fisicasebenta

8/8/2019 FisicaSebenta

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UNIVERSIDADE DO ALGARVE

FACULDADE DE CIENCIAS E TECNOLOGIADepartamento de Fsica

Sebenta de Fsica

Licenciatura em Ciencias Farmaceuticas

Leonor Cruzeiro


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cL. Cruzeiro (2003), todos os direitos reservados Grandezas Fsicas 1

Captulo 0. Grandezas Fsicas

cLeonor Cruzeiro (2003)

1 Unidades

O objectivo da Fsica e construir imagens do Universo. Desse ponto de vista naoe muito diferente da Biologia, cujo objectivo e construir imagens dos sistemas vivos.

Mas enquanto a Biologia comecou por ser uma ciencia largamente descritiva (em certosramos continua a ser assim), a Fsica foi, desde o princpio, uma ciencia quantitativa.Os modelos que desenvolve devem nao so dar uma imagem do Universo, de como osfenomenos ocorrem, quais as suas causas e os seus efeitos, assim como devem possi-bilitar previsoes quantitativas. Por isso, desde o incio as medicoes tiveram um lugarmuito importante no desenvolvimento das teorias fsicas. Uma teoria fsica legtimanao e apenas uma possvel explicacao de um acontecimento, deve poder ser usada paraprever fenomenos ainda novos e so e considerada valida quando esses fenomenos pre-vistos sao observados. Nas aulas praticas sera feita a demonstracao de como se fazemmuitos tipos de medicoes.

Medir uma grandeza consiste em comparar um dos seus atributos com uma re-ferencia. Quando dizemos que a Terra tem uma dimensao de 130,000 km, ou seja, 130milhoes de metros, estamos a comparar o seu tamanho com um padrao. Esse padraocomecou por ser a distancia entre duas marcas feitas numa placa de platina iridiada.Mas como as comparacoes com um padrao que se encontra fechado no laboratorio, alemde ser imprecisas, nao se fazem muito facilmente, depois de varias outras definicoes, em1983, adoptou-se um outro padrao para o metro, que se define agora como a distanciapercorrida pela luz no vacuo durante numa fraccao de 1/299,792,458 de um segundo.

Teremos ocasiao de estudar varios tipos de sistemas fsicos, mas para ja concentremo-

nos nos sistemas mecanicos. As quantidades mecanicas podem ser caracterizadas portres grandezas fundamentais: o comprimento, o tempo e a massa. Tal como o com-primento, tambem o tempo e a massa tem os seus padroes. Uma unidade de tempoe o segundo que se define como o tempo necessario para completar 9,192,631,770 vi-bracoes de um atomo de 133Cs. A forma como se definem actualmente os padroes docomprimento e do tempo estao associadas a precisao com que e possivel medir essasquantidades. Por exemplo, neste momento e possivel medir intervalos de tempo comuma precisao de 1 segundo em 30,000 anos.

A unidade de massa podia ser definida como a massa de 5.0188 x 1025 atomos de12

C mas a precisao com que e possivel medir a massa nao e comparavel com a ordemde grandeza das massas atomicas. Por isso, a massa-padrao continua a ser a massa de


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um bloco de platina guardada num laboratorio internacional de padroes, com 1 kg.

Qualquer medicao so faz sentido num certo sistema de unidades. Mas existem sis-temas de unidades diferentes. Quando dizemos que a unidade de comprimento e o

metro, e a unidade de tempo e o segundo e a unidade de massa e o kilograma, estamosa falar de um sistema de unidades particular, o Sistema Internacional (SI). Um outrosistema de unidades e o sistema CGS. No sistema CGS a unidade tempo e tambemo segundo mas a unidade de comprimento e o centmetro e a unidade de massa e ograma. Outras unidades de comprimento sao por exemplo, a milha ( 1.609344 km) e apolegada ( 2.54 cm).

O comprimento, a massa e o tempo sao grandezas fundamentais dos sistemasMecanicos, que sao grandezas que se definem sem recorrer a relacoes com qualqueroutra. Outras grandezas fsicas fundamentais sao a temperatura para um sistema ter-modinamico e a carga para um sistema electrico. Alem das grandezas fundamentais,ha ainda as grandezas derivadas, como a velocidade, que e o espaco percorrido porunidade de tempo. As grandezas derivadas definem-se a partir de outras j a definidas.Neste curso vamos usar preferencialmente o sistema SI, que e o sistema de unidadesmais generalizado. Definir-se-ao as unidades para outras grandezas a medida que for-mos tratando delas.

2 Equacoes de Dimensoes

2.1 O que sao equacoes de dimensoesComo ja sabemos as grandezas derivadas sao definidas a partir de outras que ja forampreviamente definidas. A grandeza aceleracao, por exemplo, e definida a partir dasgrandezas velocidade e tempo. Como, porem, a grandeza velocidade e definida a partirdas grandezas comprimento e tempo conclui-se que sera possvel definir a grandeza acel-eracao (grandeza derivada) a partir das grandezas comprimento e tempo (grandezasfundamentais). Por este processo, todas as grandezas derivadas que se estudam naMecanica podem ser relacionadas com as grandezas fundamentais, em geral: compri-mento, massa e tempo.

Designa-se por equacao de dimensoes a expressao simbolica que relaciona uma

grandeza derivada com as grandezas fundamentais.

2.2 Escrita das equacoes de dimensoes

Na escrita das equacoes de dimensoes usa-se uma simbologia propria dada pelas seguintesregras:

1. as grandezas derivadas representam-se pelos seus smbolos dentro de parentesesrectos;

2. as grandezas comprimento, massa e tempo representam-se, respectivamente, por

L, M e T, e e por esta ordem que devem figurar nas equacoes. Dispensam-se osparenteses rectos para essas letras.


