fis 1202 - cd 5

ALFA-5 85015058 38 ANGLO VESTIBULARES

CAMPO DE UMA CARGA PUNTIFORME

→Ep = f (Q, P)

CAMPO DE VÁRIAS CARGAS PUNTIFORMES

→Ep =

→E1 +

→E2 + ... +

→En

CAMPO UNIFORME (DEFINIÇÃO)→E tem mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido

em todos os pontos.

Exercícios1. (FACESP) Em uma certa região do espaço em que existe vácuo

(constante eletrostática igual a 9 ⋅ 109Nm2C–2), estabele-ceu-se um campo elétrico, cujo valor é 2 ⋅ 107N/C. A cargaque o origina tem módulo 8µC. A que distância da carga es-sa medida de campo elétrico foi efetuada?a) 1cm d) 8cmb) 2,25cm e) N.D.A.c) 6cm

Q = 8 × 10– 6CE = 2 × 107N/C

E = K ⇒ 2 × 107 = 9 × 109 ⋅

r 2 = 36 × 10– 4 ⇒ r = 6 × 10– 2m = 6 cm

2. (FUVEST) O campo elétrico de uma carga puntiforme em re-pouso tem, nos pontos A e B, as direções e sentidos indicadospelas flechas na figura abaixo.

O módulo do campo elétrico no ponto B vale 24V/m. O mó-dulo do campo elétrico no ponto P da figura vale, em voltpor metro,a) 3.b) 4.

c)d) 6.e) 12.

Observando-se a figura, a carga puntiforme está na inter-secção das retas que determinam as direções do campoelétrico em A e B.

Eb = k Ep = k como rp = 2rB

⇒ Ep = = = 6Vm

244

Eb4

|Q|r2p

|Q|r2B

3 2.

A

B

P

8 × 10– 6

r2|Q|r2

Aulas 39 e 40ESTUDO DO CAMPO ELÉTRICO

setor 1202

P

Q

r

+

Q2

+

–r2

r1

Q1

En

E1

rn

Qn

→

→E2→ P

Intensidade:

Direção: reta (Q, P)

Sentido: Q � 0 (afastamento)

Q � 0 (aproximação)

E KQ

r= | |

2

12020508

3. (FATEC) Representa-se na figura um quadrado de lado

possuindo nos seus vértices as cargas Q1, Q2,

Q3 e Q4.

Considerando-se que

o módulo do vetor campo elétrico resultante no ponto P(centro do quadrado) é:a) zero. d) 9 × 103N/C.b) 27 × 103N/C. e) 18 × 103N/C.c) 36 × 103N/C.

Q1 = Q3 = Q4 = QQ2 = – Q

Temos:

logo: Ep = 2 E = 2K ⋅ = 2 ⋅ 9 × 109 ×

Ep = 18 × 103N/Cobs.: r = metade da diagonal do quadrado.

4. Sendo as cargas Q1 e Q2 fixas, calcule a que distância x dacarga Q1 o vetor campo elétrico é nulo.

E1 = E2 ⇒ k = k

∴ x = 8 cm

5. No interior de 2 placas planas e paralelas uma carga punti-forme (q = +2µC) realiza movimento retilíneo e uniformeconforme figura abaixo.

Sendo g = 10N/kg e a massa da carga 10g, pede-se:a) assinalar as forças aplicadas na carga e a resultante;b) o vetor campo elétrico em algum ponto no interior das

placas;c) o sinal da carga das placas.

a)

R→

= 0→

, pois a carga executa MRU.

b) F = P ⇒ |q| ⋅ E = mg ∴ E = 5 ⋅ 104N/CSendo o sinal da carga de prova positiva e a força elé-trica vertical e para cima, o vetor campo elétrico é ver-tical e para cima.

c) placa I… negativaplaca II… positiva

• Leia os itens 4 a 8, cap. 2.• Resolva os exercícios 5 e 6, série 2.

• Leia os itens 9 e 10, cap. 2.• Resolva os exercícios 7, 13 e 14, série 2.

• Resolva os exercícios 8, 9 e 10, série 2.

• Resolva os exercícios 15, 16 e 20, série 2.• Resolva o exercício 22, série 2.

