fisica moderna

7172019 fisica moderna

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Fiacutesica com Aplicaccedilatildeo Tecnoloacutegica

Volume 1






Volume 1

DIRCEU DrsquoALKMIN TELLES

JOAtildeO MONGELLI NETTO

Organizadores



Ficha Catalograacutefica

Fiacutesica com aplicaccedilatildeo tecnoloacutegica volume I Dirceu DrsquoAlkmin Telles Joatildeo Mongelli Netto --

Satildeo Paulo Blucher 2011

Vaacuterios autoresBibliografia

ISBN 978-85-212-0587-6

1 Fiacutesica I Telles Dirceu DrsquoAlkminII Mongelli Neto Joatildeo

11-00420 CDD-530

Iacutendices para cataacutelogo sistemaacutetico

1 Fiacutesica 530

Rua Pedroso Alvarenga 1245 4ordm andar 04531-012 ndash Satildeo Paulo ndash SP ndash BrasilTel 55 11 3078-5366editorabluchercombr

wwwbluchercombr

Segundo o Novo Acordo Ortograacutefico conforme5 ed do Vocabulaacuterio Ortograacutefico da Liacutengua

Portuguesa Academia Brasileira de Letrasmarccedilo de 2009

Eacute proibida a reproduccedilatildeo total ou parcial porquaisquer meios sem autorizaccedilatildeo escrita daEditora

Todos os direitos reservados pela Editora EdgardBluumlcher Ltda

Fiacutesica com aplicaccedilatildeo tecnoloacutegica ndash ediccedilatildeo coordenada por Dirceu DrsquoAlkmin Telles Joatildeo Mongelli Netto

copy 2011 Volume I ndash Mecacircnica ndash Organizador Joatildeo Mongelli Netto

Direitos reservados para Editora Edgard Bluumlcher Ltda



Agrave memoacuteria do professor Tore Niels Olof Folmer Johnson





APRESENTACcedilAtildeO

A oportunidade de contribuir para a transferecircncia e difusatildeo doconhecimento por meio da publicaccedilatildeo de obras cientiacuteficas eacute gratifi-cante para noacutes da FAT Accedilotildees como esta se adequam aos princiacutepiosestabelecidos por esta Instituiccedilatildeo - Fundaccedilatildeo de Apoio agrave Tecnologiandash criada em 1987 por um grupo de professores da FATEC-SP

A obra ldquoFiacutesica com Aplicaccedilotildees Tecnoloacutegicasrdquo (Volume 1 ndash Mecacirc-nica) que abrange as teorias da Fiacutesica e suas aplicaccedilotildees tecnoloacutegicasseraacute fundamental para o desenvolvimento acadecircmico de alunos e pro-

fessores dos cursos superiores de tecnologia engenharia bacharela-do em Fiacutesica e para estudiosos da aacuterea

No processo de elaboraccedilatildeo da obra os autores tiveram o cuidadode incluir textos ilustraccedilotildees orientaccedilotildees para soluccedilatildeo de exerciacuteciosIsto faz com que a obra possa ser considerada ferramenta de aprendi-zado bastante completa e eficiente

A FAT que nasceu com o objetivo baacutesico de ser um elo entre osetor produtivo e o ambiente acadecircmico parabeniza os autores pelo

excelente trabalhoAccedilotildees como essa se unem ao conjunto de outras que oferecemos

como assessorias especializadas cursos treinamentos em diversos niacuteveis consultorias e concursos para toda a comunidade

A cidadania eacute promovida visando agrave conscientizaccedilatildeo social a par-tir do esforccedilo das instituiccedilotildees em prol da difusatildeo do conhecimento

Professor Ceacutesar Silva

Presidente da FAT ndash Fundaccedilatildeo de Apoio agrave Tecnologia



PREFAacuteCIO

Os docentes de Fiacutesica do Departamento de Ensino Geral da FA-TEC-SP sob a coordenaccedilatildeo do Prof Joatildeo Mongelli Netto e Prof DrDirceu DacuteAlkmin Telles lanccedilam o primeiro volume 1 do livro Fiacutesicacom Aplicaccedilotildees Tecnoloacutegicas ndash Mecacircnica

Destinado a alunos e professores dos cursos superiores de Tec-nologia Engenharia Bacharelado em Fiacutesica e estudiosos da aacuterea opresente volume apresenta agraves comunidades acadecircmicas a MecacircnicaClaacutessica por meio de teorias aplicaccedilotildees tecnoloacutegicas exerciacutecios re-solvidos e propostos

Expresso meus agradecimentos a todos os autores que contri-buiacuteram para a caracterizaccedilatildeo deste trabalho que certamente seraacute degrande valia para as Instituiccedilotildees de Ensino Superior do Pais

Profordf Drordf Luciana Reyes Pires Kassab

Diretora da FATEC-SP



SOBRE OS AUTORES

DIRCEU D983220ALKMIN TELLES

Engenheiro Mestre e Doutor em Engenharia Civil ndash Escola Po-liteacutecnica ndash USP Consultor nas aacutereas de Irrigaccedilatildeo e de RecursosHiacutedricos Professor do Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo do CeetepsCoordenador de cursos de poacutes-graduaccedilatildeo da FAT - Fundaccedilatildeo deApoio agrave Tecnologia Coordenador e Professor de Curso de Espe-

cializaccedilatildeo da FATEC-SP Foi Presidente da Associaccedilatildeo Brasilei-ra de Irrigaccedilatildeo e Drenagem Professor e Diretor da FATEC-SPCoordenador de Projetos de Irrigaccedilatildeo do Daee e Professor doPrograma de Poacutes-Graduaccedilatildeo da Escola Politeacutecnica ndash USP

datellesfatecspbr dirceutellesfatgestaoorgbr


Licenciado em Fiacutesica pela Universidadede Satildeo Paulo Autor deFiacutesica Baacutesica pela Editora Cultrix vol 1 Mecacircnica vol2 Hi-

drostaacutetica Termologia e Oacuteptica coautor de Fiacutesica Geral ndash cursosuperior ndash Mecacircnica da Partiacutecula e do Soacutelido sob coordenaccedilatildeodo Professor Tore Johnson Leciona atualmente essa disciplinana Faculdade de Tecnologia de Satildeo Paulo

mongellifatecspbr

JUAN CARLOS RAMIREZ MITTANI

Graduado em Fiacutesica pela Universidade Nacional de San Agustin(Arequipa- Peruacute) Mestre e Doutor pela Universidade de SatildeoPaulo Poacutes-doutorado na USP e na Universidade de Oklahoma

(Estados Unidos) Atualmente eacute professor da Faculdade deTecnologia de Satildeo Paulo e realiza pesquisas na aacuterea de dataccedilatildeoe dosimetria usando teacutecnicas de luminescecircncia

juanfatecspbr



10 Fiacutesica com aplicaccedilatildeo tecnoloacutegica ndash Volume 1

GILBERTO MARCON FERRAZ

Graduado em Fiacutesica pela Pontifiacutecia Universidade Catoacutelica de SatildeoPaulo Mestreem Fiacutesica Aplicada `a Medicina e Biologia pela Fa-culdade de Filosofia Ciecircncias e Letras de Ribeiratildeo Preto da

Universidade de Satildeo Paulo Doutor em Ciecircncias ndash aacutereaFiacutesica doEstado Soacutelido ndash pelo Instituto de Fiacutesica da Universidade de SatildeoPaulo Atualmente eacute professor de Fiacutesica da FEI da Faculdadede Tecnologia de Satildeo Paulo e do UNIFIEO

gmarconffatecspbr

MANUEL VENCESLAU CANTEacute

Bacharel e Mestre em Fiacutesica pela Unicamp Doutor em Enge-nharia de Materiais e Processos de Fabricaccedilatildeo pela UnicampTem experiecircncia em ensino de Fiacutesica tanto no Ensino Meacutediocomo no Ensino Superior Atualmente eacute professor Associa-do da Faculdade de Tecnologia da Zona Leste no Curso dePoliacutemeros

mvcanteterracombr

OSVALDO DIAS VENEZUELA

Bacharel e Licenciado em Fiacutesica pela Universidade de Satildeo Pau-

lo Mestre em Ensino de Fiacutesica pela Universidade de Satildeo PauloProfessor de Fiacutesica da Faculdade de Tecnologia de Satildeo Paulo eda Escola Teacutecnica Walter Belian

ovenezuelauolcombr

ROBERTA NUNES ATTILI FRANZIN

Bacharel e Licenciada em Fiacutesica pela Pontifiacutecia UniversidadeCatoacutelica de Satildeo Paulo Mestre em Ciecircncias na Aacuterea de Tecno-

logia Nuclear pelo Ipen USP Doutora em Ciecircncias na Aacuterea deTecnologia Nuclear pelo IpenUSP Professora de Fiacutesica da Fa-culdade de Tecnologia de Satildeo Paulo

rnattiligmailcom

ROBERTO VERZINI

Bacharel e Licenciado em Fiacutesica pela Universidade de Satildeo PauloMestre em Fiacutesica pela Universidade de Satildeo Paulo na aacuterea de Ab-sorccedilatildeo Oacuteptica e Termoluminescecircncia em vidros Professor de Fiacute-

sica da Faculdade de Tecnologia de Satildeo Paulo atuando tambeacutemem Produccedilatildeo e Desenvolvimento de Filmes Finos para Aplica-ccedilotildees Oacutepticas na empresa Engefilme Induacutestria e Comeacutercio Ltda

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11Sobre os autores

EDUARDO ACEDO BARBOSA

Bacharel em Fiacutesica pelo Instituto de Fiacutesica da Universidade deSatildeo Paulo Mestre em Fiacutesica pela Unicamp Doutor em Tecno-logia Nuclear pelo Ipen Professor e pesquisador da Faculdade

de Tecnologia de Satildeo Paulo na aacuterea de lasers holografia e me-trologia oacuteptica

ebarbosafatecspbr

FRANCISCO TADEU DEGASPERI

Bacharel em Fiacutesica pelo Instituto de Fiacutesica da Universidade deSatildeo Paulo Mestre e Doutor pela Feec ndash Unicamp Trabalhoupor 24 anos no Ifusp e trabalha em tempo integral na Faculda-

de de Tecnologia de Satildeo Paulo desde 2000 Montou e coorde-na o Laboratoacuterio de Tecnologia do Vaacutecuo da Fatec-SP Realizatrabalhos acadecircmicos e industriais desenvolvendo ProcessosMetrologia e Instrumentaccedilatildeo na aacuterea de Vaacutecuo

ftdfatecspbr





CONTEUacuteDO

Volume 1

Introduccedilatildeo FIacuteSICA UM MODO DE VER O MUNDO 15

Capiacutetulo1 GRANDEZAS FIacuteSICAS E VETORES 27

Capiacutetulo 2 MOVIMENTO EM UMA DIMENSAtildeO 61

Capiacutetulo 3 MOVIMENTO EM DUAS E TREcircS DIMENSOtildeES 93

Capiacutetulo 4 LEIS DE NEWTON 129

Capiacutetulo 5 EQUILIacuteBRIO DE UM SOacuteLIDO159

Capiacutetulo 6 TRABALHO E ENERGIA 193

Capiacutetulo 7 MOMENTO LINEAR E IMPULSO 229

Capiacutetulo 8 ROTACcedilOtildeES

263





F Iacute S I CA U M

M O D O D E V E R

O M U N D O

Esta breve introduccedilatildeo tem como objetivo evidenciar descober-tas e avanccedilos no campo dos fenocircmenos ligados agrave ciecircncia deno-minada fiacutesica mostrando que o que hoje conhecemos eacute fruto

de esforccedilos na busca incessante de satisfaccedilatildeo aos desejos decompreender os fenocircmenos viver mais harmoniosamente coma Natureza e aplicar os novos conhecimentos ou seja desenvol- ver a tecnologia

Os fenocircmenos naturais que percebemos por meio dos sen-tidos sempre foram objeto de investigaccedilatildeo para compreendercomo a Natureza funciona

