folhas de apoio

ESTRUTURAS DE BETÃO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

Coordenação: José Noronha da Camara

Ano Lectivo 2014/2015

Introdução

Estas folhas de apoio às aulas têm como objectivo facilitar o seu

acompanhamento e correspondem, em geral, à sequência e organização da

exposição incluindo, ainda, a resolução de problemas. São apontamentos de síntese

que não dispensam a consulta de restantes apontamentos da disciplina e da

bibliografia proposta, onde deve ser realçado o recente livro sobre Estruturas de Betão

da autoria do Prof. Júlio Appleton.

Estes apontamentos resultaram da experiência de ensino e de textos anteriores da

disciplina para os quais contribuíram os docentes que têm vindo a leccionar o Betão

Estrutural, sob a orientação do Prof. Júlio Appleton, que foi, nesta escola, nos últimos

30 anos e até ao ano lectivo 2010/2011, o responsável por esta área da engenharia de

estruturas.

Durante o ano lectivo 2003/2004 o Prof. Júlio Appleton com a Engª Carla Marchão,

organizaram a 1ª versão destas folhas de apoio às aulas. A estas foram sendo

introduzidas várias contribuições, mais directamente, dos Profs. José Camara, António

Costa, João Almeida e Sérgio Cruz.

Deve-se realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a transmissão do

conhecimento sobre as características do comportamento estrutural e

fundamentação dos modelos de cálculo, aspectos que se repercutem depois,

naturalmente, nas prescrições normativas, com algumas variações.

Ao longo destes últimos anos têm sido referidas na disciplina, em geral, as normas

europeias (Eurocódigos), já aprovados na versão definitiva (EN). Refira-se que, no

entanto, não houve ainda uma aprovação formal, sendo possível utilizar, no âmbito

profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP – Regulamento de

Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação europeia

(Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão).

Refira-se que, sendo esta disciplina integrada na área da engenharia de estruturas,

é fundamental que os alunos tenham uma boa percepção do comportamento das

estruturas, em geral, e, de uma forma “quase imediata”, das estruturas isostáticas. As

matérias tratadas na Resistência dos Materiais, referentes ao comportamento de

peças lineares em tracção, flexão, esforço transverso, torção e em zonas onde a

hipótese de Bernoulli não é válida (Princípio de Saint-Venant), por exemplo, junto dos

apoios de vigas e/ou de zonas de actuação de cargas concentradas) são uma base

fundamental. É também importante relembrar o comportamento elástico-plástico das

estruturas, para se poder compreender a influência das características do

comportamento não linear dos materiais na resposta das estruturas. Este aspecto é

particularmente importante para os elementos de betão estrutural e,

consequentemente para o estudo das Estruturas de Betão.

Também os Teoremas Limite da Teoria da Plasticidade, Estático e Cinemático, que na

versão curricular actual são apresentados na disciplina de Estruturas Metálicas, são

fundamentais (principalmente o Estático) para a boa compreensão das metodologias

de dimensionamento e verificação da segurança das estruturas e, em particular das

Estruturas de Betão.

Finalmente refira-se que no ano lectivo 2014/2015 os docentes que acompanharão a

disciplina são:

José N. da Camara (Coordenador da disciplina)

Eduardo Júlio

João F. de Almeida

António Costa

Rui Rodrigues

IST, Setembro de 2014

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DO BETÃO ESTRUTURAL 1

1.1. Elemento de betão sem inclusão de armaduras 1

1.2. Elemento de betão armado 4

1.2.1 Cálculo das tensões numa secção após fendilhação 5

1.2.2 Cálculo do momento de cedência da secção 9

1.3. Diferença do comportamento secção/estrutura 10

2 CONCEITO DE SEGURANÇA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS 12

2.1 Objectivos de segurança na engenharia estrutural em geral 12

2.2 Filosofia adoptada na verificação da segurança em relação aos Estados Limites Últimos

14

2.3 Filosofia adoptada na verificação da segurança em relação aos Estados Limites de

Utilização 16

3 MATERIAIS 24

3.1 Caracterização dos betões 24

3.1.1 Tensões de rotura do betão 25

3.1.2 Módulo de elasticidade do betão 25

3.1.3 Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão fc 25

3.2 Caracterização das armaduras 26

3.2.1 Classificação das armaduras para betão armado 26

4 VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA À ROTURA POR FLEXÃO 28

4.1 Relações tensão-extensão dos materiais para verificação da segurança aos E.L. Últimos

28

4.1.1 Betão 28

4.1.2 AÇO 29

4.2 Análise da secção. Método Geral 30

4.3 Método do diagrama rectangular 31

4.3.1 Cálculo de MRD 31

4.4 Resistência à flexão simples com o aumento de armaduras 39

4.5 Dimensionamento à Flexão Simples – Grandezas Adimensionais 41

4.5.1 Método Geral 41

4.5.1.1 Grandezas adimensionais 42

4.5.2 Método do Diagrama Rectangular Simplificado 43

4.5.2.1 Grandezas adimensionais 43

4.5.3 Utilização de Tabelas 44

4.5.3.1 Determinação da capacidade resistente (Análise) 44

4.5.3.2 Dimensionamento de armaduras 44

4.6 Estimativa do Momento Resistente 46

4.7 Parâmetros que influenciam o valor do Momento Resistente 48

4.8 Dimensionamento de secções com outras formas 49

4.8.1 Largura efectiva de uma secção em T 49

4.8.1.1 Avaliação da largura efectiva 50

4.8.2 Dimensionamento de secções em “T” por tabelas 51

4.8.3 Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento à flexão simples 53

5 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS 57

5.1 Recobrimento das armaduras 58

5.2 Distância livre entre armaduras (s) 58

5.3 Agrupamentos de armaduras 59

5.4 Dobragem de varões 60

5.5 Posicionamento das armaduras 61

5.6 Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras 61

5.7 Disposições construtivas em vigas – Armaduras longitudinais de flexão 62

5.7.1 Quantidades mínima e máxima de armadura 62

5.7.2 Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade 62

6 INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETÃO

64

6.1 Análise Elástica seguida de Redistribuição de Esforços 65

6.2 Aplicação directa do cálculo plástico (Teorema estático) 68

6.3 Exemplos de Aplicação Prática da Não Linearidade na Verificação da Segurança das

Estruturas 69

7 ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO 73

7.1 Comportamento elástico e modelo de comportamento na rotura ao Esforço Transverso 73

7.2 Possíveis modos de rotura e verificações de segurança correspondentes 81

7.3 Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão 87

7.3.1 Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de extremidade 88

7.3.2 Armadura longitudinal no vão 89

7.3.3 Apoio de continuidade 90

7.4 Disposições das armaduras transversais 91

7.5 Espaçamento entre estribos e sua pormenorização 91

7.6 Amarração de Armaduras 96

7.6.1 Comprimento de amarração 96

7.6.2 Comprimento de emenda 99

7.7 Armadura de Ligação Banzo-Alma 111

7.8 Armadura de suspensão 113

7.8.1 Carga distribuída aplicada na parte inferior da viga 113

7.8.2 Apoios indirectos 114

7.9 Transmissão de Cargas concentradas próximas dos apoios 121

7.10 Armadura Inclinada 125

7.11 Secções com Largura Variável 126

7.12 Forças de Desvio 126

7.13 Torção 128

7.13.1 Torção de equilíbrio 128

7.13.2 Torção de compatibilidade 129

7.13.3 Torção analisada como esforço transverso 130

7.13.4 Dimensionamento das paredes sujeitas a um esforço transverso 133

7.14 Efeito conjunto Torção / Esforço Transverso 137

7.15 Disposições construtivas relativas a armaduras de torção 137

7.15.1 Armadura transversal 137

7.15.2 Armadura longitudinal 138

7.16 Dimensionamento Conjunto da Secção 138

8 DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO 143

8.1 Introdução 143

8.2 Mecanismos de Deterioração 144

8.2.1 Deterioração por Corrosão das Armaduras 144

8.3 Deterioração do betão 152

8.4 Ambiente de Exposição 156

8.5 Período de Iniciação e Período de Propagação 159

8.6 - Metodologia para a Garantia da Durabilidade 161

8.7 Outros aspectos importantes para a garantia da durabilidade das construções 165

8.8 Manutenção, Inspecções e Eventuais Reforços 167

9 VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO (ESTADOS LIMITES DE

UTILIZAÇÃO – SLS) 169

9.1 Introdução 169

9.2 Verificação aos Estados Limites de Utilização 169

9.3 Acções 169

9.4 Materiais 170

9.4.1 Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de

utilização 170

9.4.2 Efeitos diferidos no tempo do betão 172

9.4.2.1 Fluência 173

9.4.2.2 Retracção 175

9.5 Estado Limite de Abertura de Fendas 177

9.5.1 Mecanismo da fendilhação E ABERTURA DE FENDAS 177

9.6 Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação 189

9.6.1 Limitação das tensões em serviço 190

9.7 Armadura mínima 194

9.7.1 Tracção 194

9.7.2 Flexão 196

9.8 Limites admissíveis de fendilhação relativos ao aspecto e à durabilidade 205

9.9 Controlo da fendilhação sem cálculo directo (EC2) 205

9.10 Estado Limite de Deformação 208

9.10.1 Limites de Deformação 208

9.10.2 - Questões na Avaliação e na Limitação da deformação 209

9.10.3 - Avaliação directa da deformação 214

9.10.3.1 - Cálculo da curvatura em estado I 214

9.10.3.2 - Cálculo da curvatura em estado II 215

9.10.4 Cálculo das deformações 216

9.10.4.1 Método Bilinear 217

10 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE

ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL NÃO DESPREZÁVEL 225

10.1 Flexão Composta e Desviada 225

10.2 Resistência à flexão composta 225

10.2.1 Diagramas de deformações na rotura 225

10.2.2 Determinação dos esforços resistentes 226

10.3 Flexão Desviada 230

10.3.1 Rotura convencional 231

10.3.2 Determinação dos esforços resistentes 231

10.4 Disposições construtivas de pilares 234



10.4.3 Armadura transversal 235

11 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES ISOLADOS AOS ESTADOS LIMITE

ÚLTIMOS 243

11.1 Comportamento de elementos esbeltos 243

11.2 Esbelteza 243

11.3 Imperfeições geométricas 244

11.3.1 Excentricidade inicial 245

11.4 Importância dos Efeitos de 2ª ordem e tipos de rotura associados 246

11.5 Consideração dos efeitos de 2ª ordem 248

11.5.1 Métodos de análise simplificados 249

11.5.2 Método da curvatura nominal 251

11.5.3 Método da rigidez nominal 257

11.6 Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura 258

12 ESTRUTURAS EM PÓRTICO 268

12.1 Classificação das estruturas 268

12.2 Comprimento de encurvadura 269

12.3 Efeitos das imperfeições geométricas em estruturas porticadas ou mistas 271

12.4 Efeitos de segunda ordem em pórticos 271

12.4.1 Verificação da segurança de pórticos contraventados 272

12.4.2 Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados 273

Bibliografia de referência 281

Estruturas de Betão I

1

1 Introdução ao Comportamento do Betão Estrutural

Nesta introdução ao comportamento do betão armado resume-se de uma forma

simplificada, mas muito abrangente, as principais características do seu

funcionamento em flexão. É importante que, desde logo, se compreenda o essencial

das características da resposta do betão estrutural e se as enquadre na base do

aprendido anteriormente no curso, em particular, na disciplina de Resistência de

Materiais.

Iremos começar por discutir o comportamento de uma peça de betão simples e, depois

introduzir as armaduras em aço, que vêm dar conteúdo e eficiência a este material

compósito que, durante o Seculo XX e até à actualidade, tem sido o responsável pelo

desenvolvimento das infra-estruturas que sustentam todo o nosso modo de

organização da sociedade.

Comecemos por referir algumas notações correntes na engenharia de estruturas, em

geral, e no betão estrutural, em particular, que são internacionalmente aceites.

Notações:

f – resistência do material

fc – tensão de rotura do betão à compressão

fck – tensão característica de rotura do betão à compressão

fct – tensão de rotura do betão à tracção

Ec – módulo de elasticidade do betão

fy – tensão de cedência do aço

fyk– tensão característica de cedência do aço

fu – tensão de rotura do aço

Es – módulo de elasticidade do aço

1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS

Considere-se a viga de betão simples ilustrada na figura seguinte, bem como os

diagramas de esforços correspondentes a uma carga pontual genérica P aplicada a

meio vão.


2

(+)

DEV

DMF

P/2

(+)

(-)

5.00

P/2

P

0.50

0.20

P/2

P/2

PL/4

Como se sabe, o maior momento flector ocorre a meio vão, estando, na hipótese de

comportamento elástico, esta secção sujeita ao seguinte diagrama de tensões

normais:

M

2

G

h/2

h/2

y 1

Tensões: = M y

Ic ; máx =

M Wc

em que Wc = I

ymáx (módulo de flexão)

Para uma secção rectangular, Wc = b h

3

12

2 h

= b h

2

6

Para um determinado nível de carga P ocorrerá uma fenda, com início na região mais

traccionada da peça, ou seja na parte inferior da secção de meio vão (por ser a secção

submetida a um momento flector maior) e, na sequência, a rotura da viga. De facto, a

partir do início da formação da fenda deixa de ser possível existir uma distribuição de

tensões na secção que equilibre o momento aplicado.

Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-

deslocamento que ilustram o comportamento desta viga, desde o início do

carregamento até à rotura, verificando-se que esta é frágil.


3

M

1/ R

EI (rigidez de flexão)

P

a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento

Este comportamento resulta da lei de comportamento do material betão:

fc

fct (2 a 5 MPa)

(20 a 80 MPa)

3.5‰

Ec (30GPa)

Índice c – “concrete”

fc – tensão de rotura do betão à compressão

fct – tensão de rotura do betão à tracção

Ec – módulo de elasticidade do betão

Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um

material que possui um bom comportamento e resistência à compressão, com uma

resposta “quase linear” para níveis de tensões baixos a médios, e uma baixa

resistência à tracção (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistência à compressão). Esta

última característica é responsável pela rotura do betão simples, como ilustrado no

exemplo anterior, e pela formação de fendas no betão armado, como se irá estudar na

disciplina.

Cálculo do momento de fendilhação

Admita-se que: fct = 2.0 MPa

E, como,

= M Wc

= M v

Ic e Wc =

bh2 6

(para uma secção rectangular)

O momento de fendilhação pode ser avaliado pela expressão:

Mcr = fctWc = 2 103

0.20 0.502 6

= 16.7 kNm

A carga P, que está associada ao momento de fendilhação, pode ser estimada, para

aquela estrutura e carregamento, através da seguinte relação:

Mcr = PL 4

P = 4Mcr

L =

4 16.7 5

= 13.4 kN


4

Conclusão: Uma viga de betão simples não explora, minimamente, a capacidade

resistente do material em compressão, pois a máxima tensão que se

pode mobilizar é igual, ou da mesma ordem de grandeza, da resistência à

tracção. O comportamento fica, assim, associado a uma baixa

capacidade de carga, condicionada pelo aparecimento de uma fenda, e,

na sequência, uma rotura frágil.

Solução: Introduzir um material com boa resistência à tracção nas regiões onde é

necessário, ou seja, nas zonas traccionadas das peças. Ao se adoptar aí

armaduras de aço explora-se muito melhor a capacidade resistente do

elemento de betão, pois passa a haver a possibilidade de equilibrar

compressões mais elevadas no betão através das tracções que passam a

se poder mobilizar nas armaduras. Além disso, por via da ductilidade

associada ao aço, temos também um comportamento dúctil na rotura.

Tem-se, assim, o Betão Estrutural (betão + armaduras de aço).

Esta análise realizada para um elemento de betão simples submetido à flexão

pode, e deve, ser equacionada, pelos alunos, para a situação mais simples da

Resistência dos Materiais que é a de um tirante (esforço axial simples).

1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO

Analisemos, então as principais características do comportamento do betão armado

resultante da introdução das armaduras de aço nas peças de betão.

O aço é um material dúctil com uma boa resistência à tracção, mas também à

compressão (ver figura seguinte). Por outro lado, a sua disposição em varões permite

um bom envolvimento pelo betão e, consequentemente, condições para uma boa

aderência entre os materiais.

2.5 a 10%

Es (200GPa)

(200 a 800 MPa)

fu

fy

fy

Índice y – “yeld” (cedência)

fy+ fy

-

Com a introdução destas armaduras no betão obtém-se um comportamento conjunto

com boa ligação e extremamente eficiente em termos da resposta estrutural. De facto,


5

com o aparecimento de fendas nalgumas secções de betão, as tracções passam, no

essencial, para as armaduras, o que permite garantir o equilíbrio da secção para um

nível de cargas muito superior. Este aspecto será, desde já, clarificado no parágrafo

1.3.

Entretanto, é importante desde já percepcionar as características globais da resposta,

que é claramente não linear, de um elemento de betão armado. Nas figuras seguintes

podem observar-se diagramas tipo, de momentos-curvaturas médias e carga-

deslocamento, respectivamente, para elementos e estruturas de betão armado, desde

o início do carregamento até à rotura. Verifica-se que, com o início das fendas (1), há

alguma perda de rigidez mas que a capacidade resistente máxima só se atinge para

cargas superiores depois de verificada a cedência das armaduras (2) e explorada,

depois, a ductilidade (3). A cedência da armadura corresponde a se atingir o

momento de cedência da secção, sendo que, a partir daí, o momento na secção só

pode aumentar devido a um incremento residual da tensão do aço entre o valor de

cedência e o último, ou um ligeiro aumento do braço devido a uma acomodação das

compressões mais junto às fibras extremas da secção. Entretanto o elemento de betão

armado pode continuar a aumentar a curvatura, com um comportamento característico

de um material dúctil.

Ao longo desta disciplina analisar-se-ão estas características do comportamento e o

seu enquadramento nas disposições regulamentares para assegurar os níveis de

segurança e de qualidade de comportamento necessários.

(1)

(2) (3)

b) Diagrama carga-deslocamentoa) Diagrama momento-curvatura

PM

R/1

III

(1)

(2) (3)(1) - fendilhação do betão

(2) - cedência das armaduras

(3) - rotura

1.2.1 CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO

Na sequência, analisa-se, primeiro, um conceito importante no betão estrutural que é o

de que as quantidades de aço devem assegurar, pelo menos, a substituição das

tracções que se libertam a quando da abertura de uma fenda, e depois, a avaliação

de tensões numa secção fendilhada. Também nesta análise é importante que o

aluno faça o paralelo com a situação equivalente da tracção simples.


6

Para se compreender estes aspectos do comportamento comecemos por analisar a

resposta à flexão de uma secção de betão armado, tomando-se o exemplo seguinte:

0.20

0.50d

Admita-se:

As = 10.0 cm2

d = 0.45 m (altura útil da armadura)

Ec = 30 GPa

Es = 200 GPa

(i) Avaliação simplificada da quantidade de armadura mínima necessária para

substituir o papel das tracções no betão quando se forma uma fenda (Análise em

Estado não fendilhado - Estado I – desprezando as armaduras, como é

razoável, em geral, em termos práticos)

A força de tracção disponibilizada pelas armaduras deve ser superior à força de

tracção no betão que se liberta quando se forma a fenda, tal que, de uma forma

simplificada (admitindo fct = 2MPa e fy = 400 MPa):

fct

h/2

b

Fct

Fc

(antes de fendilhar)

Fs Fct As, min fy b h2

12 fct

As, min 0.2 0.5 4

2103

1

400103 10

4 = 1.25 cm

2

(Refira-se que no exemplo apresentado a armadura admitida é

superior a este valor, pois: As = 10cm2>> 1.25cm

2)

Vejamos, agora, a avaliação da distribuição de tensões numa secção fendilhada

(denominada por Estado II) de acordo com as hipóteses usualmente admitidas.

(ii) Cálculo do estado de tensão nas secções, após a fendilhação do betão

Hipóteses consideradas para o denominado Estado II

O betão não resiste à tracção

As secções mantêm-se planas após a fendilhação


7

c

LN

c

(-)

(+)

ss (Fs)

(Fc)

b

x

dz Mcr

Cálculo da posição da linha neutra

Através da determinação do centro de gravidade da secção homogeneizada,

x = Ai xi

Ai

= bx x/2 + As Es/Ec d

bx + As Es/Ec x

bx + As

Es Ec

= bx x 2

+ As Es Ec

d

bx2 + As Es Ec

x = bx2 2

+ As Es Ec

d bx2

2 = As

Es

Ec (d - x)

(equação que traduz a igualdade de momentos estáticos)

Para a secção em estudo,

0.2x2 2

= 1010-4 x 200 30

(0.45 - x) 0.1x2 + 6.6710-3x - 0.03 = 0 x = 0.143 m

z (braço das forças resultantes) = d - x 3

= 0.45 - 0.143

3 = 0.40 m

Avaliemos, agora para o momento de fendilhação, anteriormente estimado (parágrafo

1.1) a distribuição de tensões na secção, após fendilhação:

Cálculo da tensão no betão (c)

Por equilíbrio: Mcr = Fs z = Fc z =16.7 kNm Fc = Mcr z

= 16.7 0.40

= 41.8 kN

Fc = c x b

2 c =

2Fc bx

= 2 41.8

0.20 0.143 = 2923 kN/m2

2.9 MPa

Cálculo da tensão nas armaduras (s)

Fs = s Ass = Fs As

= 41.8

10 10-4 = 41800 kN/m2 = 41.8 MPa


8

Cálculo das extensões máxima no betão e nas armaduras (c e s)

= E

c =

c Ec

= 2923

30106 = 0.09710-3

0.1‰

s = s Es

= 41800

200106 = 0.2‰

ou c

s =

x d - x

s = d - x

x c=

0.45 - 0.143 0.143

0.09710-3 = 0.2‰

M = 16.7 kNm

0.143

[MPa]

-2.9

s = 0.2‰

(+)

(-)

c = 0.1‰

LN

41.8

Verifica-se que, para a quantidade de armadura da secção (10 cm2), bastante superior

à mínima estimada (1.25cm2), o nível de tensões nas armaduras (41.8 MPa), depois

de se formar a fenda, é muito inferior ao da cedência característica (400MPa), ou seja,

há, neste caso uma reserva muito grande até se atingir a cedência.

Avaliemos agora, para este exemplo, as curvaturas das secções depois e antes da

fendilhação.

Cálculo da curvatura em Estado II

1 R

= c + s

d =

0.110-3 + 0.210-3 0.45

= 6.6710-4 m-1

Curvatura em Estado I, sem considerar as armaduras:

M = 16.7 kNm

[MPa]

(+)

(-)

c

c

2.0

2.0

c = c Ec

= 2.0

30103 = 6.6710-5

1R

= 2 6.6710-5

0.5 =2.6710-4 m-1


9

Verifica-se, assim, que, para esta secção e com esta armadura, se verifica uma perda

de rigidez considerável quando se perde a participação do betão traccionado, de:

1/RII

1/RI 2.5. Refira-se que este valor seria maior ou menor consoante a quantidade de

armadura adoptada fosse, respectivamente, inferior ou superior aos 10 cm2

considerados.

Estas curvaturas podem ser directamente calculadas dividindo o momento pelas

rigidezes homogeneizadas, se for o caso, nos referidos Estados I e II, tal que:

Estado I sem considerar as armaduras: 1Rc

= M

Ec Ic

Estado I com consideração das armaduras: 1

R =

M

Ec I

Estado II: 1

R =

M

Ec I

M

R/1

III

Ec I

Ec IEc I

Ic, I e I, são, respectivamente, a inércia de secção só de betão, de betão e armaduras

homogeneizada no betão em situação não fendilhada (valor de I Ic) e fendilhada (I)

sem considerar o betão à tracção.

1.2.2 CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO

Em estado II (secção fendilhada sem participação de betão à tracção) a linha neutra e

a rigidez da secção é única, como avaliada anteriormente. Assim, a um acréscimo do

momento flector irá somente corresponder um aumento de curvatura com

consequente aumento de tensões, i.e., com o braço entre as resultantes das forças de

compressão e tracção a se manter constante.

M

s1s

(+)

(-)

c1

LN

c

M1 M2 M1

c2

s2


10

A continuação da aplicação do momento M conduz, portanto, ao aumento das tensões

nas fibras, proporcionalmente ao momento. No entanto, para níveis superiores de

carga, pode o betão entrar numa região de comportamento com alguma não

linearidade.

M1z1

Fc

Fs1

c1

LN

M2z2

Fs2

Fc

c2

LN

M1 M2

A variação do braço é, no entanto, pouco significativa (z1 z2), pelo que a avaliação do

momento de cedência se pode fazer tomando para a força F a força correspondente à

cedência das armaduras, tal que:

My z Fy com Fy = Asfsy

Em que z é o braço atrás determinado.

Cálculo do momento de cedência da secção

s = fy = 400 MPa Fy = 400 103 10 10-4 = 400 kN

z = 0.40m My = 0.4 400 = 160 kNm

Verifica-se que, para esta secção, a diferença entre os momentos de fendilhação e de

cedência é significativa, de 16.7 kNm para 160 kNm, o que mostra bem o papel das

armaduras.

1.3. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO/ESTRUTURA

As estruturas são compostas por inúmeras secções sendo que só algumas fendilham.

Nestas secções há uma perda brusca de rigidez (aumento de deformação

significativo), como mostra o gráfico a), corresponde à passagem do Estado I ao II. No

entanto, considerando o comportamento médio de um elemento estrutural (como o

representado na direita da figura), vai-se verificar uma diminuição mais gradual da

rigidez média (gráfico b)). A razão é simples: em termos médios teremos secções

efectivamente fendilhadas, mas entre estas haverá outras com o betão traccionado,

portanto menos deformáveis.


11

a) Secção

III

b) Elemento

M

R/1

Mcr

III

My

(1)

(2) (3)

Mcr

My

(1)

(2) (3)

MM

R

Este efeito de atenuação da importância da perda de rigidez, a quando da fendilhação,

é ainda mais notório, quando se analisa a resposta da estrutura no seu conjunto. De

facto, ao nível da deformação global da estrutura, não se chega a notar um aumento

pontual da deformação. Verifica-se, isso sim, uma diminuição da rigidez para cargas

superiores ás do início do processo de formação de fendas (zona do diagrama carga-

deslocamento de (1) para (2)) – ver figura seguinte. Nesta relação, a perda de rigidez

por abertura de fendas numa ou noutra secção, dilui-se em termos da resposta global,

mas, mesmo assim, com implicações na deformação da viga.

P

(1)

(2) (3)

Para níveis de carga superiores a zona da viga passível de ter fendas é aquela em

que os esforços sejam superiores aos de início da fendilhação, como se mostra na

figura seguinte.

DMF

Mmáx

P

Região onde ocorre

fendilhação para Pmáx

Mcr

Refira-se que, como referido anteriormente, à medida que se verifica o incremento de

carga as tensões nos materiais aumentam até que se atinge, em princípio na secção

mais esforçada, a cedência do aço, ou seja o momento de cedência - (ponto (2) dos


12

diagramas). Este nível de carga corresponde, “grosso modo”, à capacidade máxima da

secção, verificando-se, a partir daí, só um ligeiro aumento até ao momento último,

associado a um grande aumento de deformações. É a zona de comportamento

associada à exploração da capacidade última da secção à flexão, que se verifica, em

geral, com desenvolvimento de uma resposta dúctil. Evidentemente que, em estruturas

hiperstáticas, as zonas principais das estruturas não entram, em geral,

simultaneamente em cedência. Assim, a partir do seu início numa determinada

secção, há lugar, ainda, para incrementos de carga até se mobilizar a capacidade

máxima da estrutura.

2 Conceito de Segurança no Dimensionamento de Estruturas

O conceito de segurança a exigir às estruturas não é obviamente específico ao betão

estrutural, sendo aplicado a estruturas construídas em qualquer material, em particular

às estruturas metálicas e/ou mistas (betão/aço). Na sequência, apresenta-se um

resumo dos princípios fundamentais das metodologias de verificação da segurança

que reputamos essencial, nesta fase da aprendizagem dos alunos, para se

compreender o enquadramento das preocupações dos engenheiros na concepção e

projecto das Estruturas de Betão.

2.1 OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL

Há dois objectivos fundamentais a considerar pelos engenheiros de estruturas para

assegurar, à sociedade em geral, um nível de segurança adequado às construções.

Seguidamente referem-se esses dois objectivos gerais, particularizando-se, para cada

um deles, o tipo de verificações em causa.

1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situação de serviço, ou

seja, na sua utilização corrente

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos

Estados Limite de Utilização:

Limitar a deformação (Para as estruturas, em geral, e não só de betão)

De acordo com as recomendações mais recentes, e para o caso de pisos de edifícios,

a deformação final ou o incremento de deformação após a execução de paredes de

alvenaria, deve ser limitada, para as acções com carácter de permanência,

respectivamente, a:

serviçoadmissível

L250

ou L

500


13

Trata-se no primeiro caso de uma questão de aspecto e funcionalidade e no segundo

caso para evitar fendas nas alvenarias que não conseguem, a partir de um certo

ponto, acompanhar a deformação da sua base de suporte sem fendilharem.

Limitar o nível de tensões máximas no betão e no aço

Segundo as disposições regulamentares mais recentes o nível máximo das tensões no

aço e no betão deve ser limitado, em serviço. Estes limites dependem do tipo e nível

das acções, como se verificará no curso.

Controlar as aberturas de fendas (Aspecto claramente específico ás

estruturas de betão armado):

serviçoadmissível (0.2 a 0.4mm)

Sendo a existência de fendas uma situação normal no Betão Armado, há que limitar a

sua abertura, em geral, para um nível de acções com carácter de permanência. Esta

necessidade advém, de razões de aceitabilidade estética e, em ambientes mais

agressivos, para não serem veículo de um processo mais rápido de degradação do

betão estrutural (questão de durabilidade, como se verá no curso).

Garantir um adequado comportamento dinâmico (estruturas em geral)

Este aspecto da verificação do comportamento em serviço das estruturas, só será

analisado na disciplina de uma forma indirecta, devendo ser aprofundado

posteriormente no curso. No fundo trata-se de controlar as frequências próprias de

vibração das estruturas, de tal forma a evitar situações de ressonância com a

frequência das acções.

Exemplo: Nas pontes de peões verificar que a frequência principal de vibração vertical

da estrutura não se aproxima da frequência da excitação, neste caso, as cadências

dos passos dos utilizadores.

2) Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas

situações de rotura (rotura local ou global da estrutura)

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos

Estados Limite Últimos

Para além de assegurar um comportamento adequado da estrutura nas condições da

sua utilização, o engenheiro de estruturas tem de, com um nível de confiança

muitíssimo superior, poder garantir que não há possibilidade de qualquer tipo de

rotura, seja localizada, por falta de capacidade resistente, como numa peça linear,

por:


14

Tracção ou Compressão

Flexão

Esforço Transverso

Torção

Qualquer combinação destas

Zonas particulares de apoios e/ou introdução de cargas

Seja global, por perda de equilíbrio conjunto da estrutura, como o derrubamento

de um muro de suporte.

As características de comportamento do betão estrutural, próximo da rotura, e as

hipóteses admitidas para avaliação das capacidades resistentes dos elementos

estruturais, acima referidas, e das estruturas, no seu conjunto, serão analisadas nos

Capítulos seguintes.

2.2 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS

LIMITES ÚLTIMOS

Para garantir o objectivo acima enunciado, da não rotura, a regulamentação das

estruturas, em geral, tem vindo a introduzir, a partir dos anos 60, uma filosofia de

segurança que, tendo em conta a variabilidade das características dos materiais, do

valor das acções e da avaliação da resposta estrutural, assegura uma probabilidade

de rotura de 1 x 10-5, ou seja, quase nula.

Este formato baseia-se, de uma forma simplificada, na avaliação de valores

característicos para os materiais e acções, e ainda à adopção de coeficientes parciais

de segurança adequadamente definidos. Vejamos, então, com algum pormenor, essa

valoração.

1) Definição de valores característicos para:

Valores das acções Ssk (95% de probabilidade de não serem excedidos)

Resistências dos materiais SRk (95% de probabilidade de serem superiores).

2) Adopção de coeficientes de segurança parciais que:

Majorem as cargas, consoante o tipo de acção:

Acções permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida

g = 1.0 ou 1.35 (consoante a acção for ou não favorável)


15

Acções variáveis: variam durante a vida útil da estrutura (ex: sobrecarga,

vento, sismo, variação de temperatura, etc.)

q = 0.0 ou 1.5 (consoante a acção for ou não desfavorável)

Acções acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrência durante a

vida útil da estrutura (ex: explosões, choques, incêndios, etc.) a = 1.0

Minorem as resistências dos diferentes tipos de materiais:

Armaduras (s = 1.15)

Betão (c = 1.5)

Exemplo: fyd = fyk

s ; fcd =

fck

c

3) Estabelecimento de combinações de acções, conforme especificado no RSA

Exemplo: Ssd = gSg + q (Sq + 0iSqi) (0i 1 – coeficiente de combinação da

acção variável i)

Sq – acção variável de base

Sqi – restantes acções variáveis

4) A avaliação dos efeitos das acções na estrutura é usualmente realizada com base

numa análise elástica linear da mesma, mas com as eventuais/necessárias

adaptações para ter em conta, nas estruturas hiperstáticas, o efeito do comportamento

não linear do betão estrutural (como constatado nos parágrafos anteriores).

Com base nos modelos estruturais adoptados há, então, que avaliar os efeitos das

acções. Tem-se, por exemplo, para a flexão, os denominados momentos de cálculo

ou dimensionamento, que, para o caso de uma única carga variável, corresponde a:

Msd = g Mg + qMq

5) A avaliação das capacidades resistentes (forças ou esforços) depende da geometria

do elemento, das características dos materiais e do tipo de esforço.

Por exemplo para o momento resistente, como vimos anteriormente, teremos, de

uma forma simplificada, : MRd = As fyk

1.15 z.

No Capítulo seguinte a avaliação deste valor será detalhadamente apresentada.

6) Verificação da condição de segurança geral: SSd SRd

Exemplo para os momentos: Msd MRd


16

No caso do exemplo anterior, e considerando só a sobrecarga (q = 1.5), tem-se

(tomando o braço de forças, z, avaliado para o comportamento elástico):

M = PL 4

Msd = 1.5 P 5 4

MRd = 10 10-4 400 1.15

103 0.40

Donde resulta, como valor de carga que pode ser aplicada à estrutura, com um nível

de segurança adequado em relação à rotura por flexão (ou seja, verifica a segurança

ao Estado Limite Último de Flexão):

P 74.2 kN

O procedimento de verificação da segurança acima resumido pode ser ilustrado com

base nos diagramas de distribuição probabilística dos efeitos das acções e da

avaliação das resistências, como indicado na figura seguinte. A partir de valores

característicos, superiores e inferiores, respectivamente para as acções e materiais,

majoram-se e minoram-se esses valores, com coeficientes parciais de segurança,

para só depois estabelecer a condição de segurança.

Percebe-se que a margem de segurança disponível que se obtém com este

procedimento é muito grande. Repare-se na diferença entre os valores médios

expectáveis das acções e das resistências. No entanto, a justificação da garantia da

probabilidade de não rotura ser de 1 x 10-5,como acima referida, está fora do âmbito

destas folhas, e desta disciplina.

Ssm Ssk SRk SRmSsd SRd

Acções ou efeitos das acções Resistência

2.3 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS

LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Para assegurar o comportamento adequado nas condições de serviço, pretende-se

avaliar, agora, tão bem quanto possível, a resposta efectiva da estrutura quando em

utilização. Com esse objectivo faz sentido tomar valores de acções que se esperam

efectivamente actuem a estrutura (e não valores característicos superiores e/ou

majorados) e valores médios para o comportamento dos materiais (certamente que

não valores característicos inferiores e/ou minorados).


17

Esta formulação conduz a que a probabilidade de serem excedidos os valores

admissíveis seja da ordem de 1 x 10-1.

Vejamos então, em termos práticos, com que bases se fazem estas verificações:

1) Definição dos valores da acção que actuam na estrutura adoptando, por um lado,

para os pesos próprios dos materiais estruturais e/ou de outros revestimentos

utilizados densidades médias e, por outro lado, valores de sobrecargas com

probabilidades reais de virem a actuar as estruturas (percentagens mais pequenas do

valor característico têm mais probabilidade de ocorrerem).

2) Estabelecimento de combinações de acções, conforme preconizado no RSA:

Combinação quase permanente de acções: Estado limite de longa duração

( 50% do tempo de vida da estrutura) Scqp = G + 2iQi

Combinação frequente acções: Estado limite de curta duração ( 5% do

tempo de vida da estrutura) Sfreq = G + 1 Q + 2iQi

Combinação característica: Estado limite de muito curta duração (algumas

horas no período de vida da estrutura) Sraro = G + Q + 1iQi

2 < 1 < 1.0)

Q – acção variável de base

Qi – restantes acções variáveis

3) A avaliação dos efeitos das acções deve ser realizada considerando, em geral, as

propriedades médias dos materiais por forma a estimar o comportamento previsível. É

importante referir que, para o efeito de cargas exteriores a hipótese de comportamento

linear é razoável e usual, para a obtenção de esforços, mas já não é para avaliação

das deformações, a menos que, convenientemente, corrigidas. Por outro lado, devido

a deformações impostas à estrutura, a grandeza dos esforços depende fortemente da

rigidez da estrutura, e, então, a rigidez elástica deve ser diminuída, logo na avaliação

de esforços.

É, portanto, necessário considerar, de uma forma simplificada, os efeitos da

fendilhação (perda de rigidez) e da fluência do betão nas características da resposta e

na forma de avaliar os efeitos das acções. Estes assuntos irão os alunos analisar ao

longo do curso.

4) Posteriormente há que fazer as verificações de segurança, atrás mencionadas,

como a limitação da deformação, o controlo do nível de tensões nos materiais e o

controlo das aberturas de fendas. Estas verificações são estabelecidas nos


18

regulamentos, para certas combinações de acções. Refira-se que um certo limite é

dependente da duração de tempo em que possa subsistir.

Por exemplo, para o caso da deformação, é importante garantir a sua limitação para a

situação quase-permanente, mas não para a eventualidade de, numa ou várias

situações na vida da estrutura, se ter uma sobrecarga maior. Assim:

combinação quase permanente admissível

Por outro lado, uma abertura de fendas máxima de 0.5 mm pode ser considerada

aceitável para a combinação característica de acções, pois só acontece muito

esporadicamente, mas não para uma situação com carácter de permanência, em que

se aponta na regulamentação para um limite de 0.3 mm.


19

EXERCÍCIO 1

Considere a estrutura de um piso estrutural, que será tomado como referência nos

capítulos seguintes, a construir com os materiais indicados e as acções previstas

referidas, e que se representa na planta seguinte:

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1

Materiais: C25/30, A400

Acções:

Peso próprio

Revestimento=2.0 kN/m2

Sobrecarga = 3.0 kN/m2

Coeficientes de majoração:

G = Q = 1.5

Coeficientes de combinação:

1 = 0.4 ;2 = 0.2

Secção da viga: 0.300.85 m2

Espessura da laje: 0.15m

a) Determinar, para as secções S1 e S2 da viga, os valores dos esforços, para a

verificação da segurança à rotura.

b) Calcular, para as mesmas secções, os esforços para as combinações em serviço,

rara, frequente e quase-permanente.


20

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

No processo de verificação da segurança de uma estrutura é fundamental encontrar

um modelo de análise da estrutura, que nunca deve ser confundido, com a própria

estrutura. Trata-se, no essencial, de “um modelo da estrutura” que serve de base

para a análise, dimensionamento e verificação de segurança, neste caso da viga

central em causa.

1. Modelo de cálculo:

Modelo para o cálculo da viga

10.00 3.00

S2 S1

g, q

Corte transversal à viga

rev, q

0.30

0.15

0.70

4.00

Comentários ao modelo de cálculo, escolhido, com algumas simplificações:

Consideram-se as vigas sem continuidade na ligação aos pilares;

Considera-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais.

2. Cálculo das acções na viga

2.1. Carga permanente

Peso próprio

pp = betão Área = [4 0.15 + (0.85 - 0.15) 0.30] 25 = 20.3kN/m

Revestimento

rev = 2.0 4.0 = 8.0kN/m

cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m

2.2. Sobrecarga

sc = 3.0 4.0 = 12.0kN/m


21

3. Diagrama de esforços para uma carga unitária (poder-se-ia considerar logo à

partida considerar o valor das cargas)

S1S2

10.00 3.00

p=1 kN/m

RA RB

10.25

4.5

4.553.0

DMF

[kNm]

(+)

(-)

DEV

[kN]

(+)

(-)

(+)

5.45

x

(i) Cálculo das reacções de apoio

MA = 0 10 RB- 1.0 13 13 2

= 0 RB = 8.45kN

F = 0 RA + RB = 13 RA = 13 - 8.45 = 4.55kN

(ii) Cálculo do momento flector a ½ vão

MB = - 1 3 3 2

= - 4.5kN/m

M½vão = 1 102 8

- 4.5 2

= 10.25kNm L/2 L/2

pL /82

(iii) Cálculo do momento flector máximo

4.55 + 5.454.55

= 10.0

x x = 4.55m

Mmáx = 4.55 4.55

2 = 10.35kNm

M½vão Mmáx


22

ALÍNEA A)

Secção S1 Secção S2

MS1G

= – 4.5 28.3 = - 127.35 kNm MS2G

= 10.25 28.3 = 290.1 kNm

MS1Q

= – 4.5 12.0 = - 54 kNm MS2Q

= 10.25 12.0 = 123.0 kNm

VS1G

= –5.45 28.3 = 154.2 kN

VS1Q

= –5.45 12.0 = 65.4 kN

Valores de cálculo dos esforços

MS1sd

= 1.5 ( )MS1G

+ MS1Q

= 1.5 (-127.35 - 54) = -272.0 kNm

MS2sd

= 1.5 ( )MS2G

+ MS2Q

= 1.5 (290.1 + 123) = 619.7 kNm

VS1Sd

= 1.5 ( )VS1G

+ VS1Q

= 1.5 (-154.2 - 65.4) = -329.4 kN

Consideração de alternância de sobrecarga

A sobrecarga, sendo uma acção variável, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para

cada caso, há que verificar a hipótese de carga mais desfavorável.

Chama-se, desde já a atenção, para que na consola e sobre o apoio adjacente, os

esforços só dependem das cargas na própria consola e, portanto, os valores máximos

são os avaliados anteriormente.

Por outro lado, se se considerar apenas a actuação da sobrecarga no tramo apoiado,

o momento flector obtido a meio vão desse tramo será superior ao calculado

considerando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculo anterior).

Deste modo,

g

q

MS2Q

= 12 102

8 = 150 kNm ; MS2

G = 10.25 28.3 = 290.1 kNm

MS2sd

= 1.5 (290.1 + 150) = 660.2kNm


23

Refira-se que, sendo a viga isostática, a distribuição de esforços para uma qualquer

combinação de acções é única. Ora isto é diferente do que acontece nas estruturas

hiperstáticas onde são possíveis distribuições de esforços distintas que equilibram as

mesmas acções... e que são compatíveis com o comportamento, efectivamente não

linear, dos materiais.

