UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG)

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC)

MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 – ME262

Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO

(Capítulo 3)

Recife - PE

Capítulo 3 - Estática dos Fluidos

1 – Expansão de função e série de Taylor.

2 – Lei de Pascal. Equação fundamental vetorial da Estática dos Fluidos. Plano isobárico.

Superfícies de nível. Significado físico/mecânico.

3 – Formas diferenciais da equação da Estática dos Fluidos. Lei de Stewin.

4 – Propriedade dos líquidos: coesão, adesão e tensão superficial. Massa específica dos líquidos

comuns.

5 – Diagrama de pressões em reservatório estratificado. Estratificação térmica.

6 – Exemplo da lei de Pascal. Sistema de vasos comunicantes e conservação da energia mecânica.

Paradoxo hidrostático.

7 – Técnicas de conversão de unidades. Níveis de referências das pressões. Pressões absolutas e

manométricas.

8 – Manometria. Piezômetro, tubo em U e manômetros diferenciais. Manômetros e vacuômetros

metálicos.

9 – Sistemas hidráulicos: elevador, prensas, trem de aterrisagem e freios. Golpe de aríete.

Cavitação.

10 – Forças hidrostáticas sobre superfícies planas:módulo, sentido, direção e ponto de aplicação.

Propriedades (CG e I ) de áreas e volumes.

11 – Força hidrostática em superfície curva submersa. Exemplos.

12 – Pressões em tubos e reservatórios. Dimensionamento de parede e material.

13 – Empuxos em corpos. Principio de Arquimedes. Estabilidade de flutuantes. Metacentro.

Altura metacêntrica.

14 – Fluidos em movimento relativo. Efeitos de acelerações linear (horizontal e vertical) e

angular. Aplicações em engenharia.

Expansão de função e série de Taylor

Aproximação de Φ (derivada)

Valores reais de Φ

E P D

Φ=Φ(x)

α

Δx

ΦD

ΦPP

P P

P P

(< 0 !)

Equação Fundamental da Estática dos Fluidos

dy

Equilíbrio de forças de pressão em um elemento fluido

α

α

(90°- α)

Obs: Esta Lei também se aplica aos escoamentos não-viscosos !!!

dx

*

*

“Lei de Pascal”(Isotropia de

pressões no

ponto!)

α

*

*

*

*

*

*

3ª ordem

P

(x,y,z)

dz

dx

dy

p

p

px

y

z

Direção x:

Direção y:

Direção z:

Forma vetorial geral da equação da

Estática dos Fluidos

Plano isobárico

Superfície de nível

p = p(x) =cte

p = p(y) =cte

P Expansão em série

de Taylor da pressão

(p) em P

Significado físico/mecânico da equação vetorial geral da Estática dos Fluidos

“ Em um fluido em repouso a soma das forças de superfície (FS) e de massa (FM) por unidade de

volume de fluido é zero.”

FS /Vol FM /Vol

Formas da Equação da Estática dos Fluidos

(vetorial)

Formas diferenciais

p = p(x) = cte

p = p(y) = cte

Planos perpendiculares à g

são isobáricos!

z

x

yo

z

Δz

z2

z1

1

2

Δh

hΔh = h

Lei de Stewin“A cada altura em um fluido em repouso,

corresponde um valor de pressão.”

Propriedades dos líquidos

Peso específico de alguns líquidos

Diagrama de pressões (reservatório estratificado)

h1

h2

h3

α

θ

β tan β= γ2

tan α = γ1

tan θ = γ3

tan θ = γ3h3 / h3

Lei de Pascal

Vasos comunicantesEnergia de velocidade

(cinética)

F

Paradoxo Hidrostático (o empuxo E no fundo independe do peso do líquido)

E = pA

P1 = γV1

E = pA

P3 = γV3

E = pA

P2 = γV2

Como V2 > V1 > V3 P2 > P1 > P3

Técnica de conversão de unidades

Velocidade:

Pressão:

Níveis de referência das pressões

pman

pabs

patm padrão

A : pman > 0

de um fluido em uma máquina,

sistema ou processo.

pabs = patm + │pman│

A

B

absoluto

absoluto

B : pman < 0 (vácuo

relativo)

Barômetro

Barômetro de Hg

1 atm = 760 mmHg = 101,3 kPa = 1,0 bar = 14,7 psi = 10,33 mca (no NMar)

Referências de medidas de Pressão (p)

A patm = 101,3 kPa (padrão EUA ao nível do mar) se patm local = 90 kPa

Indica: - se o local for ao nível do mar Tempestade!