O Universo eacute finito

Qual a origem do nosso sistema solarQuando a vida teve iniacutecio na Terra

Por que o ceacuteu eacute azul

Por que uma pedra quando largada no ar cai ao solo

Por que um pedaccedilo de ferro atrai um iacutematilde

Por que sentimos frio

O litro de aacutelcool combustiacutevel deve mesmo custar menos

que o litro de gasolina

Como se formam as nuvens

O que eacute o trovatildeo E o raio

I N T R O D U CcedilAtilde O

Joatildeo Mongelli Netto




Quando natildeo se tecircm respostas a estas e a outras indagaccedilotildeesa supersticcedilatildeo entra em cena para saciar a curiosidade do serhumano Por exemplo na Antiguidade os homens chegavam atemer a doenccedila do Sol quando ele desaparecia para dar lugar

agrave noiteA busca do conhecimento eacute tatildeo antiga quanto a humanida-

de e desde o iniacutecio o que se procurava era o porquecirc das coi-sas depois de muitas observaccedilotildees elaborava-se a explicaccedilatildeoa teoria

Assim a Antiguidade legou-nos diversas ideias de seuspensadores Vaacuterias delas foram aceitas como justificativas defenocircmenos naturais e prevaleceram sobre outras hipoacuteteses du-rante muitos seacuteculos

O ANTIGO EGITO

Os egiacutepcios constituiacuteram uma cultura de grande e eficiente ad-ministraccedilatildeo que perdurou por 20 seacuteculos (de 3000 aC a 1000aC aproximadamente) Atestado dessa pujanccedila de organiza-ccedilatildeo foi a construccedilatildeo de monumentais edifiacutecios palaacutecios tem-plos piracircmides calendaacuterios com ano de 365 dias e registros

de astronomia e matemaacutetica principalmente a aritmeacutetica e ageometria Eles tinham noccedilotildees de geologia reconhecendo aspropriedades fiacutesicas e quiacutemicas dos materiais Na medicinaeram cirurgiotildees competentes Certamente os egiacutepcios muitocontribuiacuteram para o desenvolvimento da ciecircncia em seu estadonascente

Em 3000 aC os sumeacuterios ocuparam a regiatildeo onde hoje sesituam o Iraque a Siacuteria o Liacutebano e parte de Israel Eles inven-taram a escrita de fundamental importacircncia para o desenvolvi-

mento da ciecircncia e sua difusatildeo Natildeo havendo moedas agrave eacutepocaos sumeacuterios desenvolveram um sistema de pesos e medidas noqual o comprimento era baseado em partes do corpo humanoPosteriormente os feniacutecios (aproximadamente em 1500 aC)e os babilocircnios (aproximadamente em 1000 aC) lanccedilaram osfundamentos da matemaacutetica

OS GREGOS

A civilizaccedilatildeo grega com sua tentativa de dar um sentido aomundo material afetou profundamente a nossa Dentre os povos da Antiguidade ocidental foram os grandes filoacutesofos da Na-tureza em busca de explicaccedilotildees acerca do universo interpre-



17Introduccedilatildeo ndash Fiacutesica um modo de ver o mundo

tando os fenocircmenos coacutesmicos e terrestres Entre seus ilustresfilhos citamos

Tales de Mileto (624 aCndash547 aC aproximadamente) estadis-ta matemaacutetico astrocircnomo e negociante em suas viagens

ao Egito trouxe para a Greacutecia o estudo da geometria praacuteti-ca a partir da qual se desenvolveu a estrutura loacutegica

Pitaacutegoras de Samos (aproximadamente 560 aCndash500 aC) liacute-der religioso estudioso de muacutesica matemaacutetico e astrocircno-mo afirmou que a Terra era um planeta em oacuterbita como osoutros

Leucipo e seu disciacutepulo Demoacutecrito (aproximadamente 500 aCndash404 aC) propuseram a teoria atocircmica com os aacutetomos em

perpeacutetuo movimento no vaacutecuoSoacutecrates (470 aCndash399 aC) e seu disciacutepulo Platatildeo (427 aCndash

347 aC) desenvolveram a dialeacutetica uma teacutecnica que pormeio de perguntas levava os alunos a elaborar por si mes-mos suas ideias Tal meacutetodo de loacutegica foi fundamental paraa matemaacutetica Platatildeo estava convencido de que a Terra es-feacuterica estava fixa no centro do universo com o Sol a Lua eos planetas movendo-se em torno dela Acreditava que oscorpos eram formados pelos quatro elementos terra aacutegua

ar e fogoHipoacutecrates de Quios notaacutevel matemaacutetico contemporacircneo de

Soacutecrates fundou uma escola de matemaacutetica em Atenasque se tornaria importante centro no mundo grego

Aristoacuteteles (384 aCndash322 aC) maior figura da ciecircncia gregapregava ser necessaacuteria uma forccedila para manter um corpo emmovimento e que o comportamento dos corpos se devia agraveconstituiccedilatildeo deles Afirmava tudo tem o seu lugar naturalo dos materiais terrestres eacute o centro da Terra considerada

esfeacuterica e centro do universo Quanto mais elemento terrao corpo contiver mais fortemente ele quer chegar a essecentro Entatildeo corpos mais pesados caem mais rapidamen-te O lugar natural da aacutegua eacute a superfiacutecie da Terra enquantoo lugar do ar e do fogo eacute em torno da Terra acima de nossascabeccedilas Essa ideia dos quatro elementos parece ingecircnuamas hoje sabemos que pouco mais de uma centena delesconstituem todos os corpos imaginaacuteveis

Euclides fundou a escola de matemaacutetica do museu de Alexan-

dria onde trabalhou entre 320 aC e 260 aC Seu livro Elementos eacute a siacutentese da geometria grega base do ensinodessa ciecircncia no Ocidente escreveu tambeacutem uma seacuterie deteoremas de oacuteptica




Arquimedes (287 aCndash212 aC) da escola de matemaacutetica deAlexandria foi um dos primeiros a usar a experimentaccedilatildeopara observar os fenocircmenos construiu maacutequinas de guerrautilizando as propriedades das alavancas contribuiu para o

desenvolvimento da hidrostaacuteticaEratoacutestenes (276 aCndash195 aC) notaacutevel saacutebio conseguiu de-

terminar com razoaacutevel precisatildeo o raio e a circunferecircnciada Terra utilizando a proporcionalidade entre os lados dedois triacircngulos semelhantes

Ptolomeu (aproximadamente 100 dCndash170 dC) estudou emAlexandria e apresentou uma descriccedilatildeo matemaacutetica deta-lhada dos movimentos do Sol da Lua e dos planetas em

torno da Terra apoio para toda a astronomia ocidental nosseacuteculos seguintes Baseava-se na teoria dos epiciclos de-senvolvida por Apolocircnio De acordo com essa proposta umplaneta gira em oacuterbita circular em torno de um ponto quepor sua vez descreve movimento circular em torno da Ter-ra gerando um movimento ligeiramente eliacuteptico Deixou--nos um compecircndio de astronomia chamado Almagesto eescreveu ainda sobre oacuteptica e muacutesica aleacutem de um tratadode geografia

A fiacutesica teve pequeno desenvolvimento depois dos traba-lhos desses helenistas Conveacutem lembrar que foram feitas no-taacuteveis descobertas em todos os campos do conhecimento nasculturas de outros povos mas havia grande dificuldade de co-municaccedilatildeo entre eles e tais conhecimentos natildeo puderam serrapidamente compartilhados Como exemplo podemos citara cultura da China Os chineses praacuteticos e inventivos foramnotaacuteveis astrocircnomos Por volta do ano 723 criaram o reloacutegiomecacircnico bastante preciso usando uma seacuterie de engrenagensdescobriram a poacutelvora usada em fogos de artifiacutecio e pela pri-meira vez empregada em combates no seacuteculo X Deram inuacuteme-ras contribuiccedilotildees agrave fiacutesica a mais significativa foi a invenccedilatildeo dabuacutessola magneacutetica jaacute usada por eles na navegaccedilatildeo por volta doseacuteculo XI precedendo em muito o uso no Ocidente

A FIacuteSICA DOS AacuteRABES E O OCIDENTE EUROPEU

O povo aacuterabe teve importante papel na histoacuteria da matemaacuteticae da fiacutesica tornando-se uma espeacutecie de responsaacutevel pelo desa-brochar desses estudos na Europa




O maior fiacutesico islacircmico Ibn al-Haytham conhecido no Oci-dente como Alhazen nasceu em Basra no Iraque em 965 e vi- veu no Cairo Seu trabalho marcou o ponto mais elevado da fiacutesi-ca aacuterabe ndash Oacuteptica ndash usa orientaccedilatildeo matemaacutetica e experimental

e coloca como autoridade a evidecircncia empiacuterica Ele tinha claroo conceito de raio de luz e suas leis da refraccedilatildeo da luz foramusadas no seacuteculo XVII por Kepler e Descartes

No seacuteculo XII o Ocidente recuperou o ensino grego sob for-ma de traduccedilotildees latinas de textos islacircmicos fossem trabalhosoriginais aacuterabes como a Aacutelgebra de al-Khwarizmi e a Oacuteptica deal-Haytham fossem traduccedilotildees e comentaacuterios de aacuterabes sobretextos gregos de Aristoacuteteles Esse recente conhecimento afe-tou as novas universidades de Paris e de Oxford na Inglaterraambas da segunda metade do seacuteculo XII

Dois grandes cientistas versados nas traduccedilotildees das fontesaacuterabes entatildeo disponiacuteveis foram Robert Grosseteste e seu alunoRoger Bacon Grosseteste nasceu na Inglaterra por volta de 1168e faleceu em 1253 Curioso dos fenocircmenos naturais ele escreveu importantes textos sobre astronomia som e principalmen-te oacuteptica enfatizando a natureza da pesquisa cientiacutefica Figurascentrais do importante movimento intelectual na Inglaterra am-bos tiveram significativa influecircncia numa eacutepoca em que o novoconhecimento da ciecircncia e da filosofia gregas estava exercendoprofundo efeito na filosofia cristatilde divulgaram textos vindos domundo aacuterabe e foram precursores do meacutetodo cientiacutefico

O alematildeo da Baviera Alberto Magno tambeacutem desempenhoumarcante papel na introduccedilatildeo da ciecircncia grega e aacuterabe nas universidades da Europa ocidental Tendo nascido por volta de1200 Alberto Magno era dominicano e foi ensinar na universida-de de Paris em 1240 Desde 1210 as autoridades eclesiaacutesticas deParis condenaram os trabalhos cientiacuteficos de Aristoacuteteles e poresse motivo Alberto Magno enfrentou forte resistecircncia Foi umestudioso da Natureza deixando trabalhos sobre os animais e asplantas Diante da necessidade de uma siacutentese aceitaacutevel entre opensamento pagatildeo aristoteacutelico e a doutrina cristatilde a soluccedilatildeo en-contrada por Alberto Magno foi parafrasear a ciecircncia contida nosensinamentos aristoteacutelicos Sem recear discordar de Aristoacutetelesimportou parte de seus pensamentos Grande saacutebio tambeacutem pa-rafraseou a loacutegica a matemaacutetica a eacutetica a poliacutetica e a metafiacutesicado filoacutesofo grego

O tardio movimento cientiacutefico medieval concentrou-se na

ciecircncia fiacutesica pela possibilidade de se exercer a precisatildeo depensamento e a liberdade de especulaccedilatildeo Esse trabalho tevecontinuidade nos seacuteculos seguintes na Renascenccedila e no periacuteo-do da Revoluccedilatildeo Cientiacutefica




O RENASCIMENTO

Jean Buridan foi influente estudioso da ciecircncia natural e reitor dauniversidade de Paris Seu disciacutepulo Nicole drsquoOresme (aproxima-damente 1320ndash1382) estabelecia uma diferenccedila entre movimen-tos celestes e terrestres utilizou a matemaacutetica no movimentoplanetaacuterio e chegou a aplicar o conceito de ldquocentro de gravidaderdquoaos corpos no universo ele propocircs uma teoria para explicar o di-fiacutecil movimento de um projeacutetil e no estudo da queda de um corpona Terra sugeriu que a velocidade aumentava com o tempo dequeda antecedendo portanto a determinaccedilatildeo do valor da acele-raccedilatildeo da gravidade 981 ms2 para a queda livre