Alínea b)

Secção S1

Mc rara = MG + MQ = -127.35 - 54 = - 181.4kNm

Mcfreq = MG + 1 MQ = -127.35 - 0.4 54 = -149.0kNm

Mcqp = MG + 2 MQ = -127.35 - 0.2 54 = – 138.2kNm

Vc rara = VG + VQ = 154.2 + 65.4 = 219.6kN

Vcfreq = VG + 1 VQ = 154.2 + 0.4 65.4 = 180.36kN

Vcqp = VG + 2 VQ = 154.2 + 0.2 65.4 = 167.3kN

Secção S2

Mc rara = MG + MQ = 290.1 + 123.0 = 413.1kNm

Mcfreq = MG + 1 MQ = 290.1 + 0.4 123 = 339.3kNm

Mcqp = MG + 2 MQ = 290.1 + 0.2 123 = 314.7kNm

Verifica-se também que o nível de esforços considerados para a verificação da

segurança à rotura são significativamente superiores aos correspondentes das

combinações de acções em serviço, e que estes últimos são tão menores, quão a

probabilidade de ocorrência seja maior.


24

3 Materiais

3.1 CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES

O betão tem como referido anteriormente, e os alunos certamente saberão nesta fase

do curso, um comportamento não linear. Ou seja, tem uma relação tensão-extensão

que não segue a lei de Hook, em particular para tensões mais elevadas. Como se verá

na sequência, até certos níveis limitados de tensão, é razoável admitir o

comportamento como linear.

Os betões são, em termos regulamentares, classificados por classes de resistência,

como certamente analisaram na disciplina de materiais.

As classes de resistência estão definidas de acordo com os valores característicos de

tensão de rotura à compressão aos 28 dias de idade, referidos a provetes cúbicos ou

provetes cilíndricos, apesar destes últimos serem aqueles que se consideram como

referência na avaliação da segurança estrutural.

No quadro seguinte apresentam-se, para as várias classes de resistência do betão, os

valores característicos e de cálculo das tensões de rotura à compressão (fck e fcd), bem

como o valor médio da tensão de rotura à tracção (fctm) e módulo de elasticidade aos

28 dias (Ec, 28).

Classe B15

C12/15

B20

C16/20

B25

C20/25

B30

C25/30

B35

C30/37

B40

C35/45

B45

C40/50

B50

C45/55

B55

C50/60

cub.

fck

cil.

[MPa]

15

12

20

16

25

20

30

25

37

30

45

35

50

40

55

45

60

50

fcd

[MPa] 8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3

fctm

[MPa] 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

Ec,28

[GPa] 27.0 29 30 31 33 34 35 36 37


25

3.1.1 TENSÕES DE ROTURA DO BETÃO

A partir dos valores característicos das tensões de rotura à compressão ou à tracção,

definem-se os valores denominados de dimensionamento ou de cálculo à rotura:

fcd = fcil.ck

c , fctd =

fctk

c com c = 1.5 ( )fcil.

ck 0.8 fcubos

ck

O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção pode ser estimado pela

expressão:

fctm = 0.30 f2/3ck

Nota: o valor de fcd é definido a partir da resistência em cilindros, dado que estes provetes são

mais representativos da resistência do betão em peças longas.

3.1.2 MÓDULO DE ELASTICIDADE DO BETÃO

Na análise de estruturas é usual admitir um comportamento elástico, como atrás já

referido, considerando-se, em geral, o módulo de elasticidade secante do betão aos 28

dias de idade. Este módulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica,

encontra-se definido para c = 0 e c = 0.4 fck. Refira-se a propósito, que este tipo de

hipótese é adoptada, na prática da engenharia, com muita frequência, considerando-

se, posteriormente, formas mais ou menos directas de ter em consideração o efectivo

comportamento não linear do betão armado, quer em condições de serviço, quer,

por maioria de razão, próximo da rotura.

fcm

c

c

Ec

0.4 fck

3.1.3 VALOR CARACTERÍSTICO DA TENSÃO DE ROTURA DO BETÃO À COMPRESSÃO FC

A partir de um certo número de resultados de ensaios, é possível avaliar o valor

característico do betão.


26

Assim:

fck = fcm - Sn , Sn – desvio padrão das resistências das amostras

– parâmetro que depende do número de ensaios

n 6 10 15

1.87 1.62 1.48

3.2 CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS

As armaduras a utilizar no betão estrutural podem dividir-se em:

armaduras para betão armado

armaduras de pré-esforço

As primeiras são também denominadas de armaduras passivas, pois só são

solicitadas em resposta a acções exteriores.

As armaduras de pré-esforço são compostas por aços com capacidade resistente da

ordem de 3 a 4 vezes superiores às passivas e são chamadas de activas, pois são

traccionadas antes da actuação das solicitações exteriores.

Nestes elementos referem-se unicamente as primeiras pois o pré-esforço é introduzido

na disciplina de Estruturas de Betão II.

3.2.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ARMADURAS PARA BETÃO ARMADO

Os aços são classificados tendo em consideração o processo de fabrico, a rugosidade

da superfície e a sua capacidade resistente. Assim temos:

processo de fabrico

aço natural (laminado a quente) (N)

aço endurecido a frio (E)

aderência

alta aderência (superfície rugosa ou nervurada) (R)

aderência normal (superfície lisa) (L)

resistência

(A235), A400, A500


27

O aço A235 foi utilizado na construção em Portugal, em geral com varões lisos, mas já

não é produzido actualmente.

As armaduras designam-se, assim, com a seguinte simbologia base:

Designação das armaduras: A500 N R SD

fyk aderência

processo de fabrico ductilidade especial

Os aços de dureza natural A400 NR e A500 NR produzidos em Portugal,

apresentam apenas duas famílias de nervuras – ver figura abaixo. Nos aços A400

todas as nervuras de uma família são paralelas ao passo que no A500 as nervuras

têm alternadamente inclinações diferentes, pelo menos de um dos lados.

A diferenciação, entre aços com ductilidade especial (SD), recomendados em zonas

sísmicas, e os correntes, é ilustrada na figura, sendo que, no essencial, os SD tem as

mesmas nervuras nas duas faces.

Tipo A400NR Tipo A500NR

Tipo A400NR SD Tipo A500NR SD

Identificação do tipo de aço

Os aços endurecidos a frio (E) são produzidos por laminagem com impressão de um

perfil nervurado, constituído por três famílias de nervuras dispostas em 3 planos.


28

4 Verificações de Segurança à Rotura por Flexão

Para a avaliação das capacidades resistentes das secções de betão à flexão, no

âmbito da filosofia de segurança em relação à rotura, começa-se por mostrar como se

caracterizam os comportamentos dos materiais a adoptar naquela avaliação.

Posteriormente, e a partir de hipóteses admitidas para a deformação da secção na

rotura, mostra-se como se avaliam os esforços resistentes de flexão.

4.1 RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

AOS E.L. ÚLTIMOS

4.1.1 BETÃO

A partir da relação tensão-extensão característica do betão, referida anteriormente, é

definida uma relação simplificada, com base numa parábola e num rectângulo com um

valor máximo de resistência, o qual é obtido do valor característico, pela aplicação do

correspondente coeficiente parcial de segurança de 1.5.

c

c

fcd

c2

fck

cu2

(Diagrama parábola rectângulo)

fcd = fck

c , c = 1.5 0.8 1.0

para 0 c c2

c = fcd para c2 c cu2

Para as classes de resistência até C50/60,

c2[‰] cu2[‰]

2.0 3.5

Para uma definição analítica detalhada destas curvas pode ser consultada bibliografia

referida para a disciplina.

Na avaliação do valor de fcd, para além do coeficiente parcial de segurança, aparece o

coeficiente . Este parâmetro tem em consideração a diminuição da tensão de rotura

do betão quando sujeito a tensões elevadas prolongadas. De facto, se o betão for

solicitado com constância, durante um certo período de tempo, a uma tensão um

pouco inferior à máxima (entre 85% a 100% de fc) acaba por atingir a rotura. De

acordo, por exemplo, com o REBAP, a tensão máxima no betão está limitada a 0.85

fcd, ou seja considerando = 0.85. No entanto, o EC-2 propõe, para casos correntes,


29

1.0 fcd, pois nas condições de carregamento com persistência o betão estará, em

geral, solicitado a níveis de tensões bem inferiores às acima referidas, tendo-se

considerado demasiado penalizante tomar esse efeito na verificação da segurança à

rotura. Na disciplina, e na prática da engenharia em geral no futuro, tenderá a utilizar-

se a hipótese proposta no EC2. No entanto, e para já, o mais importante é perceber a

razão do sentido físico deste coeficiente.

4.1.2 AÇO

Para a verificação da segurança aos E.L. Últimos pode ser considerada uma das duas

relações constitutivas indicadas pelo EC-2, e presentes na figura seguinte, i.e.,

considerando ou não (hipótese muitas vezes admitida como simplificação) algum

incremento de resistência a partir da cedência, quantificado pelo coeficiente k.

k fyk

f yd

1

ukyd

ykf

E =200 GPas

2

s

sud

k fyd

fyd = fyk

s , s = 1.15

ud = 0.9 uk

Classe fyk

[MPa]

fyd

[MPa]

yd

[10-3

]

A235

A400

A500

235

400

500

205

348

435

1.025

1.74

2.175

O valor da extensão máxima convencional do aço, ud (igual a 90% do valor

característico uk), a considerar depende da classe de ductilidade das armaduras. No

quadro seguinte são indicados os valores característicos das extensões últimas, para

as diferentes classes de ductilidade, que são da ordem dos 25 a 75‰, portanto, muito

superiores aos do betão de 3.5 ‰.

Classe de

ductilidade A B C

k 1.05 1.08 1.15

<1.35

uk [%] 2.5 5.0 7.5

Refira-se que o REBAP limita a 10‰ a extensão última convencional de

dimensionamento, ud, valor claramente inferior aos acima referidos. No entanto, uma

vez que para este valor de extensão, o aço se encontra bem na cedência, as


30

repercursões em termos da avaliação das capacidades resistentes à flexão, são

praticamente nulas, como se verá no sub-capítulo seguinte.

Em Portugal os aços são denominados por NR, ER ou NR SD, como referido em

3.2.1, onde é explicada a simbologia e a forma como se pode proceder à sua

identificação superficial. Para a construção corrente é normal utilizarem-se ferros NR,

sendo em zonas de maior sismicidade, a utilização de aços SD fundamental. Estas

classificações actuais dos aços em Portugal, correspondem às características de

ductilidade das classes B (NR) e C (NR SD) definidas no EC2 e acima mencionadas.

4.2 ANÁLISE DA SECÇÃO. MÉTODO GERAL

Definidas as características dos materiais, a capacidade resistente à flexão simples,

mas também à tracção e compressão isoladas e/ou estas em sobreposição com a

flexão, resultam do estabelecimento das condições de equilíbrio e do estabelecimento

das condições de deformação da secção e das condições limite. No que se segue vai

se analisar a situação de flexão simples mas é importante que os alunos estabeleçam,

por si, as situações de tracção e compressão simples. A flexão composta será tratada

posteriormente no curso.

Hipóteses adoptadas na rotura convencional de dimensionamento

1- Apesar da complexidade do estado de deformação do betão armado, próximo da

rotura, a Hipótese de Bernoulli é considerada.

2- A situação última limite é atingida, quando se verifica uma das extensões últimas

seguintes:

- -c = 3.5‰ (Deformação máxima de encurtamento no betão)

- s = ud (Deformação máxima de alongamento nas armaduras)

3- A participação do betão à tracção não é considerada:

- c = 0 se c> 0 o betão à tracção tem tensão nula

LN

Fs

z MRd

Fc

x

(+)

(-)

c 3.5‰

s ud


31

Com base nas relações constitutivas dos materiais e das hipóteses anteriores,

estabelecem-se as equações de equilíbrio na secção. Assim, se as expressarmos em

função das resultantes das tensões de tracção e compressão, tem-se:

Equações de Equilíbrio (sendo Fs e Fc as resultantes das tensões de tracção e

compressão, respectivamente.):

Equilíbrio axial (Esforço axial nulo): Fs = Fc

Equilíbrio de momentos: MRd = Fs z

4.3 MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR

Neste método simplifica-se a forma de distribuição das compressões no betão e

despreza-se a participação do aço à compressão, o que permite resolver as equações

anteriores, de forma simples.

0.8xx

fcdfcdc

(-)

fcd

c

3.5‰ c0.7‰

Deste modo,

s

c

Fs

z = d - 0.4x

x(-)

(+)

Fc

LN

d

fcd

0.8x0.4x

4.3.1 CÁLCULO DE MRD

Se forem conhecidos a geometria da secção, a quantidade de armadura e as

resistências dos materiais, a avaliação da capacidade resistente segue os seguintes

passos (trata-se um problema dito de análise pois a secção e armaduras estão

totalmente definidas):

i) Admitir que s = fyd (s yd), ou seja, que as armaduras estão em cedência

ii) Determinar posição da linha neutra

Por equilíbrio axial, Fc = Fs fcd Ac (x) = As fyd x = ?


32

iii) Calcular o momento resistente

Por equilíbrio de momentos, MRd = As fyd (d - 0.4x)

iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: s yd

Rotura convencional: c = 3.5‰ ou s = ud

A partir da posição da linha neutra anteriormente calculada, se

admitirmos que a rotura se dá pelo betão, obtém-se a

extensão ao nível da armadura.

c = 3.5‰

(+)

(-)

s

x

Se s yd a hipótese considerada inicialmente, de admitir o aço em cedência

está correcta.

Se s < yd Fs < As fyd, trata-se de uma situação não desejável pois nem se

estaria a tirar partido da resistência máxima do aço.

A posição da Linha Neutra para essa situação limite pode ser avaliada para os aços

A400 e A500 por:

Posição da LN para c = 3.5 ‰ e s = yd (início da cedência do aço)

d

x

s=yd

(+)

(-)

c = 3.5‰

A400: yd = 1.74 ‰

x3.5

= d

3.5 + 1.74 x = 0.67 d

A500: yd = 2.175 ‰

x 3.5

= d

3.5 + 2.175 x = 0.62 d

Deste modo, se x 0.67 d no caso de se utilizar aço A400, ou se x 0.62 d no caso

de se utilizar aço A500, pode se concluir, desde logo, que o aço está em cedência.

Por outro lado, conhecida a posição da Linha Neutra, é possível confirmar se a rotura

convencional se dá pelo betão. Exemplifica-se, seguidamente, para aços das classes

B (NR) e C (NR SD).

Para um aço de Classe C: Posição da LN para c = 3.5‰ e ud = 0.9 75‰ = 67.5‰

x

c = 3.5‰

(-)

(+)

ud

d

x 3.5

= d 71

x = 0.05 d


33

Deste modo,

se x < 0.05 d (situação pouco corrente) c< 3.5‰

s = ud

(rotura pela armadura)

se x > 0.05 d c = 3.5‰

s < ud

(rotura pelo betão)

Se tratasse de um aço de Classe B ter-se-ia para este limite x = 0.072 d

Constata-se, assim, que, para uma grande gama de possíveis posições da Linha

Neutra, a rotura convencional dá-se pelo betão e o aço está em cedência. Esta

diferenciação (rotura convencional pelo aço ou betão), nem é importante pois de

qualquer maneira a capacidade máxima resistente do aço é explorada.

No entanto, é importante no dimensionamento das secções de betão armado controlar

melhor a posição da Linha Neutra por uma razão essencial: Um elemento de betão

armado deve apresentar ductilidade em situação de rotura, i.e., deve poder

evidenciar deformações apreciáveis por cedência das armaduras, sem perda de

capacidade resistente. Esta característica é fundamental nas estruturas e, para tal, é

importante assegurar valores x/d limitados, pois verifica-se, experimentalmente, que

aquele é um parâmetro que influencia directamente a ductilidade do elemento.

A Ductilidade ou Capacidade de Deformação Plástica das Secções é medida pela

relação (1/R)u/(1/R)y, i.e., a relação entre as curvaturas última e de cedência, como

ilustrado na figura seguinte.

As2 As3 As4< < <

c 3.5‰) ou

c ud)

As1

MRd

y( )R/1

(1) As1 (x1;s1;maior ductilidade)

As2 (x2;s2)

u1/R( ) ( )R/1

As3 (x3;s3)As4 (x4;s4;menor ductilidade)

s=syd

(2)

(1)

(2) Rotura da secção por esmagamento do betão comprimido

menos correntemente, por deformação de armaduras

(+)

(-)x

cx = -3.5‰

sAs

1R

1 R

= - cx x

Para garantir um nível mínimo de ductilidade disponível deve procurar garantir-se

que, pelo menos, x 0.4 a 0.5 d, portanto com x/d claramente na zona de cedência do

aço.


34

É importante referir que no dimensionamento à rotura dos elementos estruturais se

deve sempre avaliar as vertentes de resistência e de ductilidade.

A situação mais corrente com que o engenheiro se defronta na prática, depois de ter

feita a análise estrutural, ter avaliado a distribuição de esforços actuantes, ter definido

uma geometria para a secção e escolhido os materiais, é a de querer avaliar a

quantidade de armadura a considerar para verificar a segurança (trata-se um problema

dito de dimensionamento).

Dimensionamento das armaduras:

Dados: geometria da secção, fcd, fyd, Msd

0.8x

fcd

d

LN

Fcx

z

Fs

Msd

As

b

i) Admitir que s = fyd (s yd), ou seja, que as armaduras estão em cedência

ii) Determinar posição da linha neutra

Por equilíbrio de momentos, Msd = Fc z = fcd b 0.8 x (d - 0.4x) x = ... Fc = ...

iii) Calcular a área de armadura necessária

Por equilíbrio axial, Fc = Fs fcd b 0.8x = As fyd As= ?

iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: s y


35

Exercício 2

Considere a viga representada na figura seguinte e adopte G = Q = 1.5

q

5.00

0.55

0.30320

Materiais: C25/30 (fcd = 16.7MPa)

A400 (fyd = 348MPa)

Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga.

Resolução

Método do diagrama rectangular simplificado

0.4x0.8x

0.85 fcd

d

LN

Fcx

z

Fs

MRd

1. Cálculo do MRd

Equações de equilíbrio (flexão simples)

F = 0 Fc = Fs (1)

M = 0 MRd = Fs z = Fs (d - 0.4x) (2)

(Este exercício está resolvido com = 0.85)

Fc = 0.8x b 0.85 fcd = 0.8x 0.30 0.85 16.7 103 = 3406.8x

Fs = As fyd = 9.42 10-4 348 103 = 327.8kN (As(320) = 9.42cm2)

(1) Fc = Fs x = 327.8

3406.8 = 0.096m z = d – 0.4x = 0.55 – 0.4 0.096 = 0.51m


36

(2) MRd = Fs z = 327.8 0.51 = 167.2kNm

Verificação da hipótese de cedência do aço (s yd)

0.454

s

(+)

(-)

c = 3.5‰

0.096

0.55

s 0.454

= 3.5‰ 0.096

s = 16.6‰>>yd

yd = fyd

s =

348

200103 = 1.74‰

xd =

0.0960.55

= 0.175

Ductilidade da secção (como critério mínimo é desejável que x/d ~ (0.4 a 0.5) ou,

equivalentemente, s >~

4‰ a 5‰,

3. Cálculo da sobrecarga máxima (Msd MRd)

Msd = psd L2

8 167.7kNm psd

8 167.7 52

= 53.7kN/m

psd = 1.5 (g + q) q = 53.7 1.5

- 0.30 0.60 25 = 31.3kN/m


37

Exercício 3 (mesma base do exercício 1)

Considere a mesma estrutura de piso e considere os cálculos já realizados:

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1


Acções:

Peso próprio

Revestimento = 2.0kN/m2

Sobrecarga = 3.0kN/m2


G = Q = 1.5


1 = 0.4 ;2 = 0.2

Secção da viga: 0.30 0.85m2


a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão

da viga (Secções S1 e S2)

a.1) utilizando o método do diagrama rectangular simplificado

a.2) Fs z

a.3) com recurso a tabelas

a.4) pormenorize as armaduras de flexão


38

RESOLUÇÃO DA ALÍNEA A):

1. Modelo de cálculo:

10.00 3.00

S2 S1

g, q

0.85

0.30

2. Envolvente do diagrama de esforços

660.2

(+)

DMF

[kNm](-)

272.0

S2

S1

ALÍNEA A.1)

Secção S2 (M +sd = 660.2 kNm)

0.30

As

Msd

Fs

z

Fc

0.85 fcd

0.8x

LN

x

0.80

Resolução com = 0.85:

Fc = 0.85 fcd 0.8x b = 0.85 16.7 103 0.8x 0.3 = 3406.8x

Fs = As fyd = As 348 103

Equilíbrio de momentos:

MAS = Msd 3406.8x (0.8 - 0.4x) = 660.2 x = 0.282m

Fc = 3406.8 0.282 = 960.7kN

Equilíbrio de forças:

Fs = Fc As 348 103 = 960.7 As = 960.7

348 103 104 = 27.6 cm2

Verificação da hipótese de cedência do aço


39

0.282

0.518

s

c = 3.5‰

(-)

(+)

Admitindo que c = 3.5‰

c = 3.5‰

s =

0.2820.518

s = 6.43‰ > yd = 1.74‰

xd = 0.35

A armadura está em cedência e a secção tem um nível de ductilidade aceitável.

Secção S1 (M -sd

= 272.0 kNm)

Msd

0.8xFc

FsAs

0.30

0.80

x

LN

0.85 fcd

z

Equilíbrio de momentos:

MAS = Msd 3406.8x (0.8 - 0.4x) = 272.0 x = 0.105m Fc = 357.7kN

Então x/d = 0.13 Bom em termos de ductilidade disponível

Equilíbrio de forças

Fs = Fc As 348 103 = 357.7 As = 357.7

348103 104 = 10.28cm2

Verificação da hipótese de cedência do aço

Admitindo que c = 3.5‰ tem-se: s

3.5‰ =

0.6950.105

s = 23.2‰ >>yd

4.4 RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS

Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformação de uma secção de

betão armado, para quatro áreas de armadura distintas (área de armadura crescente).


40

x1

MRd

As s

(+)

(-)

c

MRd,1

(As muito pequeno) (As maior)

x2

MRd,2

c

(-)

(+)

s

(...)

x3

MRd,3

s

(+)

(-)

c

(...)

MRd,4

x4

c

(-)

(+)

s

1 2 3 4

Apresentam-se, em seguida, as relações constitutivas do aço e do betão, com

indicação qualitativa da evolução das tensões e extensões dos dois materiais, com a

variação da armadura.

fcd

c

syd ud s

s

fsyd

2‰ 3.5‰ c

43 e2

1

e1 23

4

Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos níveis de armadura, existe

proporcionalidade entre a área de armadura e o momento resistente da secção. À

medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relação deixa de ser linear, ou

seja, o aumento da armadura traduz-se em acréscimos menores de momento

resistente. Este comportamento deve-se à sucessiva diminuição do braço do binário

(z) com o aumento da área de armadura, até que a armadura deixa de poder estar em

cedência (caso 4) e, portanto, o aumento de armadura perde toda a eficiência.

321

MRd

As4

M1

M2

M3

M4


41

4.5 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – GRANDEZAS ADIMENSIONAIS

4.5.1 MÉTODO GERAL

s1

c

(-)

(+)

xFc

M

Fs1

LN

s2

As1

As2d2

d

Fs2 x

b

c

Fc = fcd b x

Fs2 = s2 As2

Fs1 = s1 As1

fcd =

Ac c dA

bx ; x =

c y dA

c dA

– coeficiente que define a relação da resultante das tensões de compressão no

betão pela força de uma compressão uniforme com fcd, em toda a zona comprimida.

– coeficiente que define a posição da resultante das tensões de compressão no

betão, função de x.

Equações de Equilíbrio

Equilíbrio axial: Fc = Fsfcd bx + s2 As2 = s1 As1 (1)

Equilíbrio de momentos: MAs = M M = fcd b x (d - x) + s2 As2 (d - d2) (2)

(Equações não lineares)

Cálculo por iterações

i) Fixar c = 3.5‰ e um valor de x (por exemplo, tal que, xd = 0.5)

ii) Calcular as forças axiais F

Se |Fc + Fs2| > Fs1

a LN tem de subir para diminuir FC, tendo uma das

extensões, c ou s, o valor máximo e, a outra, um

valor igual ou inferior ao limite.

sud

d

x

c 3.5‰

(-)

(+)

É necessário diminuir o valor de x até que F = 0


42

Se |Fc + Fs2| < Fs1

(a LN tem de baixar para aumentar Fc)

x

s

c 3.5‰

(+)

(-)

É necessário aumentar o valor de x até que F = 0.

ii) Calcular MRd

Definida a posição da LN e o diagrama de extensão, calculam-se as tensões e o

valor de MRd

Nota: Este é um processo de cálculo moroso. Na prática recorre-se a programas de

cálculo automático ou a tabelas de cálculo.

Para elaborar tabelas é necessário trabalhar com grandezas adimensionais,

por forma a que sejam aplicáveis a secções com qualquer geometria.

4.5.1.1 Grandezas adimensionais

Equações de Equilíbrio

fcd

bx = s1 As1 - s2 As2 (1)

M =

fcd b x (d - x) + s2 As2 (d - d2) (2)

Substituindo (1) em (2),

M = s1 As1 (d - x) - s2 As2 (d - x) + s2 As2 (d - d2)

= s1 As1 (d - x) + s2 As2 (x - d2) (3)

Considerando As2 = As1 e s = fyd, a equação (3) toma a forma

M = As1fyd d

1 -

x d

+ As1fyd d

x d

- d2 d

Transformando esta equação numa forma adimensional (dividindo todos os termos por

b d2fcd), resulta

M b d2 fcd

= As1 fyd b d fcd

1 -

x d

+ As1 fyd b d fcd

x d

- d2 d

= (1 – k) +

k -

d2 d


43

Definem-se, assim, os parâmetros , w e k, de uso corrente na concepção e

dimensionamento de estruturas de betão:

= M

b d2 fcd (Momento flector reduzido);

= As1 fyd b d fcd

(Percentagem mecânica de armadura)

k = x d

(Posição da L. Neutra adimensional)

4.5.2 MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR SIMPLIFICADO

4.5.2.1 Grandezas adimensionais

b

Fc

MRd

Fs

x

(+)

(-)

c

s

d

As

LN

0.4x

z

0.8x

MRd = Fs z = Fs (d - 0.4x)

Admitindo que o aço está na cedência, MRd = As fyd (d - 0.4x)

Transformando a equação anterior numa forma adimensional, resulta

MRd

b d2 fcd =

As fyd

b d fcd

1 - 0.4

xd

= As

b d fyd

fcd

1 - 0.4

xdRd = (1 - 0.4k)

Rd = MRd

b d2 fcd (momento flector reduzido); k =

x d

= As b d

fyd fcd

(percentagem mecânica de armadura)

Fc = Fs0.8 (kd) bfcd=Asfydk = 1.47 As

b d

fyd

fcd = 1.47 ( =0.85)085).85)

Visto que Rd = (1 - 0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtém-se a seguinte

expressão para cálculo do momento flector reduzido em função da percentagem

mecânica de armadura:

Rd = (1 - 0.588 )


44

4.5.3 UTILIZAÇÃO DE TABELAS

As tabelas podem ser utilizadas para:

i) Determinar o momento resistente de uma secção, dadas as armaduras;

ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante

4.5.3.1 Determinação da capacidade resistente (Análise)

Dado As1 e As2 determina-se e Tabelas

()

MRd = b d2fcd

4.5.3.2 Dimensionamento de armaduras

Dado Msd determina-se =Msd

b d2 fcd

Tabelas

() 1 As1 = 1 bd

fcd

fyd As2 = As1

Refira-se que as tabelas da disciplina foram desenvolvidas para = 0.85

Notas:

(i) No dimensionamento de uma secção, a posição da L.N. deve ser controlada por

forma a que se tenha a garantia de um nível de ductilidade adequado.

Caso isso não aconteça, será conveniente dispor de armaduras de compressão

específicas ou modificar a secção da viga (aumentar a altura é mais eficiente que

adaptar a largura, no entanto, na prática do projecto, a altura está muitas vezes mais

condicionada).

(ii) Numa viga, existe, de qualquer forma, sempre armadura de compressão, por

razões construtivas, em geral, com um nível não inferior a = 0.1.

Directamente através dos valores adimensionais do momento (), e não considerando

o papel da armadura de compressão, é possível ter, para uma dada secção, uma

noção do nível de esforço actuante e da potencial ductilidade.

Momento elevado k próximo de 0.668 (A400) s próximo de yd

0.30 (secção pouco dúctil)

Momento médio k < 0.5 (secção dúctil, dimensionamento adequado)

0.10 a 0.25

Momento pequeno 0.10 (situação aceitável, a secção estará “folgada”)

IMPORTANTE: Estes valores devem ser tomados como referência para um

dimensionamento adequado e não como imposições regulamentares ou outras. Por


45

exemplo, é possível ter valores de mais elevados e ter-se, ainda, um nível de

ductilidade adequado, com utilização de armadura de compressão.

No quadro seguinte, e para a flexão simples, apresentam-se as relações de

dimensionamento - relativas à aplicação do REBAP ( = 0.85) e do EC2 ( = 1)

com relações constitutivas dos aços de acordo com as Classes A, B e C.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

EC2 - k=1,00

EC2 - Classe A - k=1,05

EC2 - Classe B - k=1,08

EC2 - Classe C - k=1,15

EC2 - Classe C - k=1,35

REBAP

Verifica-se que as diferenças nos valores resistentes são pouco significativas, sendo a

maior entre o REBAP (linha inferior) e o EC2, tomando a classe de aço C com k = 1.35

(linha superior).

As diferenças mais importantes são devidas à consideração do aumento da resistência

do aço para além da cedência (coeficiente k). Refira-se que na prática seria sempre

desajustado tomar para o aço C um valor superior a k = 1.15 pois, havendo a

possibilidade deste variar entre 1.15 e 1.35, ter-se-ia que tomar, sempre, o menor.

O facto de se adoptar para o betão o coeficiente 0,85 (em vez do 1), só tem

influência relevante para esforços elevados, pois aí começa a ter alguma influência a

diminuição do braço das forças, devido ao aumento da zona das compressões.


46

4.6 ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE

d

Fc

Mz

FsAs

Para momentos de ordem de grandeza pequena a média verifica-se que, para

secções rectangulares, é razoável admitir, de umas forma simplificada: z 0.9 d.

M = Fsz Asfyd 0.9 d As = M

0.9 d fyd

De facto, pela observação das tabelas de flexão simples (pág. 9), com = 0, verifica-

se que:

para = 0.15, z (1 - 0.4 k) d = (1 - 0.4 x 0.247) d = 0.9 d

para < 0.15, z > 0.9 d, portanto a hipótese anterior é conservadora para o

dimensionamento da armadura.

para > 0.15, z < 0.9 d, então a hipótese referida, com pouca armadura de

compressão, pode ser menos conservadora. No entanto, mesmo para um valor

de da ordem de 0.25 e para um = 0.4tem-se também k = 0.247, e, por

conseguinte, z 0.9 d.

CONCLUSÃO IMPORTANTE:

Verifica-se, assim, que dentro da gama de valores de momentos, correntemente

recomendados e utilizados na prática, esta hipótese simplificativa permite uma rápida

e eficiente estimativa dos momentos flectores resistentes.

Para a resolução de problemas em geral e para a prática de projecto, formas simples

de avaliação e controlo de resultados são de inestimável valor.


47

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.)

ALÍNEA A.2)

Fs = As fyd

z 0.9d M 0.9 d fyd AsAs =

M 0.9 d fyd

M+sd = 660.2kNm As =

660.2

0.9 0.8 348103 104 = 26.34cm2

M -sd = 272.0kNm As =

272.0

0.9 0.8 348103 104 = 10.86cm2

ALÍNEA A.3)

Secção S2 (M +sd

= 660.2 kNm)

= Msd

b d2 fcd=

660.2

0.30.8216.7103 = 0.206 = 0.241; k = 0.351

As = bd fcd fyd

= 0.241 0.30 0.80 16.7 348

104 = 27.76 cm2

Secção S1 (M -sd = 272.0 kNm)

= 272.0

0.3 0.82 16.7103

= 0.085 = 0.091; k = 0.163

As = bd fcd fyd

= 0.091 0.30 0.80 16.7 348

104 = 10.48cm2

É importante comparar os resultados obtidos pelos dois métodos, e perceber,

como referido no texto, que se for limitado, é razoável assumir a metodologia

simplificada.


48

4.7 PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE

Armadura de tracção

z

As Fs

MRd

Fc

2Fs

< z

2Fc

2As

O momento resistente é quase proporcional à área de armadura, para momentos não

muito elevados. Para momentos elevados, a variação é menos significativa.

Armadura de compressão

As1

Fc

z

Fs1

Fc

MRd

Fs1

z

As1

As2Fs2

A influência da armadura de compressão no valor do momento resistente, apenas é

importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, a variação é

pouco significativa.

Largura da secção

FcFc

z

Fs

z

As Fs

MRd

As

A influência da largura da secção no valor do momento resistente, apenas é

importante para esforços elevados. Para esforços habituais, em que geralmente a área

comprimida é limitada, a variação é pouco significativa.


49

Classe do betão

Fc

MRd

FsFsAs

z z

Fc

As

A influência do aumento da classe do betão tem uma influência equivalente à dos

parâmetros anteriores, largura da secção e/ou armadura de compressão, portanto só

se torna importante para esforços mais significativos, aliás de uma forma equivalente

ao facto de se considerar ou não o coeficiente = 0.85.

4.8 DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES COM OUTRAS FORMAS

4.8.1 LARGURA EFECTIVA DE UMA SECÇÃO EM T

No dimensionamento de vigas com banzos ou com ligação a lajes, pode tirar-se

partido da existência dos banzos, principalmente se se situarem na zona comprimida

da secção.

b1 b2bw

h f

d0

Neste caso, a distribuição de tensões no banzo não é uniforme: as zonas laterais

deformam-se menos que a zona central da alma (devido à deformação por corte) –

efeito de “shearlag”, tal como se pode observar na planta e corte ilustrados de

seguida.

Simplificadamente, considera-se uma largura efectiva (bef) onde se admite que a

distribuição de tensões é uniforme

Fc


50

M

x,max

bef

4.8.1.1 Avaliação da largura efectiva

(i) Banzo comprimido

bw

hf

bef

bef1 bef2

b1b1 b2 b2

b

Para o caso genérico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtida

através da expressão:

bef = befi + bw b

Temos, assim, a largura da alma e um valor complementar de cada lado, tal que:

befi = 0.2 bi + 0.1 L0 0.2 L0, com befi b

L0 representa a distância entre pontos de momento flector nulo e pode ser

avaliado por:

0.7 L2

L2

L0 L1+0.15L2

L1 L3

0.15(L2+L3) 0.85 L3

Evidentemente que, em termos práticos é possível simplificar esta avaliação, desde

que se estime um valor inferior, pois é conservativo e pouco significativo em termos do

resultado.

(ii) Banzo traccionado

No caso de se tratar de um banzo traccionado, é proposto tomar, para além da alma

da viga, uma largura função da espessura do banzo dada por 4hf (hf – espessura do


51

banzo) em que as armaduras de tracção podem ser distribuídas. No entanto, se for

possível, em termos de pormenorização, uma solução com todas as armaduras de

cálculo na largura da alma é preferível. De qualquer maneira, deve se procurar sempre

ter pelo menos, 50 a 60 % da armadura de cálculo na alma.

4.8.2 DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM “T” POR TABELAS

Esta metodologia verifica-se ser, em geral, um pouco fastidiosa, pois exige a consulta

de várias tabelas e realização de interpolações, podendo em geral ser evitada, em

particular se se verificar que a Linha Neutra se encontra no banzo comprimido.

Exemplo com indicação do processo de interpolação:

b bw

= 5 ; hf d

= 0.125

b bw

= 4

hf/d = 0.10 1

a

hf/d = 0.15 2

b bw

= 6

hf/d = 0.10 3

b

hf/d = 0.15 4

Casos particulares:

Dado que se considera que o betão não resiste à tracção, o dimensionamento de uma

secção em “T” pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma secção

rectangular nos seguintes casos:

(i) se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece na

generalidade dos casos) – secção rectangular de largura bef;

bef

bw

LN

As

M

Fs

Fc

As

LN

bef

M

Fc

Fs


52

(ii) se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver traccionado – secção

rectangular de largura bw

M

As

LN

bw

bef

Fc

Fs

Fc

bw

Fs

LN

As

M

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 – ALÍNEA A3 – CONSIDERANDO A SECÇÃO EM T

Dimensionamento das armaduras considerando a contribuição da laje à compressão

Viga em “T”

bw

bef

h f

h

hf = 0.15 m

h = 0.85m

bw = 0.30m

bef = befi + bw = 1.22 2 + 0.30 = 2.74 m

bef1 = 0.2 b1 + 0.1 L0 = 0.2 3.72

+ 0.1 0.85 10 = 1.22 m 1.7m

0.2 L0 = 0.2 0.85 10 = 1.7 m

Hipóteses para o dimensionamento da secção, para momentos positivos:

(i) Se a L.N. estiver no banzo da secção, o dimensionamento pode ser efectuado como

se a secção fosse rectangular, de largura bef.

(ii) Se a L.N. estiver na alma da secção, o dimensionamento deverá de ser efectuado

com base em tabelas de secção em “T” (ou recorrendo ao método do diagrama

rectangular simplificado).

Para verificar se a L.N. está no banzo,

MSd = 660.2kNm = 660.2

2.740.8216.7103 = 0.023 k = 0.076

x = k d = 0.076 0.8 = 0.06 m 0.15 m a LN está claramente no banzo


53

= 0.023 = 0.024 As = b d fcd

fyd = 0.024 2.74 0.8

16.7348

104 = 24.77cm2

É importante comparar este resultado com o obtido anteriormente e verificar que neste

caso se obteve um valor inferior, em aproximadamente 10%, em relação ao da

consideração da viga rectangular. Isto deve-se ao facto de neste caso se poder dispor

de um braço maior. Note-se, que a hipótese de considerar a secção como rectangular, é

conservativa em termos de verificação da segurança.

4.8.3 SIMPLIFICAÇÃO DE SECÇÕES PARA EFEITOS DE DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO

SIMPLES

1) Secção real

b

b'

bw

b

b'

2bw

2) Secção real

bw

b

b

2bw

3) Secção real

bw

b

bw

b


54

Secções a considerar no dimensionamento à flexão

1)

b'

b

2bw

M M

bb'

(se a LN estiver no banzo) (se a LN estiver no banzo)

Nota: Se a LN estiver na alma da secção, o dimensionamento poderá ser efectuado

com base numa secção em T (considerando a existência do banzo que estiver

comprimido, e desprezando o banzo traccionado)

2) e 3)

bw

b

bw

M

b

M

(se a LN estiver na alma) (se a LN estiver no banzo)

(se a LN estiver na alma) (se a LN estiver no banzo)


55

Exercício 4

Considere a estrutura da figura seguinte:

S1S2

10.00 3.50

cp

3.50

sc

1.00

1.00

0.20 0.20

0.15


Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m

sobrecarga = 40.0 kN/m

Coeficientes de majoração: G = Q = 1.5

a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão

da viga (secções S1 e S2)

b) Pormenorize as armaduras de flexão.


56

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4

ALÍNEA A)

1. Esforços de dimensionamento

10.003.50 3.50

psd

DMF

[kNm]

(+)

(-) (-)

551.3

573.8

551.3

psd = 1.5 (20 + 40) = 90 kN/m

MsdS1 = -

psd L12

2 = -

90 3.52 2

= -551.3 kNm

MsdS2 =

psd L22

8 - Msd

S1 = 90 102

8 - 551.3 = 573.8 kNm

2. Determinação das armaduras (E.L.U. flexão)

Secção S2 (M +sd = 573.8 kNm)

0.200.20

1.00 Msd

LN LN

1.00

0.40

= Msd

bd2 fcd =

573.8

0.40 0.952 13.3103 = 0.120 = 0.131

As = bd fcd fyd

= 0.131 0.40 0.95 13.3 348.0

104 = 19.03 cm2


57

Secção S1 (M -sd = 551.3 kNm)

Hipótese: a LN encontra-se no banzo da secção

Msd

1.00

1.00

LNLN

1.00

= Msd

bd2 fcd =

551.3

1.0 0.952 13.3 103 = 0.046 k = 0.112

k = x d

x = k d = 0.112 0.95 = 0.106 LN está no banzo

= 0.046 w = 0.048

As = bd fcd fyd

= 0.048 1. 0 0.95 13.3 348.0

104 = 17.42cm2

5 Disposições Construtivas Gerais

As disposições das armaduras nas peças de betão armado são de extrema

importância quer para a boa resposta estrutural do betão estrutural, quer para

assegurar que durante a construção, em particular no processo de betonagem, se

assegura o posicionamento previsto para os ferros. Referimos agora, e na sequência

as bases relativas a estas disposições.

Poderemos, talvez, diferenciar entre armaduras principais e secundárias, mas é acima

de tudo preciso compreender que o importante é a eficiência final do conjunto.

Armaduras principais: Asseguram a resistência do elemento estrutural relativamente à

segurança à rotura (não só de flexão, como vimos anteriormente, mas também a

outros efeitos) e contribuem para assegurar um comportamento adequado nas

condições de serviço, como vamos ver noutro Capítulo do curso.

Armaduras secundárias: Têm como função ajudar a rigidificar as malhas de

armaduras, para a sua colocação em obra, assegurando o posicionamento correcto e

estável das armaduras durante a betonagem.


58

d

b

h

s c

est = 6 ou 8 mm (o diâmetro de 6 é muito pouco

utilizado em obras de média ou alta dimensão)

10 a 12 mm (para vigas mais importantes)

long = 12 a 16 mm (para vigas menos solicitadas)

= 20 a 25 mm (para vigas mais robustas)

c – recobrimento

Obtém-se como estimativa da altura útil:

Altura útil: d = h - c - est - long

2

5.1 RECOBRIMENTO DAS ARMADURAS

O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funções:

(i) mecânica: Destina-se a garantir que há betão suficiente a envolver a armadura, e

assim garantir a sua aderência por forma a que se verifique uma eficiente transmissão

de forças entre o betão e o aço (c ou eq)

(ii) durabilidade: protecção contra a entrada dos agentes agressivos e

consequentemente dificultando que o processo de corrosão das armaduras se possa

verificar (recobrimento definido em função da agressividade do ambiente de exposição

e da compacidade do betão)

Estes aspectos são mencionados e analisados no capítulo referente à durabilidade do

betão armado.

5.2 DISTÂNCIA LIVRE ENTRE ARMADURAS (S)

A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a

betonagem em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e

as necessárias condições de aderência e protecção.

No caso de armaduras para betão armado, temos, em termos regulamentares os

seguintes valores:

smin = { }maior, eq maior, (dg + 5 mm), 2 cm

onde dg representa a máxima dimensão dos inertes.