- altitude ≈ 1000m condições atmosféricas normais!

Há dois referenciais de pressões :

- Vácuo (o absoluto) – Gases

- patm local – Líquidos e Gases

vácuo absoluto

pabs (kPa)

120

90

60

0

pman = 30 kPa

pvac = 30 kPa ou pman = -30kPa

pvac = 90 kPa ou pman = -90kPa

patm local

Dados da atmosfera – Padrão EUA (nível do mar)

288K

1,225 kg/m³

Piezômetros

Manômetros diferenciais Tubos em U

Limitações de uso:

• serve para baixas pressões

• não serve para gases (escapam)

• não serve para pman < 0, haveria entrada de ar

Manometria

A Fig. 2-3 mostra um manômetro simples de tubo em U para medida da diferença de pressão. A

diferença nas pressões pA e pB pode ser determinada da forma abaixo. A pressão ao ponto a é

dada por:

pa = h1 γH2O + (h3 - h1) γar + pA ou

pa = h2 γH2O + (h3 – h2) γar + pB

Subtraindo,

pA – pB = (h2 – h1) (γH2O – γar)

O peso específico do ar é pequeno, comparado à água, significando que a diferença de pressão é

aproximadamente igual à diferença nas alturas de coluna vezes o peso específico da água:

pA – pB = (h2 – h1) γH2O

Exemplo de cálculo

Observação:

Os manômetros podem ter formas, orientações e usar fluidos diferentes, dependendo da

aplicação. Por exemplo, a fim de obter melhoria na precisão, em relação ao manômetro vertical,

pode-se usar um manômetro inclinado, como o da figura 2-4, ou um manômetro de dois fluidos,

como o da figura 2-5, poderia ser usado para chegar à precisão desejada.

Figura 2-4 Figura 2-5

O método de relacionamento de diferenças de pressão a deflexões de coluna do fluido para

esses dois exemplos é basicamente o mesmo que o descrito para o manômetro de tubo em U.

Manômetros industriais

O Elemento Elástico ao receber a pressão a ser medida, faz com que este se desloque, acionando

um mecanismo com um ponteiro para indicação da pressão a ser medida.

O Tipo Helicoidal é mais usado para para medição de pressões maiores. O Tipo Espiral, para

pressões menores.

Vacuômetro digital com escala de 0 a 760

mmHg. Utilizado para monitoramento do

vácuo gerado durante o funcionamento de

sistemas .

Vacuômetros

Permite efetuar ensaios para verificar o estado de

funcionamento de válvulas, carburador e ignição.

Sistemas Hidráulicos

Prensas

F1 → Força aplicada

F2 → Força obtida

Relação de multiplicação de forças

Elevador hidráulico

Trem de aterragem aberto para pouso.

Freios

A função do pedal (p) é a de abrir o distribuidor D que alimenta (1) e (2).

Golpe de Aríete

Ciclos de carga: fadiga é um

fenômeno que afeta os MATERIAIS

que ficam submetidos a vários ciclos

de carga (fratura).

Tubulações

Industriais com

Prof. Laurênio

Quando a pressão local cai abaixo

da pressão de vapor do líquido

(pressão parcial das moléculas

gasosas expelidas naquela

temperatura), ocorre sua

vaporização, causando o

aparecimento de bolhas de gás ou

cavidades.

A cavitação é acompanhada de:

erosão, corrosão, perdas de

eficiência e vibração.