O periacuteodo histoacuterico denominado Renascimento manifesta-

-se na Itaacutelia no seacuteculo XIV com seus primeiros indiacutecios nos tra-balhos dos poetas Petrarca (1304ndash1374) e Boccaccio (1313ndash1375) humanistas e defensores da crenccedila de que sua culturaera herdeira da Antiguidade claacutessica A eacutepoca foi extremamentecriativa e pujante destacando-se as grandes navegaccedilotildees e des-cobertas de rotas mariacutetimas e de novas terras a invenccedilatildeo daimprensa pelo alematildeo Gutenberg

O artista e inventor italiano Leonardo da Vinci (1452ndash1519)mesmo sem possuir educaccedilatildeo formal mostrou-se criativo cons-

trutor mecacircnico e habilidoso desenhistaO polonecircs Nicolau Copeacuternico (1473ndash1543) insatisfeito com

a teoria de Ptolomeu propocircs o sistema heliocecircntrico com aTerra e os planetas em oacuterbita ao redor do Sol ponto de vista re- volucionaacuterio descrito em seu livro Das revoluccedilotildees dos corposcelestes a partir daiacute o homem perdeu seu lugar privilegiado nocentro do universo

Simon Stevin (1548ndash1620) publicou trecircs livros Princiacutepiosda estaacutetica Aplicaccedilotildees da estaacutetica e Princiacutepios da hidros-

taacutetica retomando os trabalhos de Arquimedes de 18 seacuteculosatraacutes

Gilbert (1540ndash1603) publicou em 1600 o livro De magne-te tratado de magnetismo

O italiano Giambattista Della Porta deu grande contribui-ccedilatildeo agrave oacuteptica no seacuteculo XVI

Ticho Brahe (1546ndash1601) astrocircnomo dinamarquecircs reali-zou medidas precisas do movimento dos astros no observatoacute-

rio fundado por ele com instrumentos de precisatildeo jamais vistadiscordou de algumas ideias de Aristoacuteteles e tambeacutem de Copeacuter-nico Criou sua proacutepria cosmologia com a Terra fixa no centrodo universo a Lua e o Sol em oacuterbitas terrestres poreacutem admitin-




do os planetas em oacuterbita ao redor do Sol Publicou Mecacircnicada nova astronomia um tratado descritivo dos instrumentose seus meacutetodos de uso por ele desenvolvidos

Johannes Kepler (1571ndash1630) sucedeu Ticho Brahe e che-

gou agraves trecircs leis dos movimentos dos planetas com a publicaccedilatildeoem 1609 de A nova astronomia Resultou de anos de observa-ccedilatildeo do movimento de Marte que natildeo apresentava movimentocircular uniforme e sim eliacuteptico com velocidade crescente ao seaproximar do Sol e decrescente ao se afastar dele Entre 1619e 1621 depois de examinar as informaccedilotildees de Brahe Keplerconcluiu que todos os planetas se comportavam da mesma ma-neira conforme descrito nas trecircs partes de sua obra Epiacutetomeda astronomia copernicana

Galileu Galilei (1564ndash1642) contemporacircneo de Kepler es-tudou o movimento dos corpos proacuteximos agrave Terra descobriu a leido movimento de um pecircndulo e pesquisou a queda dos corposprovando que ao contraacuterio da teoria aristoteacutelica o tempo dequeda independe de o corpo ser leve ou pesado Estudou o movimento de esferas em planos inclinados chegando ao princiacutepioda ineacutercia Fez uso cientiacutefico do telescoacutepio (talvez invenccedilatildeo ho-landesa) notou que a Lua tinha montanhas cuja altura podia

ser medida pelos comprimentos de suas sombras e que Juacutepi-ter era acompanhado por quatro pequenas luas em sua oacuterbitaEram fortes evidecircncias a favor da teoria de Copeacuternico Mudou--se de Veneza para Florenccedila em 1610 Laacute enfrentou resistecircnciasagraves suas concepccedilotildees pois ldquouma Terra em movimento feria asSagradas Escriturasrdquo Por algum tempo Galileu manteve-se emsilecircncio poreacutem em 1623 publicou O ensaiador expondo seuspontos de vista sobre a realidade cientiacutefica e sobre o meacutetodocientiacutefico Seu livro Diaacutelogo sobre os dois principais sistemas

do mundo ndash o ptolomaico e o copernicano publicado em 1632foi aplaudido em todo o restante da Europa causando poreacutemtumulto na Itaacutelia Galileu foi processado pela Inquisiccedilatildeo (1633)e condenado agrave prisatildeo domiciliar Trabalhou entatildeo em seu uacutelti-mo livro Discursos referentes a duas novas ciecircncias no qualapresenta suas conclusotildees a respeito da mecacircnica

A revisatildeo desses conceitos por Kepler e Galileu possibilitoua Isaac Newton (1642ndash1727) estabelecer as leis da MecacircnicaClaacutessica um conjunto harmonioso de princiacutepios claramente

enunciados bem como a lei do inverso do quadrado da distacircn-cia que explicava a gravitaccedilatildeo universal Sua obra-prima Phi-losophiae naturalis principia mathematica [Os princiacutepiosmatemaacuteticos da filosofia natural] foi publicada em 1687




No presente livro procuramos apresentar a Mecacircnica ateacutea eacutepoca newtoniana A Fiacutesica sofreu avanccedilos posteriores queseratildeo objeto de estudo nos outros volumes que trataratildeo de hi-drodinacircmica termodinacircmica ondas e eletromagnetismo

O MEacuteTODO CIENTIacuteFICO

Voltemos nossa atenccedilatildeo ao meacutetodo que revolucionou todo odesenvolvimento cientiacutefico trazendo explicaccedilotildees confiaacuteveis ebem elaboradas dos fenocircmenos

O estaacutegio fenomenoloacutegico da ciecircncia fiacutesica consiste na cata-logaccedilatildeo de eventos acompanhados de sua descriccedilatildeo Os even-

tos satildeo agrupados de acordo com suas semelhanccedilas a partirdaiacute levantam-se as grandezas fiacutesicas comuns aos fenocircmenosaquelas propriedades necessaacuterias para sua descriccedilatildeo O passoseguinte para a obtenccedilatildeo de uma teoria que explique aquelesfenocircmenos parecidos eacute a busca de relaccedilotildees entre as grandezaso que permite via de regra formular hipoacuteteses explicativas Omeacutetodo experimental ou meacutetodo cientiacutefico desenvolvido porGalileu eacute instrumento poderoso de anaacutelise dessa questatildeo

Galileu percebeu que era muito mais produtiva ndash e ainda o

eacute ndash para o avanccedilo da ciecircncia uma nova atitude em vez de seprocurar o porquecirc de um fenocircmeno deve-se inicialmente bus-car o que ocorre e como ocorre tal fenocircmeno Quase todo o pro-gresso cientiacutefico a partir da Renascenccedila eacute baseado no meacutetodoexperimental introduzido por Galileu Tal meacutetodo consiste em

bull observaccedilatildeo

bull formulaccedilatildeo de uma hipoacutetese

bull experimentaccedilatildeo

bull conclusatildeo

O homem procura entatildeo observar os fenocircmenos repeti-losem laboratoacuterio efetuar medidas propor uma hipoacutetese inicialalterar as condiccedilotildees em que ocorreram fazer novas medidasobservar outros fenocircmenos e realizar novas experimentaccedilotildeesEssas novas experimentaccedilotildees poderatildeo confirmar ou natildeo a hi-poacutetese inicial

Foi assim que se desenvolveram a mecacircnica e a termologiaa oacuteptica e a acuacutestica Ainda natildeo haacute teoria consistente para osfenocircmenos que envolvem o olfato e o paladar mas poderemosainda assistir agrave formulaccedilatildeo dessa teoria ou ateacute mesmo parti-




cipar de sua criaccedilatildeo Uma vez elaborada uma teoria ela devepassar por testes

Se em todos os fenocircmenos estudados haacute concordacircncia en-tre o que se levantou como hipoacutetese e a evidecircncia experimen-

tal entatildeo a teoria formulada parece adequada agrave compreensatildeodos fenocircmenos e tambeacutem agrave percepccedilatildeo de previsotildees embasadasPor outro lado se o teste da hipoacutetese nos mostrar que em algu-ma situaccedilatildeo natildeo conseguimos explicar um dos eventos relacio-nados por haver discordacircncia entre a hipoacutetese e a realidade eacutehora de substituir a teoria receacutem-criada por outra mais vigorosacapaz de cobrir aquele evento e todos os demais do conjunto

A Natureza natildeo erra jaacute a explicaccedilatildeo fruto da capacidadehumana pode falhar

Eacute preciso ter o espiacuterito alerta para observar indagar ebuscar explicaccedilotildees mais satisfatoacuterias agrave ampliaccedilatildeo dos conheci-mentos das leis da Natureza os quais nos propiciam controlarfenocircmenos e tirar proveito deles Isto eacute fazer Tecnologia queconsiste na aplicaccedilatildeo dos conhecimentos cientiacuteficos na soluccedilatildeodos problemas praacuteticos Alguns exemplos ajudam a ilustrar aafirmaccedilatildeo

bull a descoberta do eleacutetron foi consequecircncia do desejo de

se conhecer a estrutura da mateacuteria mas serviu de baseao desenvolvimento de muitos aparelhos eletrocircnicos

bull a descoberta das propriedades dos materiais semicon-dutores germacircnio e siliacutecio possibilitou melhorias pro-fundas nos aparelhos eletrocircnicos e avanccedilos notaacuteveis nacomputaccedilatildeo e na transmissatildeo de dados

bull a descoberta do raio laser trouxe inuacutemeras aplicaccedilotildees

praacuteticas agrave induacutestria agrave medicina e agrave instrumentaccedilatildeo

A QUEM SERVEM ESSAS TEORIAS

O conhecimento de fiacutesica eacute necessaacuterio a todas as pessoas quedesenvolvem espiacuterito criacutetico independentemente de sua atu-accedilatildeo meacutedico literato jornalista economista Serve especial-mente a tecnoacutelogos e engenheiros que a utilizam como apoionas tomadas de decisatildeo em suas atividades profissionais O es-tudo da fiacutesica faculta-nos um novo olhar mais arguto possibili-

tando visatildeo mais integrada do que ocorre agrave nossa voltaSem duacutevida a compreensatildeo dos fatos cotidianos bem como

a previsatildeo do que poderaacute acontecer sob determinadas condiccedilotildeesnos integram agrave Natureza e nos permitem entendecirc-la trazendo-nos




a confianccedila nos conhecimentos adquiridos por dedicados ho-mens e mulheres que ao longo dos seacuteculos elaboraram teoriascapazes de explicaacute-la

MODELO

Nos estudos de fiacutesica frequentemente para facilitar a compreen-satildeo e a anaacutelise matemaacutetica de situaccedilotildees complexas lanccedila-sematildeo de um ldquomodelordquo um sistema irreal e abstrato mas queapresenta soluccedilatildeo simples e aproximada da realidade

Exemplificando analisamos a queda de um corpo supondonatildeo haver resistecircncia do ar e admitindo constante a aceleraccedilatildeo

da gravidade Isto se justifica plenamente de acordo com a pre-cisatildeo exigida para a resposta do problema em exame Em certoscasos as previsotildees teoacutericas coincidem com as medidas experi-mentais agraves vezes com pequena margem de diferenccedila Em ou-tros casos a diferenccedila eacute grande e este procedimento serve ape-nas como referecircncia inicial da resposta que deve ser alteradapelas outras condiccedilotildees do problema Por exemplo como atuaa resistecircncia do ar Sua intensidade eacute variaacutevel Constata-seempiricamente que a forccedila de resistecircncia oferecida pelo ar aum corpo que nele se move depende da forma do corpo e parabaixas velocidades eacute proporcional agrave velocidade isto eacute F = k sdot vpara outra faixa de velocidades eacute proporcional ao quadrado da velocidade ou seja F = ksdot v 2 O fenocircmeno eacute bastante complexo