59

No entanto, se estes são valores mínimos, deve-se projectar, pretendendo

espaçamentos com folga em relação a estes.

A distância livre entre uma camada de armaduras longitudinais numa viga, igualmente

espaçadas, pode ser calculada pela expressão:

s = b - 2c - 2est - n long

n - 1 , n – número de varões

É necessário, na pormenorização garantir que a distância entre varões assegura o

espaço necessário para introdução do vibrador do betão (aconselhável: 4 a 5 cm

junto à face inferior e 7 a 10 cm junto à face superior). Nalguns casos, em particular na

face superior é normal que não se adoptem espaçamentos iguais entre ferros para

assegurar este objectivo.

Nas figuras seguintes apresentam-se dois exemplos de pormenorização de uma viga

que dá apoio na parte superior a uma laje, nas zonas mais solicitadas à tracção nas

faces inferiores (vão) e superiores (apoio).

5.3 AGRUPAMENTOS DE ARMADURAS

Os agrupamentos de armaduras devem ser evitados sempre que possível, dado que

prejudicam a aderência aço/betão. No entanto, se essa for a forma de garantir uma

malha muito apertada de ferros é, sem dúvida, uma solução justificável.

Regulamentarmente definem-se algumas restrições aos agrupamentos. Assim:

O agrupamento de varões com diâmetros diferentes pode ser adoptado desde que o

quociente dos diâmetros não exceda o valor 1.7.

Relativamente ao número máximo de varões que é possível agrupar, temos:

- Para o caso de armaduras verticais comprimidas ou numa zona de emenda de

varões, n 4

- Em todos os restantes casos, n 3

Em qualquer direcção não pode haver mais que 2 varões em contacto.


60

O diâmetro equivalente de um agrupamento pode ser calculado pela expressão

eq = 2i 55mm

Exemplos:

(mais indicado)

(aceitável)

(desaconselhável)

Evidentemente que soluções que incluam varões isolados e outros agrupados são

possíveis, tentando sempre seguir as indicações gerais referidas, em especial, não

dificultar a betonagem e o bom envolvimento das armaduras pelo betão.

5.4 DOBRAGEM DE VARÕES

Em muitas situações as armaduras têm de ser dobradas, como as armaduras

longitudinais nas extremidades das vigas e, em geral, as armaduras transversais.

Condições a satisfazer:

- Não afectar a resistência do aço;

- Não provocar o esmagamento ou fendilhação do betão quando a armadura for

traccionada.

O diâmetro mínimo de dobragem para não afectar a resistência do aço depende, no

essencial, do diâmetro do varão e são indicados no quadro seguinte do EC2. Estes

valores são considerados mínimos havendo que ter precauções complementares no

que diz respeito ao risco de esmagamento e de fendilhação inconveniente do betão,

em particular se as dobragen se verificarem junto à superfície da peça, como indicado

com detalhe, por exemplo, no EC2.

Quadro – Diâmetro mínimo do mandril a fim de evitar danificar a armadura

Diâmetro do varão

Diâmetro mínimo do mandril para cotovelos,

ganchos e laços

16 mm 4

> 16 mm 7


61

5.5 POSICIONAMENTO DAS ARMADURAS

O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes

elementos:

Espaçadores – garantem o recobrimento das armaduras

c

Cavaletes – garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores nas

lajes

h

Varões construtivos (armaduras secundárias) – Colocados de tantos em tantos

metros (dependente da rigidez do ferro em causa) garantem o espaçamento

vertical dos varões longitudinais principais, durante a betonagem.

5.6 PRINCÍPIOS A TER EM ATENÇÃO NA PORMENORIZAÇÃO DAS ARMADURAS

A escolha do tipo de pormenorização no que respeita ao número de varões e

diâmetros a adoptar deve ter em atenção os seguintes factores, que apontam,

eventualmente para opções contraditórias:

- custo da mão de obra menor número de varões

- facilidade de betonagem menor número de varões

- liberdade de dispensa maior número de varões

- mais eficiente limitação da fendilhação maior número de varões

Na pormenorização das armaduras longitudinais das vigas só os três primeiros

aspectos são significativos, havendo que ganhar experiência e ter bom senso nas

escolhas, sendo certo que não há que procurar a solução óptima, mas sim uma BOA

SOLUÇÃO.


62

5.7 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS – ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXÃO

5.7.1 QUANTIDADES MÍNIMA E MÁXIMA DE ARMADURA

A quantidade mínima de armadura a adoptar numa viga, neste caso definida no EC2,

é dada pela seguinte expressão:

As,min = 0.26 fctm

fyk bt d

onde bt é definida, como sendo a largura média da zona traccionada em flexão.

Esta quantidade de armadura tem a ver com a necessidade de assegurar um mínimo

de robustez aos elementos de betão armado, em especial garantir, com uma certa

reserva, que, ao se dar a fendilhação, a quantidade de armadura é suficiente para

reter as tracções que se libertam do betão sem cedência do aço, garantindo um

comportamento dúctil.

Chama-se, desde já a atenção para que, numa viga em T, com banzo traccionado é

mais prático separar, por um lado, a alma, com a sua largura, bw, ou, se esta for

variável, com seu valor médio, para aplicar a expressão anterior e, por outro lado, os

banzos, como elementos traccionados, com uma armadura mínima, a distribuir nas

duas faces do banzo, tal que;

As fsy k > Ac,banzo fctm, ou seja As,min = Ac,banzo fctm/fsyk

A questão da armadura mínima, como forma de controlar a fendilhação, em termos do

comportamento em serviço, para situações de efeitos de deformações impostas, será

retomado no Capítulo referente ao comportamento em serviço.

A quantidade máxima de armadura a adoptar, fora das secções de emenda, é dada

em termos regulamentares por:

As,máx = 0.04 Ac

onde Ac representa a área da secção de betão.

No entanto, em termos práticos, esta limitação tem pouca relevância, pois os

critérios de dimensionamento à rotura atrás apresentados, com limitação dos valores

de momento reduzido e posição da linha neutra (garantia de ductilidade) conduzem a

quantidades de armadura bastante inferiores.

5.7.2 ARMADURA LONGITUDINAL SUPERIOR NOS APOIOS DE EXTREMIDADE

Sempre que existir ligação monolítica entre uma viga e um pilar de extremidade, e

caso esta ligação não tenha sido considerada no modelo de cálculo, deverá adoptar-


63

se uma armadura superior dimensionada, pelo menos, para um momento flector igual

a 15% do momento flector máximo no vão.

Deste modo,

As,apoio

– = máx { }As,min, 0.15 As,vão

+


64

6 Introdução ao Comportamento Não Linear de Estruturas de Betão

Como referido e ilustrado no Capítulo 1, o comportamento do betão armado é não

linear desde o início da fendilhação, que se verifica para níveis de carga relativamente

reduzidos. Verificou-se que o betão estrutural tem um comportamento dividido, no

essencial, em 3 fases, antes da fendilhação, no processo de fendilhação antes da

cedência do aço e daí até à rotura. Da hipótese de admitir, em estruturas hiperstáticas,

o comportamento linear dos materiais na avaliação da distribuição de esforços

resulta, desde logo, uma “aproximação”, para o nível de acções de serviço, e, por

maioria de razão, próximo da rotura.

Para analisar os efeitos da acção de cargas, o fundamental no desenvolvimento do

projecto de estruturas é tomar uma solução de distribuição de esforços equilibrada (o

que, naturalmente, é respeitado pela solução elástica). Assim, pode ter-se como

referência a solução de distribuição elástica, mas podemos tomar uma outra, dentro de

limites bastante folgados, como se verá (mantendo sempre o equilíbrio). De facto,

na fase próxima do esgotamento da capacidade resistente, a distribuição de esforços

depende é da distribuição das resistências, ou seja, no caso do betão armado, da

distribuição das armaduras adoptadas no projecto. A distribuição de esforços adapta-

se às resistências disponíveis, desde que haja ductilidade disponível nas zonas mais

esforçadas, ou, o que é equivalente, essas zonas tenham capacidade de deformação

plástica. E o betão armado é dimensionado, como se analisou no capítulo 3, para isso

mesmo.

Por outro lado, mesmo em condições de serviço, é natural haver, devido às perdas de

rigidez por fendilhação, variações dos valores de momentos, por exemplo numa viga

contínua, entre o vão e apoio, de mais ou menos 10%, tomando-se, no entanto, por

simplicidade, em projecto, a distribuição elástica.

Para os efeitos de deformações impostas, por exemplo, variações de temperatura ou

assentamentos diferenciais de apoios, a perda de rigidez associada à não linearidade

do comportamento (fendilhação e fluência para efeitos demorados no tempo) faz

diminuir claramente os esforços em relação aos “elásticos”, mesmo em condições de

serviço. Próximo da rotura, e se houver ductilidade disponível, o que será o caso se os

elementos forem bem dimensionados, os esforços podem quase se anular.

No que se segue analisa-se, para o caso de cargas verticais, como e quando se

pode ter em conta o comportamento não linear do betão estrutural, na definição da

distribuição de esforços para o dimensionamento à rotura.


65

6.1 ANÁLISE ELÁSTICA SEGUIDA DE REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS

Como acima referido, a partir da distribuição elástica é possível, e por vezes mesmo

aconselhável, tomar para o dimensionamento da estrutura uma outra, respeitando, na

mesma, o equilíbrio.

Na figura seguinte esquematiza-se este possível procedimento, que permite “passar”,

para uma dada combinação de acções, parte dos esforços do apoio para o vão,

respeitando sempre o equilíbrio. Resulta, neste caso, uma menor necessidade de

armaduras sobre o apoio e um aumento no vão. Esta opção pode ser muito útil na

região do apoio, pois:

Pode melhorar as condições de ductilidade.

Pode facilitar a pormenorização de armaduras.

MEL

MELR = MEL

M = MEL - MEL = MEL(1 - autoequilibrado

Li+1Li

DMF

p

Refira-se que, apesar de ser em geral menos interesante, é também possível

considerar a redistribuição de esforços em sentido contrario, do vão para o apoio.

Em termos regulamentares são referidas, em geral, algunas limitações, tais como:

Para 0.5 li

li+1 2

0.44 + k2 xu

d para fck 50 MPa k2 = 1.25

0.7 para os aços das classes B e C, correspondentes aos aços NR e NR

SD utilizados em Portugal.

Verifica-se, assim, como ilustrado na figura seguinte, que esta possibilidade depende

da posição da Linha Neutra na rotura, que, com vimos no Capítulo 3, é o parâmetro

indirecto principal de medida da ductilidade, ou da capacidade de deformação plástica

disponível.


66

1.0

xu/d0.208 0.448

Na figura abaixo ilustra-se, para uma viga contínua, como a redistribuição de esforços

é implementada, sendo equivalente a somar um diagrama de esforços auto-

equilibrado.

MEL

M

MELR

(+)

(-)

(+)

(+)

(-)

(+)

(+)

(-)

(-)

(+)

(+)

+

=

Refira-se que para uma viga bi-encastrada, a aplicação de uma redistribuição de =

0.75 corresponde a passar os momentos no apoio e vão de, respectivamente, (pl2/12)

e (pl2/24) (metade do anterior), para valores iguais no vão e apoio de (pl2/16) !! O aluno

deve analisar esta afirmação, de uma forma simples, verificando, por exemplo, que,

em ambos os casos a soma, em módulo, dos esforços no apoio e vão é igual a (pl2/8).

Isto mostra o relativamente largo espectro de possibilidades que são possíveis, para a

distribuição dos momentos de dimensionamento, e consequentemente de armaduras

no betão armado. Dito isto, é importante mencionar que esta possibilidade não sendo,

evidentemente, obrigatória, constitui uma opção de projecto, com eventuais vantagens

como anteriormente salientado.

A justificação desta possibilidade, pode ser compreendida, de uma forma

simplificada, se se tomar a distribuição elástica e se considerar uma rótula na secção

a partir da qual se quer redistribuir os esforços. Então, aplicando aí o valor do

momento a redistribuir, obtém-se o valor da rotação plástica necessária, rqd (ver a

figura abaixo).


67

rqd = 2 M3EI

l

Assim, esta rotação tem de ser inferior à capacidade de rotação plástica da zona,

neste caso sobre o apoio, por sua vez dependente, como salientado, principalmente

da posição da Linha Neutra na rotura:

rqd < adm

O valor da capacidade de rotação plástica adm não é facilmente quantificável. Na

figura do EC2 abaixo representada, são indicados esses valores em função de xu/d, e

das características do aço e betão. Estes valores são em geral conservativos, sendo

resultantes das campanhas experimentais realizados ao longo das últimas décadas e

de análises numéricas com modelos não lineares.


68

00

5

10

0,05 0,20 0,30 0,40

15

20

25

pl,d (mrad)

(xu/d)

30

35

0,10 0,15 0,25 0,35 0,45

C 50/60

C 90/105

C 90/105

C 50/60

Os valores de redistribuição possível (coeficiente atrás indicado) estão

calibrados de forma a respeitar estes procedimentos de verificação da

capacidade de rotação disponível, pelo que podem ser implementados sem este

tipo de avaliação directa.

6.2 APLICAÇÃO DIRECTA DO CÁLCULO PLÁSTICO (TEOREMA ESTÁTICO)

A regulamentação de estruturas de betão permite igualmente a utilização directa do

teorema estático da teoria da Plasticidade, que assegura que:

i) considerando uma distribuição de esforços em equilíbrio com as cargas de

dimensionamento;

ii) e que, em nenhuma zona, a capacidade resistente seja ultrapassada, a carga

de rotura é superior à considerada.

Evidentemente que este teorema é extremamente eficiente e útil, mas deve ser

usado com alguma precaução nas estruturas de betão, uma vez que:

a. como anteriormente analisado, a ductilidade das secções de betão armado é

limitada;

b. como se discutirá posteriormente, para afastamentos muito importantes em

relação à solução elástica, é importante verificar o impacto deste procedimento

sobre o comportamento em serviço, em particular no controlo da abertura de

fendas.

No entanto, dentro da gama de variações de momentos analisada, havendo o cuidado

de assegurar no dimensionamento uma boa ductilidade, como vimos neste Capítulo 6,

os princípios baseados na Teoria da Plasticidade podem ser considerados.

Classe C Classe B


69

6.3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO PRÁTICA DA NÃO LINEARIDADE NA VERIFICAÇÃO DA

SEGURANÇA DAS ESTRUTURAS

A alternância de sobrecargas deve ser considerada na verificação da segurança,

sempre que exista a possibilidade desse tipo de carregamentos. A consideração da

alternância de sobrecargas implica aumento dos esforços máximos nas zonas do vão

e apoio e, consequentemente, nas quantidades máximas de armaduras.

No entanto, no caso de estruturas hiperstáticas, a consideração de comportamento

elástico na estrutura para cada combinação de acções é claramente uma hipótese

bastante conservativa. Como ilustrado na figura seguinte, no segundo caso de carga o

momento elástico do vão mais carregado é maior e o do apoio menor, quando

comparados com o primeiro (HC1). No entanto, como indicado na figura, se para o

segundo caso de carga se aplicar uma redistribuição do vão para o apoio, obtém-se

uma envolvente de esforços em que os esforços máximos no vão mais carregado e

apoio são coincidentes com os do 1º caso de carga. Assim considerando a

redistribuição de esforços, neste caso para uma das combinações de acções, verifica-

se que a alternância das sobrecargas afecta a envolvente de esforços ao longo do

vão, mas não os valores máximos no vão e apoio, valores estes que condicionam as

quantidades máximas de armaduras a adoptar.

L L

pl /8

cp

sc

DMEL

2

2pl /8

1) Hipótese de carga 1 (HC1)

HC1

DMEL

L L

2) Hipótese de carga 2 (HC2)

sc

cp

M

M

DMELR

pl /82

HC2EL

PLHC2

HC1, HC2

HC2HC1

De referir dois aspectos em relação a este exemplo:

Se se considerasse um 3º caso de carga, carregando só o 2º vão com a

sobrecarga, o procedimento seria equivalente obtendo-se uma envolvente

simétrica.


70

Haveria, neste exemplo, a possibilidade de, em alternativa à redistribuição

adoptada no 2º caso de carga do vão para o apoio, redistribuir os momentos de

cada um dos casos de carga, fixando, por exemplo, um valor intermédio. Neste

caso diminuía-se o nível de redistribuição para cada um dos casos de carga e

obtinha-se uma solução de dimensionamento, talvez mais razoável.

A conclusão seria, sempre, que a consideração da alternância afectaria a

envolvente de esforços (nas zonas intermédias das vigas) mas não os valores

máximos no apoio e no vão, para além do necessário para garantir o equilíbrio

para cada combinação de acções.

Esta conclusão é muito importante e é a justificação pela qual, em muitas situações

práticas de projecto, em que se modela com base no comportamento elástico, se

dispensa a consideração explícita da alternância das sobrecargas. Esta conclusão é,

em muitos casos, aplicada directamente quando o nível das sobrecargas é pouco

importante face ao das cargas permanentes. No entanto, mesmo se este não for o

caso, a possibilidade de redistribuição de esforços nas estruturas de betão permite

sempre encontrar uma envolvente com menores valores máximos de esforços no vão

e apoio e que garantem, na mesma, o equilíbrio das cargas, para cada combinação de

carga. Se não se tirar partido desta possibilidade está a se assumir uma opção

conservativa.

Refira-se, por último, que, para cargas verticais, a distribuição de esforços para

verificação da segurança aos Estados Limites de Utilização deve ser a distribuição

elástica. Nestas condições, há que verificar se o nível de tensões nas armaduras em

serviço é aceitável, na zona onde foi aplicada a redistribuição no dimensionamento à

rotura, em termos do controlo da fendilhação, como atrás mencionado e se discute

com mais detalhe no Capítulo correspondente.

Para a determinação da carga última de uma estrutura existente os princípios da

Teoria da Plasticidade são particularmente úteis. Nesses casos, as capacidades

resistentes e as características de ductilidade são avaliadas com base na

caracterização possível dos materiais e quantidades de armadura presentes. A partir

destes valores pode ser estimada a máxima carga que pode ser suportada pela viga,

como esquematizado na figura seguinte.


71

pRd L /82

L

-MRd

L

pRd = ?

MRd+

DMF

(+)

(-)

Para a avaliação da capacidade última admite-se que, na rotura, é mobilizada, em

cada tramo, a capacidade resistente máxima das secções de vão e apoio. Então, por

simples equilíbrio, pode determinar-se a carga última, tal que:

PRd l2

8

M -Rd

2 + M+

Rd

Rigorosamente (porque o momento máximo não ocorre a

meio vão) pRd seria obtido das equações:

x = l2 -

M -Rd

pl

PRd =

M+Rd

- M -Rd

xl

Lx2

- x2

2

Será, evidentemente, necessário verificar se, a redistribuição em relação à solução

elástica, é razoável para a ductilidade disponível na estrutura existente.

Apresenta-se, para terminar, um problema semelhante para duas cargas concentradas

aplicadas nos meios vãos das vigas.

-MRd

+MRd

LL

PRdPRd

L/2 L/2

+MRd

(+)

(-)

DMF


72

Neste caso a carga P resistente de dimensionamento, PRd, seria obtida a partir da

expressão:

PRd l4 =

M -Rd

2 + M+

Rd


73

7 ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO

Apresenta-se, seguidamente, as principais características do comportamento de vigas

de betão armado quando submetidas, ao esforço transverso, à torção em zonas

correntes, introduzindo-se igualmente as zonas “D” (de Descontinuidade) associadas.

Mostra-se, neste capítulo, como se desenvolve o processo de fendilhação e explica-se

o encaminhamento das cargas ao longo das vigas, em situações próximas à rotura. O

modelo base adoptado para o dimensionamento ao Estado Limite Último é

apresentado e são derivadas as expressões que constituem as verificações de

segurança correspondentes. Os aspectos referentes à pormenorização das vigas, que

derivam desta formulação geral e outros, como os da suspensão de cargas, zonas de

ligação banzo-alma, cargas próximas dos apoios, são igualmente apresentados neste

capítulo.

Tratando-se estas notas de um elemento de estudo também utilizado na exposição

das aulas do curso, com o objectivo de melhorar a sua apresentação, várias das

figuras incluídas ao longo do texto são, em particular, directamente reproduzidas dos

documentos (ver Referências):

Muttoni, A., Schwartz, J., Thürlimann, B. 1998 : “Design of Concrete Structures With Stress

Fields”, Birkhäuser, Basel.

fib, 1999 : “FIP/fib Recommendations for Practical Design of Structural Concrete”, SETO,

London.

7.1 COMPORTAMENTO ELÁSTICO E MODELO DE COMPORTAMENTO NA ROTURA AO

ESFORÇO TRANSVERSO

Numa viga simplesmente apoiada submetida a duas cargas concentradas, com

comportamento elástico, definem-se trajectórias principais de tensão, de tracção e

compressão, como indicado na figura seguinte.

+

trajectórias das compressões principais

trajectórias das tracções principais

A


74

Elemento A

ct

Quando t = fct, inicia-se a fendilhação por esforço transverso

Se, na zona de corte junto aos apoios, se tomar um elemento A, verifica-se que o

Estado de tensão é o que está representado, com as direcções principais de tensão

inclinadas. É natural que, ao se atingir, na direcção das tracções principais, o valor da

resistência do betão, fct, surjam fendas inclinadas em relação ao eixo. A fendilhação

que se desenvolve terá um andamento aproximado ao desenhado no esquema

seguinte com as fendas a se formarem, no essencial, perpendicularmente às

direcções de tracção, quer na zona de flexão pura quer na de flexão/corte.

FlexãoFlexão +

Esforço transverso

Flexão +

Esforço transverso

Com o aumento da carga, a fendilhação desenvolve-se, prolongando-se as fendas até

próximo da zona comprimida. Verifica-se que as fendas “cortam” a possibilidade de

encaminhamento das tracções inclinadas de acordo com o comportamento elástico.

Nestas condições, se forem dispostos, na zona de corte, armaduras transversais

verticais (estribos) as tracções são re-encaminhadas nessa direcção. Podemos

então compreender, neste caso, a transmissão de tensões ou forças na viga, entre a

carga aplicada e a reacção de apoio, como representado no esquema seguinte.

Verifica-se que se formam dois campos de tensões de compressão, em forma de

leque, ligados por campos de tensões de tracção verticais, correspondentes aos

estribos colocados entre as carga e a reacção de apoio. A carga aplicada transmite-se,

assim, à parte inferior da viga, sendo posteriormente transferida à parte superior por

tracções nos estribos e, finalmente, é encaminhada para o apoio por compressões

inclinadas que se concentram na largura do apoio.


75

d

É de referir que este tipo de mecanismo de transmissão de carga em elementos de

betão armado submetidos à flexão com esforço transverso havia sido compreendido,

por Ritter e Morsch, desde os primeiros ensaios experimentais com o betão armado,

como identificado nas imagens abaixo reproduzidas, datadas do final e princípio dos

séculos XIX e XX, respectivamente.

Ritter (1899)

Mörsch (1909, 1922)

Na figura que se segue, também dessa época, mostram-se modelos curiosos de

avaliação da distribuição das forças no betão e armaduras (nessa altura lisas e

portanto sempre terminadas em gancho), numa zona fendilhada de betão armado

junto a um apoio. Refira-se que, neste caso, as armaduras transversais não eram


76

estribos mas sim parte da armadura longitudinal que era dobrada a 45º, quando

deixava de ser necessária para a flexão. Até aos anos 60/70, era corrente repartir as

necessidades de armadura para o esforço transverso entre estribos e armaduras

longitudinais dobradas.

Mörsch (1922)

Se admitirmos, como representado na figura seguinte (a) que a inclinação das

compressões se mantém constante (), podemos interpretar e compreender o

esquema de transmissão das cargas ao longo da viga, com a representação dos

campos de tensões. Notem-se os campos de compressão em leque, atrás referidos,

junto ás reacções dos apoios, e os campos de tensão paralelos, com inclinação , na

zona corrente da viga. Saliente-se que os campos de compressões incluem uma zona

de betão com várias fendas e os de tracção um conjunto de estribos, o que se pode

compreender ao analisar em conjunto os dois esquemas (a) e (b).

a)

b)


77

Este modelo contínuo de transmissão de tensões poderá também representar-se por

um modelo discreto, constituído pelas resultantes dos campos de tensões,

assim equivalente a uma treliça, onde as armaduras transversais e longitudinais

funcionam como tirantes e o betão comprimido entre fendas inclinadas como escora

ou biela, com resultante igual ao campo de compressões que representa (ver figura

seguinte). Neste modelo, também as acções aplicadas nos nós correspondem à

resultante das cargas distribuídas na zona de influência respectiva.

z

bielas comprimidas (resultante da zona de compressões correspondente)

tirantes (resultante das forças de tracção nos estribos no comprimento

z cotg)

z cotg z cotg z cotg

Assim, neste modelo de treliça, cada barra vertical e inclinada representa,

respectivamente, a resultante de um campo de tensões de tracções e compressões,

numa largura de z cotg (ver figura seguinte). Por outro lado, refira-se que as barras

longitudinais, inferior e superior, representam, no essencial, os “banzos” traccionados

e comprimidos por flexão.

(1) Campo de tracções verticais

z cotg

estribos verticais (ou inclinados)

(2) Campo de compressões inclinadas

z cotg

bielas inclinadas

(1) Campo de tracções e compressões paralelas ao eixo

compressão

tracção


78

Com base nesta modelação ver-se à que é possível relacionar os esforços (M e V)

com as tensões nos diferentes elementos, ou seja, nas armaduras transversais,

armaduras longitudinais e bielas comprimidas (inclinadas ou longitudinais). Antes

porém convém chamar a atenção que este modelo, com origem, como se viu, nos

primórdios do betão armado, sendo estaticamente válido e representando as

características principais do comportamento, só corresponde a uma aproximação da

modelação da resposta do betão armado. Ao longo das últimas dezenas de anos têm

sido propostas diferentes adaptações ao modelo base de Ritter/Morsch. A figura

seguinte, sintetiza os resultados de inúmeros ensaios experimentais de medição das

capacidades resistentes ao esforço transverso, obtidos em diferentes laboratórios.

Indica-se a relação experimental entre o valor de esforço transverso último

(apresentado numa forma adimensional, v = Vu

b z fc) e a quantidade de estribos

(representada nas ordenadas pela percentagem mecânica, w = Asw

s b .

fy

fc).

Estes parâmetros adimensionais são, para o caso do esforço transverso, equiparáveis

aos correspondentes à flexão e, como se verá adiante, o nível de esforço transverso

máximo de dimensionamento, para uma dada geometria e betão, corresponde

aproximadamente a vRd = 0.30.


79

Compreende-se então que, não sendo um problema simples, ao longo destes anos

tenham sido propostos diferentes modelos para uma mais fiável avaliação. No

entanto, um bom modelo, para aplicação prática, deve ser sempre simples e de fácil

compreensão física.

Uma das questões relevantes que se coloca é a influência que o corte entre os

agregados ao longo das fendas inclinadas tem na influência na inclinação das

compressões na alma da viga, que não são as mesmas das fendas principais, como

se realça seguidamente. O escorregamento (com atrito) entre o betão nas faces das

fendas gera tensões de corte e compressão, que induzem no betão entre fendas um

estado de tensão que, sobreposto ao da “treliça pura”, reduz a inclinação das

compressões principais na alma, verificando-se assim não existir coincidência entre as

inclinações das fendas e das compressões principais.


80

ATRITO ENTRE AGREGADOS (Décadas de 80 / 90)

A INCLINAÇÃO DO CAMPO DE COMPRESSÕES () É INFERIOR À DA “FENDA” (r)

O modelo proposto presentemente no EC2 permite ao projectista a escolha do

ângulo de inclinação das compressões, desde que cotg se situe entre 1 ( =

45) e 2.5 ( = 22). Uma vez tomada a opção, em todo o processo de

dimensionamento, que se apresenta seguidamente, há que ser consistente com essa

escolha. Esta liberdade baseia-se no método estático da Teoria da Plasticidade,

segundo o qual, se se adoptar uma solução equilibrada em que a resistência não seja

ultrapassada em nenhum elemento a capacidade resistente da peça é superior ou

igual à considerada. A limitação imposta tem a ver com a maior ou menor capacidade

de adaptação da distribuição de tensões ás resistências disponíveis. Na disciplina

propõe-se que se adopte, em geral, um valor intermédio, por exemplo 30º. Por outro

lado, sugere-se a consideração de valores superiores para níveis elevados de esforço

transverso e/ou em caso da presença de um esforço axial de tracção, e inferiores nas

hipótese contrárias (níveis mais reduzidos de esforço transverso ou existência de

esforço axial de compressão).


81

7.2 POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA E VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA CORRESPONDENTES

Com base no modelo de campos de tensões, com um ângulo de inclinação das

compressões constante, ou do seu modelo simplificado de treliça, vamos analisar,

seguidamente, os possíveis modos de rotura e avaliar as capacidades resistentes

correspondentes.

Nas figuras seguintes ilustra-se:

(i) A rotura do campo de tracções vertical, ou seja dos estribos.

(ii) A rotura por esgotamento da resistência das compressões do campo

comprimido de tensões.

(i) Rotura dos estribos

(ii) Rotura por esmagamento do betão (nas

bielas comprimidas)

Há ainda que considerar, como veremos à frente em 7.3.1:

(ii) Rotura por arrancamento da armadura inferior do apoio (amarração

insuficiente) ou rotura da armadura (armadura insuficiente)

O esquema seguinte mostra as zonas onde se pode verificar a rotura, ou seja, as

tracções nas armaduras transversais, as tensões principais de compressão no

betão (é interessante notar também o pormenor do desvio das tensões do banzo

superior para as biela inclinadas da alma) e, ainda, da força necessária na armadura

longitudinal inferior no apoio de extremidade.


82

A rotura pelos estribos ocorrerá se a força resultante da capacidade resistente à

tracção do conjunto dos estribos, colocados no comprimento z cotg fôr insuficiente

para transmitir a carga do banzo inferior ao superior.

- ensaios, Kaufmann, W., Marti, P. 1996 : “Versuche an Stahlbetontragern unter Normal- und Querkraft”,

Swiss Federal Institute of Technology Zurich, Zurich.

Ora, a força a que este conjunto de estribos está sujeita é igual ao esforço transverso

da viga, avaliado a uma certa distância do apoio, Vsd (x), como indicado nos esquemas

seguintes, para um apoio de extremidade e outro de continuidade.


83

z

z cotg b

x

Vsd(x)

Vsd(x)

b

x

z cotg

DEVsd

zona do diagrama de esforço transverso que interessa

para efeitos de dimensionamento da armadura transversal

cargas que se transmitem

directamente para o apoio

cargas que se transmitem

directamente para o apoio

Assim, e como claramente apresentado no esquema seguinte, a força de tracção, Fs,

necessária para evitar a rotura pela “fenda” diagonal, é igual ao esforço transverso

avaliado à distância x do apoio. Então, a quantidade de armadura necessária vezes a

tensão de dimensionamento do aço, fyd, terá de ser superior àquela força. Se

dividirmos a área desses estribos pelo comprimento z cotg , obtém-se a quantidade

de armadura, Asw, por cada alinhamento de estribos com afastamento s, dada por

Asw/s.

b z cotg

Asw

Vsd (x)

Fs Vsd Asw fyd Vsd (x)

Asw

s fyd

Vsd (x)

z cotg

Asw

s

Vsd (x)

z cotg fyd

x = b 2

+ z cotg ; z 0.9d

Asw

s - área de aço por unidade de comprimento (armadura distribuída por m).

Vsd (x)

z cotg - força vertical por unidade de comprimento.

Assim, definido o valor de , passa a se poder estabelecer uma relação directa entre o

esforço transverso resistente e a quantidade de armadura transversal, como proposto

no Eurocódigo 2.


84

EUROCÓDIGO 2:

O valor do esforço transverso resistente, condicionado pelas armaduras transversais é

dado pela expressão (1) tal que:

VRd,s = Asw s

z fywd cotg Asw s

Vsd

z cotg fywd (1)

onde fywd representa o valor de cálculo da tensão de cedência da armadura de esforço

transverso.

Por outro lado, a capacidade resistente deste sistema de transmissão de forças pode,

também, ser condicionada pela capacidade resistente do betão à compressão na

zona da alma, ou seja, no campo de tensões com a inclinação, . A avaliação do nível

da tensão de compressão no campo paralelo de tensões pode ser deduzido como se

segue, a partir da força Fc, cuja componente vertical é igual a Vsd.

- ensaios, Kaufmann, W., Marti, P. 1996 : “Versuche an Stahlbetontragern unter Normal- und Querkraft”,

Swiss Federal Institute of Technology Zurich, Zurich.

b z cotg

a

Fc

Fc

Vsd

Fs

sen = Vsd Fc

Fc = Vsd

sen

c = Fc

bw a

sen = a

z cotg a = (z cotg ) sen = z cos = z cos

c = Vsd

sen bw z cos c =

Vsd (x)

0.9d bw sen cos

Refira-se que, como também ilustra a fotografia anterior, devido ao estado de tensão e

deformação mais favorável que ocorre na região do apoio, a eventual rotura do betão


85

à compressão não se verifica no campo de tensões “em leque”, mas sim no campo

paralelo adjacente, como indicado no esquema seguinte.

z cotg

R

Rotura

É assim oportuno relembrar, sumariamente, a influência dos estados multi-axiais de

tensão sobre o comportamento de regiões comprimidas de betão.

O estabelecimento da classe de resistência de um betão é efectuado a partir dos

resultados de ensaios à compressão uniaxial. No entanto, como se ilustra na figura

seguinte, em situações em que ocorra compressão transversal, por efeito de

confinamento ou cintagem, verifica-se um aumento da resistência à compressão, e,

sobretudo da ductilidade da região confinada.

Por outro lado, se existir tracção na direcção transversal às compressões, com

fendilhação como indicado no esquema seguinte, situação que ocorre nas almas das

vigas com fendilhação inclinada, verifica-se uma redução da capacidade resistente à

compressão. É este outro efeito que está representado no elemento de betão armado

abaixo indicado e nas relações tensão/extensão do betão, no caso de existir ou não, a

referida tracção transversal, com fendilhação associada. Esta redução da resistência à

compressão depende essencialmente do valor da extensão transversal, principalmente

relacionada com a abertura das fendas diagonais.


86

De forma simplificada, estes efeitos são considerados na EN1992 através da

verificação:

c 0.6

1 -

fck 250

fcd

Assim, definido o modelo de calculo e o ângulo , passa a se poder estabelecer uma

relação directa entre o esforço transverso resistente e a compressão máxima

admissível na alma, como proposto no Eurocódigo 2.

EUROCÓDIGO 2

O valor do esforço transverso resistente, condicionado pela resistência do betão na

alma, é dado pela expressão (2) tal que:

VRd,max = cw bw z 1 fcd

cotg + tg (2)

onde cw = 1 para estruturas sem pré-esforço e 1 = 0.6

1 -

fck 250

Então, esta expressão pode ser escrita na forma:

VRd,max = bw z 0.6

1 -

fck

250

fcd

cotg + tg

VRd,max (cotg + tg )z bw

= 0.6

1 -

fck

250fcd

VRd,max

z bw sen cos = 0.6

1 -

fck

250fcd, equivalente às deduções acima descritas.

Refira-se que o máximo valor de Vrd se verifica para o caso do ângulo ser de 45º, e

que neste caso o valor reduzido de esforço transverso, já atrás referido, é dado por

vrd = Vrd

bwdfcd e toma no máximo um valor de 0.3.


87

Este pode então ser considerado como o maior valor de esforço transverso reduzido

que pode ser resistido para uma dada secção e resistência de betão,

independentemente da quantidade de armadura.

Finalmente, nas zonas dos apoios, haverá que verificar a adequabilidade das suas

dimensões, para o que, de forma simplificada, também a EN1992 indica os seguintes

valores limites de tensões resistentes, respectivamente para os casos de apoios sem e

com continuidade:

c ≤ 0.85 (1-fck/250) fcd c ≤ 1.0 (1-fck/250) fcd

7.3 Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão

Numa zona intermédia da viga, se consideramos a actuar os esforços M e V, a

resultante das tensões axiais têm naturalmente de ser nula, pois não há esforço axial.

Deste modo, para equilibrar a componente horizontal da força inclinada na biela, Fc, e

acima avaliada, têm de se verificar, tracções na direcção longitudinal, nos “banzos”

superior e inferior da viga. Estas provocam, assim, uma variação nas compressões e

tracções devidas ao momento flector, M. Este efeito pode ser compreendido pelo

esquema abaixo indicado.

Fc

Vsd

V2

cotg

cotg 2V

FT

Vsd

Fc

FVT = Fc cos =

V

sen cos = V cotg

A componente horizontal das compressões inclinadas no betão impõe, por equilíbrio

axial, a necessidade de uma força de tracção,FVT, que se distribui igualmente pelos


88

banzos comprimido e traccionado, por forma a não alterar o momento aplicado à

secção.

Considerando a sobreposição dos efeitos de flexão e esforço transverso, verifica-se

então, como abaixo esquematizado, que haverá no banzo traccionado um incremento

de tracção e no comprimido um alívio das compressões. Refira-se que na zona de

momento nulo de uma viga, com esforço transverso diferente de zero, geram-se

tracções superiores e inferiores.

VM

FM

MF

VF

FV

+ =

V

VF

F

V M

FM

MF

FM = Mz

; FV = V2

cotg

Este efeito deve ser considerado na pormenorização das armaduras, como se verá na

análise da dispensa longitudinal das armaduras de flexão.

7.3.1 Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de

extremidade

Analisemos, agora, o sistema de transmissão de forças junto ao apoio simples,

referindo-nos às figuras seguintes, com representação dos campos de tensões ou só

das suas resultantes. Verifica-se que, por um simples equilíbrio de nó de treliça, se

gera uma tracção na armadura longitudinal, FT, dependente da reacção do apoio e da

inclinação da resultante do campo de tensões em leque, 1


89

z

z cotg b

1

b + z2 2

cotg

FT

R

1

Fc

R = Fc sen 1 Fc = R

sen 1

FT = Fc cos 1 FT = R cos 1

sen 1 = R cotg 1

cotg 1 =

b2 +

z2 cotg

z = 0.5

bz + 0.5 cotg

Como FT depende da largura do apoio, pode tomar-se por simplificação:

1) “Apoio pontual” (b = 0) ↔ cotg 1 = 0.5 cotg FT = R 2

cotg

2) z 2b

↔ cotg 1 =0.5 b2b

+ 0.5 cotg = 0.25 + 0.5 cotg FT =R (0.25 + 0.5 cotg )

Aproximadamente, e de uma forma conservativa, poderá em geral considerar-se:

↔ FT = 1.20 R (1 40)

Refira-se que a área de armadura longitudinal inferior a adoptar nestes apoios sem

continuidade deverá ser sempre, pelo menos, 25% da área de armadura adoptada na

zona do meio vão.

7.3.2 Armadura longitudinal no vão

Considera-se, agora, a análise da situação corrente de uma viga simplesmente

apoiada, como a representada na figura seguinte, e com base no modelo acima

descrito, definem-se os diagramas da força de tracção na armadura longitudinal.


90

MFT

M/z

V/2 cotg

VFT

M/z

FTM+V

+ V/2 cotg

+

=

Verifica-se que a variação da força de tracção ao longo do vão tem uma menor

variação ao longo do vão não sendo nula junto ao apoio (ver §1.2.4) e que na zona do

vão não é afectada em relação à da flexão, no vão central.

Em termos práticos, verifica-se, ser mais conveniente, para determinar a tracção

necessária em vez de somar as duas forças, avaliar a distancia, x (ver esquema a

seguir), segundo o eixo longitudinal, processo que se denomina de translacção do

diagrama de momentos.

Asflexão

M/z

x necessáriaAs

V/2 cotg

= d dx

M

z =

1 z

dM dx

= V z

por outro lado, tg = V/2 cotg

x

V2

cotg 1 x

= Vz

x = z2 cotg

Refira-se que a análise da dispensa de armadura longitudinal será, na prática,

efectuada, não a partir do diagrama de momentos flectores, mas deste, depois de

efectuada esta translacção, no valor dez/2 cotg .

7.3.3 Apoio de continuidade

A análise da zona de um apoio de continuidade é extremamente interessante pois,

trata-se de uma região com momento flector e esforço transverso significativos, à

esquerda e direita.


91

Geram-se dois campos de tensão em leque a partir do apoio, verificando-se que, com

base no modelo de escoras e tirantes, a tracção superior tem tendência a formar um

patamar constante, com valor dependente só do momento flector (ver figura em baixo).

De facto a influência do esforço transverso, ou seja da inclinação das compressões na

força de tracção, só se faz sentir a uma certa distância do apoio, não influenciando o

valor máximo de força de tracção devida à flexão, mas tão só alargando essa zona.

DFT

M/z

V2

cotg

M Vz 2

cotg +

- cotg M V

2z

z

FT = const.

1

z cotg

z cotg b

1

Define-se assim, também na zona de momento negativos, um diagrama de flexão com

translacção, a partir do qual deve ser definida a dispensa de armaduras.

7.4 Disposições das armaduras transversais

A área mínima de armadura transversal, que se justifica pela mesma razão da flexão,

pode ser quantificada através da imposição de uma percentagem de armadura, dada,

no EC2, por:

w,min = 0.08 fck

fyk

A percentagem geométrica de armadura transversal é definida através da expressão:

w,min = Asw

s bw

7.5 Espaçamento entre estribos e sua pormenorização

Por forma a evitar que a fenda se forme entre estribos, o espaçamento máximo entre

estribos deverá respeitar a condição:

s 0.75 d (1 + cotg ),

onde d representa a altura útil do elemento e a eventual inclinação da armadura

transversal.


92

Usualmente utilizam-se espaçamentos entre 0.075 e 0.30 m (ou, preferencialmente,

para vigas correntes, entre 0.10 e 0.25 m), não devendo ultrapassar-se, em geral, 0.5

d.

A armadura transversal é em geral, formada por um ou mais estribos, cada um com

dois ramos, que deverão em princípio, serem fechados. O EC2 abre, no entanto, a

possibilidade a outras hipóteses.

O espaçamento transversal entre ramos de estribos deve ser tal que:

st 0.75 d 600 mm

Assim para vigas largas, com mais de 60 cm, ou menos largas mas pouco altas, é, por

razões de eficiência na transmissão das compressões das bielas aos estribos

verticais, necessário ter mais do que um estribo (2 ramos) – ver figura seguinte.

Verifica-se que as tensões de compressão tendem a se apoiar nos cantos dos estribos

(onde também existem ferros longitudinais) e que, como se percebe, não devem estar

muito afastados para uma maior uniformidade da transmissão de forças.


93

EXERCÍCIO 5


0.60

5.00

0.30

g = 25kN/m

q = 12kN/m

Materiais: C25/30, A400NR

Responda ás seguintes questões, tentando compreender e interpretar as implicações

de adoptar diferentes ângulos de inclinação das bielas de compressão:

a) Calcule as armaduras transversais admitindo, para inclinação das bielas de

compressão, ângulos de 30 e 45.

b) Verifique, para ambas as situações, a tensão máxima de compressão nas bielas.

c) Calcule, para ambas as situações, os efeitos na armadura longitudinal.

d) Pormenorize a armadura longitudinal ao longo da viga.


