Fısica I

Exercıcios das Aulas Praticas

Escola Superior de Tecnologia de Tomar

Ano lectivo 2005/2006 - 1º Semestre

Conteudo

1 Fichas de Cinematica do ponto material 31.1 Exercıcios de cinematica escalar - movimentos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Movimentos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Exercıcios de movimento rectilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Exercıcios de cinematica vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Exercıcios de movimento de projecteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Exercıcios de movimento curvilıneo e circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Exercıcios de movimento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Fichas de dinamica do ponto material 14

3 Fichas de trabalho e energia do ponto material 19

4 Fichas de movimento harmonico simples 24

5 Fichas de mecanica de muitos corpos 27

2

Capıtulo 1

Fichas de Cinematica do pontomaterial

1.1 Exercıcios de cinematica escalar - movimentos gerais

1.1.1 Movimentos gerais

1. (Alonso, pg 46, 3.1) O que significa a afirmacao ”o movimento e relativo”.

2. (Alonso, pg 46, 3.2) Porque e que um observador deve definir um sistema de referencia paraanalisar o movimento dos corpos?

3. (Alonso, pg 46, 3.11) Os meteoritos atingem o cimo da atmosfera terrestre com velocidadeescalar da ordem de 10000 m/s. Qual a sua velocidade escalar em km/h?

4. (Alonso, pg 32) A quilometragem e tempos realizados por um automovel num determinadopercurso sao dados na tabela:

Instante (h:min) 03:02 03:06 03:12 03:15 03:20 03:24Conta quilometros (km) 1582,6 1586,8 1593,4 1598,2 1606,4 1613,1

Calcule a velocidade escalar media 1 do automovel para o intervalo de tempo entre:

(a) (03:02; 03:06),

(b) (03:06; 03:12),

(c) (03:12; 03:15),

(d) (03:15; 03:20),

(e) (03:20; 03:24),

(f) (03:02; 03:24).

5. (Alonso, pg 32) A velocidade escalar instantanea e tempos realizados por um automovel numdeterminado percurso sao dados na tabela:

Instante (h:min) 09:06 09:10 09:13 09:18 09:20 09:24velocidade escalar (km/h) 38 44 48 50 42 24

1

vm(t1; t2) =s(t2)− s(t1)

t2 − t1=

∆s

∆t=

d(t1; t2)

∆t=

deslocamento escalar

intervalo de tempo(1.1)

3

Supondo que a velocidade escalar instantanea do carro se mantem constante entre cadaintervalo de tempo calcule o deslocamento escalar 2 do automovel para o intervalo de tempoentre:

(a) (09:06; 09:10),

(b) (09:10; 09:13),

(c) (09:13; 09:18),

(d) (09:18; 09:20),

(e) (09:20; 09:24),

(f) (09:06; 09:24).

Como resolveria o problema se a velocidade escalar instantanea 3 do carro variasse linear-mente entre quaisquer instantes sucessivos?

6. O grafico da figura representa a posicao escalar de um carro em funcao do tempo sobrea estrada nacional 1, dada pelos sucessivos marcos fısicos (situados no limite direito daestrada). O conta quilometros do carro no instante t = 2 min e reiniciado para o valor 0 km.

s(t) = 100 + 50/21t− 5/21t2

posicao em funcao do instante

instante (min)

posi

cao

(km

)

1211109876543

106

104

102

100

98

96

94

92

90

(a) Calcule:

i. o deslocamento escalar e a velocidade escalar media do carro entre os instantes:A. (2;3) min,B. (3;4) min,C. (4;5) min,D. (5;6) min,

2

deslocamento escalar = velocidade escalar media×intervalo de tempo e vm(t1; t2) =v(t1)×∆t1 + v(t2)×∆t2 + · · ·

∆t1 + ∆t2 + · · ·(1.2)

3

vm(t1; t2) =v(t1)× dt1 + v(t2)× dt2 + · · ·

dt1 + dt2 + · · · =

R t2t1

v(t)dtR t2

t1dt

=area sob o grafico da velocidade escalar, entre t1 e t2

t2 − t1

(1.3)

4

E. (6;7) min,F. (2;8) min;

ii. o valor indicado pelo conta quilometros e a velocidade escalar instantanea 4 nosinstantes:A. 2 min,B. 3 min,C. 5 min,D. 8 min.

Sugestao: Calcule a velocidade escalar instantanea usando o metodo grafico e o metodoanalıtico.

(b) Obtenha o grafico da velocidade escalar instantanea em funcao do tempo.

(c) Obtenha a expressao geral para o deslocamento escalar do corpo entre o instante t = 0 se qualquer outro instante t entre [2; 13] min.

7. Uma atleta Olımpico descreve uma trajectoria circular de raio 100 m e passa no instantet = 0s em A, deslocando-se no sentido horario (ver figura). Supondo que a velocidade escalardo atleta e constante e igual a 10 m/s Determine:

+

B

A

Figura 1.1: Trajectoria do atleta

(a) o deslocamento escalar do atleta entreos instantes t = 0s e t = 10s;

(b) o tempo que o atleta demora a dar umavolta a pista;

(c) a expressao da posicao escalar do atletana pista em funcao do tempo, admi-tindo como origem das posicoes o pontode partida (ponto A) e como sentidopositivo para a medida das posicoes osentido horario.

(d) Volte a resolver a alınea anterior to-mando como origem das posicoes oponto B e como sentido positivo o sen-tido anti-horario.

(e) Calcule os primeiros dois instantes, apartir do instante t = 10 s, em que oatleta se encontra na posicao escalars = 5 m. Tome o ponto A como origemdas posicoes e como sentido positivo osentido horario.

Solucao: a) 100 m; b) 20π s; c) s(t) = 10t (S.I.) d)150π − 10t (S.I.)

4

v(t1) = limt2→t1

vm(t1; t2) =ds(t)

dt t=t1

= declive da recta tangente no instante t1 (1.4)

5

8. (Alonso, pg 46, 3.5) Como variam a velocidade escalar e a aceleracao tangencial escalar deum corpo quando este se move livremente: (a) para cima; (b) para baixo.

9. (Alonso, pg 46, 3.6) Como se pode distinguir experimentalmente o movimento uniforme domovimento acelerado?

10. (Alonso, pg 62, 4.1) De que forma varia a velocidade escalar no (a) movimento rectilıneoe uniforme, (b) movimento rectilıneo uniformemente acelerado, (c) movimento rectilıneouniformemente retardado? Explique cada caso.

11. Obtenha as expressoes para o deslocamento escalar de um corpo entre os instantes t e to,supondo que a sua velocidade escalar inicial e vo (vo = v(t = to) e que ao longo do tempo:

(a) a velocidade escalar instantanea v(t) se mantem constante (movimento uniforme),(b) a aceleracao tangencial escalar se mantem constante e igual a a (movimento uniforme-

mente variado),(c) a aceleracao tangencial escalar varia segundo a expressao a(t) = 5t − 4 (movimento

variado);

Solucao:s(t) − s(to) = vo(t − to); s(t) − s(to) = vo(t − to + 12a(t − to)2); s(t) − s(to) =

vo(t− to) + 16 (t− to)

2(5t + 10to − 12);

1.1.2 Exercıcios de movimento rectilıneo

1. A velocidade escalar de um ponto que se desloca numa recta e dada por : v(t) = 1 + 6t2,com v em m/s e t em segundos. Sabendo que quando t = 2s, x = 20m, determine:

(a) as expressoes da aceleracao tangencial escalar e da posicao escalar em qualquer instante;(b) a posicao escalar,a velocidade escalar e aceleracao tangencial escalar iniciais (no instante

t=0s).