E a aceleraccedilatildeo da gravidade sofre alteraccedilatildeo com a altitu-de De acordo com a lei da gravitaccedilatildeo universal descoberta porNewton a aceleraccedilatildeo gravitacional num ponto eacute inversamenteproporcional ao quadrado da distacircncia desse ponto ao centroda Terra

Estes e outros elementos complicadores podem levar oprofissional a aplicar leis empiacutericas para soluccedilatildeo de determi-nados problemas ou a usar maquetes em escala reduzida ouainda a servir-se de tabelas que permitem chegar mais rapi-damente ao resultado esperado Maquetes em escala reduzidapodem detectar problemas reais e precedem a construccedilatildeo deusinas hidreleacutetricas por exemplo A utilizaccedilatildeo de tabelas parasolucionar um problema real de baliacutestica eacute sem duacutevida vanta- josa sob vaacuterios pontos de vista incluindo o tempo de soluccedilatildeo

Observaccedilotildees anaacutelises e experimentos conduzem agrave necessi-dade do uso de instrumentos desde os mais rudimentares ateacuteos mais complexos Desenvolvidos por cientistas e teacutecnicos nosuacuteltimos seacuteculos esses instrumentos fantaacutesticos foram capazes




de ampliar nossos sentidos fornecendo informaccedilotildees e compro- vaccedilotildees confiaacuteveis

Assim evolui a ciecircncia novos instrumentos possibilitam novas descobertas

REFEREcircNCIAS

RONAN Colin A Histoacuteria ilustrada da ciecircncia da Universidadede Cambridge Rio de Janeiro Jorge Zahar 1987 4 v

KUHN T S The struture of scientific revolutions 2 ed Chicago eLondon University of Chicago Press 1970





27Grandezas fiacutesicas e vetores

G RA N D E ZA S F Iacute S I CA S

E V E T O R E S1

Juan Carlos Ramirez Mittani

11 GRANDEZAS FIacuteSICAS

111 INTRODUCcedilAtildeO

Uma grandeza fiacutesica eacute toda propriedade dos corpos que podeser medida e agrave qual se pode atribuir um valor numeacuterico Porexemplo volume temperatura velocidade pressatildeo etc Poreacutemexistem outras propriedades que ainda natildeo podem ser medidascomo o sabor o odor e a saudade que por conseguinte natildeotecircm a caracteriacutestica de grandeza fiacutesica

Medir eacute comparar quantitativamente a grandeza fiacutesicacom outra grandeza padratildeo da mesma espeacutecie que no caso eacutea unidade de medida Assim verificamos entatildeo quantas ve-

zes a unidade padratildeo estaacute contida na grandeza que estaacute sendomedida Nas mediccedilotildees as grandezas sempre devem vir acom-panhadas de unidades Por exemplo a massa de um corpo podeser medida em quilogramas Suponha que a massa de um deter-minado corpo tenha 2 kg se dividirmos o corpo em duas partesiguais cada uma teraacute massa 1 kg neste caso 1 kg eacute a unidadede medida Entretanto se pudeacutessemos dividir o corpo em 2 000pedaccedilos iguais cada parte teria 1 g neste caso 1 g eacute a unidadede medida Em ambos os casos estamos medindo a mesmagrandeza fiacutesica que eacute a massa do corpo embora as unidades

sejam distintasNatildeo obstante existam dezenas de grandezas fiacutesicas satildeo es-

tabelecidos padrotildees e unidades definidos para um nuacutemero miacute-nimo de grandezas as quais satildeo denominadas fundamentais




A partir das grandezas fundamentais satildeo definidas unida-des para todas as demais grandezas denominadas grandezasderivadas

112 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

O Sistema Internacional de unidades SI foi sancionado em 1971na 14a Conferecircncia Geral de Pesos e Medidas Tomando em con-sideraccedilatildeo as vantagens de se adotar um sistema uacutenico para serutilizado mundialmente nas mediccedilotildees que interessam tanto aocomeacutercio e a induacutestria quanto ao ensino e ao trabalho cientiacuteficodecidiu-se fundamentar o Sistema Internacional em sete unida-des baacutesicas bem definidas consideradas independentes sob o

ponto de vista dimensional A Tabela 11 mostra as grandezasfundamentais do SI e suas respectivas unidades e a Tabela 12 asdefiniccedilotildees das grandezas comprimento massa e tempo

Tabela 11 Grandezas fundamentais do SI

Grandeza Unidade SiacutemboloRepresentaccedilatildeo

dimensional

Comprimento metro m L

Massa quilograma kg M

Tempo segundo s T

Corrente eleacutetrica ampegravere A I

Temperatura kelvin K θ

Intensidade Luminosa candela cd I

Quantidade de Mateacuteria mol mol

Tabela 12 Definiccedilatildeo das trecircs principais grandezas fiacutesicas fundamentais daMecacircnica

Grandeza Unidade Definiccedilatildeo

Comprimento metro

ldquoO metro eacute o comprimento do trajetopercorrido pela luz no vaacutecuo durante um

intervalo de tempo de 1299 792 458 de umsegundordquo

Massa quilograma

ldquoO quilograma eacute a unidade de massa (e natildeode peso nem forccedila) ele eacute igual agrave massa do

protoacutetipo internacional do quilogramardquo Esseprotoacutetipo internacional em platina iridiada

eacute conservado no Bureau Internacional

Tempo segundo

ldquoO segundo eacute a duraccedilatildeo de 9 192 631 770oscilaccedilotildees da luz correspondente agrave transiccedilatildeo

entre os dois niacuteveis hiperfinos do estadofundamental do aacutetomo de ceacutesio 133rdquo




A segunda classe de unidades do SI abrange as unidadesderivadas isto eacute as unidades que podem ser formadas combi-nando-se unidades fundamentais segundo relaccedilotildees algeacutebricasque interligam as grandezas correspondentes Diversas dessasexpressotildees algeacutebricas em razatildeo de unidades de base podem

ser substituiacutedas por nomes e siacutembolos especiais o que permitesua utilizaccedilatildeo na formaccedilatildeo de outras unidades derivadas

113 MUacuteLTIPLOS E SUBMUacuteLTIPLOS DAS UNIDADES

Quando a grandeza fiacutesica eacute muito maior ou muito menor quea unidade eacute comum utilizar muacuteltiplos e submuacuteltiplos das uni-dades Fazemos uso entatildeo da notaccedilatildeo com potecircncias de deztambeacutem conhecida como notaccedilatildeo cientiacutefica

A Tabela 13 apresenta a correspondecircncia entre a nota-ccedilatildeo cientiacutefica e os muacuteltiplos e submuacuteltiplos Cada conjunto demuacuteltiplo e submuacuteltiplo do SI tem um siacutembolo da unidade Porexemplo o siacutembolo k (quilo) corresponde a 103 Como exem-plo se certa distacircncia eacute de 80 km entatildeo essa distacircncia eacute igual80 middot 103 m ou 80 middot 104 m em notaccedilatildeo cientiacutefica

Tabela 13 Prefixos das unidades do SI

Fator Prefixo Siacutembolo Escala curta

1018 exa E Quintilhatildeo

1015 peta P Quadrilhatildeo

1012 tera T Trilhatildeo

109 giga G Bilhatildeo

106 mega M Milhatildeo

103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena

10ndash1 deci d Deacutecimo

10ndash2 centi c Centeacutesimo10ndash3 mili m Mileacutesimo

10ndash6 micro micro Milioneacutesimo

10ndash9 nano n Bilioneacutesimo

10ndash12 pico p Trilioneacutesimo

10ndash15 femto f Quadrilioneacutesimo

10ndash18 ato a Quintilioneacutesimo

114 TRANSFORMACcedilAtildeO DE UNIDADES DE MEDIDAA transformaccedilatildeo ou conversatildeo de unidades segue regras algeacute-bricas simples e pode ser feita pela regra da cadeia (ver exerciacute-cios resolvidos)




115 FOacuteRMULA DIMENSIONAL

Algumas vezes podemos especificar a posiccedilatildeo de uma partiacuteculapelo nuacutemero de coordenadas envolvidas Assim por exemplose a partiacutecula estaacute ao longo do eixo x utilizamos uma coorde-

nada (unidimensional) Se a partiacutecula estaacute num plano xy utili-zamos duas coordenadas (bidimensional) e se estaacute no espaccediloutilizamos trecircs coordenadas (tridimensional)

A dimensatildeo de grandezas fiacutesicas segue a mesma filosofia enos indica a natureza da grandeza com base nas unidades funda-mentais Em outras palavras a dimensatildeo de uma grandeza nosindica como essa grandeza se relaciona com cada uma das seteunidades baacutesicas Por exemplo uma grandeza fiacutesica que pode sermedida usando-se unidades de massa eacute dita ter a dimensatildeo demassa e cujo siacutembolo eacute M Para podermos identificar uma gran-deza fiacutesica numa foacutermula dimensional devemos colocar a grande-za entre colchetes ([ ])

A Tabela 14 apresenta a foacutermula dimensional de algumasgrandezas fiacutesicas que usaremos neste livro em funccedilatildeo das trecircsgrandezas fiacutesicas fundamentais da Mecacircnica comprimento (L)massa (M) e tempo (T)

Tabela 14 Foacutermula dimensional e unidades SI de algumas grandezas fiacutesicas

Grandeza fiacutesica Foacutermula dimensional UnidadeAacuterea L2 1 m2

Volume L3 1 m3

Velocidade LT ndash1 1 ms

Aceleraccedilatildeo LT ndash2 1 ms2

Forccedila MLT ndash2 1 kg ms2 =1 N

Trabalho ML2T ndash2 1 kg m2s2 = 1 Nm = 1 J

Energia cineacutetica ML2T ndash2 1 kg m2s2 = 1 Nm = 1 J

Energia potencial ML2T ndash2 1 kg m2s2 = 1 Nm = 1 J

Torque ML2T ndash2 1 kg m2s2 = 1 Nm

Potecircncia ML2T ndash3 1 kg m2s3= 1 Js = 1 W

Impulso MLT ndash1 1 kg ms =1 N s

Momento linear MLT ndash1 1 kg ms

Periacuteodo T 1 s

Frequecircncia T ndash1 1s = 1 Hz

Velocidade angular T ndash1 1 rads

Aceleraccedilatildeo angular T ndash2 1 rads2

Para resolvermos equaccedilotildees dimensionais devemos trataacute-lascomo qualquer equaccedilatildeo algeacutebrica comum poreacutem considerandoos aspectos importantes a seguir




a) A equaccedilatildeo dimensional tem de ser homogecircnea isto eacute todosos termos que compotildeem a equaccedilatildeo tecircm de ter a mesmadimensatildeo

Na equaccedilatildeo s vt at= +1

2

2

[s] = L

[v t] = LTndash1T = L

[a t2] = LT ndash2T 2 = L

Podemos observar que todos os termos que compotildeem aequaccedilatildeo tecircm a mesma dimensatildeo entatildeo ela eacute homogecircnea

b) Todos os valores puramente numeacutericos acircngulos logarit-mos constantes numeacutericas e funccedilotildees trigonomeacutetricas quefiguram em algumas grandezas derivadas tecircm dimensatildeo 1

ou seja satildeo adimensionaisPor exemplo a constante π

[π] = M0L0T0 = 1 adimensional

c) Natildeo se pode operar a soma ou subtraccedilatildeo de duas grandezascom dimensatildeo diferente e todas as equaccedilotildees dimensionaisdevem ser expressas como produtos

