Fórmula (-1): Uma proposta para o ensino-aprendizagem das operações com números

positivos e negativos

Autor: Anuar Daian de Morais Orientador: Marcus Vinicius de Azevedo Basso

PROBLEMA DE PESQUISA

Como objetos digitais de aprendizagem (ODA) podem promover a aprendizagem das operações com números positivos e negativos sob a perspectiva dos Campos Conceituais de Vergnaud?

JUSTIFICATIVA

• Constatamos que alguns estudantes apresentam dificuldades em relação as operações com números inteiros.

• Ensino repleto de procedimentos mecânicos que limitam o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo dos nossos estudantes.

• A utilização da reta numérica como uma alternativa didática para o ensino/aprendizagem.

• Existência de uma demanda por objetos virtuais que abordam conteúdos da educação básica, sob uma concepção construtivista.

METODOLOGIA

1º- Realizamos uma pesquisa sobre a história da construção do conjunto dos números inteiros.

2º - Analisamos diferentes pesquisas e propostas sobre o ensino de tal tema.

3º - Desenvemos seis Objetos Virtuais de Aprendizagem (em parceria com o MDMat )e uma proposta didática.

4º - Aplicamos nossa proposta em turmas da 6º série do Ensino Fundamental: 2008/2 no Colégio de Aplicação da UFRGS,

2010/1 numa escola da rede privada do município de Guaíba/RS.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Segundo Vergnaud “Campo Conceitual (CC) é definido

como um conjunto de problemas e situações cujo tratamento requer conceitos, procedimentos e representações de tipos diferentes intimamente relacionados” (1983b apud MOREIRA p.127).

Para a resolução das situações-problemas, tal teoria pressupõem: A utilização de esquemas de ação e de diferentes esquemas simbólicos (utilizar símbolos para registrar, quantificar as operações realizadas).

Coordenação entre os esquemas de ação e o sistema simbólico.

Na nossa concepção a teoria de CC:• Valoriza a utilização de modelos físicos no processo de ensino/aprendizagem;

• Estimula a aprendizagem a partir da interação entre os estudantes e de suas estratégias de resolução.

CAMPO ADITIVO O Campo Aditivo é definido como um conjunto de problemas e situações que envolvem soma ou subtração na sua resolução.Ambas referem-se a relação parte-todo e é esse invariante conceitual que relaciona soma/subtração à uma mesma estrutura de raciocínio, o raciocínio Aditivo.Exemplos de situações problemas do CA:

Transformação Direta1) Nilce tem sete pares de brincos, no seu aniversário ganhou mais quatro pares. Quantos pares têm?

Transformação Indireta2) Nilce ganhou quatro pares de brincos no seu aniversário e ficou com um total de 11 pares. Quantos pares possuía antes?

Comparação entre Medidas3) Nilce tinha sete pares de brincos, após seu aniversário ficou com 11 pares. Quantos pares ganhou?

CAMPO MULTIPLICATIVO

O Campo Multiplicativo (CM) é definido como um conjunto de problemas e situações que envolvem multiplicação ou divisão na sua resolução.

Ambas referem-se a existência de uma relação fixa entre duas variáveis de grandezas diferentes. Tal reláção é o invariante conceitual que relaciona Multiplicação/divisão a uma mesma estrutura de raciocínio, o Raciocínio Multiplicativo.

Como os problemas do CM envolvem relações quaternárias (duas medidas de um tipo e duas de outro) é necessário utilizar um modelo de representação adequado.

MULTIPLICAÇÃO/DIVISÃO

• Transformação Direta:Tenho 6 sacos de balas. Há 4 balas em cada saco, quantas balas tenho?

• Transformação InversaPaguei R$18,00 por 6 garrafas de suco. Quanto custa uma garrafa?

O Invariante Conceitual: A relação fixa entre duas grandezas diferentes

Existem dois procedimentos para encontrar X:

Relação Vertical: Aplicando operador escalar (x6) na quantidade de 4 balas

Relação Horizontal:Aplicar a função (X4 balas por saco) à quantidade de 6 sacos.

TENHO 6 SACOS DE BALAS. HÁ 4 BALAS EM CADA SACO, QUANTAS BALAS TENHO?

TÉCNICAS E MATERIAISO produto da nossa dissertação é o site Fórmula (-1):

http://mdmat.mat.ufrgs.br/formula_1

O JOGO FÓRMULA (-1): Campo Aditivo

Fase 1

Fase 2

É um jogo que visa promover o desenvolvimento do raciocínio aditivo através da ampliação e construção de novos significados para as operações com números positivos e negativos.

Dados & Resultados

Ao aplicar o pré-teste do CA observamos que as crianças conseguiam resolver os problemas de forma prática, no entanto não conseguiam representá-los através da escrita

Modificamos a nossa concepção: agora a função do Fórmula (– 1) é servir como mais uma alternativa para fomentar a coordenação entre Sistemas de Ação e Simbólicos, possibilitando, assim, extensão do raciocínio aditivo e multiplicativo para operações que envolvem operações com números negativos.

Nossa idéia principal foi acrescentar uma fase intermediária que utilize o modelo de representação por flechas (figura 5).

Segundo Vergnaud, este modelo do esquema de flechas representa muito bem as relações ternárias, visto que deixa explícita a transformação sofrida pelos elementos.

Dados & Resultados : Usando o Fórmula ( -1) - CA

• Quando as duplas estavam num mesmo nível de compreensão identificamos que a situação de jogo era estabelecida, competiam de forma saudável, brincando enquanto aprendiam matemática.

•Quando isso não ocorria um dos estudantes assumia a figura de professor, onde um ajuda o outro, sem competir.