Solucao: a)12t; 2t3+t+2; b)2 m; 1 m/s; 0 m/s2

2. O grafico da figura representa a velocidade escalar de um ponto material, em funcao dotempo. A trajectoria e uma linha recta e inicialmente o ponto desloca-se de Sul para Norte.

6

(a) Indique em qual dos tres intervalos de tempo, 2-3s, 4-5s e 6-7s:

i. e mınimo o espaco percorrido.ii. e maximo o modulo da velocidade media;

(b) Determine a aceleracao tangencial escalar do ponto material no instante t=3s.

(c) Para o intervalo de tempo de [2,5] s indique:

i. o espaco percorrido pelo ponto material;ii. o deslocamento escalar do ponto material.

(d) Em que instante esteve o ponto material a maior distancia do ponto de partida? Cons-truir o grafico a(t) para o movimento deste ponto material no intervalo de 0 a 7s,admitindo que entre os instantes t=6s e t =7s a aceleracao tangencial escalar varialinearmente com o tempo.

Solucao: ai)[6;7] s; aii)[2;3] s; b)-5 m/s2; ci)12,5 m; cii)7,5 m; d)4 s

3. Uma partıcula move-se em linha recta com velocidade escalar inicial vo tendo uma aceleracaoconstante igual a a. Quando a velocidade escalar aumenta para 5vo , a aceleracao muda desentido ficando a sua grandeza inalteravel. Determine a velocidade escalar da partıcula noinstante em que volta a passar pelo ponto de partida.

Solucao: -7vo

4. Uma bola e atirada verticalmente para cima partindo do chao, com uma velocidade escalarde 25 m/s. Calcule:

(a) o tempo que a bola leva a atingir o ponto mais alto da trajectoria;

(b) a altura maxima que a bola atinge;

(c) o instante em que a bola esta a 30 metros do chao;

(d) a velocidade escalar da bola nos instantes t = 1,9 s e t = 3,2 s.

Solucao: (a)2,55 s; (b)31,9 m; (c)t = 1,9 s e t = 3,2 s; (d) 6,38 m/s

5. (Alonso, pg 46, 3.3) Um corpo e lancado na vertical para cima com uma velocidade escalarvo. Determine a velocidade escalar e a aceleracao tangencial escalar quando: (a) o corpoatinge o ponto mais elevado da trajectoria; (b) o corpo regressa a superfıcie terrestre.

6. (Alonso, pg 46, 3.4) Trace os vectores que representam a velocidade e a aceleracao de: (a)um corpo em queda livre; (b) um corpo lancado verticalmente para cima.

7. (Alonso, pg 46, 3.7) Um corpo e lancado verticalmente para cima; depois de alcancar umacerta altura comeca a cair. Trace um diagrama que mostre a velocidade escalar e a aceleracaotangencial escalar quando o corpo passa pelo mesmo ponto, na subida e na descida.

8. (Alonso, pg 46, 3.8) Por que motivo sao a velocidade e a aceleracao grandezas vectoriais?

1.2 Exercıcios de cinematica vectorial

1.2.1 Exercıcios de movimento de projecteis

9. (Alonso, pg 62, 4.8) Mostre que o alcance de um projectil e o mesmo para os angulos α e90°-α. O tempo de voo e o mesmo em ambos os casos.

10. (Alonso, pg 62, 4.10) Dois projecteis sao lancados em A com a mesma velocidade escalarinicial, mas com direccoes diferentes, como mostra a figura. Compare a sua velocidade eaceleracao quando passam pelo ponto P.

7

11. (Alonso, pg 62, 4.11) Compare a velocidade e a aceleracao de um projectil quando passapelos pontos A e B, que se encontram a mesma altura, como mostra a figura.

12. (Alonso, pg 76, 5.6) Explique por que motivo a aceleracao efectiva da gravidade aumentacom a latitude.

13. Um corpo e lancado horizontalmente do cimo de uma mesa e atinge o solo no ponto B comuma velocidade de 1, 2 ~ux − 4, 0 ~uy (SI).

Desprezando a resistencia do ar, determine:

(a) velocidade com que o corpo foi lancado;

(b) a altura da mesa;

(c) a distancia AB;

(d) a aceleracao do corpo no instante t=0,1 s.

Solucao: a)1,2~ux m/s; b)0,8 m; c)0,48 m: d)-10~uy m/s2.

14. Lanca-se uma bola com velocidade escalar inicial vo = 20 m/s segundo um angulo α com ahorizontal, tal que sin α = 0, 6 e cos α =0,8 .

(a) Escreva as expressoes cartesianas do vector posicao e do vector velocidade para t=1s.

8

(b) Determine o raio da trajectoria para o instante t=1s.

(c) Calcule a altura maxima atingida pela bola e a velocidade nesse ponto.

(d) Calcule o alcance horizontal da bola.

Solucao: a)~v(1) = 16~ux + 2~uy m/s; ~r(1) = 16~ux + 7~uy m; b)27,4 m; c)7,2 m; ~v(1, 2) =16~ux m/s; d)38,4 m.

15. Um projectil e lancado por cima de um plano inclinado, ver figura, com uma velocidadeescalar de 30 m/s, fazendo um angulo de 60°com a direccao horizontal.

d

60° 30°

(a) Mostre que o projectil percorre uma distancia d = 60 m.

(b) Calcular o angulo de lancamento ao qual corresponde uma distancia d maxima.

Solucao: 60o

16. Um motociclista acrobata pretende saltar o desfiladeiro de 10 m de largura representadona figura, indo de A para B. As duas margens do desfiladeiro tem um desnıvel de 3 m. Amargem mais baixa tem uma inclinacao de 30°. A velocidade escalar maxima conseguida nasubida, pela motocicleta utilizada, e de 60 km/h.

(a) Por meio de calculos, justifique que o salto podera ser tentado com seguranca.

(b) Determine a posicao do ponto mais alto atingido pelo motociclista na sua trajectoria.

(c) Calcule a que distancia de B o motociclista voltara a tocar o solo

Solucao: b)~r(0, 85) = 12, 3~ux + 3, 6~uy m; c)7,4 m.

17. Calcule o raio de curvatura no ponto mais alto da trajectoria de um projectil cuja velocidadede disparo forma um angulo α com a horizontal.

Solucao: vo2 cos2α g−1

1.2.2 Exercıcios de movimento curvilıneo e circular

18. (Alonso, pg 62, 4.2) Que aspecto da velocidade permanece constante e que aspecto varia nomovimento curvilıneo uniforme?

9

19. (Alonso, pg 62, 4.3) Por que motivo no movimento curvilıneo a velocidade e sempre umvector tangente a trajectoria?

20. (Alonso, pg 62, 4.4) Por que motivo no movimento curvilıneo o vector aceleracao tem osentido dirigido para o lado concavo da trajectoria?

21. (Alonso, pg 62, 4.5) Verifique que as unidades da aceleracao tangencial e da aceleracaonormal correspondem as da aceleracao, isto e, m/s2.

22. (Alonso, pg 62, 4.6) De que movimento se trata quando: (a) a aceleracao centrıpeta e zero?(b) a aceleracao tangencial e zero?

