Física Experimental 1Prof. Wellington Akira IwamotoGrupo de Propriedades Magnéticas e Estruturais dos Sólidos (GPMES)Instituto de Física - Universidade Federal de Uberlândia.Uberlândia, MG, CEP 38.408-100, Brazil.Bloco 1X, sala 24

Objetivos da aula

• Algarismos significativos?;• Erros e propagação de erro, porque?;• Média, regressão linear (mínimos quadrados);• Apresentação de dados:• Figuras e tabelas;• Organização dos resultados;• Escrita de um relatório apresentável;

Realizando medidas de forma científica

• O que é medir?o Medir significa quantificar uma grandeza com relação a algum

padrão tomado como unidade;• Uma medida não é absoluta

o O que acontece se eu repetir várias vezes a mesma medida?o E se outra pessoa fizer a mesma medida?o Se eu usar outro instrumento? o Qual o instrumento mais adequado para realizar uma medida?

• Exemplos a seguir mostram esta idéia

Exemplo de aspectos relacionados à medida

2 3

• O valor medido depende da região do objeto que é medida.o O que acontece se eu realizo medidas em regiões

diferentes?o Como expressar o resultado?

2 3

2 3

• Como a precisão do instrumento influencia a medida realizada?o Qual das duas réguas acima apresenta a maior

precisão?o Por quê?

Exemplo de aspectos relacionados à medida

Uma medida não é absoluta• Irregularidades do objeto podem

influenciar a medida final.• As características do instrumento influem

na medida.• Mas, o que isso significa?

o Medidas experimentais não são absolutas. Sempre existe uma “incerteza” no resultado obtido.

o Como expressar essa “faixa de confiabilidade”? Supondo que exista um valor verdadeiro, que nunca

saberemos qual é, como avaliar a qualidade da medida efetuada?

Qual valor utilizar?

Medida 1: 19,3cm 

Medida do comprimento de um objeto

Medida 2: 19,1cm Medida 2: 19,6cm 

Precisamos de um único valor.Como determinar a melhor estimativa do comprimento do

objeto?

Para isso lançamos mão da média aritmética

Melhor estimativa: (Medida 1 + Medida 2 + Medida 3)/3

Por que efetuar um número grande de medidas?

Quanto maior o número de medidas mais nos aproximamos do valor médio (melhor estimativa para o valor verdadeiro).

Como saber o quão boa é nossa média?

1º Grupo de Medidas:Medida 1: 19,0 cmMedida 2: 19,8 cmMedida 3: 19,4 cm

Média aritmética: 19,4 cm

2º Grupo de Medidas:Medida 1: 20,9 cmMedida 2: 18,2 cmMedida 3: 19,1 cm

Média aritmética: 19,4 cm

Os dois grupos de medidas são equivalentes?

Quanto menor for a dispersão das nossas medidas consideramos que nossa média é mais precisa.

Extraindo informação dos dados experimentais

Dado o conjunto {xi}. Os elementos deste conjunto são referentes à diversas medidas de uma mesma grandeza física.

Todas estas medidas são realizadas a fim de se determinar, da melhor maneira possível, o valor verdadeiro x0, da grandeza física que se está realizando a medida.

As medidas realizadas tem as seguintes características:•  Estatisticamente Independentes•  Obedecem a uma distribuição normal (Gaussiana)

centrada em x0, com um desvio padrão σ

simétrico

∆ → 0número de medidas → ∞

Gaussiana

Média

A melhor estimativa para o valor verdadeiro x0 é dada através do valor médio:

Esta é uma estimativa numérica para o valor verdadeiro (x0), mas apenas esta informação é muito pouco.

MédiaAlém da estimativa da grandeza medida x0, é fundamental que sejamos capazes de responder a seguinte questão:

Quão boa é esta estimativa?

Em geral, não podemos dizer que o valor que temos é exatamente o valor da grandeza medida.

Medida e sua confiabilidade

• Quantificar a qualidade da medida.• Precisamos indicar uma estimativa de

quão longe o nosso resultado pode estar do valor verdadeiro da grandeza medida.

Medida e sua confiabilidade

• Além disso, para que a informação fique completa, temos que responder a mais uma pergunta:

“É absolutamente seguro que o valor verdadeiro da grandeza esteja nesse

intervalo”

Medida e sua confiabilidade• Para que a informação fique completa:

o  temos que determinar qual a probabilidade de que o valor verdadeiro esteja no intervalo de confiança.