94


ALÍNEA A)

1. Determinação dos esforços

psd = g g + q q = 1.5 (12 + 25) = 55.5 kN/m

Msd = pL2 8

= 55.5 52

8 = 173.4kNm

Vsd = 55.5 5

2 = 138.8 kN

2. Cálculo das armaduras transversais para = 30

z cotg = 0.9 d cotg = 0.9 0.55 cotg 30 = 0.87m

Vsd (z cotg = 138.8 - 0.87 55.5 = 90.5kN

Asw s

Vsd

z cotg fyd =

90.5

0.87 348 103 104 = 3.0 cm2/m

3. Cálculo das armaduras transversais para = 45

z cotg = 0.9 0.55 cotg 45 = 0.5m

Vsd (z cotg = 138.8 - 0.5 55.5 = 111.1kN

Asw s

= 111.1

348 103 0.5

= 6.39cm2/m

ALÍNEA B)

i) = 30

c = Vsd

0.9 d bw sen cos =

90.5

0.30.5sen 30cos 30 = 1393kN/m2

ii) = 45

c = 111.1

0.3 0.5 sen 45 cos 45 = 1481kN/m2

c 0.6

1 -

fck 250

fcd = 0.6

1 -

25 250

16.7 103 = 9018 kN/m2


95

ALÍNEA C)

1. Armadura no apoio de extremidade

i) Considerando um apoio pontual

b = 0 Fs = R 2

cotg

= 30 Fs =

138.8 2

cotg 30 = 120.2kN

= 45 Fs = 138.8

2 cotg 45 = 69.4kN

ii) Considerando a largura do apoio

Fs = 1.2 R = 1.2 138.8 = 166.6kN

As Fs fyd

= 166.6

348 103 104 = 4.79cm2

Comentário: menor maior área de armadura nos apoios

2. Cálculo do comprimento de translacção

= 30 x = z 2

cotg = 0.5 2

cotg 30 = 0.43m

= 45 x = z 2

cotg = 0.5 2

cotg 45 = 0.25m

Comentário: menor maior comprimento de translacção


96

7.6 Amarração de Armaduras

7.6.1 Comprimento de amarração

Considere-se um varão de aço embebido, num determinado comprimento, no interior

de um bloco de betão, conforme ilustrado na figura seguinte e admita-se uma tensão

de corte entre o betão e o aço, com distribuição constante.

fbd

lb,rqd

Fs = As sd

fbd – tensão de aderência de cálculo (b- bond ; d- design)

Nestas condições é possível definir o valor do comprimento necessário lb,rqd para que,

quando o varão for submetido a uma força de tracção, não haja escorregamento entre

os dois materiais. Deste modo,

FRc Fs Ac fbd Fs ,

onde Ac = lb e representa a área de betão em contacto com a armadura.

Ac fbd Fs lb,rqd fbd = As sd lb,rqd fbd = 2

4sd

De onde resulta

lb,rqd =

4 sd

fbd(Comprimento de amarração base)

O valor da tensão de aderência (fbd) pode ser calculado, segundo o EC2, através da seguinte

expressão:

fbd = 2.25 12 fctd

onde,

fctd representa o valor de dimensionamento da resistência do betão à tracção;

1 é um coeficiente que depende da qualidade da aderência e da posição do varão

durante a betonagem (1 = 1.0 para boas condições de aderência; 1 = 0.7 para

outras condições de aderência);


97

2 é um coeficiente que depende do diâmetro do varão (2 = 1.0 para 32 mm; 2

= (132 - ) / 100 para 32 mm).

Os varões dizem-se em condições de boa aderência se verificarem uma das

seguintes condições:

formem com a horizontal um ângulo entre 45º e 90º;

estejam integrados em elementos com espessura (na direcção da betonagem)

inferior ou igual a 25 cm;

quando a espessura excede 25 cm, os varões estão em boas condições de

aderência se se situarem na metade inferior do elemento ou a mais de 30 cm da

sua face superior.

O comprimento de amarração necessário lbd pode ser avaliado através da

expressão:

lbd = 1 2 3 4 5 lb,rqd lb,min

onde,

1 é um coeficiente que tem em conta a forma do varão na zona da amarração;

2 é um coeficiente que tem em conta o recobrimento do varão;

3 é um coeficiente que tem em consideração o efeito do cintagem das armaduras

transversais à amarração;

4 é um coeficiente que tem em consideração o efeito de varões transversais

soldados ao longo do comprimento de amarração;

5 é um coeficiente que tem em consideração o efeito favorável da existência de

tensões de compressão transversais ao plano de escorregamento, ao longo do

comprimento de amarração.

Sendo clara a influência de todos estes factores no comprimento de amarração, na

prática tomam-se, em geral, opções simplificativas que devem ser conservativas.

De qualquer forma, há que assegurar, um comprimento de amarração mínimo lb,min,

tal que:

varões traccionados: lb,min = máx {0.3 lb,rqd; 10; 100 mm}

varões comprimidos: lb,min = máx {0.6 lb,rqd; 10; 100 mm}


98

Simplificadamente, e para varões traccionados com amarrações curvas tem-se lb,eq =

1 lb,rqd = 0.7 lb,rqd

5

lb,eq

( 90)

ou

lb,eq

Esta redução é válida se a distância livre entre varões e/ou o recobrimento na direcção

perpendicular à amarração forem superiores a 3.

Por exemplo para varões comprimidos ou traccionados com barras transversais

soldadas (situação não muito corrente) o EC2 propõe:

lb,eq =4 lb,rqd= 0.7 lb,rqd

lb,eq

5t 0.6

Para se ter uma rápida avaliação dos comprimentos de amarração é extremamente útil

ter o multiplicador do diâmetro tal que: lb = k como expresso na tabela seguinte, sem

considerar os coeficientes , e admitindo s = fyd.

VALORES DE k = lb / para s = fyd

C20/25 C25 C30 C35 C40 C45 C50

A400

1 = 1

1 = 0.7

39

55

32

46

29

41

26

38

23

33

22

30

20

28

A500

1 = 1

1 = 0.7

48

69

40

57

36

52

33

47

30

43

27

38

25

36

Exemplifica-se seguidamente a avaliação do comprimento de amarração necessário

de um varão 16 solicitado por uma força de 45kN.


99

lb,rqd

45 kN

Materiais: C25/30

A400NR

fbd = 2.25 1 2 fctd = 2.25 1.0 1.0 1.8 1.5

= 2.7 MPa

lbd = lb,rqd = 4

sd fbd

= 4

223.9

2.7 = 20.7 = 0.33 m

Este valor é inferior ao da tabela pois o nível de tensão é menor que fyd.

sd = 45

2.01 10-4 = 223.9 MPa

7.6.2 Comprimento de emenda

As emendas dos varões das armaduras ordinárias devem, se possível, ser evitadas e

caso sejam necessárias, devem ser efectuadas em zonas em que os varões estejam

sujeitos a tensões pouco elevadas.

As emendas de varões podem ser realizadas por sobreposição, por soldadura, ou por

meio de dispositivos mecânicos especiais (acopladores, por exemplo).

As emendas por sobreposição devem satisfazer os seguintes critérios:

Não localizar as emendas nas zonas de maiores esforços;

Procurar manter a simetria;

A distância livre entre armaduras não deve ser superior a 4 ou 50 mm, caso

contrário o comprimento de emenda deve ser acrescido de (s – 4);

A distância longitudinal entre duas emendas adjacentes não deverá ser inferior a

0.3 l0;

No caso de duas emendas adjacentes, a distância livre entre varões não deve

ser inferior a 2 ou 20 mm;


100

A percentagem de varões a emendar numa mesma secção transversal pode ser

de 100% caso os varões estejam dispostos numa única camada, ou de 50% se os

varões estiverem dispostos em várias camadas.

O comprimento de emenda (l0) deve ser calculado, de acordo com o EC2, com a

expressão:

FF

l0

l0 = 1 2 3 5 6 lb,rqd l0,min

onde os coeficientes , são os definidos anteriormente e 6 é um coeficiente que tem

em conta a relação entre a secção dos varões emendados e a secção total dos varões

existentes na mesma secção transversal.

Normalmente há que considerar valores mínimos do comprimento de emenda, que

o EC2 define como sendo l0,min = max {0.3 6 lb,rqd;15;200mm}

Para que duas emendas possam ser consideradas em secções diferentes há que

respeitar as seguintes indicações:

0.65 l00.65 l0

Nas zonas de emendas geram-se tensões de tracção na direcção transversal que

podem recomendar a disposição de armaduras específicas se aquelas forem

elevadas. Nesse sentido as necessidades de reforço na zona da emenda (dispensável

no caso 20 mm ou se a percentagem de varões emendados seja inferior ou igual a

25%) é dada, no EC2, por:

a) Armadura em tracção


101

b) Armaduras em compressão

a) Armaduras em tracção

b) Armadura em compressão

b) Armaduras em compressão

a) Armaduras em tracção


102

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5 (CONT.)


0.60

5.00

0.30

g = 25kN/m

q = 12kN/m

ALÍNEA D)

1. Cálculo da armadura necessária a meio vão

Msd = 173.4kNm = Msd

bd2 fcd

= 173.4

0.30.55216.710

3 = 0.114 = 0.124

As = b d fcd fyd

= 9.84cm2

Adoptam-se 216 + 220 (10.3cm2)

Visto que Aapoios

4.79cm2 , é possível dispensar 216

2. Cálculo do MRd correspondente a 220 (6.28cm2)

= As b d

fyd fcd

= 6.28 10-4

0.3 0.55

348 16.7

= 0.079 = 0.075

MRd = b d2 fcd = 0.075 0.3 0.552 16.7 103 = 113.7kNm

3. Determinação da secção de dispensa de armadura

M(x)

138.8 kN 138.8 kN

55.5 kN/m

x

DMF

(+)

M(x) = 138.8 x - 55.5 x2 2

=

= 138.8 x - 27.75x2

Msd = MRd 138x - 27.75x2 = 113.7

x = 3.97m x = 1.03m

fbd = 2.25 1 2 fctd = 2.25 1.0 1.0 1.8 1.5

= 2.7 MPa


103

sd = 6.2810.3

348 = 212.2MPa lbd=

4 sd

fbd=

0.0164

212.22.7

=19.6 = 0.31m

aL = z 2

cotg = 0.43m

Secções de dispensa de armadura:

x1 = 1.03 - aL - Lb.net = 1.03 - 0.43 - 0.31 = 0.29 m

x2 = 3.97 + aL + Lb.net = 3.97 + 0.43 + 0.31 = 4.71m


104

EXERCÍCIO 6

Para a estrutura já analisada no Exercício 1 determine:

a) As armaduras transversais necessárias ao longo da viga

b) A distribuição de armaduras longitudinais ao longo da viga

c) Pormenorize as armaduras na viga


ALÍNEA A)

1. Determinação do esforço transverso solicitante

10.00 3.00

p=1 kN/m

(+)(+)

5.45

(-)

DEV

[kN] 4.553.0

Considerando alternância de sobrecarga,

5.0DEV

[kN](+)

(-)

5.0

p=1 kN/m

DEV

[kN]

3.0

( )

0.45

(+)

p=1 kN/m

V Asd

= 1.5 (28.25 4.55) + 1.5 (12 5) = 282.8kN


105

VB.esqsd

= 1.5 (28.25 5.45) + 1.5 (12 5.45) = 392.0kN

VB.dirsd

= 1.5 (28.25 + 12) 3 = 181.1kN

i) Envolvente do diagrama de esforço transverso

282.8

(+)

181.1

(-)

329.0

(+)

282.8181.1

329.0

ii) Determinação de Vsd (z cotg

Considerando = 30,

d = 0.80m ; z 0.9 d = 0.72 m

z cotg = 0.72 cotg 30 = 1.25 m

Vsd,A (z cotg = 282.8 - 60.4 1.25 = 207.3 kN

Vsd,B esq (z cotg = 329 - 60.4 1.25 = 253.5 kN

Vsd,B dir (z cotg = 181.1 - 60.4 1.25 = 105.6 kN

2. Verificação das compressões

i) Bielas comprimidas

cmáx =

Vsd (zcotg

zbw sen cos =

253.5

0.72 0.30 sen 30 cos30 = 2710.3kN/m2 2.7MPa

cmáx

0.6

1 -

fck 250

fcd = 0.6

1 -

25 250

16.7 103 = 9018 kN/m2

ii) Apoio

c = R

Aap 0.85 fcd

R Bsd

= 329.0 + 181.1 = 510.1kN

c = 510.1

0.3 0.3 = 5667.8kN/m2

5.7MPa

0.85 fcd = 0.85 16.7 = 14.2MPa


106

3. Cálculo da armadura transversal nos apoios

i) Apoio A

Asw

s =

Vsd (z cotg

z cotg fyd =

207.3

0.72 cotg 30 348 103 104 = 4.78cm2/m

ii) Apoio B (esq.)

Asw

s =

253.5

0.72 cotg 30 348 103 104 = 5.84cm2/m

iii) Apoio B (dir.)

Asw s

= 105.6

0.72 cotg 30 348103 104 = 2.43cm2/m

iv) Cálculo da armadura mínima

w,min = 0.08 fck

fyk =

0.08 25 400

= 0.001

w,min = 0.001

Asw

s min

1bw

= 0.001

Asw

s min

= 0.0010 0.30 104 = 3.0cm2/m

(adoptam-se estribos 8//0.25)

4. Determinação da zona da viga em que se adopta (Asw/s)min

i) Cálculo de VRd, min

Estribos 8//0.25 4.02 cm2/m

VRd=Asw

s z cotg fyd = 4.02 10-4 0.72 cotg 30 348 103 = 174.5kN

329.0282.8

181.1174.5

x1 x2

160.4

x1 = 282.8 - 174.5

60.4 = 1.79m ; x2 =

329 - 174.5 60.4

= 2.56m

ALÍNEA B)

Aapoios

416 + 212; Avãos 625


107

1. Cálculo do comprimento de translacção

aL = z2 cotg =

0.722

cotg 30 = 0.62m

2. Armadura inferior

i) Plano de dispensas: 625 425 225

ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas

Armadura As [cm2] MRd [kNm]

425 19.63 0.170 0.154 493.8

225 9.82 0.085 0.080 256.5

660.2

272.0

493.8256.5 256.5

493.8

x1

x2

x3

x4

iii) Cálculo das coordenadas x

Carregamento correspondente ao máximo momento no vão

10.00

cp=28.3 kN/m

3.00

sc=12.0 kN/m

282.8 kN

(-)

(+)

DMF

[kNm]

x

282.8 kN

M(x)

x

60.4 kN/m

M(x) = 282.8 x - 60.4 x2

2 = 282.8 x - 30.2x2


108

MSd = 493.8kNm 282.8 x - 30.2 x2 = 493.8 x3 = 7.04m x2 = 2.32m

MSd = 256.5kNm 282.8 x - 30.2 x2 = 256.5 x4 = 8.35m x1 = 1.02m

iv) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura

Dispensa de 625 425

x2’ = x2 – aL - Lb.net = 2.32 - 0.62 - 0.54 = 1.16 m

x3’ = x3 + aL + Lb.net = 7.04 + 0.62 + 0.54 = 8.20 m

fbd = 2.25 12 fctd = 2.25 1.0 1.0 1.8 1.5

= 2.7 MPa

sd = 46 348 = 232 MPa lbd=

4 sd

fbd=

0.025 4

232 2.7

= 0.54 m

Dispensa de 425 225

x1’ = x1 - aL - Lb.net = 1.02 - 0.62 - 0.40 = 0.0 m

x4’ = x4 + aL + Lb.net = 8.35 + 0.62 + 0.40 = 9.37 m

sd = 24 348 = 174 MPa lbd=

4

sd fbd

= 0.025

4 174 2.7

= 0.40m

v) Verificação da armadura no apoio

1) Considerando pilares 0.30 0.30 [m2]:

FT = Rcotg1 = R

0.5

bz +0.5 cotg = 282.8

0.5

0.300.72

+ 0.5 cotg 30 =

303.8kN

As = 303.8

348 103 104 = 8.73cm2 < As (425) = 19.63cm2

2) Considerando indirectamente a dimensão do pilar

FT = 1.2 R = 1.2 282.8 = 339.4 kN As = 9.75cm2 < 19.63cm2

3) Considerando um apoio pontual

FT = R2 cotg 1 =

282.82

cotg 30 = 244.9kN As = 7.04cm2 < 19.63cm2

3. Armadura superior

i) Plano de dispensas: 416 + 212 416 216


109

ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas

Armadura As [cm2] MRd [kNm]

416 8.04 0.070 0.066 211.6

216 4.02 0.035 0.034 109.0

272.0

x1

211.6211.6

109.0 109.0

x2

x4 x3

iii) Cálculo das coordenadas x

Carregamento correspondente ao máximo momento negativo no apoio e no vão à

esquerda do apoio:

sc=12.0 kN/m

cp=28.3 kN/m

pconsolasd

= 60.4kN/m

pvãosd

= 1.5 28.25 = 42.4kN/m

Vdirsd

= 3.0 (12 + 28.25) 1.5 = 181.1kN

Vesqsd

= (5.45 28.25 + 0.45 12.0) 1.5 = 239.0kN

Consola

60.4 kN/m

x

Msd(x)

181.1 kN

272 kNm

Msd(x) = 60.4 x x 2

- 181.1 x + 272.0 =

30.2x2 - 181.1x + 272.0

Msd = 211.6kNm 30.2 x12 - 181.1x1 + 272.0 = 211.6 x1 = 0.35m

Msd = 109.0kNm 30.2 x32 - 181.1x3 + 272.0 = 109.0 x3 = 1.10m


110

Vão

Msd(x)

239.0 kN

x

272 kNm42.4 kN/m

Msd(x) = 42.4 x x 2

– 239.0 x + 272.0 =

21.2x2 - 239x + 272.0

Msd = 211.6kNm 21.2 x22 - 239 x2 + 272.0 = 211.6 x2 = 0.26m

Msd = 109.0kNm 21.2 x42 - 239 x4 + 272.0 = 109.0 x4 = 0.73m

Msd = 0 21.2 x52 - 239 x5 + 272.0 = 0 x5 = 1.28 m

4) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura

Dispensa de 416 + 212 416

x1’ = x1 + aL + Lb.net = 0.35 + 0.62 + 0.43 = 1.40 m

x2’ = x2 + aL + Lb.net = 0.26 + 0.62 + 0.43 = 1.31 m

fbd = 2.25 12 fctd = 2.25 0.7 1.0 1.8 1.5

= 1.89 MPa

sd = 8.04

8.04+2.26 348 = 271.6MPa lbd =

4 sd

fbd =

0.0124

271.61.89

= 0.43m

Dispensa de 416 216

x3’ = x3 + aL + Lb.net = 1.10 + 0.62 + 0.36 = 2.08 m

x4’ = x4 + aL + Lb.net = 0.73 + 0.62 + 0.36 = 1.71 m

x5’ = 1.28 + 0.62 + 0.22 = 2.12m

sd = 2 4

348 = 174 MPa lbd= 4

sd fbd

= 0.016

4 174 1.89

= 0.37m

Lb,min = 10 = 0.16 m


111

7.7 ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA

Como referido na flexão de secções em T as compressões no banzo distribuem-se

neste, não ficando limitadas à alma. O sistema base de resistência ao esforço

transverso desenvolve-se na alma, que distribui, então, as compressões (ou tracções

se se tratar de um banzo traccionado) para os banzos.

A compreensão deste mecanismo não é imediata e para a facilitar é fundamental a

representação gráfica como a que se reproduz na figura seguinte, com indicação dos

campos de tensões nos planos da alma e dos banzos e respectivas forças resultantes.

Na figura está representado um modelo em que, numa análise a partir da reacção de

apoio, se verifica que as tensões na alma do campo em leque ao atingirem o banzo

dispersam neste, para um e outro lado, gerando tracções de equilíbrio transversais no

banzo, numa zona já mais afastada do apoio. Tal verifica-se, depois, para os restantes

campos paralelos de tensões, obtendo-se a distribuição de compressões no banzo da

zona do vão, prevista na flexão.


112

Se se definirem dois ângulos para as treliças da alma e do banzo, 1 e

2respectivamente, é possível avaliar as forças em causa a partir de um campo de

tensões paralelo na alma como apresentado de seguida.

z cotg 1

z cotg 1

z 1

2

fc

Fc

fc'

Fc'

Onde,

fc representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas da alma

fc’ representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas do banzo

Fc e Fc’ representam as resultantes dessas forças distribuídas

Em planta, a avaliação da força FT

z cotg 1

Fc cos 1

2

Fc'

FT

pode ser estimada como se apresenta de seguida:

FT = F 'c sen 2 =

Fc 2

cos 1 sen 2

cos 2 =

= Fc 2

tg 2 cos 1

Asf = FT

fsyd

Asf

s =

FT

z cotg 1 fyd =

Fc sen 1

2 z cotg 2 fyd

Como Fc = V

sen 1

Asf

s =

V

2 z cotg 2 fyd

Considerando que 1 = 2 , a armadura de ligação banzo-alma deve ser igual ou

superior a metade da armadura de esforço transverso

Asf

s =

1 2

Asw

s .

A este propósito, no que se refere em particular aos campos de compressões nos

banzos (2), sugere a EN1992, pelas razões já anteriormente discutidas, que se

considere [1 ≤ cotg 2 ≤ 2] no caso de banzos comprimidos, e [1 ≤ cotg 2 ≤ 1.25] para

situações de banzos traccionados.


113

Refira-se que, em geral, numa viga pertencente a uma laje vigada, a armadura da laje

é normalmente suficiente para absorver as forças de tracção na ligação banzo-alma,

pelo que não se justifica a determinação de armadura específica, nesses casos.

7.8 ARMADURA DE SUSPENSÃO

Analisámos a transmissão de forças ao longo das vigas de betão armado, em

situações próximas da rotura para as situações em que a carga é transmitida ao banzo

superior da viga, como são as situações correntes. No entanto, há casos em que tal

não se verifica havendo que prevêr mecanismos de transmissão de carga adequados

e dimensionar as armaduras correspondentes.

São, por exemplo, os dois casos que vamos analisar, a saber:

A situação de uma transmissão contínua da carga à parte inferior da viga, como

por exemplo de uma viga invertida, com a laje apoiada no banzo inferior.

As situações de apoio de uma viga noutra, denominadas de apoios indirectos,

em que a carga é transmitida pela biela comprimida da viga secundária, à parte

inferior da viga principal.

7.8.1 CARGA DISTRIBUÍDA APLICADA NA PARTE INFERIOR DA VIGA

Como se esquematiza nas secções transversais abaixo indicadas a laje apoia-se na

parte inferior da viga pelo que tem de ser transmitida para a face superior da através

de uma armadura de suspensão. Este processo de “suspensão” deve ser efectuado ao

longo da viga para a carga distribuída transmitida pela laje, psd/m. No fundo a

armadura deve ser dimensionada para absorver a carga suspensa por metro, tal que:

As/m > psd/m

fyd

Para a aplicação de carga excêntrica é judicioso admitir a suspensão só com um

ramo.


114

Naturalmente, que a quantidade de armadura necessária para transmitir a carga ao

banzo superior tem de ser adicionada à de esforço transverso (correspondente ao

processo de transmissão das cargas do banzo superior da viga aos seus apoios).

7.8.2 APOIOS INDIRECTOS

Denomina-se por apoio indirecto de uma viga a situação desta se apoiar através da

ligação a outra viga, em vez de directamente sobre um dispositivo de apoio ou pilar.

Nestes casos, numa viga de betão armada com fendilhação desenvolvida, temos que:

1- A carga da viga I (ver esquemas seguintes) é transmitida pelas bielas

comprimidas à parte inferior da viga principal (viga II neste esquema).

2- A partir daí a carga é suspensa para o banzo superior da viga II, através de

estribos a colocar na região de ligação das vigas.

3- Uma vez “suspensa”, a carga está em condições de ser “encaminhada” para os

apoios da viga principal (II), seguindo o modelo geral de esforço transverso.


115

Representa-se na figura seguinte o modelo de cálculo, para o caso de duas vigas.

Refira-se que, no caso geral de uma grelha, a armadura de suspensão é calculada

para a diferença de esforço transverso à esquerda e direita das vigas, havendo que

identificar qual é a principal.

P

2

1


116

h2h1

21

V

A viga transmite as cargas à viga

através das bielas comprimidas.

A carga transmitida à viga principal terá de

ser transmitida para a face superior através

de estribos de suspensão

As =

Vfyd

Como indicado nas figuras anteriores (ver pormenor em planta), a armadura de

suspensão deve preferencialmente localizar-se na região de ligação das vigas. No

entanto, caso necessário, poderá alargar-se ligeiramente a zona de distribuição desta

armaduras, como se esquematiza na figura seguinte.

h1/2

1

2

h1/3

h2/2 h2/3


117

EXERCÍCIO 7


S1S2

10.00 3.50

cp

3.50

sc

1.00

1.00

0.20 0.20

0.15





a) Para a estrutura já analisada no Exercício 4, verifique a segurança ao Estado Limite

Último de Esforço Transverso e pormenorize as armaduras transversais na secção.


118


ALÍNEA A)

1. Verificação da segurança ao E.L.U. de Esforço Transverso

i) Determinação de Vsd

psd = 1.5 (20 + 40) = 90kN/m

450.0

(-)

DET

[kN](-)(+)

(+)

315.0

315.0

450.0

= 30º z cotg = 0.9 0.95 cotg 30 = 1.48m

Vsd, dir (z cotg = 450 - 1.48 90 = 316.8.5kN

Vsd, esq (z cotg = 315 - 1.48 90 = 181.8kN

ii) Verificação das compressões na alma

c = Vsd (z cotg

z bw sen cos =

316.8

0.9 0.95 0.40 sen 30 cos 30 = 2139.2kN/m2

c 0.6

1 -

fck 250

fcd = 0.6

1 -

20 250

13.3 103 = 7342 kN/m2

iii) Cálculo da armadura transversal junto aos apoios

Asw s

= Vsd (z cotg

z fyd cotg

Asw

s dir

= 316.8

1.48 348 103 104 = 6.15cm2/m

Asw

s esq

= 181.8

1.48 348 103 104 = 3.53cm2/m

2. Cálculo da armadura de suspensão

Nota: Admite-se que a sobrecarga está a actuar no banzo inferior


119

cp*+sc

cp* = cp–ppalmas= 20 - (0.20 1.0 2) 25 = 10kN/m

Força de suspensão: Fs = 1.5 (10 + 40) = 75.0kN/m

As

s suspensão

= 75.0

348103 104 = 2.16cm2/m

(a adicionar à armadura de esforço transverso)

As

s

dir

TOT =

Asw

s dir

+

As

s susp

= 6.15 + 2.16 = 8.31cm2/m

As

s

esq

TOT =

Asw

s esq

+

As

s susp

= 3.53 + 2.16 = 5.69m

3. Cálculo da armadura transversal mínima

w,min = 0.08 fck

fyk =

0.08 20 400

= 0.0009

w,min=0.0009

Asw

smin

1bw

=0.0009

Asw

smin

= 0.00090.40104=3.6cm

2/m

4. Cálculo da armadura de ligação banzo-alma

Asf s

= Vsd

2 z cotg 2 fsyd

1 = 2 Asf s

= 1 2

Asw

s

As

s

dir

= 6.15

2 = 3.08cm2/m ;

As

s

esq

= 3.53

2 = 1.77cm2/m

5. Armadura transversal de flexão no banzo

0.80

cp*+sc

cp* + sc = 10 + 40 = 50 kN/m

psd = 1.5 50 / 0.6 = 125.0 kN/m2


120

2/12pL

pL /242

0.80

pL2

12 =

125 0.802

12 = 6.7kN/m

=Msd

b d2 fcd =

6.7

1.0 0.122 13.3 103 = 0.035 = 0.037

As=bd fcd

fyd = 0.037 1.0 0.12

13.3348

104 = 1.70cm2/m

(AsTOT/ramo)dir =

3.08

2 + 1.70 = 3.24cm2/m

(AsTOT/ramo)esq =

1.77

2 + 1.70 = 2.59cm2/m


121

7.9 TRANSMISSÃO DE CARGAS CONCENTRADAS PRÓXIMAS DOS APOIOS

Como se ilustra na figura seguinte, cargas concentradas aplicadas na proximidade dos

apoios podem transmitir-se, ainda que parcialmente, directamente aos apoios.

Efectivamente, como sugerem as trajectórias elásticas de tensões, apenas uma parte

da carga parece dirigir-se à zona inferior da viga (necessitando por isso de armaduras

transversais), podendo a restante parcela ser directamente transmitida ao apoio.

No modelo de dimensionamento indicado, adaptado ao comportamento de um

elemento de betão estrutural, identificam-se as parcelas, F1 (carga que se transmite

directamente) e a restante, F2, necessitando de armadura transversal no seu

“processo de encaminhamento” até ao apoio.

F

F1

T=C

M=F x a

C

F2F

F1F2

C2

C1

a

z

aFa1

Com base no modelo apresentado, podem em geral considerar-se as seguintes

indicações (“FIP/fib Recommendations for Practical Design of Structural Concrete” 1999, SETO,

London):

a < z/2

A carga é transmitida directamente para o apoio (não sendo necessário acréscimo de

armadura transversal).

a > 2 z

A carga é totalmente transmitida segundo o modelo geral de esforço transverso

(considerar a totalidade do esforço transverso para o dimensionamento da armadura).

-2247.29

-2159.91

-2075.98

-1996.11

-1920.74

-1850.13

-1784.40

-1723.57

-1667.55

-1616.23

-1569.44

-1527.01

-1488.79

-1454.61

-1424.31

-1397.75

-1374.79

-1355.33

-1339.24

-1326.42

-1318.06

-1295.75

-1268.06

-1241.34

-1215.58

-1190.78

-1166.92

-1144.01

-1122.04

-1101.00

-1080.88

-1061.69

-1043.41

-1026.04

-1009.57

-994.01

-979.35

-965.59

-952.73

-940.47

-923.66

-907.56

-892.15

-877.43

-863.40

-850.06

-837.38

-825.36

-813.99

-803.25

-793.14

-783.62

-774.70

-766.35

-758.56

-749.69

-736.90

-724.72

-713.16

-703.10

-693.81

-684.94

-676.52

-668.53

-660.97

-653.84

-647.14

-640.86

-635.00

-629.54

-624.49

-619.84

-615.57

-611.69

-608.18

-605.03

-602.23

-599.78

-597.67

-595.88

-594.14

-592.28

-589.85

-585.35

-581.26

-577.61

-574.38

-571.58

-569.21

-567.28

-565.78

-564.71

-564.08

-563.88

-564.12

-564.78

-565.87

-567.37

-569.30

-571.64

-574.39

-577.54

-581.08

-585.02

-590.08

-596.31

-603.41

-608.53

-613.93

-619.73

-625.94

-632.54

-639.54

-646.95

-654.74

-662.93

-671.50

-680.46

-689.78-699.48

-709.53

-719.94-730.68

-747.45-767.32

-790.00-815.43

-843.53-874.21

-907.36-942.86

-980.58-1020.36

-1062.08-1105.57

-1150.72-1197.37

-1245.40-1294.69

-1345.13-1392.50

-1439.14-1487.07

-1536.27-1586.69

-1638.31-1691.11

-1745.03-1800.06

-1856.16-1913.29

-1971.42-2030.51

-2090.52-2151.41

-2213.15-2275.69

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-721.08

-705.46

-689.50

-673.17

-659.69

-647.47

-635.46

-623.67

-612.11

-600.79

-589.73

-578.94

-568.44

-558.25

-548.38

-538.86

-529.70

-520.94

-512.59

-504.68

-497.23

-490.12

-481.61

-472.87

-464.43

-456.29

-448.48

-441.00

-433.86

-427.09

-420.68

-414.64

-409.0

0

-403.7

5

-398.9

0

-394.4

6

-390.4

3

-386.8

1

-383.6

0

-380.8

1

-378

.44

-377

.32

-376

.41

-375

.71

-375

.22

-374

.94

-374

.87

-375

.00

-375

.35

-375

.89

-376

.65

-377

.60

-377

.94

-376

.73

-375

.87

-375

.35

-375

.15

-375

.27

-375

.70

-376

.43

-377

.45

-378

.74

-380

.31

-382

.13

-382

.97

-383

.38

-384

.21

-385

.46

-387

.14

-389

.23

-391

.73

-394

.63

-397

.94

-401

.30

-402

.75

-404

.38

-406

.17

-408

.13

-410

.24

-412

.51

-414

.93

-417

.50

-420

.23

-423

.10

-426

.13

-429

.32

-432

.67

-436

.18

-439

.87

-443

.72

-447

.74

-453

.27

-465

.02

-477

.36

-490

.20

-503

.47

-517

.24

-530

.94

-544

.35

-557

.54

-570

.55

-583

.44

-596

.25

-609

.04

-621

.84

-634

.68

-647

.59

-660

.61

-662

.46

- 648

.98

- 636

.88

- 626

.24

- 617

.14

- 609

.69

- 604

.00

- 600

.16

- 598

.29

- 598

.48

- 602

.21

- 611

.83

- 624

.79

- 640

.94

- 660

.17

- 682

.34

- 707

.33

- 731

.69

- 756

.16

- 785

.09

- 818

.29

- 855

.59

- 896

.81

- 941

.78

- 990

.33

- 104

2.29

- 109

7.51

- 115

5.83

- 121

7.09

- 128

1.13

- 134

7.81

- 141

6.96

- 148

8.42

- 156

2.04

-219

3.84

-211

3.33

-203

8.45

-196

9.06

-1904.

91

-1845.

66

-1791.

00

-1740.

64

-1694.3

0

-1651.7

6

-1612.8

2

-1577.3

0

-1545.0

7

-1515.9

9

-1489.9

5

-1466.86

-1446.63

-1429.18

-1399.32

-1363.56

-1330.11

-1298.97

-1270.13

-1243.60

-1219.36

-1197.41

-1174.75

-1151.62

-1129.35

-1107.94

-1087.36

-1067.60

-1048.64

-1030.47

-1013.07

-996.43

-976.72

-955.02

-933.95

-913.51

-893.71

-874.56

-856.08

-838.26

-821.12

-804.65

-788.86

-773.74

-759.30

-745.53

-732.42

-719.97

-708.16

-696.99

-687.70

-681.52

-675.53

-669.74

-664.1

4

-658.7

3

-653.5

1

-648.4

7

-643.6

1

-638.9

3

-634.4

2

-627.6

8

-619.5

5

-611.8

9

-604

.67

-597

.91

-591

.60

-585

.73

-580

.30

-575

.30

-570

.78

-566

.70

-562

.88

-559

.34

-556

.06

-553

.06

-550

.33

-547

.89

-545

.74

-543

.87

-542

.30

-541

.02

-540

.04

-539

.36

-538

.98

-538

.90

-539

.13

-537

.47

-536

.27

-535

.54

-535

.30

-535

.53

-536

.23

-537

.40

-538

.35

-538

.96

-539

.87

-541

.09

-542

.62

-544

.47

-546

.65

-549

.15

-551

.99

-555

.17

-558

.68

-562

.54

-566

.73

-572

.08

-578

.86

-586

.14

-593

.90

-602

.14

-610

.87

-620

.06

-629

.71

-639

.81

-650

.34

-661

.30

-672

.67

-684

.43

-696

.58

-709

.09

-721

.95

-735

.14

-748

.65

-776

.51

-825

.41

-877

.32

-931

.91

-988

.90

-104

8.01

-110

8.97

-117

1.56

-123

5.57

-130

0.81

-136

7.11

-143

4.34

-150

2.36

-157

1.06

-164

0.35

-171

0.13

-178

0.33

-184

6.84

-191

0.32

-197

4.30

-203

8.76

-208

9.55

-213

8.18

-218

6.28

-223

3.90

-228

1.11

-232

7.96

-237

4.52

-242

0.86

-246

7.04

-251

3.13

-255

9.22

-260

5.36

-265

1.64

-1699.08

-1641.98

-1584.77

-1529.56

-1476.34

-1425.10

-1375.83

-1328.49

-1283.06

-1239.52

-1197.83

-1157.96

-1119.85

-1083.47

-1048.76

-1015.66

-984.10

-954.00

-933.35

-918.90

-904.33

-889.62

-874.76

-859.71

-844.46

-828.99

-813.26

-797.26

-780.97

-764.35

-747.39

-730.06

-712.33

-694.18

-675.59

-660.13

-648.83

-637.78

-626.97

-616.43

-606.16

-596.20

-586.54

-577.22

-568.24

-559.36

-550.49

-541.87

-533.50

-525.39

-517.54

-509.96

-502.63

-495.11

-487.68

-480.57

-473.80

-467.36

-461.27

-455.5

4

-450.1

7

-445.1

6

-440.5

2

-436.2

5

-432.3

6

-428.8

5

-425.7

1

-422.9

4

-420

.54

-418

.50

-416

.83

-415

.51

-414

.53

-414

.18

-414

.04

-414

.08

-414

.30

-414

.11

-411

.78

-409

.79

-408

.13

-406

.79

-405

.78

-405

.08

-404

.68

-404

.59

-404

.79

-405

.27

-406

.02

-407

.04

-408

.32

-409

.83

-411

.59

-413

.57

-415

.77

-418

.18

-420

.78

-423

.17

-424

.85

-426

.67

-427

.88

-429

.29

-430

.90

-432

.69

-434

.64

-436

.76

-439

.03

-441

.44

-444

.00

-446

.70

-449

.53

-452

.49

-455

.59

-458

.83

-462

.20

-465

.72

-469

.37

-473

.17

-482

.07

-492

.50

-503

.54

-515

.14

-527

.25

-539

.79

-552

.73

-566

.02

-579

.61

-593

.47

-607

.57

-621

.88

-636

.37

-651

.02

-665

.82

-680

.74

-695

.78

-689

.77

-683

.18

-677

.36

- 672

.69

- 669

.53

- 668

.21

- 669

.02

- 672

.18

- 677

.86

- 686

.19

- 697

.25

- 711

.05

- 727

.59

- 746

.84

- 768

.74

- 793

.23

- 818

.74

- 840

.01

- 865

.47

- 895

.07

- 928

.72

- 966

.31

- 100

7.71

- 105

2.77

- 110

1.34

- 115

3.28

- 120

8.42

- 126

6.61

- 132

7.69

- 139

1.50

- 145

7.89

- 152

6.69

- 159

7.75

- 167

0.92

-749.52

-737.78

-726.02

-714.21

-702.30

-690.27

-678.08

-664.34

-650.44

-636.70

-623.12

-609.71

-596.47

-583.41

-570.54

-557.87

-545.41

-533.18

-521.19

-509.45

-497.99

-486.81

-475.95

-465.43

-455.98

-447.38

-438.90

-430.54

-422.32

-414.22

-406.25

-398.39

-390.66

-383.05

-375.55

-368.17

-360.89

-353.72

-346.65

-339.67

-332.93

-326.63

-321.53

-318.3

3

-315.3

8

-312.6

8

-310.2

4

-308.0

7

-306.1

7

-304

.55

-303

.20

-302

.14

-301

.36

-300

.87

-300

.66

-300

.74

-301

.10

-301

.74

-302

.66

-303

.85

-305

.31

-307

.04

-309

.03

-311

.27

-311

.18

-310

.88

-310

.56

-308

.87

-307

.68

-307

.01

-306

.86

-307

.24

-308

.15

-309

.59

-311

.56

-314

.04

-317

.03

-320

.50

-324

.45

-328

.85

-333

.68

-338

.93

-344

.57

-350

.58

-356

.94

-363

.63

-368

.36

-370

.47

-373

.39

-377

.13

-381

.65

-386

.86

-392

.71

-399

.13

-406

.09

-413

.52

-421

.38

-429

.64

-438

.26

-447

.20

-456

.45

-465

.97

-475

.75

-485

.44

-489

.40

-492

.83

-495

.90

-498

.72

-501

.44

-504

.17

-507

.01

-510

.06

-513

.40

-517

.09

- 521

.20

- 525

.76

- 530

.83

- 536

.42

- 542

.56

- 549

.26

- 550

.30

- 538

.69

- 527

.96

- 518

.20

- 509

.53

- 502

.07

- 495

.96

- 491

.34

- 488

.35

- 487

.13

- 487

.82

- 490

.52

- 495

.32

- 502

.28

- 511

.43

- 522

.78

- 536

.30

- 551

.52

- 567

.26

- 588

.00

- 614

.41

- 653

.51

- 696

.44

- 742

.90

- 792

.84

- 846

.15

- 902

.73

- 962

.46

- 102

5.22

- 109

0.87

- 115

9.25

- 123

0.22

- 130

3.59

- 137

9.22

- 145

6.92

- 153

6.53


122

z/2 < a < 2 z

Para o dimensionamento das armaduras transversais correspondente à carga F, pode

apenas ser considerada a parcela F1, dada por,

F1 =

2a

z - 1

1

3 F

que, na sua transmissão ao apoio, requer transferência de carga do banzo inferior ao

superior.


123

EXERCÍCIO 8

Considere a estrutura seguinte.

0.40 0.40 0.40

5.00

0.65

P

0.40

Calcule as armaduras transversais necessárias, considerando apenas a actuação da

carga Psd = 300kN.


124

Resolução do Exercício 8

Neste caso,

z = 0.9 0.60 = 0.54m e a = 0.8m z2 = 0.27m < a < 2 z = 1.08m,

pelo que, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e a outra parte é

transmitida pelo mecanismo de treliça.

1. Determinação da parcela da carga considerada para o dimensionamento da

armadura transversal

(+)

DEV

[kN]

300 kN

RA=252 kN

4.20

RB=48 kN

0.80

A B

(-)

252

48

MA = 0 -300 0.8 + RB 5.0 = 0

RB = 48kN

RA = 300 - 48 - 252kN

P1.Sd =

2 0.8

0.54 - 1

1 3

Psd = 0.65 Psd

2. Cálculo da armadura transversal

As 0.65 252

348 103 104 = 4.7cm2 As s

= 4.7 0.40

= 11.75cm2/m

11.75 2

= 5.88cm2/m

3. Cálculo da armadura longitudinal

1

2 Fsd

Rsd,1 Rsd,2

Rsd,1 = 0.65 252 = 163.8 kN

Rsd,2 = 0.35 252 = 88.2 kN

Fsd = Rsd,1 cotg 1 + Rsd,2 cotg 2 =

= 163.8 0.40.54

+ 88.2 0.8

0.54 = 252kN

ASL =

252

348103 104 = 7.24cm2


125

7.10 ARMADURA INCLINADA

Nos casos em que a armadura de esforço transverso for constituída por armadura

inclinada (e não vertical), há que adaptar o modelo de treliça apresentado

anteriormente. Apresenta-se, seguidamente a dedução das expressões de

dimensionamento para esses casos.

tirantes

bielas comprimidas

z cotg z cotg

z

z cotg + z cotg

Fs V

F

Fs Vsd

Asw fyd Vsd

sen Asw

Vsd

sen

1 fyd

Asw s

= Vsd

sen

1

z (cotg + cotg )

1 fyd

Asw

s =

Vsd

z (cotg + cotg ) sen fyd

Barras horizontais (força de tracção a distribuir nos banzos superior e inferior):

FT = Fc cos - Fs cos = Vsd

sen cos -

Vsd

sen cos

FT = Vsd (cotg - cotg )

É interessante verificar que para armaduras inclinadas a 45 e com a inclinação das

bielas também a 45 não há influência o esforço transverso nos banzos traccionados e

comprimidos de flexão.

