fisika matematika um

8/17/2019 Fisika Matematika UM

1/25

Transformasi Bentuk Integral Fisika Matematika II TI - 1

KULIAH 26

TRANSFORMASI LAPLACE DAN INVERSNYA

A. Pendahuluan

Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menemukan transformasi

Laplace dari suatu fungsi dan menentukan invres transformasi Laplace.

Jika fungsi variabel t , t et f )( diintegralkan seperti berikut

0 0

)()1(!)( pF p pdt et dt t t f t p p

yakni diperoleh suatu fungsi yang merupakan fungsi dari variabel p, F ( p); maka F ( p) merupakan

transformasi integral dari f (t ) atau sebaliknya, f (t ) adalah invers tranformasi dari F ( p)

B. Transformasi LaplaceTransformasi Laplace dari f (t ) dilambangkan dengan L( f ) atau F ( p):

0

)()()( pF dt et f f L pt (26.1)

dengan f (t ) = 0 untuk t < 0 (banyak definisi yang dipergunakan; perlu kehati-hatian ketikamenggunakannya).

Sebagai contoh, 1)( t f maka transformasi Laplace dari f (t ) adalah

pe

pdt e f L

pt pt 1

0

1)(

0

(26.2)

dengan p > 0 (jika p bilangan kompleks, maka Re p > 0).

Jika at et f )( maka transformasi Laplace dari f (t ) adalah

pat e padt e f L

t pat pa

1

0

1

)(

)(

0

)(

(26.3)

dengan (a + p) > 0

Beberapa kaidah pada transformasi Laplace1. Transformasi Laplace dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah dari transformasi

Laplacenya. Hal dapat dibuktikan sebagai berikut

0

)]()([)]()([ dt et gt f t gt f L pt

00

)()()]()([ dt et gdt et f t gt f L pt pt

)()()]()([ g L f Lt gt f L (26.4)2. Transformasi Laplace dari konstanta kali suatu fungsi sama dengan konstanta kali transformasi

Laplace dari fungsi tersebut

0 0

)()]([)]([ dt et f cdt et cf t cf L pt pt

)()]([ f cLt cf L (26.5)

Sebagai ilustrasi diberikan contoh sebagai berikut; jika pada (26.3) a diganti dengan – ia maka

at iat et f iat

sincos)( dan transformasi Laplacenya adalah

2222

1)(

a p

ai

a p

p

ia p pF


2/25


Dengan demikian dapat dituliskan

)(sin)(cos)sin(cos)( at iLat Lat iat Le L iat 2222

a p

ai

a p

p

(26.6)

Jika a diganti dengan ia maka at iat et f iat sincos)( dan transformasi Laplacenya adalah

2222

1)(

a p

ai

a p

p

ia p

pF

Dengan demikian dapat dituliskan

)(sin)(cos)sin(cos)( at iLat Lat iat Le L iat 2222

a p

ai

a p

p

(26.7)

Jika (26.6) ditambah (26.7) maka dapat diperoleh hasil

22)(cos

a p

pat L

(26.8)

yang merupakan pembuktian L4 (lihat Tabel 1)

Jika (26.6) dikurangi dengan (26.7) maka dapat diperoleh hasil

22)(sin a p

a

at L (26.9)

yang merupakan pembuktian L3

Jika pers (26.8) dituliskan secara lengkap22

0

cos)(cosa p

pdt at eat L

pt

kemudian didiferensialkan terhadap a maka akan diperoleh

22202

sin)sin(a p

apdt at t eat t L pt

(26.10)

yang merupakan pembuktian L11.

Beberapa hasil transformasi Laplace ditunjukkan oleh Tabel 1.