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De acordo com esta simbologia a equacao de dimensoes da grandeza velocidadesera:

[v] = LT1 (1)

visto ser dada pelo quociente entre um comprimento e um intervalo de tempo.

A equacao das dimensoes da grandeza aceleracao sera:

[a] = LT2 (2)

visto que uma aceleracao e dada pelo quociente entre uma variacao de velocidade e umintervalo de tempo.

A equacao de dimensoes da grandeza forca sera

[F] = LMT2 (3)

visto que uma forca e dada pelo produto de uma massa por uma aceleracao.

2.3 Dimensoes das grandezas

Em geral, a equacao de dimensoes de uma grandeza mecanica, G, apresentar-se-a naforma:

[G] = LMT (4)

em que , , podem ser numeros positivos e negativos, inteiros e ate fraccionarios.Estes expoentes chamam-se dimensoes da grandezaG, relativamente as grandezas fun-damentais. Usando a linguagem apropriada a este assunto diz-se, por exemplo, quea grandeza forca tem a dimensao 1 relativamente ao comprimento, 1 relativamentea massa, e - 2 relativamente ao tempo. Note-se que as dimensoes de uma grandezadependem das grandezas que se escolheram para fundamentais e que, portanto, nadatem a ver com a sua natureza. As grandezas fundamentais sao dimensionalmenteindependentes.

2.4 Grandezas fsicas com iguais dimensoes e grandezas fsicas

sem dimensoes

Existem grandezas fsicas que, embora diferentes, tem iguais dimensoes. Servem deexemplo a frequencia e a velocidade angular ou frequencia angular. A equacao de di-

mensoes de qualquer delas e L0M0T1 ou, simplesmente, Tl. Ha tambem grandezasfsicas que nao tem dimensoes. Dizem-se adimensionais. Servem de exemplo asgrandezas cujos valores sao quocientes obtidos a partir de valores de uma mesmagrandeza, como sucede com a densidade cujo valor e um quociente entre massas.

2.5 Homogeneidade das equacoes fsicas

Em consequencia do modo como se definem as grandezas derivadas resulta que, qual-quer equacao que traduza relacoes entre grandezas fsicas, nao podera estar certa se,depois de efectuadas as operacoes matematicas nela expressas, se verificar que as di-

mensoes nao sao as mesmas em ambos os membros. Uma equacao fsica deve ser


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homogenea, isto e, deve apresentar as mesmas dimensoes em ambos os membros. Aesta propriedade das equacoes fsicas chama-se homogeneidade.

Suponhamos que alguem queria servir-se da equacao que traduz a lei dos espacosno movimento uniformemente acelerado, com velocidade inicial nula, e tinha duvidas

se essa equacao serias =

1

2at2 (5)

ou

s =1

2

a

t2(6)

Se o 1 membro destas expressoes tem as dimensoes de um comprimento [s] = L, o2 membro tambem devera ter as dimensoes de um comprimento. Ora a equacao dedimensoes de at2 (eq. 5) e [at2] = L; a equacao de dimensoes de a/t2 (eq. 6) e[a/t2] = LT4. Conclui-se que a expressao 5 e homogenea e que a expressao 6 naoe homogenea. A equacao 5 pode, portanto, estar certa; a equacao 6 esta, de certeza,

errada. Esta e uma das utilidades das equacoes de dimensoes: verificar a possvelvalidez das equacoes fsicas.

Para simplificar, pode-se tambem usar a mesma notacao para exprimir as unidadesde uma quantidade Q, embora nao seja o mais correcto. Esta notacao alternativanao apresenta inconvenientes de maior se trabalhamos sempre no mesmo sistema deunidades. Por exemplo, pode-se dizer que no sistema SI, a unidade de massa, [M] e okg, a unidade de comprimento, [L] e o metro e a unidade de tempo, [t] = s.Aplicacoes.

Quando se considera relacoes entre variaveis e muito importante tomar atencao as

unidades. Se nos dizem que a velocidade de um carro e 80 km/h e queremos saberqual o espaco percorrido em 10 segundos, em metros, temos primeiro que converter avelocidade de km/h a m/s (22.22224 m/s) para calcular que o espaco percorrido em 10segundos e aproximadamente 222.224m.

Quando se diz que o espaco percorrido e igual a velocidade vezes o tempo, naose especificam unidades mas sabemos que em cada caso concreto elas devem ser to-das consistentes. Assim, se um carro vai a 60 km/h, em 30 minutos=0.5 h percorreuma distancia de 30 km. Mas tambem podamos ter a velocidade em milhas por hora(1 milha = 1.609 km) e a distancia calculada viria entao em milhas (18.641 milhas).

Obviamente, que cada grandeza com dimensoes so faz sentido quando se especifica aunidade que se esta a usar. Isto e, nao tem qualquer significado dizer que a velocidadee 60 se nao se disser se e km/h ou outra unidade possvel de velocidade.

So se podem somar (ou diminuir) grandezas com as mesmas dimensoes (so se somamlaranjas com laranjas, nao se somam laranjas com macas). Esta regra e as vezes muitoutil para corrigir expressoes sobre as quais haja duvidas. Por exemplo, dada a equacaox = x0 + v0x t + 1/2 ax t

2, entao [x] = [x0] = [v0x t] = [ax t2], ou seja, todos os termos

tem que ser comprimentos.