•A subtração como a noção de “ao contrário” foi uma estratégia didática interessante e, no contexto do jogo, não representou dificuldade para os estudantes. (ao invés da situação escrita).

CONSTRUINDO A REGRA

6) Estabeleça critérios para decidir quando é necessário Somar ou Subtrair os valores absolutos.

7) Estabeleça critérios para decidir quando o resultado será Positivo ou Negativo.

GENERALIZAÇÕESNível I – A Indiferenciação

Nesse nível o sujeito resolve os problemas corretamente através da reta numérica, mas não identifica regularidades, afirmando que cada caso é um caso. Um exemplo é o sujeito AA que não conseguiu decidir quando se soma ou se subtrai, podemos observar que ela utiliza a reta para decidir se a resposta final é positiva.

GENERALIZAÇÕESNíve II: A Soma dos Valores Absolutos

FASE A: Nesse nível o sujeito apresenta suas primeiras hipóteses, por exemplo, que o sinal do estado inicial ou da transformação decide se devemos somar ou subtrair os valores absolutos. Um exemplo é a resposta da estudante CMa.

No entanto ao resolver situações-problemas, tal hipótese é desestabilizada, um conflito que o sujeito não consegue resolver.

FASE B: Nesse nível o sujeito estabelece relações parciais sobre a soma de números inteiros. Por exemplo, consegue generalizar que devemos subtrair os valores absolutos quando o sinal da posição inicial e da transformações são diferentes e somá-los quando são iguais. Entretanto o sujeito não faz uma previsão de qual será o do estado final.

Níve II: A Soma dos Valores Absolutos

Além disso, nesse nível, alguns estudantes não generalizaram a soma dos valores absolutos para aquelas situações que envolviam números negativos na posição inicial e na transformação.

GENERALIZAÇÕESNível III: A Regra de Sinais

Nesse nível o sujeito consegue, através de uma generalização, discriminar as condições necessárias para somar ou subtrair os valores absolutos e também as condições par decidir qual será o sinal do estado final.

Dados & Resultados : Introdução ao Pensamento Algébrico

A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES a + x = b

Ao trabalharmos com a ordem inversa do esquema de flechas, estaríamos explorando situações problemas que abordam, implicitamente, a resolução de equações do tipo a + x = b.

ORDEM INVERSA? + ( - 8 ) = - 32

Observamos duas estratégias na resolução de equações a + x = b

1. Resolveram substituindo o valor numérico no local da incógnita (os estudantes que acertaram todos os itens) ER é um exemplo.

Dados & Resultados : Introdução ao Pensamento Algébrico

2. Se o valor absoluto da resposta final era maior, significava que os sinais eram iguais, mas se tal valor fosse menor, então os números eram de sinais diferentes.

Dados & Resultados : Introdução ao Pensamento Algébrico

O Jogo Fórmula - (-1): Campo Multiplicativo

FASE 1: Envolve multiplicações do tipo a.(-b) para a, b inteiros

FASE 2 : Envolve multiplicações do tipo (- a).(-b) para a, b inteiros

Dados & Resultados: Usando o Fórmula (-1) - CM

• Ao ler o problema proposto os estudantes identificaram imediatamente a operação de multiplicação em função invariante conceitual posições por pulo.

• No contexto do jogo, os estudantes não tiveram dificuldade em realizar operações do tipo a.( – b), mesmo sendo o seu primeiro contato. Sendo assim esse é um dos benefícios do contexto virtual e simbólico do Fórmula (–1).

• O significado de “ao contrário de” para “–n pulos” (embora artificial) é uma estratégia que promove o desenvolvimento de raciocínio multiplicativo com números positivos e negativos.

• O layout do jogo não é intuitivo, as crianças precisam acessar o botão Ajuda para entender a proposta (todos estudantes conseguiram).

Dados & Resultados: Atividades do Campo Multiplicativo

O RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO • Nas atividades escritas nenhum estudante utilizou tabelas para representar a multiplicação.

•A maior parte dos estudantes realizam o cálculo através de duas ações distintas: primeiro realizam o cálculo aritmético e depois define qual o sinal da resposta ou vice-versa.

CONCLUSÃOEstamos convencidos que, através dessa investigação, realizamos avanços significativos na direção do desenvolvimento de um objeto digital de aprendizagem que promova o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo que envolva operações com números positivos e negativos. Já que ele nos foi fecundo tanto na definição de certezas e convicções teóricas, quanto no estabelecimento de dúvidas e questões que devem ser respondidas em novos estudos.

Dados & Resultados: A Subtração e o Esquema de Flechas

• Resolveram substituindo o valor numérico no local da incógnita (os estudantes que acertaram todos os itens) ER é um exemplo.

A flecha superior através de uma soma de números inteiros:

A flecha inferior através de uma subtração números inteiros visto que uma é o inverso da outra:

? + ( + 12) = – 14

( – 14 ) – ( + 12) = ?

A SUBTRAÇÃO & O ESQUEMA DE FLECHAS

• Constatamos que nossa proposta não fez sentido para os estudantes:•Alguns continuaram a resolver os problemas desconsiderando a subtração, portanto não acertaram as atividades propostas.

• Outros apenas colocaram (equivocadamente) o sinal de menos entre os números inteiros: ? – (+ 12) = – 14

• O estudante que resolveu corretamente as operações, negou a proposta resolvendo na forma direta.

• O dado mais interessante foi apresentado pela estudante GP, na tentativa de mostrar que as operações realizadas não eram lógicas e não faziam sentido: Veja seu exemplo abaixo:

Dados & Resultados: A Subtração e o Esquema de Flechas

• Pudemos identificar que o significado de “subtrair é tirar “(é ficar menor) está atrapalhando a estudante.