Compressões na alma:

c = Vsd (1 + cotg2 )

bw z (cotg + cotg ) 0.6

1 -

fck

250 fcd

ou

Vmaxrd

= bw z 0.6

1 -

fck

250 fcd

(cotg + cotg )

(1 + cotg2 )

Verifica-se que, naturalmente, estas expressões são equivalentes às deduzidas

anteriormente se = 90.


126

7.11 SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL

Nos casos em que as secções apresentam largura variável, bw considera-se, para

efeito da avaliação das compressões nas bielas de compressão, a menor largura

numa zona compreendida entre a armadura traccionada e ¾ da altura útil.

d3/4 d

bw

bw

No caso de secções circulares, poderá considerar-se, para efeitos da verificação da

segurança ao esforço transverso, uma secção rectangular equivalente, com as

seguintes características:

be0.9DD

AsL

AsL/2

de

de = 0.45D + 0.64

d -

D2

(expressão aferida experimentalmente)

7.12 FORÇAS DE DESVIO

Apresenta-se seguidamente alguns aspectos que são necessários ter em

consideração na pormenorização de armaduras longitudinais em situações de

mudança de direcção das armaduras ou da superfície do betão.

Quando um varão de uma armadura traccionada possui um ponto anguloso, gera-se

uma força de desvio nesse ponto, tal como ilustrado na figura seguinte.

Fs

Fs

FD

Nestes casos, há que ter em atenção a posição do varão e o valor e sentido da força

de desvio da armadura. Se essa força é no sentido do interior da peça é facilmente

absorvida. Pelo contrário se a força tem o sentido do interior para o exterior da peça,

poderá provocar a rotura local da camada de betão de recobrimento.


127

(a) Situação em que não ocorre rotura

(b) Situação em que poderá ocorrer rotura

Para contrariar este efeito há que tomar disposições de pormenorização que a seguir

se referem dependentes da maior ou menor variação angular.

i) >15 - Solução muito usual de “amarrar” a armadura de um e outro lado do desvio

angular, evitando-se a força de desvio para o exterior.

MM

ii) <15 - Situação possível de manter a armadura contínua e “suspender” a força de

desvio, amarrando-a na face contrária.

MM

A

A

Secção A-A

ou

Por outro lado, poderá haver situações em que a força de desvio se verifica do lado

das compressões, gerando-se a tendência para o canto de betão “saltar” devido à

menor resistência do betão à tracção.

Nestes casos pode-se “agarrar” a força de desvio da zona comprimida do betão

amarrando-a, com estribos, na face oposta.


128

MM

Fc

FD

Fc

7.13 TORÇÃO

Em regime elástico linear as tensões tangenciais na secção têm a distribuição

esquematizada na figura seguinte, de onde decorre que, para um elemento de betão

armado, a fendilhação diagonal desenvolver-se-á, na direcção longitudinal, ao longo

do contorno da secção. Assim sendo, os modelos anteriormente apresentados para o

esforço transverso serão neste capítulo generalizados ao estudo de elementos de

betão submetidos à torção.

Por outro lado, como se analisa de seguida, em várias situações de dimensionamento

prático verifica-se que é possível equilibrar as cargas sem torção, através de uma

determinada redistribuição de esforços, solução que se adopta correntemente. Para tal

é importante, desde já, distinguir as situações de torção de equilíbrio e de

compatibilidade.

7.13.1 TORÇÃO DE EQUILÍBRIO

A distribuição de esforços tem de incluir a torção para o equilíbrio da estrutura, ou

seja, não é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a existência

de momentos torsores.


129

Exemplo simples:

Fs

DMT

[kNm]

(-)

A barra longitudinal tem necessariamente de ter torção, pois trata-se de uma estrutura

isostática.

7.13.2 TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE

Como ilustrado na figura seguinte, ao ocorrer a fendilhação por torção, verifica-se uma

importante redução da rigidez de torção. Pode também observar-se que, tanto a

capacidade resistente à torção como a rigidez após fendilhação, apresentam valores

muito próximos para vigas maciças ou ocas, com iguais dimensões exteriores e

quantidades de armaduras.

Se a estrutura é hiperstática a distribuição de esforços depende, como é conhecido, da

relação entre a rigidez de flexão e torção. No caso limite de se considerar uma rigidez

de torção nula é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a

existência de momento torsor na estrutura.

Como se referiu, a redução de rigidez de torção é muito significativa, após a

fendilhação, pelo que a estrutura tende a equilibrar as cargas com poucos esforços de

torção. Assim, nesses casos, em muitas situações admite-se, na verificação da


130

segurança à rotura, uma distribuição de esforços sem torção, com base na tendência

natural do comportamento e no método estático da Teoria da Plasticidade.

Exemplo:

Como se compreende, é neste caso possível equilibrar, com ou sem esforços de

torção na barra transversal, as cargas aplicadas a esta estrutura. De facto, se a rigidez

de torção da barra transversal fôr nula, a barra longitudinal pode apoiar-se

indirectamente na viga transversal sem transmissão do momento negativo.

7.13.3 TORÇÃO ANALISADA COMO ESFORÇO TRANSVERSO

No que se segue apresenta-se os mecanismos de funcionamento estrutural de peças

submetidas à torção, próximo da rotura, em elementos de betão armado. Como se

ilustra nos esquemas juntos, para uma viga constituída por uma secção em caixão, o

momento torsor de peça linear é estaticamente equivalente aos 4 esforços

transversos que se desenvolvem nas paredes da secção.


131

A torção pode assim ser equiparada, em termos de dimensionamento, a 4 modelos de

esforço transverso nas 2 almas e nos 2 banzos, com a necessidade de verificar a

segurança nos mesmos campos de tensão correspondentes. Há, assim, necessidade

de avaliar a armadura transversal necessária, verificar a limitação das compressões e,

particularmente neste caso, calcular a armadura longitudinal que se desenvove nas

ligações das “paredes” da secção.

Para a análise de uma secção de betão armado sujeita a um momento torsor, pode

definir-se, então, uma secção oca (secção oca eficaz), conforme ilustrado na figura


132

que se segue. Como anteriormente salientado, relembra-se que, mesmo para uma

secção compacta, as zonas do contorno são as mais eficientes na resposta à torção.

Tal tendência é reforçada num elemento de betão armado fendilhado por torção pelo

que se propõe, em geral, na sua verificação da segurança, um mecanismo resistente

que não considera o betão da zona interior da peça.

T

hm

bm

hef

secção oca eficaz

de torção

2c’ tef A u

onde,

c’ = c + estribo + long/2

A – área da secção de betão

u – perímetro da secção

Representando a secção oca eficaz pela sua linha média, por condições de equílibrio:

T

Em secções de parede fina, = T

2 e

– área interior à linha média da secção

e – espessura da parede

pelo que, neste caso, = T

2 hm bm tef

A resultante de cada uma destas tensões tangenciais não é mais que um esforço de

corte em cada parede da secção,


133

T

VV

VH

VH = tef bm = T

2 hm

VV = tef hm = T

2 bm

confirmando-se assim que a torção é equivalente à consideração de esforços

transversos no contorno.

7.13.4 DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORÇO TRANSVERSO

Considerando, portanto, o modelo de treliça com a definir pelo projectista, e partindo

das verificações de esforço transverso, temos o seguinte.

Compressão

Tomando uma parede vertical da secção:

c = Vv

tef hm cos sen =

T

2 bm tm hef cos sen

c = Tsd

2 Aef tef cos sen 0.6

1 -

fck 250

fcd , Aef = bm hm

(parede horizontal: conclusão semelhante)

Armadura transversal de torção

numa parede vertical,

Ast s

= Vv

hm cotg fyd =

T

2 bm hm tef cotg fyd

Ast

s =

Tsd

2 Aef cotg fyd

(área de cada ramo do estribo)

É importante referir que se tomasse uma parede horizontal as expressões de

dimensionamento, função directa do momento torsor, seriam as mesmas.

Armadura longitudinal de torção

Como se verificou na verificação de segurança ao esforço transverso o equilíbrio da

treliça só é possível com tracções longitudinais de valor FT = V cotg a distribuir

igualmente nos banzos superior e inferior. No caso do esforço transverso com flexão,


134

verificou-se que esse incremento de força no banzo traccionado podia ser considerado

através de uma translacção do diagrama de flexão, sendo que no banzo comprimido

correspondia mesmo a um efeito favorável de redução das tensões de compressão.

No caso da torção as forças de tracção desenvolvem-se ao longo de todo o contorno,

sendo em geral mais prático, para o dimensionamento das armaduras longitudinais,

considerá-las explicitamente, em conjunto com as forças correspondentes aos efeitos

de flexão.

bm

hm

VH

VV

H

VV

Numa parede vertical, A 'SL = Vv

cotg fyd

Numa parede horizontal, A ''SL = VH

cotg fyd

(FT = V cotg )

Nas quatro paredes,

ASL = 2 [Vv + VH] cotg

fyd = 2

T

2 bm +

T2 hm

cotg

fyd =

= T 2 (bm + hm)

2 bm hm cotg

fyd = T

uef 2 Aef

cotg fyd

ASL = Tsd cotg uef

2 Aef fyd , ou

ASL

uef =

Tsd cotg 2 Aef fyd

É interessante verificar que para igual a 45º as quantidades de armadura transversal

e longitudinal por unidade de comprimento são iguais como seria normal na torção.


135

EXERCÍCIO 9

Determine o momento torsor resistente da secção indicada na figura.

0.40

0.40

420

Est. 8//0.15

Materiais: C25/30

A400

Recobrimento = 2.5cm


136


1. Determinação das características da secção oca eficaz

hef A u

= 0.42

4 0.4 = 0.1 m

hef = 2c' = 2 (2.5 + 0.8 + 1) = 8.6 cm hef = 0.09m

bm = hm = 0.40 - 0.09 = 0.31m

Aef = bm hm = 0.31 0.31 = 0.096 m2

uef = 0.31 4 = 1.24 m

Ast s

= 3.35 cm2/m ; ASL = 12.57 cm2

2. Verificação das compressões

(Adopta-se = 30)

c = Tsd

2 Aef hef cos sen 0.6

1 -

fck 250

fcd

Tsd 0.54 fcd 2 Aef hef cos sen

Tsd 0.54 16.7 103 2 0.096 0.09 cos 30 sen 30 = 67.5kNm

3. Armadura transversal

Tsd Ast

s 2 Aef cotg fyd=3.35 10-4 2 0.096 cotg 30 348 103

Tsd 38.7kNm

4. Armadura longitudinal

Tsd ASL 2 Aef fsyd

cotg uef =

12.57 10-4 2 0.096 348 103

cotg 30 1.24 = 39.1kNm

TRd = 38.7kNm


137

7.14 EFEITO CONJUNTO TORÇÃO / ESFORÇO TRANSVERSO

Quando a torção está associada ao esforço transverso, há que ter em conta o seu

efeito conjunto, como se esquematiza seguidamente.

V/2V/2

+

T/2bm

T/2hm Q3

=

Q1 Q2

Q4

Em que os esforços de corte totais nas diferentes paredes da secção são dados por:

Q1 = V2

+ T

2 bm ; Q2 =

V2

- T

2 bm ; Q3 = Q4 =

T2 hm

7.15 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORÇÃO

Especificamente em relação às disposições de armadura de torção refere-se o

seguinte.

7.15.1 ARMADURA TRANSVERSAL

O espaçamento máximo da armadura transversal deve ser, de acordo com o EC2, tal

que:

smáx = min

1

8 uef,b,h

A recomendação da figura para que s seja inferior a 12 vezes o diâmetro longitudinal é

também importante.

Evidentemente se houver sobreposição com o esforço transverso as disposições

condicionantes devem prevalecer.

A armadura transversal deve ter o fecho dos estribos bem amarrados (ver figura

seguinte), em particular os comprimentos dos ganchos de amarração.


138

7.15.2 ARMADURA LONGITUDINAL

Devem-se seguir as seguintes orientações:

(i) Espaçamento máximo da armadura longitudinal: smáx = 35 cm

(ii) Disposição da armadura na secção transversal: Armadura disposta ao longo do

contorno interior das cintas. Em cada vértice da secção deverá existir, pelo menos,

1 varão e esses cantos devem ter, se possível, um reforço de armadura em

relação ao restante.

7.16 DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECÇÃO

Chama-se particularmente a atenção para a consideração, na verificação da

segurança, da sobreposição das compressões, quando se tem presente esforço

transverso e torção, que limita o conjunto dos valores máximos esforço

transverso/momento torsor. Também ao nível da pormenorização das armaduras há

que considerar em conjunto as armaduras transversais de torção e esforço transverso

e de torção e flexão.

Finalmente, apresenta-se, em termos esquemáticos, as dependências, em termos de

quantidades de armadura e/ou verificações das compressões máximas, entre as

diferentes verificações de segurança.

Msd

AsL c cAsw

Vsd

saL

Tsd

AsL

sAst c

armaduras longitudinais

compressão nas bielas inclinadas

armaduras transversais

compressão no banzo


139

EXERCÍCIO 10

Verifique a segurança ao estado limite último da viga indicada na figura, na secção dos

apoios.

30 kN/m

0.305.00

0.50

1.00

psd

0.15

0.15

(os apoios impedem a rotação da viga segundo o seu eixo)

Materiais: C25/30; A400

Recobrimento = 2.5cm


140



(+)

DMF

[kNm]

30 kN/m

93.8DET

[kN]

(+)

(-)

75.0

75.0

(+)

11.25

(-)

11.25

Msd = pL2

8 =

30 52

8 = 93.8kNm

Vsd = pL 2

= 30 5

2 = 75kNm

Tsd = 30 0.15 5 2

= 11.25 kNm

2. Características da secção oca eficaz

hef = Au

= 0.5 0.5

2 (0.3 + 0.5) = 0.09m

hef (2.5 + 0.6 + 0.5) 2 7cm

hm = 0.5 - 0.09 = 0.41m ; bm = 0.3 - 0.9 = 0.21

Aef = 0.21 x 0.41 = 0.0862

z = hm uef = 2 (0.21 + 0.41) = 1.24m

h ef

p

z cotg

pCargas transmitidas

directamente ao apoio

Vzcotg

sd = 75 - 30 0.41 cotg 30 = 53kN

Tzcotg

sd = 11.25 - (30 0.15) 0.41 cotg 30 = 8.05kNm


141

Verificação das Compressões

Torçãoc = Tsd

2 Aef hef sen cos =

= 8.05

2 0.086 0.09 sen 30 cos 30 = 1201 kN/m2

1201

Esf. Transverso: c = Vsd

b z sen cos =

= 53.7

0.3 0.41 sen 30 cos 30 = 1008 kN/m2

1008

TOTAL

c = 1201 + 1008 = 2209 kN/m2

c ≤ 0.6

1 -

fck 250

fcd = 9018 kN/m2

2209

1201

1201

1201-1008

= 193

Armadura transversal

Torção: Ast

s =

Tsd

2 Aef cotg fyd =

8.05

2 0.086 cotg 30 34.8 = 0.78cm/m2 (por ramo)

Esf. Transverso: Asw

s=

Vsd

z cotg fyd =

53.7

0.41 cotg 30 34.8 = 2.17cm2/m (2 ramos)

Ast

s +

Asw

s /ramo

= 0.78 + 2.17

2 = 1.87cm2/m Est 6//0.15 (1.88 cm2/m)

Armadura longitudinal no apoio

Torção: ASl = Tsd cotg uef

2 Aef fyd (Tsd no apoio)

p

z cotg

bcotg z

2

z

1

cotg 1 = 0.5 bz + 0.5 cotg

b = 0 cotg 1 = 0.5 cotg

b = z2 cotg 1 = 0.25 + 0.5 cotg


142

Asl = Tsd (0.25 + 0.5 cotg ) uef

2 Aef fyd =

11.25 (0.25 + 0.5 cotg 30) 1.24

2 0.086 34.8 = 2.6cm2 (4 faces)

Esforço transverso: (Vsd no apoio)

ASl,ap = Vsd cotg 1

fyd =

75 (0.25 + 0.5 cotg 30)34.8

= 2.41cm2

Face inferior: Asl = 2.41 + 2.6 0.211.24

= 2.85cm2

Face superior: Asl = 2.6 0.211.24

= 0.44cm2 ; Faces laterais: Asl = 2.6

0.411.24

= 0.86cm2

Pormenorização

As (1/2 vão)

Msd = 93.8kN

= 0.092 = 0.099

= 6.39cm2 (216 + 212)

Ent 6//0.15

26

26

2


143

8 DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E PRÉ-

ESFORÇADO

8.1 Introdução

Neste capítulo definem-se as principais causas de deterioração das estruturas de

betão, explicam-se os respectivos mecanismos de degradação e definem-se as

disposições construtivas e de qualidade de materiais para contrariar o

desenvolvimento desses processos. Estas disposições são enquadradas no que se

denomina de garantia da durabilidade.

Durabilidade de uma Estrutura – Aptidão de uma estrutura para desempenhar as

funções para que havia sido concebida durante o período de vida previsto, sem que

para tal seja necessário despender custos de manutenção e reparação imprevistos.

Evidentemente que os objetivos de durabilidade requeridos dependem do período de

vida previsto para a estrutura, da sua importância e custos de investimento

associados, definindo-se 5 categorias como apresentado no quadro seguinte

Categorias para

o período de

vida

Valores indicativos

do período de vida

(anos)

Exemplos

1 10 Estruturas temporárias (1)

2 10 a 25 Partes estruturais substituíveis (apoios, ...)

3 15 a 30 Estruturas para agricultura ou similares

4 50 Estruturas de edifícios e outras estruturas comuns

5 100 Monumentos, pontes e outras obras públicas

(1) Estruturas que podem ser desmontadas para serem reutilizadas não são consideradas temporárias

Verifica-se assim que para obras mais correntes a categoria a adoptar é a 4

correspondente a um período de vida de 50 anos.


144

8.2 Mecanismos de Deterioração

A deterioração das estruturas de betão é causada por fenómenos físicos e químicos

de diversas naturezas.

Normalmente distinguem-se os mecanismos que conduzem à deterioração das

armaduras e os mecanismos que conduzem à deterioração do betão pois envolvem

fenómenos muito diferentes.

8.2.1 Deterioração por Corrosão das Armaduras

A deterioração por corrosão de armaduras está, em geral, associada à despassivação

do aço pela acção da carbonatação ou dos cloretos. Após ocorrer a despassivação, o

processo de corrosão do aço desenvolve-se originando a perda de secção dos varões

e a fendilhação e delaminação do betão de recobrimento dado que os produtos

originados na corrosão apresentam uma elevada expansão e, por conseguinte, geram

tensões de tracção muito elevadas no betão.

A figura seguinte apresenta uma estrutura em que o processo de corrosão por acção

da carbonatação se desenvolveu observando uma delaminação extensa do betão de

recobrimento. Como é fácil de entender este tipo de anomalia causa uma perda

significativa da capacidade resistente dos elementos estruturais, não só pela perda de

secção da armadura, mas também por perda de aderência dos varões ao betão.


145

- Despassivação das armaduras

No betão não contaminado as armaduras encontram-se protegidas contra a corrosão

devido à elevada alcalinidade do meio que é conferida pelos hidróxidos resultantes

das reacções de hidratação do cimento.

Hidróxido de cálcio

Hidróxido de sódio e potássio pH 12.5 a 13.5

Nestas condições forma-se à superfície da armadura uma barreira de protecção

(película passiva) que impede a sua corrosão.

Protecção das armaduras no betão

Quando o pH desce para valores inferiores a 10 - 11, ou o teor de cloretos ultrapassa

o valor crítico, ocorre a destruição da película passiva.

A despassivação das armaduras vai originar o início do mecanismo da corrosão

Corrosão das armaduras após a dissolução da película passiva


146

Para se avaliar a possibilidade ou o risco de despassivação das armaduras recorre-se

a ensaios de medição da profundidade de carbonatação e medição do teor em

cloretos do betão

Profundidade da carbonatação

Interesse em relacionar a profundidade da carbonatação com o

recobrimento.

Pode ser realizado em carotes de pequeno diâmetro (ver figura) ou furos

(ensaiando o betão em profundidades crescentes até se deixar de verificar a

carbonatação) aspergindo o betão com fenolftaleína.

Ensaio de carbonatação com fenolftaleína

Teor em cloretos

Interesse em relacionar o teor crítico de cloretos com o recobrimento.

Pode ser realizado analisando amostras de betão extraídas a diferentes

níveis de profundidade com auxílio de uma broca ou a amostras obtidas de

carotes.


147

- Corrosão das Armaduras

O mecanismo da corrosão é um processo electroquímico que pode ser comparado ao

funcionamento de uma pilha. Neste mecanismo estão envolvidas reacções químicas e

correntes eléctricas.

Para que a corrosão se possa desenvolver é necessário a presença dos seguintes

elementos:

Ânodo Zona da armadura despassivada

Cátodo Zona da armadura com acesso ao oxigénio

Condutor eléctrico Armadura

Electrólito Betão

Na figura seguinte está representado de forma simplificada o mecanismo da corrosão.

varão

Cl-

(% massa de cimento)

0.4% teor crítico

prof. de perfuração

Recobrimento (mm)


148

Modelo de uma célula de corrosão

No ânodo formam-se os produtos da corrosão aos quais está associado um grande

aumento de volume. Geram-se tensões de tracção muito elevadas que acabam por

fendilhar e delaminar o betão de recobrimento.

Volume relativo dos produtos da corrosão


149

Caracterizado o mecanismo da corrosão podem ser ilustradas as situações em que

não ocorre corrosão significativa das armaduras

A armadura não está despassivada não se forma o ânodo

Em elementos submersos não há disponibilidade de oxigénio a reacção

catódica é reduzida

Em elementos situados em ambientes secos o betão tem uma condutividade

baixa a intensidade de corrente eléctrica que passa no electrólito é muito

reduzida

- Efeitos da Deterioração

Os efeitos de corrosão das armaduras traduzem-se nos seguintes aspectos:

Fendilhação e delaminação do betão de recobrimento

Perda de aderência aço/betão

Perda de secção e ductilidade do aço

A figura mostra uma parede de umas docas marítimas com uma delaminação do betão

de recobrimento num estado muito avançado devido, essencialmente, à acção dos

cloretos.

Os efeitos estruturais podem traduzir-se numa alteração do comportamento dos

mecanismos resistentes dos elementos estruturais como se ilustra na figura seguinte

relativa a uma viga em que se simula o efeito da delaminação do betão junto ao apoio.


150

A delaminação do betão ao reduzir ou anular a aderência altera o andamento dos

campos de tensão com consequências relevantes ao nível dos valores das tensões

actuantes.

Modelo de transmissão de cargas para o apoio

Alteração modelo de transmissão de cargas devida à deterioração


151

A capacidade resistente das secções é também significativamente afectada pela

corrosão como se ilustra seguidamente para o caso do momento resistente.

MR = FS x Z = FC x Z

A corrosão por acção dos cloretos é muito gravosa dado conduzir ao fenómeno

designado por corrosão localizada onde se verificam elevadas perdas de secção das

armaduras como se ilustra nas figura seguintes.

Corrosão localizada de varões numa parede

Corrosão localizada de um estribo


152

A corrosão por acção da carbonatação não apresenta, em geral, este tipo de problema

dado tratar-se de uma corrosão uniforme. Nestes casos é a perda de aderência que

constitui o principal aspecto que afecta a capacidade resistente do elemento.

8.3 Deterioração do betão

Relativamente à deterioração do betão, os mecanismos podem ser de natureza física

e química.

Os de natureza física estão associados ao desgaste por abrasão, situação que ocorre

normalmente em pavimentos sujeitos a tráfego intenso, desgaste por erosão quando

os elementos estão sujeitos à acção da água em movimento transportando partículas

sólidas. Uma outra situação é relativa a um fenómeno designado por cavitação o qual

pode ocorrer em elementos sob a acção do escoamento de água com elevada

velocidade. Nestes casos, uma mudança brusca da direcção do escoamento pode

originar bolhas de vapor de água no interior do líquido as quais implodem com grande

libertação de energia afectando as camadas superficiais do betão.

Os mecanismos de natureza química são os que ocorrem com maior frequência. A

deterioração pode estar associada à decomposição da pasta de cimento com a

consequente perda das propriedades ligantes e, por conseguinte, perda de resistência

do betão ou a reacções expansivas dos componentes da pasta de cimento ou, ainda,

a fenómenos que envolvem reacções químicas com os agregados.

Relativamente à deterioração que envolve a pasta de cimento referem-se os seguintes

fenómenos:

– acção dos ácidos, águas puras e sais de amónio e magnésio que provocam a

decomposição dos compostos hidratados do cimento;

– acção da água do mar, nomeadamente as reacções que envolvem os iões

agressivos que a constituem: sulfatos e magnésio;

– acção dos sulfatos

Relativamente à deterioração que envolve os agregados referem-se a reacção entre

os álcalis e a sílica reactiva e outros tipos de minerais como alguns tipos de

carbonatos.

As reacções químicas mais significativas e as suas consequências são as seguintes:

Reacção dos sulfatos com os aluminatos da pasta de cimento

Reacção expansiva fendilhação do betão, perda de resistência


153

Reacção dos álcalis com os agregados reactivos do betão

Reacção expansiva fendilhação do betão

Reacção dos ácidos, sais de magnésio, sais de amónio e águas puras sulfatos

com a pasta de cimento

Perda das propriedades ligantes perda de resistência

As reacções álcalis-agregado apresentam um grande significado em Portugal, tendo

sido identificadas em diversas obras nos últimos anos. Estas reacções são lentas,

desenvolvendo-se num período de 10 a 30 anos até que os seus efeitos sejam

visíveis.

A deterioração resulta da hidratação de um gel da reacção entre os álcalis sódio e

potássio (Na+ e K+), iões de hidróxido e agregados reactivos (sílica, silicatos e

carbonatos). Para que ocorra expansão significativa é necessário que haja água

suficiente para hidratar o gel da reacção pelo que são as estruturas em contacto com

água as mais sensíveis a este fenómeno.

As figuras seguintes ilustram as consequências deste tipo de deterioração.

Arco Pilares

Efeitos da reacção expansiva álcalis-sílica no arco e pilares de um viaduto


154

Efeitos da reacção expansiva álcalis-sílica numa viga pré-esforçada

Um aspecto que interessa referir é que nos elementos estruturais sujeitos a

compressões significativas a fendilhação tende a ter a direcção das tensões de

compressão por efeito da sobreposição das tensões provocadas pelas acções

actuantes com as induzidas pela expansão.

As reacções sulfáticas podem ser de origem externa ou interna. As de origem externa

ocorrem, em geral, quando os elementos estão expostos a águas freáticas ou a solos

contaminados com sulfatos. Estes iões agressivos penetram para o interior do betão e

vão reagir com os aluminatos de cálcio resultantes da hidratação do cimento dando

origem a etringite (trisulfoaluminato de cálcio hidratado). Este produto é fortemente

expansivo originando a fendilhação e decomposição do betão. Por vezes observa-se

um produto branco que resulta da reacção como indicado na figura seguinte. A

deterioração processa-se de forma progressiva do exterior para o interior dos

elementos.

Efeitos da reacção sulfática externa observando-se uma substância branca

A reacção sulfática interna resulta da reacção entre o sulfato de cálcio do cimento com

os aluminatos de cálcio. Como se sabe, o cimento contem uma certa quantidade de

sulfato de cálcio que actua como regulador de presa. Este produto é consumido nas

primeiras idades, quando o betão ainda não endureceu, pelo que não causa

problemas. Todavia, se o sulfato de cálcio não for consumido nas primeiras idades, vai


155

reagir posteriormente com os aluminatos causando expansão significativa e a

correspondente deterioração. Este fenómeno pode ocorrer se a temperatura do betão

na fase de presa e endurecimento atingir valores muito elevados (em geral acima de

70 ºC). Trata-se de um tipo de deterioração que tem especial relevância em elementos

que envolvem a betonagem de grandes massas de betão. Nestes casos o calor de

hidratação do cimento pode aumentar a temperatura do betão para valores acima dos

70 ºC inibindo a reacção dos sulfatos do cimento. Outra situação refere-se aos casos

em que se utiliza cura a vapor para acelerar o endurecimento do betão como, por

exemplo, na pré-fabricação. A figura seguinte ilustra uma viga em que a reacção

sulfática interna se desenvolveu.

A especificação LNEC E 461 define as metodologias preventivas para evitar o

desenvolvimento das reacções expansivas internas (sulfatos e álcalis-agregado).

Outro tipo de deterioração do betão é a acção dos ciclos de gelo-degelo que causam a

fendilhação do betão. Trata-se de um processo de deterioração que vai progredindo

sucessivamente da superfície para o interior do betão. Em Portugal este mecanismo

apresenta reduzido significado dadas as temperaturas amenas no país. A acção do

fogo pode originar a decomposição do betão se as temperaturas dos elementos

atingirem valores elevados, acima de 500 ºC. Nos esgotos surge um outro tipo de

deterioração designado por ataque biológico. Trata-se na realidade de um ataque

ácido que é produzido por bactérias.


156

8.4 Ambiente de Exposição

Consoante as condições de exposição dos elementos estruturais, naturalmente que os

riscos de deterioração são diferentes. Em termos regulamentares definem-se então

diferentes classes de exposição como indicado no quadro a seguir apresentado.

CLASSES DE EXPOSIÇÃO

Designação da

classe

Descrição do ambiente Exemplos informativos de condições

em que podem ocorrer as classes de

exposição

1 Nenhum risco de corrosão ou ataque

X0

Para betão sem armadura ou elementos metálicos embebidos: todas as exposições excepto em situação de gelo/degelo, abrasão ou ataque químico

Para betão com armadura ou elementos metálicos embebidos: muito seco

Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente muito baixa

2 Corrosão induzida por carbonatação

XC1 Seco ou permanentemente húmido Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente baixa

Betão permanentemente submerso em água

XC2 Húmido, raramente seco Superfícies de betão sujeitas a contacto prolongado com água

Um grande número de fundações

XC3 Humidade moderada Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente moderada ou elevada

Betão exterior protegido da chuva

XC4 Alternadamente húmido e seco Superfícies de betão sujeitas a contacto com água, não incluídas na classe de exposição XC2

3 Corrosão induzida por cloretos

XD1 Humidade moderada Superfícies de betão expostas a cloretos transportados pelo ar

XD2 Húmido, raramente seco Piscinas

Elementos de betão expostos a águas industriais contendo cloretos

XD3 Alternadamente húmido e seco Elementos de pontes expostos a pulverizações contendo cloretos

Pavimentos

Lajes de parques de estacionamento


157

4 Corrosão induzida por cloretos presentes na água do mar

XS1 Exposto ao sal transportado pelo ar mas

não em contacto directo com a água do

mar

Estruturas próximas da costa ou na costa

XS2 Permanentemente submerso Elementos de estruturas marítimas

XS3 Zonas sujeitas aos efeitos das marés, da

rebentação e da neblina marítima

Elementos de estruturas marítimas

5. Ataque gelo/degelo

XF1 Saturação moderada em água, sem

produto descongelante

Superfícies verticais de betão expostas à chuva e ao gelo

XF2 Saturação moderada em água, com

produtos descongelantes

Superfícies verticais de betão de estruturas rodoviárias expostas ao gelo e a produtos descongelantes transportados pelo ar

XF3 Saturação elevada em água, sem

produtos descongelantes

Superfícies horizontais de betão expostas à chuva e ao gelo

XF4 Saturação elevada em água com

produtos descongelantes ou com água do

mar

Estradas e tabuleiros de pontes expostos a produtos descongelantes

Superfícies de betão expostas a pulverizações directas contendo produtos descongelantes e expostas ao gelo

Zonas sujeitas aos efeitos da rebentação de estruturas marítimas expostas ao gelo

6. Ataque químico

XA1 Ambiente químico ligeiramente agressivo,

de acordo com a EN 206-1, Quadro 2

Terrenos naturais e água no terreno

XA2 Ambiente químico moderadamente

agressivo, de acordo com a EN 206-1,

Quadro 2


XA3 Ambiente químico altamente agressivo,

de acordo com a EN 206-1, Quadro 2


Nota: Este quadro é parte integrante da EN1992-1-1 (EC2) – Capítulo 4. A composição do betão afecta quer a protecção das armaduras quer a resistência do betão aos ataques. O Anexo E dá classes de resistência indicativas para as diferentes classes de exposição. Tal pode conduzir à escolha de classes de resistência mais elevadas do que as que seriam necessárias ao cálculo estrutural. Neste caso, deve adoptar-se o valor de fctm associado à resistência mais elevada para o cálculo da armadura mínima e para o controlo da largura de fendas (ver 7.3.2 a 7.3.4).


158

Apresentam-se seguidamente dois exemplos com a indicação das classes de

exposição consoante os ambientes a que os elementos estruturais estão expostos.

Exemplo 1: Ambiente exterior afastado da orla marítima

Ambiente Exterior – microambientes possíveis

Ambientes: XC – Corrosão por acção da carbonatação

XD – Risco de corrosão induzida por acção de cloretos de origem diversa

da água do mar

XA – Ataque químico

XC4 – Betão sujeito a contacto pouco prolongado com a água

XC4/XD3 – Betão sujeito a contacto prolongado com a água e com o risco de

pulverizações contendo cloretos

XC3 – Betão exterior protegido da chuva

XC2 – Ambiente húmido raramente seco como correntemente nas fundações

XA – betão em contacto com solos ou águas agressivas (XA1; XA2; XA3)

XC4 / XD


159

Exemplo 2: Ambiente marítimo

CORTE TIPO

XC3/XS1 XC4/XS1

XC4/XS3

XC4/XS3/XA1

XC2/XS2/XA1

Ambientes XS – Corrosão induzida por cloretos na água do mar

XC – Corrosão induzida por carbonatação

XA – Ataque químico

Zona Atmosférica – Corrosão das Armaduras (XS1 – Sal transportado pelo ar mas

sem contacto directo com a água; XC3/XC4 – carbonatação )

Zona de Rebentação – Corrosão das Armaduras (XS3 – Zona sujeita a ciclos de

molhagem/secagem com água do mar; XC4 – carbonatação)

Zona de Maré – Corrosão das Armaduras XS3; Ataque Químico do betão XA1; XC4 –

carbonatação

Zona Submersa – Corrosão das Armaduras XS2; Ataque Químico do betão XA1; XC2

– carbonatação

8.5 Período de Iniciação e Período de Propagação

No processo de deterioração das estruturas estão geralmente envolvidas duas fases

conforme ilustrado na figura seguinte.

A primeira fase corresponde ao período em que os agentes agressivos penetram para

o interior do betão mas não desenvolvem deterioração significativa. Nesta fase a

estrutura pode estar sujeita a um nível de contaminação elevado sem que haja sinais


160

visíveis de deterioração (fase de iniciação). A segunda fase corresponde ao período

em que os fenómenos de deterioração desenvolvem-se de forma significativa (fase de

propagação).

Num problema de corrosão de armaduras o fim do período de iniciação representa a

despassivação das armaduras e o período de propagação corresponde ao

desenvolvimento da corrosão.

Face ao referido, verifica-se que é necessário programar acções de inspecção, mesmo

que não existam sinais de deterioração visíveis, por forma a permitir realizar

operações de manutenção antes que os mecanismos de deterioração mais severos se

desenvolvam.

Os custos de reparação de uma estrutura que se apresente na fase de propagação

são sempre elevados. Uma forma de aumentar o período de iniciação, mesmo em

ambientes agressivos, é através da garantia de um recobrimento eficiente e betão com

boa compacidade, como explicitado nas figuras seguintes.

Influência do recobrimento na profundidade de carbonatação


161

Recobrimento mínimo e qualidade (resistência) do betão – Valores de referência

8.6 - Metodologia para a Garantia da Durabilidade

A garantia da durabilidade é naturalmente um problema estatístico. Os parâmetros

associados à avaliação destes fenómenos (ex: corrosão) têm uma determinada

variabilidade que pode ser caracterizada por distribuições estatísticas. Trata-se de um

problema semelhante ao da verificação da segurança estrutural sob a acção de cargas

actuantes.

A avaliação não pode ser feita com base em valores médios. Deve ser feita em termos

de probabilidade de ocorrência. Por exemplo de 10%, para um certo período de vida.

A figura seguinte ilustra de uma forma simplificada como é que o problema pode ser

analisado. A situação em análise refere-se à despassivação das armaduras onde o

recobrimento das armaduras se representa por R (resistência) e a profundidade de

carbonatação por S (acção). Ambos os parâmetros são definidos em função do tempo.

Para cada período de tempo é possível definir uma probabilidade de falha pf. O

período de vida útil da estrutura é definido para uma determinada probabilidade de

falha assumida com aceitável (2 a 10% dependendo da importância da estrutura).

Importa referir que a despassivação das armaduras não é um problema de estado


162

limite último, podendo ser considerada uma situação idêntica a um estado limite de

serviço, razão pela qual se assumem probabilidades de falha da ordem de 10%.

O problema pode, também, ser analisado em termos do tempo de vida útil conforme

ilustrado na parte inferior do gráfico em que TL é a distribuição da viga útil da estrutura

e Tg é a vida útil pretendida associada a uma determinada probabilidade de falha.

O problema apresenta alguma complexidade na sua análise dada a dificuldade de

caracterizar de forma adequada a variabilidade dos parâmetros que influenciam a

despassivação das armaduras.

No entanto, apesar da dificuldade estatística, foi possível definir valores de

recobrimentos e características dos betões de forma a assegurar a durabilidade

necessária (período de vida) para as diferentes classes de exposição ambiental.

Para definir o recobrimento das armaduras o Eurocódigo 2 introduz o conceito de

classe estrutural, indicando para cada classe os recobrimentos a adoptar em função

das diferentes classes de exposição ambiental conforme indicado nos quadros

seguintes.

Refira-se que em Portugal, e para um período de vida de 50 anos, a classe de referência

a adoptar é a S4. Apresentam-se seguidamente os quadros para avaliação daquelas

características.


163

Armadura Ordinária

Requisitos relativos à condição de exposição ambiental para Cmin,dur (mm)

Classe Estrutural

Classe de exposição

X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3

S1 10 10 10 15 20 25 30

S2 10 10 15 20 25 30 35

S3 10 10 20 25 30 35 40

S4 10 15 25 30 35 40 45

S5 15 20 30 35 40 45 50

S6 20 25 35 40 45 50 55

Armaduras Pré-Esforçadas

Requisitos relativos à condição de exposição ambiental para Cmin,dur (mm)

Classe Estrutural


X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1/XS1 XD2/XS2 XD3/XS3

S1 10 15 20 25 30 35 40

S2 10 15 25 30 35 40 45

S3 10 20 30 35 40 45 50

S4 10 25 35 40 45 50 55

S5 15 30 40 45 50 55 60

S6 20 35 45 50 55 60 65

A classificação estrutural é alterada a partir da classe de referência S4 tendo em conta

os parâmetros indicados no quadro seguinte.

Classe Estrutural

Critério Condições de exposição de acordo com o quadro

X0 XC1 XC2/XC3 XC4 XD1 XD2/XS1 XD3/XS2/ XS3

Período de vida útil de 100 anos

aumentar 2 classes

aumentar 2 classes

aumentar 2 classes

aumentar 2 classes

aumentar 2 classes

aumentar 2 classes

aumentar 2 classes

Classe de resistência

C30/37 reduzir 1 classe




C40/50*a

reduzir 1 classe


C45/55*b

reduzir 1 classe

Elemento tipo laje

(se a posição das armaduras não for afectada pelo processo construtivo)

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

Controlo de qualidade especial para a produção do betão

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

reduzir 1 classe

*a ou C50/60 – CEM I/IIA *b ou C60/75 – CEM I/IIA


164

O valor a indicar nos desenhos é o do recobrimento nominal.

Cnom = Cmin + C

C – Tolerância (rigor) no posicionamento das armaduras (10mm)

Em Portugal os requisitos de composição do betão e de recobrimento das armaduras

são definidos na NP EN 201-1, nomeadamente na Especificação LNEC E 464 que

integra o Anexo Nacional daquela norma.

Para além do recobrimento a Especificação LNEC E 464 estabelece os requisitos da

qualidade dos betões para as várias condições de agressividade ambiental:

Limites da composição e da classe de resistência do betão sob acção da

carbonatação, para uma vida útil de 50 anos

Tipo de cimento

CEM I (Referência); CEM II/A (1)

CEM II/B

(1); CEM III/A

(2); CEM IV

(2);

CEM V/A (2)


XC1

XC2 XC3 XC4 XC1

XC2 XC3 XC4

Mínimo recobrimento nominal (mm)

25 35 35 40 25 35 35 40

Máxima razão água/cimento

0.65 0.65 0.60 0.60 0.65 0.65 0.55 0.55

Mínima dosagem de cimento, C (kg/m

3)

240 240 280 280 260 260 300 300

Mínima classe de resistência

C25/30 LC25/28

C25/30 LC25/28

C30/37 LC30/33

C30/37 LC30/33

C25/30 LC25/28

C25/30 LC25/28

C30/37 LC30/33

C30/37 LC30/33

(1) Não aplicável aos cimentos II/A-T e II/A-W e aos cimentos II/B-T e II/B-W, respectivamente

(2) Não aplicável aos cimentos com percentagem inferior a 50% de clínquer portland, em massa


165

Limites da composição e da classe de resistência do betão sob acção de cloretos,

para uma vida útil de 50 anos

Tipo de cimento CEM IV/A (Referência); CEM IV/B; CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM II/B

(1); CEM II/A-D

CEM I; CEM II/A (1)


XS1/XD1

XS2/XD2 XS3/XD3 XS1/XD1 XS2/XD1 XS3/XD3

Mínimo recobrimento nominal (mm)

45 50 55 45 50 55


0,55 0,50 0,45 0,45 0,45 0,40


3)

320 320 340 360 360 380


C30/37 LC30/33

C30/37 LC30/33

C35/45 LC35/38

C40/50 LC40/44

C40/50 LC40/44

C50/60 LC50/55

(1) Não aplicável aos cimentos II –T, II-W, II/B-L e II/B-LL

Limites da composição e da classe de resistência à compressão do betão sob ataque

químico, para uma vida útil de 50 anos

Tipo de cimento CEM IV/A (Referência); CEM IV/B; CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM II/B

(1); CEM II/A-D

CEM I; CEM II/A (1)


XA1

XA2 (2)

XA3 (2)

XA1 XA2 (2)

XA3 (2)


0,55 0,50 0,45 0,50 0,45 0,45


3)

320 340 360 340 360 380


C30/37 LC30/33

C35/45 LC35/38

C35/45 LC35/38

C35/45 LC35/38

C40/50 LC40/44

C40/50 LC40/44

(1) Não aplicável aos cimentos II-T, II-W, II/B-L e II/B-LL.