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3 Nocoes de Escala

Quando contemplamos o Universo e os sistemas fsicos nele contidos, a primeira ob-servacao e a enorme diversidade de escalas dos sistemas nele contidos. Enquanto o

Universo visvel tem uma dimensao da ordem dos 10

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km a Terra tem uma dimensaode 13 x 104 km. Em biologia, encontramos tambem uma hierarquia semelhante. En-quanto um atomo ou iao tem uma dimensao de 1 A (ou 1010m), uma celula pequenatem uma dimensao de 1 micron (ou 106m) e certas arvores podem crescer ate alturasde mais de 100 m. Os maiores organismos vivos podem pois ser mais de 100 milh oes devezes maiores que os mais pequenos (oito ordens de grandeza). Mas ha limites para asdimensoes que os diferentes organismos podem ter. Em ficcao cientfica joga-se muitasvezes com a possibilidade de fazer certos organismos muito maiores do que normalmentesao (formigas ou abelhas gigantes) ou muito menores (homens minusculos, capazes deir fazer investigacoes dentro do corpo de outros homens). Por muito interessantes quesejam estas historias, a verdade e que cada organismo, com os materiais de que e feito,

nao tem grande possibilidade de variacoes de escala desta ordem de grandeza.

Como sabemos a area e proporcional ao quadrado do comprimento, A L2 e ovolume e proporcional ao cubo do comprimento, V L3. Assim, se o comprimento deum corpo aumenta 10 vezes, a area aumenta 100 vezes e o volume aumenta 1000 vezes.Estas diferencas tem consequencias biologicas!

Consideremos por exemplo a forca relativa de dois organismos: o humano e o de umgafanhoto. Um ser humano pode carregar um peso igual ao seu peso (os levantadoresde pesos tem mais sucesso que os outros!). O gafanhoto, por sua vez, pode carregar

pesos 15 vezes maior que o seu peso. A primeira vista, parece que o gafanhoto e maisforte que um homem, em termos relativos. Mas vamos ver que nao e bem assim. Paracomparar um homem com um gafanhoto temos que considerar uma grandeza que naodependa das diferencas de massa dos dois organismos: a forca especfica, definida comoa forca por unidade de massa. A forca que um organismo pode exercer e proporcionala sua massa muscular, a qual e proporcional a area da seccao transversal do musculoou seja e proporcional ao quadrado do comprimento caracteristico. Por outro ladoa massa do organismo e proporcional ao volume (assumindo densidade uniforme), ouseja, a massa e proporcional ao cubo do comprimento caracteristico. Assim, a forcaespecfica, fe e:

fe = FM AV = L

2

L3 = 1L (7)

Assim, a razao entre as forcas especficas do gafanhoto e do homem e:

fe(gafanhoto)

fe(homem)=

1/L(gafanhoto)

1/L(homem)=

L(homem)

L(gafanhoto)

200 cm

2 cm= 100 (8)

Uma vez que o homem consegue levantar pesos iguais ao seu proprio peso, conclui-seque o gafanhoto deveria ser capaz de levantar pesos 100 vezes maiores que o seu peso,se usasse os seus musculos com a mesma eficiencia com que o homem usa os seus.Como so consegue levantar pesos 15 vezes maiores que a sua massa, o gafanhoto e de

facto relativamente mais fraco que o homem.


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Outra consequencia da forma como as diferentes quantidades se escalam e a seguinte.A quantidade de comida que cada ser necessita e, entre outras coisas, proporcional aocalor que tem de gerar para manter o seu organismo aquecido. Como a quantidadede calor que se perde e proporcional a superfcie, Q L2 e a quantidade de comida

e proporcional a massa, ou seja, ao volume, C L3

, a quantidade de calor perdidopor unidade de massa e proporcional ao inverso do comprimento caracteristico, 1/L.Quanto mais pequeno e um organismo, maior e o calor que esse organismo perde porunidade de massa. Um rato come cada dia uma quantidade de comida igual a umquarto da sua massa para se conseguir manter quente. Por outro lado, um elefantetem o problema inverso, de como dissipar todo o calor que gera. Por isso os elefantesaproveitam todas as fontes de agua que encontram para se regarem e manterem a pelemolhada.


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cL. Cruzeiro e J. Mariano (2004), todos os direitos reservados Analise de Dados 1

Captulo I. Analise de Dados

cLeonor Cruzeiro e Jose Mariano (2004)

1 Introducao

E um facto de observacao corrente que, se repetirmos a medicao de uma mesmagrandeza fsica G em condicoes supostas identicas, nao obtemos sempre o mesmo re-

sultado mas sim um conjunto de valores diferentes. Cada um destes valores representaum valor medido g da referida grandeza, e torna-se evidente que nao se pode esperarque o valor medido represente o seu valor verdadeiro (exacto) g0. Nenhuma medicao eexacta. As medidas de massa, comprimento, tempo e todas as propriedades derivadascomo o volume, densidade, forca, energia, sao inevitavelmente de precisao limitada.Nestas condicoes, a crtica dos resultados obtidos numa experiencia e parte fundamen-tal da propria experiencia. Ao realizar uma medicao, nao basta indicar o numero quese obteve como resultado: e necessario faze-lo acompanhar de um outro que indiqueem que medida o experimentador esta certo do valor que apresenta.

O erro absoluto cometido na determinacao da grandeza G e a diferenca entre o valormedido g e o valor exacto g0. Uma vez que este e desconhecido, o mesmo se passa como erro absoluto. A incerteza absoluta g e um majorante do erro absoluto, avaliadanas condicoes mais desfavoraveis. Tem as mesmas dimensoes fsicas da grandeza a quese refere e exprime-se atraves de um numero positivo com as mesmas unidades que agrandeza. O erro relativo g/g e o quociente entre a incerteza absoluta g e o valormedido g. E uma relacao entre duas grandezas com a mesma natureza, portanto, naopossui dimensoes fsicas. Exprime-se em percentagem ou na forma fraccionaria, massempre sem unidades.

De maneira geral, o resultado de uma medicao experimental deve ser apresentadona seguinte forma:

G = (g

g) unidades.

Por exemplo, ao medir-se o comprimento l de um objecto, o resultado final pode serapresentado como

l = (256 2) mm.Significa isto que, dadas as condicoes em que foi efectuada a medicao, o experimentadorconsidera como provavel que o comprimento tenha um valor qualquer compreendidoentre 254 mm e 258 mm.