• Feito isto, o resultado estará completo e terá alguma utilidade.

Medida e sua confiabilidade

σ-σ

-2σ 2σ

x0

Medida e sua confiabilidade

Vamos interpretar o que significa que uma medida está centrada em x0 e com desvio padrão σ.

A probabilidade de que uma medida (xi) estar entre:     (x0-σ) e (x0+σ) (vermelho) é de 0,68 (68%).

A probabilidade de que uma medida (xi) estar entre:     (x0-2σ) e (x0+2σ) (verde + vermelho) é de 0,95 (95%)

A probabilidade de que uma medida (xi) estar entre:    (x0-3σ) e (x0+3σ) é de 0,99 (99%)

Desvio padrão da média

• A média dos N dados é a melhor estimativa para x0.

• A distribuição em torno de x0, desta média, é dada pelo erro estatístico (desvio padrão da média):

Como estimar σ

• A estimativa de σ é feita a partir dos próprios dados experimentais:

Precisão e Acurácia

RESUMINDO

média:

desvio padrão:

erro estatístico:

2 3

(2,75 + 0,05) cm

Tenho certeza

• Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la?

Estou em dúvida

Incerteza!Em geral, metade da menor divisão

e o erro do instrumento?

Note que erro do instrumento não é a mesma coisa que erro sistemático!

Apresentando o resultado de umamedida com incerteza

• Se toda medida tem uma incerteza, como representá-la?o Forma mais comum

(Valor + incerteza) unidade Ex: (24,50 + 0,05) cm

o Forma compacta Valor(incerteza) unidade

Ex: 24,50(5) cm

Apresentando o resultado de umamedida com incerteza

• Por que a incerteza é 0,05 e não 0,050 ou 0,053?o Em geral, a incerteza é expressa somente com 1

algarismo significativo 

• Note que a representação da medida deve levar em consideração a incerteza o (2,74 + 0,05) cm

O que são algarismos significativos?

São algarismos que contribuem para a precisão de um número.

Como saber quais algarismos são significativos?

Regras:

• Todos os algarismos diferentes de zero são significativos• Algarismos nulos (zeros) entre dois algarismos não-nulos

são significativos• Zeros à direita de outro algarismo significativo são

significativos• Zeros à esquerda da vírgula não são significativos

O que são algarismos significativos?

Exemplos:

número quantidade de algarismos significativos

0,5 1

0,05 1

0,050 2

1,08 3

120,00 5

1,3708x10-3 5

O que são algarismos significativos?

Exemplos:

número quantidade de algarismos significativos

0,5 1

0,05 1

0,050 2

1,08 3

120,00 5

1,3708x10-3 5

Alguns exemplos• Forma correta

o (2,74 + 0,05) cm

o 2,74(5) cm

o (123,4 + 1,2) kg ou (123 + 1) kg

• Forma incorreta

o (2,7455 + 0,0532) cm (incerteza com muitos algarismos)

o (2,7 + 0,05) cm (a representação da medida não é compatível com a incerteza)

Como expressar o resultado de uma medida

Adotaremos no relatório:

1. A incerteza deve ser escrita com apenas um algarismo significativo

2. O valor médio deve ter a mesma quantidade de casas decimais que a incerteza

Alguns exemplos

ERRADO CERTO

5,30 + 0,0572 5,30 + 0,06

124,5 + 2 125 + 2

133 + 47 (1,3 + 0,5) x 102

(45 + 2,6) x 10 (4,5 + 0,3) x 102

Exemplo: 100 medidas do tempo associado a um fenômeno

0.025498s01,0

78s0,023455671.235464

totalalinstrument

oestatístic xsx

tt

0.025498)s1.235464( t

0.025498s01,0 totalalinstrument xsxEntretanto:

0.03s totalx[0-4] mantém o número[5-9] arredonda p/cima

1.24st1.235464s0.03s txtotal

0.03)s1.24( t

Tabelas e gráficos

Gráficos e tabelas são usados para apresentar resultados de um experimento. Traduzem de forma clara e objetiva os resultados obtidos.