23. (Alonso, pg 62, 4.7) Como se explica que o movimento curvilıneo com aceleracao constantedeva estar num plano? Que vectores determinam o referido plano?

24. (Alonso, pg 76, 5.3) E possıvel que um corpo tenha aceleracao centrıpeta e nao tenha ace-leracao tangencial, ou que tenha aceleracao tangencial e nao tenha aceleracao centrıpeta?

25. (Alonso, pg 76, 5.1) O que e um processo periodico? De exemplos.

26. (Alonso, pg 76, 5.2) Por que motivo a aceleracao do movimento circular uniforme se designapor ”centrıpeta”? (Procure num dicionario o significado da palavra)

27. (Alonso, pg 76, 5.4) Por que razao a velocidade angular e representada por um vectorperpendicular ao plano do movimento circular?

28. (Alonso, pg 76, 5.5) Demonstre que no movimento circular acelerado a aceleracao pode serescrita como ~a = ~α× ~r + ~w × (~w × ~r), onde ~α = d~w

dt e o vector da aceleracao angular.

29. O vector posicao de uma partıcula no instante t e :

~r(t) = cos(πt)~ux + sin(πt)~uy + 3~uz(S.I) (1.5)

Determinar :

(a) a velocidade em cada instante t ;

(b) o plano do movimento da partıcula;

(c) o modulo da velocidade em qualquer instante t;

(d) o tipo de movimento, atendendo a variacao do modulo da velocidade;

(e) a velocidade no instante t=0s;

(f) a aceleracao e o modulo da aceleracao num instante t;

(g) os modulos das componentes normal e tangencial da aceleracao num instante t;

(h) o raio de curvatura para t=1s;

(i) a trajectoria do movimento.

Solucao: a)−π sin(πt)~ux + π cos(πt)~uy m/s; b) plano z = 3 m; c) π m/s; d) movimentouniforme; e)π~uy (m/s); f)−π2 cos (πt)−→u x−π2 sin(πt)~uy m/s2; π2 m/s2; g) π2 m/s2; 0 m/s2;h)1 m; i) movimento circular

30. Um movel percorre um arco de circunferencia de raio 0.4 m com um velocidade escalar quevaria segundo a lei V = 4-30 t (S.I).Determine a aceleracao no instante t = 0s. Determineo angulo que a aceleracao e a velocidade fazem entre si nesse instante.

Solucao: −30~uT + 40~uN m/s2; α = arctan (− 43 ) ≈ 127°

10

31. Uma partıcula descreve uma trajectoria circular segundo a lei s(t) = −t2 + 4t + 3 (S.I.) epassa no instante t=0s em A, deslocando-se no sentido anti-horario (ver figura). O raio datrajectoria e tal que o sentido do movimento se inverte em B. Determinar:

(a) o raio da trajectoria;

(b) a aceleracao do movimento da primeira vez que a partıcula passa em B;

(c) os instantes em que a partıcula passa pelo ponto A;

(d) a aceleracao do movimento nas sucessivas passagens em A.

Solucao: a) 8/πm; b) −2~uT m/s2; c) t1 = 0 s; t2 = 4 s; tn = 2 + 2√

1 + 4n, n = 0, 1, 2, . . .; d)−2~uT + 2(1 + 4n)π~uN m/s2, n = 0, 1, . . .

32. Uma partıcula de massa m desloca-se sobre a calha ABCD da figura, em que AB tem adireccao horizontal e BCD e circular de raio igual a 4 m. Sabendo que a partıcula parte doponto B em direccao a A e que a sua velocidade escalar e dada por v(t)= 2t-4 (S.I.),

calcular:

(a) Os vectores velocidade e aceleracao para t=0s e t=2s.

(b) A distancia AB, sabendo que em A a partıcula inverte o sentido do movimento.

(c) O instante em que a partıcula atinge o ponto D.

(d) Supondo que a partir do ponto D a partıcula fica sujeita apenas ao seu peso, calcular:

i. O tempo que a partıcula demora a atingir a superfıcie horizontalii. Os vectores velocidade e aceleracao da partıcula nesse ponto.

Solucao: a) ~v(0) = −4~uT m/s; ~a(0) = 2~uT m/s2; ~v(2) = ~0m/s; ~a(2) = 2~uT m/s2; b)4 m;c)5,52 s; d) 1,26 s; e) 6, 09~ux − 16, 07~uy m/s2.

11

33. Uma partıcula descreve um movimento cuja trajectoria e circular, de raio 6 m, e centrado noponto A de coordenadas (3,5,2) m. O vector ω tem a forma ~ω = ωx~ux com ωx = constante >0. No instante t=0s a partıcula encontra-se no ponto B de coordenadas (3;5+3

√3;5) m e

executa 150 voltas em 30s.

(a) Indique em que plano se movimenta a partıcula e qual o sentido do movimento circular.(b) Calcular o perıodo do movimento.(c) Obter o vector posicional,~r(t), que caracteriza o movimento.(d) Determinar em que instantes a partıcula se encontra no plano y=0, e no plano z=0.(e) Obter os vectores velocidade, ~v(t), e aceleracao, ~a(t) .(f) Escrever a expressao s(t), considerando a origem dos arcos no ponto B, e calcular o

espaco percorrido pela partıcula ate ao instante t=0.15 s.

Solucao: b)0,2 s; c)~r(t) = 3~ux + (5 + 6 cos(10πt + π/4)~uy + (2 + 6 sin(10πt + π/4)~uz m;e)plano y = 0: instantes impares 2nπ+1,77

10π , instantes pares 2nπ+2,9410π ; plano z = 0: instantes

impares 2nπ+2,7010π , instantes pares 2nπ+5,16

10π d)~v(t) = −60π sin(10πt+π/4)~uy +60π cos(10πt+π/4)~uz m/s; ~a(t) = −600π2 cos(10πt+π/4)~uy+600π2 sin(10πt+π/4)~uz m/s2; e) 60πt; 9πΓ ≈28, 3m.

1.2.3 Exercıcios de movimento relativo

34. (Alonso, pg 62, 4.9) Que resultado fısico se deduz da afirmacao de que a aceleracao de umcorpo permanece constante sob acao da transformacao de Galileu?

35. (Alonso, pg 46, 3.9) Um passaro voa horizontalmente e em linha recta, com velocidadeconstante em relacao ao solo. Em que condicoes parece o passaro estar parado em relacaoa um observador que se desloca de carro? E em que condicoes parece o passaro voar paratras?

36. (Alonso, pg 46, 3.10) Explique por que a velocidade de A em relacao a B e a velocidade deB em relacao a A tem o mesmo modulo, mas sentidos opostos.

37. (Alonso, pg 76, 5.7) Discuta o efeito da aceleracao de Coriolis sobre um corpo que se movenum plano horizontal no Hemisferio Sul.

38. (Alonso, pg 76, 5.8) Verifique que, no caso de um corpo que cai no Hemisferio Norte, aaceleracao de Coriolis aponta para Leste e tem a magnitude de 2wV ′ cos λ, onde λ e alatitude. Verifique que, se o corpo se mover verticalmente para cima, a aceleracao de Coriolisaponta para Oeste e tem mesma magnitude.

