permanece constante at a deformao mxima em (2). Na remoo do esforo (2) a (3), a relao tenso e deformao volta a ser linear e, desde que o mdulo de elasticidade no varia, o retorno se d em uma reta paralela a 01, deslocada devido deformao residual da regio plstica 12. uma aproximao dos ensaios reais de trao. A deformao mxima (em 2) dada por 2 = Lmax/L. A deformao mxima na regio elstica (em 1) dada por: 1 = E / E (lei de Hooke). A geometria do grfico permite concluir que a deformao em (3) igual diferena entre as deformaes em (2) e em (1). Assim, 3 = 2 1 = Lmax/L E / E. Mas 3 = Lperm/L ou Lperm = 3 L.

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Portanto, Lperm = ( Lmax/L E / E ) L #A.1#.

Ao da fora centrfuga em barra giranteConforme Figura 01 deste tpico, uma barra horizontal de seo transversal constante gira, em torno de um eixo vertical que passa por uma extremidade, com velocidade angular constante. Deseja-se saber a atuao da fora centrfuga ao longo do comprimento da barra bem como sua deformao. So conhecidos: L: comprimento da barra. S: rea da seo transversal. : velocidade angular. : massa especfica do material da barra. E: mdulo de elasticidade do material da barra. Das relaes da Dinmica, pode ser visto que, para uma massa puntiforme m que gira com velocidade angular e raio r, a fora centrfuga dada por F = m 2 R #A.1#. Essa igualdade vale para uma massa concentrada em um ponto. No caso da barra em questo, ela distribuda. Mas pode ser tratada como uma massa puntiforme localizada no ponto de simetria (ponto mdio) da parte considerada. Seja um ponto P genrico situado a um raio r do centro. A fora centrfuga atuante nesse ponto equivalente da massa do trecho PA concentrada no seu ponto mdio, ou seja, distante r + PA/2 do centro O.

Fig 01 Mas PA = L r. Portanto, o raio de giro dessa massa concentrada r + (L r)/2. Simplificando, (L + r)/2. A massa dessa parte PA S = (L r) S. Substituindo para a fora centrfuga (#A.1#), F = (L r) S 2 (L + r) / 2.

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Simplificando, F(r) = S 2 (L2 r2) / 2 #A.2#. Observar a notao F(r), que indica a dependncia com o raio r. Na extremidade A (r = L) a fora nula, atingindo o valor mximo em O (r = 0). Portanto a tenso mxima dada por max = F(0)/S = 2 L2 / 2 #A.3#. A determinao da deformao no se faz pela simples diviso da tenso pelo mdulo de elasticidade. Desde que a fora varia ao longo do comprimento (#A.2#), a tenso tambm varia, o que torna invlida a diviso mencionada. Considera-se um comprimento infinitesimal dr distante r do centro O (isto , dL est em P da figura). Dividindo a igualdade #A.2# pela rea S, obtm-se a tenso atuante nesse ponto (r) = 2 (L2 r2) / 2. Considerando d a variao do comprimento dr provocada pela tenso , tem-se conforme a lei de Hooke d / dr = / E = 2 (L2 r2) / (2 E). Ou d = [ 2 / (2E) ] (L2 r2) dr. A variao total do comprimento dada pela integrao = 0,L d = 0,L [ 2 / (2E) ] (L2 r2) dr = [ 2 / (2E) ] |0,L (L2 r r3/3). = [ 2 / (2E) ] (L3 L3/3) = [ 2 / (2E) ] (2 L3 / 3) = [ 2 L2 / 2 ] [2 L / (3E) ]. O primeiro termo entre colchetes a tenso mxima dada por #A.3#. Assim, = 2 max L / (3 E). Isso a variao total de comprimento. Portanto, a diviso por L d a deformao total da barra = / L = 2 max / (3 E) #A.4#.

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Resistncia dos materiais I-80

Dilatao linear com dois materiaisProblema de dilatao j foi visto em pgina anterior desta srie. Neste caso, h duas barras de materiais diferentes, que sofrem a mesma variao de temperatura t e so impedidas de dilatar conforme (a) da Figura 01. As sees transversais, consideradas circulares, tambm so diferentes.

Fig 01 Alm das dimenses geomtricas (L e D) indicadas na figura, supe-se que so conhecidos os mdulos de elasticidade (E1 e E2) e os coeficientes de dilatao linear (1 e 2) de cada material. A condio de equilbrio esttico permite concluir que as reaes dos apoios so idnticas: RA = RB = R. Portanto, ambas as partes esto sob o mesmo esforo de compresso R. Considera-se agora a situao (b) da figura, isto , o aquecimento livre. Nessa condio e segundo frmula j vista ( L = L t ), os comprimentos das partes seriam: L1' = L1 + L1 1 t #A.1#. L2' = L2 + L2 2 t #A.2#. E as variaes: L1dilat = L1 1 t #B.1#. L2dilat = L2 2 t #B.2#. Com a aplicao das reaes dos apoios RA e RB, as barras sofrem uma deformao por ompresso elstica, de forma que a soma dos comprimentos finais L1F + L2F igual soma dos omprimentos iniciais L1 + L2.

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Notar que os comprimentos finais L1F e L2F no so necessariamente iguais aos seus comprimentos iniciais L1 e L2, como pode sugerir a figura. A igualdade est na soma de ambos. As reas das sees transversais de cada parte so: S1 = D12/ 4 #C.1#. S2 = D22/ 4 #C.2#. E as tenses em cada parte so: 1 = R/S1 = 4 R / ( D12) #D.1#. 2 = R/S2 = 4 R / ( D22) #D.2#. Conforme lei de Hooke, = E = E L / L ou L = L / E. Assim, L1compr = 1 L1 / E1 #E.1#. L2compr = 2 L2 / E2 #E.2#. Para impedir a dilatao livre, a soma das redues de comprimento devido compresso deve ser igual soma dos aumentos devido dilatao: L1compr + L2compr = L1dilat + L2dilat. 1 L1 / E1 + 2 L2 / E2 = L1dilat + L2dilat. R L1 / S1 E1 + R L2 / S2 E2 = L1 1 t + L2 2 t. R = [ L1 1 t + L2 2 t ] / [ L1 / S1 E1 + L2 / S2 E2]. R = [ L1dilat + L2dilat ] / [ 4 L1 / ( D12 E1) + 4 L2 / ( D22 E2) ] #F.1#. Com essa igualdade a reao R fica determinada em funo de parmetros supostamente conhecidos e outros dados podem ser calculados em funo da mesma. Considera-se agora o exemplo numrico para t = 80C. Seja alumnio o material da parte 1 e bronze o da parte 2. E os valores: L1 = 0,45 m | D1 = 0,05 m | E1 = 69 GPa | 1 = 2,3 10-5 /C. L2 = 0,50 m | D2 = 0,045 m | E2 = 98 GPa | 2 = 1,9 10-5 /C. Conforme #B.1# e #B.2#, L1dilat = 0,45 m 2,3 10-5 /C 80 C = 0,828 mm ou 0,828 10-3 m. L2dilat = 0,50 m 1,9 10-5 /C 80 C = 0,760 mm ou 0,760 10-3 m. Conforme #F.1#, r = [8,28 10-4 m + 7,6 10-4 m] / [ 4 0,45 m / ( 0,052 m2 69 109 N/m2 + 4 0,50 m / ( 0,0452 m2 8 109 N/m2 ]. r 15,88 10-4 m / [ 3,32 10-9 (m/N) + 3,21 10-9 (m/N) ] 243,206 kN. Calculam-se agora as tenses de compresso conforme #D.1# e #D.2#:

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1 = 4 243,206 103 / ( 0,052 m2) 123,864 MPa. 2 = 4 243,206 103 / ( 0,0452 m2) 152,918 MPa. E as variaes devido compresso conforme #E.1# e #E.2#: L1compr = 123,864 MPa 0,45 m / 69 GPa 0,808 10-3 m ou 0,808 mm. L2compr = 152,918 MPa 0,50 m / 98 GPa 0,780 10-3 m ou 0,780 mm. Desde que a dilatao aumenta o comprimento e a compresso diminui, a variao lquida gual diferena das duas. Assim, L1 = L1dilat L1compr = 0,828 0,808 = 0,02 mm. L2 = L2dilat L2compr = 0,760 0,780 = 0,02 mm. Os resultados positivo e negativo indicam que o alumnio expandido e o bronze, comprimido. primeira vista, isso pode parecer estranho. mais visvel supor ambas as partes comprimidas. Mas os dimetros e comprimentos so diferentes, os materiais tm mdulos de elasticidade e coeficientes de dilatao distintos. A combinao desses valores pode fazer resultados desse tipo.

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Resistncia dos materiais III-10

Toro de peas circularesSeja, conforme Figura 01, uma barra cilndrica fixa em uma extremidade e submetida a um esforo de toro por um conjugado de torque T na outra extremidade. Essa solicitao uma toro uniforme, uma vez que o material da barra considerado homogneo. Assim, todos os pontos de cada circunferncia de qualquer seo transversal tm o mesmo deslocamento.