Tabel 1. Transformasi Laplace

Kode0);( t t f y

0;0)( t t f y

0

)()()( dt et f pF Y y L pt Persyaratan

L1 1 p

1 0Re p

L2 at e a p

1 0)Re( a p

L3 at sin 22a p

a

a p ImRe

L4 at cos 22a p

p

a p ImRe

L5 1; k t k 1!k

p

k atau

1

)1(

k

p

k 0)Re( a p

L6 1; k et at k 1

! k a p

k atau

1)1(

k

a p

k 0)Re( a p

L7ab

ee bt at

b pa p

1

0)Re( a p

0)Re( b p


3/25


Kode 0);( t t f y 0;0)( t t f y

0


L8ba

beae bt at

b pa p p

0)Re( a p 0)Re( b p

L9 at sinh 22 a p

a

a p ReRe

L10 at cosh 22a p

p

a p ReRe

L11 at t sin 2222

a p

ap

a p ImRe

L12 at t cos 222

22

a p

a p

a p ImRe

L13 bt e

at

sin

22 ba p

b

ba p ImRe

L14 bt e at cos 22 ba p

a p

ba p ImRe

L15 at cos1 222

a p p

a

a p ImRe

L16 at at sin 2223

a p p

a

a p ImRe

L17 at at at cossin

2

22

32

a p

a

a p ImRe

L18 at e at 1 2a p

p

0)Re( a p

L19t

at sin

p

aarctan a p ImRe

L20 t

bt at cossin

0;0 ba

p

ba

p

baarctanarctan

2

1 0)Re( a p

L21 t

ee bt at

a p

b p

ln

0)Re( a p

0)Re( b p

L22

t

aerf

21

0a

pae

p

1 0Re p

L23 )(0 at J 22

1

a p

a p ImRe

jika a real 00Re a


4/25


Kode0);( t t f y

0;0)( t t f y

0


L24

at

at t f

,0

0,1)(

[fungsi berundak,

dituliskan )()( at ut f ]

pae p

1 0Re p

L25 )()()( bt uat ut f

p

ee bpap

pSetiap

L26

2

tanh1 ap

p

0Re p

L27 )( at ; 0a pae

L28

at

at at gt f

,0

0),()(

)()()( at uat gt f

)( pGe pa

)( pG adalah )(g L

L29 )(t ge at )( a pG

L30)(tag ; 0a

a

pG

a

1

L31t

t g )( dapat diintegralkan

p

duuG )(

L32 )(t gt n n

nn

dp

pGd )()1(

L33 t

d g0

)( pG p

1

L34

t

d ht g0

)()(

t

d gt h0

)()(

(konvolusi, g*h)

)( p H pG

L35

Transformasi dari turunan

n

y

y

y

y

1

00

2

0

1

000

23

00

2

0

...)(

)(

)(

)(

nnnnn

y y p y pY p y L

y y p y pY p y L

y pyY p y L

y pY y L

1

bat

1

2aa

t

-13a


5/25


Invers dari transformasi Laplace ditentukan dengan menuliskannya ke dalam bentuk seperti bentuk

dalam table kemudian menemukan fungsinya dari Tabel 1. Sebagai contoh, invers dari 22

1

p

p

adalah ditentukan dengan menuliskannya ke dalam bentuk

222

22

1

2

1

p

p

p p

p

Dengan membandingkan suku pertama dengan L6 pada Tabel 1 dapat diperoleh bahwa

1k and 2a ; sehingga invers dari suku pertama adalah t tet f 2 . Dengan cara yang samainvers suku kedua dapat diperoleh dengan membandingkannya dengan L18 untuk memperoleh

2a sehingga invers suku kedua adalah t et f t 212 . Dengan demikian invers dari 221

p

p

adalah t et etet f t t t 121 222 (26.11)

Soal-soal 26

1.

Tulislah L2 dalam bentuk pa

dt e t pa

1

0

dan kemudian diferensialkan terhadap p untuk

membuktikan L5 and L6. Tunjukkan bahwa pt

L

1

2. Dengan menggunakan L2, buktikan L7 dan L8

3. Dengan menggunakan L2 atau L3 dan L4 buktikan L9 dan L10

4. Dengan pendiferensialan suatu formula terhadap a buktikan L12

5.

Dengan pengintegrlan suatu formula terhadap a buktikan L19

6. Dengan mengganti a pada L2 dengan a + ib dan kemudian dengan a – ib dan penjumlahan dan

pengurangan hasilnya, buktikan L13 dan L14

7.

Buktikan L15, L16, L17, dan L18 dengan kombinasi formula-formula yang cocok8. Tunjukkan bahwa kombinasi antara L3 dengan L10, L13, L14, dan L18 akan memberikan

invers transformasi dari suatu fungsi yang berbentuk E DpCp

B Ap

2

9. Buktikan L32 untuk n = 1 (diferensialkan persamaan (26.1) terhadap p)10.

Gunakan L32 dan L3 untuk membuktikan L11

11.

Gunakan L32 dan L11 untuk memperoleh )sin( 2 at t L

12.

Gunakan L31 untuk membuktikan L21

13. Buktikan L29dengan formula transformasi Laplace (26.1)

14. Gunakan L29 untuk membuktikan L6, L13, L14, dan L18

15.

Gunakan L29 dan L11 untuk memperoleh )sin( at te L at dan )cos( at te L at yang tidak terdapat pada tabel.

16. Buatlah grafik t sin ; )2/sin( t ; )2/sin( t dan amatilah bagaimana grafik bergeser

17. Gunakan L28 untuk menentukan transformasi Laplace dari

2/,0

2/),2/sin()(

t

t t t f

18.