Cavitação

Força Hidrostática sobre uma superfície plana submersa (exemplos)

Comporta de parede

Comportas de fundo

Superfície Livre (SL)

Força Hidrostática (Empuxo) sobre uma superfície plana submersa

= ∫ dF (h) y'FR

Hh

y

O

p (H)

p (H) dA = dF (H)

p (h)

A

θ

Dedução da força de pressão (empuxo) em áreas planas

Primeiro momento de A em relação ao eixo x ( ).

yc = coordenadas do centróide de A.

pc = neste caso, pressão absoluta no líquido no centróide da área A.

y'FR

Hh

y

O

p (H)p (H) dA = dF (H)

p (h)

A

patm Superfície Livre (SL)

θ

pabs = patm + │pman│

C

Casos :

A) Quando patm atua na SL e no lado externo de A, seus efeitos se cancelam

(p0 = patm = 0) pc = pc man

B) Se p0 ≠ patm, então p0 deve ser medida como pman para descontar a patm

pC = p0 man + pC man

Conclusão: p0, que é a pressão atuante na SL, deve ser uma pressão manométrica em qualquer

caso. Logo, pC deverá ser sempre uma (A) ou, uma soma (B) de pressões manométricas!

MÓDULO: pressão no líquido no centróide da área x área. A pressão na SL do líquido deverá

ser tomada como pman.

Portanto, tem-se de resolver o problema do cálculo do centróide da área plana.

SENTIDO: contrário ao do vetor área.

DIREÇÃO: paralela à do vetor área.

( pC = pman em C )

Ponto de aplicação do empuxo em área plana (coordenadas do centro de pressão)

• Reconhecer que no caso geral as coordenadas do CP (x’ , y’ ) estão abaixo do CG (C) !

• O ponto de aplicação da FR (CP= r’ ) deve ser tal que o seu momento em relação a qualquer

eixo seja igual ao momento da força distribuída em relação ao mesmo eixo.

; ; ;

Para o eixo x: fazendo p0 = 0, FR = ρg sinθ yc A, p = ρgh e h = y sinθ :

mas,

O ponto de aplicação da FR (CP) está sempre abaixo do

centróide da área.

Produto de inércia de A em relação ao par de eixos que

passam pelo seu centróide.

Momento de inércia de A em

relação ao eixo x.

Assim,

Momento de inércia da área em relação ao eixo que passa pelo centróide.

Detalhes sobre o ponto de aplicação do empuxo (CP)

NA

y

z

θ

hc

yc

y'ER CG

CP

CG

A

. Mas,

Logo:Observe que o carregamento das “p” é variável com y!

Porém é invariável segundo o eixo OX ou paralelos, pois, as

“p” são as mesmas! (nesse eixo!)

Para áreas simétricas em relação à

e x’ = xc, logo o CP fica abaixo do CG e sobre o

eixo .

z

x

y

o

Síntese de empuxo hidrostático e ponto de aplicação em superfície plana submersa

1)

2)

3)

Momento de inércia da área em

relação ao eixo x que passa pelo seu

C.G. (xc,yc)

Produto de inércia da área em

relação ao par de eixos xy que passa

pelo C.G. (C)

patmNA

y

y

x

z

yc

xc

x'

y'

A

θ

o

C

(V-shaped Hull)

Exemplo em Enga. Naval

Propriedades (CG e I ) de áreas e volumes

Áreas Volumes

Empuxo hidrostático em superfície curva submersa

Para se somar uma série de vetores

atuantes em várias direções se SOMA

COMPONENTES dos VETORES em

relação à um sistema de coordenadas

conveniente.

Mesmo processo de cálculo do

empuxo em SUPERFÍCIES PLANAS!

Peso na projeção horizontal

da área.