2 Erros sistematicos e erros acidentais

A preocupacao fundamental do experimentador que realiza uma medicao e, natural-mente, a de tomar todas as precaucoes para reduzir os erros durante a experiencia.


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Apesar disso, todas as medicoes sao afectadas por um erro experimental devido as in-evitaveis imperfeicoes nos aparelhos de medida ou as limitacoes impostas pelos nossossentidos (visao, audicao, etc) que registam a informacao

Consideram-se normalmente dois tipos de erros: os erros sistematicos e os erros

aleatorios. Os erros sistematicos vao sempre no mesmo sentido e resultam de defeitosdo aparelho ou de enganos na calibracao. Os erros aleatorios tanto podem ser pordefeito como por excesso e tem tendencia a anular-se quando se faz uma media.

3 Estimacao dos Erros

Quando se realiza uma experiencia, o valor atribudo a grandeza medida dependedo numero de medicoes efectuadas. Ha assim que distinguir dois tipos de situacoes:quando se efectua apenas uma medida e quando se efectua mais que uma medida.

Muitas vezes tem que se estimar um limite superior para o erro de uma so medicao,

quer porque nao ser possvel realizar mais medidas, quer porque nao se justificar.Quando se dispoe de apenas uma medida, sera este o valor que se considera como amelhor estimativa do verdadeiro valor da grandeza medida. Quanto a incerteza, toma-se para a incerteza o valor do incerteza de leitura, que e, no caso de um aparelhoanalogico (regua, termometro de coluna, aparelho de agulha, etc), igual a metadeda menor divisao da escala, e no caso de um aparelho digital (cron ometro digital,voltmetro digital, etc.), igual a menor divisao da escala, i.e., igual a uma unidade doultimo dgito que aparece no visor.

Por exemplo, ao medirmos um comprimento de um determinado objecto com umaregua graduada em milmetros, uma vez que a menor divisao da escala e 1 mm, dir-se-a

que o comprimento do objecto e, por exemplo, (10, 0 0, 5)mmSe existirem mais que uma medida, a estatstica matematica permite-nos estimarcomo valor mais provavel da medida, a media amostral:

x =1

n

ni=1

xi (1)

em que xi e o valor individual de cada uma das n repeticoes efectuadas. Quanto aoerro, far-se-a uso do desvio padrao. O desvio padrao s define-se como:

s = 1

n 1n

i=1(xi x)2 (2)

vindo expresso nas mesmas unidades que xi. Se s for pequeno, quer dizer que os dadosestao concentrados em torno de x e a precisao da medida e elevada. A incerteza novalor medio xi e dada pelo desvio padrao da media sm:

sm =s

n1/2=

1n(n 1)

ni=1

(xi x)2 (3)

Esta expressao e tanto mais certa quanto maior for a dimensao da amostra. No entanto,adopta-se por convencao que pode ser utilizada quando n 10.


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Quando nao e possvel realizar um numero elevado de repeticoes da medida masdispoe-se de mais que uma medida (< n 10), a estatstica e pouco significativa.Usa-se a media amostral para estimar o valor mais provavel da medida e estima-se ovalor da incerteza aleatoria que lhe esta associada atraves do maior desvio em relacao

a media: x = max |xi x| (4)Uma forma alternativa de estimar a incerteza e atraves da media dos desvios em relacaoa media:

x =1

n

ni=1

|xi x| (5)

embora neste curso se adopte a primeira expressao.Quando, numa medida nao se indica o limite superior de erro assume-se que esse

limite e igual a metade do valor da unidade do ultimo algarismo da direita, consideradosignificativo. Por exemplo, se se diz que a altura medida e 1.62 m, implicitamenteassume-se que o erro e 1/2 0.01 m, ou seja 0.005 m e pode-se escrever que essa alturaesta no intervalo [1.62 0.005, 1.62 + 0.005].

4 Propagacao de erros

Ha grandezas fsicas, chamadas derivadas por oposicao as fundamentais, que se calcu-lam mediante os valores de outras grandezas. Como e obvio, se as grandezas usadas nocalculo resultam de medidas afectadas de uma incerteza, entao as grandezas calculadasvirao tambem afectadas de alguma incerteza. Esta incerteza e calculada mediante

formulas adequadas de propagacao de erros ou incertezas.Suponhamos que pretendemos determinar o erro que afecta uma quantidade w, quee funcao da quantidade x que podemos medir, w = f(x). Sendo o erro da medicao dagrandeza x igual a x, qual o erro em w = f(x)? Considerando um erro x pequenotemos, por definicao de derivada de w em ordem a x que:

f(x) =f(x + x) f(x)

x=

w + w wx

=w

x(6)

pelo que podemos escrever:w = f(x) x (7)

Quando uma funcao depende de mais de uma variavel, por exemplo, w = f(x,y,z),cada uma das quais e medida com um erro x, y e z, o erro na grandeza w e:

w =

f(x,y,z)

x

x +

f(x,y,z)

y

y +

f(x,y,z)

z

z (8)

em que f(x,y,z)x

e a derivada parcial de f em ordem a x. Esta expressao forneceum metodo aproximado de estimar a incerteza w. Existem outras expressoes maisrigorosas, mas cuja utilizacao por ser mais complicada nao se justifica neste nvel deestudo.

As incertezas na expressao 8 podem ser estimadas utilizando o erro de observacao,

o modulo do maior desvio em relacao a media, a media dos modulos dos desvios emrelacao a media ou desvio padrao da media.