AULA 40

AULA 39

Tarefa Complementar

AULA 40

AULA 39

Tarefa Mínima

� Livro 2 — Unidade I

Caderno de Exercícios — Unidade VI

ORIENTAÇÃO DE ESTUDO

placa I

placa II

g+V

|Q2|

(20 – x)2

|Q1|

x2

Q1

20 – x

Q2

x

E2 E1

Q1

20 – x

Q2

x

E2 E1

Q1 = 4µC

20 cm

Q2 = 9µC

10– 6

12Qr2

E4E3

E2

E1

E4E3

E2

E1

Q Q Q C Q C e K N m

C1 3 4 2

92

21 1 9 10= = = = = × ⋅µ µ, –

Q3 Q4

Q2Q1

P

l = 2 m,


12

3

+

F→

P→

+

F→

P→

I. TRABALHO NO CAMPO DE UMA CARGAPUNTIFORME

Consideremos uma carga pontual Q fixa em um ponto doespaço e dois pontos A e B que distam, respectivamente, rA e rBde Q, conforme mostra a figura abaixo.

Ao deslocarmos uma carga de prova q de A para B segun-do a trajetória indicada, a força elétrica realiza um trabalho da-do pela equação:

(I)

Se levarmos esta mesma carga q, de A para B, por um ou-tro caminho qualquer, a força elétrica realiza o mesmo trabalho.

De fato: Sejam AC e BD arcos de circunferência de centro Q eraios rA e rB, respectivamente.

Mas = 0, pois o vetor força elétrica é

sempre normal a trajetória.

Assim:

Da equação (I) vem:

, como rA = rC e rB = rD, temos:

II. FORÇA CONSERVATIVAUma força é dita conservativa quando o trabalho por ela

realizado independe da trajetória.Concluimos então que a força elétrica é conservativa, pois

seu trabalho independe da trajetória.

III. ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICADefinimos como energia potencial elétrica associada a um

sistema de duas cargas puntiformes numa situação A, como sen-do o trabalho realizado pela força elétrica, para levar a carga deprova do ponto onde se encontra até um ponto de referência.

É comum adotar-se como ponto de referência, um pontosuficientemente afastado da carga fixa, de tal sorte que as açõesdo campo sejam imperceptíveis.

Dizemos então, que o ponto encontra-se no infinito.Desta forma temos:

(εp)A logo: (εp)A =

Como rPR → � ⇒ → 0 e portanto:

De modo análogo: quando q estiver em B temos:

IV. TEOREMA DA ENERGIA POTENCIALDefinida e calculada a energia potencial do sistema formado

por duas cargas puntiformes, podemos dizer que:

Ou seja,

O TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA ELÉTRICAQUANDO SE DESLOCA NUM CAMPO ELÉTRICO UMACARGA DE UM PONTO A PARA UM PONTO B, É IGUALA ENERGIA POTENCIAL INICIAL MENOS A ENERGIAPOTENCIAL FINAL.

τ ε ε

FeA B

pA

pB→ = –

( )εp B

B

KQqr

=

( )εp A

A

KQqr

=

KQqrPR

K QQqr

K qrA PR

−= →τFeA PR

τ τ

FeA C D B

FeC D

A B

KQqr

KQqr

→ → → →= = −

τFeC D

D

KQqr

KQqrC

→ = −

τ τ

FA C D B

FeC D

e

→ → → →=

τ τFeA C

FeD B→ →=

τ τ τ τ

FeA C D B

FeA C

FeC D

FeD B→ → → → → →= + =

τ

FeA B

A BK

Qqr

KQqr

→ = –

A

BqrA

rB

Q


Aula 41TRABALHO E ENERGIA NO CAMPO ELÉTRICO

A

B

Q

rA

rB

rC

rD

C

D

→

→ →

→ →

→

→ →

→ → →

→

→

Exercícios1. Os pontos A, B e C estão no campo elétrico de uma carga

puntiforme Q fixa.

Para transportar uma carga de prova de A até B pela traje-tória AB as forças elétricas realizam o trabalho τ. O trabalhoque realizariam para transportar a mesma carga, nas mes-mas condições anteriores, ao longo da trajetória ACB, seria:

a) τ d) 2τ

b) τ e) τ /

c) 2τ

= ,

pois, τFelét.A → B não depende da trajetória.

2. Uma carga puntiforme de 15µC é fixada na origem de umsistema cartesiano ortogonal imerso no ar.

Determinar:a) a energia potencial do sistema quando se coloca no ponto A

(30cm, 0) uma carga de 10µC.b) a energia potencial do sistema quando se coloca no

ponto B (30cm; 40cm) uma carga 10µC.c) o trabalho realizado pela força elétrica quando se leva a

carga de A até B.

OB = ��302��+ 402��

OB = 50 cm

a) εAp = ; mas rA = 30 cm

então, εAp =

εAp = 4,5 J

b) εBp = ; mas rB = 50 cm

então, εBp =

εBp = 2,7 J

c) τFeA → B = εA

p – εBp

τFeA → B = 4,5 – 2,7

τFeA → B = 1,8 J

• Leia os itens 1 e 2, cap. 3.• Resolva o exercício 11, série 3.