39. (Alonso, pg 76, 5.9) Verifique que, no caso de um corpo que se move no Hemisferio Nortepara Norte, a aceleracao de Coriolis aponta para Leste e tem a magnitude de 2wV ′ sin λ.Verifique que, se o corpo se mover para Sul, a aceleracao de Coriolis aponta para Oeste etem a mesma grandeza acima dada.

40. (Alonso, pg 76, 5.10) Discuta o efeito da aceleracao de Coriolis sobre um corpo que cai noHemisferio Sul.

41. O piloto de um aviao deseja alcancar um ponto 200 km a leste do lugar que ocupa. Sopravento de Noroeste com velocidade escalar de modulo 30km/h. Calcule a velocidade do aviaoem relacao ao ar se o aviao demorar 40min a chegar ao seu destino com velocidade constante.

Solucao: 279,6 km/h; 4.35º a norte da direccao Oeste-Este.

42. Um motorista de um automovel que se desloca a 80 km/h observa que a chuva deixa nasjanelas laterais, marcas inclinadas de 80°com a vertical. Ao parar o carro ele nota que achuva cai verticalmente. Calcule a velocidade da chuva relativa ao carro

12

(a) quando este esta parado;

(b) quando este se move a 80 km/h.

Solucao: a)−14, 11~uy km/h; b)81,23 km/h; 190 °.

43. Um rio tem 1 km de largura. O modulo da velocidade da corrente e de 2km/h. Determineo tempo que um homem leva num barco a remos, para ir e voltar directamente de umamargem a outra. Compare esse tempo com o tempo que leva o homem para remar 1km, rioacima, e voltar ao local de partida. O barco a remos tem velocidade de modulo constanteigual a 4km/h relativamente a agua.

Solucao: 34 min 38,5 s; 40 min.

44. Um transatlantico navega a 18 km/h. Um passageiro desloca-se em linha recta de A ateB, sobre a coberta, em sentido contrario ao do deslocamento do barco, com velocidade demodulo 4 m/s (ver figura). Em seguida desloca-se com igual rapidez de B ate C. Sabendoque AB=30m e BC=12m:

(a) calcule a velocidade do passageiro em relacao a agua

i. no percurso AB;ii. no percurso BC.

(b) Determine o deslocamento total do passageiro em relacao a agua.

Solucao: 1~ux m/s; 5~ux + 4~uy m/s) 25, 5 m.

13

Capıtulo 2

Fichas de dinamica do pontomaterial

1. (Alonso, pg 97, 6.1) O que e uma partıcula ”livre”? Como se reconhece (experimentalmente)uma partıcula ”livre”?

2. (Alonso, pg 97, 6.2) Discuta o conceito de observador inercial. Como se pode distinguir umobservador inercial de um nao inercial?

3. (Alonso, pg 97, 6.3) Enuncie o princıpio de conservacao do momento aplicado: (a) a umamolecula de hidrogenio isolada; (b) ao sistema solar.

4. (Alonso, pg 97, 6.4) Por que razao podemos dizer que a ”massa”e uma propriedade de cadapartıcula, independentemente das forcas que actuam sobre ela?

5. (Alonso, pg 97, 6.5) Enuncie a lei da accao e reaccao aplicada: (a) ao sistema Terra-Lua; (b)ao sistema protao-electrao de um atomo de hidrogenio.

6. (Alonso, pg 97, 6.6) Qual e a relacao entre o sentido de uma forca e: (a) a variacao domomento; (b) a aceleracao de uma partıcula?

7. (Alonso, pg 97, 6.7) Num dado instante, a intensidade da forca que actua sobre uma partıculae F. Algum tempo depois, a intensidade da forca duplica. Qual e a relacao entre as taxas devariacao do momento da partıcula nos dois instantes?

8. (Alonso, pg 97, 6.8) Como e que se reconhece que a Terra exerce uma forca sobre todos oscorpos proximos da sua superfıcie? Como se mede e como se designa esta forca?

9. (Alonso, pg 97, 6.9) Que quantidades fısicas sao ”invariantes”por meio da transformacao deGalileu?

10. (Alonso, pg 97, 6.10) O impulso de uma forca ~F que actua sobre uma partıcula durante otempo to ate ao tempo t e definido por I =

∫ t

to

~F dt. Mostre que o impulso e igual a variacaodo momento ∆~p = ~I. Prove que quando a forca e constante, ~I = ~F∆t, onde ∆t = t− to.

11. (Alonso, pg 97, 6.11) Represente graficamente a intensidade da forca F que actua sobre umcorpo, em funcao do tempo. Verifique que a area abaixo da curva correspondente ao intervalot− to e igual ao impulso.

12. (Alonso, pg 97, 6.12) Em que condicoes e que uma forca muito intensa, que actua duranteum perıodo de tempo muito curto, produz a mesma variacao de momento que uma forcafraca que actua durante um longo perıodo de tempo? Faca o diagrama das forcas em funcaodo tempo, para justificar a resposta.

14

13. (Alonso, pg 97, 6.13) Discuta a relacao entre os conceitos de ”interaccao”e ”forca”.

14. (Alonso, pg 97, 6.14) Seja F a forca exercida pela Terra sobre um corpo situado na suasuperfıcie e R o raio da Terra. Represente graficamente os pontos que correspondem a forcasobre o corpo quando a sua distancia ao centro da Terra e 2R, 3R e 4R, se a forca variar naproporcao inversa do quadrado da distancia. Una os pontos com uma linha curva. Sendo aaceleracao da queda livre junto a superfıcie da Terra 9,8 m/s2, determine a aceleracao paraas distancias 2R, 3R e 4R.

15. (Alonso, pg 97, 6.15) Que relacao (ou relacoes) e (sao) a(s) mesma(s) para todos os obser-vadores inerciais, de acordo com o princıpio classico da relatividade?

16. (Alonso, pg 97, 6.16) Explique a origem das ”forcas inerciais”e de alguns exemplos.

17. (Alonso, pg 97, 6.17) Um objecto que se move com velocidade V em relacao a um observadorinercial O bate numa parede que se move em direccao oposta com velocidade v em relacaoa O. Qual e a velocidade do objecto em relacao ao muro antes e depois do choque? Qual avelocidade do objecto em relacao a O depois do choque. (Nota: consulte o exercıcio 6.4)

18. (Alonso, pg 113, 7.1) Explique por que quando a forca e constante, o movimento ocorre numplano determinado pela forca e pela velocidade inicial.

19. (Alonso, pg 113, 7.2) Na figura trace as forcas que actuam sobre m1 devidas as outras massas.Suponha que as forcas sao de atraccao.

20. (Alonso, pg 113, 7.3) Um corpo esta suspenso numa das extermidades de uma corda. Puxa-se para cima a outra extremidade da corda. A forca do puxao e maior, igual ou menor que opeso do corpo quando o movimento para cima e (a) uniforme, (b) acelerado, (c) retardado?

21. (Alonso, pg 113, 7.4) Explique o que se pretende significar quando se diz que as forcas deatrito e de viscosidade sao estatısticas.

22. (Alonso, pg 113, 7.5) Existe uma relacao especıfica entre o sentido da forca de atrito e osentido da velocidade de um corpo? O sentido da forca de atrito esta relacionado com osentido da aceleracao?

23. (Alonso, pg 113, 7.6) Um corpo move-se sobre uma superfıcie horizontal sob a accao de umaforca aplicada. Que tipo de movimento resulta quando a forca aplicada e (a) maior, (b) iguale (c) menor do que a forca de atrito? Que tipo de movimento resulta se a forca for igual azero?