Tentukan transformasi dari

v xt

v xt vt xt f

/,0

/),sin()( ( x dan v konstan)

19. Gunakan L28 untuk menunjukkan bahwa

0

0 1)( dt t J

20. Gunakan L15 dan L31 untuk menentukan transformasi Laplace dari

t

at cos1.


6/25


21. Gunakan L32 dan L9 untuk menentukan transformasi Laplace dari at sinht .

22. Gunakan L13 untuk menentukan transformasi Laplace dari at sinhat sin .

23.

Gunakan tabel transformasi Laplace untuk menghitung

0

43 2 dt t sinhet t

24. Gunakan tabel transformasi Laplace untuk menghitung

0

1

21

n

n

n

t ndt te

25.

Gunakan L23 dan L34 dengan 0 J hg untuk menunjukkan fungsi t J 0 dan t n J 0 adalahorthogonal pada ,0 .

Tentukan invers transformasi Laplace dari

26. 228

p

p (gunakan L6 & L18) 27.

2

252

p p

p (use L7 and L8) 28.

253

232

p p

p

29.

102

122

p p

p (gunakan L13 & L14) 30.

25

1032

p

p 31.

204

62

p p

p

32.44

3

p p

33.1

14 p

34. 1

12

p p

p 35.

164

3

p p

36.8

33

2

p p

37. 11

2 p p 38.

646

5

p p

39. 2

2

1

1

p p

p 40.

14 p p

41. 3a p

p

42. 222

2

a p

p

43.

3221

a p 44.

221

a p 45. )1( 2 p pe p

46.

54

122

2

p p

p p 47.

4122

2

p p

p 48.

412

p p

p 49.

2

2

p

e p

. (gunakan L5&L7)


7/25


8/25


Gunakan L35 yakni Y y pyY p y y L 4)4( 002 dan L3 yaitu

4

2)2(sin

2

pt L untuk

mendapatkan4

2)4(

200

2

p y pyY p

Substitusikan syarat awal untuk mendapatkan

4210)4(

2

2

p pY p atau

222 42

410

p p pY

Dengan bantuan L4 dan L17 diperoleh invers transformasinya sebagai solusi dari PDB yakni

)2cos22(sin8

12cos10 t t t t y

t t

t t y 2cos4

2sin8

12cos10

Pada kedua contoh ini, invers transformasi langsung dapat dilihat pada tabel karena bentuknya

sederhana. Adakalanya bentuk terpisah (seperti contoh 2) dapat ditemukan pada tabel sehingga

tidak perlu digabungkan. Sebagai ilustrasi diambil contoh 2; 222 4

2

4

10

p p

pY dapat langsung

ditemukan pada tabel tetapi bila digabungkan; 22

3

4

24010

p

p pY malah tidak dapat ditemukan

pada tabel.

Adakalanya hasil penggabungan ditemukan pada tabel sedangkan bentuk terpisahnya malah

tidak ditemukan pada tabel. Contoh

3

34

1

11

3

4

1

122 p

p

p p pY

)3)(1(

1

)3(

1

)1)(1(

1

p p p

p

p pY

Contoh 3

Tentukan solusi dari t e y y y 20134 jika 10 y ; 30 y .

Gunakan L35 yaitu Y y pY y pyY p y y y L 1344)134( 0002 dan L2

1

20)20(

pe L t

untuk memperoleh

1

201344

000

2

pY y pY y pyY p

Substitusikan syarat awal untuk mendapatkan

1

20134432

pY pY pY p

7

1

20

134

12

p p p p

Y

1341278

2

2

p p p

p pY

9212782

2

p p

p pY


9/25


Bentuk ini belum dapat ditemukan pada tabel, tetapi dengan pengubahan penyebutnya agar seperti

penyebut pada L2, L13 atau L14 maka akan dapat ditentukan inversnya. Cara pengubahan

penyebutnya adalah sebagai berikut.

13411341278

22

2

p p

C Bp

p

A

p p p

p p

Dengan prinsip penyamaan pada penyebutnya, maka diperoleh

))(1()134(278 22 C Bp p p p A p p

)13()4()(278 22 C A pC B A p B A p p Persamaan ini benar jika dipenuhi

1 B A dan 84 C B A dan 2713 C A sehingga diperoleh 2 A , 1 B , dan 1C .Dengan demikian diperoleh

921

1

22

p

p

pY

922

92

3

1

2

92

23

1

2222

p

p

p p p

p

pY

Dengan menggunakan L2, L13 dan L14 akan diperoleh

t et ee y t t t 3cos3sin2 22

Contoh 4Tentukan solusi dari set PDB yang tergandeng berikut

02 z y y 02 z y z jika 10 y ; 00 z .