Por exemplo a expressatildeoM

L T2 3-

deveraacute ser expressa como

MLndash2 T3

EXERCIacuteCIOS RESOLVIDOS

CONVERSAtildeO DE UNIDADES

1) A quantos kmh equivale 30 ms

Soluccedilatildeo

Como 1 000 m = 1 km temos que1

1000

1km

m

=

Da mesma maneira 3 600 s = 1h e portanto 3600

11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=

2) Uma unidade astronocircmica UA eacute a distacircncia meacutedia da Terraao Sol e eacute aproximadamente 150 middot 106 km Suponha que a ve-locidade da luz vale cerca de 3 middot 108 ms Escrever a velocida-

de da luz em termos de unidades astronocircmicas por minuto Soluccedilatildeo

Primeiramente temos que 1 km = 1 000 m ou

1

10001

km

m=




e 1UA = 150middot106 km ou

1

150 101

6

UA

kmsdot

=

tambeacutem 60 s = 1 min ou 60

11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8

6sdot = sdot sdot sdot

sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min

ANAacuteLISE DIMENSIONAL

3) Determinar a foacutermula dimensional da forccedila

Soluccedilatildeo

De acordo com a segunda lei de Newton Forccedila = massa middot aceleraccedilatildeo ou F = m middot a

[F] = [m] sdot [a]

[m] = M

[a] = [v][t] = L T ndash1 T = L T ndash2

Assim a dimensatildeo da forccedila seraacute [F] = L M T ndash2

4) Determinar a foacutermula dimensional da pressatildeo

Soluccedilatildeo

Sabemos que Pressatildeo = ForccedilaAacuterea ou P = FA

[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2

A dimensatildeo da pressatildeo eacute [P] = L M T ndash2 L2 = L ndash1 M T ndash2

5) A equaccedilatildeo ( 1 3) 2

kga b

m vminus

= ρ eacute dimensionalmente homogecirc-nea Determinar os valores de a e b onde

m = massa

v = velocidade

k = constante numeacuterica

g = aceleraccedilatildeo da gravidade

ρ = densidade absoluta ou massa especiacutefica

Soluccedilatildeo

Primeiramente determinamos a dimensatildeo de cada componente

[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3

A seguir colocamos as dimensotildees na equaccedilatildeo1 3 2

kga b

m v ρ minus

=

M L T L T M Lminus minus minus minus

=1 3 2 2 2 3

1 a a b b

Ordenando os termos temos L M T L M T2 1 3 2 3 2minus minus minus minus

= a b b a

Devido agrave homogeneidade da equaccedilatildeo igualamos os expoen-

tes e obtemos os valores de a e b Para os expoentes de T ndash2a = ndash2

a = 1

Para os expoentes de M b = ndash13

Verificaccedilatildeo

Para os expoentes de L 2 = a ndash 3b

De fato2 1 3

1

3= minus minus

EXERCIacuteCIOS COM RESPOSTAS


1) Converter 235 mililitros para hectolitros

Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros

2) Converter 50 m2 para mm2

Resposta

50 middot 106 mm2

3) Sabe-se que a aceleraccedilatildeo normal da gravidade eacute 980665 ms2Expressar esta aceleraccedilatildeo em

a) peacutesmin2

Resposta

116 middot 104 peacutesmin2




b) milhashora2

Resposta

79 sdot 104 milhashora2

Sabe-se que 1 peacute = 03048 m e 1 milha = 1 609 m

4) Converter 5 newtons em dinas sabendo que 1 newton =1 kg sdot 1ms2 e 1dina = 1g sdot 1cms2

Resposta

5 middot 105 dinas

5) Na figura estatildeo representadas trecircs esferas mutuamente

tangentes a maior delas oca As duas menores satildeo iguaiscada uma de volume V m Em funccedilatildeo de V m expressar

O volume V M da esfera maior

Resposta

V M = 8V m

O volume V V do espaccedilo vazio dentro da esfera maior

Resposta

V V = 6V m

6) O momento de ineacutercia da Terra em relaccedilatildeo ao seu eixo de ro-taccedilatildeo eacute I = 214 middot 1039 peacutes2 lb (onde 1 peacute = 03048 m e 1 lb =0454 kg) Expressar o momento de ineacutercia da Terra emunidades SI

Resposta

904 middot 1037 m2 kg

7) Sendo uma unidade A = 100B e uma unidade C = 5D converter

a) 5 unidades A para unidades B

Resposta

500B




b) 10 unidades C para unidades D

Resposta

50D

c) 10 unidades B para unidades A

Resposta

01A

d) 20 unidades D para unidades C

Resposta

4C

8) Com as mesmas relaccedilotildees do problema anterior converter

a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2

b) 1 620BD2 para AC2

Resposta

405 AC2

9) Um cavalo-vapor (cv) equivale a 7355 W Qual eacute o consumode energia de uma maacutequina de 10 cv que funciona 8 horasem joules (1 W = 1Js)

Resposta

2118 middot 106 joules

ANAacuteLISE DIMENSIONAL10) Determinar a foacutermula dimensional do trabalho

Resposta

ML2Tndash2

11) Einstein deduziu a equaccedilatildeo E = mc2 onde m eacute a massa e c a velocidade da luz (ms) Determinar a foacutermula dimensional

de E e sua unidade no SI Resposta

ML2Tndash2 kg m2 s2




12) A vazatildeo de uma torneira eacute 12 litrosmin

a) Converter para unidades do SI

Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3

sb) Qual eacute a foacutermula dimensional da vazatildeo

Resposta

L3Tndash1

13) Certa forccedila segue a lei F = 15 ndash 3x com unidades do SInesta expressatildeo x eacute a abscissa que assume os valores entre0 e 5m Determine a foacutermula dimensional das constantes 15e ndash3 bem como suas unidades no SI

Resposta

MLTndash2 e kg ms2 para a constante 15 e MTndash2 e kgs2 para aconstante ndash3

14) Suponha duas grandezas fiacutesicas A e B ambas com diferen-tes dimensotildees Determinar quais das operaccedilotildees aritmeacuteticaspropostas abaixo podem ter significado fiacutesico

a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)

15) Nas equaccedilotildees abaixo x eacute a distacircncia em metros t o tem-po em segundos e v a velocidade em metros por segundo

Quais satildeo as foacutermulas dimensionais e as unidades SI dasconstantes C1 e C2

a) x = C1 + C2t

Resposta L m para C1 e LT ndash1 ms para C2

b)1

21

2= C t

Resposta

LT ndash2 ms2 para C1

c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta

L m para C1 e T ndash1 1s para C2

e) v = C1e

ndashC2t

Resposta

LT ndash1 ms para C1 e T ndash1 1s para C2

16) A equaccedilatildeo da posiccedilatildeo de uma partiacutecula que se movimentacom uma aceleraccedilatildeo constante eacute x = k am tn onde k eacute umaconstante a aceleraccedilatildeo (metrossegundo2) e t o tempoUsando a foacutermula dimensional encontrar os valores de m e n para que a expressatildeo fique correta

Resposta m = 1 e n = 2

17) Quais das equaccedilotildees abaixo satildeo dimensionalmente corretas

a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)

18) Seja x = A + B sen (Ct) a equaccedilatildeo do movimento oscilatoacuteriode uma partiacutecula no eixo x Obter as dimensotildees de A B e C

Resposta

L para A L para B e T ndash1 para C

19) A equaccedilatildeo P = q z R ndashy S x eacute dimensionalmente homogecircneaEncontrar o valor de x ndash 3y onde P eacute a pressatildeo q eacute a forccedila R o volume e S comprimento

Resposta

x ndash 3y = ndash2

20) A velocidade de uma partiacutecula eacute dada pela expressatildeo

v KF Qd

Q v= minus

+

1

onde F eacute forccedila e v1 velocidade Determinar

as dimensotildees de K Q e d

Resposta

M ndash1T para K LT ndash1 para Q e LT ndash1 para d




12 VETORES


Algumas grandezas fiacutesicas para sua caracterizaccedilatildeo precisam

apenas do valor de sua intensidade Por exemplo se falamos de36 oC ou 10 segundos ambas as grandezas ficam perfeitamentedefinidas quando especificadas sua intensidade e sua unidadede medida Grandezas desse tipo satildeo denominadas grandezasescalares e lidamos com elas simplesmente usando as regrasde aacutelgebra elementar Exemplos de grandezas escalares satildeo atemperatura o tempo a massa etc

Por outro lado existem grandezas fiacutesicas que para sua ca-racterizaccedilatildeo exigem aleacutem de sua intensidade (moacutedulo) uma

orientaccedilatildeo espacial isto eacute uma direccedilatildeo e um sentido Assimquando algueacutem estaacute se deslocando de uma posiccedilatildeo para outranatildeo basta dizer que percorreu uma distacircncia igual a 20 m eacutepreciso especificar aleacutem da distacircncia a direccedilatildeo e o sentido emque ocorreu o deslocamento Essas grandezas recebem o nomede grandezas vetoriais Exemplos de grandezas vetoriais satildeo a velocidade a aceleraccedilatildeo a forccedila etc

Uma grandeza vetorial pode ser representada matematica-mente por um vetor Graficamente podemos representar um

vetor por meio de um segmento de reta orientado que apresen-ta as seguintes caracteriacutesticas

Moacutedulo = comprimento do segmento de reta em escalaadequada

Direccedilatildeo = a reta que suporta o segmento

Sentido = dado pela seta colocada na extremidade do segmento

A Figura 11 representa uma grandeza vetorial qualquer ondeo moacutedulo eacute representado pelo comprimento do segmento AB adireccedilatildeo determinada pela reta que passa pelos pontos A e B e osentido a seta localizada no ponto B que indica de A para B

Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11




Para indicar um vetor podemos usar qualquer um das for-mas seguintes

a ou ABrarr

De igual maneira para indicar o moacutedulo podemos usarqualquer uma das notaccedilotildees abaixo

a ou |a|

122 SOMA DE VETORES

A Figura 12 mostra o caminho percorrido por uma bola de si-nuca apoacutes sofrer vaacuterios choques Observa-se que a bola executa

vaacuterios deslocamentos desde o ponto O ateacute chegar ao ponto PA Figura 12 tambeacutem mostra o deslocamento resultante quechamaremos de soma vetorial dos vaacuterios deslocamentos

Eacute importante notar que o vetor Soma Vetorial eacute um vetorque tem o seu iniacutecio no ponto de partida da bola e fim no pontode chegada Observa-se que este deslocamento resultante natildeoeacute simplesmente uma soma algeacutebrica usual

Deslocamento

resultante

O

P

Uma propriedade importante dos vetores eacute que eles podemser transladados para qualquer ponto no espaccedilo sem sofrer ne-nhuma alteraccedilatildeo no seu moacutedulo sentido e direccedilatildeo A Figura 13mostra dois vetores A e B (Figura 13a) transladados de duas

maneiras (Figuras 13b e 13c)Existem dois meacutetodos geomeacutetricos para realizar a soma de

dois vetores A + B Estes dois meacutetodos satildeo meacutetodo da triangu-laccedilatildeo e meacutetodo do paralelogramo

Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B

1221 Meacutetodo da triangulaccedilatildeo

Sejam dois vetores A = 5 com o sentido e a direccedilatildeo do eixo x positivo e B = 10 que forma um acircngulo de 60o com o vetor AO vetor resultante R pode ser obtido aplicando-se o meacutetodo da

triangulaccedilatildeoO meacutetodo consiste em ligar a origem do vetor B com a ex-

tremidade do vetor A sendo o vetor Resultante ou vetor Somaaquele vetor que fecha o triacircngulo e que tem sua origem coinci-dente com a origem do vetor A e sua extremidade coincidentecom a extremidade do vetor B o que eacute representado pelo vetor R da Figura 14