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O problema de estimar o erro que afecta w reduz-se assim ao calculo das derivadasparciais desta funcao em ordem a cada uma das variaveis de que esta depende. Oscasos mais frequentes estao indicados na tabela seguinte:

Funcao w Expressao do errow = x y z w = x + y + zw = a.b.c w = (

x

|x| +y

|y| +z

|z| )|w|

w =x

yw = (

x

|x| +y

|y| )|w|

w = xn w = nx

|x| |w|w = kx w = |k|xw = ekx w = |k||w|x

5 Apresentacao dos resultados

Geralmente, os calculos numericos do valor de uma grandeza e da sua incerteza fazemsurgir um elevado numero de casas decimais superfluas que nao devem ser mantidasna apresentacao finals dos resultados uma vez que nao tem significado.

Por exemplo, se se pretender determinar a resistencia electrica de um condutorsabendo que a diferenca de potencial aos seus terminais e U = (3, 13 0, 03)V quandoe atravessado por uma corrente de intensidade I = (2, 09 0, 02)A, tem-se que

R =U

I

=3, 13

2, 09

= 1, 4976 . . .

e a incertezaR

R=

U

U+

I

I=

0, 03

3, 13+

0, 02

2, 09 2

100= 2%

onde, R = 0, 029952 . . . . Em caso algum se deve escrever

R = (1, 4976 0, 029952)

uma vez que todas as casas decimais alem da segunda ordem nao tem nenhum signifi-cado. Deve-se escrever

R = (1, 50 0, 03)que exprime que a incerteza absoluta de R e da ordem de 3 unidades da segunda casadecimal.

No caso de leituras directas de um instrumento, como regra geral o valor da medidadeve apresentar o numero de casas decimais possvel de acordo com a escala do instru-mento que esta a ser usado (alem disso o numero de casas decimais do valor numericodeve ser igual ao da incerteza). Com instrumentos de escala contnua usa-se o numerode casas decimais correspondente a menor divisao da escala e estima-se mais uma casa;com instrumentos de escala discreta usa-se o numero de casas decimais correspondentea menor divisao da escala.


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6 Histogramas

Sabe-se ja que, em virtude dos erros aleatorios, se se repetir a medicao de uma mesmagrandeza fsica em condicoes supostas identicas, nao se obtem sempre o mesmo resul-

tado, mas sim um conjunto de resultados diferentes. Sabe-se tambem que na maioriadas situacoes, numa serie de medidas da mesma grandeza, os desvio das medidas emrelacao ao valor medio tem um distribuicao de probabilidades do tipo Normal ou Gaus-siana. Por outro lado, as expressoes empregues para estimar a incerteza nas medidasassumem para estas este tipo de distribuicao. Assim, um processo que permita esti-mar a distribuicao de probabilidades e util porque permite aferir se os resultados daexperiencia sao bem comportadose se se pode utilizar as expressoes para estimar asincertezas.

Um processo grafico de exprimir os diferentes resultados obtidos consiste em desenhaum histograma. Para construir um histograma procede-se do seguinte modo:

1. Marcam-se no eixo da abcissa os valores maximo e mnimo das leituras obtidas;

2. Divide-se o intervalo obtido num numero arbitrario de subintervalos iguais;

3. Tendo por base cada um destes subintervalos constroem-se rectangulos cujasalturas sejam proporcionais ao numero de vezes que se obteve uma leitura de valorcompreendido no subintervalo em causa. Considera-se que um valor pertencea um determinado intervalo se for igual ou maior que o estremo esquerdo dointervalo e menor que o estremo direito do referido intervalo.

7 Tracado de GraficosAo pretender-se tirar conclusoes, de natureza qualitativa e/ou quantitativa sobre adependencia relativa das duas grandezas, ha em geral o maior interesse em traduziros resultados numericos de que se disponha sob a forma de graficos. Com efeito, arepresentacao grafica dos valores experimentais (ou calculados, eventualmente), alemde evidenciar os aspectos particulares da dependencia entre as grandezas com maiornitidez do que o correspondente conjunto de valores numericos, possibilita uma analisenumerica rapida e relativamente precisa de muitos problemas.

A informacao que se pode obter de um grafico e tanto mais completa e significativaquanto mais funcional e objectivo for o grafico. Alem disso, quando se constroi umgrafico, convem nao esquecer que ele deve poder ser lido e explorado por qualquer pes-soa, em particular alguem que nao tenha de todo participado no trabalho experimental.Para conseguir que um grafico desempenhe convenientemente a sua finalidade, torna-senecessario seguir determinadas normas.

7.1 Normas

Suponhamos que se tem um conjunto de valores numericos respeitantes a variacao dey com x (x e a variavel independente e y e a variavel dependente), e que se pretenderepresenta-lo graficamente. As normas gerais mais importantes a que se deve obedecer

no tracado do grafico sao as seguintes:


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(a) (b)

Figura 1: Exemplos de graficos bem feitos: (a) a mao, (b) no computador.

1. E conveniente marcar os valores de x em abcissas e os valores de y em ordenadas.Junto dos respectivos eixos deve caracterizar-se as grandezas em causa (medianteuma palavra ou conjunto de palavras e/ou smbolo da grandeza) e deve indicar-setambem as unidades em que estao expressas essas grandezas.

2. As escalas devem ser escolhidas de acordo com a gama de valores das vari aveis,sem esquecer no entanto o que se pretende com o grafico (por exemplo, as es-calas lineares nao tem que comecar necessariamente em zero, mas se se pretenderverificar se os pontos experimentais definem uma linha passando pela origem doreferencial, isto e, pelo ponto (0, 0), entao e obvio que este ponto deve figurar nografico). Deve ainda estabelecer-se um compromisso entre o numero de algaris-mos a considerar na marcacao dos pontos experimentais e o tamanho do grafico.Por outro lado a escolha das escalas deve ser feita de modo a permitir uma leituradirecta facil dos valores.

3. Nos eixos deve indicar-se exclusivamente os valores que caracterizam a escala (naose deve jamais indicar nos eixos os valores numericos dos pontos a marcar, nem

tao pouco desenhar as linhas em cujo cruzamento se situa o ponto experimentala assinalar).