Tabelas: organização dos dados coletados em linhas e colunas

Gráficos: ilustração dos dados; facilita a visualização da relação/dependência entre os números

TabelasElementos de uma tabela:1. Valores – resultados do experimento / análise2. Título – breve descrição3. Cabeçalho – o que mostra cada coluna (com unidades)

cabeçalho

Explicar símbolos usados no cabeçalho

algarismos significativos e erros

Quando a ordem for importante, indicá-la

Tabela 1: Distenção da mola em função da massa

título (numerar tabela)

GráficosElementos de um gráfico:1. Título2. Legenda para cada eixo3. Escala para cada eixo4. Pontos com barras de erro

Figura 1 – Exemplo de um gráfico simples título (numerar gráfico)

Legenda (com unidades)

Escala:1. Intervalos regulares2. Valores fáceis de serem

lidos3. Origens/escalas podem

ser diferentes para os dois eixos

GráficosAtenção:

NUNCA colocar valores dos pontos da tabela no gráfico!

Evitar ligar os pontos.

O título deve descrever claramente o que está sendo mostrado. Evitar: “y vs. t”, mas sim “altura da esfera em função do seu tempo de queda”.

Usar barras de erro.

Gráficos

• Posição central é a média da medida

• Barra de erro da abscissa começa em e termina em .

• O mesmo vale para a ordenada.

Barras de erro:

totalxx

totalxx

abscissa

orde

nada

Gráficos – mau exemplo 1Problemas com o gráfico:

• Escalas irregulares

• Linhas tracejadas marcando posicionamento dos pontos

• Não há barras de erro

• Linha conectando os pontos

• Título pouco descritivo

Gráficos – mau exemplo 2Problemas com o gráfico

• Escalas irregulares e orientações diferentes dos números

• Linhas sólidas marcando posicionamento dos pontos

• Unidades não estão indicadas

• Ausência de barras de erro

• Gráfico não foi numerado/não há título

Gráficos – bom exemplo

• Escalas regulares com valores fáceis de ler

• Pontos com barras de erro

• Legenda com unidades

• Gráfico numerado

• Título descritivo

Lei de potênciaFrequentemente observamos em ciência que:

bxay (Lei de potência)

Difícil de distinguir em gráfico linear entre diferentes leis de potência:

y = a x2

y = a x4

y = a x1

Leis de potência

Tirando o logaritmo de ambos os lados:

)log()log()log(

)log()log()log(

xbay

xay b

Como obter constante a e expoente b? Resposta: linearizar a equação

comparar comEq. da reta

xBAy

coeficientelinear

coeficienteangular

)log()log()log()log(

10)log(

12

12

12

12

xxyy

xxyyBb

aAa A

bxay

Lei de potênciaO gráfico de log(y) em função de log(x) é uma linha reta:

• coeficiente angular é b (expoente da lei de escala)

• reta interseciona eixo log(y) em log(a)

log(x)

log(

y)

log(a)

0

Gráfico linear: log(y) vs. log(x)Dados experimentais

log

0,20,5 xy Lei de potência:

log(x)lo

g(y)

Coeficiente linear: 0,51070,0 70,0 aA

A

Coeficiente angular:

0,210,037,090,045,1

)89,0log()37,2log()4log()28log(

BB

Propagação de erros e mínimos quadrados

RESUMINDO

média:

desvio padrão:

erro estatístico:

Propagação de erros

• Valor médio :• Erro da medida:

Apostila e roteiros;

Exemplos

Mínimos quadrados

Probabilidade Pi de ocorrer a medida (xi, yi, i)

Probabilidade P de ocorrer para N medidas

Mínimos quadradosValor médio, onde a1, a2, a3,...,an são parâmetros do modelo

Para que P seja máximo, ou seja, para que a função f seja a mais adquada para nossas medidas, 2 deve ser mínimo:

Mínimos quadradosPara que P seja máximo, ou seja, para que a função f seja a mais adquada para nossas medidas, 2 deve ser mínimo:

Mínimos quadrados

Mínimos quadrados

Mínimos quadrados

Mínimos quadrados

CONSULTAR!!!!!

wiwamoto@infis.ufu.br;Sala: bloco 1X24;

Roteiros experimentais;Apostila de apoio (como apresentar tabelas, figuras)Roteiro de relatório;Notas de relatórios e provas;

FIM