Transformasi Laplace dari masing-masing PDB

Z Y y pY z y y L 2)2( 0

Z Y z pZ z y z L 22 0 Substitusi syarat awal akan menghasilkan1)2( Z Y p 0)2( Z pY

Dua persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara substitusi, eliminasi, determinan atau cara yang

lain. Jika diselesaikan dengan cara eliminasi, maka kalikan persamaan pertama dengan )2( p

kemudian tambahkan dengan persamaan kedua untuk memperoleh 12

22

p

pY dan

121

2

p Z

Dengan L14 akan diperoleh t e y t cos2 dan dengan L13 akan diperoleh t e z t sin2 Cara lain untuk memperoleh z adalah dengan menggunakan PDB, misal PDB yang pertama

t et et et e y y z t t t t sinsincos2cos22 2222

Selain untuk menyelesaikan persamaan diferensial, transformasi Laplace juga dapatdigunakan untuk menentukan integral.

Contoh 5

0

2 3cos1 dt t e t dapat ditentukan dengan menggunakan L15 untuk 3;2 a p :

0

22

22

26

9

)32(2

33cos1 dt t e t


10/25


Soal - Soal 27

Tentukan solusi PDB dengan syarat awal yang diberikan dengan transformasi Laplace

1. t e y y 2 dengan 00 y 2.t e y y y 244 dengan 00 y ; 40 y

3. t y y sin dengan 10 y ; 00 y 4. t y y sin dengan 00 y ;2

10 y

5.

t

te y y y

3

96 dengan 00 y ; 50 y 6. 444 y y y dengan 00 y ; 20 y 7. t y y 4cos816 dengan 00 y ; 00 y 8. t y y 4cos816 dengan 00 y ; 80 y

9. t e y y y 2644 dengan 00 y ; 00 y 10.t e y y 244 dengan 00 y ; 10 y

11. t t tee y y 2 dengan 10 y ; 20 y 12. t y y 2sinh5 dengan 00 y ; 20 y

13. t te y y 244 dengan 00 y ; 10 y 14. t y y 3cos9 dengan 00 y ; 60 y

15. t y y 3cos9 dengan 20 y ; 00 y 16. 1265 y y y dengan 20 y ; 00 y

17. t e y y 34 dengan 10 y ; 30 y 18.t e y y y 25 dengan 10 y ; 20 y

19. t y y y 32168 dengan 10 y ; 20 y 20.t e y y y 32654 dengan 10 y ; 50 y

21. t y y y cos1052 dengan 20 y ; 10 y 22. t y y y cos1052 ; 00 y ; 30 y 23. t y y y cos22 dengan 50 y ; 20 y 24. t e y y y

t cos254 2 ; 00 y ; 30 y

25. t e y y y t 3cos6102 dengan 00 y ; 10 y

Tentukan solusi dari set PDB berikut dengan metode transformasi Laplace

26. 03 z z y 000 y y

0 z y 4

30 z

27. t z y cos2 10 y

1 y z 10 z

28. 12 y z y 100 z y t y z

29. 12 z y 00 y

t z y 22 10 z

30. 0 z z y 1;0 00 y y t e z z y 12 10 z ; 10 z

31. 02 y z 000 z y 22 z y

32. t y z y cos 000 y y

02 z y y 00 z

Hitunglah integral berikut dengan menggunakan transformasi Laplace

33.

0

23sin dt t e t 34.

0

5sin dt t te t 35.

0

32sin

dt t

t e t

36.

0

25dt et

t

37.

0

2cos1 dt t e t 38.

0

2

dt t ee

t t

39.

0

22

dt t ee

et t

40.

0

2 2sin1 dt t et

t

41.

0

3cos2sin

1dt t t e

t

t 42.

0

0 )2( dt et tJ t

Tentukan persamaan diferensial berikut dengan transformasi Laplace

43. t sec y y 2 44. t sint y y


11/25


12/25


1. Transformasi Fourier Bentuk Sin

Jika )( x f fungsi ganjil maka

0

sin)(2

)(

d xg x f ss (28.5a)

0 sin)(

2

)( dx x x f g ss (28.5b)

2. Transformasi Fourier bentuk cos

Jika )( x f fungsi genap maka

0

cos)(2

)( dx xg x f cc

(28.6a)

0

cos)(2

)( dx x x f g cc

(28.6b)

Jika suatu fungsi diberikan pada 0 x , maka dapat ditentukan transformasi Fourier bentuk sin atau bentuk cos dengan mengembangkannya menjadi fungsi ganjil atau genap. Hal tersebut juga dapatditentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial jika pada interval lain bernilai nol.