Fig 01

Um plano que passa pelo eixo do cilindro sofre uma deformao tal que o ngulo sobre uma circunferncia funo da distncia x entre o crculo dessa circunferncia e a extremidade engastada. A simples deduo ou observao prtica revelam que o ngulo aumenta com o aumento de x. Para determinar a relao entre ambos, importante em muitos casos prticos, necessrio em primeiro lugar um estudo das tenses em cada plano de seo transversal. Na Figura 02 considerada uma poro elementar da barra, de comprimento dx. O processo de toro pode ser entendido como o cisalhamento de dois planos prximos, neste caso as extremidades dessa seo elementar. A observao prtica demonstra que o ngulo de distoro de uma superfcie elementar varia linearmente com o raio, atingindo o valor mximo max na borda. Assim, = (r/R) max. Se os ngulos so proporcionais aos raios, as tenses de cisalhamento tambm so, pois suposto que as deformaes ocorrem dentro da regio elstica do material. Assim, = (r/R) max #A.1#.

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Fig 02

O torque T pode ser dado pela integrao do produto das foras elementares dF devido ao cisalhamento pela distncia at o centro O, isto , pelo raio: T = r dF. Mas dF = dA, onde dA so as reas elementares. Assim, T = r dA. Substituindo conforme igualdade #A.1#, T = r (r/R) max dA = ( max / R) r2 dA. Mas r2 dA o momento polar de inrcia (Jp) da superfcie (crculo neste caso) em relao ao eixo de rotao O. E fica definida a relao entre torque e tenso mxima:

Fig 03

T = max Jp / R #B.1# para o torque. max = T R / Jp #B.2# para a tenso mxima. Voltando proporcionalidade entre raio e tenso de cisalhamento (igualdade #A.1#), pode-se concluir que, em qualquer direo radial, a tenso varia de zero at max conforme (a) da Figura 03. Para o caso de eixo vazado (ou tubo) conforme Figura 03 (b), pode-se facilmente verificar que a tenso varia radialmente de um valor mnimo at max.

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Fig 04 Outro aspecto que vale mencionar o fato de as tenses de cisalhamento ocorrerem sempre em pares perpendiculares. Assim, em um corte hipottico de um eixo cilndrico conforme Figura 04, h tenses ao longo do eixo, de mesmos valores das tenses na seo transversal. Volta-se agora Figura 01 e questo inicial deste tpico, isto , o ngulo de toro da extremidade de um eixo cilndrico na qual aplicado um torque T, supondo a outra extremidade fixa e comprimento L. Na Figura 02, pode-se observar que, para uma pequena poro, d = max / R. Em pgina anterior, foi visto que a relao entre ngulo de cisalhamento e a respectiva tenso = G . Assim, d = max / (G R). Substituindo max pelo valor dado em #B.2#, d = T / (Jp G). Portanto, o ngulo dado pela integrao = 0,L [T / (Jp G)] dx. = T L / ( Jp G ) #C.1#. evidente que essa frmula vale apenas para eixos de seo constante e submetido toro na extremidade. Para outros casos, ela pode ser generalizada com torque e momento polar de inrcia em funo de x = 0,L [ T(x) / ( Jp(x ) G) ] dx #C.2#.

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Resistncia dos materiais III-20

Momento polar de resistnciaO momento de resistncia polar Wp definido por Wp = Jp / R #A.1#. Assim, a frmula da tenso mxima de toro da pgina anterior fica reduzida a max = T / Wp #B.1#.

Tabela de momentos polares para algumas seesSeo Nome Jp Wp Obs (ref toro)

Crculo vazado (tubo)

(D4 - d4) / 32

Tenses mximas em quaisquer (D4 - d4) / 16 D pontos da circunferncia perifrica.

Z Tubo de parede fina Tenses mximas em quaisquer pontos da circunferncia perifrica.

e D3 / 4

e D2 / 2

Elipse cheia (a/b 1)

a b / 16 (a2 + b2)

3

3

a b2 / 16

max nas extremidades do eixo menor. Nas extremidades do maior: = max / (a/b).

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Tubo elptico a/b = a'/b' 1

(a/b) (b - b' ) / 16 [ (a/b)2 + 1]

3

4

4

max nas extremidades do (a/b) (b - b' ) eixo menor. Nas / extremidades do 16 b maior: = max / (a/b).4 4

Tringulo eqiltero

a4 / 46,19 ou h4 / 26

a3 / 20 ou h3 / 13

Tenses mximas nos centros dos lados. Nos vrtices, tenses nulas.

Quadrado

0,1406 a4 ou a4 / 7,11

0,208 a3

Tenses mximas nos centros dos lados. Nos vrtices, tenses nulas. Tenses mximas nos centros dos lados maiores. Nulas nos vrtices. Nos centros dos menores vale: = c3 max.

Retngulo (a b) (*) ver tabela no final deste tpico c1 a b3 (c1/c2) a b2

Hexgono regular

1,847 a4

1,511 a3

Tenses mximas nos centros dos lados.

Octgono regular

1,726 a

4

1,481 a

3

Tenses mximas nos centros dos lados.

(*) para retngulos conforme tabela acima, os coeficientes so dados por: c1 = (1/3) { 1 - 0,630 / (a/b) + 0,052 / [ (a/b)5 ] }. c2 = 1 - 0,65 / [1 + (a/b)2]. A tabela abaixo d os valores para algumas relaes a/b.

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a/b c1 c2 c3

1 0,141 0,675 1,000

1,5 0,196 0,852 0,858

2 0,229 0,928 0,796

3 0,263 0,977 0,753

4 0,281 0,990 0,745

6 0,298 0,997 0,743

8 0,307 0,999 0,743

10 0,312 1,000 0,743

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Resistncia dos materiais III-30

Energia da deformao por toroNa Figura 01, uma barra cilndrica de raio R e comprimento L com a extremidade A fixa est submetida a um torque T na extremidade B, de forma que o ngulo de toro nessa extremidade em situao de equilbrio esttico . Deseja-se saber a energia gasta para atingir tal situao a partir da condio livre, isto , girar um ponto na posio 1 at a posio 2 da figura, de forma que ele seja mantido nessa posio com um torque T aplicado.

Fig 01

Em pgina anterior, foi dada a equao para o ngulo em funo do torque aplicado = T L / (Jp G). Portanto, T = (Jp G / L) = k , onde k = Jp G / L. O ngulo , por definio, a razo entre segmento de circunferncia a e o raio R = a / R. O torque T pode ser considerado igual ao momento de uma fora tangencial F em relao ao eixo da barra, isto , T = F R = k conforme igualdade anterior. Ou F = (k/R) . O trabalho (ou energia da deformao) dado pela integrao do produto da fora pelos deslocamentos infinitesimais W = F da. Substituindo pelos valores de F e das igualdades anteriores, W = F da = (k/R) da = (k/R) (a/R) da = (k/R2) a da = (k/R2) a2/2 = (k/2) (a/R)2.

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Mas a/R = e = T/k conforme j visto. Assim, W = (k/2) 2 = (k/2) (T2/k2) = T2 / (2k). Substituindo o valor de k (= Jp G / L), obtm-se o resultado W = L T2 / (2 G Jp) #A.1#.

Potncia transmitida, diagrama de momento e ngulo de toroA potncia mecnica transmitida por um eixo est relacionada com o torque aplicado e a rotao de acordo com a seguinte frmula:

Fig 01 P = T #A.1#. Onde P: potncia em watts. T: torque em N m. : rotao em radianos por segundo. A Figura 01 d o exemplo de uma barra cilndrica com aplicao de dois esforos de toro em locais distintos. suposto que a barra est engastada na extremidade C. Na parte inferior da figura so dados diagramas aproximados dos esforos de toro e ngulos de distoro ao longo do comprimento da barra.

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Exemplo de questoFonte: prova perito Polcia Federal, ano desconhecido. A tenso cisalhante mxima em uma barra cilndrica de seo circular com comprimento L e dimetro D, submetida a um momento torsor T, dada pela seguinte expresso (G = mdulo de elasticidade transversal; J = momento de inrcia polar; I = momento de inrcia): (a) = TL/GJ (b) = TD/2J (c) = 32T/D4 (d) = TL/GI

Soluo: a frmula vista da tenso mxima de toro (max = T R / Jp), com a substituio de R por D/2. Portanto, resposta (b). Notar que a tenso mxima no depende do material e, portanto, as alternativas (a) e (d), que incluem o mdulo de elasticidade transversal G, podem ser descartadas de imediato. A alternativa (c) sugere a substituio, na frmula anterior, do valor de Jp (= D4 / 32), mas est incorreta.

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Resistncia dos materiais III-40

Comentrios sobre dimensionamentosConforme visto em pgina anterior, a tenso mxima max em um eixo submetido a um torque T dada por max = T / Wp #A.1#. Onde Wp o momento de resistncia polar, isto , Wp = Jp / R #A.2#. Onde Jp o momento de inrcia polar e R o raio. E o ngulo de toro de um eixo de comprimento L submetido a um torque T = T L / (Jp G). Dividindo o valor por L, resulta no ngulo de toro por unidade de comprimento: / L = T / (Jp G) #B.1#. comum o uso de ambos os critrios, max e /L, para dimensionamento de eixos. Para tenso mxima, max, que uma tenso de cisalhamento, alguns critrios bsicos podem ser vistos nas pginas Resistncia dos materiais I-40 e Resistncia dos materiais I-60. Para o ngulo de toro por unidade de comprimento, /L, encontram-se exemplos em literatura do valor mximo de 0,25 graus por metro de comprimento, no caso de eixos de ao. Lembrar que as frmulas dadas usam ngulos em radianos e, portanto, esse limite corresponde a aproximadamente 0,004363 radianos por metro de comprimento.