24. (Alonso, pg 113, 7.7) Explique por que um corpo que cai num fluido viscoso atinge umavelocidade constante ou limite. Qual e a relacao entre o peso do corpo e a forca de viscosidadequando o corpo atinge a velocidade limite? A forma do corpo afecta a velocidade limite?

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25. (Alonso, pg 113, 7.8) Pode um corpo estar em equilıbrio e em movimento? Que tipo demovimento? Pode um corpo estar em repouso mas nao em equilıbrio?

26. (Alonso, pg 113, 7.9) Existe uma relacao especıfica entre o sentido da forca resultante sobreuma partıcula e os sentidos da aceleracao da partıcula e da sua velocidade?

27. (Alonso, pg 113, 7.10) Aristoteles afirmou que os corpos diferentes caem com diferentesvelocidades. Galileu demonstrou que todos os corpos caem com a mesma aceleracao. Emque condicoes ambas as afirmacoes sao correctas?

28. (Alonso, pg 113, 7.11) A equacao m~a = ~F − κη~v do movimento num fluido viscoso podeser escrita como md~v

dt = ~F − κη~v. Se ~F for o peso, m~g, do corpo, esta equacao reduz-se ad~vdt = ~g − κη

m ~v

(a) verifique por substituicao directa que a solucao desta equacao e ~v = m~gκη (1− exp

−κηtm )+

~vo exp−κηt

m , onde vo e a velocidade para o instante inicial (t=0 s).

(b) Mostre que a velocidade limite (t −→∞) e dada pela equacao ~vL = m~gκη .

29. (Alonso, pg 127, 8.1) Um corpo move-se ao longo de uma trajectoria curva. A forca etangente a trajectoria para o lado concavo ou convexo?

30. (Alonso, pg 127, 8.2) Se o modulo da velocidade permanece constante no movimento circularuniforme, por que e que e necessaria uma forca centrıpeta?

31. (Alonso, pg 127, 8.3) Que acontece a velocidade angular e ao raio se a forca tangencial ezero e a forca centrıpeta aumenta constantemente?

32. (Alonso, pg 127, 8.4) Responda a pergunta anterior considerando que a forca tangencialaumenta constantemente, enquanto a forca centrıpeta permanece constante.

33. (Alonso, pg 127, 8.5) Por que e necessaria uma inclinacao nas vias ferreas e nas estradas?

34. (Alonso, pg 127, 8.6) Qual e o efeito sobre a velocidade de (a) uma forca centrıpeta? e (b)uma tangencial?

35. (Alonso, pg 127, 8.7) Que acontece ao modulo da velocidade sob a accao de uma forca axial~F = ~A× ~v? Que acontece a direccao?

36. (Alonso, pg 127, 8.8) Mostre que o momento de uma forca tambem pode ser definido comoproduto do comprimento do vector de posicao r e a componente da forca f perpendicular ar.

37. (Alonso, pg 127, 8.9) Qual a relacao entre a direccao do momento angular de um corpo e asua velocidade?

38. (Alonso, pg 127, 8.10) Existe uma relacao entre a direccao do momento de uma forca e a da(a) forca, (b) momento angular, (c) a taxa de variacao do momento angular?

39. (Alonso, pg 127, 8.11) Que equacao e mais fundamental: ~F = d~pdt ou ~M = d~L

dt ? Porque?

40. (Alonso, pg 127, 8.12) Que quantidade e uma constante do movimento quando a forca ecentral? Que quantidade permanece constante quando a forca e axial?

41. Os blocos A e B de massas respectivamente iguais a 2 kg e 8 kg, estao assentes numasuperfıcie horizontal, ligados por um fio inextensıvel de massa desprezavel, existindo atritoentre os blocos e a superfıcie horizontal, sendo o coeficiente de atrito µ para ambos os corpos.Aplica-se, no bloco B, uma forca horizontal de modulo 40 N.

16

������������������������������������������������������������������������������������������

A BF

(a) Efectue a representacao de todas as forcas que actuam nos dois blocos.

(b) Determine o valor mınimo de µ para que os blocos nao se movimentem.

(c) Trocando os blocos, passando a forca a estar aplicada no bloco A, a tensao no fioinextensıvel sera a mesma? Justifique, apresentando os calculos.

Solucao: b) 0,4; c) 8N a 32 N

42. Considere a figura

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������30º

A

B

mA=mB=4 Kg

Os corpos A e B estao ligados por um fio inextensıvel e deslizam, respectivamente, num planohorizontal e num plano inclinado, sendo a forca aplicada horizontalmente no corpo A com aintensidade de 40 N. O coeficiente de atrito entre os corpos (A e B) e as superfıcies sobre asquais deslizam e o mesmo (µ = 0, 2). A massa da roldana e o atrito no fio inextensıvel saodesprezaveis.

(a) Faca um esquema marcando todas as forcas que actuam nos corpos A e B. Determine:

i. a aceleracao dos corpos.ii. a tensao no fio.iii. O maior e o menor valor que pode ter a forca sem que os corpos se movam. Con-

sidere o coeficiente de atrito estatico 0,2.

Solucao: b1) 0, 634 m/s2; b2) 29,5 N; c) 5,07 N e 34,9 N

43. (Alonso pg.164) Calcule a velocidade limite de uma gota de chuva de diametro 10−3m. Adensidade do ar relativamente a agua e 1, 3× 10−3.

44. Um bloco de 10 kg repousa, sustentado por uma corda sobre um plano inclinado que podegirar em torno do eixo AB.

17

B

A

30º

(a) Sendo 2 m o comprimento da corda determinar a tensao na corda quando a velocidadede rotacao do conjunto constituıdo pelo plano inclinado e bloco for igual a 10r.p.m.

(b) Determinar a velocidade angular a partir da qual o bloco comeca a elevar-se e abandonao plano.

Solucao: a) 66,4N; b) 10 rad/s

45. (Alonso pg.87) Uma arma cuja massa e 0,8 kg dispara um projectil com massa de 0,016 kgcom a velocidade de 700 m/s. Calcule a velocidade de recuo da arma.

46. (Alonso pg.92) A intensidade da forca de atraccao gravitacional entre a Terra e a Lua eF = 1, 985 × 1017 N . A massa da Terra e de 5, 97 × 1022 kg. Calcule para cada corpo omodulo da aceleracao devida a essa forca.

47. (Alonso pg.97) O que e uma partıcula livre? Como se reconhece (experimentalmente) umapartıcula livre?

48. (Alonso pg.97) Enuncie a lei da accao-reaccao aplicada

(a) ao sistema Terra-Lua.

(b) ao sistema protao-electrao num atomo de hidrogenio.

49. (Alonso pg.107) Um corpo cuja massa e 0,80 kg e colocado sobre um plano com 30° deinclinacao. O coeficiente de atrito de deslizamento com o plano e 0,3. Que forca deve seraplicada ao corpo para que ele se movimente:

(a) para cima;

(b) para baixo; em ambos os casos suponha que o corpo se move

i. com movimento uniforme;ii. com aceleracao 0, 10 m/s2.

18

Capıtulo 3

Fichas de trabalho e energia doponto material

1. (Alonso, pg.132) Calcule o trabalho realizado por uma forca variavel F aplicada num corpo,quando este se desloca de A para B, numa trajectoria curvilınea (figura 1).