Contoh 1

Sebuah fungsi rektanguler non periodik

diberikan oleh

1,0

11,1)(

x

x x f (D7.a)

memiliki transformasi Fourier sebagai berikut

1

12

1)(

2

1)( dx

xiedx

xi e x f g

sin

2

1)(

1

1

i

eg

xi

(D7.b)

Fungsi

sin didefinisikan sebagai fungsi

sinc .

sinc memiliki sifat

sinc 0 = 1

sinc n = 0 untuk n integer

1sin

d c

Jadi dapat disimpulkan bahwa transformasi dari fungsi rekatanguler adalah fungsi sinc.

Contoh 2

Untuk menentukan nilai integral tertentu, jika disubstitusikan )( g dalam persamaan (D7.b) ke

dalam )( x f dalam persamaan (D7.a) maka diperoleh

0

cossin2

)()(

d

x

d eg x f xi

.

Dengan demikian hasil ini dapat digunakan untuk menentukan nilai dari

1

-1 1

sinc

Gambar 1b

Gambar 1a


13/25


14/25


1

1

Gambar 3

– 1

– 1

Contoh 4

Tentukan transform Fourier bentuk sin dari fungsi pada contoh 3.

Untuk itu, kita kembangkan fungsi pada 0 x sehingga menjadifungsi ganjil seperti ditunjukkan Gambar 3 di samping.

Transform Fourier bentuk sin ditentukan sebagai berikut

1

00

22

dx xsindx xsin x f g ss

cos xcosgs

122

0

1

(28.12)

Substitusikan (28.12) ke dalam )( x f pada (28.6a) untuk memperoleh

00

122d xsin

cosd xsing x f ss (28.13a)

Kita dapat menggunakan (28.13a) untuk menghitung integral tertenti. Dengan menggunakan)( x f pada gambar di atas, kita peroleh

1,4

1,0,0

10,2

01,2

2sin

cos1

0

x

x x

x

x

x f d x s

(28.13b)

Untuk x = 1, kita peroleh

4

1

0

d sincos

(28.13c)

Soal – Soal 281. Turunkan bentuk transformasi Fourier cos.

2.

Kerjakan seperti contoh jika fungsi f ( x) adalah

1,0

10,1

)( x

x

x f

Tentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial dari f ( x) yang diberikan dan tentukan f ( x)

sebagai bentuk integral (setelah )( g disubstitusikan)

3.

x

x

x

x f

,0

0,1

0,1

)( 4.

selainnya

x x f

,0

2/,1)(

5.

selainnya

x x f

,0

10,1)(

6.

1,0

1,)(

x

x x x f 7.

1,0

1,)(

x

x x x f 8.

selainnya

x x x f

,0

10,)(


15/25


9. 10.

11.

2/,0

2/2/,cos)(

x

x x x f 12.

2/,0

2/,sin)(

x

x x x f

Tentukan transformasi Fourier bentuk cos dari fungsi yang dituliskan nomor soalnya dan tentukan

f ( x) sebagai bentuk integral (setelah )( g disubstitusikan). Tunjukkan hasilnya sama sebagaimanayang diperoleh pada transformasi Fourier bentuk eksponensial.

12. soal no 4 13. soal no 7 14. soal no 9 15. soal no 11

Tentukan transformasi Fourier bentuk cos dari fungsi yang dituliskan nomor soalnya dan tentukan

f ( x) sebagai bentuk integral (setelah )( g disubstitusikan). Tunjukkan hasilnya sama sebagaimana

yang diperoleh pada transformasi Fourier bentuk eksponensial.

16. soal no 3 17. soal no 6 18. soal no 10 19. soal no 12

20. Tentukan transformasi Fourier dari)22/(2

)( x

e x f

21. Tunjukkan bahwa

1,0

11,2sin)(

0

1

x

x x

d x j

22.

Tunjukkan bahwa2

sincos1

0

d ;4

sincos1

0

d

23. (a). Tentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial dari x

e x f )( (jawabnya adalah

xe

x

21

cos

0

2

); (b) Tentukan transformasi Fourier bentuk cos dari soal a; (c) Tentukan

transformasi Fourier bentuk cos dari21

1)(

x x f

24. (a) Tentukan transformasi Fourier bentuk eksponensial dari

selainnya

x x x f

,0

0,sin)(

;

(b) Tunjukkan bahwa hasil soal a adalah

0

21

)(coscos1)(

d

x x x f

25. Tunjukkan bahwa2

cos1

0

2

d

Tentukan (a) transformasi Fourier bentuk cos, (b) transformasi Fourier bentuk sin dari

26.

