Oscilações e ressonância

1

FIS218 – Ondas, Som e Luz

Licenciatura em Física – IFBA Salvador

2017.1

Experimentos com o ressonador de Helmholtz.

Sumário Experimentos com o ressonador de Helmholtz. ........................................................................................... 1

2. Obtenção e análise da equação horária e da curva de ressonância do Oscilador Harmônico Amortecido

Forçado .......................................................................................................................................................... 1

Introdução teórica ................................................................................................................................. 1

Procedimento experimental .................................................................................................................. 2

2.1. Obtenção e análise da equação horária do OHAF. ............................................................................. 2

Gravação da equação horária de um oscilador harmônico amortecido forçado.................................. 3

Análise dos resultados ........................................................................................................................... 4

2.2. Obtenção e análise da curva de ressonância do OHAF. ..................................................................... 6

Gravação da equação horária de um oscilador harmônico amortecido forçado.................................. 6

Análise dos resultados ........................................................................................................................... 7

a) Determinação da frequência de ressonância ................................................................................ 8

b) Determinação do fator de qualidade e do tempo de decaimento ............................................... 9

2. Obtenção e análise da equação horária e da curva de ressonância do Oscilador Harmônico

Amortecido Forçado

Introdução teórica

Na presença de uma pressão acústica variável p(t) a equação do ressonador analisada anteriormente se torna

a de um oscilador forçado

2

2

1( )A

A

d X dXM R X p t

dt dt C

Da mesma forma que no experimento anterior, podemos analisar o registro do sinal do microfone na garrafa

e deveremos encontrar o movimento do oscilador harmônico forçado.

20 0( ) cos( ' ) ( )cos ( )

t

X t A e t A t

(1)

A solução geral, como vimos no curso teórico, é a superposição de um termo transiente, igual à solução do

OHA, com o termo permanente que descreve o movimento para tempo suficientemente longo e exibe o

fenômeno de ressonância.

Neste experimento vamos observar dois aspectos da solução do OHAF. No primeiro aspecto, que veremos

de forma principalmente qualitativa, vamos registrar a evolução temporal da equação horária, e poderemos

observar o termo transiente e a estabilização do movimento no regime permanente. Não obstante, será

Niels F. Lima

2

possível medir a frequência da oscilação no regime permanente e comparar com a predição teórica, bem

como confirmar a frequência de oscilação espontânea quando o som externo é desligado.

O segundo aspecto, que será tratado de forma mais quantitativa, é o levantamento da curva de ressonância

do sistema – amplitude da oscilação em função da frequência – para daí determinar a frequência natural e o

tempo característico e fator de qualidade. Os valores obtidos experimentalmente nesta atividade poderão

então ser comparados com os resultados anteriores do estudo experimental da oscilação amortecida.

Procedimento experimental

Os materiais e o procedimento básico do experimento já foram descritos antes, cabendo ressaltar que neste

caso usaremos o sistema de geração de som proporcionado pelas caixas amplificadas e o programa editor de

som. Para isso, você terá gerado previamente arquivos de som com as características requeridas que

serão reproduzidos no alto-falante fora da caixa através do programa editor.

Disponha o alto-falante fora da caixa de som sobre uma mesa, voltado para cima. É interessante colocá-lo sobre um pano grosso estendido sobre a mesa, como uma toalha, por exemplo, para evitar vibrações e amortecer reflexões indesejadas próximo ao gargalo da garrafa.

A garrafa com o microfone deverá pender do suporte de forma que seu gargalo fique próximo ao alto-falante, como mostra a Figura 1.

Conecte o microfone e o alto-falante na placa de som ou na saída das caixas amplificadas. Abra o programa editor de som e teste a gravação do microfone e a reprodução de som no alto-falante da montagem. Se seu sistema de som tem duas caixas, elimine o som da outra para que não interfira no experimento. Observe também nas configurações do seu computador que o sistema de som esteja reproduzindo apenas o sinal gerado pelo programa e não também o sinal do microfone.

Figura 1. Foto da montagem. A toalha ajuda a diminuir vibrações e reflexões indesejadas.

2.1. Obtenção e análise da equação horária do OHAF.

Neste experimento você vai gerar um arquivo no CoolEdit com um som de frequência e duração definidas

que será reproduzido pelo alto-falante do conjunto e excitará o movimento do ar no gargalo do ressonador,

proporcionando a força externa periódica do modelo. Enquanto o arquivo de som é reproduzido o sinal do

Oscilações e ressonância

3

microfone na garrafa, proporcional ao deslocamento do centro de massa do ar no gargalo da garrafa, será

gravado. Após o final da gravação, o arquivo gravado será aberto e analisado no programa editor de som.