(2) Quando a agressividade resultar da presença de sulfatos, os cimentos devem satisfazer os requisitos mencionados na secção 5, nomeadamente no Quadro 10, aplicando-se ao betão as exigências estabelecidas neste quadro para o CEM IV.

8.7 Outros aspectos importantes para a garantia da durabilidade das

construções

As medidas a considerar para garantir a durabilidade das estruturas envolvem vários

aspectos para além da composição do betão e do recobrimento, nomeadamente:


166

Concepção e projecto

Forma Estrutural

Adoptar sempre que possível formas simples que minimizem a área de exposição

ao ambiente

Evitar saliências e cantos

Adoptar formas arredondadas

Conceber uma drenagem adequada, minimizando o contacto da estrutura com a água

Controlar os efeitos das deformações impostas, nomeadamente no que se refere à fendilhação

Adoptar disposições particulares tais como a protecção do betão com revestimentos e a utilização de armaduras em aço inoxidável.

Execução

Controlo Técnico de Execução, nomeadamente:

Recobrimentos

Qualidade do Betão

Cura

Indicam-se seguidamente quais as responsabilidades e tarefas dos diferentes

intervenientes no processo de garantia de qualidade de uma construção.

Dono de Obra


167

Especificar o uso da estrutura, o período de vida útil e os requisitos para o projecto e construção

Projectista

Conceber e projectar a estrutura

Identificar as condições de exposição

Especificar os materiais e recobrimentos

Definir eventuais medidas de protecção adicional

Elaborar as especificações técnicas relativas a materiais e execução dos trabalhos

Elaborar o manual de manutenção da estrutura

Empreiteiro

Executar a estrutura de acordo com os requisitos especificados no projecto

Controlar a composição do betão (razão A/C, tipo de cimento, agregados, ...)

Controlar a betonagem e cura do betão

Controlar os recobrimentos

Utilizador

Realizar a manutenção da estrutura

Desenvolver acções de inspecção/avaliação do comportamento da estrutura sempre que necessário

Evitar alterações na utilização da estrutura que agravem a agressividade das condições de exposição

8.8 MANUTENÇÃO, INSPECÇÕES E EVENTUAIS REFORÇOS

Muitas vezes, na sequência de avaliação de estruturas durante a sua vida útil, pode

resultar a necessidade de uma reparação ou reforço.

Todas as intervenções de reabilitação, para além das acções correntes de

manutenção, deverão ser efectuadas com base num projecto que envolva acções de

inspecção e avaliação de modo a identificar as causas das anomalias e a definir as

medidas adequadas à sua resolução.

Nas figuras seguintes apresenta-se uma tal situação em que foram identificadas as

causas de uma fendilhação acentuada dos pilares e definidas as medidas mais

adequadas para atenuar o desenvolvimento da deterioração.

Inspecção (avaliação de uma situação de reacção álcalis-agregados) e início da

reparação/reforço


168

Solução de reparação/reforço (encamisamento e tinta impermeabilizante) e aspecto

final


169

9 VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO (ESTADOS

LIMITES DE UTILIZAÇÃO – SLS)

9.1 Introdução

No início da disciplina discutiram-se as características fundamentais do

comportamento à flexão do betão armado e foi explicada a fundamentação base das

verificações de segurança das estruturas. Posteriormente apresentaram-se e

aplicaram-se os modelos para garantia da segurança à rotura de elementos lineares,

sem esforço axial (vigas).

Neste capítulo apresentam-se os princípios e a aplicação para a verificação da

segurança em serviço das estruturas de betão armado, ou seja, da Verificação dos

Estados Limites de Utilização.

9.2 Verificação aos Estados Limites de Utilização

Como explicado anteriormente, na avaliação destes Estados Limites de Utilização, há

que ter como principal objectivo:

Garantir um bom comportamento das estruturas em situações correntes de

serviço, assegurando um nível de fendilhação aceitável (através do contolo da

abertura máxima de fendas), limitar a deformação a valores funcionalmente

aceitáveis para os objectivos da construção em causa e tornar a eventual sensibilidade

das estruturas à vibração, limitada a valores que não gerem desconforto.

Por outro lado, nas verificações da segurança aos Estados Limites de Utilização, as

acções tomam valores de actuação expectável (não são majoradas e as

sobrecargas podem não actuar com todo o seu valor) e o comportamento dos

materiais é simulado através da utilização de propriedades médias (não

minoradas).

9.3 Acções

Como vimos temos, então, nas verificações aos estados limites de utilização,

combinações de acções com diferentes probabilidades de ocorrência:

Combinação rara ou característica: Situação de carregamento com pequena

probabilidade de ocorrência apropriada para analisar um estado limite de muito

curta duração – algumas horas no tempo de vida da estrutura.

Gm + Qk + i

1i Qik


170

Combinação frequente: Caso com probabilidade de ocorrência superior ou igual

a 5% do tempo de vida da estrutura, e aplicável a estados limites de curta

duração.

Gm + 1 Qk + i

2i Qik

Combinação quase-permanente: Situação de solicitação com probabilidade de

ocorrência superior a 50% do tempo de vida da estrutura, portanto adequada

para analisar estados limites definidos como de longa duração.

Gm + i

2i Qik

Refira-se que é para este nível de acções que o comportamento em termos de

deformação e controlo da abertura de fendas é, em geral, importante.

Nestas expressões o significado das variáveis é a seguinte:

Gm – valor médio das acções permanentes

Qk – valor característico da acção variável base

Qik – valor característico das restantes acções variáveis

Relembra-se que se tem sempre, para os coeficientes : 2i < 1i < 1

9.4 Materiais

Estes terão naturalmente um comportamento elástico, havendo no entanto que

considerar o facto do betão fendilhar, e ainda, as suas características de

comportamento ao longo do tempo, ou seja a fluência e a retracção.

Referem-se seguidamente estas características de uma forma necessariamente

resumida, havendo que consultar outros elementos para a sua mais correcta

quantificação.

9.4.1 Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados

limites de utilização

Com base no diagrama médio esperado (no desenho referido como “real”) de

comportamento do aço, enquadra-se a resposta característica, de cálculo à rotura e,

indica-se, ainda, a zona esperada em termos do comportamento em serviço.


171

(i) AÇO

fyd

s

fyd

s

Es

0.2%

fyk

curva simplificada de cálculo

aos E.L. Últimos

curva real

curva característica

curva de cálculo

E.L. Utilização

Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, temos, portanto,

simplesmente a relação esquematizada, tendo como limite absoluto a tensão de

cedência (ver §2.1.2.2):

Es = 200 GPa

s

s

Para o betão as características das relações tensões – extensões do betão são

indicadas na figura seguinte, vendo-se que o módulo de elasticidade é definido,

aproximadamente, com a rigidez secante para uma tensão de 40% do valor resistente

para a curva média do comportamento.


172

(ii) BETÃO

c

c

0.85 fcd

3.5‰2‰

fck

Ec

0.4 fcm

c

curva real

curva característica

curva simplificada de cálculo

aos E.L. Últimos

fcm

Assim, para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, o

comportamento do betão é considerado, para acções de curto prazo, como sendo

elástico e linear, limitado ao valor resistente de tracção e tendo a compressão limites

regulamentares referidas em §2.1.2.2.

Ec

c

c

fctm

O betão, ao longo do tempo, por efeito do fenómeno da retracção, ou da fluência, se

estiver submetido a um nível de tensão permanente, aumenta a sua deformação.

Estes efeitos têm implicações nas estruturas ao nível das deformações, mas também

podem causar, ao longo do tempo, em estruturas hiperstáticos, esforços,

naturalmente auto-equilibrados.

9.4.2 Efeitos diferidos no tempo do betão

Analisa-se, então, seguidamente, as características do comportamento do betão no

tempo que depende de dois efeitos:

Fluência, dependente da actuação de tensões aplicadas com permanência.

Retracção, que se verifica independentemente de outros efeitos.


173

9.4.2.1 Fluência

A fluência pode ser definida como sendo o aumento da deformação no tempo, sob a

acção de um estado de tensão constante (resultado, essencialmente, da variação de

volume da pasta de cimento que envolve os agregados).

No esquema seguinte ilustra-se o efeito desta característica do comportamento:

(a) Instante de aplicação da carga (t0)

p

c(to)

c (t0) = c (t0)Ec (t0)

(b) Tempo t

p

c(to)

cc(t,to)

cc (t, t0) = (t, t0) c (t0)

onde,

cc (t,t0) representa a deformação por fluência

(t,t0) representa o coeficiente de fluência (quociente entre o incremento de

extensão, cc, no intervalo de tempo [t, t0] e a extensão inicial, c (t0))

A fluência do material betão depende, no entanto, de muitos parâmetros que não são

neste contexto, analisados. São eles:

idade do carregamento (t0)

período do carregamento [t, t0]

humidade relativa do ambiente (> humidade < fluência)

temperatura relativa do ambiente (> temperatura >fluência)

composição do betão

consistência do betão

forma da secção


174

Para idades de carregamento usuais, a partir dos 14 a 28 dias após betonagem, este

coeficiente toma valores tal que, (t, t0) 2 a 4. Para casos correntes, e na falta de

outros dados poderá utilizar-se, como primeira referência, o valor de 2.5 e para

avaliações mais detalhadas pode recorrer-se a muitos modelos existentes, em

particular o referido no EC2. Avalia-se, agora, o efeito da fluência, na deformação do

betão e, posteriormente, de uma viga de betão armado não fendilhada.

Determinação da deformação a longo prazo (t) tendo em consideração o efeito da

fluência:

t = 10 000 dias ( 27 anos)

c (t, t0) = c (t0) + cc (t, t0) = c (t0) + (t, t0) c (t0) = c (t0)Ec (t0)

+ (t, t0) c (t0)Ec (t0)

c (t, t0) = c (t0)Ec (t0)

(1 + ) = c (t0) (1 + )

c (t, t0) = c

E*c , com E*

c = E c

1 +

A fluência é linear com o nível de tensão, desde que o nível de tensão seja limitado a

c ~<0.45 fc esta esteja limitada (§2.1.2.2).

Este efeito afecta directamente a deformação de uma estrutura, podendo ser

considerado, de uma forma simplista, como uma perda de rigidez no tempo, devido

ao abaixamento do módulo de elasticidade.

Para o caso de uma viga simplesmente apoiada, não fendilhada, apresenta-se

seguidamente o efeito da fluência na deformação com base no princípio dos trabalhos

virtuais, em que se chama a atenção para a dependência da flecha dos valores e

distribuição das curvaturas na estrutura.

p

= f1

R

pelo P.T.V., =

L

M .1

R dx

Como se pode observar na figura seguinte, a fluência do betão provoca ao nível da

secção um aumento das extensões do betão e, consequentemente, um aumento da

curvatura.


175

d

(+)

(-)

c(to)

s

c(to)

(+)

s

(-)

cc(t,to)

1R (t)

= |c (t0)| + |cc (t, t0)| + s

d

2 c (t0) + |cc (t, t0)|

h

Chama-se a atenção para que as armaduras contribuem, um pouco, para restringir o

aumento de deformação por fluência do betão sendo que no comportamento em

Estado I, não fendilhado, essa restrição não é muito significativa, como mostra a

expressão acima indicada. Refira-se que no Estado II em que o betão activo é só de

compressão a variação de extensão no aço é pouco significativa e portanto o

incremento de curvatura relativamente ao estado inicial é menor que no estado I.

9.4.2.2 Retracção

A retracção do betão impõe uma diminuição da dimensão de uma peça de betão no

tempo, independentemente do estado de tensão da peça, portanto mesmo na

ausência de outras acções, variações de temperatura ou cargas aplicadas.

Seguidamente ilustra-se o efeito da retracção do betão ao nível de um prisma de betão

e, como acção, num tabuleiro contínuo de ponte. Neste exemplo, chama-se a atenção

para que o valor de retracção do betão pode tomar valores diversos, mas que a sua

ordem de grandeza varia entre 0.2 a 0.4‰, podendo ser melhor avaliado recorrendo

às indicações, por exemplo, do EC2.

cs(t,to)

to t

cs (t, t0) - 200 10-6 a - 40010-6 = - 2.0 10-4 a - 4.0 10-4

100 m

= LL

L = L

L = -4.0 10-4 100m = -0.04m


176

Para um tabuleiro de uma ponte de 100m seria de esperar, aproximadamente, um

encurtamento ao longo do tempo devido ao efeito da retracção, com um valor da

ordem de 4cm, distribuído em partes iguais pelos dois apoios, se estes forem móveis

longitudinalmente.

A retracção pode ser tratada como o efeito de uma diminuição de temperatura com um

valor equivalente de, Tequivalente, como se pode verificar:

= 10-5/C – coeficiente de dilatação térmica do betão

cs = -2 10-4 a -4 10-4 Tequivalente = -20C a -40C

(T = T = 10-5/C (-20 a -40) = -2 10-4 a -4 10-4)

Refere-se, desde já, que, se a retracção livre for impedida, por restrições ao nível da

secção ou da estrutura, isto é, se houver hipersticidade, produzem-se tensões de

tracção que poderão contribuir para a ocorrência de fendilhação.

A retracção do betão depende de, inúmeros factores, de uma forma semelhante à

fluência, dos quais se podem destacar:

– Humidade e temperatura relativa do ambiente

– Consistência do betão na altura da betonagem

– Forma da secção (espessura fictícia do elemento)

Além de poder afectar o estado de tensão na secção, a retracção pode também

contribuir para um incremento de deformação ao longo do tempo, como se ilustra,

de seguida, para uma viga não fendilhada só, com armadura inferior.

s

c

d (-)

Curvatura: 1R

= c - s

d

De facto, numa secção de betão de uma viga, com distribuição de armadura não

simétrica, a retracção do betão é inferior na face inferior, por efeito da restrição à

deformação provocada pela armadura. Essa curvatura será assim tendencialmente

positiva na zona do vão e negativa na zona dos apoios, contribuindo, em ambas as

situações, para o aumento da flecha das vigas.

= f

1

R


177

p

pelo P.T.V., =

L

–M.

1 R

dx

9.5 Estado Limite de Abertura de Fendas

A análise e compreensão do fenómeno da formação de fendas e da sua evolução até

à sua estabilização, incluindo o processo de transmissão de tensões entre o betão e

as armaduras, e, finalmente, a forma de estimar as aberturas das fendas, não é

simples. Têm sido desenvolvidos inúmeros modelos, mais ou menos sofisticados, para

a sua explicação e avaliação das variáveis em jogo.

No que se segue descreve-se de uma forma simplificada as características principais

do mecanismo de fendilhação, para depois explicar a formulação da avaliação das

aberturas de fendas e do seu controlo indirecto a partir dos parâmetros mais

condicionantes.

9.5.1 Mecanismo da fendilhação E ABERTURA DE FENDAS

Para a apresentação do processo de fendilhação vamos tomar o elemento estrutural

mais simples que é o de uma barra de betão armado sujeita à tracção.

N

c

N As

Ac

Antes de fendilhar, Estado I, a distribuição de tensões segue o comportamento elástico

tendo-se, aproximadamente:

c = N Ac

s = s Es ; c = c Ec

Como s = c s

c =

Es Ec

s = Es Ec

c s = c , com = Es Ec

Quando se tiver c = fctm há-de surgir uma fenda numa dada secção, que por uma

razão ou outra esteja mais enfraquecida, passando o esforço axial nessa secção a ser

resistido só pelo aço. Há assim um brusco aumento de tensão no aço, maior ou

menor, consoante a quantidade de armadura presente.

De facto, com o aparecimento da 1ª fenda, ou seja, na passagem para a secção

fendilhada, o incremento de tensão na armadura, s, pode ser avaliado por:


178

NN

c = fct fct Ac = As s s = Ac As

fct

s = 1

fct , com =

As

Ac (% de armadura)

A tensão total, a seguir indicada, é calculada em Estado II, sendo a de Estado I, fct,

em geral muito inferior.

s

fyk

min

s

fct

s = fct + s

Refira-se que, como tem sido referido neste curso, min = As

Ac é a % mínima de

armadura para que, quando se forma a 1ª fenda, a armadura não atinja a cedência

(não plastifique). Para quantidades de armadura superiores o nível de tensão instalado

na fenda estará no domínio elástico, havendo, por efeito da aderência aço/betão, na

região adjacente à fenda, uma transferência de tensões do aço para o betão. A uma

distância, s, como indicado na figura, restabelece-se um estado de tensão com

tracções no betão que permitem condições para se poder formar outra fenda.

N N

c

m

s

c = N Ac

= fct N = fct Ac

Esta distância, s, é considerada como a distância mínima, para que se possa formar

outra fenda.

Assim, a distância mínima entre fendas (s), para um tirante, pode obter-se através de:

Nmáximobetão = Naderencia fct Ac = m Acontacto fct Ac = m u s smin = fct

m

Ac

u

Como, = As

Ac Ac =

As

=

2

4 e u =

Ac u

= 2

4

1

=

4

smin = fct

m

4


179

Caso se trate de um problema de flexão, em particular para vigas com alturas

pequenas e lajes, a zona traccionada de transmissão de tensões entre o aço e o betão

é triangular.

s

m

fct

M

Dado que nestes casos Nmácximo betão = fct Ac 12 , esta distância tem tendência a ser

metade:smin = fct

m

1

2

4

Em geral para peças com uma maior dimensão, a transmissão de tensões do aço para

o betão ocorre apenas numa zona restrita em torno da armadura, como representado

na figura abaixo indicada, definindo-se uma área efectiva, Ac,ef.

hc,ef

d

Ac,ef

Ac,ef representa a área efectiva de betão mobilizada por aderência, sendo a altura hc,ef

definida através de:

hc,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2]

Poderá definir-se então uma percentagem de armadura (p,ef) relativa à área de betão

efectiva, calculada de acordo com a expressão

p,ef = As

Ac.ef

Deste modo, a distância mínima entre fendas poderá ser calculada através de:

smin = 0.25 k1 k2

p,ef

Comparando com a expressão anterior verifica-se que é equivalente sendo que k1

representa a problemática das condições de aderência e k2 a forma do diagrama de

extensões na zona de transmissão de tensões ao betão. De acordo com o EC2, estes

tomam os seguintes valores:


180

k1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões, e que

toma os seguintes valores:

0.8 para varões de alta aderência (nervurados ou rugosos)

1.6 para varões lisos

k2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção, e

que toma, em geral, os seguintes valores:

1.0 para a tracção

0.5 para a flexão de lajes ou vigas pouco altas

Nos casos de tracção excêntrica ou de flexão de vigas mais altas, valores intermédios

de k2, podem ser avaliados pela expressão:

M

Ac,ef

2

1

k2 = 1 + 2

2 1

k2 = 1.0 1 = 2 (tracção pura)

0.5 2 = 0

Nota: Quando forem utilizados, na mesma secção transversal, varões com diâmetros

diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro equivalente (eq), dado por

eq = n11

2 + n222

n11 + n22

Refira-se que, uma vez estabilizada a formação de fendas na zona traccionada, isto é,

quando não houver condições para a formação de mais fendas, a distância entre elas

deverá ser variável, teoricamente, entre o valor mínimo e duas vezes esse valor.

Na figura seguinte ilustra-se o ensaio de uma viga de secção em I à flexão, em que se

mostram dois pormenores da zona central, um em que se está no processo de

fendilhação de fendas e outro em que o processo de fendilhação estabilizada já se

encontra definido. Refira-se que na viga estão marcados com traços a cores o

andamento das fendas à medida que a carga evoluiu.


181

Por sua vez o Eurocódigo 2 define uma distância máxima entre fendas a ser

calculada através da seguinte expressão que corresponde a 1.7 vezes o valor anterior,

acrescido do termo complementar 2c, tal que:

sr,max = 1.7

2c + 0.25 k1 k2

p,ef = 3.4c + 0.425 k1 k2

p,ef

E onde c representa o recobrimento das armaduras e o termo 2c contabiliza o facto da

abertura de fendas na superfície ser um pouco maior que junto à armadura.


182

Escorregamento

Fissura

c

c

Estado I

c1=s1

Tensão de

aderência

bm

b

c1=fct

N=Nf

hef Ac,ef

l 0

Pode constatar-se da análise da expressão que:

Maior quantidade de armadura menor distância entre fendas

Naturalmente que com uma maior densidade de armadura a transmissão de

tensões para o betão é mais eficiente.

Menores s menor distância entre fendas

Fisicamente compreende-se pois, para a mesma quantidade de aço, com

diâmetros menores a relação entre a superfície dos varões e a área de aço é

maior.

Para a avaliação da abertura de fendas é preciso, para além da estimativa da

distância previsível entre fendas, determinar o valor médio da diferença entre a

extensão do aço (que é maior naturalmente) e a extensão do betão, na zona da fenda.

Então vejamos qual seria a abertura de fendas num elemento fendilhado de betão

armado, sem mobilização de aderência aço/betão.

sss

N N

sss Ac

As

w w

w - abertura de fendas

s - distância entre fendas

s = L

L =

w s

w = s s

s = s Es

e s = N As

As aberturas de fendas seriam avaliadas, naturalmente, pelo produto da extensão do

aço, uma vez que o betão não teria tensões, vezes o comprimento de influência de

cada fenda.

Na realidade o cálculo da abertura de fendas baseia-se neste princípio só que há que

contabilizar, por um lado, a menor extensão do aço fora da secção das fendas e, por

outro lado, a extensão do betão, que contribui um pouco para diminuir a abertura da

fenda.


183

Há assim necessidade de avaliar a extensão relativa média entre o aço e o betão

que pode ser determinada pela seguinte expressão:

srm = sm - cm

Na figura seguinte pode compreender-se o sentido desta expressão pois representa-

se, em termos médios, a distribuição de tensões e extensões no aço e no betão ao

longo de um elemento fendilhado de betão armado, com fendilhação estabilizada.

NN

L0

L

srm

s

c

s;c

sm

cm sr srm

Onde,

sm = LL0

= L - L0

L0 (deformação média da armadura)

sr – extensão relativa entre o aço e o betão

srm – extensão média relativa entre o aço e o betão

(i) Determinação da extensão média do aço

Como se pode observar no gráfico seguinte, que representa a extensão média do aço

em função do esforço axial, aquela é inferior à extensão do aço em estado II (sII), pois

na zona entre fendas o betão retém parte da força de tracção aplicada. Denomina-se,

em geral, a este efeito a contribuição do betão entre fendas que está

esquematicamente representado na figura seguinte.

Verifica-se que a força média no aço entre fendas, é inferior à avaliada na secção

fendilhada e, por conseguinte, a extensão média do aço é inferior à de Estado II puro.


184

N

sm

I

II

sm

N

Ncr

sIIsI

Contribuição do betão entre fendas

Deste modo,

sm = Fs - Fc Es As

= s As - kt fct,ef Ac,ef

Es As =

s Es

- kt

fct,ef

Esp,ef

Onde,

s representa tensão no aço calculada com base na secção fendilhada;

kt é um factor de integração da distribuição de extensões, e que tem em conta a

duração ou a repetição das cargas (kt = 0.6 para acções de curta duração; kt = 0.4

para acções de longa duração);

fct,ef representa o valor médio da tensão resistente do betão à tracção, em geral igual

fctm;

p,ef representa a percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva

As

Ac.ef

(ii) Determinação da extensão média do betão

Ora, a extensão média no betão é dada pela deformação média do betão entre fendas

que é devida precisamente à mesma força retirada ao aço.

cm = c Ec

= Fc

Ec Ac =

kt fct,ef Ac Ec Ac

= kt

fct,ef Ec

Deste modo, a extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada

pela diferença entre ambos, ou seja:

sm - cm = s Es

- kt

fct,ef

Esp,ef - kt

fct,ef Ec

= s Es

- kt

fct,ef

Esp,ef

1 + Esp,ef

Ec

sm - cm = s

Es - kt

fct,ef

Esp,ef (1 + ep,ef) com e =

Es

Ec


185

Determinação do valor máximo da largura de fendas

O valor máximo da abertura de fendas obtém-se, então, através da expressão:

wk = sr,maxsrm = sr,max (sm - cm)


186

EXERCÍCIO 11

Considere a estrutura representada na figura seguinte.

6.00 3.00

sc = 12 kN/m

cp = 20 kN/m

g = q = 1.5

1 = 0.6 ; 2 = 0.4

Materiais: C25/30

A400NR

Recobrimento:2.5cm

Secção do tirante: 0.25 0.25 m2

a) Verifique o estado limite último de tracção no tirante.

b) Calcule a abertura característica de fendas no tirante para uma combinação

frequente de acções.


187


ALÍNEA A)


3.006.00

p=1 kN/m

RA RB

MA = 0 RB6 – 1 9 4.5 = 0

RB = 6.75kN

(reacção no tirante)

psd = 1.5 (20 + 12) = 48 kN/m

Nsd.tirante = 6.75 48 = 324 kN (tracção pura)

As = Nsd fyd

= 324

348103 104 = 9.31 cm2

Adoptam-se 812

ALÍNEA B)

1. Cálculo da distância máxima entre fendas

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

p,ef

(i) Determinação de p,ef

p,ef = As

Ac.ef =

9.05 10-4 0.0583

= 0.0155

0.0925

0.065

h - d = rec + est + L

2 = 0.025 + 0.006 +

0.0122

= 0.037m

2.5 (h - d) = 2.5 0.037 = 0.0925 m

Ac.ef = 0.25 0.25 - 0.065 0.065 = 0.0583 m2

(ii) Cálculo de sr,max

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

p,ef = 3.4 0.025 + 0.425 0.8 1.0

0.012 0.0155

= 0.348 m

(k1 = 0.8 – varões nervurados; k2 = 1.0 – tracção simples)

2. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão


188

sm – cm = s Es

- kt

fct,ef

Esp,ef (1 + ep,ef) =

= 202.9 103

200 106 - 0.4 2.6 103

200 106 0.0155 (1+ 6.56 0.0155) = 6.45 10-4

Nfr = Ncp + 1Nsc = 6.75 (20 + 0.6 12) = 183.6kN

s = Nfr As

= 183.6

9.05 10-4 = 202.9 MPa

kt = 0.4 – acções de longa duração

e = Es

Ec =

200 30.5

= 6.56

3. Cálculo do valor característico da abertura de fendas

wk = sr,max (sm - cm) = 0.348 6.45 10-4 = 0.224 10-3m = 0.2 mm


189

9.6 Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação

No caso de se tratar de um problema de flexão, para a avaliação da abertura de

fendas na zona traccionada há então que avaliar o nível de tensão nas armaduras

na zona da fenda e aplicar a formulação atrás apresentada.

Se Mactuante > Mcr (= w fctm) para o cálculo de tensões na secção, é necessário

considerar a secção fendilhada.

No estado II a posição da LN, poderá ser obtida através da igualdade dos momentos

estáticos das zonas comprimidas e traccionadas e, posteriormente, a distribuição de

tensões, como analisado no início da disciplina, ou directamente, através de tabelas.

Refira-se que o valor do módulo de flexão deve ter em consideração de uma forma

indirecta o efeito da fluência pois, como se viu, pode definir-se um módulo de

elasticidade equivalente, tal que: E*c =

E c

1 + . De facto a diminuição do módulo de

elasticidade aumenta a zona comprimida e, consequentemente, também aumenta um

pouco a tensão no aço por diminuição do braço de forças. Em geral toma-se um valor

de de 0.5 a 1.5 ( = 10 a 15) para as combinações frequentes de acções e para as

quase-permanentes de 2 a 2.5 ( = 18 a 22).

Cálculo de tensões através de tabelas

As2

As1

d2

d

N

s2

x

Ms

b

s1

c

Valores a avaliar: = As2/As1; d2/d

Parâmetros a calcular:

= Es Ec

; = AsL

b d ; es =

Ms N

Ms – Momento actuante na secção em

relação à armadura As1

– Flexão simples N = 0 es d

=

– Flexão composta N 0 es d

= Ms/N

d

Em função dos parâmetros e es/d Cs

Cc

s1 = Cs

Ms

b d2 ; s2 =

c

x (x - 0.1d) ;

c = - Cc

Ms

b d2 ; x =

Cc

(Cc + Cs) d


190

9.6.1 Limitação das tensões em serviço

Refira-se que as tensões devem ser limitadas em serviço, sendo que as disposições

do EC2 são as seguintes:

No Aço

Para a acção de cargas e para a combinação característica:

s 0.8 fyk

Para a acção de deformações impostas, a tratar no parágrafo seguinte:

s fyk

Estas disposições têm em consideração a garantia da não cedência do aço, pois

nesse caso, a abertura de fendas pode tomar valores grandes e de valor não

controlável. No caso da deformação imposta, e como se verá no próximo parágrafo há

uma maior certeza que o esforço desenvolvido está limitado (neste caso ao de

fendilhação), por isso admite-se fyk que corresponde ainda a uma reserva em relação a

fym.

No Betão

Para as acções características de acções: c 0.6 fck

Para as acções quase permanentes: c 0.45 fck

O 1º limite tem a ver com o risco de se gerar, para este nível de acções alguma

fendilhação transversal e o 2º limite justifica-se para limitar a possibilidade de se poder

ter um nível superior de fluência, em que deixa de haver um regime proporcional,

tensão-deformação a longo prazo.

Refira-se que, como mencionado no subcapítulo 2.3, a distribuição de esforços em

serviço devido a cargas, a considerar em projecto, deve ser a elástica. Isto apesar de

se reconhecer que há desvios por deformação de rigidez relativas entre zonas não

fendilhadas e fendilhadas e, nestas, com maior ou menor quantidades de armadura.

No que diz respeito às deformações impostas, como veremos de seguida para o caso

do tirante, mas que se verifica também em situações de flexão, os esforços em serviço

são claramente inferiores aos elásticos, desde que haja perda de rigidez por

fendilhação, ou a acção seja de longo prazo (efeito da fluência), e são da ordem de

grandeza do esforço de fendilhação se a deformação imposta actuar isoladamente.


191

EXERCÍCIO 12

Continuemos a nos referir ao mesmo exemplo:

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1


Acções:

Peso próprio

Revestimento=2.0 kN/m2

Sobrecarga = 3.0 kN/m2


G = Q = 1.5


1 = 0.4 ; 2 = 0.2

Secção da viga: 0.300.85 m2


a) Determine a abertura de fendas na secção S1 para uma combinação frequente de

acções.


192

Resolução do Exercício 12

1. Cálculo dos esforços

pfrequente = cp + 1sc = 28.25 + 0.4 12 = 33.1kN/m

(+)

DMF(-)

10.00

S2

3.00

S1

pfr

M frS1

MS1

fr =

pL2

2 =

33.1 32

2 = 149kNm

2. Cálculo do momento de fendilhação (Mcr)

= M w

Mcr = w fctm = bh2

6 fctm =

0.30 0.852

6 2.6103 = 93.9 kNm < MS1

fr

fctm (C25/30) = 2.6MPa

Deste modo, para combinação frequente, a secção do apoio está fendilhada

3. Cálculo de tensões em estado II (Tabelas)

0.30

516

225

d M

As1 = A (516) = 10.05cm2

As2 = A (225) = 9.82cm2

= As1

bd =

10.05 10-4

0.3 0.8 = 0.0042

= As2

As1 =

9.8210.05

= 0.98 1

d2/d 0.05 ; = 15

Nota: para ter em conta o efeito de fluência pode tomar-se 15 ou 18

Es

Ec/(1 + )

= 15 0.0042 = 0.063 (pag.120)

Cs = 17.35

Cc = 6.03

Posição da LN: x = Cc

Cc + Cs d =

6.036.03 + 17.35

0.8 = 0.21m

Tensão na armadura: M = Mfr S = Cs

Mfr b d2

= 15 17.35 149

0.3 0.82 = 202 MPa


193

4. Cálculo da distância máxima entre fendas

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

p,ef

(i) Determinação de p,ef

p,ef = As

Ac.ef =

10.05 10-4 0.0375

= 0.027

Ac,ef

hc,ef

hc,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2]

h - d 0.05 m 2.5 (h - d) = 2.5 0.05 = 0.125 m

(h - x)/3 = (0.85 - 0.21) / 3 = 0.21 m

h/2 = 0.85 / 2 = 0.43 m

Ac.ef = 0.30 0.125 = 0.0375 m2

(ii) Cálculo de sr,max

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

p,ef = 3.4 0.03 + 0.425 0.8 0.9

0.016 0.027

= 0.283 m

k1 = 0.8 (varões nervurados)

0.125

0.21

1

2

k2 = 1 + 2

2 1 =

1 + 0.8 1

2 1 = 0.9

1

0.85 - 0.21 =

2

0.85 - 0.21 - 0.125

2 = 0.515 1

0.64 = 0.8 1

5. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão

sm-cm = s Es

- kt

fct,ef

Esp,ef (1 + ep,ef) =

= 202.0 103

200 106 - 0.4 2.6 103

200 106 0.027 (1+ 6.56 0.027) = 7.8 10-4

kt = 0.4 – acções de longa duração

e = Es

Ec =

200 30.5

= 6.56

6. Cálculo do valor característico da abertura de fendas

wk = sr,max (sm - cm) = 0.283 7.8 10-4 = 0.22 10-3m = 0.22 mm


194

9.7 Armadura mínima

Nesta fase do curso já se referiu a necessidade de quantidades de armadura mínima à

tracção, à flexão, ao esforço transverso, etc, com o objectivo de assegurar, no

essencial, que, em caso de rotura, esta não seja frágil.

No que se segue, a problemática é bem diferente, apesar de poder conduzir a

resultados quantitativos que, nalgumas situações, são coincidentes. Neste contexto

pretende-se, principalmente, obter quantidades mínimas de armaduras distribuídas

nos elementos estruturais de tal modo que, se se formarem fendas, por efeitos de

cargas ou de deformações impostas, tais como a própria retracção do betão ou uma

variação de temperatura (em situações de restrição a essa deformação livre), as

aberturas, em condições de serviço se encontrem dentro de limites controlados.

9.7.1 Tracção

Considere-se o tirante de betão armado representado na figura seguinte, mas agora

submetido ao efeito de uma força ou de uma deformação imposta.

fct

NN


195

A diferença principal é a de que num caso se aplica a força e mede a deformação e,

noutro, aplica-se a deformação e mede-se a força. Se em termos de comportamento

elástico são situações equivalentes, nas estruturas de betão armado devido ao seu

comportamento não linear a curto prazo, por fendilhação, e a longo prazo, por fluência

do betão, as respostas podem ter características bem diversas.

Verifica-se que, em ambos os casos, até à formação da 1ª fenda, o comportamento é

elástico e equivalente mas, após a fenda, surgem duas respostas distintas:

1 - Para o caso de aplicação da carga verifica-se um aumento da deformação global

do conjunto devido à perda de rigidez na abertura de cada nova fenda.

Assim, se não estiver presente uma quantidade de armadura suficiente para equilibrar

a carga de fendilhação, verifica-se uma rotura frágil do tirante. É com base nesta

situação que se define a armadura mínima devido ao efeito de cargas, como referido

nos capítulos iniciais, tal que:

Ncr = Ac fct Ac fct As fyk As.min = Ac fct

fyk , por tracção

2 - Para o caso da deformação imposta a perda de rigidez por formação de cada

nova fenda faz com que a carga diminua.

Neste enquadramento, a formação da 1ª fenda não é preocupante, pois o esforço

diminui. No entanto, com o crescimento da deformação imposta, se a capacidade das

armaduras é inferior ao esforço necessário para se formar a 2ª fenda o tirante

plastifica na zona da 1ª fenda (ver figura a) seguinte). Assim, não se formam mais

fendas, concentrando-se toda a deformação imposta naquela fenda, que atinge,

rapidamente, valores inaceitáveis.

I

II

imp

I

II

imp

a) min,y

˜ 0,10

b) min,w = min (wadm) > min,y

s2

Patamar de cedência

s2

fy

fy

Fendilhação estabilizadaFormação de fendas

sr,n

sr,1sr,1

w w

w1

wn wn = 1,20 w1

sr,n = 1,30 a 1,35 sr,1


196

No caso da deformação imposta, permitir a formação de várias fendas, as aberturas

são mais aceitáveis (ver figura b) anterior), chegando-se à conclusão que a quantidade

mínima de armadura para garantir este comportamento é equivalente à de não

fragilidade, por efeito de cargas (situação 1).

9.7.2 Flexão

O caso da flexão é, em parte, equivalente ao da tracção na medida em que a zona

traccionada da secção funciona como um tirante. A diferença é que a distribuição de

tensões antes da fendilhação é triangular e não uniforme, como se mostra

seguidamente, e já referido no início do curso.

MMh/2

h

b

(-)

(+)

c

fct

Área de betão traccionada: Act = b h

2

Força de tracção no betão: FT = 12 fct Act

As.min = 1

2 Act

fct

fyk

De acordo com o Eurocódigo 2, a expressão para o cálculo da área de armadura

mínima, em termos do comportamento em serviço, e tendo como base, as

características da resposta a deformações impostas é dada pela seguinte

expressão:

As.min = kc k Act fct.ef

s

Em que a quantidade de armadura é avaliada admitindo que, durante o processo de

fendilhação, o esforço máximo mantém-se constante, da ordem de grandeza do

esforço de fendilhação, e se limita o nível de tensão nas armaduras a s.

Naquela expressão:

As,min representa a área mínima de armadura a colocar na zona traccionada;

Act representa a área de betão traccionada;

s representa o nível de tensão máximo no aço que se pretende admitir, podendo

ser, no limite, igual a fyk.

fct,ef representa o valor médio da resistência do betão à tracção na idade em que

se espera que ocorram as primeiras fendas;


197

k é um coeficiente que considera, para deformações impostas em parede

espessas, o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes (diminuição da

resistência efectiva à tracção devido à instalação de estados auto-equilibrados

de tensões), cujo valor varia com a espessura (ou altura) do elemento, de acordo

com o gráfico seguinte:

1.0

h [m]

k

0.65

0.3 0.8

Para fendilhação devida a cargas aplicadas, k = 1.0

kc é um coeficiente que tem em conta quer a forma da distribuição de tensões na

secção, imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da força.

Para tracção simples: kc = 1.0

Para flexão simples kc = 0.4

Para banzos traccionados de secções em caixão ou em “T” (EC2)

kc = 0.9 Fcr

Act fct,ef 0.5

Em que Fcr representa o valor absoluto da força de tracção no banzo, no instante que

antecede a fendilhação, devida ao momento de fendilhação (Mcr calculado utilizando o

valor de fct,ef). Como simplificação é natural considerar para estes casos kc = 0.9 ou

mesmo uma situação de tirante puro, k = 1.0.

Para flexão composta, o EC2 propõe a generalização destes princípio tal

que:

kc = 0.4

1- c

k1 (h / h*) fct,ef 1.0

Onde,

c representa a tensão média actuante no betão, na secção rectangular

ou na alma da secção, se tiver outra forma (c = NEd / b h), sendo NEd o

esforço normal actuante para a combinação de acções considerada

(compressão com sinal positivo);


198

k1 é um coeficiente que considera o efeito dos esforços normais na

distribuição de tensões: k1 = 1.5 se o esforço normal for de compressão;

k1 = 2h*/3h se o esforço normal for de tracção;

h* = min (h; 1.0 m);

A variação de kc da tensão média na secção é a ilustrada para 3 secções no gráfico

seguinte.

Estimativa do coeficiente kc

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-7500 -6000 -4500 -3000 -1500 0 1500 3000 4500

Tensão média [kN/m2]

Caso 1 - 1,50x0,50

Caso 2 - 1,00x0,40

Caso 3 - 0,20x1,00

Esta é uma forma de aumentar ou diminuir a armadura mínima de flexão consoante

haja um esforço axial, respectivamente, de tracção ou compressão.

Apresenta-se seguidamente a exemplificação da aplicação de algumas destas

disposições.

(i) Armadura mínima para situações de tracção devidas a deformações

impostas restringidas.

Muro de suporte

Nestes casos o encurtamento por retracção ou abaixamento de temperatura

diferencial entre a fundação e a parede vertical do muro geram, na parede, um estado

de tensão de tracção bastante aproximado ao de um tirante especialmente se o muro

for tal que l/h 4. Assim a armadura mínima de tracção deve ser disposta

longitudinalmente e nas duas faces. Note-se que não interferem com as armaduras

necessárias para suporte das terras, dispostas na vertical.


199

As.min = kc k Act

fct.ef

s

Em que:

fct,ef = 2.9 MPa ; fyk = 500 MPa

kc = 1.0 (efeito de tracção)

k = 1.0 se h 0.30 m e k = 0.65 se h 0.80m (efeito da diminuição do esforço de

fendilhação da parede devido à deformação imposta por causa das tensões auto-

equilibradas)

16 / 0.15

16 / 0.15

h = 0.50

Problema: fendilhação no muro, pelo facto da sapata (betonada

anteriormente) constituir um impedimento ao livre encurtamento

do muro por efeito da retracção e temperatura.

É necessário adoptar armadura mínima na direcção horizontal:

As.min/face = kc k Act fct,ef

s = 1.0 k(h)

h2

fct,ef

fyk [cm

2/m/face]

k = k(h) (deformação imposta) 0.85

kc = 1.0 (tracção pura)

Act= 1.0 m 0.52

= 0.25 m

Asmin = 100 251.0 0.85 2.9500

= 12.3 cm2/m (16//0.15)

Varanda (consola)

Um caso semelhante, mas agora devido a uma retracção ou abaixamento de

temperatura diferencial entre o exterior e interior de um edifício, é o de varandas.

h=0.20

Problema: fendilhação na consola, pelo facto da laje

interior constituir um impedimento ao livre

encurtamento da consola devido a variações de

temperatura e/ou retracção.

É necessário adoptar armadura mínima na direcção paralela ao apoio:

As.min = kc k Act fct,ef

s= 1.0 k(h) h

fct,ef

fyk [cm2/m]

k = k(h) (deformação imposta) = 1.0

kc = 1.0 (tracção pura)


200

Act = 1.0 0.22

= 0.10 m

As,min = 100 1.0 1.0 2.9500

= 5.8cm2/m (10//0.125)

(ii) Armadura mínima de flexão simples (considerando Act =Ac/2)

Expressão geral: As.min = k kc Act fct.ef

s

Esta armadura mínima é necessária, por exemplo, para o caso de uma deformação

imposta que gere um efeito de flexão em serviço, como um assentamento diferencial

de apoio numa viga hiperstática. Então temos:

As,min = 1 0.4 Ac

2

3400

= 0.15% Ac

Naquela expressão considerou-se:

k = 1.0 (situação de deformação imposta sem gerar tensão auto-equilibrada)

kc = 0.4

1- c

k1 (h / h*) fct,ef = 0.4 (para secções rectangulares sem esforço normal)

fct,ef 3 MPa

s = fyk = 400MPa (A400)

Verifica-se que, como seria de esperar, esta quantidade de armadura é da mesma

ordem de grandeza da armadura mínima de flexão definida para assegurar uma rotura

dúctil (explicação no capítulo inicial e expressão do subcapítulo 5.7.1).