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Exemplo: barra biengastadaNa Figura 01, uma barra cilndrica engastada em ambas as extremidades est sob ao de um torque T no local da variao de dimetro. Deseja-se saber o ngulo de toro em B e a distribuio de torque ao longo da barra.

Fig 01 Para obedecer condio de equilbrio esttico, um lado da barra deve estar sob ao de um torque TT' e o outro lado, de T'. Assim, a soma de ambos se iguala ao torque externo T. O diagrama de torque da figura no corresponde necessariamente ao real, pois os valores e sinais sero dados pelos clculos. O ponto de partida para resolver este problema considerar a barra secionada em B, ou seja, como se fossem duas barras que, sob ao de T, apresentam o mesmo ngulo de toro. Assim, as duas sees se comportam como se fossem um corpo nico. E, desde que so engastadas, nas extremidades o ngulo nulo. Os ngulos de toro so os mesmos AB = BC = B. AB = (T-T') LAB / (JpAB G) = BC = T' LBC / (JpBC G) = B #A.1#. Portanto, T' LBC / (JpBC G) + T' LAB / (JpAB G) = T LAB / (JpAB G). Dividindo tudo por LAB / (JpAB G), T' LBC (JpAB G) / LAB (JpBC G) + T' = T. T' = T / [ 1 + (LBC JpAB) / (LAB JpBC) ] #B.1#. Desde que por hiptese so conhecidos T, LAB, LBC e os momentos polares JpAB e JpBC (funes dos respectivos raios), o valor de T' fica definido e o ngulo de giro B pode ser calculado conforme igualdade anterior #A.1# (se conhecido, claro, o valor do mdulo de elasticidade transversal G, que depende do material da barra). Esse um exemplo de carregamento estaticamente indeterminado ou hiperesttico de toro. As equaes fundamentais da esttica, F = 0 e M = 0, no so suficientes para definir todas as variveis. Alm delas, necessrio considerar o deslocamento.

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Resistncia dos materiais IV-10

Tenses planasSeja, por exemplo, um corpo em forma de disco conforme Figura 01. A espessura (dimenso z) pequena em relao s demais dimenses. Nessa condio, pode-se considerar que tenses normais e transversais atuantes em quaisquer partes elementares do corpo ocorrem somente no plano xy conforme A da figura. Essa situao dita tenses planas ou estado duplo de tenses.

Fig 01

Considera-se agora uma poro retangular do corpo de pequenas dimenses x e y (Figura 02). A espessura supostamente z, que a espessura (pequena) do corpo. Portanto, as reas dos lados dos eixos x e y so respectivamente x z e y z. Na situao de equilbrio esttico, a soma dos momentos em relao a um ponto qualquer nula. Seja o centro O o ponto considerado. Assim, os momentos das foras das tenses normais so nulos pois as linhas passam pelo ponto. Sobram os momentos das foras das tenses transversais. Desde que as foras correspondentes so as tenses multiplicadas pelas respectivas reas de atuao, tem-se xy y z x / 2 + ' xyy z x / 2 yx x z y / 2 'yx x z y / 2 = 0. A igualdade pode ser dividida pelo fator comum x y z / 2, resultando em xy + 'xy yx 'yx = 0. Sejam 'xy = xy + xy e 'yx = yx + yx. Assim, xy + xy + xy yx yx yx = 0. Ou xy yx = (yx xy) / 2. Numa situao limite, o lado direito dessa equao tende para zero e pode-se escrever xy = yx #A.1#.

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Fig 02

Para uma poro de seo triangular conforme Figura 03, usam-se as condies de equilbrio esttico Fx = 0 e Fy = 0. Determinam-se ento as tenses no lado BC considerando conhecidas as tenses nos eixos x e y, isto , x, y e xy (esta ltima e yx so iguais conforme resultado anterior). Chamando de S (= BC z) a rea do lado BC, a rea do lado AC S sen e a do lado AB S cos . Considera-se agora um sistema de coordenadas x'y' tal que o eixo x' perpendicular a BC. Fx' = 0 = S x S sen sen y S cos cos xy S sen cos xy S cos sen . Isolando , ocorre = x sen2 + y cos2 + xy sen cos + xy 2 sen cos .

Fig 03 A expresso anterior pode ser simplificada com as igualdades trigonomtricas: sen 2 = 2 sen cos . sen2 = (1 - cos 2) / 2. cos2 = (1 + cos 2) / 2. Ento = (y + x) / 2 + [ (y x) cos 2 ] / 2 + xy sen 2 #A.2#. Fy' = 0 = S + x S sen cos y S cos sen xy S sen sen + xy S cos cos . Usando as igualdades trigonomtricas anteriores, chega-se a = [ (y x) sen 2 ] / 2 xy cos 2 #A.3#. Portanto, as igualdades #A.2# e #A.3# permitem determinar as tenses em uma direo

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qualquer a partir das tenses conhecidas em um par de eixos ortogonais x e y.

Tenses principais no planoAs equaes #A.2# e #A.3# do tpico anterior permitem, conforme dito, determinar as tenses normal e transversal em qualquer plano, dadas as tenses normais e transversais em dois eixos ortogonais conhecidos x e y. Entretanto, em muitos problemas de Engenharia, o que se deseja saber so as tenses mximas para fins de dimensionamento do elemento. Para se obter a direo da tenso normal mxima, preciso derivar #A.2# do tpico anterior em relao a e igualar a zero: d / d = [ (y x) 2 sen 2 ] / 2 + 2 xy cos 2 = 0. Resolvendo a equao diferencial, tan 2 = 2 xy / (y x) #A.1#. Essa igualdade, por sua vez, tem duas solues, (2)1 e (2)2, que diferem 180 entre si. Portanto, 1 e 2 diferem de 90 e a dualidade de solues significa que h uma tenso mxima 1 e uma tenso mnima 2. As tenses, 1 e 2, so denominadas tenses principais e os eixos ou planos correspondentes (ngulos 1 e 2) so denominados planos principais, que, conforme visto, so ortogonais entre si. Na Figura 01 esto representados os ngulos (2)1 e (2)2. A equao #A.1# pode ser reescrita para tan 2 = xy / [ (y x) / 2 ]. Considera-se agora na mesma figura:

Fig 01 11' = xy 22' = xy O1' = (y x) / 2 O2' = (y x)/2 Por trigonometria simples, as seguintes relaes so deduzidas:

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sen (2)1 = xy / { [(y x)/2]2 + xy2 }1/2

cos (2)1 = [(y x)/2] / { [(y x)/2]2 + xy2 }1/2

sen (2)2 = xy / { [(y x)/2]2 + xy2 }1/2 cos (2)2 = [(y x)/2] / { [(y x)/2]2 + xy2 }1/2 Substituindo esses valores em #A.2# do primeiro tpico, 1,2 = (1/2) (y + x) (1/2) [ (y x)2 + 4 xy2 ]1/2 #A.2#. Se os valores so substitudos em #A.3# do mesmo tpico, 1,2 = 0 #A.3#. O resultado significa que no h tenses transversais (ou de cisalhamento) nos planos principais.

Tenses (max e min) de cisalhamento no planoDe forma similar anterior, as tenses transversais mxima e mnima podem ser obtidas pela derivao de #A.3# do primeiro tpico em relao a d/d = 2 [ (y x) cos 2 ] / 2 (2) xy sen 2 0. Ento tan (2)t = (y x) / (2 xy) #A.1#. Obs: a notao (2)t serve para no confundir com 2 da tenso normal do tpico anterior. Tambm de forma similar anterior, h duas solues (2)t1 e (2)t2 que diferem 180 entre si. Assim, t1 e t1 tm diferena de 90. Comparando #A.1# deste tpico com #A.1# do tpico anterior, nota-se que o valor absoluto de um o inverso do outro. Assim, 2 e (2)t tm diferena de 90 e, portanto, e t so separados de 45. Ou seja, o par de eixos das tenses mxima e mnima de cisalhamento est na bissetriz do ngulo reto dos planos principais (tenses normais mxima e mnima). Formulando seno e co-seno para (2)t1 e (2)t2 de maneira similar do tpico anterior e substituindo em #A.3# do primeiro tpico, chega-se a 1,2 = (1/2) [ (y x)2 + 4 xy2 ]1/2 #A.2#. O resultado indica que as tenses transversais mxima e mnima tm valores absolutos idnticos, diferindo no sinal.

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Resistncia dos materiais IV-20

Crculo de Mohr para tenses planasSo repetidas abaixo as igualdades para as tenses normais e transversais conforme primeiro tpico da pgina anterior. = (y + x) / 2 + [ (y x) cos 2 ] / 2 + xy sen 2. = [ (y x) sen 2 ] / 2 xy cos 2. Elas podem ser rearranjadas para [ (y + x) / 2 ] = [ (y x) / 2 ] cos 2 + xy sen 2. = [ (y x) / 2 ] sen 2 xy cos 2. Fazendo d = (y x) / 2 e elevando ambas ao quadrado e somando, { [ (y + x) / 2 ] }2 + 2 = d2 cos2 2 + xy2 sen2 2 + 2 d cos 2 xy sen 2 + d2 sen2 2 + xy2 cos2 2 2 d sen 2xy cos .