R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A

Para obtermos o vetor resultante R devemos calcular seumoacutedulo e sua direccedilatildeo dada pelo acircngulo θ Algebricamente po-demos calcular ambos usando as leis dos senos e cossenos

b a

c

Lei dos cossenos Lei dos senos

a2 = b2 + c2 ndash 2 b c cosa sen sen sen

a b cα β γ

= =b2 = a2 + c2 ndash 2 a c cosb

c2 = b2 + a2 ndash 2 b c cosγ

Figura 14

Figura 13




Da Figura 14 obtemos o valor de R aplicando a lei dos cos-senos

R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos

e o acircngulo θ com a lei dos senos

o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =

1222 Meacutetodo do paralelogramoO meacutetodo do paralelogramo consiste em coincidir as origens dosdois vetores A e B e construir um paralelogramo O vetor Re-sultante ou vetor Soma seraacute a diagonal do paralelogramo cujaorigem coincide com a origem dos vetores A e B (Figura 15) Omoacutedulo e o acircngulo do vetor resultante R satildeo obtidos da mesmamaneira descrita no meacutetodo da triangulaccedilatildeo anteriormente vis-to Para isto usamos o triacircngulo sombreado da Figura 15

5

150ordm

30ordm

R B

A

R

Usando uma reacutegua e um transferidor podemos obter a re-sultante graficamente construindo as figuras com escala ade-quada ao tamanho do papel A resposta eacute dada com a leitura docomprimento da resultante (em escala) e do acircngulo que esse vetor forma com o vetor A

123 VETORES OPOSTOSDois vetores satildeo opostos quando possuem o mesmo moacutedulo ea mesma direccedilatildeo poreacutem com sentidos contraacuterios (Figura 16)Assim o vetor oposto de B eacute o vetor ndash B tal que B + (ndash B) = 0

Figura 15




B

- B

Para efetuarmos uma subtraccedilatildeo vetorial R

=

A

ndash B

fazemosa soma A + (ndash B) como mostrado na Figura 17

(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A

Assim como no caso da soma de vetores obtemos o valorde R aplicando a lei dos cossenos e o acircngulo θ mediante a apli-caccedilatildeo da lei dos senos

R o

= + minus sdot sdot =

5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg

124 MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM VETOR POR UM ESCALARSeja o vetor A + A como mostra a Figura 18 Eacute faacutecil perceberque o vetor resultante seraacute um vetor que tem a mesma direccedilatildeoe sentido do vetor A poreacutem um moacutedulo duas vezes maior (2 A)Similarmente se considerarmos o vetor (ndash A) + (ndash A) + (ndash A) o vetor resultante seraacute um vetor que possui a mesma direccedilatildeo do vetor A poreacutem com sentido oposto e um moacutedulo trecircs vezesmaior (3 A)

2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17

(a) soma de vetores A + B (b) subtraccedilatildeo de vetores

A ndash B

Figura 18




Dos exemplos acima podemos generalizar dizendo quequando multiplicamos um escalar m por um vetor A o resul-tado mA eacute um vetor que tem a mesma direccedilatildeo de A e tambeacutemo mesmo sentido se m gt 0 ou sentido contraacuterio se m lt 0 Omoacutedulo do vetor eacute | m | vezes A (Figura 19)

A

A

A

A

A

m

m

- m

m A

125 VETORES UNITAacuteRIOS E COMPONENTES DE VETORESUm vetor unitaacuterio eacute aquele cujo moacutedulo (comprimento) eacute iguala 1 e seu uacutenico propoacutesito eacute indicar uma orientaccedilatildeo no espaccediloO vetor unitaacuterio natildeo possui nenhuma dimensatildeo nem unidadePara denotaacute-lo utilizamos um circunflexo na parte superior daletra que o identifica ˆ ˆ A i

Uma maneira direta de construir um vetor unitaacuterio eacute tomarum vetor qualquer e dividi-lo pelo seu moacutedulo

A A

A

=

Assim ˆ A representa um vetor unitaacuterio com a mesma dire-ccedilatildeo e sentido do vetor A

Operaccedilotildees com vetores ficam mais faacuteceis quando utiliza-mos as suas componentes Contudo eacute necessaacuterio definir os vetores utilizando um sistema de coordenadas O sistema decoordenadas usual eacute o sistema cartesiano com os eixos x y e z perpendiculares uns aos outros e com os vetores unitaacuterios

ˆ ˆ ˆ i j k e respectivamente orientados ao longo dos trecircs eixos nosentido positivo (Figura 110)

z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110




Um vetor qualquer pode ser representado como uma somade trecircs vetores orientados ao longo de cada um dos eixos coor-denados como mostra a Figura 111 O vetor ao longo do eixo x tem a mesma direccedilatildeo que o vetor unitaacuterio ˆ i e se pode escrevecirc-lo

como A i x ˆ Da mesma forma os vetores ao longo dos eixos y e z podem ser escritos como A j A k

y z ˆ ˆ e respectivamente

Os valores A x Ay e A z satildeo magnitudes escalares que podemser positivas negativas ou nulas e recebem o nome de compo-nentes do vetor A

z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r

Assim o vetor A em funccedilatildeo de suas componentes cartesia-nas pode ser escrito como

A A i A A k j

x y z= + +

e seu moacutedulo como

A A A A

x y z= + +

2 2 2

Se um vetor forma acircngulos a b e γ com os eixos de coorde-nadas x y e z respectivamente podemos obter as componentesdo vetor fazendo a projeccedilatildeo do comprimento do vetor (moacutedu-lo) sobre os eixos de coordenadas (Figura 112)

A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ

O vetor unitaacuterio de A seraacute

cos cos ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ

x y z A A A A A A A A

i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =

ˆ cos cos ˆ c ˆ os ˆ i k A jα β γ = + +

Observa-se que o vetor unitaacuterio de A

tem como compo-nentes os cossenos dos acircngulos que o vetor faz com os eixosde coordenadas Esses cossenos satildeo chamados de cossenos di-retores jaacute que fornecem a informaccedilatildeo da orientaccedilatildeo do vetorno espaccedilo

Assim a expressatildeo de um vetor por meio de suas compo-nentes nos fornece toda a informaccedilatildeo necessaacuteria isto eacute moacutedu-lo direccedilatildeo e sentido

126 SOMA E SUBTRACcedilAtildeO DE VETORES POR MEIO DESUAS COMPONENTES

O resultado de uma soma de vetores eacute obtido mais facilmentecom a utilizaccedilatildeo das componentes dos vetores Por exemplodois vetores A e B ambos com suas respectivas componentes

A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +

A B A i A j A k B i B j B k

x y z x y z+ = + +( ) + + +( )

A B A B i A B j A B k

x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112




As componentes do vetor resultante satildeo simplesmente asoma das componentes de cada um dos vetores em cada um doseixos cartesianos Isto tambeacutem eacute vaacutelido para somas que envol- vam mais do que dois vetores

Uma anaacutelise similar pode ser feita na subtraccedilatildeo de vetoresem que o vetor resultante seraacute simplesmente a subtraccedilatildeo dascomponentes dos vetores envolvidos na operaccedilatildeo

A B A A A B B Bi j k i j k

x y z x y zminus = + +( ) minus + +( )


x x y y z zminus = minus( ) + minus( ) + minus( )

127 PRODUTO DE VETORESNo decorrer deste livro encontraremos muitas situaccedilotildees de in-teresse fiacutesico nas quais os resultados de grandezas fiacutesicas de-pendem do produto de duas grandezas vetoriais Por exemploo trabalho necessaacuterio para deslocar um objeto depende do des-locamento (grandeza vetorial) e da forccedila aplicada (grandeza vetorial) Em alguns casos a grandeza fiacutesica resultante na qualestamos interessados eacute uma grandeza escalar como o trabalhono exemplo anterior e outras vezes o resultado procurado eacuteuma grandeza vetorial

Para descrever esses fenocircmenos de forma matemaacutetica cor-reta eacute necessaacuterio definir duas novas operaccedilotildees entre vetores Aoperaccedilatildeo entre dois vetores que decirc como resultado um escalarchamaremos de produto escalar e a operaccedilatildeo matemaacutetica en-tre dois vetores que decirc como resultado outro vetor chamare-mos de produto vetorial

1271 Produto escalar

Denomina-se produto escalar de dois vetores A e B o valor es-calar obtido do produto dos moacutedulos dos vetores e do cossenodo acircngulo que ambos formam (Figura 113)

B

A

cos A B AB θ sdot =

Figura 113




O resultado da operaccedilatildeo eacute um escalar que pode ser positivonegativo ou nulo dependendo do acircngulo entre os dois vetores

0 90 0le lt rArr sdot gtθ o

A B

90 180 0o o A Blt le rArr sdot ltθ

θ = rArr sdot =rArr perp90 0o

A B A B

Aplicando o produto escalar entre os vetores unitaacuterios ˆ ˆ ˆ i j ke

teremos

i i j j k k i j j k k i sdot = sdot = sdot = sdot = sdot = sdot =1 0e

Assim o produto escalar de dois vetores A e B mediantesuas componentes se expressa como

A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B

x x y y z zsdot = + +

O produto escalar de um vetor por ele mesmo eacute o moacutedulodo vetor ao quadrado

A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2

1272 Produto vetorial

Matematicamente o produto vetorial de dois vetores A e B se ex-pressa como A 983091 B O resultado da operaccedilatildeo eacute outro vetor no qualo moacutedulo direccedilatildeo e sentido satildeo obtidos da seguinte maneira

Moacutedulo produto dos moacutedulos dos vetores e o seno do acircn-

gulo que ambos formam A middot Bsen θ

Direccedilatildeo perpendicular ao plano que conteacutem os dois vetores

Sentido Indicado pela regra da matildeo direita mostrado naFigura 114 Quando se orienta os dedos da matildeo direita demaneira que o primeiro vetor gire em direccedilatildeo ao segundo odedo polegar esticado mostraraacute o sentido do produto vetorial

O produto vetorial eacute nulo se os dois vetores tecircm a mesmadireccedilatildeo (θ = 0o ou θ = 180o) e natildeo admite a propriedade comu-tativa Mudar a ordem dos vetores implica a mudanccedila do sinaldo resultado A 983091 B = ndash B 983091 A (Figura 115)




B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B

Se aplicarmos a definiccedilatildeo do produto vetorial aos vetoresunitaacuterios ˆ ˆ ˆ i j ke

i i j j k k times = times = times = 0 i j k j k i i jk

times = times = times =

A expressatildeo para o produto vetorial de dois vetores A e B em funccedilatildeo de suas componentes seraacute

A B A A A

B B B

A B A B A B i A B A B j

i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =

times = minus( ) + minus( ) + (( ) A B A B k x y y x

minus


VETORES UNITAacuteRIOS E COMPONENTES DE VETORES

1) O vetor A da figura a seguir tem moacutedulo igual a 60 unidades

a) Encontrar a expressatildeo do vetor em funccedilatildeo dos vetoresunitaacuterios no plano cartesiano e

Figura 114

Figura 115




b) O vetor unitaacuterio de A

y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo

a) Primeiramente fazemos a projeccedilatildeo do vetor A nos ei-xos x e y

x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y

As componentes A x e Ay podem ser obtidas usandotanto os acircngulos θ 1 e θ 2 assim como o acircngulo de 150o

Usando os acircngulos θ 1 e θ 2 temos

2cos 60 cos30 52 x A A θ = minus sdot = minus sdot deg = minus

1cos 60 cos 60 30y A A θ = sdot = sdot deg =

Usando o acircngulo de 150o temos

A A x

o o= sdot = sdot = minuscos cos150 60 150 52

A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30

A expressatildeo do vetor A em funccedilatildeo dos vetores unitaacute-rios eacute

A i j= minus +52 30

b) Obtemos o vetor unitaacuterio de A dividindo o vetor pelo seumoacutedulo Mostramos na continuaccedilatildeo duas maneiras de cal-

Figura 116

Figura 117




cular o vetor unitaacuterio usando os cossenos diretores e ascomponentes A x e Ay