Solucao: Em geral, a medida que um corpo se move, varia a componente tangencial da forca,FT, que actua sobre o corpo. Na figura representamos FT como funcao da distancia s medidaao longo da trajectoria. O trabalho dW = FT ds realizado durante um pequeno deslocamentods corresponde a area da estreita faixa rectangular da figura 2. Assim, podemos determinaro trabalho total realizado sobre a partıcula da figura 1 para a mover de A ate B, primeirodividindo toda a area sombreada da figura 2 em rectangulos estreitos e depois somandoessas areas. Isto e, o trabalho total e dado pela area sombreada da figura 2. Este resultadoe importante do ponto de vista pratico para o calculo do trabalho de diversas maquinas.

������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������

F3F2 F4

F1

dr2dr3 dr4

dr1

Ft

sA Bds

Ftdw=Ftds

wAB=área sob a curva Ft entre A e B

A

B

2. (Alonso, pg 150, 9.1) Enuncie as condicoes em que o trabalho realizado por uma forca e (a)zero, (b) positivo e (c) negativo.

3. (Alonso, pg 150, 9.2) Como mede a potencia media de uma maquina durante um certointervalo de tempo?

4. (Alonso, pg 155, 9.4) Que acontece a energia cinetica de uma partıcula quando o trabalhoda forca aplicada e positivo? E quando e negativo?

5. (Alonso, pg 155, 9.5) Que acontece a energia potencial de uma partıcula quando o trabalhoda forca aplicada e positivo? E quando e negativo?

6. (Alonso, pg 155, 9.6) Qual a relacao entre a variacao de energia cinetica e de energia potencialde uma partıcula com o trabalho realizado pelo seu peso?

19

7. (Alonso, pg 155, 9.3) Observe a figura em baixo e suponha que o carro se move para cima.Indique as forcas que realizam trabalho positivo, as que realizam trabalho negativo e as quenao realizam trabalho nenhum. Repita o exercıcio supondo que o automovel se move parabaixo.

8. (Alonso, pg.135) A mola representada nas figuras abaixo tem uma das extremidades fixa auma parede vertical e a outra ligada a uma massa m. Desloca-se a massa para a direita auma distancia a, e depois solta-se. Calcule a sua energia cinetica quando ela se encontra auma distancia x da posicao de equilıbrio.

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������

posição de

(d)

(c)

(b)

(a)

(e)

x>0

F=−kz<0

x=a

x=−a

x<0

F=−kx>0

F=−kx<0

F=−k(−a)>0

F=0

equilíbrio

Solucao: 12k(a2 − x2)

20

9. (Alonso, pg 155, 9.7) Uma partıcula de massa m cai verticalmente de uma altura h. Es-creva uma equacao que relacione a variacao de energia cinetica da partıcula com o trabalhorealizado pelo seu peso.

10. (Alonso, pg.133) Calcule o trabalho necessario para produzir numa mola a elongacao de x,sem aceleracao.

Solucao: 1/2kx2

11. (Alonso, pg 155, 9.8) Considere a solucao do problema 8. Que significado fısico se podeassociar ao facto de a energia cinetica depender do negativo do quadrado do deslocamento,x, da partıcula? Existe limite para os possıveis valores de x?

12. (Alonso, pg 155, 9.9) Uma partıcula de massa m esta ligada a uma mola de constanteelastica k. Distende-se a mola a uma distancia a e solta-se. Relacione a energia potencial dapartıcula em x=a com a sua energia cinetica em x=0. Qual e a velocidade da partıcula emx=0? Recorde o problema 8 deste capıtulo.

13. (Alonso, pg 155, 9.10) Considere a figura em baixo. Por que podemos ignorar a forca F aoescrever a conservacao da energia?

14. (Alonso, pg 155, 9.11) O que a forca conservativa ”conserva”?

15. (Alonso, pg 155, 9.12) Qual o significado fısico das forcas dissipativas?

16. (Alonso, pg 155, 9.13) A partir da representacao grafica de Ep(r) em funcao de r, expliquecomo podemos determinar se uma forca central e repulsiva ou atractiva. Trace o grafico deEp(r) correspondente a uma forca central de repulsao a curtas distancias e de atraccao agrandes distancias. Repita o exercıcio para o caso oposto.

17. (Alonso, pg 155, 9.14) Uma partıcula move-se para baixo sob a influencia de uma forca cujaenergia potencial se pode descrever como poco de potencial, com profundidade E0 e largurab. Trace a curva de energia potencial, com uma margem do poco em x=0 e outra em x=b.Quando e que o movimento e ligado? E nao ligado?

18. (Alonso, pg 155, 9.15) Quais sao os tres pares de conceitos relacionados, ate agora enunciados,para estudar o movimento de uma partıcula?

19. (Alonso, pg.133) Um automovel de massa igual a 1200 kg sobe uma colina com inclinacaode 5°com a velocidade de 36 kmh−1. Calcule:

(a) o trabalho que o motor realiza em 5 minutos;

(b) a potencia desenvolvida.

21

Despreze todos os efeitos do atrito.

Solucao: (a) 3, 069× 106J ; (b) 1, 023× 104W

20. (Alonso, pg.137) Um electrao acelerado num tubo de televisao chega a tela com uma energiacinetica de 10000 eV. Calcule a velocidade do electrao.

Solucao: v = 5, 931× 107ms−1

21. (Alonso, pg.140) Calcule a energia potencial de uma partıcula associada as seguintes forcascentrais:

(a) F = −kr;

(b) F = −kr2 ,

onde r e a distancia do centro a partıcula. O sinal negativo em ambos os casos significa quea forca e atractiva em relacao ao centro. Se o sinal for positivo, a forca e repulsiva.

Solucao: a) 12kr2 + C; b) −k

r + C.

22. (Alonso, pg.146) Calcule a energia potencial de um pendulo gravıtico de comprimento ` quefaz um angulo θ com a direccao vertical. Tome, como nıvel zero do potencial, o ponto maisbaixo atingido pela pendulo.

Solucao: mg`(1− cos θ)

23. (Alonso, pg.150) Um corpo, inicialmente em repouso, cai atraves de um fluıdo viscoso apartir de uma altura yo. Calcule a razao da dissipacao da sua energia cinetica e potencialgravitacional depois de atingir a velocidade limite.

Solucao: ddt (Ec + Ep) = −m2g2

kη

24. Sobre uma partıcula de massa 2 kg actua, durante 2 s, uma forca dada por ~F = 16t ~ux +21t2 ~uy (N). Sabendo que quando a forca comeca a actuar a partıcula ja esta animada davelocidade ~v = 3~ux + 4~uy (m/s), determine:

(a) o impulso comunicado pela forca durante os 2 s;

(b) o trabalho realizado pela forca durante o mesmo intervalo de tempo.

Solucao:(a) 32~ux + 56~uy kgms−1; (b)1, 36kJ

25. Determine o trabalho realizado pelo campo de forcas ~F = x2~ux + y2~uy (|~F | em N; x e yem m) sobre uma partıcula que se move de A(0; 0) para B(2; 4) por cada um dos seguintescaminhos: (a)ao longo da parabola y = x2; (b)de (0; 0) a (2; 0) ao longo do eixo dos xx edepois ao longo da recta x = 2 ate ao ponto (2; 4); (c)ao longo da recta y = 2x.