Portanto, { [ (x + y) / 2 ] }2 + 2 = d2 + xy2 = [ (x y) / 2 ]2 + xy2. A tenso mdia dada pela expresso m = (x + y) / 2 #A.1#. Considera-se tambm R2 = [ (x y) / 2 ]2 + xy2 #B.1#. E a equao anterior fica resumida a ( m)2 + 2 = R2 #C.1#. Onde m e R so dados pelas expresses anteriores #A.1# e #B.1#. A igualdade acima permite concluir que, num sistema de coordenadas ortogonais ( ), os valores das tenses normais e transversais esto em um crculo de raio R e centro em ( m, 0). denominado crculo de Mohr em homenagem ao engenheiro alemo Otto Mohr. A Figura 01 d exemplo de um crculo de Mohr traado a partir de um determinado conjunto de valores x, y e xy.

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Fig 01

O centro do crculo determinado pela tenso mdia. Assim, OC = m = (y + x)/2. E o raio definido conforme #B.1#. Se OI igual a y, IE igual a yx. O ponto diametralmente oposto (F) corresponde a x e xy (que igual em mdulo a yx, conforme pgina anterior). Observar a diferena de 180 que corresponde a 2, isto , o ngulo de 90 entre os eixos x e y. OA a tenso mnima 2 e OB a mxima 1. Assim, CB e CA representam os planos principais. Notar que a tenso de cisalhamento nula em B e em A, conforme pgina anterior. As direes de cisalhamentos mximo e mnimo (CH e CG) esto deslocadas de 2 = 90 ( ou = 45) dos planos principais, tambm conforme pgina anterior. O ngulo entre CB e CE (2p) representa o ngulo p entre o plano y e o principal 1.

Fig 02 Nas direes de mximo e mnimo cisalhamento (CG e CH), as tenses normais so idnticas e iguais a m. Pela simetria do crculo, pode-se notar que a soma x + y constante. Alguns casos particulares para o crculo de Mohr so exibidos na Figura 02: trao simples em (a), compresso simples em (b) e cisalhamento simples em (c).

Crculo de Mohr - ResumoEste tpico procura apresentar resumidamente os conceitos e igualdades anteriores na inteno de facilitar o uso prtico do crculo de Mohr.

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Em (a) da Figura 01, h um elemento submetido a um estado plano de tenso. O crculo de Mohr correspondente traado num sistema de coordenadas ortogonais (tenso de cisalhamento x tenso normal) com os parmetros:

Fig 01 1) Centro em (m, 0), onde m = (x + y) / 2 #A.1#, ou seja, m a tenso normal mdia. 2) Raio dado por R2 = [ (x y) / 2 ]2 + xy2 #A.2#. Portanto, o crculo de Mohr pode ser traado com as equaes acima a partir de um estado conhecido de tenses x, y e xy (lembrar que xy = yx). As tenses principais, 1 e 2, so dadas pela interseo do crculo com o eixo horizontal, conforme pontos A e B da figura. Pode-se ento escrever 1, 2 = m R #B.1#. Em (b) da Figura 01, h indicao das tenses principais, que atuam ao longo dos respectivos eixos principais xp e yp. Conforme visto em pgina anterior, so as tenses normais mxima e mnima atuantes no elemento (e no h cisalhamento nas direes principais). p o deslocamento angular, em relao aos eixos principais, do estado de tenso (a) considerado.

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Fig 02

O ponto C corresponde s tenses no eixo X do elemento (a) da figura. Pode ser facilmente determinado a partir dos valores das tenses e do crculo traado. No crculo de Mohr, os deslocamentos angulares so o dobro dos deslocamentos fsicos. Assim, o eixo Y de (a) da Figura 01, que deslocado de 90 de X, deslocado de 180 no crculo, ou seja, representado pelo ponto D. E o ngulo do eixo principal p corresponde a 2 p no crculo. Os pontos extremos na vertical (E e F) indicam as tenses mxima e mnima de cisalhamento. Desde que, no crculo, esto deslocadas de 90 em relao aos eixos principais (A e B), concluise que fisicamente esto a 45 dos eixos principais, conforme deduzido em pgina anterior. Considera-se agora a Figura 02. Das propriedades geomtricas da circunferncia, deduz-se que, se o ngulo AOC 2 p, o ngulo ABC a metade desse valor, isto , p. Ento, a direo da tenso principal pode ser graficamente determinada pela reta que passa pelos pontos B e C. Convenes: no elemento (a) da Figura 01, ocorrem tenses normais (x e y) positivas (trao). O cisalhamento tambm positivo com as direes indicadas. Notar que o deslocamento angular 2 p no crculo de Mohr ocorre em direo oposta ao deslocamento fsico p. Algumas publicaes usam conveno contrria para o cisalhamento e os deslocamentos angulares passam a ter a mesma direo.

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Resistncia dos materiais IV-30

Crculo de Mohr: exemplo numrico 01Seja o estado de tenso dado em (a) da Figura 01. Determinar o crculo de Mohr correspondente, bem como as tenses principais, a sua direo e o cisalhamento mximo. Considerar valores em kPa.

Fig 01 So conhecidos os dados conforme (a) da figura: x = 4000 kPa, y = 3000 kPa e xy = 1000 kPa. Os pontos do crculo, correspondentes s tenses dos eixos X e Y, so C(x, +xy) = C(4000, 1000). D(y, xy) = C(3000, 1000). Conforme pgina anterior, esses pontos so diametralmente opostos e, portanto, o centro O fica definido pela interseo de CD com o eixo horizontal e o crculo pode ser traado. O valor do raio pode ser obtido de forma mais precisa pela frmula dada R2 = [ (x y) / 2 ]2 + xy2 = [ (4000 3000) / 2 ]2 + 10002 1118 kPa. A tenso mdia dada por m = (x + y) / 2 = (4000 + 3000) / 2 = 3500 kPa. Portanto, o centro tem as coordenadas O(3500, 0). E as tenses principais so dadas pelo valor de em A e em B. 1 = 3500 + 1118 = 4618 kPa e 2 = 3500 1118 = 2382 kPa. O cisalhamento mximo dado pelo valor de em E, ou seja, max = 1118 kPa. A direo do eixo principal (p) indicada graficamente pela linha BC e o valor pode ser obtido por trigonometria com o ngulo 2 p em AOC. tan (2 p) = xy / (x m) = 1000 / (4000 3500) = 2. Resolvendo, p 31,7.

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Crculo de Mohr: rotao de eixosO crculo de Mohr pode ser usado para determinar o novo estado de tenses resultante de um deslocamento angular de um estado conhecido de tenses.

Fig 01

O estado de tenses em (a) da Figura 01 supostamente conhecido, isto , so definidos os eixos X e Y e os valores das tenses x, y e xy. Em (b) da mesma figura, o sistema de coordenadas original girado do ngulo , resultando em X'Y'. Deseja-se saber o novo estado de tenso, isto , 'x, 'y e 'xy. Com o uso do crculo de Mohr, esses valores podem ser obtidos de forma bastante prtica: em primeiro lugar, determinam-se os pontos C e D, correspondentes ao estado conhecido (a). Com esses pontos, o crculo fica definido e pode ser traado. Desde que, conforme j mencionado em pginas anteriores, os deslocamentos angulares do crculo de Mohr so o dobro dos reais, as tenses nas novas coordenadas ('x, 'y e 'xy) so dadas pela reta C'D', girada de 2 em relao a CD. Notar que h perfeita coerncia com os conceitos j informados: se X'Y' so os eixos principais, a reta C'D' coincide com AB e as tenses so as principais. Observar tambm que os deslocamentos angulares no crculo so opostos aos reais porque, conforme j visto, usada a conveno de tenses e positivas no sentido de (a) da figura.

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Resistncia dos materiais IV-40Tenses no espaoNas pginas anteriores foram dados os princpios bsicos da anlise de tenses em um plano. Na prtica, os corpos so sempre tridimensionais, mas em vrios casos as tenses mais importantes atuam em determinado plano (ou mesmo em determinado eixo) e as demais podem ser desprezadas. Mas pode haver situaes em que as tenses nos trs eixos so relevantes e no devem ser desconsideradas. Para a anlise, considera-se um volume em forma de paraleleppedo do corpo a estudar. Ver Figura 01 deste tpico. Conforme pode ser deduzido do estudo da pgina anterior, cada face submetida a uma tenso normal e a uma tenso transversal.