Gravação da equação horária de um oscilador harmônico amortecido forçado.

Em primeiro lugar, vamos gerar os arquivos de som que serão usados no experimento. Serão três

sons de duração total de dois segundos com frequências próximas ao valor da frequência natural da

garrafa, determinada no experimento anterior.

Crie um novo arquivo no programa editor de som, escolhendo New Instance no item de menu File, no qual serão gerados sinais senoidais de 2,0 s de duração e frequência requerida. No ítem de menu Generate escolha Tones.... Ao fazer isso pela primeira vez no arquivo, a janela New Waveform abrirá, e deve-se escolher as mesmas opções que as do arquivo do microfone no item anterior.

Após isso, será aberta a janela Generate Tones, que permite gerar composições de sons harmônicos e outras formas de onda, mostrada na Figura 2. Certifique-se que a opção escolhida no canto superior esquerdo da janela é "Lock to these settings only". Em Base Frequency, escreva o valor requerido para a frequência em Hertz, que no caso aqui mostrado é 170 Hz.

Figura 2. Gerar um som senoidal de 170 Hz e 2,0 s de duração.

No centro da parte mais baixa da janela, no quadro "General", escolha Flavor = Sine e Duration = 2 (s). A janela com as opções corretas marcadas é mostrada na Figura 2. Salve o arquivo com um nome adequado no formato Windows PCM (extensão .wav). Repita isso para as duas outras frequências determinadas (neste exemplo, 185 e 200 Hz).

Para executar o experimento, abra um novo arquivo para gravar o sinal do microfone e inicie a gravação. Só então inicie a reprodução do arquivo de som no alto-falante, pressionando o botão Play, dos sons gerados em cada arquivo; faça isso duas ou três vezes, enquanto grava o sinal do microfone na garrafa, para cada uma das três frequências. Após o fim da última reprodução de som, interrompa a gravação pressionando o botão Stop, e salve o arquivo.

Pode ser necessário ajustar o volume de reprodução do som, de forma que o sinal gravado seja suficientemente alto mas não ultrapasse o limite máximo de amplitude de gravação. O nível de gravação deve ser monitorado pelo indicador do nível de gravação (barra vermelha), que não deve ultrapassar a marca de 0 dB. Observe que a intensidade sonora no interior da garrafa é significativamente maior na frequência

intermediária do que para as outras duas frequências. Termine a gravação do microfone quando o som gerado terminar, ou quando decorrido o tempo necessário, e salve o arquivo com a gravação.

Niels F. Lima

4

Análise dos resultados

A abertura do arquivo com o sinal gravado do microfone no programa editor permite a imediata visualização da equação horária do movimento do ressonador, como mostra a Figura 3.

A análise qualitativa inicial consiste basicamente em identificar no registro os intervalos que correspondem aos diferentes regimes de validade da equação (2). Usando os recursos de zoom e de navegação ao longo do intervalo de tempo gravado, observe os sinais gravados nas diversas situações e identifique em cada gravação os intervalos nos quais: o regime transiente, que depende das condições iniciais; o regime permanente, quando a informação sobre as condições iniciais foi dissipada; e o regime de oscilação amortecida livre, que passa a ocorrer quando a força externa é interrompida.

Figura 3: Visualização do registro do sinal do microfone dentro da garrafa em função do tempo, submetida

a som de frequência 185 Hz e duração de dois segundos. Nota-se o comportamento transiente até por

volta dos cinco primeiros décimos de segundo; a partir daí o ressonador oscila com amplitude constante no

regime permanente. Depois de 2,0 s de iniciado, o som cessa e o ressonador volta a oscilar

espontaneamente, decaindo como um OHA. Neste caso, a frequência escolhida é muito próxima da

frequência natural do ressonador, de forma que quase não há batimento entre as duas frequências no

regime transiente.

Esses intervalos são muito bem definidos neste experimento, como se pode ver na Figura 3, que mostra a janela do programa analisador exibindo o sinal do microfone que foi gravado enquanto a garrafa era submetida a um som de frequência de 185 Hz e 2,00 s de duração, numa das realizações do experimento descrito neste trabalho com alunos do IFBA.