(iii) Armadura mínima em banzos traccionados

Quando uma viga de betão armado com banzos traccionados fendilha, aos banzos é

imposta uma deformação, e mesmo que na alma exista armadura suficiente para

garantir a segurança á rotura, as zonas laterais vão fendilhar e precisam de ter uma

armadura mínima (ver figura) para que as fendas sejam repartidas e com aberturas

aceitáveis.

Pode também, em secções em caixão, haver deformações impostas relativas entre

banzos e almas de espessuras diferentes, que geram distribuições de tracções

semelhantes aos das consolas (i). Havendo essa possibilidade é exigido também, por

essa via, a disposição de armadura mínima.

Num caso e noutro a deformação de comportamento, entre ter essa quantidade de

armadura ou não, está representado na figura seguinte.


201

Apresenta-se seguidamente a avaliação das armaduras mínimas para este tipo de

elementos no caso da acção de um momento positivo.

h h

M M

(+)

(-)

ou

quase tracção pura


s = 1.0 0.9 Act

fct,ef

fyk (cm2) Asmin/m = 1.0 0.9 100

h2 fct,ef

fyk (cm2/m/face)

k = 1.0 (efeito de uma carga)

kc = 0.9 Fcr

Act fct,ef 0.9 (para banzos, caso se considere, simplificadamente, que o

diagrama de tensões ao longo do banzo é quase constante)

Se h = 0.25 m; fct,ed = 3 MPa e fyk = 500 MPa Asmin/m/face = 7.5 cm2/m/face

12//0.15

(iv) Armadura de alma (para vigas com h > 1m)

É conhecido que, nas almas de vigas altas, se se tiver uma distribuição só com

armadura na zona inferior, a fendilhação nesta zona é distribuída, mas com tendência

a concentrar-se na alma (fenómeno denominado, em geral, por arborescência)

originando aí fendas com aberturas maiores e não aceitáveis (esquema seguinte).


202

Para controlar estas fendas, há que colocar uma armadura mínima que pode ser

calculada por metro a distribuir nas duas faces da alma. Este é um fenómeno

semelhante ao dos banzos traccionados mas numa zona restringida superior e

inferiormente, respectivamente, pela compressão e armadura principal, sendo,

portanto, mais favorável. O EC2 propõe adoptar uma percentagem de armadura um

pouco inferior, ou seja com k kc = 0.5:


s = 0.5 Act

bh2

fct,ef

fyk (cm2) Asmin/m = 0.5 100

b2

fct,ef

fyk (cm2/m/face)

Se h = 0.30 m; fct,ef = 3 MPa e fyk = 500 MPa Asmin = 4.5cm2/m/face (10//0.15)

A armadura calculada, deverá, em princípio e por simplificação, ser extendida a toda a

alma, visto que, numa viga contínua a zona traccionada da alma está em baixo na

zona do vão, e em cima nos apoios.


203

EXERCÍCIO 13


S1S2

10.00 3.50

cp

3.50

sc

1.00

1.00

0.20 0.20

0.15





a) Para a estrutura já analisada, calcule as armaduras longitudinais mínimas e

pormenorize a secção transversal.


204


ALÍNEA A)

1. Armadura mínima de flexão

Act

k = 1.0 (cargas aplicadas)

kc = 0.4 (para secções rectangulares ou almas sujeitas a

flexão simples)

As.min = kc k Act

fct.ef

s = 0.4 1.0

0.20 1.02

2.2400

104 = 2.2cm2 a colocar junto à face

inferior de cada alma

2. Armadura no banzo

Act

k = 1.0 (cargas aplicadas)

kc = 0.9 (para banzos, considerando que o diagrama de

tensões ao longo do banzo é constante)

As.min/m = 0.9 1.0 1.0 0.15

2

2.2400

104 = 2.23 cm2/m/face (8/0.20)

4.46 cm2 / 2 faces = 2.23 cm2/face

3. Armadura de alma

Act

h/2

kkc = 0.5 [valor médio proposto no EC2]

As.min/m = kc k Act

fct.ef

s Asmin/m = 0.5

0.202

1 m 2.2400

104 = 2.75 cm2/m/face

(8/0.15)

Embora para um momento com um dado sinal a armadura de alma não seja

necessária junto à zona comprimida, sob o ponto de vista prático essa armadura é

disposta em toda a alma sendo mais fácil calculá-la por metro (de altura).


205

9.8 Limites admissíveis de fendilhação relativos ao aspecto e à durabilidade

Na ausência de requisitos específicos (impermeabilização, por exemplo), para

elementos de betão armado, o EC2 estabelece os seguintes limites, de aberturas de

fendas, em função do ambiente envolvente (as classes de exposição estão clarificadas

no Modulo 4):

Classe de exposição Valores recomendados

de wmax [mm]

X0, XC1 0.4

XC2, XC3, XC4

XD1, XD2

XS1, XS2, XS3

0.3

Estes limites resultam dos conhecimentos actuais que apontam para que fendas com

aberturas, não superiores a valores da ordem de 0.3 a 0.4 mm, não são prejudiciais no

processo de contrariar o desenvolvimento de degradação por corrosão das armaduras.

O limite mais folgado de abertura de fendas definido para o caso das classes de

exposição X0 e XC1, é apresentado como um limite, apenas para garantir um

aspecto aceitável do elemento. Por outro lado, para casos especiais de tanques com

necessidades de garantir certos níveis de estanquidade, disposições mais exigentes

são requeridas (ver EC2 – parte 3).

A abertura máxima de fendas deve ser calculada para a combinação de acções

quase-permanentes, que actuam a estrutura quase constantemente ao longo do

tempo.

9.9 Controlo da fendilhação sem cálculo directo (EC2)

É possível, em geral, limitar as aberturas das fendas a valores aceitáveis como os

acima referidos, e evitar uma fendilhação com valores de aberturas não controladas,

caso se utilizem as disposições e quantidades mínimas de armadura atrás referidas, e,

ainda, de acordo com o EC2, que:

para fendilhação provocada, essencialmente, por deformações impostas

impedidas, se limitem os diâmetros dos varões a utilizar em função da tensão na

armadura no instante após a fendilhação (Quadro 7.2N);


206

para fendilhações causadas principalmente por cargas aplicadas se limitem ou

os diâmetros dos varões (Tabela 7.3N) ou o espaçamento entre varões (Tabela

7.3), ambos função da tensão na armadura, para os esforços correspondentes à

combinação de acções em causa.

Na página seguinte apresentam-se os Quadros do EC2 sobre esta matéria e os

comentários associados.

Para cargas aplicadas poderá estimar-se, numa 1ª aproximação, a tensão nas

armaduras para uma combinação em serviço, considerando que:s Mcomb.serviço

MRd fyd.

Está a se admitir para a combinação fundamental de acções, uma tensão fyd, e que o

braço em serviço é o mesmo. Evidentemente que s deve ser melhor avaliado como

indicado, por exemplo, em 9.6.

Para deformações impostas a armadura mínima obtém-se, efectivamente,

considerando s = fyk. No entanto, se o diâmetro das armaduras não satisfizer o

estabelecido na tabela 7.2N, para assegurar a abertura máxima de fendas requerida

deverá adoptar-se o par (s, que respeita o controlo indirecto daquele valor. Por

outro lado, a armadura necessária deverá ser calculada através da expressão de As,min

considerando esse valor de s.

De notar que os Quadro foram definidos para certas hipóteses de valores dos

parâmetros e que se são referidas duas expressões, para a tracção e flexão, de

correcção para outras condições.

Refira-se, finalmente, que nos casos da restrição à deformação imposta se verificar só

ao longo dos bordos, como no caso do muro e da varanda, atrás exemplificados, a

avaliação de armadura não é um problema tecnicamente resolvido. No entanto,

aconselha-se, neste momento, a sua avaliação, como apresentado nos exemplos.


207

Quadro 7.2N – Diâmetros máximos dos varões *s para controlo da fendilhação1

Tensão no aço2

[MPa]

Diâmetros máximos dos varões [mm]

wk= 0,4 mm wk= 0,3 mm wk= 0,2 mm

160 40 32 25

200 32 25 16

240 20 16 12

280 16 12 8

320 12 10 6

360 10 8 5

400 8 6 4

450 6 5 -

NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses:

c = 25 mm; fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0;

kt = 0,4

2. Para as combinações de acções apropriadas

Quadro 7.3N – Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação1

Tensão no aço2

[MPa]

Espaçamento máximo dos varões [mm]

wk=0,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm

160 300 300 200

200 300 250 150

240 250 200 100

280 200 150 50

320 150 100 -

360 100 50 -

Para as Notas, ver o Quadro 7.2N.

O diâmetro máximo dos varões deverá ser modificado como se indica a seguir:

Flexão (com pelo menos parte da secção em compressão):

s

s (fct,eff /2,9) k h

( h - d )

c cr

2 (7.6N)

Tracção (tracção simples):

s =

s (fct,eff/2,9)hcr/(8(h-d)) (7.7N)

em que:

s diâmetro modificado máximo dos varões;

s diâmetro máximo dos varões indicado no Quadro 7.2N;

h altura total da secção;

hcr altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores característicos do

pré-esforço e os esforços normais para a combinação quase-permanente de acções;

d altura útil ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras;

Quando toda a secção está sob tracção, h - d é a distância mínima do centro de gravidade das armaduras

à face do betão (no caso em que a disposição das armaduras não é simétrica, considerar-se as duas

faces).


208

9.10 Estado Limite de Deformação

As estruturas sob a acção das diferentes solicitações deformam-se havendo

necessidade de limitar essa deformação a limites aceitáveis do ponto de vista do

aspecto, da funcionalidade da estrutura e do controlo de danos em elementos não

estruturais, assentes sobre a estrutura.

Assim, não são facilmente aceitáveis:

- Pelos utilizadores, pavimentos cuja deformação seja visível, em particular em obras

com níveis superiores de exigência.

- Para o bom funcionamento dos sistemas de drenagem das coberturas dos edifícios,

flechas que dificultem ou inviabilizem o esquema previsto.

- Fendas bem visíveis nas alvenarias de fachada ou interiores em edifícios, ou de

danos em caixilharias, acabamentos, etc., sinais de menor qualidade de construção

e, no caso das paredes exteriores, definindo caminhos preferenciais de entrada de

humidades.

9.10.1 Limites de Deformação

Os limites a definir para a flecha numa estrutura não são facilmente definíveis pois a

fronteira do que é ou não possível aceitar não é absoluta. Resulta, em muito, do que

tem sido observado, ao longo dos anos, em situações de deficiente e bom

comportamento. A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites

para diferentes tipos de utilização dos pisos. De qualquer maneira, para os casos

correntes de edifícios de escritórios, comerciais ou de habitação, o EC2 (parágrafo

7.4.1), seguindo as recomendações da norma acima referidas, define os seguintes

objectivos máximos de deformação, em função do vão:


209

L

250 para a deformação total devida combinação de acções quase-permanentes

L

500 para o incremento de deformação após construídas as paredes de alvenaria das

divisórias. Este limite pode ser adaptável face à sensibilidade da solução construtiva.

Refira-se que estes valores de deformação se referem ao diferencial entre os pontos e

apoio e o ponto de flecha máxima. Isto é, em particular nos pisos elevados de um

edifício, a deformação dos pilares deve ser descontada, apesar de, em geral, não ser

muito significativa.

Refira-se que, para pontes, os limites usuais, embora não limitados de forma

absoluta, apontam para valores da ordem de L/1000.

Note-se o facto dos limites de deformação estarem associados à dimensão do vão,

limitando-se, assim, a inclinação da deformada.

Um aspecto importante salientar é que, como estratégia de dimensionamento, se

devem prosseguir objectivos, com alguma folga, em relação aos limites acima

referidos.

9.10.2 - Questões na Avaliação e na Limitação da deformação

Para a avaliação das deformações em estruturas de betão armado há que ter, em

particular atenção as suas características de comportamento em serviço. Ora

enquanto não fendilhadas e para efeitos de comportamento a curto prazo, a

deformação das estruturas de betão dependem do módulo de elasticidade do betão,

com uma pequena influência das armaduras (ver esquema abaixo).

a

p

M

1/r

EI I

curvatura: 1 r

= M

EII

deslocamento: a =

L

1 r

–M dx a =

1 EII

L M –M dx (P.T.V.)

–M diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a.


210

No entanto, compreende-se que, a fendilhação, correspondente a uma perda de

rigidez, embora localizada numa zona, afecta a deformação global.

Ora, coloca-se assim, a necessidade de:

Avaliar as relações momentos-curvatura das zonas fendilhadas.

Considerar uma distribuição de curvaturas ou, equivalentemente, de

rigidezes, tendo em conta o comportamento ao longo dos elementos.

Na figura que se segue mostra-se como nas zonas fendilhadas (submetidas a esforços

superiores aos de fendilhação) as curvaturas definidas, com base em relações médias,

são maiores do que as esperadas para um comportamento em Estado I.

Mcr

M

Estado II

Estado IM

1/r

EII

EIII

p

McrM

1r

Por forma a se ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma

curvatura média para cada zona do elemento, que os ensaios experimentais

mostraram estar entre os conhecidos Estados I e II. Esta resposta era expectável pois

a participação do betão à tracção entre fendas faz com que a deformação seja inferior

à do Estado II em que se despreza todo o betão à tracção.

Uma constatação interessante dos resultados experimentais é a perda de rigidez muito

significativa logo após a fendilhação, no denominado processo de formação de fendas,

a que se segue uma certa nova rigidificação depois da fendilhação estabilizada até ao

início da cedência do aço.

A curvatura média que é proposta tem um andamento que reproduz,

aproximadamente, as características principais do comportamento experimental.


211

M

M M

M

(1-)s s

s

I II

IIEIII

1/r

M

Mcr

EII

MI

(1/r)I (1/r)m (1/r)II

Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura

média pode ser calculada através de uma ponderação entre as curvaturas em estado I

e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (

1

rm = (1 - )

1

rI +

1

rII

com = 1 - 1 2

sr

s 2

Este coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples, pode ser obtido através

da seguinte expressão, devido à relação directa momentos-tensões.

= 1 - 1 2

Mcr

M

2

para M > Mcr

onde,

1 – coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões

(1 = 1.0 para varões de alta aderência; 1 = 0.5 para varões aderência

normal);

2 – coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (2 = 1.0

para uma única carga de curta duração; 2 = 0.5 para cargas actuando

com permanência ou para vários ciclos de cargas);

sr – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado)

resultante da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação;

s – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado)

resultante da actuação do valor da carga para a qual se pretende calcular

a flecha.

Notar que se M < Mcr = 0 1

rm =

1 rI


212

Verifica-se, então, que a avaliação da deformação de uma estrutura de betão armado

pode se basear na resposta elástica a curto prazo, considerando a secção não

fendilhada de betão, com uma posterior correcção. Esta pode ser conseguida por um

coeficiente, bem calibrado, que tenha em consideração as perdas de rigidez conjunta

por fendilhação e fluência do betão. Essa é uma opção possível e prática, que dá

origem ao denominado método dos coeficientes globais, que temos vindo a propor

na disciplina.

Antes de expor a metodologia para avaliação dos coeficientes globais é interessante

realçar os principais parâmetros que afectam a deformação das estruturas em geral, e

dos sistemas vigados, com ou sem continuidade, em particular. Como se ilustra na

figura seguinte e verifica na expressão base de avaliação das flechas,

ac = K pL4 EI

a defomação depende das condições de fronteira, associada ao parâmetro, k, e tem

uma fortíssima dependência do vão e da inércia, em particular da altura pois, tem-se,

por exemplo, para uma secção rectangular, a seguinte relação flecha/vão:

I = bh3 12

ac L

= K 12 p b E

L

h

3

p

L

ac

Relembre-se que o coeficiente, k, toma os valores de 5/385, 1/184.6 e 1/385,

respectivamente, nos casos de vigas simplesmente apoiadas, apoiadas/encastradas e

bi-encastradas, o que mostra a importância do grau de continuidade de uma viga na

deformação.

Tendo em consideração as condições de fronteira, a esbelteza e, ainda, as influências

da fendilhação, fluência do betão e da sua retracção, foi possível definir, no âmbito do

EC2, e de forma mais ou menos equivalente ao feito noutros códigos, um quadro que

permite o controlo indirecto (sem cálculo explícito) dos limites de deformação atrás

referidos, pela consideração de uma esbelteza, (L/h), mínima.


213

Quadro 7.4N – Valores básicos da relação vão/altura útil para elementos de betão

armado sem esforço normal de compressão

Sistema estrutural

K

Betão fortemente solicitado

= 1,5 %

Betão levemente solicitado

= 0,5 %

Viga simplesmente apoiada, laje

simplesmente apoiada armada numa ou

em duas direcções

Vão extremo de uma viga contínua ou de

uma laje contínua armada numa direcção

ou de uma laje armada em duas

direcções contínua ao longo do lado

maior

Vão interior de uma viga ou de uma laje

armada numa ou em duas direcções

Laje sem vigas apoiada sobre pilares

(laje fungiforme) (em relação ao maior

vão)

Consola

1,0

1,3

1,5

1,2

0,4

14

18

20

17

6

20

26

30

24

8

NOTA 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, e o cálculo poderá frequentemente revelar que é

possível utilizar elementos mais esbeltos.

NOTA 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor

vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão.

NOTA 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem, para a flecha a meio vão, a uma

limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.

Assim, para um dado vão e condições tipo de continuidade, é possível ter um valor

mínimo de altura para assegurar condições de deformabilidade aceitáveis, desde que,

tenham sido adoptadas quantidades de armadura que verifiquem as condições de

segurança à rotura.

Verifica-se no quadro que para maiores percentagens de armadura (situação usual

nas vigas) o limite de esbelteza é mais exigente (menor) do que nas lajes (menores

percentagens de armadura). Quando na rotura se precisa de mais armadura, a zona

comprimida é maior, e para um nível equivalente de tensões no aço em serviço, a

curvatura é maior e, portanto, mais desfavorável para a deformação.


214

Naturalmente que os valores resultantes da aplicação do quadro devem ser

conservativos e, portanto, são possíveis, soluções mais esbeltas, desde que a

deformação seja devidamente avaliada.

No entanto realce-se que o limite de esbelteza para controlo da deformabilidade é

muito mais condicionante para as lajes do que das vigas. Para estas, como se pode

ver no Quadro, para valores de l/h correntes em edifícios, entre 8 a 14, e

independentemente das condições de fronteira, está-se na banda de valores

aceitáveis, deste ponto de vista. Conclui-se, então, que as dimensões das vigas são,

por um lado, condicionadas em geral pela verificação da segurança à rotura e, por

outro lado, as vigas são extremamente eficientes como elementos estruturais de

limitação das deformações nos pisos estruturais.

9.10.3 - Avaliação directa da deformação

No que se segue explicar-se-á o essencial para a avaliação explícita da deformação

de uma viga ou de uma laje de betão armado, de acordo com o método dos

coeficientes globais, atrás referido, começando-se por analisar a avaliação das

curvaturas em Estados I e II.

9.10.3.1 - Cálculo da curvatura em estado I

No Estado I a influência das armaduras não é muito significativa na deformação das

estruturas de betão armado, quer a curto prazo, quer no que respeita aos efeitos da

fluência e da retracção. No entanto, na realidade as armaduras rigidificam um pouco a

secção, sob a acção de cargas e, se a sua distribuição não for simétrica, contribuem

para o aumento da deformação por efeito da retracção.

Cada um destes efeitos foi matematicamente expresso e depois representado

graficamente em trabalhos do Comité Europeu do Betão (CEB) nos inícios dos anos

80, estando reproduzidos, em detalhe, no Volume das Tabelas da disciplina.

A curvatura em estado não fendilhado pode ser avaliada através da expressão:

1 rI

= ks1 1

rc + k1 ks1

1 rc

+ 1

rcs1 ,

Onde,

1

rc – curvatura base elástica:

1

rc =

M Ec Ic

ks1 – coeficiente que considera, a acção das armaduras, a curto prazo, sendo

naturalmente inferior a 1, e tanto menor quanto maior a % de armadura.


215

– coeficiente de fluência que dá o incremento da deformação de curto prazo,

se não houvesse armaduras.

k1 – coeficiente que quantifica o grau de restrição que a armadura oferece ao

incremento de deformação por fluência do betão (efeito equivalente ao ks1,

mas agora ao incremento de deformação a longo prazo)

1rcs1

-

1

rcs1 = kcs1

cs d

Esta parcela é independente das restantes pois não tem nada a ver com as

cargas, e permite a avaliação da curvatura por retracção, que depende, no

essencial, da maior ou menor simetria na distribuição das armaduras na secção.

9.10.3.2 - Cálculo da curvatura em estado II

Para o Estado II, isto é, secção fendilhada sem considerar o betão à tracção é possível

proceder exactamente ás mesmas hipóteses e definir coeficientes equivalentes. Desta

forma pode escrever-se a equação:

1 rII

= ks2 1

rc + k2 ks2

1 rc

+ 1

rcs2 ,

Com

1

rcs2 = kcs2

cs d

De notar que ks2 é, naturalmente maior que 1, pois representa a relação entre a

curvatura da secção do Estado II com a avaliada só com betão (ver gráfico

exemplificativo)


216

Este gráfico representa a perda de rigidez, que é significativa, função da quantidade

de armadura, do Estado I para o II, sendo tanto maior quanto menor a quantidade de

armadura. Saliente-se que para uma percentagem, de armadura de flexão principal

de 0.75% (aproximadamente, 5 vezes a mínima), vale 0.052 a que corresponde

uma relação de rigidezes III/Ic da ordem de 1/5.

Os restantes coeficientes têm um significado semelhante sendo que k2 é

necessariamente muito pequeno pois, numa secção fendilhada, a restrição ao

aumento da deformação ao longo do tempo é grande. Repare-se que a zona

traccionada só pode, quando muito, ajustar um pouco a sua deformação, pois é só aço

e este não flui.

9.10.4 Cálculo das deformações

Tendo a distribuição de momentos, para uma dada combinação de acções e podendo

avaliar a curto ou longo prazo a curvatura média em qualquer zona da viga, a

deformação resulta directamente do integral (ver também a figura):


217

a =

L

1 r

–M dx

1

M

p

Mcr

a

M

1r

No entanto, em termos de implementação mais rápida definem-se seguidamente dois

métodos, o método bilinear que é referido no EC2, ou o dos coeficientes globais,

que resulta daquele e que permite uma avaliação mais directa da deformação,

mediante hipóteses simplificativas que se descrevem.

9.10.4.1 Método Bilinear

Trata-se de avaliar a deformação das vigas, por um lado, como não fendilhadas e, por

outro lado, em Estado II, sem betão à tracção.

Conhecidos os materiais e a distribuição de armaduras é possível determinar os

coeficientes atrás definidos para uma secção determinante.

i) Cálculo dos coeficientes

ks1, k1, kcs1, e ks2, k2, kcs2

ii) Cálculo do coeficiente de repartição,

A hipótese considerada é de tomar um momento intermédio na zona fendilhada para

efeitos da avaliação do coeficiente de repartição, tal que:

M = MD Mcr = 1 - 1 2

Mcr MD

= constante

onde MD representa o momento na secção determinante, ou seja o maior na zona.

Sabendo que a flecha no vão depende das curvaturas no vão, mas também do que se

passa sobre os apoios, podemos tomar um valor ponderado, tendo em consideração

essas zonas, como se mostra nos seguintes exemplos.


218

Secções determinantes (secções de momentos máximos)

= vão

= apoio

= 2 vão + apoio

3

= apoio 1 + 2 vão + apoio 2

4

A flecha pode então ser obtida função da dos Estados I e II tomando constante.

iii) Cálculo de flechas

= constante a =

0

L

1

rm –M dx =

0

L

(1 - )

1 rI

+ 1

rII –M dx =

a = (1 – )

0

L

1rI –M dx +

0

L

1rII

–M dx a = (1 - ) aI + aII

com aI =

0

L

ks1 (1 + k1) 1

rc + kcs1

cs d

–M dx

aII =

0

L

ks2 (1 + k2) 1

rc + kcs2

cs d

–M dx

Tomando uma secção como determinante, ter-se-iam coeficientes constantes e

portanto:

aI = ks1 (1 + k1)

0

L

1

rc –M dx + kcs1

cs d

0

L –M dx

aII = ks2 (1 + k2)

0

L

1

rc –M dx + kcs2

cs d

0

L –M dx

Em que o integral associado à curvatura elástica, corresponde à deformação elástica

da viga, ac.

Este é o método bilinear, que para mais fácil implementação pode ser proposto na

forma do método dos coeficientes globais, como se mostra de seguida.

Assim, desprezando a parcela da retracção tem-se:

aI = ks1 (1 + k1) ac e aII = ks2 (1 + k2) ac

Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a

a = (1 - ) aI + aII = (1 - ) ks1 (1 + k1) ac + ks2 (1 + k2) ac


219

a = [ ](1 - ) ks1 (1 + k1) + ks2 (1 + k2) ac = k ac

Neste caso define-se, portanto, um coeficiente global, k, que afecta directamente a

deformação elástica, tal que:

a = k ac

Este coeficiente, k, foi avaliado para diferentes valores de armaduras, , e níveis de

fendilhação,Mcr/MD, tendo sido desenvolvidos gráficos de fácil consulta para a

avaliação, como o indicado seguidamente admitindo uma situação de curto prazo e 1º

carregamento, k0, e outra de longo prazo, kt, para um coeficiente de fluência de 3.5.

Para outras situações e para a consideração da retracção, outros gráficos são

disponibilizados nas Tabelas da disciplina.


220

Então para a aplicação do Método dos Coeficientes Globais temos então que:

a) Cálcular o deslocamento ac considerando um modelo elástico linear e rigidez de

flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas.

b) Avaliação de coeficientes K para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a

fluência, para as secções determinantes.

Deslocamento instantâneo (t = 0): a0 = k0 (h/d)3 ac (tabelas pág. 97)

Deslocamento a longo prazo (t = ): at = kt (h/d)3 ac (tabelas págs. 98 e 99)

ac – flecha base (por exemplo tabelas páginas 154 e 155 ou cálculo elástico de

estrutura)

k0 – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da

fendilhação (função de d/h, , Mcr / MD ).

kt – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da

fendilhação e da fluência (função de , d/h, , Mcr/MD) em que é sempre

avaliado com o módulo de elasticidade instantâneo do betão.

– coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de

compressão (função de ’/, , ) – ver volume de tabelas


221

c) Definição de um coeficiente global único por uma ponderação equivalente á

definida para o coeficiente de repartição, tal que:

k = kvão

k = kapoio

k = 2 kvão + kapoio

3

k = kapoio 1 + 2 kvão + kapoio 2

4

Para os sistemas contínuos verifica-se que, sendo o coeficiente corrector da

deformação elástica, dependente das quantidades de armadura adoptadas no vão

e apoios, no dimensionamento à rotura, uma redistribuição de esforços limitada

(ver Capítulo 2) conducente a colocar menos armadura no apoio e mais no vão ou

vice-versa, não afecta a deformação da estrutura.

Assim, a avaliação da deformação, a curto ou a longo prazo é tal que:

a0 = k0 ac e at = kt ac

Em que os coeficiente k maiúsculos correspondem ao produto dos k minúsculos com

os factores (h/d)3 e quando pertinente.

Saliente-se que, para avaliar o incremento de deformação ao longo do tempo, após a

colocação das paredes de alvenaria ou outra solução de comportamento frágil, há que

subtrair à avaliação da deformação total prevista a deformação a curto prazo para o

peso próprio e das cargas actuantes nessa fase. Portanto as verificações

regulamentares serão:

Em geral:

at (g + 2 q) = kt ac (g + 2 q) L/250

Com paredes de alvenaria ou outros acabamentos frágeis:

at (g + 2 q) = kt ac (g + 2 q) - k0 ac (pp + par.) L/500


222

EXERCÍCIO 14

Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2.1)

0.55 0.60

5.00

0.30

p

320

Materiais: C25/30

A400 NR

Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (pfreq = 20 kN/m)


223


1. Cálculo da flecha elástica

a) Pelo P.T.V.,

DMF

[kNm](+)

pfr

D 1/R62.5

Mmax = p L

2

8 =

20 52

8 = 62.5 kNm

1 R

= M EI

1.25m

(+)

1

DMF

[m]

Mmax = P L

4 =

5 4

= 1.25 m

a=

L

1r –M dx =

L

M

–M

EI dx =

1EI

53 62.5 1.25

1 +

2.52

52 = 9.88 10-4m

(tabelas pág. 153)

E = 30.5 106 kN/m2

I = 0.3 0.63

12 = 0.0054 m4

EI = 164700 kNm2

b) Por tabelas (pág. 154)

= 5

384

pL4

EI =

5 384

20 54

164700 = 9.88 10-4 m ac = 9.9 10-4m

2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais)

(Considera-se = 2.5)

=

Es

Ec =

200 30.5

= 6.6

= As

bd =

9.42 10-4

0.3 0.55 = 0.0057

= 0.038


224

Mcr = W fctm = bh2

6 fctm =

0.30 0.602 6

2.5 103 = 45kNm

Mfr = 62.5kNm > Mcr

Mcr

Mfr = 0.72

( = 2.5) kt = 3.75

’ = As' bd

= 0 ’/ = 0 = 1

at =

h

d

3

kt ac =

0.60

0.55

3

3.75 9.9 10-4 = 0.0048 m = 4.8 mm

3. Cálculo da flecha instantânea

= 0.038

Mcr Mfr

= 0.72 (Acções repetidas) k0 = 2.3

a0 =

h

d

3

k0 ac =

0.60

0.55

3

2.3 9.99 10-4 = 0.003 m = 3 mm


225

10 Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos de Elementos

com Esforço Axial não Desprezável

10.1 Flexão Composta e Desviada

O comportamento do betão armado em flexão composta (flexão + esforço axial) em

seviço e na rotura (como vamos analisar no que se segue) não é mais do que a

generalização da flexão simples. A flexão desviada, por sua vez, corresponde à

situação de se poder verificar a flexão, simultaneamente nas duas direcções principais.

10.2 Resistência à flexão composta

A capacidade resistente de um elemento de betão armado á flexão composta, como

se verá de seguida ou à flexão desviada (flexão em duas direcções, com ou sem

esforço axial) como se analisará posteriormente, é baseada na definição de extensões

máximas para o betão ou para o aço.

Os critérios de deformações limites para a secção são os mesmos da flexão simples,

sendo que, naturalmente, com um esforço axial de compressão, a tendência seja para

que a zona comprimida de betão seja maior. Assim temos:

s ud

c(-) 3.5‰

Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ c(-) 3.5‰

Extensões uniformes

c c

(-)

2‰

Extensões não uniformes

(-)

2‰ c 3.5‰

ou

c 3.5‰

(-)

fcd

00

2‰

fcd

10.2.1 Diagramas de deformações na rotura

Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5

zonas com diagramas associados à rotura:


226

ud

ud

As2

As1

MN 1

02‰3.5‰

2‰ syd

2

3

45

Compressão Tracção

Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (s1 = ud, s2ud)

Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (s1 = ud, c(-) 3.5‰)

Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (yds1 10‰, c(-)

= 3.5‰)

Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (s1yd, c(-)

= 3.5‰)

Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ cmáx

3.5‰)

De uma forma equivalente ao referido para a flexão simples podemos referir que:

Zonas 1, 2 e em parte da zona 3 a rotura tem boas características de ductilidade.

Parte da zona 3 e zonas 4 e 5 com rotura tendencialmente mais frágil. Esta

característica pode ser contrariada, como referiremos mais tarde, com a adopção

de armadura transversal, dita de confinamento. Com bom confinamento, o betão

interior às cintas pode ter deformações bem superiores aos 3.5‰ e, assim, melhora

a ductilidade global.

10.2.2 Determinação dos esforços resistentes

Ora, definidos os inúmeros diagramas de extensões a que representam situações

últimas, pode-se, para cada um deles, conhecer a distribuição de tensões e,

posteriormente, determinar o par de esforços (Mrd, Nrd) correspondente.

Esse procedimento para um determinado diagrama de rotura, de uma secção com

dois níveis de armadura (As1 e As2) está representado na figura seguinte.

As1

As2 MRd

NRd

(-)

(+)

c

s2

s1

Fc

Fs1

Fs2

yc ys2

ys1

A coordenada, y, pode ser definida em relação ao centro geométrico da secção ou em

relação ao nível da armadura inferior, sendo mais conveniente adoptar a primeira


227

hipótese, pois é em relação a esse ponto que são, em geral, referidos os esforços

actuantes.

Equações de Equilíbrio:

Equilíbrio axial: Fc + Fs2 - Fs1 = NRd

Equilíbrio de momentos: Fc yc + Fs2 ys2 + Fs1 ys1 = MRd

Assim, para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço NRd - MRd

Se generalizar o procedimento, para todos os possíveis diagramas de rotura, obtém-se

(ver figura seguinte):

(i) O diagrama de interacção NRd - MRd (fig. a) para aquela secção e quantidade de

armadura.

(ii) Os diferentes diagramas de capacidade resistente (fig. b), se repetirmos o processo

para várias quantidades de armadura.

NRd

MRd

(-)

a) Diagrama de interacção, NRd - MRd para

uma dada distribuição de armaduras,

As

MRd

(-)

NRd

b) Diagrama de interacção para várias

quantidades de armadura

Em termos práticos, o diagrama de interacção representa a envolvente resistente da

secção de tal maneira que, para qualquer par de esforços actuantes, Nsd - Msd, no

contorno ou interior a essa envolvente, a segurança está verificada.

Se, de uma forma equivalente ao desenvolvido para a flexão simples, se escreverem

as equações de equilíbrio em termos de grandezas adimensionais obtêm-se as

denominadas curvas de dimensionamento, que são definidas para certas

distribuições tipo de armaduras nas secções.


228

As grandezas adimensionais que se definem são as seguintes:

Esforço normal reduzido: = NRd

b h fcd

Momento flector reduzido: = MRd

b h2 fcd

Percentagem mecânica de armadura: tot = Astot b h

fyd fcd

Refira-se que o esforço axial reduzido corresponde à relação entre as tensões

média actuante e de resistência de cálculo do betão. Por outro lado, para o

momento reduzido toma-se agora a altura total, h, e não a altura útil, considerada

na flexão simples.

Na figura da página seguinte apresenta-se um desses diagramas tipo, dito de

dimensionamento, admitindo uma distribuição uniforme de armadura no contorno.

Em termos de avaliação da quantidade de armadura, para verificar a segurança,

para um par de esforços (Nsd, Msd) calculam-se os esforços reduzidos,sd e sd, e,

consultando os ditos diagramas de dimensionamento, determina-se a % mecânica

de armadura necessária, tot, e de seguida o valor de As,tot. Esta quantidade de

armadura deve ser distribuído na secção de acordo com o admitido no

diagrama de dimensionamento.

É interessante chamar a atenção, desde já, que a máxima capacidade resistente

se verifica para um nível de esforço axial reduzido de 0.4. Para compreender o

efeito de uma compressão moderada na resistência à flexão da secção, considere-

se o seguinte diagrama de interacção - , bem como os diagramas de tensão na

rotura para as situações A e B ilustradas.

0.4B

A

As2

As1

b

h


229

A Fs2,A

As1 fyd

Fc,A

MRd,A

NRd

MRd,B

B

As1 fyd

Fs2,B

Fc,B

MRd,A< MRd,B

Compreende-se que a existência de um esforço axial aumenta as resultantes de

compressão (Fc e Fs2) e, consequentemente, o MRd apesar da diminuição do braço de

Fc. Este efeito é verificado até níveis moderados de esforço axial.


230

10.3 Flexão Desviada

A flexão desviada corresponde à actuação simultânea de um esforço axial e de flexão

segundo os dois eixos principais.


231

10.3.1 Rotura convencional

Os critérios de rotura mantêm-se, tal que:

s ud

c(-) 3.5‰

Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ c(-) 3.5‰

A questão que se coloca de diferente neste caso é que a linha neutra na rotura não é

paralela a nenhum eixo principal da secção.

10.3.2 Determinação dos esforços resistentes

Considerada uma dada orientação e posicionamento para a linha neutra de uma

secção de betão armado é definido o diagrama de extensões correspondente à rotura,

como indicado na figura seguinte.

c

Fs1

Fs2

Fc

My

Mz

(-)

(+)

Definido o diagrama de extensões é obtido o de tensões e, consequentemente,

através das equações de equilíbrio, os esforços (NRd, MRd,y, MRd,z).

Ora:

(i) Se para cada orientação da Linha Neutra, se “varrer” a secção com todos os

possíveis diagramas de rotura.

(ii) Se se repetir o trabalho anterior para todas as orientações possíveis da Linha

Neutra.

Obtém-se um diagrama de interacção tridimensional (NRd, MRd,y, MRd,z) – ver figura

seguinte, para aquela quantidade de armadura. Representa-se também um corte para

um dado nível de esforço axial actuante.


232

Se se repetir o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de

base para o dimensionamento e verificação da segurança. De facto, como na flexão

composta, podem estabelecer-se as equações de equilíbrio através de grandezas

adimensionais:

Esforço normal reduzido: = NRd

b h fcd

Momentos flectores reduzidos: y = MRd,y

b h2 fcd ; z =

MRd,z

b2 h fcd

Percentagem mecânica de armadura tot = Astot b h

fsyd fcd

Nas figuras que se seguem mostra-se como representando a calote tridimensional por

cortes para igual esforço axial, se podem obter valores de quantidades de armaduras

para esforços actuantes, sd, y,sd e z,sd. Poderiam ser realizados, em alternativa,

cortes para determinadas relações Rd,y/Rd,z.


233

Simplificadamente, é possível, para um dado esforço axial, Nsd, fazer a verificação da

segurança em flexão desviada, utilizando só o cálculo em flexão composta, em cada

uma das duas direcções, e verificar no final a seguinte condição:

Msd,y

MRd,y

+

Msd,z

MRd,z

1.0


234

onde é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os

seguintes valores:

Secções transversais circulares ou elípticas: = 2

Secções transversais rectangulares

Nsd / NRd 0.1 0.7 1.0

1.0 1.5 2.0

Refira-se que NRD corresponde à capacidade resistente da secção submetida

unicamente a esforço axial de compressão.

10.4 Disposições construtivas de pilares

As armaduras dos pilares devem seguir disposições que correspondam a soluções

estruturalmente eficientes, económicas e construtivamente viáveis. Os regulamentos,

por sua vez, definem disposições mínimas em termos de quantidades, afastamentos e

diâmetros de armaduras longitudinais e transversais. No que se segue referem-se as

disposições do EC 2, para estruturas em zonas de pouca sismicidade, referindo-se,

que em termos práticos em Portugal, há que ter em atenção, em particular nestas

disposições, as indicações do EC8.

10.4.1 Armadura longitudinal

(i) Quantidades mínimas e máximas de armadura

As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de aço

utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte

expressão (EC2):

As, min = 0.10 Nsd

fyd 0.002 Ac

Trata-se de um valor dependente do valor do esforço axial, que no mínimo pode valer

0.2%. Refira-se que, em zonas de maior sismicidade o EC8 impõe um mínimo

bastante superior de 1%, o que será, em geral, mais adequado.

A quantidade máxima de armadura é dada por sua vez por:

As, máx = 0.04 Ac (fora das secções de emenda)

Nota: Nas secções de emenda, poderá ter-se uma armadura até 0.08 Ac.


235

Valores desta ordem de grandeza devem ser evitados, pois além de serem difíceis de

implementar em termos construtivos, correspondem a soluções potencialmente de

baixa ductilidade.

É importante referir que as emendas das armaduras longitudinais devem ser

preferencialmente, na zona intermédia do pilar, sendo essa disposição obrigatória em

zonas sísmicas (ver pormenor na página seguinte).

(ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento

Apresentam-se agora algumas disposições mínimas para as armaduras nos pilares.

10.4.2 Armadura longitudinal

Quanto a disposições mínimas ao longo do perímetro temos:

1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou

4 varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável

adoptar pelo menos 6 varões.

A disposição das armaduras nos pilares deve ser distribuída no contorno,

com eventual reforço nas zonas do canto, mas, sempre, de forma a que a

distância entre 2 varões consecutivos não seja superior a 30 cms.

O diâmetro mínimo dos varões longitudinais, de acordo com o EC2 é de 8 mm, no

entanto, não se deve adoptar em pilares diâmetros inferiores a 12 mm,

excepcionalmente, 10 mm.

10.4.3 Armadura transversal

É importante referir que a armadura transversal dos pilares têm várias funções que se

salientam seguidamente:

Cintar o betão, em particular nas extremidades, onde se concentram os maiores

efeitos de flexão.

Resistir ao esforço transverso que num pilar é constante ao longo do seu

comprimento.

Contrariar e impedir a encurvadura localizada dos varões longitudinais.

Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e

betonagem;

Refira-se que, em zonas com alguma sismicidade, as cintas devem ser mantidas na

zona dos nós de ligação com as vigas (ver no desenho).


236

DISPOSIÇÃO GERAL DE

ARMADURAS EM PILARESSem Esc.

Exemplo de disposição de armaduras

longitudinais num pilar

1 - Varões do pilar inferior fora do

perímetro da secção do pilar superior

2- Varões que não se interrompem no nó

3- Varões do nível superior com amarração

no pilar inferior

PORMENOR DOS ESTRIBOSESC. 1/10

a)

b)

Exemplos de disposição de armaduras com

variação de dimensões do pilar em altura

a) variação pequena < 5 cm

b) variação superior

Espaçamento das cintas de acordo com o EC2:

smáx = min (20 L,menor; bmin; 40 cm)

O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 smáx, ou seja, 12L,menor (refira-se

que o Documento de Aplicação Nacional impõe este valor mínimo mesmo na zona

intermédia do pilar), nos seguintes casos:

- Nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior dimensão do pilar;


237

Esta disposição tem em consideração melhorar a cintagem do betão e, portanto a

ductilidade da secção, nas zonas de maiores esforços de flexão.

- Nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes varões

seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao longo do

comprimento de emenda.

Esta disposição tem a ver com a resistência às tracções que se geram

perpendicularmente às emendas de varões, como indicado no Capítulo 7.6.

Refira-se que as disposições do EC8 nesta matéria são mais exigentes, em particular

nas zonas junto às extremidades, propondo aí como mínimo, para o espaçamento de

cintas, 8 L.

Diâmetro

cinta = max (6 mm; 0.25 L,maior) – Recomendável: 8 mm

Forma da armadura / cintagem mínima

As formas das armaduras transversais devem seguir disposições apertadas para

garantirem eficiência de cintagem e de contrariar o risco de encurvadura dos varões

isolados.

Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser abraçados por

armadura transversal.

Em zonas comprimidas, é necessário cintar todos os varões longitudinais que se

encontrem a mais de 15 cm de varões cintados (ver pormenor das secções

transversais).


238

8Ø20+4Ø16

3 Cintas Ø8//0.15

8Ø20+8Ø16

2 Cintas Ø8//0.15

4Ø20+8Ø16

2 Cintas Ø8//0.15

12Ø20+12Ø16

3 Cintas Ø8//0.15

Exemplos de disposição de armaduras transversais em secções rectangulares de pilares


239

EXERCÍCIO 15

Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme

indicado. Dimensione e pormenorize a secção.