• O empuxo é calculado em termos de seus componentes

• Na maior parte dos casos práticos, são os componentes paralelos e perpendiculares à SL que interessam

• Quando ocorrem os 3 componentes, a resultante não poderá ser expressa como uma única força

Componente vertical do empuxo em superfícies curvas

A componente vertical do empuxo para superfície curva é igual ao peso real (água em cima) ou

imaginário (água embaixo) do líquido ocupando o volume entre a superfície curva e a superfície

livre da água.

h

h

NA

p

Peso-Virtual

- Real

z

│dAz│

EXEMPLO 1: Calcular o vetor empuxo (E) sobre a comporta de 4m de largura e raio

2m.R = 2m

EH

EV

A

4

2

EH

EV

R/2

E

(Ponto de aplicação / sentido / direção)

(módulo)

EXEMPLO 2: Cálculo de áreas por integração

y² = 2x

AxAy

dx

dy

2

2

x

y

Pressões em tubos e reservatórios (vasos de pressão)

Hipótese de cálculo: a altura de pressão é grande em relação ao diâmetro (D).

pD

Portanto, pode-se considerar uma “isotropia de pressões” atuantes na estrutura.

Dimensionamento de parede e material

E

e

dsr

L

Equilíbrio entre forças solicitantes e resistentes

β = coeficiente de sobrepressão = 1,2

α = coeficiente de eficiência de solda ≈ 0,8

Empuxo sobre corpos imersos

Empuxo e estabilidade sobre corpos flutuantes

Navio francês zarpa durante a tempestade: helicóptero resgatou 26 tripulantes.

Metacentro

Se M estiver abaixo de G, instável.

Se M estiver acima de G, estável.

Altura metacêntrica (MG)

A estabilidade cresce com o aumento de MG.

Popa

Proa

• F1 Surge (u) – to move forward with force

• F2 Sway (v) – to move from side to side

• F3 Heave (w) – to rise and fall again several times

• M4 Roll – balanço

• M5 Pitch – caturro

• M6 Yaw – cabeceio

Movimentos de um sólido em um fluido (jargão naval)

Equilíbrio relativo

Fluido contido em recipiente que se move com translação acelerada

Em relação a:

O’XYZ (fixo Terra) fluido em movimento

Oxyz (sistema relativo, fixo no recipiente) após transiente, fluido em configuração estável, se: .

Como o fluido só estará em repouso em relação ao (Oxyz) que se move em relação à (O’XYZ) Equilíbrio

relativo. Principio de D`Alambert pode-se substituir o efeito da aceleração pelo efeito de uma força

fictícia de inércia ( Fi = - m a ).

As partículas fluidas não têm movimento em relação ao recipiente, não há τ Estática dos Fluidos.

Líquido em movimento de corpo rígido com aceleração linear

patm

Líquido em movimento de corpo rígido com velocidade angular constante

z

r

patm

Fluidos em movimento relativo (corpo rígido)

v = cte

ou

parado

x

x

y

y

ggax

ax ≠ 0

Aceleração linear

R

z

ω = 0

ω = cte

Velocidade angular

Estática dos fluidos: Nesses casos:

0-g

0

0-g

0

1

21

2

p = p (x,y) p = p (r,z)

ΔyΔx

Na SL (1 e 2) onde atua patm dp = 0 (p2 = p1)

1- (0;z1) e 2- (R2;z2) Expressões

gerais

Casos particulares

Translação uniformemente acelerada na vertical

ay = - g (desce em queda livre)

“Se o elevador desce em queda livre, as pressões no fluido serão constantes em todas as direções, ou seja,

elimina-se o efeito da gravidade.”

p = p (x, y, z) = cte

Y

XO

y

xo

Fluido

Elevador

ZERO G

ZERO G em queda livre

Envasamento de recipientes em esteiras

Sucção em bombas centrífugas

Observe que o ar acelera no estreitamento (maior pressão dinâmica), provocando uma sucção no

canudo (redução da pressão estática), que consequentemente pulveriza a água no interior do tubo.

Exemplo: Verificar que a condição mecânica de formação de vácuo (pman < 0) no eixo

de cilindro rotativo com líquido é de que ocorra alta velocidade angular ω.

R HO

Aω

z

r1

2

0

p = p (r, z)

0 (vácuo)

p

Como R, g e H são constantes, a condição é que a rotação (ω) seja alta!

Equações básicas para serem integradas em função do problema

e

Aceleração linear Velocidade angular

FIM