As Figuras 4a e 4b mostram o sinal do microfone da Figura 3 numa escala de tempo ampliada, nos intervalos que correspondem ao regime transiente e início do permanente e ao regime de oscilação livre após a extinção do sinal sonoro excitador (respectivamente os trechos inicial e final do sinal mostrado na Figura 3). O trecho não mostrado nas Figuras 4a e 4b, o intervalo intermediário entre elas, corresponde ao regime permanente, e registra o que se espera, oscilação com frequência igual à frequência do som gerado e amplitude razoavelmente constante; apesar de não mostrarmos esse intervalo, é onde será determinada a frequência da oscilação do ressonador no regime permanente.

Oscilações e ressonância

5

Figura 4a: Os primeiros quatro a cinco décimos de segundo da gravação da Figura 2, quando se dá o

comportamento transiente e o início do regime permanente.

Figura 4b: Trecho final da gravação da Figura 2, quando a força externa (o som de frequência 185 Hz) cessa e o movimento torna-se uma oscilação

amortecida livre.

Além da importância em si da verificação qualitativa da equação horária, a identificação dos regimes é a base da análise quantitativa no experimento da equação horária, com os seguintes objetivos:

1 - Determinar experimentalmente a frequência da oscilação do ressonador no regime permanente;

2 - Determinar experimentalmente a frequência da oscilação e o tempo de decaimento do oscilador amortecido livre.

O resultado experimental para a frequência no regime permanente pode ser diretamente comparado com o valor previsto, que é a frequência do som gerado. Além de proporcionar uma boa verificação da previsão teórica (como mostram os resultados que vêm sendo obtidos) eles servem como bons indicadores da precisão e da acurácia do próprio método experimental, e assim serão importantes no item seguinte para a determinação da frequência do movimento amortecido e sua comparação com a primeira determinação.

A determinação das frequências de oscilação no regime permanente e no regime espontâneo, bem como do tempo característico, é feita como descrito no roteiro do experimento anterior, tomando-se um intervalo que contenha um número inteiro de ciclos e medindo-se a duração do intervalo, em unidades amostrais, com as ferramentas do programa editor de som. O programa dispõe de uma ferramenta de análise de frequência baseada em transformadas de Fourier, que pode servir como uma indicação da frequência de um sinal numa análise ligeira, mas sempre utilizaremos nestas atividades o método de contagem de ciclos para medir frequências, já que é um processo que pode ser muito bem controlado, diferentemente da ferramenta de análise que funciona de acordo com um algoritmo desconhecido.

A partir da análise dos sinais obtidos nas três situações experimentais, determine as frequências da oscilação

forçada e da oscilação espontânea para cada frequência de excitação utilizada, e preencha as Tabelas 1 e 2

com os dados e a frequência de cada intervalo analisado.

Tabela 1. Frequência das oscilações forçadas.

Frequência de excitação (Hz)

Duração (s/48000)

n° de ciclos Frequência na oscilação

forçada (Hz)

Niels F. Lima

6

Tabela 2. Frequência das oscilações espontâneas.

Frequência de excitação inicial (Hz)

Duração (s/48000)

n° de ciclos Frequência própria no

decaimento (Hz)

Compare os valores obtidos nas três determinações. A frequência de oscilação amortecida depende da frequência de excitação inicial?

2.2. Obtenção e análise da curva de ressonância do OHAF.

Neste experimento você vai gerar um arquivo no CoolEdit com um som de frequência variável que será

reproduzido pelo alto-falante do conjunto e excitará o movimento do ar no gargalo do ressonador,

proporcionando a força externa periódica do modelo. Como a frequência dessa força varia linearmente com

o tempo, a amplitude da oscilação variará e será registrada em função do tempo como proporcional ao sinal

gravado. Após o final da gravação, o arquivo gravado será aberto e analisado no programa editor de som. Se

a frequência de ressonância estiver no intervalo gerado, a amplitude do sinal gravado nessa frequência será

muito maior do que no resto, evidenciando-se o fenômeno da ressonância, como claramente mostrado no

exemplo da Figura 7.

Gravação da equação horária de um oscilador harmônico amortecido forçado.

Em primeiro lugar, vamos gerar o arquivo que produzirá um som de frequência variável, o que

chamaremos de rampa de frequência, com taxa de variação constante, definida com o programa editor de

som. No exemplo aqui mostrado, a frequência varia de 0 a 500 Hz em 100 s, o que dá uma rampa linear com

inclinação de 5,00 Hz/s. Claro que o procedimento a seguir pode ser usado para outras rampas

Crie um novo arquivo no programa editor de som, escolhendo New Instance no item de menu File, e defina

os parâmetros como feito no experimento anterior. Nesse arquivo, abra a janela Generate Tones, (disponível

no item de menu Generate > Tones...) e desmarque a opção "Lock to these settings only". Em Base

Frequency escreva o valor 0 (Hz), no quadro "General" escolha Flavor = Sine e Duration = 100 (s), e certifique-

se que as outras opções escolhidas são como as da Figura 6.