A A

A

i ji j

o oo o

= =minus sdot + sdot

= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5

2) Encontrar os cossenos diretores do vetor

A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo

As componentes do vetor A em funccedilatildeo dos cossenos direto-res satildeo

cos cos x y z A Acos A A A Aα β γ = = =

Entatildeo

cos cos cosy x z A A A

A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +

3) Dois vetores A e B satisfazem as equaccedilotildees2 2 2

A B ki jminus = minus minus + minus minus +

ˆ ˆ ˆ i j k2 2 e minus + = +

A B ji En-

contrar o moacutedulo do vetor A

SoluccedilatildeoSeja

A A A Ai j k x y z

= + +

Da equaccedilatildeo minus + = +

A B i j obtemos

B i j A= + +( )

Substituindo esta uacuteltima igualdade na equaccedilatildeo2 2 2

A B i j kminus = minus minus + temos

2 2 2

A Ai j i j kminus +( ) +

= minus minus +( )2 2 2

A A i j k i jminus = minus minus +

( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2




Assim A x = 0 Ay = ndash 1 e A z = 2 Obtemos o moacutedulo do vetorusando o teorema de Pitaacutegoras

A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )

4) Sabe-se que F F F R1 2 3

+ + = estaacute na direccedilatildeo vertical y

Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo

Primeiramente fazemos a representaccedilatildeo graacutefica das forccedilasnos eixos xy

53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ

Pelo enunciado do problema sabemos que a forccedila re-sultante estaacute no eixo y isto eacute se

R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou

Decompondo as forccedilas no eixo x temos

R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0

1 2 3cos53 cos 0 x R F F F ϕ = minus minus deg + =

24 20cos53 40cos 0o ϕ minus minus minus =

24 12 40cos 0ϕ minus minus minus =

36cos 40ϕ =

Da representaccedilatildeo graacutefica das forccedilas nos eixos de coordenadas xy o acircnguloϕ pode ter valores 1 2258 3342 ouϕ ϕ = deg = deg

Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ

2 2 30 sen 53 sen 3342 R F F = minus deg + deg

20 20sen 53 40sen 3342

R = minus deg + deg R

2 0 16 17 4= minus minus

R2

33 4= minus N

5) O esquema abaixo apresenta um sistema de barras de mas-sas despreziacuteveis articuladas nos pontos A B e C No pontoC age a carga Q de intensidade Q = 100 N Decompor Q segundo as direccedilotildees CA e CB (Q = a + b) e

a) Calcular as intensidades das componentes a

e b

b) Dar as suas expressotildees cartesianas

CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120




Aplicando a lei dos senos calculamos as intensidades de a e b

a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N

Decompondo os vetores a e b nos eixos x e y obtemos

30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o

= minus minus30 30cos

ˆ ˆ 805 sen30 805 cos30ia j= minus deg minus deg

ˆ ˆ 403 697ia j= minus minus

b bsen i b j

o o= minus cos53 53

ˆ ˆ 504 sen 53 504cos53b i j= deg minus deg

ˆ 403 3 3 ˆ 0ib j= minus

O esforccedilo a que se submete cada barra eacute de compressatildeo e

podemos verificar das expressotildees finais de a e b

que

( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 403 697 403 303 100 a b i j i j j+ = minus minus + minus = minus

PRODUTO ESCALAR

6) Encontrar o valor de r de tal forma que os vetores

A r ki j= + +2 e

B ki j= minus minus4 2 2 sejam perpendicularesentre si

Soluccedilatildeo Sabemos que se o acircngulo entre dois vetores eacute 90o isto eacute

se eles satildeo perpendiculares o produto escalar de ambos eacutezero ou A middot B = 0

Figura 121




Entatildeo

A B i r j k i j ksdot = + +( ) sdot minus minus( ) =2 4 2 2 0

2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k

8 2 2 0minus minus =r

2 6r =

r = 3

7) Determinar a projeccedilatildeo de uma forccedila de 10 N cujos cosse-

nos diretores satildeo 029 04 e ndash087 sobre uma linha retacom cossenos diretores ndash02 ndash06 e 08 Expressar o resul-tado na forma vetorial

Soluccedilatildeo

Pela figura observa-se que o vetor projeccedilatildeo F

pro

tem amesma direccedilatildeo de r e o moacutedulo F cos θ

F

F pro

rur

Logo

pro 1cosr F F u F θ = sdot = sdot

F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932

O vetor projeccedilatildeo na forma vetorial eacute

( )pro ˆ ˆ ˆ 4923 02 06 08 F i j k= minus + +

PRODUTO VETORIAL8) Sejam os vetores

A Bi j k i j k= minus + = minus + sdot3 2 3e Encon-

trar o produto A x B e demonstrar que o vetor resultante eacuteperpendicular a A e a B

Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo

A B A B A B A B A B A B A Bi j ky z z y z x x z x y y x

times = minus + minus + minus( ) ( ) ( )

Calculamos o vetor resultante

A A A e B B B x y z x y z

= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )times = minus minus minus + minus + minus minus

minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k

R A B i j k= times = minus minus2 7

Para comprovar se o vetor resultante eacute perpendicular aos vetores A e B fazemos o produto escalar e o resultado temde ser igual a zero

A R i j k i j k

i i j j

sdot = minus +( ) sdot minus minus( ) =

( ) ( ) sdot + minus( ) minus( ) sdot +

3 2 7

3 2 1 1 1(( ) minus( ) sdot = + minus =7 6 1 7 0k k

B R k i j k

i i j j

i jsdot = minus +( ) sdot minus minus( ) =


2 3 2 7

2 2 3 1 11 7 4 3 7 0( ) minus( ) sdot = + minus =k k



1) Satildeo dados dois vetores A e B onde | A| = 27 unidades orien-tado para leste e | B| = 15 unidades orientado a 40o a norte

do leste Determinar R = A

+ B

Resposta

| R| = 183 unidades direccedilatildeo e sentido 32o com a horizontal1ordm Quadrante

2) A resultante de duas forccedilas F e F 1 2

eacute

R = 100N verticalpara baixo Se F

1 60

= N horizontal para a direita deter-minar F 2

Resposta F

2 117

= N direccedilatildeo e sentido 59o com a horizontal 3o Quadrante




3) Um bote eacute puxado por duas forccedilas conforme a figura abai-xo A resultante das duas forccedilas orienta-se segundo a reta x Determinar

a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o

b) o moacutedulo da resultante

R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)

F eacute uma forccedila com componentes F x = ndash50 N e F y = ndash80 NDeterminar e escrever a notaccedilatildeo polar de

F

Resposta

F = 94 3 N direccedilatildeo e sentido 58o com a horizontal 3ordmQuadrante

5) As intensidades das forccedilas na figura abaixo satildeo F 1 = 100 N F 2 = 50 N e F 3 = 60 N Determinar a resultante do sistemade forccedilas

Resposta

R = 35 N direccedilatildeo e sentido 82o com a horizontal 2ordmQuadrante

F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124




6) Sejam os vetores a e b de moacutedulos 3 e 1 respectivamen-te O vetor a forma um acircngulo de 30o com o eixo x e o vetorb um acircngulo de 30o com o eixo y com os acircngulos fornecidosno sentido anti-horaacuterio Calcular

a) as componentes de ambos os vetores Resposta

ˆ ˆ ˆ ˆ e15 087 05 087i j i ja b= + = minus +

b) as componentes e o moacutedulo do vetor a + b

Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e

c) as componentes e o moacutedulo do vetor a ndash b

Resposta

a b a biminus = minus =2 2e

7) Considere o hexaacutegono regular da figura Expressar como uma

combinaccedilatildeo linear dos vetores AB u

= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125




8) Expressar o vetor a i j k= + +2 3 como uma combinaccedilatildeo

linear dos vetores u v wi k i j j k= + = + = + e

Resposta

a u v w= + +1 0 2

9) Sejam os vetores AC AE AB

e onde ABCD eacute um quadradoe E o ponto meacutedio do lado BC (sendo AD = 1) Determinar

a) o vetor resultante R e

Resposta

R i j= +3 1 5

b) o moacutedulo e o acircngulo que o vetor resultante faz com o

eixo x positivo Resposta

335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR

10) Demonstrar que os vetores cos sen ˆ ˆ a A Ai jθ θ = +

e ˆ sen cos ˆ b S S jiθ θ = minus

satildeo perpendiculares

11) Sejam os vetores ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e7 4 5 3a bi j k i k= + minus = minus +

Calcular

a) o acircngulo que ambos os vetores fazem

Resposta

θ = 148 8o

b) os cossenos diretores dos vetores

Resposta

para o vetor a

cos 074cos 042cos 053y x zaa a

a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb

cos 094 e cos 031 x xb b

b bα γ

= = minus = =

12) O vetor posiccedilatildeo de uma partiacutecula eacute( ) ( )

cos sen ˆ ˆ r A t A ti jω ω = +

onde A e ω satildeo constantes e t a variaacutevel tempo Calcular

a) o moacutedulo e a derivada do moacutedulo em relaccedilatildeo a t

Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta

ˆ ˆ sen cos edr dr

A ti A tj Adt dt

ω ω ω ω ω = minus + =

c) mostrar que os vetores

r dr

dte satildeo perpendiculares

13) Sejam os vetores

ˆ 2 2 2 ˆ ˆ e ˆ ˆ i j k ia b j= minus + = minus

Calcular ascomponentes do vetor unitaacuterio u o qual estaacute no plano de-terminado pelos vetores a e b e eacute perpendicular ao vetor

v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL

14) Encontrar as componentes do vetor perpendicular aos ve-tores

A B j k i k= + = minus +5 3 2e

Resposta

A B i j ktimes = minus +2 15 3


a bi j k i j k= + minus = + +4 2 3 4e Determinar

a) os moacutedulos de a e b

Resposta

a b= =4 2 5 4 e




b) o produto vetorial a 983091 b

Resposta

a b i j ktimes = minus +16 12

c) o vetor unitaacuterio perpendicular aos vetores a e b

Resposta

vetor unitaacuterio = ˆ ˆ 08 06 5 0 ˆ 0i j kminus +


a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e

a) Determinar os produtos vetoriais (a 983091 b) e (b 983091 a)

Resposta

a b b ai j k i j ktimes = minus minus + times = + minus2 7 2 7e

b) mostrar que os vetores resultantes satildeo perpendicularesa a e b

17) O produto vetorial de dois vetores eacute

a b i j ktimes = minus +3 6 2 sen-do que

a b= =4 7e

Calcular o produto escalar a middot b

Resposta

a bsdot = 27 1

18) Achar o vetor de moacutedulo 3 o qual eacute paralelo ao vetor re-sultante do produto vetorial a 983091 b onde