• Resolva o exercício 12, série 3.• Resolva o exercício 17, série 3 e leia o texto abaixo do enunciado.

Tarefa Complementar

Tarefa Mínima




9 × 109 × 15 × 10– 6 × 10 × 10– 6

(5 × 10–1)

KQqrB

9 × 109 × 15 × 10– 6 × 10 × 10– 6

(3 × 10– 1)

KQqrA

y (cm)

A(30, 0)

B(30, 40)

30 x (cm)

50 cmQ = 15µC

y (cm)

A(30, 0)

B(30, 40)

30 x (cm)

50 cmQ = 15µC

B(30, 40)

y(cm)

A(30, 0) x(cm)

Q = 15µC

τFelét.A → B

τFelét.A → B

2

33

A B

C

Q+


I. INTRODUÇÃOEm aulas anteriores, vimos que o vetor campo elétrico descre-

ve (sob o aspecto vetorial) um campo elétrico. Agora sabemos quealém da característica vetorial (forças nas cargas de prova) surgetambém associado ao campo, uma característica escalar, (EnergiaPotencial) quando se coloca na região uma carga de prova.

Há então a necessidade de se descrever o campo sob o aspectoescalar. Faremos isso, definindo Potencial Elétrico de um ponto.

II. POTENCIAL ELÉTRICO DE UM PONTOSeja A um ponto pertencente a um campo elétrico.Se levarmos a A sucessivamente cargas de prova q1, q2 ... q.

Ao sistema se associarão as energias potenciais εp1, εp2

... εp.

Verifica-se que a relação, , é uma cons-

tante característica do ponto. Definimos potencial elétrico de umponto de um campo elétrico como a energia potencial por unidadede carga de prova colocada nesse ponto. Isto é:

e

III. UNIDADE DE POTENCIAL ELÉTRICO

Em homenagem ao físico Volta, denomina-se a relação

de volts. Abreviatura (V).Um volt é o potencial elétrico de um ponto capaz de asso-

ciar ao sistema uma energia potencial de 1J se nele chegar umacarga de 1C.

IV. POTENCIAL ELÉTRICO NUM CAMPODEVIDO A UMA CARGA PUNTIFORME

então:

V. TRABALHO NO CAMPO ELÉTRICO

VI. OBSERVAÇÕES RELATIVAS AOPOTENCIAL ELÉTRICO

• Potencial elétrico é grandeza escalar.• A unidade de potencial no SI é o volt (V).• Quando várias cargas criam campo em um ponto, o potencial

nesse ponto é a soma algébrica dos potenciais criados indivi-dualmente pelas cargas.

• O potencial pode ser utilizado como grandeza auxiliar para ocálculo da energia potencial e do trabalho no campo elétricocomo segue:

com U = VA – VB.

Exercícios1. (UNESP) Na configuração de cargas abaixo, qual é a expres-

são que representa o potencial eletrostático no ponto P ?

a) d)

b) e)

c)

V p = K + K

V p = ⇒ V p = – Kqa

23

Kq – 3 Kq3a

– qa

q3a

+Kqa

43

−Kqa

23

–Kqa

43

−Kqa3

+Kqa3

τFe

A B qU→→ =

τ

Fe

A BAq B→

→ = ( – )V V

(εp)B = qVB(εp)A = qVA

τFe

A BAq B

→ = ( – )V V

τFeA B

A Bq

KQr

KQr

→ =

⇒–

τFeA B

A B

KQqr

KQqr

→ = ⇒–

τ ε εFeA B

pA

pB→ = ⇒–

VA

A

KQr

=

V VA

p AA

AqKQqq r

= ⇒ =( )ε

11

JC

[ ][ ]

[ ][ ]V VA

pAAq

JC

= ⇒ =ε

VB

p B=( )ε

q VA

p A=( )ε

q

ε ε εp p p

q q q1 2

1 2= =L


Aulas 42 e 43POTENCIAL ELÉTRICO DE UM PONTO

2a a

+q –q P

2. Considere que, no sistema de cargas da figura, Q = 2µC e r = 1m.

Determine:a) o potencial elétrico do ponto P.b) o vetor campo elétrico no ponto P.

a) V p = K + K

∴ Vp = 0

b) •p E•p E

E = K ∴ Ep = 2E = 2k

horizontal para direita

3. (Santa Casa-SP-Modificado) Nos pontos A e B existem cargasfixas de +5�C e –15�C, entre os pontos M e N, um pe-queno corpúsculo de carga elétrica +5mC pode se deslocarsegundo uma trajetória senoidal.

a) Determine o potencial elétrico dos pontos M e N, devidoàs cargas fixas de A e B.

b) Determine o trabalho das forças elétricas no desloca-mento do pequeno corpúsculo, entre os pontos M e N.

a) V M = – K ⋅

V M = (– 10 × 10– 6)

VM = – 3 × 104 V

V N = (5 × 10 – 6 – 15 × 10 – 6)

V N = (– 10 × 10– 6)

VN = – 18 × 103 ⇒ VN = – 1,8 × 104 V

b) τFelét.M → N = q (VM – VN)

= 5 × 10– 3 (– 3 × 104 + 1,8 × 104)= 5 × 10– 3 × (– 1,2 × 104)= – 60 J.