Figura 5. Parâmetros iniciais da rampa de frequência (Initial Settings).

Oscilações e ressonância

7

Na janela Generate Tones abra a aba Final Settings e copie os dados da situação inicial pressionando o botão Copy from Initial Settings e modifique o valor de Base Frequency para 500 Hz. Assegure-se de que os outros parâmetros Modulate By e Modulation Frequency sejam nulos em ambas abas. Clique em OK e salve o arquivo com um nome adequado no format Windows PCM (extensão .WAV).

Figura 6. Parâmetros finais da rampa de frequência (Final Settings).

Comece a gravar o sinal do microfone, pressionando o botão "Record" no arquivo do microfone. Alterne para o arquivo da rampa de frequência e reproduza o som gerado pressionando o botão "Play". O nível de gravação deve ser monitorado pelo indicador do nível de gravação (barra vermelha horizontal), que não deve ultrapassar a marca de 0 dB. Observe que a intensidade sonora no interior da garrafa será significativamente maior na frequência de ressonância, e talvez seja necessário ajustar o volume de reprodução do som, de forma que o sinal gravado seja suficientemente alto mas não ultrapasse o limite máximo de amplitude de gravação. Após o fim da reprodução da rampa de frequência, interrompa a gravação pressionando o botão "Stop", e salve o arquivo.

Análise dos resultados

Os resultados mostrados aqui como exemplo foram obtidos em experimento apresentado em relatório de iniciação científica (ROCHA, 2006) e em aulas práticas da disciplina Física Geral e Experimental II dos cursos de engenharia industrial do Cefet-Ba.

Figura 7. Sinal gravado do microfone na garrafa excitado por som de frequência variável, a rampa de frequência cuja geração foi descrita no item anterior. A posição do máximo de amplitude está selecionada.

A Figura 7 mostra um arquivo gravado a partir de uma rampa de frequência de 0 a 500 Hz com 100 s de duração (5Hz/s). Como a escala de tempo da figura é muito maior do que a do período das oscilações, a área

Niels F. Lima

8

verde da figura mostra a envoltória das oscilações. A existência de uma frequência para a qual a amplitude de vibração do ar é máxima é muito evidente, e sua posição está marcada na figura.

Sabemos do estudo teórico do OHAF que a amplitude em função da frequência é uma função bem concentrada em torno da frequência de ressonância com largura que é inversamente proporcional ao fator de qualidade. Neste experimento, determinaremos a frequência de ressonância e o fator de qualidade, e assim o tempo característico, pela análise da posição do máximo e da largura da curva de ressonância. A frequência do máximo e a largura da curva em frequência podem ser determinadas usando as ferramentas do programa editor e os dados da rampa de frequência empregada e fornecem estimativas experimentais da frequência natural e do fator de qualidade do oscilador.

a) Determinação da frequência de ressonância

A frequência de ressonância pode ser obtida a partir do arquivo gravado de algumas formas diferentes, como pela contagem do número de oscilações num intervalo de tempo ou pela determinação do instante de ocorrência do máximo (conhecendo-se a frequência externa em função do tempo). Para uma determinação rápida da frequência (porém não muito controlada, com incerteza desconhecida e resultados às vezes diferentes dos obtidos pelos outros métodos) pode-se usar o analisador de frequências do próprio CoolEdit. Posicionando-se o cursor sobre o ponto desejado do sinal gravado, como mostrado na Figura 7, é possível fazer a análise em frequência do sinal, em torno da posição ou no trecho selecionado, e determinar a frequência dominante. Isso é feito usando-se a opção "Frequency Analysis" disponível no item de menu "Analyze" na barra superior do aplicativo. A janela que se abre quando se escolhe esta opção é vista na Figura 8, que mostra o espectro de frequências e a frequência dominante (no campo "Frequency").

Podemos notar aqui o comportamento não linear do sinal gravado. A Figura 8 mostra a coexistência das frequências múltiplas da frequência de oscilação, que são mais importantes quando a amplitude da oscilação é maior. Em outra situação, apesar da escala reduzida da figura, pode-se observar que o sinal na oscilação forçada não é simétrico, afastando-se da forma senoidal. O surgimento dessas frequências harmônicas têm origem em alguma não-linearidade do sistema, e pode ser interessante fazer uma investigação mais profunda desse comportamento.