Fig 01

Uma superfcie genrica (no paralela a nenhum eixo) pode ser dada pelo plano ABC que divide o paraleleppedo pela metade. Portanto, o objeto geomtrico do estudo o tetraedro OABC conforme Figura 02 (no est na mesma proporo da figura anterior). Em cada face perpendicular a um eixo atuam as tenses normais e transversais indicadas. No centro de gravidade GABC do plano ABC atua uma tenso (vetor. Usada a conveno negrito) cujos componentes so x, y e z conforme canto superior esquerdo da figura. E pode-se escrever a soma vetorial = x + y + z #A.1#. Sejam ux, uy e uz os vetores unitrios para os respectivos eixos de coordenadas. Assim, = x ux + y uy + z uz #A.2#. Seja uN um vetor unitrio normal superfcie ABC. Em termos de componentes uN = uNx + uNy + uNz = cos x ux + cos y uy + cos z uz #A.3#. Onde x, y, z so os ngulos da normal com os eixos de coordenadas. Vale tambm observar que a condio de equilbrio M = 0 permite deduzir as igualdades em pares das tenses transversais:

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Fig 02 xy = yx #B.1#. xz = zx #B.2#. yz = zy #B.3#. O equilbrio esttico permite concluir: x = (x uNx + xy uNy + xz uNz) #C.1#. y = (yx uNx + y uNy + yz uNz) #C.2#. z = (zx uNx + zy uNy + z uNz) #C.3#. Em termos escalares, considerando as igualdades #C.1# a #C.3# e #A.3#, pode-se representar os componentes na forma de produto de matrizes. Ver Figura 03.

x y zFig 03

=

x xy xz yx y yz zx zy z

cos x cos y cos z

#D.1#

A segunda matriz (central) denominada matriz de tenses ou tensor dos esforos no espao. E o mdulo da tenso , normal superfcie ABC, dado pelo produto escalar. = uN #E.1#. Para o componente transversal , o mdulo dado por: 2 = 2 #E.2#.

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Resistncia dos materiais IV-50

Tenses principaisNo tpico anterior, foram vistas relaes entre tenses em um plano qualquer e tenses em planos do sistema de coordenadas. Mas isso no tudo. Em geral, o que se deseja saber algo similar situao de tenses planas, ou seja, os valores mximos que ocorrem. No caso de tenses no plano, h dois eixos principais nos quais s atuam tenses normais. Deduzindo para as tenses no espao, lgico supor (e realmente ocorre) que existem trs planos principais, ortogonais entre si, sobre os quais s atuam tenses normais. Ou seja, as tenses de cisalhamento so nulas nesses planos. As tenses normais atuantes nesses planos so ditas tenses principais e so designadas por 1, 2 e 3. Uma das trs tenses principais a mxima que ocorre e outra, a mnima. Para isso, adotada a conveno.

Fig 01 1 2 3 #A.1#. Tambm de forma similar ao estado duplo, as tenses extremas de cisalhamento ocorrem nos planos bissetores dos principais. So demoninadas tenses principais de cisalhamento e so dadas por: 1 = (2 3) / 2 #B.1#. 2 = (1 3) / 2 #B.2#. 3 = (1 2) / 2 #B.3#. A determinao das tenses principais matematicamente mais complexa do que a do estado duplo. Envolve conceitos de autovalores e autovetores. Aqui apresentado apenas o resultado na forma de solues para a equao abaixo. 3 A 2 + B C = 0 #C.1#.

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Essa equao tem 3 solues, correspondentes s tenses principais mencionadas. Os coeficientes A, B e C so calculados por: A = x + y + z #D.1#. B = x y + y z + x z 2xy - 2yz 2xz #D.2#. C = x y z + 2 xy yz xz x 2yz y 2xz z 2xy #D.3#. Demonstra-se que os coeficientes A, B e C so constantes em qualquer direo para a mesma matriz de tenses. Assim, as igualdades anteriores devem valer tambm para as tenses principais, caso em que so nulas as de cisalhamento conforme j dito. Portanto, 1 + 2 + 3 = A #E.1#. 1 2 + 2 3 + 1 3 = B #E.2#. 1 2 3 = C #E.3#.

Crculo de Mohr para tenses no espaoEm pgina anterior foi demonstrado que o estado plano de tenses pode ser graficamente representado pelo crculo de Mohr.

Fig 01

Na Figura 01, suposto que as faces do volume coincidem com os planos principais. Portanto, cada uma est sujeita somente s tenses principais 1, 2 e 3. Considera-se um eixo fixo que passa por 3, em torno do qual o cubo gira. Nessa situao, as tenses atuantes nas faces de 1 e 2 se comportam como um estado duplo e podem ser representadas pelo crculo de Mohr de centro C3 (Figura 02). A tenso 3, perpendicular ao plano considerado, no afeta o comportamento. Usando o mesmo raciocnio para os demais eixos, chega-se ao conjunto de crculos da Figura 02.

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Fig 02 possvel demonstrar que, para rotaes em torno de outros eixos, os pontos de tenses se localizam na rea cinza da figura. As tenses mximas de cisalhamento indicadas (max1, max2 e max3) so as mximas para rotaes em torno de cada eixo perpendicular a um plano principal conforme j comentado. As coordenadas dos centros so calculadas pelas expresses a seguir. C1[ (2+3)/2, 0 ] #A.1#. C2[ (1+3)/2, 0 ] #A.2#. C3[ (1+2)/2, 0 ] #A.3#. E os valores extremos so: max = 1, min = 3 e max = max2.

Alguns casos particulares de tenses no espaoA Figura 01 d exemplos do crculo de Mohr para tenses no espao em alguns casos Pgina 53 de 173

particulares. Em (a), todas as tenses principais tm o mesmo valor, isto , 1 = 2 = 3, e as tenses de cisalhamento so nulas, isto , 1 = 2 = 3 = 0.

Fig 01 Essa situao s pode ocorrer com um fluido submetido a uma determinada presso. Chamado, portanto, de condio hidrosttica. Em (b) e em (c), duas das trs tenses principais so iguais e ocorre uma condio semihidrosttica. Em (d) e em (e), as duas tenses principais nulas, representando um estado simples de tenso (trao ou compresso). Em (f) tem-se 2 = 0 e 1 = 3, representando um estado de cisalhamento simples, similar condio vista para tenses planas.

Exemplo numrico para tenses no espaoSeja um material sujeito s tenses nas direes das coordenadas de referncia XYZ, com valores numricos dados pela Figura 01. Deseja-se saber as tenses principais, normais e de cisalhamento.

Fig 01 Conforme convenes da pgina anterior, os valores com sinais so x = 120 MPa y = 20 MPa

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z = 70 MPa xy = yx = 40 MPa yz = zy = 50 MPa xz = zx = 25 MPa Segundo igualdade vista em pgina anterior, as tenses normais so as solues da seguinte equao do terceiro grau 3 A 2 + B C = 0. E as frmulas para os coeficiente A, B e C so: A = x + y + z = 120 + (20) + 70 = 170 MPa. B = x y + y z + x z 2xy 2yz 2xz. B = 120 (20) + (20) 70 + 120 70 (40)2 502 252. B = 2400 1400 + 8400 1600 2500 625 = 125 MPa2. C = x y z + 2 xy yz xz x 2yz y 2xz z 2xy. C = 120 (20) 70 + 2 (40) 50 25 120 502 (20) 252 70 (40)2. C = 168000 + 100000 300000 + 12500 112000 = 478750 MPa3. E a equao anterior fica 3 170 2 125 + 478750 = 0.

Fig 02

As solues para essa equao podem ser vistas graficamente na Figura 02 a cima. Em outras palavras, so os valores de que fazem a funo F() = 3 170 2 125 + 478750 ter valor igual a zero. Para determinar os valores numricos, pode-se empregar um mtodo de aproximaes ucessivas que encontre uma das solues.

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Aqui usado o mtodo da bisseo (ou bisseco). simples, embora a convergncia no seja to rpida porque um processo linear. A Figura 03 abaixo d o princpio para uma funo genrica F(x).

Fig 03 Escolhem-se dois valores arbitrrios x1 e x2 tais que F(x1) F(x2) < 0. Assim, pelo menos uma soluo, F(x) = 0, est entre x1 e x2. Se o produto F(x1) F(xm) positivo, o prximo valor de x1 xm e x2 permanece. Caso contrrio, o prximo valor de x2 xm e x1 permanece. Continuando o procedimento, os valores mdios se aproximam da soluo conforme indicado na figura (xm, xm', etc). Para determinar o valor exato, precisar-se-ia da impossibilidade prtica de infinitos passos. Num procedimento real, pode-se estabelecer um intervalo mnimo delta = x2 x1, executando as iteraes at esse valor. E um cdigo em Visual Basic para o mtodo com a equao dada para as tenses principais seria:

Function func_x(x) func_x = x ^ 3 - 170 * x ^ 2 - 125 * x + 478750 End Function Sub bissec() Dim x1, x2, xm, delta delta = 0.0001 x1 = -100 x2 = 50 Do While (x2 - x1) > delta xm = (x2 + x1) / 2 If ((func_x(x1) * func_x(xm)) > 0) Then x1 = xm Else x2 = xm End If Loop Worksheets("Plan1").Cells(1, 1).Value = xm End SubEsse cdigo , na realidade, uma macro em uma planilha Excel que considera: delta = 0.0001, x1 = 100, x2 = 50. O resultado dado na clula A1 da planilha "Plan1": A1 47,23 MPa. Supe-se que esse o valor de 3. Pode-se considerar 1 ou 2. Neste caso, precisa-se apenas permutar os valores finais de forma que 1 2 3, satisfazendo conveno adotada. Conforme relaes da pgina anterior (substituindo o valor de 3 e das constantes),

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1 + 2 47,23 = 170. 1 2 + 2 (47,23) + 1 (47,23) = 125. 1 2 (47,23) = 478750. Combinando a 1 e a 2 equao, 1 + 478750/(47,23 1) = 217,23. Ou 47,23 12 + 478750 = 10259,8 1. Ou 47,23 12 10259,8 1 + 478750 = 0. Essa uma equao comum do segundo grau e as duas solues devem ser entendidas como 1 e 2. Resolvendo e considerando a soluo 3 anterior ( 47,2), chega-se aos resultados 1 149,4 MPa, 2 67,9 MPa e 3 47,2 MPa.