2/,0

2/0,1)(

x

x x f 27.

4,20,0

42,1)(

x x

x x f

2a

-a a

2a

-a a

-2a


16/25


17/25


KULIAH 29

Konvolusi

A. Pendahuluan

Setelah mengikuti perkuliahan ini diharapkan Saudara mampu menentukan transformasi Fourier

dari konvolusi, transformasi Laplace dari konvolusi dan menerapkan teorema Parseval untukmenyelesaiakan permasalahan yang terkait.

B. Definisi Konvolusi

Konvolusi fungsi t g dan t h didefinisikan sebagai berikut

t

d ht gt ht gt f 0

)()()()()( (29.1)

Pengertian konvolusi diilustrasikan oleh gambar di bawah. Fungsi t h ditunjukkan oleh gambar 4adi bawah ini. Anggao t g adalah fungsi tidak simetris sebagaimana ditunjukkan oleh gambar 4b.

Fungsi h , fungsi yang digeser t g dan perkalian fungsi t g h ditunjukkan olehgambar 4c. Konvolusi t g dan t h adalah t f yang ditunjukkan oleh gambar d. Konvolusi iniadalah luas dibawah kurva perkalian fungsi t g h untuk seluruh nilai t . Hasil perkaliannyatidak nol hanya pada daerah t g yang tidak nol yaitu daerah di mana kedua kurva tumpangtindih.

h(t)

tg(t)

t

f(t)

h()

g(t-)

h()g(t-)

Gb 4

d

c

b

a


18/25


Sebagai contoh, jika t et g 3)( dan t et h 2)( maka tentukan )()( t ht g dan )()( t gt h

Karena t

d ht gt ht g0

)()()()( maka berdasarkan soal yang diberikan

)(3)( t et g dan 2)( eh sehingga dapat diperoleh

t t

t

t

t

t eed eed eet ht g 230

3

0

2)(3)()(

Karena t

d gt ht gt h0

)()()()( maka berdasarkan soal yang diberikan

)(2)( t et h dan 3)( eg sehingga dapat diperoleh

t t

t

t

t

t eed eed eet gt h

23

0

2

0

3)(2)()(

Dengan demikian terlihat bahwa )()( t ht g = )()( t gt h

1. Transformasi Laplace dari Konvolusi Jika )( pG dan )( p H adalah transformasi Laplace dari )(t g dan )(t h maka berdasarkan

definisi dapat diperoleh

00

)(.)()()( dt et hdt et g p H pG pt pt (29.2)

Karena variabel adalah variabel dummy maka bentuk di atas dapat dituliskan dengan variabel lain

0 0

)(

00

)()()(.)()()(

d d hged ehd eg p H pG p p p (29.3)

Dengan pengubahan variabel t pada integrasi terhadap (variabel tetap) maka dapatdiperoleh dt d , batas integralnya menjadi t (saat 0 ) dan t (saat ), dan

0

)()()()(

t

pt d dt ht ge p H pG (29.4)

Integral lipat dua dalam persamaan (29.4) dilakukan

pada luasan segitiga pada kuadran pertama di bawah

garis t (lihat gambar 5). Pada persamaan (29.4)integral dilakukan terhadap variable t dulu kemudian

terhadap . The limit of integration is to: t t

to0: Now, we integrate with respect to first and then withrespect to t . From Figure 3, we find the limit ofintegration is

t to0: to0:t

Using this change of the order of integration, we get

Gambar 5


19/25


Dengan pengubahan urutan integral maka dapat diperoleh

0 0

)()()()(t

t

pt d dt ht ge p H pG

dt d ht ge p H pG

t

pt

0 0

)()()()(

)*()()( hg L p H pG (29.5)(sebagaimana pada L34 dalam tabel transformasi Laplace)

Salah satu aplikasi transformasi Laplace dari suatu konvolusi adalah untuk penyelesaian

persamaan diferensial. Sebagai contoh adalah penentuan solusi dari t e y y y 23 jika000 y y . Tentukan transformasi Laplace untuk masing-masing suku pada sisi kiri dan biarkan

sisi kanan.