Figura 8. Espectro na região da curva mostrada na Figura 7. A frequência do máximo de amplitude está mostrada em “Frequency”, neste caso igual a 181,23 Hz.

A ferramenta de análise de frequência deve ser usada apenas para uma determinação rápida das frequências e para a observação do espectro de frequências; para obtenção de resultados experimentais deveremos usar o velho e confiável método de contagem de ciclos.

Escolha uma região no sinal gravado em torno do máximo com um número inteiro de ciclos, conte-os e meça a duração do intervalo em unidades amostrais, com isso determinando a frequência de ressonância. Faça isso com diferentes intervalos, pelo menos três, para poder estimar a imprecisão dessa determinação.

Oscilações e ressonância

9

b) Determinação do fator de qualidade e do tempo de decaimento

O fator de qualidade e o tempo de decaimento do oscilador harmônico amortecido são determinados pela medida da largura da curva de ressonância. Como vimos em nosso estudo da curva de ressonância do OHAF, para um fator de qualidade não muito pequeno, a semilargura da curva de potência em função da frequência é proporcional ao inverso do fator de qualidade.

0ffQ

A amplitude, proporcional à raiz quadrada da potência, é nesses pontos igual à amplitude máxima dividida pela raiz quadrada de dois, ou seja, aproximadamente 71% da amplitude máxima. A largura da curva de

amplitude entre esses pontos, f, pode ser medida no arquivo e assim, usando a frequência de ressonância determinada no item anterior, determinarmos experimentalmente o fator de qualidade assim também o tempo de decaimento.

Figura 9. Sinal gravado pelo microfone na garrafa submetida a som gerado por rampa de frequência, mostrando a região onde a amplitude é maior ou igual a aproximadamente 70% do máximo. A amplitude

do sinal gravado em função do tempo representa a amplitude A em função da frequência, uma vez que a

frequência varia linearmente com o tempo durante o intervalo de medição. A duração em tempo da faixa central, igual a 2,200 s, corresponde no caso à largura de 4,400 Hz, com uma rampa de frequência de 2

Hz/s.

Na Figura 9, mostramos o arquivo com o sinal gravado em outra realização do experimento com o intervalo no qual a amplitude é maior ou igual a aproximadamente 70% da amplitude máxima selecionado.

Para determinar a largura da curva de ressonância, siga o seguinte procedimento:

- Salve em um novo arquivo só a parte do sinal gravado que contém o pico de ressonância; essa parte deve conter o intervalo de tempo no qual a amplitude é relevante e deverá incluir mais do que a porção onde a amplitude é maior ou igual a 70% do máximo.

- Usando a utilidade "Normalize..."; disponível no item de menu "Transform > Amplitude", normalize o sinal fazendo com que o máximo do sinal corresponda à amplitude de 100%. Caso o sinal tenha alguma polarização (média diferente de zero), isso pode ser corrigido com o auxílio da caixa "DC bias adjust"; (por tentativa e erro...).

- Determine a largura (em tempo) da faixa na qual a amplitude do sinal gravado é maior do que 70% do máximo (mostrado como o intervalo selecionado na Figura 9).

Niels F. Lima

10

- Conhecendo a inclinação da rampa de frequência utilizada, em Hz/s, determine a largura em frequência f da curva de ressonância.

Na Figura 10, mostra-se o intervalo completo no qual a amplitude é maior ou igual a 70% do máximo com a duração medida em unidades amostrais.

Figura 10. Intervalo da curva de ressonância no qual a amplitude é maior ou igual a 70% da amplitude normalizada. Esta gravação não é a mesma da Figura 9 mas se refere à mesma garrafa. A largura da curva é

medida em unidades amostrais de tempo, o que dá 48305 e assim à duração da gravação de 1,0064 s. A

rampa de frequência utilizada foi de 4,00 Hz, o que resulta na largura de 4,025 Hz. O fator de qualidade é

portanto igual à razão entre a frequência de ressonância e essa largura, resultando em Q 44,9 e tempo

de decaimento 0,0395 s. Como você estimaria a imprecisão dessa determinação?

Conforme os dados da Figura 10 e usando a frequência de ressonância obtida no experimento da Figura 9, determina-se a largura em frequência da curva de ressonância e daí o fator de qualidade e o tempo de decaimento.

Compare esses resultados com os resultados obtidos para os mesmos parâmetros no experimento da equação horária do OHA.