4. Para marcar um par de valores (x, y) num grafico, basta assinala-lo mediante umpequeno smbolo (cruz, circunferencia, quadrado, triangulo, etc.). Tornando-senecessario tracar mais do que uma curva num mesmo grafico, os pontos de cadaconjunto de valores numericos devem ser assinalados com smbolo diferentes.

5. Todo o grafico deve ter uma legenda que o identifique e esclareca completamente(neste particular, e prefervel pecar por excesso de pormenores do que por de-feito...). E habitual colocar a legenda sob o eixo das abcissas ou num espaco

(suficientemente) livre do proprio grafico.


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6. Ao tracar a linha que melhor se ajusta aos pontos experimentais, nao se devepretenderque ela passe necessariamente por todos os pontos. Deve haver apenasa preocupacao de tracar a linha que melhor traduza a (dependencia global relativadas grandezas em causa.

Atencao: Nao se deve construir uma curva ligando os diferentes pontos experimentaispor segmentos de recta. A linha quebrada obtida nao teria significado fsico dadoque as funcoes normalmente representadas tem variacoes suaves (derivadas finitas econtnuas).

7.2 Rectangulos de precisao

Como se viu, o resultado de uma medicao, a, tem sempre associado um certo erro,a (limite superior do erro, erro de leitura, erro padrao, erro provavel, etc.). Pararepresentar graficamente a margem de erro a, desenha-se no grafico a correspondente

barra de erro, isto e, um segmento de recta de comprimento2.a centrado no pontoa.

No caso geral um ponto experimental corresponde a um par de valores, x e y,cada um dos quais com um certo, x e y. Entao a cada ponto do grafico estaoassociadas duas barras de erro, uma paralela ao eixo dos yy e de comprimento2.y,e outra paralela ao eixo dos xx e de comprimento2.x, e ambas centradas no pontoexperimental. Tem-se assim uma margem de erro a duas dimensoes, definindo-se aquiloa que se chama rectangulo de precisao do ponto experimental. Quando os erros de xe/ou de y sao desprezaveis (em si mesmo(s) e/ou em relacao a(s) escala(s) do grafico),um rectangulo de precisao reduz-se a um pontoou a uma barra de erro, conforme o

caso.

8 Tipos de papel. Linearizacao de graficos

No paragrafo anterior chamou-se a atencao para a conveniencia de escolher as escalasem funcao da gama dos valores numericos a representar graficamente. Isto pressupoecomplementarmente uma escolha previa do tipo de papel mais adequado ao tracadodo grafico em causa: com duas escalas lineares (papel milimetrico), com uma escalalogartmica e outra linear (papel semilog ou log-lin), com ambas as escalas logartmicas(papel log-log), etc. As folhas de papel grafico podem ter varios formatos: A5, A4 ,

A3, etc. As escalas logartmicas podem ter varias decadas, completas ou nao. De notarque uma escala logartmica nunca pode comecar em zero, pois log 0 = ln 0 =

O tipo de papel de grafico que se usa frequentemente e o papel milimetrico, mas emcertos casos convem utilizar outros. Vejamos alguns casos tpicos, a ttulo de exemplo.

8.0.1 Papel semi-logartmico

Quando a relacao entre as variaveis x e y e de tipo exponencial (actividade de umafonte radioactiva versustempo, absorcao de uma radiacao versusespessura do filtro,etc.):

y = y0ex, (

= 0) (9)


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e se pretende, a partir de um conjunto de valores experimentais, determinar e/ouy0, o grafico deve ser feito em papel semilog. Com efeito, logaritmizando a expressao9 (pode aplicar-se indiferentemente logaritmos decimais ou naturais), tem-se

ln y = ln y0

+ x (10)

portanto, em papel semilog (e marcando y na escala logartmica), o grafico de 9 e umarecta cujo declive vale e cuja ordenada na origem vale y0. De notar que

=ln y2 ln y1

x2 x1 =ln y2

y1

x2 x1 =2, 3026 log y2

y1

x2 x1 (11)

em que (x1, y1) e (x2, y2) sao dois pontos da recta ajustadas aos pontos experimentais.Em papel milimetrico o grafico de 9 seria evidentemente um troco de exponencial, e

a determinacao de ou y0 seria menos rapida e menos precisa. O interesse m linearizarum grafico reside precisamente no facto de ser mais facil trabalharcom uma linha

recta do que com uma linha curva.Convem tambem utilizar papel semilog quando e muito vasta a gama de valores a

marcar num dos eixos coordenados. Se, por exemplo, y representar o fluxo de neutroestermicos (com energias da ordem de tres dezenas de meV) num ponto de um meio comoa agua e x designar a distancia desse ponto a fonte de neutroes, os valores de y podemvariar de 4 ordens a grandeza (de 105 a 10 neutroes cm2s1, por exemplo) enquantox varia apenas de 1 a 25 cm. Num caso como este, os valores de y devem ser marcadosnuma escala logartmica e os valores de x numa escala linear. Se se fizesse o grafico empapel milimetrico, mesmo fazendo corresponder a 1 mm 100 neutroes cm2s1 serianecessaria uma folha de papel com 1 m de comprimento, o que e pouco pratico.

8.0.2 Papel log-log

Se as gamas de valores a marcar compreenderem varias ordens de grandeza tanto emordenadas como em abcissas, ve-se agora facilmente que ha conveniencia em utilizarpapel com ambas as escalas logartmicas. E o que acontece, por exemplo, quandose pretende representar graficamente a seccao eficaz de absorcao de certos nucleospara neutroes com energias compreendidas entre uma dezena de meV e alguns MeV(espectro neutronico de um reactor nuclear termico).