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Resistncia dos materiais IV-60

Alguns casos particulares de tenses no espaoA Figura 01 d exemplos do crculo de Mohr para tenses no espao em alguns casos particulares. Em (a), todas as tenses principais tm o mesmo valor, isto , 1 = 2 = 3, e as tenses de cisalhamento so nulas, isto , 1 = 2 = 3 = 0.

Fig 01 Essa situao s pode ocorrer com um fluido submetido a uma determinada presso. Chamado, portanto, de condio hidrosttica. Em (b) e em (c), duas das trs tenses principais so iguais e ocorre uma condio semihidrosttica. Em (d) e em (e), as duas tenses principais nulas, representando um estado simples de tenso (trao ou compresso). Em (f) tem-se 2 = 0 e 1 = 3, representando um estado de cisalhamento simples, similar condio vista para tenses planas.

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Exemplo numrico para tenses no espaoSeja um material sujeito s tenses nas direes das coordenadas de referncia XYZ, com valores numricos dados pela Figura 01. Deseja-se saber as tenses principais, normais e de cisalhamento.

Fig 01

Conforme convenes da pgina anterior, os valores com sinais so x = 120 MPa y = 20 MPa z = 70 MPa xy = yx = 40 MPa yz = zy = 50 MPa xz = zx = 25 MPa Segundo igualdade vista em pgina anterior, as tenses normais so as solues da seguinte quao do terceiro grau 3 A 2 + B C = 0. E as frmulas para os coeficiente A, B e C so: A = x + y + z = 120 + (20) + 70 = 170 MPa. B = x y + y z + x z 2xy 2yz 2xz. B = 120 (20) + (20) 70 + 120 70 (40)2 502 252. B = 2400 1400 + 8400 1600 2500 625 = 125 MPa2. C = x y z + 2 xy yz xz x 2yz y 2xz z 2xy.

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C C

= 120 (20) 70 = 168000 +

+ 2 (40) 50 25 120 502 (20) 252 70 (40)2. 100000 300000 + 12500 112000 = 478750 MPa3.

E a equao anterior fica 3 170 2 125 + 478750 = 0.

Fig 02 As solues para essa equao podem ser vistas graficamente na Figura 02 ao lado. Em outras palavras, so os valores de que fazem a funo F() = 3 170 2 125 + 478750 ter valor igual a zero. Para determinar os valores numricos, pode-se empregar um mtodo de aproximaes sucessivas que encontre uma das solues. Aqui usado o mtodo da bisseo (ou bisseco). simples, embora a convergncia no seja to rpida porque um processo linear. A Figura 03 abaixo d o princpio para uma funo genrica F(x).

Fig 03 Escolhem-se dois valores arbitrrios x1 e x2 tais que F(x1) F(x2) < 0. Assim, pelo menos uma soluo, F(x) = 0, est entre x1 e x2. Se o produto F(x1) F(xm) positivo, o prximo valor de x1 xm e x2 permanece. Caso contrrio, o prximo valor de x2 xm e x1 permanece. Continuando o procedimento, os valores mdios se aproximam da soluo conforme indicado na figura (xm, xm', etc). Para determinar o valor exato, precisar-se-ia da impossibilidade prtica de infinitos passos. Num procedimento real, pode-se estabelecer um intervalo mnimo delta = x2 x1, executando as iteraes at esse valor. E um cdigo em Visual Basic para o mtodo com a equao dada para as tenses principais seria:

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Function func_x(x) func_x = x ^ 3 - 170 * x ^ 2 - 125 * x + 478750 End Function Sub bissec() Dim x1, x2, xm, delta delta = 0.0001 x1 = -100 x2 = 50 Do While (x2 - x1) > delta xm = (x2 + x1) / 2 If ((func_x(x1) * func_x(xm)) > 0) Then x1 = xm Else x2 = xm End If Loop Worksheets("Plan1").Cells(1, 1).Value = xm End SubEsse cdigo , na realidade, uma macro em uma planilha Excel que considera: delta = 0.0001, x1 = 100, x2 = 50. O resultado dado na clula A1 da planilha "Plan1": A1 47,23 MPa. Supe-se que esse o valor de 3. Pode-se considerar 1 ou 2. Neste caso, precisa-se apenas permutar os valores finais de forma que 1 2 3, satisfazendo conveno adotada. Conforme relaes da pgina anterior (substituindo o valor de 3 e das constantes), 1 + 2 47,23 = 170. 1 2 + 2 (47,23) + 1 (47,23) = 125. 1 2 (47,23) = 478750. Combinando a 1 e a 2 equao, 1 + 478750/(47,23 1) = 217,23. Ou 47,23 12 + 478750 = 10259,8 1. Ou 47,23 12 10259,8 1 + 478750 = 0. Essa uma equao comum do segundo grau e as duas solues devem ser entendidas como 1 e 2. Resolvendo e considerando a soluo 3 anterior ( 47,2), chega-se aos resultados 1 149,4 MPa, 2 67,9 MPa e 3 47,2 MPa.

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Resistncia dos materiais V-10

Fundamentos da flexoFlexo um esforo comum, conforme mencionado na primeira pgina desta srie. tambm um dos mais desfavorveis, mas no pode ser evitado em muitos casos. Elementos sujeitos flexo podem ser vistos em edificaes, estruturas, mquinas e em muitos outros lugares. Na Figura 01 (a), uma barra de seo transversal retangular sofre esforos de flexo por foras atuantes em um plano que passa por um dos eixos centrais de inrcia da seo. Essa situao denominada flexo simples. Se o plano no passa por um eixo central, como em (b) da mesma figura, ocorre a flexo oblqua.

Fig 01

A flexo simples acontece (ou assim pode ser considerada) em muitos casos prticos e, evidentemente, a de formulao mais fcil. Por isso, ela ser o objeto principal desta pgina. A Figura 02 (a) representa uma pequena parte da vista lateral de uma barra de seo transversal genrica conforme (b), submetida flexo provocada por um momento M. A geometria da deformao sugere (e realmente acontece) que uma parte (a superior neste caso) da seo transversal est sob esforos normais de compresso e outra parte (inferior), de trao. A linha que divide essas duas partes denominada linha neutra (LN) porque, naturalmente, as tenses ao longo da mesma so nulas. Tambm pode ser constatado experimentalmente que as tenses em pontos de linhas paralelas neutra so iguais e variam linearmente com a distncia vertical y. Assim, no grfico da Figura 02 (c), as tenses variam de um mximo de compresso 1 na extremidade superior da seo transversal (distncia e1 da linha neutra) at um mximo de trao 2 na extremidade inferior (distncia e2 da linha neutra). Com a linearidade mencionada, a tenso em um ponto situado a uma distncia genrica y da linha neutra pode ser dada por: = (1 / e1) y #A.1#.

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Aplicando a primeira condio de equilbrio esttico (Fx=0), tem-se

Fig 02 Fx = dS = (1/e1) y dS = 0. (1/e1) y dS = 0. O termo y dS o momento esttico da superfcie em relao a LN. Se h flexo, 1/e1 no nulo e, assim, o momento esttico y dS deve ser zero. Conclui-se ento que a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seo transversal. Por enquanto, no ser considerada a segunda condio de equilbrio esttico (Fy=0), uma vez que isso implica a existncia de tenses de cisalhamento, que realmente ocorrem e sero vistas posteriormente. Para a terceira condio de equilbrio (Mi=0), deve-se ter a soma dos momentos internos igual ao momento M aplicado externamente: M = y dS = y (1/e1) y dS = (1/e1) y2 dS. Mas o fator y2 dS o momento de inrcia J em relao linha neutra. Portanto, 1 J / e1 = M. Dessa igualdade pode-se isolar o valor de 1 e combinar com a igualdade anterior #A.1#. Usa-se procedimento similar para 2, resultando nas equaes bsicas da flexo simples: 1 = M e1 / J #B.1#. 2 = M e2 / J #B.2#. Ou seja, as tenses mximas de trao e compresso esto localizadas nas extremidades da seo transversal e so dadas em funo do momento de flexo aplicado, das distncias dessas extremidades em relao linha neutra e do momento de inrcia em relao mesma linha. Notar que, no caso da Figura 02, 1 compresso e 2, trao. Mas ser o contrrio se o momento externo for invertido. Considerando a definio de momento ou mdulo de resistncia W, as igualdades anteriores podem ser escritas da forma: 1 = M / W1 #C.1#. Onde W1 = J / e1. 2 = M / W2 #C.2#. Onde W2 = J / e2.

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O dimensionamento feito pela comparao com as tenses admissveis: 1 1adm #D.1#. 2 2adm #D.2#. Onde 1adm e 2adm so as tenses admissveis para trao e compresso ou vice-versa conforme j comentado. Se a seo transversal simtrica em relao linha neutra (LN), e1 = e2 = e. Por conseqncia, W1 = W1 = W. E as igualdades anteriores, #C.1# e #C.2#, ficam reduzidas a uma = 1 = 2 = M / W #E.1#. Nesse caso, a tenso mxima de trao igual mxima de compresso. Das relaes acima, conclui-se que o conhecimento do momento de inrcia e/ou mdulos de resistncia da seo transversal fundamental no clculo da flexo. Frmulas para as geometrias mais comuns so dadas em pgina posterior.