)(232 t e LY pY Y p atau )(23

12

t e L p p

Y

Dengan menggunkan L7 pada tabel transformasi Laplace maka dapat dipreoleh

)()()()( 2 p H pGe Lee LY t t t y (invers dari Y ) adalah konvolusi )(t g dan )(t h dengan t t eet g 2)( dan t et h )( . Denganmenggunakan )()( t ht g = )()( t gt h untuk menentukan fungsi yang paling sederhana untukvariabel t maka dapat diperoleh

t

d t hgt ht g y0

)()()()(

t t

t t d eed eee y

0 0

)(22 1

t t t

eete y

2

2. Transformasi Fourier dari Konvolusi

Jika )(1 g dan )(2 g adalah transformasi Fourier dari )(1 x f dan )(2 x f maka berdasarkan

definisi (pers 28.2) dapat dituliskan

1 2 1 2

1 1( ). ( ) ( ) . ( )

2 2

i v i ug g f v e dv f u e du

( )

1 2 1 2

1( ). ( ) ( ) ( )

2

i v ug g e f v f u dv du

(29.6)

Pengubahan variabel uv x akan memberikan hasil dvdx pada integral v dan1 2 1 2

1( ). ( ) ( ) ( )

2

i xg g e f x u f u dx du

1 2 1 2

1( ). ( ) ( ) ( )

2

i xg g e f x u f u du dx

(29.7)

Jika didefinisikan konvolusi dari )(1 x f dan )(2 x f sebagai

duu f u x f f f )()(* 2121 (29.8)

maka


20/25


1 2 1 2 1 2

1 1 1( ). ( ) * . *

2 2 2

i xg g f f e dx transformasi Fourier dari f f

(29.9)

Dengan kata lain 21 .gg dan 1 21

2 f f

merupakan pasangan transformasi Fourier atau secara

matematis dapat dituliskan

1 2 1 2

1 1.

2 2

i x f f g g e d

(29.10a)

11 2 1 22

1.

2

i xg g f f e dx

(29.10b)

Dengan cara yang maka dapat diperoleh

11 2 1 2 1 221 1

. * .transformasi Fourier transform dari *2 2

i x f x f x g g e d g g

(29.11)

dengan

d gggg )()( 2121 (29.12)

atau dengan kata lain 11 22

g g

dan 21 . f f merupakan pasangan transformasi Fourier

3. Teorema Parseval

Untuk deret Fourier yang berbentuk kompleks

n

l

xin

nec f(x)

dengan

l

l

l

xin

n dx f(x) el

c

2

1

berlaku teorema Parseval

dx x f

2

)(2

1

=

nnc

2

.

Analog dengan ini, untuk transformasi Fourier yang berbentuk

1( ) ( )

2

i x f x g e d

1( ) ( )

2

i xg f x e dx

berlaku teorema Parseval

2 2( ( )g d f x dx

(29.13)

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut. Pertama adalah menentukan transformasi Fourier dari

fungsi konjuget )( x f dengan cara sebagai berikut.

1 1

1( ) ( )

2

i xg f x e dx

(29.14)

Konjaget (29.14) adalah

1 1

1( ) ( )

2

i xg f x e dx

(29.15)

Kalikan (29.15) dengan2 2

1( ) ( )

2

i xg f x e dx

integralkan terhadap

* *1 2 1 21

( ) ( ) ( )2

i xg g d f x e dx g d

(29.16)


21/25


Kita ubah urutan integral sisi kanan (29.16) sehingga kita integralkan pertama kali terhadap

**

1 2 1 2

1( ) ( ) ( )

2

i xg g d f dx g x e d

(29.17)

Berdasarkan definisi transformasi Fourier yang kita terapk di sini maka diperoleh

**

1 2 1 2( ) ( )g g d f f x dx

(29.18)

Jika kita set ggg 21 dan f f f 21 maka kita peroleh teorema Parseval untuk transformasiFourier

2 2

g d f x dx

(29.31)

sebagaimana dituliskan di depan.

Soal-soal 29

1.

Dengan substitusi t u , tunjukkan bahwa ghhg

2.

Gunakan L34 dan L2 untuk menentukan invers transform dari )()( p H pG jikaa p

pG 1

)(

danb p

p H

1

)(

Gunakan integral konvolusi untuk menentukan invers transform dari

3. 1

1.

112222

p p

p

p

p 4.

21

b pa p 5.

2b pa p p

6. 22

1

b pa p 7.

22 b pa p p

8.

c pb pa p 1

9. 2

23 p p

10. 222

1a p p

11. 2222 b pa p

p

12. 2222

1

b pa p p

13. Gunakan tabel transformasi Laplace untuk menentukan t

d t et f 0

)sin()(

Tentukan solusi PDB berikut dengan menggunakan konvolusi

14. 0;65 002 y ye y y y t

15. 0;43 003 y ye y y y t

16. t sec y y 2 17. t sint y y

18. Tentukan solusi PDB )(2 t f ya y dengan

0,1

0,0)(

t

t t f dan 000 y y

19. Gerak harmonik sederhana diwakili oleh PDB )(2 t f y y . Tentukan y jika

lain yang

at t f

,0

0,1)(


22/25


Buktikan teorema Parseval untuk fungsi berikut

20.