Existe uma outra situacao, de natureza diferente, em que se deve empregar papellog-leg. E necessario com frequencia verificar experimentalmente relacoes do tipo

y = k.x (12)

em que e ou k sao constantes (reais, quaisquer) a determinar. Logaritmizando aexpressao em 12, tem-se

log y = log k + log x (13)

Assim, em papel log-log, y varia linearmente com x, sendo o valor do decliveda recta. De notar que, como as escalas sao identicas no papel log-log, os seus eixoscoordenados sao do tipo dos do chamado crculo trigonometrico, e pode ser de-terminado mediante a razao dos comprimentos dos catetos de um triangulo rectangulo

desenhado convenientemente sobre o grafico. A outra maneira de calcular e analoga aindicada na alnea a), tendo agora em conta a expressao 13.


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E possvel ainda linearizar o grafico correspondente a expressao (12) por outra via:marcando, em papel milimetrico, y em ordenadas e x em abcissas. Neste caso funciona como parametro conhecido e k representa o declive da recta.

Como se ve, dado um conjunto de valores experimentais e conhecida a forma da lei

de variacao das grandezas em causa, pela conjugacao dos dois processos de linearizacaoindicados acima e possvel inferir os valores dos parametros da lei, e k no caso daexpressao (12)

9 Calculo do limite superior dos erros dos parametros

de uma recta ajustada a pontos experimentais

Suponha-se que se obtem numa realizacao experimental n pontos experimentais (xi, yi)que obedecem a uma relacao do tipo y = mx+b, com m e b constantes. Marque-se estes

pontos num grafico. Em geral, devido aos erros que afectam as medidas, os pontos naose distribuirao exactamente sobre uma linha recta. A recta a considerar entao deveraser a que melhortraduzir a lei de variacao de y com x (os pontos experimentais quecaiam fora dessa recta mediae que estejam acima dela deverao compensaros quese encontram abaixo). Pretende-se determinar o limite superior do erro de b (ordenadana origem) e de m (declive da recta). Para isso, procede-se do seguinte modo, supondoum conjunto de n pontos experimentais (xi, yi):

R0

R2

R13

2

1

x

4

y

Figura 2:

1. Faz-se o grafico, tracando a recta que melhor se ajusta aos pontos experimentais(R0).

2. Desenham-se duas linhas paralelas a R0 passando pelos pontos experimentais

mais afastados de R0 para cima e para baixo, incluindo as respectivas barras deerro.


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3. Desenham-se duas linhas paralelas ao eixo do yy, uma passando pelo primeiroponto experimental a esquerda e outro passando pelo ultimo ponto experimentala direita. Estas quatro linhas definem quatro pontos (1, 2, 3, 4, na figura), quesao os vertices do chamado paralelogramo de incerteza

4. Pelos vertices opostos do paralelogramo fazem-se passar as rectas R1 (definidapelos ponto 1 e 3) e R2 (definida pelos pontos 2 e 4).

5. Determinam-se os valores dos parametros m e b das tres rectas R0, R1 e R2,respectivamente m0, m1, m2 e b0, b1, b2.

6. Calculam-se as diferencas |m1 m0| e |m2 m0|. Toma-se m como a maiordestas diferencas. Calculam-se as diferencas |b1 b0| e |b2 b0|. Toma-se bcomo a maior destas diferencas.

7. O limite superior dos erros m e b sera dado por:

m0 =mn 2 , b0 =

bn 2 , (14)


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Radiacoes

cLeonor Cruzeiro

1 Estrutura do atomo

Um fsico famoso, chamado Richard Feynman, disse que se tivesse de condensaros conhecimentos que tinha da fsica numa frase diria que a materia e constitudapor atomos em constante agitacao, porque grande parte da Fsica se pode deduzirdeste pressuposto. Aqui vamo-nos concentrar nas propriedades destes constitu-intes, enquanto entidades independentes.

Os atomos sao sistemas de carga nula, constitudos por nucleos, a volta dosquais gravitam electroes. Enquanto a dimensao dos atomos e da ordem de 1 A,os nucleos sao 100,000 vezes mais pequenos. A maior parte do espaco ocupadopelos atomos e vazio!

Apesar da reduzida dimensao dos nucleos, a massa dos atomos e essencial-mente devida a massa dos nucleos. Os nucleos atomicos sao constitudos porprotoes e neutroes, os primeiros dos quais tem carga positiva e os segundos dosquais sao neutros. Se as interaccoes entre estes elementos dos nucleos fosse apenaselectromagnetica, todos os nucleos seriam instaveis, porque os protoes repelem-

se. A estabilidade dos nucleos deve-se a um outro tipo de forca que so se man-ifesta a distancias muito curtas, chamada a forca forte. Esta forca e atractivae as distancias a que os nucleoes se encontram uns dos outros dentro do nucleoatomico, e muito maior que a forca electromagnetica. A relacao entre a massa eenergia de Einstein diz-nos que:

E = m c2 (1)

onde E e a energia do sistema, m e a sua massa e c e a velocidade da luz no vacuo.Pode obter-se uma medida da interaccao forte entre os nucleoes calculando adiferenca entre a massa de um nucleo e a soma das massas dos seus constituintes.

Consideremos um isotopo do hidrogenio chamado deuterao, que e constitudoapenas por um protao e um neutrao. A soma das massas dos seus constituintese:

mp + mn = 1.007825 + 1.008665 = 2.016490 u (2)

em unidades de massa atomica, u (u = 1/12 do peso de um atomo de carbono12). Por outro lado, a massa do deuterao e 2.014102 u. De acordo com a relacaode Einstein, esta diferenca de massa e devida a uma interaccao forte atractivaentre o protao e o neutrao igual a:

EB = (2.016490 2.014102) c2 = 2.224MeV (3)


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cL. Cruzeiro-Hansson, todos os direitos reservados Radiacoes 2

EB chama-se energia de ligacao. Quanto maior e a energia de ligacao de umnucleo, maior e a sua estabilidade. Pode verificar-se que esta energia de ligacao

primeiro aumenta com o numero atomico, e depois volta a diminuir. Todos oselementos com um numero atomico superior a 210 sao instaveis1. Isto acon-tece porque para os nucleos com grandes numeros atomicos, a forca de repulsaoelectrica, que se manifesta a distancias maiores, comeca a ser mais importante eacaba por suplantar a forca forte.

