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Formas Funcionais
Econometria
Alexandre Gori Maia
Bibliografia Básica:
-Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Cap. 4.
Ementa:
• Definição: modelos lineares e não lineares;
• Modelo Linear;
• Modelo Log-Linear;
• Modelo Linear-Log;
• Modelo Log-Log.
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Modelos Não Lineares
X
Y
Modelo é linear nas variáveis pois todos
os expoentes de Y e X são iguais a 1.
iii eβXαY
Modelo é linear nos parâmetros pois os
expoentes de e são iguais a 1.
X
Yiii eβXαY 2
Modelo não é linear nas variáveis pois o
expoente de X não é igual a 1.
Modelo é linear nos parâmetros pois os
expoentes de e são iguais a 1.
Linearidade nos parâmetros
e nas variáveis
Linearidade nos parâmetros
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Modelos Lineares nos Parâmetros
X
Yiii eβXαY 2
Z=X2
Y iii eβZαY
Modelos não lineares nas variáveis podem tornar-se lineares por anamorfose:
é a mesma coisa que...
Relações não lineares nas variáveis podem ser transformadas em relações lineares por
anamorfose, ou seja, por transformações de suas variáveis originais.
A escolha da forma funcional (tipo de transformação das variáveis) depender á da análise
dos valores e, principalmente, do conhecimento prévio das relações por parte do
pesquisador.
Constatada a linearidade nas variáveis, os coeficiente (’s) de modelos lineares por
anamorfose são estimados de maneira análoga pelo método de mínimos quadrados.
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Formas FuncionaisAs formas funcionais mais utilizadas em análises econômicas sâo:
1) Modelo linear: iii eXββY 10
2) Modelo log-log: ii10i e)ln(Xββ)ln(Y
3) Modelo log-lin: ii10i eXββ)ln(Y
4) Modelo lin-log: ii10i eln(XββY )
Y
X0β
01 β
Y
X
0β 01 β
Y
X
01 1 β
Y
X
10 1 β
11 β
Y
X
01 β
Y
X
01 β
Y
X
01 β
Y
X
01 β
ou
ou
ou
ou
5) Modelo inverso: ii
10i eX
1ββY
Y
X0β
01 β
Y
X
0β
01 βou
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Modelo LinearForma Funcional:
é o valor esperado de Y para valores
nulos de X
iii eXY
Y
Xi
X=1
Y=
0
XXi+1
+Xi
+Xi+1
)0(]0/[YE
dX
Xd
dX
dY
X
Y )(
é a variação marginal absoluta no
valor esperado de Y (Y) dada uma
variação unitária em X (X=1).
A variação marginal no valor esperado de Y é a mesma para qualquer valor de X.
Pressupõe que Y apresente aumentos (ou reduções) absolutos constantes dadas
variações absolutas em X.
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Modelo Linear
Pressupondo que a relação entre total de
vendas de uma sorveteria (Y, em 1.000
R$) e a temperatura média (X, em oC) seja
linear:
Qual o efeito da temperatura média diária (°C) sobre as vendas de sorvete?
iii eβXY
De onde obtemos:
iii eTemp,,Vendas 120041
A estimativa do coeficiente angular sugere que, para cada aumento unitário na
temperatura média (X=1 oC), haja um incremento médio e constante de 120 reais nas
vendas de sorvete (Y=0,125 1.000 R$).
O intercepto negativo não possui interpretação econômica, mas sugeririam que o valor
esperado das vendas seria negativo caso a temperatura média fosse igual a 0 oC.
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Modelo Log-LinearForma Funcional: iii eXln(Y )
ln(Y)
Xi
X=1
ln(Y)=
0
XXi+1
+Xi
+Xi+1
dX
Xd
dX
Yd
X
Y )()ln()ln(
Temos que:
Pressupõe que Y apresente crescimento (ou decaimento) exponencial em relação a
variações absolutas de X.
X
Y
e+Xi
Xi
X=1
Y/Yi=
0
e
e+Xi+1
Xi+1
)0(]0/)[ln(YE eYE ]0/[
X
YY i/pois
ii Y
YY
YY
Y
)ln(
1)ln(
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Modelo Log-Linear
Pressupondo que a renda do trabalho (Y,
em R$ mensais) cresça exponencialmente
com os anos de escolaridade (X):
Qual o impacto da escolaridade sobre a renda do trabalho?
iii eβXY )ln(
De onde obtemos:
Espera-se, para cada ano adicional de escolaridade (X=1), um incremento relativo
de 12,1% no rendimento do trabalho (Y=0,121 Yi).
iii eXY ˆ121,0006,6)ln(
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Modelo Linear-LogForma Funcional: iii eXY )ln(
Y
ln(Xi)
ln(X)=1
Y=
ln(X)ln(Xi+1)
+ln(Xi)
+ln(Xi+1)
)ln(
)]ln([
)ln( X
X
X
Y
Temos que:
Pressupõe que Y apresente variações absolutas constantes dadas variações relativas
em X.
X
Y
+ln(Xi)
Xi
X=Xi
Y=+ln(Xi+1)
Xi+1
iXX
Y
/
Então:ii X
XX
XX
X
)ln(
1)ln(Como variações absolutas em ln(X), ou
seja, ln(X), representam variações
relativas em X (X/Xi), o coeficiente
angular representará as variações
absolutas em Y (Y) dada uma variação
relativa de 100% em X (X/Xi=1=100%).
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Modelo Linear-Log
Pressupõe-se que o aumento da renda (X, em
R$/h) tenha um efeito positivo sobre a jornada de
trabalho (h semanais). Entretanto, à medida que a
renda cresça indefinidamente, espera-se
variações cada vez mais tênues sobre a jornada
de trabalho:
Como a renda do trabalho afeta a disposição a trabalhar?
iii eXβY )ln(
De onde obtemos:
Espera-se que, para cada variação relativa de 1% no rendimento hora do trabalho,
haja um incremento absoluto de 0,0479 horas (2,87 minutos) na jornada de trabalho
do ocupado.
iii eXY ˆ)ln(790,4799,30
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Modelo Log-LogForma Funcional: iii eXln(Y )ln()
ln(Y)
ln(Xi)
ln(X)=1
ln(Y)=
ln(X)ln(Xi+1)
+ln(Xi)
+ln(Xi+1)
i
i
XX
YY
X
Y
/
/
)ln(
)ln(
Sabemos que:
Pressupõe que Y apresente variações relativas constantes dadas variações relativas em
X.
X
Y
e+ln(Xi)
Xi
X=Xi
Y=Yi
e+ln(Xi+1)
Xi+1
Então:iX
XX
)ln(
O coeficiente é uma medida constante da
elasticidade de Y em relação a X, ou seja,
considera que as variações relativas em Y dadas
variações relativas em X sejam as mesmas para
quaisquer valores de Xi e Yi.
eiY
YY
)ln(
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Modelo Log-Log
Espera-se que haja uma elasticidade constante
entre taxa de visitação (Y, em visitas/100.000
habitantes) e custo de viagem do município de
origem ao parque (X, em R$), ou seja,
incrementos percentuais no custo de viagem
gerariam reduções percentuais na taxa de
visitação:
Como o custo de viagem afeta a taxa de visitação a um parque nacional?
iii eXβY )ln()ln(
De onde obtemos:
O coeficiente angular sugere um demanda relativamente elástica às variações no
custo de viagem. Para cada aumento de percentual no custo de viagem, espera-se
uma redução 2,05% na taxa de visitação.
iii eXY ˆ)ln(049,2492,13)ln(