1,0

11,1)(

x

x x f

21. 22 2 / xe x f

22. x

e x f )(

23. Tentukan bentuk teorema Parseval untuk transformasi Fourier sin dan cos

24. Gunakan teorema Parseval dan

2/,0

2/2/,cos)(

x

x x x f untuk menghitung

0

22

2

1

2d

/ cos

25.

Tunjukkan bahwa jika transformasi Fourier didefinisikan sebagai

( ) ( ) i x f x g e d

1( ) ( )

2

i xg f x e dx

maka Torema Parseval menjadi2 21

( ) ( )2

f x dx g d

26.

Gunakan substitusih

p

2 ; )()( x x f ; dan )(

2)( p

hg

pada

d gdx x f 22

)()( untuk menunjukkan bahwa

dphipx e ph

x/2

)(1

)(

dxhipx e xh

p/2

)(1

)(

dp pdx x22

)()(

27.

Tentukan normalisasi ( N ) dari fungsi 22

2 / xe x f . Kemudian misalkan )()( x Nf x untuk

menentukan )( p sebagaimana pada soal no 26. Tunjukkan bahwa 1)(2

dp p

1

-1 1


23/25


24/25


d ea x a xi )()( (30.8b)

Contoh, gelombang listrik yang berbentuk t At f 0sin)( memiliki transformasi Fourier

dt i

ee Adt

t i et f g

t it i

22)(

2

1)(

)()( 00

dt edt e

i

Ag

t it t it ))(())(( 00

2

1

2

1

2)(

Dengan bantuan (30.8b) dan sifat )()( t t maka dapat diperoleh

)(2

)(2

)( 00 i A

i A

g

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa transformasi Fourier dari fungsi sin adalah fungsi delta

Dirac yang dapat digambarkan sebagai berikut

Soal – Soal 30

1. Tentukan invers transformasi Laplace dari2

2

p

e p dengan integral konvolusi

2. Buktikan L24 dengan integral konvolusi.

3. Buktikan L28 dengan integral konvolusi.

4. Tunjukkan bahwa 1)(

dt t f n untuk

lain yang

t t net f

t t n

n0

;)( 0

)( 0

dan

lain yangn

t t t nt f n

0

1;

)( 00

5.

Tentukan solusi dari persamaan diferensial )(2 t f y y , 000 y y dengan

lain yang nt t t n

t f n0

1;

)(00

. Ambil n dan tunjukkan bahwa solusi persamaan diferensial

adalah )(sin1

0t t y

untuk 0t t

6. Anggaplah suatu sistem listrik atau mekanika dideskripsikan oleh persamaan diferensial

)(t f Cy y B y A dengan 000 y y . (a) Tentukan solusi persamaan diferensial dengan

integral konvolusi. Jika

lain yangn

t t t nt f n

0

1;

)( 00 maka tentukan y untuk n . (b) Tentukan

y jika )()( 0t t t f ; (c) Solusi y pada bagian (a) dan (b) disebut sebagai respon sistem

terhadap impuls satuan. Tunjukkan bahwa respon sistem pada impuls satuan pada 00 t adalahinvers transformasi Laplace dari fungsi transfer.

sin 0t

0

0

i A2


25/25

Dengan mengunakan transformasi fungsi delta Dirac, tentukan respon dari masing-masing sistem

terhadap impuls satuan (lihat soal 6 c) dengan 000 y y

7. )(2 0t t y y y 8. )(54 0t t y y y 9. )(102 0t t y y y

10. )(9 0t t y y 11. )( 044

t t dt

yd

Daftar Rujukan1. Mary L. Boas, ‘Mathematical Methods in the Physical Sciences’, 3rd edition, John Wiley & Son,

2005.

2. K.F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence, ‘Mathematical Methods for Physics and Engineering’,

3rd edition, Cambridge University Press, 2006.

3.

K.T. Tang, ‘Mathematical Methods for Engineers and Scientists 1, 2, 3’, Springer Verlag,

Berlin, 2006.

4. Tai L. Chow, ‘Mathematical Methods for Physicists: A Concise Introduction’, CambridgeUniversity Press, 2003.

5. Arfken & Weber, ‘Mathematical Methods for Physicist’, Elsevier Academic Press, California,

USA, 2005

fisika matematika um

Documents