As/2

As/2

0.30

0.50

Msd

Nsd

Nsd = -1200 kN

Msd = 150 kNm

Materiais: A400NR

C20/25


Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas)

d1 0.05m

h = 0.50m

d1 h

= 0.10 ; A400

Esforço normal reduzido: = Nsd

b h fcd =

-1200

0.30 0.50 13.3 103 = -0.60

Momento flector reduzido: = Msd

b h2 fcd =

150

0.30 0.502 13.3 103 = 0.15

tot = 0.20 Astot = tot b h fcd fyd

= 0.20 0.30 0.50 13.3 348

104 = 11.47cm2

Na rotura c2

s1 =

-3.5 0 a 1

rotura pelo betão

armaduras traccionadas não atingem a cedência

Zona


240

EXERCÍCIO 16

Considere um pilar com secção transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as

armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm

Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


d1 = 0.05 d1 h

= 0.10

=

Nsd

r2 fcd =

-1400

0.252 16.7 103 = -0.427

= MSd

2 r3 fcd =

250

2 0.253 16.7 103 = 0.152

tot = 0.30

Astot = tot r2 fcd

fyd = 0.30 0.252

16.7 348

104 = 28.3cm2


241

EXERCÍCIO 17

Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo

indicados.

z

0.50

0.30

y

Nsd = -1200 kN

Msd,y = 150 kNm

Msd,z = 100 kNm

Materiais: A400

C20/25


Flexão desviada com esforço axial (Tabelas)

Msdz

Msdy

Astot/4

= Nsd

b h fcd =

-1200

0.30 0.50 13.3 103 = -0.60

y = Msdy

b h2 fcd =

150

0.30 0.502 13.3 103 = 0.15

z = Msdz

b2 h fcd =

150

0.302 0.50 13.3 103 = 0.167

Como z y 1 = z = 0.167 e 2 = y = 0.15

= -0.6

1 = 0.167

2 = 0.15

tot = 0.60

Astot = tot b h fcd fsyd

= 0.60 0.30 0.50 13.3 348

104 = 34.4cm2


242

EXERCÍCIO 18

Considere um pilar com secção transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as

armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm;

Msdy = 200 kNm

Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


Msd =

1502 + 2002 = 250 kNm Flexão composta

d1 = 0.05 d1 h

= 0.10

=

Nsd

r2 fcd =

-1400

0.252 16.7 103 = 0.427

= MSd

2 r3 fcd =

250

2 0.253 16.7 103 = 0.152

tot = 0.30

Astot = tot r2 fcd

fsyd = 0.30 0.252

16.7 348

104 = 28.3cm2


243

11 Verificação da segurança de pilares isolados aos estados limite últimos

A verificação da segurança dos pilares pode não depender só dos efeitos das acções

avaliados com a estrutura não deformada. Neste capítulo analisamos, para os pilares

de betão armado, as recomendações regulamentares para se ter em consideração os

efeitos das deformações estruturais nos esforços actuantes de dimensionamento.

11.1 Comportamento de elementos esbeltos

Nos elementos de betão armado não solicitados por cargas axiais, os esforços são,

em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Nestes

casos a influência da deformação da estrutura nos esforços actuantes é desprezável.

Sempre que as imperfeições geométricas ou as próprias deformações da estrutura

possam ter um efeito importante nos esforços solicitantes (em particular no caso de

pilares esbeltos), as condições de equilíbrio devem ser estabelecidas na estrutura

deformada (Teoria de 2ª ordem).

Vimos, assim que a esbelteza dos pilares é um parâmetro importante para a avaliação

destes efeitos. Revemos seguidamente esse conceito e exemplificamos em casos

simples.

11.2 Esbelteza

A esbelteza de um pilar é dada por: = l0

i

onde:

l0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de

momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada)

i representa o raio de giração da secção

i = I A

É fundamental compreender que o momento de inércia da secção a considerar é o

referente ao eixo perpendicular ao plano de encurvadura.

Quanto maior for a esbelteza maior é a sensibilidade aos efeitos da influência do

esforço axial nos esforços de flexão, apresentando-se, seguidamente, a avaliação do

comprimento de encurvadura, para casos tipo de condições de fronteira.


244

Elementos contraventados

Elementos não contraventados

11.3 Imperfeições geométricas

O efeito desfavorável de possíveis desvios na geometria da estrutura ou posição do

carregamento deverá ser tido em consideração no dimensionamento.

Os efeitos das imperfeições geométricas poderão ser avaliados de forma geral

considerando a estrutura inclinada de um ângulo i.

Para elementos isolados, estes efeitos poderão ser considerados de forma

simplificada através de uma excentricidade inicial ei ou através de uma força horizontal

equivalente Hi.

= L/2 = L l0

l0

l0

= 0.7L

= 2L = L = 2L l0 l0 l0


245

Hi

NNei

L

a) Elementos não contraventados

b) Elementos contraventados

11.3.1 Excentricidade inicial

Com base na estrutura inclinada de i a excentricidade inicial poderá ser calculada

através da seguinte expressão

ei = i l0 / 2

onde l0 representa o comprimento efectivo de encurvadura.

A inclinação i pode ser calculada através da seguinte expressão:

i = 0hm

onde,

0 representa o valor de inclinação base que pode ser tomado igual a 1/200;

h representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do

elemento (h = 2 / l e 2/3 h 1);

m representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos

verticais existente na estrutura (m = 0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número

de elementos verticais).

Caso se tratem de colunas isoladas em estruturas contraventadas, poderá considerar-

se simplificadamente que ei = l0 / 400.

A análise dos efeitos da imperfeição geométrica podem ser avaliados considerando

uma força horizontal equivalente que deverá actuar na posição em que provoque o

máximo momento flector e pode ser obtida através das seguintes expressões:

(i) Elementos não contraventados: Hi = N i

(ii) Elementos contraventados: Hi = 2 Ni

= l0/2

i i


246

Mi = N ei Mi = Hi L

Mi = N ei Mi = Hi L/4

11.4 Importância dos Efeitos de 2ª ordem e tipos de rotura associados

No que se segue ilustram-se os efeitos de 2ª ordem mostrando-se que as condições

de equilíbrio devem ser satisfeitas na estrutura deformada, depois de aplicadas as

cargas.

H i

N N e i

L =

Hi L = N ei Hi = N ei/L Hi = N i

i

Hi L/4 = N ei Hi = N (4ei/L) Hi = 2 N i =

i


247

Exemplos:

Teoria de 1ª ordem:

M = N e

Teoria de 2ª ordem:

M = N (e + v) M = N e + N v

N e – momento de 1ª ordem

N v – momento de 2ª ordem

Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares, = l0i, como se representa

seguidamente.

- pequeno efeitos de 2ª ordem desprezáveis

(Teoria de 1ª ordem)

- médio/elevado efeitos de 2ª ordem relevantes

(Teoria de 2ª ordem)

Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis

se: M2ªordem 0.10 M1ªordem ( N v 0.1 N e)

A rotura de um pilar terá, em geral, uma rotura por esgotamento da sua capacidade

resistente, com influência ou não de efeitos de 2ª ordem, como exposto, mas poderá

ter, em caso de uma esbelteza elevada, uma instabilidade elasto-plástica antes da

rotura da secção, como se ilustra de seguida.

M

N

N e

N e N v

1

2

N

v L

N

L

v


248

Relação N - M para e2 =0

Elemento pouco esbelto: análise de 1ª ordem - Mu = Nu e1 rotura da secção

Relação N - M para e2 0

Elemento com esbelteza moderada: análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1 + e2) rotura da

secção

Relação N - M para e2 0

Elemento com esbelteza elevada análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1 + e2) rotura por

instabilidade

11.5 Consideração dos efeitos de 2ª ordem

O cálculo rigoroso dos efeitos de 2ª ordem obriga a estabelecer as condições de

equilíbrio na estrutura deformada considerando o comportamento não linear do betão

armado. Isto significa a realização de análises não lineares da estrutura tendo em

conta as não linearidades geométricas da deformada e as não linearidades físicas dos

materiais.

Este método é designado por Método Geral sendo válido para qualquer tipo de

elemento estrutural ou estrutura submetida a qualquer tipo de carregamento.

Trata-se de uma metodologia que envolve um esforço de cálculo significativo e a sua

utilização no projecto de estruturas apenas se justifica em algumas situações

particulares.

Tendo em conta a complexidade deste tipo de análises a regulamentação permite a

utilização de métodos simplificados para quantificar os efeitos de 2ª ordem.

2 1

Ne 1

N

M

Ne 1

N

Ne 1 Ne 2

Ne 2

N u , M u 1 1

2 2 N u , M u

2 2 N CR , M CR

N u , M u 3 3

N CR , M CR 3 3

N

e 1 e 1

N

N

e 2 e 2

3 N

N

e 1


249

11.5.1 Métodos de análise simplificados

O EC2 contempla a utilização de dois métodos simplificados para calcular os efeitos

de 2ª ordem:

- Método da curvatura nominal

Este método consiste em estimar a curvatura (1/r) na secção mais esforçada para

efeitos do cálculo da deformada de 2ª ordem da estrutura a partir da qual é calculado o

momento de 2ª ordem.

- Método da rigidez nominal

O método consiste em estimar a rigidez de flexão EI do elemento estrutural a qual é

utilizada na análise linear de 2ª ordem.

Os dois métodos apresentam a mesma fundamentação conforme se demonstra a

seguir.

Considerando uma coluna bi-articulada sujeita a um esforço axial N e a uma carga

transversal (ou a uma imperfeição geométrica) o momento total actuante incluindo os

efeitos de 2ª ordem é obtido de acordo com a seguinte expressão:

0

r

vM0 M 1/r

M = M + M

2

0 2

M = M0 + M2 = M0 + N v = M0 + N 1 r

l0

2 c

em que:

M – momento total

M0 – momento de 1ª ordem

M2 – momento de 2ª ordem

v – deslocamento associado à curvatura 1/r

l0 – comprimento do elemento (comprimento de encurvadura)

N


250

c – factor que depende da distribuição da curvatura

O deslocamento v pode ser obtido pela integração das curvaturas ao longo da coluna,

admitindo uma distribuição proporcional à dos momentos:

v =

l0

1r –M dx =

l0

M

–M

EI dx =

1 EI

l0

M–M dx =

M EI

l0

2 c

= 1 r

l0

2 c

Em que c tem os seguintes valores função da distribuição do momento flector ao longo

da coluna:

distribuição parabólica: c=9.6

distribuição uniforme (constante): c= 8

distribuição triangular simétrica: c=12

Sendo M e 1/r o momento e a curvatura na secção mais esforçada do pilar.

A diferença entre os dois métodos reside nas hipóteses admitidas para a consideração

de um valor de curvatura ou, o que pode ser equivalente, de um valor para a rigidez

fendilhada. De seguida apresentam-se as hipóteses base consideradas em ambas as

metodologias.

- No método da curvatura nominal a curvatura 1/r é a associada à deformada do

elemento correspondente ao momento de cedência. Admite-se, para a curvatura base,

que as armaduras de compressão entram em cedência simultaneamente com a de

tracção (ver fig. seguinte). De acordo com o EC2 este valor é depois modificado para

poder ter em conta o nível de esforço axial e a fluência do betão, como veremos.

syd

(-)

(+)

0.9d

syd

1 r

= syd + syd

0.9d =

syd 0.45d

A razão pela qual a curvatura de cedência é considerada neste cálculo pode ser

compreendida tomando uma relação momento curvatura tipo de uma secção em

flexão composta. Se se representar o crescimento do momento de 2ª ordem com a

curvatura, percebe-se que a máxima resistência disponível para o momento de 1ª

ordem deve ser avaliada para a fase de perda significativas de rigidez da secção com

a cedência da armadura (ver figura seguinte).


251

1/r

M 2ª ordem = N v (1/r)

M (1ª ordem)Rd,max

M

Myd

v (1/r)

M1ª ordem

N

N

M1ª ordem

- No método da rigidez nominal a curvatura 1/r é expressa em termos de rigidez

nominal à flexão:

1 r

= M EI

Nesta proposta de metodologia a rigidez EI é definida como se verá tendo em conta,

explicitamente, a influência da fendilhação e da fluência.

Importa referir que neste tipo de análises o comprimento l0 deve ser considerado como

um comprimento que traduz a forma da deformada final do elemento estrutural.

Dado que os métodos simplificados se baseiam na análise de uma coluna bi-

articulada, a adopção do comprimento l0 permite a consideração de outras condições

de fronteira de pilares.

11.5.2 Método da curvatura nominal

Método de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª

ordem, corrigindo os esforços actuantes para ter em conta os efeitos de 2ª ordem, ou

seja da própria deformada da estrutura.


252

Msd = Nsd (e + e2)

De acordo com o EC2, e como já explicado, a excentricidade 2ª ordem pode ser

calculada com base numa curvatura nominal através da seguinte expressão:

e2 = 1

r l0

2

c

onde c representa um factor que depende da distribuição da curvatura ao longo do

elemento. Normalmente adopta-se c = 10, excepto se o momento de primeira ordem

for constante, situação em que se poderá adoptar c = 8.

A curvatura (1/r) pode ser determinada a partir da expressão:

1 r

= Kr K 1 r0

onde,

Kr representa um factor correctivo que tem em consideração o nível de esforço

axial;

K representa um coeficiente destinado a ter em conta o efeito da fluência;

1 / r0 representa a curvatura base

1

r0

yd 0.45d

.

O coeficiente Kr destina-se a ter em conta o facto de, em determinados casos, a maior

perda de rigidez se dá antes da armadura atingir a extensão de cedência, o que

conduz a uma curvatura inferior ao valor base. Este factor de redução pode ser

determinado através de:

Kr = u -

u - bal 1.0

e N

e

N

v

N

e + e 2


253

representa o valor do esforço normal reduzido;

bal representa o valor do esforço normal reduzido na zona do máximo

momento resistente (em geral, bal 0.4);

u = 1 + , com = As fyd / (Ac fcd).

O efeito da fluência é considerado através da introdução do coeficiente K, que

pretende corrigir os casos em que a curvatura base seria inferior à curvatura real

devido ao facto de não se considerar o efeito da fluência. Assim:

K = 1 + ef 1.0

ef representa o coeficiente de fluência efectivo

ef= (t, t0)

M0cqp M0sd

;

= 0.35 + fck / 200 - / 150;

M0cqp representa o momento de primeira ordem para a combinação quase-

permanente de acções;

M0sd representa o momento de primeira ordem para a combinação fundamental.

O efeito da fluência poderá ser desprezado, o que equivale a assumir que ef = 0, caso

sejam verificadas as três condições seguintes: (, t0) 2; 75; M0sd / Nsd h.

Os efeitos de 2ª ordem poderão ser considerados, tal como no caso das imperfeições

geométricas, através de uma força horizontal equivalente.

Esta força poderá ser uma força concentrada ou outra força equivalente, que produza

os mesmos esforços que o efeito de 2ª ordem (ver exemplos seguintes).


254

- Elementos não contraventados

M2 = N e2 M = H l02

H l02

= N e2 H = 2N e2

l0 H = N 2

- Elementos contraventados

0

2

e2

H

M2 = N e2 M = H l04

H l04

= N e2 H = 4N e2

l0 H = 2N 2

Procede-se seguidamente à verificação do estado limite último de flexão composta

na secção crítica (secção mais esforçada), tendo em consideração este método.

N

L

e 0 2

2

0 2

H

N

N


255

Assim tomemos os seguintes esforços:

Nsd

Msd = M0sd + Nsd e2

em que: M0sd = M0e + Nsd ei

Secção crítica:

(i) Elementos contraventados

A localização da secção crítica depende do diagrama de Msd conforme se pode

observar na figura seguinte. Nesta figura considera-se uma coluna genérica e

representam-se os esforços relativos às cargas actuantes e ao efeito de 2ª ordem.

M1M2

M2M1

NM02

M01N

M = M + M1TOT 2

+ =

Verifica-se que, em geral, a secção crítica se localiza numa zona intermédia e que a

sua determinação requeria um certo esforço de cálculo.

O EC2 ultrapassa esta dificuldade indicando uma metodologia simplificada para

estimar o momento máximo. Essa metodologia consiste em tomar para o momento

associado às cargas actuantes um valor constante, avaliado numa zona intermédia do

pilar, o qual é somado directamente aos momentos relativos às imperfeições

geométricas e aos efeitos de 2ª ordem.


256

M0e = máx 0.6 M02 + 0.4 M01

0.4 M02

com : |M02| |M01|

Todavia, como é possível verificar na primeira figura, os efeitos da imperfeição

geométrica e de 2ª ordem também se fazem sentir nos nós pelo que o momento

máximo pode, eventualmente, ocorrer numa das extremidades do elemento.

As dificuldades atrás referidas poderiam ser ultrapassadas se os efeitos das

imperfeições geométricas e de 2ª ordem forem considerados através da força

horizontal equivalente de acordo com exposto anteriormente.

(ii) Elementos não contraventados

Nos elementos não contraventados os esforços máximos ocorrem nos nós como se

pode observar na figura seguinte pelo que não se coloca a problemática atrás referida.

M2M1

NM02

M01N

M = M + M1TOT 2

+ =

N

2

N

e i

i

e 2 M Sd 0

M 0e N ei

= + +

N e2 Sd 0e M = M + Nei + N e2


257

11.5.3 Método da rigidez nominal

Considerando a coluna bi-articulada definida em 2.5.1 com comprimento l = l0, o

momento de 2ª ordem pode ser calculado da seguinte forma:

M2 = N v = N 1 r

l0

2 c

= N M EI

l0

2 c

= N l0

2 c EI

(M0 + M2)

onde M0 é o momento de 1ª ordem e c é um parâmetro que depende da distribuição

da curvatura (assume-se que a distribuição das curvaturas de 1ª e 2ª ordem são

proporcionais ao longo do vão).

Desenvolvendo a expressão anterior em ordem a M2, tem-se:

M2 = M0

N l02

c EI

1 - N l0

2 c EI

= M0

1

c EI l0

2 / N - 1

= M0

1

NB

N - 1

em que:

NB = c EI l0

2 ≈

2 EI l0

2 (carga crítica do pilar)

O momento total do pilar pode ser calculado, então, da seguinte forma:

M = M0 + M2 = M0

1 +

1

NB

N - 1

M = M0

1 - N

NB

O parâmetro 1

1 - N

NB é o conhecido factor de amplificação do momento de 1ª ordem,

em problemas associados à instabilidade de estruturas.

- Rigidez nominal

A rigidez de flexão EI a usar no cálculo de NB deve ter consideração o efeito da

fendilhação e da fluência. O EC2 considera a seguinte expressão para cálculo da

rigidez nominal:

EI = Kc Ecd Ic + Ks Es Is

em que:

Ecd valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão, Ecd = Ecm/cE, com cE = 1.2

Ic momento de inércia da secção transversal de betão

Es módulo de elasticidade do aço das armaduras,


258

Is momento de inércia das armaduras, em relação ao centro da área do betão

Kc coeficiente que toma em conta os efeitos da fendilhação e da fluência,

Ks coeficiente que toma em conta a contribuição das armaduras.

- Em geral:

Ks = 1

Kc = k1 k2 / (1 + ef)

em que:

= As/Ac

ef coeficiente de fluência efectivo;

k1 é um coeficiente que depende da classe de resistência do betão:

k1 = 20ck /f (MPa)

k2 é um coeficiente que depende do esforço normal e da esbelteza:

k2 = .

170 0,20

- Nos casos em que 0,01, no EC2 propõe-se, para simplificar:

Ks = 0

Kc = 0,3 / (1 + 0,5ef)

Note-se que Kc introduz uma perda de rigidez, muito significativa, da ordem de 4 a 6,

em relação à rigidez de cálculo da secção só de betão. A dificuldade na aplicação

mais precisa desta proposta pode residir no cálculo da rigidez nominal a qual, para ter

em consideração as armaduras, exige um processo iterativo.

11.6 Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de

encurvadura

Para o caso de elementos isolados, os efeitos de segunda ordem poderão ser

desprezados se for satisfeita a condição

lim = 20 A B C

onde,

= l0 / i e representa o coeficiente de esbelteza (i representa o raio de giração

da secção transversal não fendilhada);


259

A = 1 / (1 + 0.2 ef ) (se ef for desconhecido pode adoptar-se A = 0.7);

B = 1 + 2 (se for desconhecido pode adoptar-se B = 1.1);

C = 1.7 - rm;

ef representa o coeficiente de fluência efectivo;

= Asfyd / Acfcd e representa a percentagem mecânica de armadura;

rm = M01 / M02 onde M01 e M02 representam os momentos de primeira ordem nas

extremidades de um elemento, sendo |M02| |M01|;

= Nsd / (Ac fcd) e representa o esforço normal reduzido

O parâmetro C é o que apresenta, nos casos correntes, uma maior variação (entre

0.7 e 2.7) pelo que é fundamental a sua correcta avaliação, dado ter uma influência

significativa no valor de lim.


260

EXERCÍCIO 19

Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços:

N

H

3.00

Secção transversal

0.30

0.40

Esforços característicos: Ng = 550 kN; Nq = 250 kN

Hq = 20kN

(1 = 0.6; 2 = 0.4)

Materiais: C25/30; A400NR


261


1. Cálculo da esbelteza

= L0 i

= 2 3.0 0.0866

= 69.3

i = I A

= 9 10-4

0.30 0.40 = 0.0866 m; I =

bh3 12

= 0.4 0.33

12 = 9 10-4 m4

2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas

ei = i l0 / 2

i = 0hm

h = 2 / l = 2 / 3.0 = 1.15 < 1.0 h = 1.0

m = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0

i = 1

200

ei = l0

400 =

6.0 400

= 0.015 m

3. Determinação dos esforços de dimensionamento

Nsd = 1.5 (550 + 250) = 1200 kN; M0sd = 20 3 1.5 + 0.015 1200 = 108.0 kN

3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem

Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar a

condição seguinte:

= 69.3 lim = 20 A B C

C = 1.7 - rm = 1.7

rm= M01 / M02= 0

= Nsd

Ac fcd =

1200

0.30 0.40 16.7 103 = 0.599


262

lim = 20 0.7 1.1 1.7

0.599 = 33.8

os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis

3.2. Quantificação dos esforços de cálculo

Nsd = 1200 kN

Msd = M0sd + Nsd e2

(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

e2 = 1 r

L0

2 c

1 r

= Kr K 1 r0

1 r0

= yd

0.45d =

1.74 10-3

0.45 0.25 = 1.55 10-2 m-1

Kr = u -

u - bal =

1.5 - 0.6 1.5 - 0.4

= 0.82 1.0

= Nsd

Ac fcd =

1200

0.30 0.40 16.7 103 = 0.60

u = 1 + 1 + 0.5 = 1.5

Estima-se em 0.5 a percentagem mecânica de armadura. Refira-se que este

parâmetro tem influência reduzida no valor de Kr.

K = 1 + ef 1

ef= (t, t0) M0cqp M0sd

= 2.5 33.8 108

= 0.78

M0cqp = 20 3 0.4 + 0.015 (550 + 0.4 250) = 33.8 kNm

= 0.35 + fck

200 -

150

= 0.35 + 25

200 -

69.3 150

= 0.013

K = 1 + 0.013 0.78 = 1.01 1

1 r

= Kr K 1 r0

= 0.82 1.01 1.55 10-2 = 0.013 m-1

e2 = 1 r

L0

2 c

= 0.013 62

10 = 0.047 m

Msd = M0sd + Nsd e2 = 108 + 1200 0.047 = 164.4 kNm


263

4. Cálculo da armadura (flexão composta)

=

Nsd b h fcd

= -1200

0.3 0.4 16.7 103 = -0.60

= Msd

b h2 fcd =

164.4

0.4 0.32 16.7 103 = 0.273

tot = 0.62

d1 h

= 0.05 0.3

= 0.167 0.15 ; A400

Astot = tot bh fcd fsyd

= 0.62 0.30 0.40 16.7 348

104 = 35.7cm2


264

EXERCÍCIO 20

Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços:

5.00

N

Secção transversal

0.25

0.25

Esforços característicos: Ng = 380 kN; Nq = 220 kN

(1 = 0.4; 2 = 0.2)

Materiais: C20/25; A400NR


265


1. Cálculo da esbelteza

= L0 i

= 5

0.0722 = 69.3

i = I A

= 3.255 10-4

0.252 = 0.0722 m ; I =

b h3 12

= 0.254

12 = 3.255 10-4 m4

2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas

ei = i l0 / 2

i = 0hm = 1

200 0.89 = 0.0045

h = 2 / l = 2 / 5.0 = 0.89 ; m = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0

ei = i l0 / 2 = 0.0045 5.0 2

= 0.011 m

3. Esforços de dimensionamento

Nsd = (380 + 220) 1.5 = 900 kN; M0sd = 0.011 900 = 9.9 kNm

3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem

Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar

condição seguinte:

= 69.3 / lim = 20 A B C

n =

20 0.7 1.1 1.7

1.083 = 25.2

C = 1.7 - rm = 1.7

rm= M01 / M02= 0

= Nsd

Ac fcd =

900

0.25 0.25 13.3 103 = 1.083

lim = 20 0.7 1.1 1.7

1.083 = 25.2

os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis


266

3.2. Quantificação dos esforços de cálculo

Nsd = 900 kN; Msd = M0sd + Nsd e2

(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

e2 = 1 r

L0

2 c

1 r

= Kr K 1 r0

1 r0

= yd

0.45d =

1.74 10-3

0.45 0.20 = 1.93 10-2 m-1

Kr = u -

u - bal =

1.5 - 1.083 1.5 - 0.4

= 0.38 1.0

= Nsd

Ac fcd =

900

0.252 13.3 103 = 1.083

u = 1 + 1 + 0.5 = 1.5

K = 1 + ef

ef= (t, t0) M0cqp M0sd

= 2.5 4.7 9.9

= 1.2

M0cqp = 0.011 (380 + 0.2 220) = 4.7 kNm

= 0.35 + fck

200 -

150

= 0.35 + 20

200 -

69.3 150

= -0.012

K = 1 - 0.012 1.2 = 0.99 K = 1

1 r

= Kr K 1 r0

= 0.38 1.0 1.93 10-2 = 0.0073 m-1

e2 = 1 r

L0

2 c

= 0.0073 52

10 = 0.0183 m

Msd = M0sd + Nsd e2 = 9.9 + 900 0.0183 = 26.4 kNm

3. Cálculo da armadura (flexão composta)

d1 h

= 0.05 0.25

= 0.20 ; A400 Tabelas pág. 45


267

=

Nsd b h fcd

= -900

0.252 13.3 103 = -1.083

= Msd

b h2 fcd =

27.9

0.253 13.3 103 = 0.127

tot = 0.65

Astot = tot b h fcd fsyd

= 0.65 0.252 13.3 348

104 = 15.5cm2


268

12 Estruturas em Pórtico

12.1 Classificação das estruturas

Uma vez que os esforços de 2ª ordem dependem da deformabilidade lateral dos

pórticos convém classificar as estruturas relativamente a esta característica.

Estruturas contraventadas: estruturas com elementos verticais de grande rigidez

com capacidade resistente para absorver a maior parte das acções horizontais.

paredes

ou

núcleos

Neste tipo de estruturas a deformação lateral é condicionada pelos elementos de

contraventamento sendo este o tipo estrutural mais comum.

A deformação lateral global da estrutura pode ou não ser desprezável consoante a

rigidez dos elementos de contraventamento e as cargas actuantes.

Embora a deformação global da estrutura possa ter significado, a deformação relativa

entre pisos consecutivos é desprezável. Deste modo para os pilares há apenas que

verificar se há ou não que considerar efeitos locais de 2ª ordem para o

dimensionamento de cada um deles, admitindo a estrutura contraventada. Por outro

lado no dimensionamento dos elementos de contraventamento os efeitos globais de 2ª

ordem devem ou não ser considerados, consoante os deslocamentos laterais são

significativos ou desprezáveis, respectivamente.

Estruturas não contraventadas: estruturas sem elementos de contraventamento

Nestas estruturas, que devem sempre que possível ser evitadas, a deformação lateral

é, em geral, significativa. Os pilares e paredes devem ser dimensionados para os

efeitos globais de 2ª ordem sendo ainda necessário verificar se os efeitos locais são

condicionantes.


269

12.2 Comprimento de encurvadura

O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento

nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado

pela expressão:

l0 = l

onde l representa o comprimento livre do elemento e é um factor que depende das

condições de ligação das extremidades do elemento

Estruturas contraventadas

l0 l ( 1)

Estruturas não contraventadas

l0 l ( 1)

O comprimento de encurvadura de acordo com o EC2 é obtido pelas seguintes

expressões (calibradas com recurso a análises não lineares):

- Elementos contraventados

l0 = 0,5l

2

2

1

1

45,01

45,01

k

k

k

k

- Elementos não contraventados

l0 = l

k

k

k

k

kk

kk 2

21

1

21

21

11

11;101max

k1, k2 são parâmetros relativos às extremidades do pilar que traduzem a rigidez

relativa à rotação dos nós:

k = ( / M)(E / l)

/ M inverso da rigidez à rotação dos elementos que concorrem no nó e que

restringem a rotação desse nó;

E rigidez de flexão do pilar;

l l


270

l altura livre do pilar entre ligações de extremidade

O inverso da rigidez, /M, pode ser definido aproximadamente por:

/M = 1/(4 EI/L) para elementos com ligações de continuidade nas extremidades

/M = 1/(3 EI/L) para elementos rotulados na extremidade oposta à da ligação em

análise

Nos casos gerais em que apenas as vigas contribuem para a restrição à rotação dos

nós tem-se:

ki = ( )EI / L pilares

( )EI / L vigas

nó i:

viga

pilar

Em que toma o valor de 3 ou 4 consoante os casos atrás referidos.

O parâmetro k pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó:

Maior rotação maior deformação maior l0 maiores efeitos de 2ª ordem.

Exemplo de cálculo de l0:

Determinar o comprimento de encurvadura do pilar indicado na figura.

3.00

3.00

4.00

6.00 5.00

0.3

0.6 0.5

0.3

0.5

0.3 0.3

0.4

0.3

0.3

1

2

Classificação da estrutura: Estrutura não contraventada

k1 = ( )EI / L pilares

( )4EI / L vigas

= ( )I / L pilares

( )4I / L vigas

=

0.34 12

1 4

+ 0.34 12

1 3

0.3 0.53 12

4 6

+ 0.3 0.43

12

4 5

= 0.117


271

k2 =

0.34 12

1 3

2

0.3 0.63 12

4 6

+ 0.3 0.53

12

4 5

= 0.074

l0 = l

k

k

k

k

kk

kk 2

21

1

21

21

11

11;101max

l0 = l . max (1.20; 1.18)

l0 = 3 1.2 = 3.60 m

12.3 Efeitos das imperfeições geométricas em estruturas porticadas ou mistas

Em estruturas porticadas ou mistas (com pórticos e paredes) os efeitos das

imperfeições geométricas podem ser avaliados considerando a estrutura inclinada de

um ângulo i. Uma metodologia alternativa consiste na aplicação de forças horizontais

ao nível dos vários pisos do pórtico que conduzam ao mesmo efeito da inclinação i.

Hi

N

i

H = Ni

i

12.4 Efeitos de segunda ordem em pórticos

Para o caso de estruturas porticadas com elementos de contraventamento (por

exemplo: paredes ou núcleos de betão armado), os efeitos globais de segunda ordem

poderão ser desprezados se for satisfeita a condição

Fv,sd k1 s

s + 1.6 Ecd Ic

L2

onde,

Fv,sd representa a carga vertical total;

s representa o número de pisos;

L representa a altura total do edifício acima do nível a partir do qual os

deslocamentos horizontais estão restringidos;


272

Ecd representa o valor de dimensionamento do módulo de elasticidade do

betão (Ecd = Ecm / cE = Ecm / 1.2);

Ic representa o momento de inércia da secção transversal dos elementos de

contraventamento (em estado não fendilhado);

k1 é um coeficiente que em geral toma o valor 0.31, ou o valor 0.62 caso se

verifique que os elementos de contraventamento não estão fendilhados em

estado limite último.

Esta expressão é válida caso se verifiquem as condições seguintes:

- Estrutura aproximadamente simétrica;

- Deformações globais por corte desprezáveis;

- Rotação da base dos elementos de contraventamento desprezável;

- Elementos de contraventamento com rigidez aproximadamente constante em altura;

- Cargas verticais semelhantes nos vários pisos.

12.4.1 Verificação da segurança de pórticos contraventados

Caso os efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados apenas há

que verificar os efeitos locais de 2ª ordem. Assim os pilares devem ser analisados,

como elementos isolados de acordo com o definido em 2.6/2.7, tendo em

consideração 3.2.

Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª ordem.

Caso os efeitos globais de 2ª ordem não possam ser desprezados, caso de

deslocamentos globais da estrutura significativos (deslocamentos entre o topo e a

base do edifício), os deslocamentos entre pisos estão limitados, dada a elevada

rigidez dos elementos de contraventamento, isto se tiverem em planta uma disposição

aproximadamente simétrica.

É razoável admitir, nestes casos, que os elementos contraventados têm

deslocamentos horizontais limitados, pelo que há apenas que verificar os efeitos locais

de 2ª ordem nos pilares, de acordo com 2.6/2.7, tendo em consideração 3.2.

Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª e 2ª

ordem.


273

Elementos de contraventamento (paredes)

Os efeitos de 2ª ordem podem ser avaliados por uma metodologia idêntica à referida

para as imperfeições geométricas.

H

N

2

H = N 2

A inclinação 2 é calculada com base no comprimento de encurvadura e este pode ser

estimado como se apresenta seguidamente.

comprimento de encurvadura do

elemento de contraventamento0

2

12.4.2 Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados

No caso de estruturas em que os efeitos globais de segunda ordem tenham que ser

considerados, a análise de pilares isolados em estruturas introduz alguns problemas:

A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é

realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos

horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade

de 2ª ordem em todos os pilares.

Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por

equilíbrio, conduzem a um aumento de esforços nas vigas adjacentes. A análise

de pilares isolados não tem em conta este efeito.

Desde modo, verifica-se que a análise dos pilares isolados não é adequada pelo que a

metodologia a adoptar deve contemplar o comportamento global da estrutura.


274

Formas mais correctas de ter em conta os efeitos de2ª ordem

1. Análise da estrutura inclinada (deformada)

2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços

provocados pelos efeitos de 2ª ordem.

H2

H1

Esta metodologia em pórticos com muitos pisos perde sentido, por ser muito

desfavorável. No que se segue é ilustrada a análise de um pórtico simples de um piso.

Considere-se o pórtico na posição deformada:

P

N N

2 e

1

1

P 2

2

e

L

1 0 2

0


275

O ângulo e o deslocamento δ podem ser determinados com base no comprimento de

encurvadura l0 e na excentricidade e2 da seguinte forma:

= e2

l 1

0

2

= 2 e2

l 1

0

; = L = 2L e2

l 1

0

O momento global de 2ª ordem é:

MTOTAL2

= (N1 + N2) MTOTAL2

= (N1 + N2) 2L e2

l 1

0

e2; l0 parâmetros relativos ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência

(pilar condicionante)

A força horizontal equivalente que conduz ao mesmo momento global nos pilares pode

ser calculada da seguinte forma:

MTOTALH = HL HL = (N1 + N2) 2L

e2

l0

H = 2 (N1 + N2) e2

l0

l0; e2parâmetros relativos ao pilar

condicionante

Definição do Pilar Condicionante:

Considerando que o deslocamento horizontal no topo dos pilares é idêntico, as

características que determinam qual o primeiro pilar a atingir a curvatura de cedência

são a altura da secção, as condições de fronteira e o nível de esforço axial actuante.

As duas primeiras características caracterizam a rigidez do pilar, a terceira determina a

extensão máxima na armadura.

Considere-se a seguinte metodologia para definir um único parâmetro que tenha em

consideração as características atrás referidas:

- a excentricidade de 2ª ordem e2 é função da curvatura de cedência do pilar: e2 = 1r l 2

0

10

L

H


276

A curvatura base é definida pela seguinte expressão: 1r0

= yd

0.45d

yd

0.4h

A curvatura de cedência pode ser estimada de forma aproximada, a partir da curvatura

base, pela seguinte expressão:

1r =

yd

0.4h 0.4

=

yd

h e2 =

yd

h l 2

0

10 com 0.4

sendo: e2 = l02

l02

= yd

h l 2

0

10 =

15 yd

l0 h

= 15 yd

l0 L

h

é o deslocamento do pórtico associado ao pilar que atinge primeiro a curvatura de

cedência: = i,mínimo

Donde se conclui que o pilar condicionante é o pilar com menor relação L l0 h

( 0.4)

N

2

N

e 0

0.4

h n

m

n

+ -

1/r

1 r 0

1 r 0

0.4 n 1

r


277

EXERCÍCIO 21

C25/30 g = 17kN/m 0 = 0.4

A500 NR q = 13.5kN/m G = 1.35

Rec: 3cm G1 = 600kN Q = 1.5

G2 = 400kN

W = 100kN

Dimensionamento dos pilares

— Estrutura não contraventada

Esbeltezas = l0i

l0 = 2l = 2 5 = 10m

P1: i = 0.6

12 = 0.115m =

100.115

= 87

P2: i = 0.6

12 = 0.173m =

100.173

= 58

5,0

10,0

0.6

0.3 0.3

0.4

W

g, q G 2 G 1

P 1 P 2


278

— Efeito das imperfeições geométricas

i = 0 h m ; 0 = 1

200

h = 2

l =

2

5 = 0.894 ; m = 0.5

1 +

1m

= 0.5

1 +

12

= 0.87

i = 1

200 0.894 0.87 = 0.0039 ; ei = 0.0039 5 = 0.0194m

Força horizontal equivalente:

Hi = Ni

Combinação que envolve a acção do vento

Sd = 1.35 Sg + 1.5 0 Sq 1.5 SW

N = N1 + N2 =1.35 (600 + 400) + 10 (1.35 17 + 1.5 0.4 13.5) = 1660kN

Hi = 1660 0.0039 = 6.47kN

R1 =

EI1

L3

1

EI1

L3

1

+ EI2

L3

2

H1 = 0.43

0.43 + 0.63

0.23

6.47 = 1.49kN

R2 = Hi - R1 = 4.98kN

Esforços de 1ª ordem

P1 W1 = 0.23 100 = 23kN

Nsd = 1.35 400 + 102

(1.35 17 + 1.5 0.4 13.5) = 695kN

M0sd = 1.5 23 5 + 1.49 5 = 180kNm

0.0039

0.0194

0.0039

R 1

H i = 6.47

R 2


279

P2 W2 = 100 - 23 = 77kN

Nsd = 1.35 600 + 102

(1.35 17 + 1.5 0.4 15) = 965kN

M0sd = 1.5 77 5 + 4.98 5 = 602,4kNm

- Efeitos de 2ª ordem

Pórtico não contraventado necessidade de considerar os efeitos de 2ª ordem

Excentricidade de 2ª ordem

A excentricidade de 2ª ordem é calculada para o pilar que atinge primeiro a curvatura

de cedência (pilar condicionante)

- pilar condicionante: pilar com menor relação l0 L

h ( 0.4)

P1 - = 695

0.3 0.4 16700 = 0.35

P2 - = 965

0.3 0.6 16700 = 0.32

Pilar P1: l0 L

h = 10 5 /(0.4 0.4) = 312.5 ( = 0.35)

Pilar P2: l0 L

h = 10 5/(0.4 0.6) = 208.5 ( = 0.32) (condicionante)

O pilar condicionante coincide, em geral, com o pilar mais rígido como é possível

observar na figura seguinte.

1 = 2 =

1r M

1r1

= 1r2

e2 1r =

1r0

k1 k2

yd

0.45d

Para um determinado deslocamento horizontal δ o pilar mais rígido (P2) atinge primeiro

a cedência donde se conclui que e2 é condicionada pelo pilar mais rígido.

P2 e2 = 1r l 2

0

10 ;

1r = kr k

1r0

; 1r0

= yd

0.45d

1 2

o o

o o

1/r 0

P 1

P 2

o


280

1r0

= 2.175 10-3

0.45 0.55 = 8.79 10-3/m

k= 1 + ef 1.0

= 0.35 + fck

200 -

150 = 0.35 +

25200

- 58150

= 0.088

ef = M0cqp

M0sd

M0cqp = 4.98 5 = 24.9kNm

M0sd = 602.4kNm ef = 2.5

24.9602.4

= 0.1

k = 1 + 0.088 0.1 1.0

kr = n -

n - bal 1.0 ; =

Nsd

Ac fcd ; u = 1 + w

= 0.32 ; bal = 0.4 ; w 0.5 (estimativa)

kr = 1.5 - 0.3431.5 - 0.4

= 1.05 kr = 1.0 ( 0.4 kr = 1.0)

e2 = 8.79 10-3 102

10 = 0.0879m

Força horizontal equivalente: H = 2N e2

l0 ; l0 = 2l H = N e2/l = (N1 + N2)

e2

l

H = 1660 0.0879

5 = 29.18kN

Momento de 2ª ordem

P1 M2 = 0.23 29.18 5 = 33.56kNm

P2 M2 = 0.77 29.18 5 = 112.34kNm

Esforços de dimensionamento

P1 Nsd = 695kN

Msd = M0sd + M2 = 180 + 33.56 = 213.56kNm

= 0.35 ; = 213.56

0.3 0.42 16700 = 0.266 w = 0.44

Astot = 20.3cm2

Vsd = Msd

l =

213.565

= 42.7kN

Asw

s =

Vsd

z cotg fyd =

42.7

0.9 0.35 2 43.5 = 1.56cm2/m

Asw

s min


281

0,3

0,4

420 + 416

Cintas 6//0.15

( = 1.7%)

P2 Nsd = 965kN

Msd = 602.4 + 112.34 = 714.74kNm

= 0.32

= 0.396 w = 0.76

Astot = 52.5cm2

Vsd = 714.74

5 = 142.9kN

Asw

s = 3.32cm2/m

0,6

0,3

42

522

0

21

6

42

522

0

825 + 420

Cintas 8//0.15

( = 3.1%)

BIBLIOGRAFIA DE REFERÊNCIA

Bibliografia Principal e Geral

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EN1992-1-1 2010 : “Projecto de estruturas de betão – Parte 1-1: Regras gerais e regras para

edifícios”, IPQ, Lisboa.

NP EN 206 -1: 2005 – Betão – Parte 1: Especificação, desempenho, produção e conformidade

Especificação LNEC E464 – Betões. Metodologia Prescritiva para a Vida Útil de Projecto de 50 e

de 100 anos face às Acções Ambientais.

Especificação LNECE465 – Betões. Metodologia para estimar as propriedades de desempenho

que permitem satisfazer a vida útil de projecto de estruturas de betão armado e pré-esforçado

sob as exposições ambientais XC e XS.

Especificação LNEC E461 – Metodologias para prevenir reacções expansivas internas.

folhas de apoio

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