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Resistncia dos materiais V-20

Foras e momentos internos em vigasVigas horizontais carregadas so elementos comuns na prtica e o dimensionamento exige a determinao das tenses internas em funo da(s) carga(s) aplicada(s). Seja, conforme Figura 01 (a), uma viga horizontal com um carregamento genrico F(x) ao longo do seu comprimento. A simples deduo lgica permite concluir que esta viga est internamente submetida a esforos de cisalhamento e flexo.

Fig 01

Considerando um corte transversal hipottico em um local qualquer A, possvel separar os esforos distintos: cisalhamento conforme (b) da figura e momento de flexo conforme (c) da mesma figura. Algumas referncias usam os termos esforo cortante para o cisalhamento e momento fletor para o momento de flexo. Tambm pode ser encontrada a expresso fora transversal para o cisalhamento. Em geral adotam-se as convenes de sinais como em (b) e (c), isto , cisalhamento positivo tende a girar cada parte no sentido horrio e momento positivo tende a tracionar a parte inferior e comprimir a parte superior da viga (obs: os sinais de cisalhamento e momento da figura no tm relao com o carregamento indicado).

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Diagramas de esforos em vigasA Figura 01 (a) d exemplo de um dos carregamentos mais simples: uma viga apoiada em dois cutelos com uma nica carga vertical F1. O apoio sobre cutelos garante que no h momentos nas extremidades e que no h foras longitudinais se o carregamento vertical, pois o cutelo direito est sobre rolos. Considerando a origem das coordenadas x = 0, um problema tpico consiste em determinar os esforos ao longo da viga conhecidos os valores de F1, o seu ponto de aplicao x1 e o comprimento da viga x2. O esquema das foras atuantes na viga dado em (b) da figura. F0 e F2 so as reaes dos apoios. Notar que uma viga estaticamente determinada, isto , todas as foras podem ser calculadas pela aplicao das condies de equilbrio esttico (soma das foras nulas e tambm dos momentos). De Fy = 0, ocorre F1 = F0 F2. De M = 0 (em relao ao ponto 0 por exemplo), F1 x1 = F2 x2. A condio Fx = 0 no se aplica por no existir fora nesse sentido.

Fig 01 Portanto, F2 = F1 x1 / x2.

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F0 = F1 F2 = F1 + F1 x1 / x2. Ou F0 = F1 (x2 x1) / x2. Considera-se agora um trecho genrico de 0 a um ponto x, esquerda de 1, conforme (c) da igura. Aplicando a condio de equilbrio Fy = 0, em mdulo, Fc = F0. E o cisalhamento interno ositivo conforme critrio do tpico anterior. Assim, do ponto 0 at 1, Fc = F0. fcil deduzir que do ponto 1 ao ponto 2 vale Fc = F0 + F1 = F2. Novamente se considera o ponto x esquerda do ponto 1 conforme figura. Aplicando a condio M = 0 em relao a x, M = x F0 (positivo conforme critrio do tpico anterior). Entre os pontos 1 e 2, M = x F0 (x x1) F1. Substituindo os valores de F0 e F1 conforme j calculado, Entre 0 e 1: M = F1 (x2 x1) x / x2. Portanto, Para x = 0, M = 0. Para x = x1, M = F1 (x2 x1) x1 / x2. Entre 1 e 2: M = x F0 (x x1) F1 = x (F0 F1) + x1 F1. Mas F0 F1 = F2. Assim, M = x F1 x1 / x2 + x1 F1 = F1 (x1 x1 x / x2 ) = F1 x1 (1 x / x2 ). Portanto, Para x = x2, M = 0. Para x = x1, M = F1 x1 (1 x1 / x2) = F1 x1 (x2 x1) / x2 . Notar que igual ao valor do trecho nterior. E o grfico conforme (e) da figura. E os valores mximos so dados por: Fc_max = max (F0, F2) com F0 = F1 (x2 x1) / x2 e F2 = F1 x1 / x2. Mmax = F1 (x2 x1) x1 / x2.

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Resistncia dos materiais V-30

TabelaObservaes: a) Os valores so dados em relao a um eixo de referncia (x e/ou y) coincidente com a linha neutra da seo. Naturalmente, nos casos de sees circulares, o valor independe da orientao do eixo. b) Em alguns casos o valor do momento de inrcia dado em funo das distncias acima ou abaixo da linha neutra (e1, e2) e seus valores so dados no lugar do momento de resistncia W. Mas este ltimo pode ser calculado pela simples relao W = J / e. c) Reafirmando condies da pgina inicial do site, os melhores cuidados foram procurados na elaborao desta tabela. Entretanto, no h quaisquer garantias e/ou responsabilidades pelo seu uso. Dados para aplicaes crticas devem sempre ser verificados em mais de uma fonte. Seo Nome/aspecto J W

Circular cheia (incio)

J = D4 / 64 ou J D4 / 20

W = D3 / 32 ou W D3 / 10

Tubo (incio)

J = (D4 - d4) / 64

W = (D4 - d4) / (32 D)

J = t r3 [1 + (t/2r)2] Tubo de parede fina (incio) Onde r = D/2 (raio mdio). Ou J t r3

W = J / (r + t/2) Onde r = D/2 (raio mdio). Ou W t r2

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Elipse cheia (incio)

Jx = a3 b / 4 Jy = a b 3 / 4

Wx = a2 b / 4 Wy = a b2 / 4

Tubo elptico (incio)

Jx = (a3b - a'3b') / 4

Wx = J x / a

Tubo elptico de parede fina (incio)

Jx a2 (a + 3b) t / 4 Wx a (a + 3b) t / 4

Semicrculo (incio)

Jx 0,00686 D4

Wx 0,0238 D3 Com e 0,2878 D

Retngulo (incio)

Jx = b a3 / 12 Jy = a b3 / 12

Wx = b a2 / 6 Wy = a b 2 / 6

Trapzio (incio)

Jx = h3 (a2 + 4ab + b2) Wx = h2 (a2 + 4ab + b2) / / 36 (a +b) 12 (2a + b) Com e = h (2a + b) / [3 (a + b)]

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Perfil T aba horizontal (incio)

Jx = (Be23 - bh3 + ae13) /3

e2 = (aH2 + bd2) / 2 (aH + bd) e1 = H - e2

Idem Perfil L (incio)

Idem

Idem Perfil U (incio)

Idem

Tubo retangular (incio)

Jx = (BH3 - bh3) / 12

Wx = (BH3 - bh3) / (6 H)

Perfil I (incio)

Idem

Idem

Perfil (incio)

Idem

Idem

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Perfil I vazado (incio)

Jx = B (H3 - h3) / 12 Wx = B (H3 - h3)/(6 H) + f (h3 - g3) / 12 + f (h3 - g3) / (6 H)

Perfil C vazado (incio)

Idem

Idem

Perfil H (incio)

Jx = (BH3 + bh3) / 12

Wx = (BH3 + bh3) / (6 H)

Idem Perfil em cruz (incio)

Idem

Idem Perfil T aba vertical (incio)

Idem

Perfil I abas desiguais em largura (incio)

Jx=(Be23-B1h3+be13b1h13) / 3

e2 = [aH2 + B1d2 + b1d1 (2H - d1)] / 2 (aH + B1d + b1d1) e1 = H - e2

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Resistncia dos materiais V-40

Viga apoiada com vrias cargas concentradasEm pgina anterior, foi visto exemplo do diagrama para viga apoiada com uma carga concentrada. Isso pode ser considerado caso particular de uma situao mais genrica, ou seja, viga com mais de uma carga concentrada. A Figura 01 (a) deste tpico d um exemplo para trs foras F1, F2 e F3, supostamente conhecidas, bem como os respectivos pontos de aplicao (x1, x3 e x3) e o comprimento total x4. As foras F0 e F4 so as reaes dos apoios. Da condio de equilbrio Fy = 0, ocorre F0 + F4 = F1 + F2 + F3. Da condio M = 0 (em relao a 0 por exemplo), F4x4 = F1x1 + F2x2 + F3x3. Portanto, F4 = (F1x1 + F2x2 + F3x3) / x4. F0 = F1 + F2 + F3 F4. Ou seja, F0 e F4 so formulados em funo de parmetros conhecidos.

Fig 01 Na figura 01 (b), uma parte da viga, de comprimento menor que x1. Pela condio de equilbrio dada pela soma das foras verticais igual a zero, o cisalhamento igual reao do apoio esquerdo, isto : Fc = F0. Sendo F0 calculado conforme igualdade anterior. Ver grfico em (c). Para o trecho entre 1 e 2, o cisalhamento sofre a contribuio de F1, atuante em sentido contrrio. Assim, Fc = F0 F1.