• Leia os itens 3 e 5, cap. 3.• Resolva os exercícios 1 e 3, série 3.

• Leia os itens 4, 6 e 7 cap. 3.• Resolva os exercícios 5 e 6, série 3.

• Resolva o exercício 7, série 3.

• Resolva os exercícios 4, 8 e 9, série 3.

AULA 43

AULA 42

Tarefa Complementar

AULA 43

AULA 42

Tarefa Mínima




9 × 109

5

9 × 109

5

9 × 109

3

15 × 10– 6

3K ⋅ 5 × 10– 6

3

A B3m M

N

MN = 4m3m

Qr2

Qr2

(– Q)r

(+ Q)r

rr

P+Q –Q


I. LINHAS DE FORÇA — CONCEITOLinhas de Força (LF) são linhas desenhadas de tal forma que:

a) a tangente, em qualquer ponto da linha, caracteriza a direçãodo vetor E

→.

b) a orientação da LF define o sentido do vetor E.

c) a densidade das LF numa dada região, dá uma idéia da intensi-dade de E

→, na região.

II. LINHAS DE FORÇA DOS CAMPOSELÉTRICOS MAIS COMUNS

III. SUPERFÍCIE EQUIPOTENCIALSuperfície equipotencial, em um campo elétrico, é toda su-

perfície, nos pontos da qual o potencial elétrico é constante.No campo de uma carga pontual Q, as superfícies equipo-

tenciais são esféricas e concêntricas com a carga (Fig. a seguir) da

expressão do potencial elétrico Vp = , os mesmos pontos

possuem mesmo potencial elétrico Vp devem estar à mesma dis-

tância r de Q.

No campo de uma carga puntiforme,as superfícies equipotenciais são esféricas.

Note que:As linhas de Força são perpendiculares às Superfícies

Equipotenciais.

Esta propriedade é válida em qualquer campo elétrico.

Num campo uniforme, as superfícies equipotenciais,por serem perpendiculares às linhas de força, são planos parale-los entre si (Fig. a seguir).

Num campo uniforme, as superfíciesequipotenciais são planas.

linha deforça

superfícieequipotencial

VA � VB � VC � VDVA VB VC VD

superfícieequipotencial

linha de força

VA

VB

VC

KQr

⋅


Aula 44PROPRIEDADES GERAIS DOS CAMPOS ELÉTRICOS

++Q

+ ––Q+Q

––Q

+

+Q

+

+Q

CAMPO ELÉTRICOUNIFORME

Exercícios1. A figura abaixo representa as linhas de força do campo ori-

ginado por duas cargas pontuais fixas nos pontos A e B.

Pode-se afirmar que:a) QA é positiva e QB é negativa.b) QB é positiva e QA é negativa.c) tanto QA como QB podem ser positivas.d) tanto QA como QB podem ser negativas.e) nada que se afirmou é correto.

2. No exercício anterior sendo |QA| � |QB| a intensidade deforça elétrica:a) aplicada em QB será maior que a aplicada em QA.b) aplicada em QB será menor que a aplicada em QA.c) aplicada em QA será igual à aplicada em QB.d) não dependerá da distância entre elas.e) nenhuma das anteriores é correta.

3. (FUVEST) A figura representa algumas superfícies equipo-tenciais de um campo eletrostático e os valores dos potenciaiscorrespondentes.

a) Copie a figura, representando o vetor campo elétrico nospontos A e B.

b) Qual o trabalho realizado pelo campo para levar uma

carga q, de 2 × 10– 6 C, do ponto A ao ponto B?

a)

b) τFelét.A → B = q (VA – VB)

2 × 10– 6 [20 – (– 10)]6 × 10– 5J

• Leia os itens 1 a 6, cap. 4.• Resolva os exercícios 1 e 2, série 4.

• Resolva os exercícios 10 e 13, série 3.

Tarefa Complementar

Tarefa Mínima




A

B–10V –20V+10V+20V

EA

→

EB

→

0

A

B–10V –20V+10V+20V

EA

→

EB

→

0

A

B–10V –20V+10V+20V

A

QA QB

B


fis 1202 - cd 5

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