Solucao: a) 24 J; b) 24 J; c) 24 J

26. Um corpo com massa 1 kg e lancado da superfıcie da Terra com velocidade de modulo 100m/s na direccao vertical. A altitude de 500 m a velocidade tem modulo 10 m/s. Sabendoque o trabalho da resistencia do ar foi -40 J, calcule a aceleracao da gravidade supondo quee constante durante o movimento.

Solucao: 9, 98ms−2

27. Uma partıcula com 1 kg de massa encontra-se em repouso encostada a uma mola de constanteelastica k = 100 N/m, comprimida de 10 cm como mostra a figura. Larga-se a partıcula e amola impele-a para a direita. Sabe-se que a partıcula se move sem atrito.

(a) Calcule a energia mecanica da partıcula.

(b) Com que velocidade a partıcula passa no ponto A?

22

(c) Quanto tempo a partıcula demora a atingir o ponto A?

(d) Se houver atrito e µ = 0, 2 calcule a distancia que a partıcula percorre desde que elargada ate parar.

��������

��������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

A

60 cm

Solucao: 0, 51 J ; 1 m/s; 0, 66 s

28. Um corpo de massa m desce, sem atrito, um plano inclinado, e penetra num looping de raioR. Qual deve ser a altura do plano inclinado para que a partıcula de a volta completa noloop?

h

a

R

Solucao: h ≥ 1, 5R

29. Um projectil de massa 30 g atinge horizontalmente um corpo de massa M de massa 30 kg,suspenso por uma corda de 1m de comprimento. O projectil penetra no corpo que oscilaelevando-se de 3 cm. Com que velocidade incidiu o projectil sobre M?

��������

��������������������������������������������������������������������

���������� A

B

3 cm

Solucao: 774 m/s

30. A energia potencial de uma partıcula e da forma U = a/r2−b/r em que a e b sao constantespositivas e r a distancia da partıcula a um ponto fixo. Determine:

(a) a posicao de equilıbrio da partıcula (verifique que o equilıbrio e estavel),

(b) na regiao em que a forca e atractiva, onde e maxima a sua intensidade.

Solucao: (a) 2a/b; (b) 3a/b.

23

Capıtulo 4

Fichas de movimento harmonicosimples

1. (Alonso, pg 185, 10.1) De uma definicao cinematica do MHS. De uma definicao dinamica doMHS. Sao completamente equivalentes a duas definicoes?

2. (Alonso, pg 185, 10.2) Como varia o perıodo do MHS quando (a) a massa da partıculaaumenta sem variar a constante elastica; (b) a constante elastica aumenta sem variar amassa; (c) a massa e a constante elastica variam na mesma proporcao?

3. (Alonso, pg 185, 10.3) Uma partıcula move-se de acordo a equacao x(t) = A sin(ωt + α).Escreva as equacoes para a velocidade e aceleracao da partıcula. Move-se com MHS? Quale a diferenca de fase em relacao a x(t) = A cos(ωt + α)?

4. (Alonso, pg 185, 10.4) Dado um deslocamento x(t) = A sin(ωt + α), represente graficamenteo vector rotacao para o deslocamento, velocidade e aceleracao; indique como se pode mediro angulo de fase (ωt + α).

5. (Alonso, pg 185, 10.5) Repita a figura abaixo para varias posicoes do pendulo em qualquerlado de C e determine Ft para cada posicao. A que conclusao chega sobre a intensidade edireccao de Ft?

6. (Alonso, pg 185, 10.6) Em que condicoes se move um pendulo com (a) movimento oscilatorio,(b) MHS, (c) movimento circular modular?

24

7. (Alonso, pg 185, 10.7) O comprimento do pendulo de um relogio ajusta-se para que de ahora correcta quando a amplitude das oscilacoes e muito pequena. Se, inadvertidamente, sedao ao pendulo oscilacoes com uma grande amplitude, andara o relogio demasiado rapidoou demasiado devagar?

8. (Alonso, pg 185, 10.8) O pendulo de um relogio e ajustado para que de a hora correcta alatitude de 40°. Que acontecera ao relogio se for levado para o equador e para um lugar de80°de latitude? Que ajuste se deve efectuar em cada caso?

9. (Alonso, pg 185, 10.9) Expresse a conservacao da energia no MHS em termos de x e de v. Apartir desta expressao, obtenha v em termos de x e compare o resultado com o do problema8.

10. (Alonso, pg 185, 10.10) Dois MHS com a mesma frequencia e direccao estao sobrepostos. Quetipo de movimento resulta? Quais as propriedades do movimento resultante que dependemda diferenca de fase e quais as que nao dependem? Qua aconteceria se os movimentososcilatorios fossem nao harmonicos?

11. (Alonso, pg 185, 10.11) Dois MHS com a mesma frequencia e direccoes perpendiculares estaosobrepostos. Em que condicoes o movimento resultante e (a) MHS, (b) movimento circularuniforme? E sempre periodico o movimento resultante?

12. (Alonso, pg 186, 10.12) Em que condicoes se produzem os batimentos?

13. (Alonso, pg 186, 10.13) Quais sao as caracterısticas principais dos modos normais dos osci-ladores acoplados?

14. (Alonso, pg 186, 10.14) Quando e que um movimento oscilatorio e nao harmonico? Ososciladores nao harmonicos sao simetricos em relacao a posicao de equilibrio?

15. (Alonso, pg 186, 10.15) Por que a adicao de uma forca −λ~v a uma forca elastica -kx produzum movimento oscilatorio amortecido?

16. (Alonso, pg 186, 10.16) Que trocas de energia se dao no movimento oscilatorio amortecido?

17. (Alonso, pg 186, 10.17) Por que nao sao amortecidas as oscilacoes forcadas de um osciladoramortecido?

18. (Alonso, pg 186, 10.18) Por que razao devem a forca e a velocidade estar em fase na res-sonancia de energia?

19. (Alonso, pg 186, 10.19) Represente a relacao Pmed/Pmedres para varios valores de Q (verAlonso e Finn, pg 175, nota 10.1)

25

20. (Alonso, pg 186, 10.20) Analize o significado fısico do teorema de Fourrier. Em termos desteteorema, explique a diferenca de qualidade da mesma nota musical produzida por diferentesinstrumentos (ver nota 10.2)

21. (Alonso, pg 186, 10.21)Uma partıcula move-se sob a accao de uma forca F=-kr. Escrevaa equacao do movimento. O movimento ocorre num plano? O que determina o plano domovimento? Decomponha a equacao nas componentes X e Y. Procure as solucoes corres-pondentes. Que tipo de movimento resulta? Quais devem ser as condicoes iniciais para queo movimento resultante seja rectilıneo? O momento angular e constante?

22. (Alonso, pg 186, 10.22) Substitua a equacao x = A exp−γt cos(ωt + α) para o deslocamentode um oscilador amortecido na equacao md2x

dt2 + λdxdt + kx = 0 e prove que e uma solucao

satisfatoria para A e α arbitrarios, se ω for dado pela equacao ω = (ω20 − γ2)1/2.

23. (Alonso, pg 186, 10.23) Prove que a tensao T da corda de um pendulo e dada por T =mg(3 cos θ − 2 cos θo).

26

Capıtulo 5

Fichas de mecanica de muitoscorpos

1. (Alonso, pg 269, 13.1) Estabeleca as propriedades do sistema de referencia centro de massa(C). Em que condicoes C e um sistema de referencia inercial?