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De forma anloga, pode-se verificar que entre 2 e 3 vale Fc = F0 F1 F2. E, para o trecho entre 3 e 4, h a relao: Fc = F0 F1 F2 F3. O sentido do cisalhamento comea positivo, de acordo com critrios j vistos. Para os momentos de flexo, entre 0 e 1, ocorre M = F0 x. E para o trecho entre 1 e 2, M = F0 x F1 (x x1) = (F0 F1) x + F1x1. Para a parte entre 2 e 3: M = F0 x F1 (x x1) F2 (x x2) = (F0 F1 F2) x + F1x1 + F2x2. Para o trecho 3-4, pode-se fazer a analogia direta: M = (F0 F1 F2 F3) x + F1x1 + F2x2 + F3x3. E o grfico algo parecido com a Figura 01 (d). Para a ltima igualdade, se feito x = x4, tem-se M = (F0 F1 F2 F3) x4 + F1x1 + F2x2 + F3x3. Mas (F0 F1 F2 F3) = F4 conforme j visto e F4x4 = F1x1 + F2x2 + F3x3. Ou M = F4 x4 + F4 x4 = 0, que um resultado esperado, pois no pode haver momento em extremidades apoiadas em cutelos. Este exemplo foi dado para 3 foras, mas pode-se notar que facilmente adaptvel para qualquer nmero delas.

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Viga apoiada com carga uniformemente distribudaNos exemplos vistos at aqui, a funo matemtica das foras aplicadas em razo da posio F = f(x) uma funo discreta, isto , o seu valor s diferente de zero em determinados pontos. Um carregamento distribudo se as foras atuam em todos os pontos no trecho considerado. Nesse caso, o valor especificado em termos de fora por unidade de comprimento q (newton por metro, por exemplo). E o carregamento dito uniformemente distribudo se o valor de q constante no trecho considerado. No carregamento da Figura 01 (a), uma carga uniformemente distribuda q atua em toda a extenso da viga. Exemplo comum para isso o peso prprio da viga.

Fig 01 A fora equivalente de uma carga uniformemente distribuda igual ao produto do seu valor q pelo comprimento considerado, com atuao no ponto mdio do mesmo. Portanto, a fora no total da viga q x1, atuando em x1/2. A condio de equilbrio Fy = 0 e a simetria permitem deduzir as reaes dos apoios: F0 = F1 = q x1 / 2. Numa parte genrica de comprimento x conforme (b) da figura, a condio Fy = 0 determina o cisalhamento: Fc = F0 q x. Ou Fc = q x1 / 2 q x. Portanto, uma reta com valor F0 para x=0 e F0 para x = x1. Para os momentos, considerando M = 0 para o ponto x, tem-se: M = F0 x q x x / 2 = (q/2) x2 + F0 x.

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Isso a equao de uma parbola e pode ser visto que tem valores nulos nos extremos (x = 0 e x = x1). E o grfico tem a forma dada na Figura 01 (d). Notar que as formulaes para o cisalhamento e para o momento so contnuas porque a fora aplicada tem atuao tambm contnua. A simplicidade do caso permite deduzir que o momento mximo se encontra no ponto mdio. Formalmente, pode ser encontrado com a hiptese da derivada do momento em relao a x igual a zero e posterior soluo da equao diferencial: dM/dx = (q/2) 2 x + F0 = 0. Ou q x = q x1 / 2. Portanto, x = x1 / 2.

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Resistncia dos materiais V-50

Viga engastada com uma carga na extremidadeEste um exemplo que pode ocorrer em vrias situaes prticas: uma viga engastada em uma extremidade suporta uma carga vertical na outra, conforme (a) da Figura 01. Tambm denominada viga em balano.

Fig 01 Considera-se apoio o engaste na coordenada x=0. De Fy = 0, ocorre F0 = F1 (em mdulo). De M = 0 (em relao a 0 por exemplo), tem-se M0 = F1 x1 (tambm em mdulo). Notar que h necessariamente um momento no apoio, pois no h outra fora para compensar a ao de F1. Analisando uma parte de comprimento x conforme (b) da figura, para o cisalhamento ocorre Fc = F0 = F1 = constante. E o sinal positivo, de acordo com critrios j informados.

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Para o momento, M = M0 Fc x ou M = F1 x1 F1 x = F1 (x1 x). E deve ser negativo de acordo com os critrios mencionados. Portanto M = F1 (x1 x). A equao do momento uma reta com valor absoluto mximo igual a F1 x1 para x = 0.

Viga engastada com carga distribudaEste problema similar ao do tpico anterior, diferindo no carregamento, que distribudo. A sua fora equivalente q x1. Assim, de Fy = 0, tem-se em mdulo:

Fig 01

F0 = q x1. De M = 0 (em relao a 0) e considerando que a fora equivalente atua em x1/2, tambm em mdulo, M0 = q x1 x1 / 2 = q x12 / 2. De acordo com o trecho genrico em (b) da figura, o cisalhamento dado por: Fc = F0 q x = q x1 q x = q (x1 x). uma reta de valor q x1 em x = 0 e 0 em x = x1. De M = 0, em (b) da figura e em relao a 0, deduz-se a variao do momento: M = M0 q x x / 2 = q x12 / 2 q x2 / 2. Mas deve ser negativo conforme conveno adotada. Assim,

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M = q x2 / 2 q x12 / 2 = (q / 2) (x2 x12). Para x = 0, em mdulo vale M = q x12 / 2, que o seu valor mximo.

Viga apoiada com momento concentradoUm esforo de toro tambm pode ser visto como um carregamento. Veja exemplo na Figura 01 (a). A posio do apoio esquerdo foi invertida para proporcionar a correta reao.

Fig 01 De Fy = 0, nota-se que as reaes em cada apoio so iguais em mdulo e de sinais invertidos: F0 + F2 = 0 ou F0 = F2. De M = 0 (em relao a 2) tem-se em mdulo: F0 x2 = M1 ou F0 = M1 / x2. De acordo com a poro genrica em (b) da figura, ocorre para o cisalhamento: Fc = F0 = M1 / x2 = constante (em mdulo). De acordo com as convenes estabelecidas, o cisalhamento deve ser negativo conforme indicado no grfico. Considerando a mesma parte genrica (b), o momento de flexo entre os pontos 0 e 1 : M = F0 x = (M1 / x2) x. E o sinal deve ser positivo conforme convenes. Entre os pontos 1 e 2 precisa-se considerar a ao do momento externo M1:

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M = M1 (M1 / x2) x = M1 (1 x / x2). E o sinal deve ser negativo pois, nessa parte, as fibras inferiores da barra so tracionadas. O grfico, conforme Figura 01 (b), mostra que os maiores momentos esto no ponto de aplicao do momento externo (x1). Portanto, basta verificar, entre as duas igualdades anteriores, a de maior valor absoluto nesse ponto.

Resistncia dos materiais V-60

Aspectos tericos sobre carregamentos de vigasEm pginas anteriores foram vistos alguns exemplos de diagramas de esforos transversais e momentos de flexo em vigas horizontais, com desenvolvimentos especficos para cada caso. Neste tpico apresentada uma formulao genrica, que pode no ser diretamente aplicvel no caso de cargas discretas, mas permite chegar a algumas concluses importantes. A Figura 01 mostra uma viga sob ao de um carregamento distribudo genrico, isto , no uniforme, dado pela funo q(x). As foras A e B so as reaes dos apoios. Desde q(x) a fora por unidade de comprimento, pode-se concluir que, em uma rea infinitesimal de posio u e largura du, a fora atuante q(u) du, isto , a rea da poro de superfcie da figura.

Fig 01 Em um determinado ponto x, o esforo de cisalhamento Fc igual soma das foras atuantes esquerda do mesmo (que, naturalmente, deve ser igual soma das foras direita para preservar o equilbrio esttico). Assim, pode-se escrever, Fc(x) = u=0,u=x q(u) du + A #A.1#. Notar que essa igualdade pode ser considerada decorrente da definio:

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dFc(x) / dx = q(x) #B.1#. E o valor A pode ser visto como a constante de integrao. E o momento de flexo para um local genrico x igual soma dos produtos das foras esquerda pelas distncias a esse ponto (que, de forma anloga anterior, deve ser igual soma da direita para manter o equilbrio esttico). Portanto, M(x) = u=0,u=x (x u) q(u) du + A x. Se se deseja diferenciar M(x) em relao a x, deve-se usar a regra geral para diferenciao de integrais d[ a,b f(x,t) dt ] / dx = a,b { [f(x,t)] / x } dt. Aplicando na equao anterior, dM(x) / dx = u=0,u=x q(u) du + A. Esse resultado o esforo transversal dado em #A.1#. Portanto, dM(x) / dx = Fc(x) #C.1#. Essa igualdade estabelece uma relao matemtica entre o momento de flexo e o esforo de cisalhamento. Lembrar que, se a derivada de uma funo nula, ela est em um ponto de valor mximo ou mnimo. Isso pode ser claramente observado nos diagramas das pginas anteriores, inclusive para alguns casos de foras discretas de carregamento.

Distribuio de tenses transversais na flexoAs tenses de cisalhamento associadas flexo no se distribuem de maneira uniforme pela seo transversal da barra. Isso no invalida os clculos de valores a partir dos diagramas, mas eles devem ser considerados mdios e, portanto, podem existir valores localizados significativamente acima da mdia.

Fig 01 A Figura 01 representa uma barra supostamente sob ao de flexo no plano XZ. Supe-se agora um pequeno trecho de largura x conforme indicado. Este ltimo, por sua vez, cortado por um plano Pz, paralelo ao plano XY e situado a uma altura z do eixo X. A Figura 02 representa em (a) o corte do plano XZ e, em (b), o corte de um plano paralelo