Contando com os elementos e seus isotopos, existem cerca de 400 nucleosestaveis. Alem destes ha tambem centenas de nucleos instaveis. Estes nucleosencontram-se em estados que nao tem energia mnima e, num tempo mais oumenos curto, vao desexcitar-se espontaneamente, emitindo radiacoes.

2 Tipos de Emissao Radioactiva

Os nucleos emitem tres tipos de radiacao: a radiacao , a radiacao e a radiacao.Uma outra forma de decaimento de um nucleo, que e muito menos frequente queas anteriores, e a cisao nuclear, em que um nucleo se divide em dois ou maisnucleos com massas sensivelmente inferiores a do nucleo progenitor.

2.1 A Emissao

Este processo de desexcitacao (declneo ) e uma consequencia da instabilidadedevida a forca de Coulomb, que ocorre em nucleos grandes, de numero atomicosuperior a 82. As partculas emitidas sao partculas pesadas com carga positiva(nucleos de 4He), designadas por partculas . O nucleo emite estas partculas, enao so um protao, porque elas sao muito estaveis do ponto de vista da interaccaonuclear, a qual domina as ligacoes do nucleo. Um elemento que perde umapartcula muda de identidade qumica, ou seja, o seu progenitor nao e umelemento diferente do nucleo descendente. Seja X um elemento cujo nucleo emiteuma radiacao . Sendo Z o numero atomico de X e A o seu numero de massa(numero de protoes de neutroes do nucleo), vamos ter:

AZX +

A4Z2Y

1O numero atomico e o numero de protoes de um nucleo.


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2.2 Emissao

As partculas emitidas neste caso sao electroes ou positroes2. Se a partculaemitida e um electrao, dizemos que se trata de um declneo e temos:

AZX

+ AZ+1Y

Se a partcula emitida e um positrao, dizemos que se trata de um declneo +

e temos:AZX

+ + AZ1Y

Tambem no declneo os elementos sofrem uma transformacao da sua identi-dade qumica, visto que tambem neste caso o seu numero atomico se transforma.No caso de declneo isso e devido a uma reaccao nuclear em que um neutrao

decai para um protao e um electrao:

n p+ + (e)

No caso de declneo + isso e devido a uma reaccao nuclear em que um protaodecai para um neutrao e um positrao:

p+ n + +(e+)

Existe um outro tipo de declneo designado por captura electronica que cor-responde a uma desexcitacao analoga a da emissao +, mas na qual em vez deser emitida uma partcula + para fora do nucleo, este absorve um electrao danuvem electronica do atomo.

2.3 Emissao

As partculas emitidas neste caso sao fotoes, partculas de luz, ou seja, trata-sede radiacao electromagnetica de energia elevada (as energias sao da ordem dosMeV). A identidade qumica do elemento e preservada:

AZX

+ AZX

O asterisco do lado direito da equacao indica um estado excitado do elementoX. Do lado direito, o elemento esta no seu estado de energia mnima, o estadofundamental.

2Um positrao e a antipartcula do electrao e tem uma massa igual e uma carga igual em

modulo, mas de sinal contrario a do electrao.


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Uma pessoa que se encontre a 1 m de distancia de uma fonte de cobalto de1 Ci durante uma hora absorve uma dose aproximada de 1.2 rad a superfcie do

corpo e uma dose de metade deste valor a 10 cm de profundidade.

Os efeitos biologicos das radiacoes dependem da energia depositada mas tambemdo tipo de radiacao. Assim as doses biologicas medem-se em rem (RadiationEquivalent Men):

Dose Biologica (em rem) = Dose (em rad) x RBE

onde RBE significa Relative Biological Effectiveness. A tabela seguinte mostra aRBE de varios tipos de radiacao.

Radiacao RBE

X 1.0 1.0-1.7 10-20n lentos 4-5n rapidos 10ioes pesados 20

Por causa da radioactividade natural, todos nos estamos estamos sujeitos as

radiacoes sendo a dose tpica por pessoa aproximadamente igual a 0.13 rem/ano.O limite aceitavel definido pelas organizacoes internacionais de saude e 0.5 rem/a-no. No caso de pessoas cuja actividade profissional envolve a exposicao a fontesradioactivas, este limite pode ir ate 5 rem/ano mas pressupoe a realizacao de con-trolos periodicos. Estas doses sao estabelecidas para radiacao absorvida a partirdo exterior. Em caso de inalacao ou ingestao, estes limites devem ser muito infe-riores.

As radiacoes sao tambem usadas para diagnostico e para fins terapeuticos.Os raios X sao usados em medicina e odontologia para examinar o estado dos

ossos e dentes. Os radioisotopos, que sao absorvidos por forma selectiva por difer-entes tecidos, sao tambem usados em medicina. Por exemplo, o iodo 131, quetem tempo de semi-desintegracao de 8.05 dias e absorvido preferencialmente pelaglandula tiroide e e usado para estudar o seu funcionamento. As radiacoes saotambem usadas no tratamento de cancros, para destruir as celulas malignas. Porexemplo, o cancro da laringe pode ser tratado de forma cirurgica, por remocao,mas esta forma de tratamento implica muitas vezes a perda total ou quase totalda voz. O tratamento por radiacao tem a mesma taxa de 80 % de sucesso quea remocao, e nao afecta a capacidade de fala do doente. As radiacoes podemtambem ser usadas para tratar tumores localizados em zonas profundas. A dose


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tpica usada e de 6000 rad, normalmente administrada por um perodo de um mes.

fisicasebenta

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