2. (Alonso, pg 269, 13.2) Qual e a trajectoria do centro de massa de um solido (a) sujeito aforcas que nao sao exteriores, (b) sujeito apenas ao seu peso quando e lancado proximo dasuperfıcie terreste e (c) quando e lancado horizontalmente a uma grande altitude?

3. (Alonso, pg 269, 13.3) Qual e a trajectoria do centro de massa de um mergulhador depoisde ter saltado de um trampolim? Faca um diagrama que mostre a trajectoria.

4. (Alonso, pg 269, 13.4) Estabeleca a lei de Newton da accao e reaccao referente a dois sistemasde partıculas em interacao. Aplique-a a dois atomos e a duas galaxias em interacao.

5. (Alonso, pg 269, 13.6) Qual e a utilidade do conceito de massa reduzida?

6. (Alonso, pg 269, 13.7) A massa reduzida de um sistema de duas partıculas e superior, inferiorou igual a massa de cada partıcula?

7. (Alonso, pg 269, 13.8) Em que condicoes a massa reduzida e praticamente igual a massa deum dos corpos? De exemplos de tal situacao. Em que condicoes a massa reduzida e metadeda massa de um dos corpos?

8. (Alonso, pg 269, 13.9) Ilustre, com alguns exemplos, o princıpio de conservacao (i) do mo-mento, (ii) do momento angular para (a) um sistema isolado e (b) dois sistemas em interacao.

9. (Alonso, pg 269, 13.10) Voce espera encontrar verdadeiros solidos rıgidos na natureza, ousao apenas uma aproximacao conveniente, valida em certas circunstancias?

10. (Alonso, pg 269, 13.11) O momento angular e sempre paralelo a velocidade angular de umsolido rıgido? A variacao do momento angular de um solido rıgido e sempre paralela aomomento externo?

11. (Alonso, pg 269, 13.12) Discuta o conceito de ”eixo principal”de um solido rıgido. Justifiqueo facto de eixo de simetria poder ser um eixo principal.

12. (Alonso, pg 269, 13.13) Em que condicoes sao validas as relacoes Lz = Iω e ~L = I~ω?

13. (Alonso, pg 269, 13.14) Explique porque o unico movimento possıvel de um solido rıgido emrelacao ao seu CM e uma rotacao. Em razao de sua resposta, justifique a possibilidade dese decompor o momento angular de um solido rıgido em dois termos.

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14. (Alonso, pg 269, 13.15) Qual e a origem do movimento de ”precessao”?

15. (Alonso, pg 269, 13.16) Considere uma mola de constante elastica k. Quando ela esta fixapor uma extremidade e na outra se prende um corpo de massa m, o corpo oscila com umacerta frequencia. Depois, a mesma mola, com a massa m numa das extermidades, tem aoutra extremidade livre e unida a uma massa M (M > m). Esticando a mola e soltando-aem seguida, a sua frequencia de oscilacao sera superior, inferior ou igual a frequencia doprimeiro caso?

16. (Alonso, pg 269, 13.17) Considere uma barra uniforme de comprimento L. Escreva a equacaodo movimento para o centro de massa da barra quando e lancada ao ar. A barra e lancadade modo que a extremidade inferior esteja em repouso no sistema L e uma altura Yo do solo.A sua posicao e vertical e a extremidade superior e comunicada uma velocidade de 2vo nahorizontal. Trace a curva seguida pelo CM.

17. (Alonso, pg 269, 13.18) Escreva a equacao do movimento para a extremidade inferior dabarra, dadas as condicoes iniciais da questao anterior. Trace a curva seguida pela extremi-dade inferior da barra.

18. (Alonso, pg 270, 13.19) Analise os momentos angulares orbital e interno do sistema solar noseu movimento em torno do centro da Via Lactea (ver Fig. em baixo).

19. (Alonso, pg 270, 13.20) Analise os momentos angulares orbital e interno de um electrao emtorno do nucleo de um atomo.

20. (Alonso, pg 270, 13.21) Atraves do teorema de Steiner (Eq. 13.21), verifique que o momentode inercia de um solido rıgido em relacao a um eixo que passa pelo seu CM e sempre inferiorao momento de inercia em relacao a qualquer outro eixo paralelo.

21. (Alonso, pg 270, 13.22) Em relacao a que pontos devem ser calculados o momento angulare o momento de modo que seja valida a equacao d~L

dt = ~M?

22. (Alonso, pg 270, 13.23) Em que condicoes sao equivalentes as relacoes I dωdt = Mz e I d~ω

dt = ~M?

23. (Alonso, pg 270, 13.24) Um solido rıgido pode oscilar em torno de um eixo horizontal quepassa por ele. O perıodo depende (a) da massa do solido, (b) da sua forma (c) do seutamanho, (d) da posicao do eixo em relacao ao seu centro de massa? Qual seria o perıodo,se o eixo passasse pelo centro de massa do solido?

24. (Alonso, pg 270, 13.25) Em que condicoes as forcas internas de um sistema de partıculas naocontribuem para a variacao do momento angular?

25. (Alonso, pg 270, 13.26) Por que o equılibrio de um solido rıgido requer mais condicoes doque o equilıbrio de uma partıcula?

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26. (Alonso, pg276) Duas massas ligadas por uma haste leve, conforme a figura, estao em repousosobre uma superfıcie horizontal sem atrito. Uma terceira partıcula com 0,5 kg de massaaproxima-se do sistema com velocidade e colide com a massa de 2 kg. Qual sera o movimentoresultante do CM das duas partıculas se a massa de 0,5 kg afasta-se, apos a colisao, comuma velocidade vf = 1m/s?

SOLUCAO: 0, 167~ux − 0, 083~uy m/s

27. (Fundamentos, pg308) Uma escada de comprimento ` e massa m esta encostada a uma paredecomo mostra a figura. O atrito entre a escada e a parede pode considerar-se desprezavel.Determinar qual deve ser o coeficiente de atrito estatico mınimo entre a escada e o chao paraque um homem de massa M possa subir a escada sem perigo de ela escorregar.

SOLUCAO: µ = cotgα12 m+M

m+M

28. (Alonso, pg305) Uma roda girante esta submetida a um momento de 10 N.m devido ao atritoem seu eixo. O raio da roda e 0,6 m, sua massa e 100 kg e ela esta girando a 175 rad.s-1.Quanto tempo leva a roda a parar? Quantas voltas ela dara antes de parar? SOLUCAO:325 s: 452 rev

29. (Alonso, pg306) O volante de uma maquina a vapor tem 200 kg de massa e um raio de 2 m.Quando ele gira a razao de 120 rpm, a valvula de injeccao de vapor e fechada. Supondo queo volante para em 5 min, qual e o momento devido ao atrito aplicado ao eixo do volante?Qual e o trabalho realizado pelo momento durante esse tempo? SOLUCAO: 3, 34× 104 N ×m; 6, 31× 107J

30. (Fundamentos, pg320)

(a) Determinar a aceleracao dos corpos representados na figura, bem como as tensoes nofio inextensıvel e de massa desprezavel.

(b) Mostre que as tensoes no fio, de um lado e de outro da roldana, seriam iguais caso sepudesse desprezar a massa da roldana.

(c) Mostre que as tensoes no fio, em A e junto oo bloco de massa 10 Kg so podem serconsideradas iguais se se desprezar a massa do fio entre A e o bloco referido.

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SOLUCAO: 1, 96ms−2; 78, 4 N ; 58, 8N

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