a i j k= minus +2 3 e

b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




Volume 1






Volume 1



Organizadores







ISBN 978-85-212-0587-6


11-00420 CDD-530


1 Fiacutesica 530


wwwbluchercombr




























PREFAacuteCIO








SOBRE OS AUTORES








mongellifatecspbr




juanfatecspbr







gmarconffatecspbr



mvcanteterracombr




ovenezuelauolcombr




rnattiligmailcom

ROBERTO VERZINI



engefilmterracombr



11Sobre os autores




ebarbosafatecspbr




ftdfatecspbr





CONTEUacuteDO

Volume 1










263





F Iacute S I CA U M

M O D O D E V E R

O M U N D O























O ANTIGO EGITO





OS GREGOS










































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +






Volume 1



Organizadores







ISBN 978-85-212-0587-6


11-00420 CDD-530


1 Fiacutesica 530


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PREFAacuteCIO








SOBRE OS AUTORES








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juanfatecspbr







gmarconffatecspbr



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ROBERTO VERZINI



engefilmterracombr



11Sobre os autores




ebarbosafatecspbr




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CONTEUacuteDO

Volume 1










263





F Iacute S I CA U M

M O D O D E V E R

O M U N D O























O ANTIGO EGITO





OS GREGOS










































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +







ISBN 978-85-212-0587-6


11-00420 CDD-530


1 Fiacutesica 530


wwwbluchercombr




























PREFAacuteCIO








SOBRE OS AUTORES








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ROBERTO VERZINI



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11Sobre os autores




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ftdfatecspbr





CONTEUacuteDO

Volume 1










263





F Iacute S I CA U M

M O D O D E V E R

O M U N D O























O ANTIGO EGITO





OS GREGOS










































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





















PREFAacuteCIO








SOBRE OS AUTORES








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juanfatecspbr







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mvcanteterracombr




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ROBERTO VERZINI



engefilmterracombr



11Sobre os autores




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CONTEUacuteDO

Volume 1










263





F Iacute S I CA U M

M O D O D E V E R

O M U N D O























O ANTIGO EGITO





OS GREGOS










































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +



SOBRE OS AUTORES








mongellifatecspbr




juanfatecspbr







gmarconffatecspbr



mvcanteterracombr




ovenezuelauolcombr




rnattiligmailcom

ROBERTO VERZINI



engefilmterracombr



11Sobre os autores




ebarbosafatecspbr




ftdfatecspbr





CONTEUacuteDO

Volume 1










263





F Iacute S I CA U M

M O D O D E V E R

O M U N D O























O ANTIGO EGITO





OS GREGOS










































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +







gmarconffatecspbr



mvcanteterracombr




ovenezuelauolcombr




rnattiligmailcom

ROBERTO VERZINI



engefilmterracombr



11Sobre os autores




ebarbosafatecspbr




ftdfatecspbr





CONTEUacuteDO

Volume 1










263





F Iacute S I CA U M

M O D O D E V E R

O M U N D O























O ANTIGO EGITO





OS GREGOS










































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +



11Sobre os autores




ebarbosafatecspbr




ftdfatecspbr





CONTEUacuteDO

Volume 1










263





F Iacute S I CA U M

M O D O D E V E R

O M U N D O























O ANTIGO EGITO





OS GREGOS










































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





CONTEUacuteDO

Volume 1










263





F Iacute S I CA U M

M O D O D E V E R

O M U N D O























O ANTIGO EGITO





OS GREGOS










































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





F Iacute S I CA U M

M O D O D E V E R

O M U N D O























O ANTIGO EGITO





OS GREGOS










































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +








O ANTIGO EGITO





OS GREGOS










































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +









































O RENASCIMENTO





































bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +

























bull conclusatildeo
























MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +






















MODELO












REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +






REFEREcircNCIAS









E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +







E V E T O R E S1


















dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +










dimensional



Tempo segundo s T







Comprimento metro



Massa quilograma




Tempo segundo


















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +
















103 quilo k Milhar

102 hecto h Centena

101 deca da Dezena



















Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +











Volume L3 1 m3











Periacuteodo T 1 s










2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +






2

2

[s] = L









L T2 3-


MLndash2 T3




Soluccedilatildeo


1000

1km

m

=


11

s

h=

Assim

30 30 1

1000

3600

1

30 3600

1000108

m

s

m

s

km

m

s

h

km

h

km

h= sdot sdot =

sdot

=




1

10001

km

m=





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





1

150 101

6

UA

kmsdot

=


11

s

min=

Assim

3 10 3 101

1000

1

150 10

60

10 12

8 8


sdot

sdot =

m

s

m

s

km

m

UA

km

s

min

U

A A

min



Soluccedilatildeo


[F] = [m] sdot [a]

[m] = M




Soluccedilatildeo


[P] = [F][A]

[F] = L M T ndash2

[A] = L2



kga b

m vminus


m = massa

v = velocidade




Soluccedilatildeo


[ m] = M




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




[ v] = LT ndash1

[k] = 1

[ g] = LT ndash2

[ρ] = ML ndash3


kga b

m v ρ minus

=


=1 3 2 2 2 3

1 a a b b


= a b b a



a = 1




De fato2 1 3

1

3= minus minus




Resposta

235 middot 10ndash3

hectolitros


Resposta

50 middot 106 mm2


a) peacutesmin2

Resposta





b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




b) milhashora2

Resposta




Resposta

5 middot 105 dinas




Resposta

V M = 8V m


Resposta

V V = 6V m


Resposta




Resposta

500B





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





Resposta

50D


Resposta

01A


Resposta

4C


a) 15 AC2 para BD2

Resposta

60 BD2


Resposta

405 AC2


Resposta



Resposta

ML2Tndash2



ML2Tndash2 kg m2 s2






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +






Resposta

2 middot 10

ndash4

m

3


Resposta

L3Tndash1


Resposta



a) A + B

b) A Bc) B ndash A

d) A sdot B

Resposta

b) e d)



a) x = C1 + C2t


b)1

21

2= C t

Resposta


c) v = 2C1 x

Resposta

T ndash1 1s para C1




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




d) x = C1 cos C2t

Resposta


e) v = C1e

ndashC2t

Resposta





a) v = v0 + ax

b) v = v0 + at

c) s = v0t + 2at2

d) v2 = 2a s

Resposta

b) c) e d)


Resposta



Resposta

x ndash 3y = ndash2


v KF Qd

Q v= minus

+

1



Resposta





12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




12 VETORES












Extremidade

A

B

Origem

a

Figura 11





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





a ou ABrarr


a ou |a|

122 SOMA DE VETORES




Deslocamento

resultante

O

P




Figura 12




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B





R

10

5

120ordm60ordm

R

B

A


b a

c



a b cα β γ



Figura 14

Figura 13





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





R o

= + minus sdot sdot =5 10 2 5 10 120 13 22 2

cos


o

10

sensen120

R

θ =

o10 sen120sen

132θ

sdot=

sen 0656θ = ou o41θ =


5

150ordm

30ordm

R B

A

R



Figura 15




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




B

- B


=

A

ndash B


(a)

R

10

5

120ordm 60ordm

R B

A

(b)

R10

5

R B

A


R o


5 10 2 5 10 60 8 7

2 2

cos

10

sen 60 sen

R

θ =

deg

10 sen 60sen

87θ

sdot deg=

845θ = deg


2 -3 A

A A - A - A - A

A

Figura 16

Figura 17


A ndash B

Figura 18





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





A

A

A

A

A

m

m

- m

m A



A A

A

=




z

y

x

i ˆ j

ˆ k

Figura 19

Figura 110








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +








z

y

x

A

A z

A x

Ay

ˆ j

i

ˆk

r


A A i A A k j

x y z= + +


A A A A

x y z= + +

2 2 2


A x = A cosa

Ay = A cos b

A z = A cosγ

Figura 111




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




z

y

x

A

β

γ

α

ˆcos j A β

cos ˆ i A α

cos ˆ k A γ




i j k i j

A A A

kα β γ + + + += = =







A A i A j A k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z

= + +


x y z x y z+ = + +( ) + + +( )


x x y y z z+ = +( ) + +( ) + +( )

Figura 112














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +














B

A


Figura 113






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +






A B



A B A B


teremos



A A A Ai j k

x y z= + +

B B B Bi j k

x y z= + +

A B A B A B A B



A A AA A

osdot = ( ) =cos 0

2











B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




B

B

A

A

R = A x B

B

A

R = - B x A

B

A

R = A x B





A B A A A

B B B


i j k

x y z

x y z

y z z y z x x z

times =


minus





Figura 114

Figura 115





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





y

x

150ordm

A

Soluccedilatildeo


x

150ordm A

1= 60ordm

2= 30ordm

y






A A x


A A sen seny

o o= sdot = sdot =150 60 150 30


A i j= minus +52 30


Figura 116

Figura 117





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





A A

A

i ji j

o oo o


= minus +60 30 60 60

6030 60

cos coscos cos

A

i ji

A

A j

= =

minus += minus +

52 30

600 87 0 5


A i j k= + +2 2

Soluccedilatildeo



Entatildeo


A A Aα β γ = = =

2 2 2

2 2cos 067

32 2 1α = = =

+ +

2 2 2

2 2

cos 06732 2 1 β = = =+ +

2 2 2

1 1cos 033

32 2 1γ = = =

+ +




A B ji En-



A A A Ai j k x y z

= + +


A B i j obtemos

B i j A= + +( )



2 2 2




( )+ +

( ) A i j k= minus +( ) + minus +( ) + +1 1 2 1 2 0( )

A j k= minus + 2





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





A A A A x y z

= + + = + minus + =2 2 2 2 2 2

0 1 2 2 23( ) ( ) ( )



Dados

1 2 324 180 20 233 0 e 4 F N F N F N ϕ = deg = deg =

Determinar ϕ e R

Soluccedilatildeo


53ordm

y

x

F 1

F 2

R1

R2

F 3

2ϕ 1ϕ


R R Ri i

x y= + entatildeo

R R R j x y

= =0 ou


R F F F x x x x

= + + =1 2 3

0




36cos 40ϕ =


Figura 118




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




Para

1 258ϕ = deg

R R F F F y y y y1 1 2 3

= = + +

R F sen F sen

o o

1 2 30 53 25 8= minus +

R sen seno o

1 0 20 53 40 25 8= minus +

R1

0 16 17 4= minus +

R1

1 4= N

Para = deg2 3342ϕ


20 20sen 53 40sen 3342



R2

33 4= minus N



e b


CQ

A 60ordm 37ordm B

Soluccedilatildeo

Da figura

C Q

A 60ordm

60ordm

53ordm

37ordm

97ordm

30ordm

53ordm

B Q

a

a

b

b

Figura 119

Figura 120





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

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Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





a

sen

b

sen

Q

seno o o

53 30 97= =

a sen

senb

sen

sen

o

o

o

o= = = =100 53

9780 5

100 30

9750 4 N e N


30ordm 53ordm

a

x

y

b

a asen ai jo o




b bsen i b j

o o= minus cos53 53





que


PRODUTO ESCALAR


A r ki j= + +2 e




Figura 121




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




Entatildeo


2 4 2 1 2 0

( ) ( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot +

( ) minus

( ) sdot =

i i r j j k k


2 6r =

r = 3



Soluccedilatildeo


pro


F

F pro

rur

Logo


F pro

= ( ) minus( ) + ( ) + minus( ) 10 0 29 0 2 0 4 0 6 0 87 0 8 ( ) ( )

F pro

= minus( ) =10 0 49225 4 932






Figura 122




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

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Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




Soluccedilatildeo

Da expressatildeo





= = minus = = = minus =3 1 1 2 3 1


minus

1 1 1 ( 3) 1 2 3 (1) ((3)( 3)

( 1)(2))

ˆ ˆ

ˆ

A B i j

k



A R i j k i j k

i i j j



3 2 7


B R k i j k

i i j j



2 3 2 7






+ B

Resposta



eacute


1 60


Resposta F

2 117






a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





a) o acircngulo θ

Resposta

θ =25o


R

Resposta

R = 488N

F1= 300 N

F2= 250 N

30ordmx

4)


F

Resposta



Resposta


F 1

F 2

F 3

Figura 123

Figura 124








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +








Resposta

a b a b+ = + + =i j1 74 2 e


Resposta




= e AC v

= os vetores

a) BC

Resposta

BC v u

= minus

b) AO

Resposta

AO v u

= minus

c) AD

Resposta

AD v u

= minus2( )

d) DO

Resposta

DO u v

= minus

e) CD

Resposta

CD v u

= minus 2

f) AE

Resposta

AE v u

= minus2 3

C

vu

B

A D

E F

Figura 125






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +






Resposta

a u v w= + +1 0 2




Resposta

R i j= +3 1 5



335 e 266 R θ = = deg

y

x

D C

E

B A

PRODUTO ESCALAR





Calcular


Resposta

θ = 148 8o


Resposta

para o vetor a


a a aα β γ

= = = = = = minus

Figura 126




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +




para o vetorb


b bα γ

= = minus = =





Resposta

r Ad r

dt= =e 0

b)dr

dt

dr

dt

e

Resposta


A ti A tj Adt dt



r dr





v a b= minus

Resposta

u i j k

u i j k

=minus + +

=minus minus4

18

4

18ou

PRODUTO VETORIAL



Resposta





Resposta

a b= =4 2 5 4 e





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +





Resposta



Resposta



a bi j k i j k= + + = + +3 2 3e


Resposta





a b= =4 7e


Resposta

a bsdot = 27 1



b i k= minus2 3

Resposta

2 1 8 1 3i j k + +

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