ficha1_geometria

Disciplina: MatemáticaProf.: Alex Jordane

ENTENDO O ESPAÇO ONDE VIVEMOS

Caro estudante,

Saber nos localizarmos e nos comunicarmos geometricamente é tarefa necessária para nossa

perfeita inserção no espaço em que vivemos, seja ele local ou global. Além disso, o estudo da

geometria está diretamente ligado a diversas áreas de trabalho. Profissões como técnico de

segurança do trabalho, técnico em construção de edifícios, técnico em metalurgia, por exemplo,

têm na geometria ferramenta fundamental para suas atividades diárias. Nesta ficha introduziremos

o estudo da geometria buscando entender melhor este campo da Matemática, partindo das figuras

espaciais e aprofundando nos cálculos envolvendo figuras planas.

1. O mundo tem três dimensões

Com certeza você já deve ter percebido que o seu mundo tem três dimensões. Nada que

conhecemos pode ser considerado plano, nem uma folha de papel que, por mais fina que seja,

tem uma espessura. Algumas formas, principalmente as criadas pelo homem, possuem formas

geométricas bastante conhecidas. Observe as imagens abaixo:

Instituto Federal do Espírito Santo 2

Observe que podemos comparar algumas partes das construções com formas geométricas.

Algumas dessas formas são denominadas Poliedros e, por falar nisso, você sabe o que é um

Poliedro? Essa vai ser a sua primeira tarefa nesta ficha. Pesquise em livros, dicionários, internet

ou com amigos o que é um Poliedro. Pesquise também algumas de suas características e liste

nas linhas abaixo:

Agora que você já sabe o que é um poliedro, assinale, classifique os sólidos a seguir como

poliedro e não poliedro e, quando possível, dê os seus nomes, caso saiba:

Poliedro

Não poliedro

Nome: ________________

Poliedro

Não poliedro

Nome: ________________

Poliedro

Não poliedro

Nome: ________________

Poliedro

Não poliedro

Nome: ________________

Poliedro

Não poliedro

Nome: ________________

Poliedro

Não poliedro

Nome: ________________


2. As faces dos poliedros

As faces dos poliedros são denominadas Polígonos. Bom, agora você deverá fazer outra

pesquisa. Você deverá conceituar Polígonos dizendo suas principais propriedades:


Observe a imagem a seguir:

Répteis (Escher) – Litogravura de 1943

Pavimentar um plano é preencher esse mesmo plano completamente através do uso repetido de

polígonos, ou outras figuras, sem falhas nem sobreposições. Uma boa parte da obra de Escher1 é

dedicada ao estudo das pavimentações do plano euclidiano. Nessas pavimentações é possível

identificar translações, rotações, reflexões e composições dessas transformações. Você consegue

identificar as formas geométricas utilizadas pelo autor?

1 Mauritus Cornelis Escher, nasceu em Leeuwarden na Holanda em 1898, faleceu em 1970 e dedicou toda a sua vida às artesgráficas. Cursou arquitetura na Escola de Belas Artes de Haarlem onde conheceu as técnicas de desenho e deixou-se fascinar pelaarte da gravura. Este fascínio foi tão forte que levou Mauritus a abandonar a Arquitetura e a seguir as Artes Gráficas. Sua obra foiinspirada pela arte árabe, pela divisão regular do plano em figuras geométricas que se transfiguram, se repetem e refletem, pelas


Observe como Escher cria os seus répteis:

Veja como ficaria um ladrilhamento a partir da figura feita:

Escher opta por utilizar hexágonos regulares como ponto de partida. Mas por que hexágonos

regulares? Por um simples motivo, para criar um mosaico feito exclusivamente como polígonos

regulares ele teria somente três opções: triângulos eqüiláteros, quadrados e hexágonos regulares.

Pois somente esses três permitem ladrilhamento ou pavimentação. Observe:

pavimentações. Porém, no preenchimento de superfícies, Escher substituía as figuras abstracto-geométricas, usadas pelos árabes, porfiguras concretas, perceptíveis e existentes na natureza, como pássaros, peixes, pessoas, répteis, etc.


i. Por que não é possível fazer pavimentações com pentágonos regulares (4ª figura)?

ii. Como podemos calcular o valor o ângulo interno de um polígono regular?

10. Você precisa revestir o piso de um quarto e, para isso, escolheu cerâmicas com formatos umpouco diferentes. Além disso, você quer utilizar duas cores para fazer o revestimento.

Sabendo que o quarto tem forma retangular com medidas 3mx4m, Calcule quantas peças decada cor deverão ser compradas para não haja desperdício. Lembre-se que as peçasdeverão ser colocadas de forma que fique um bonito desenho no piso.

11. Leia o texto abaixo:

firma Maeterlinck, no seu famoso livro sobre asabelhas, que esses animais, na construção deseus alvéolos, resolvem um problema de alta

matemática.

Há nessa asserção certo exagero do escritor belga: oproblema que as abelhas resolvem pode ser abordado,sem grande dificuldade, com os recursos daMatemática elementar.

Não nos importa, porém, saber se o problema éelementar ou transcendente; a verdade é que essespequeninos e laboriosos insetos resolvem uminteressantíssimo problema por um artifício que chegaa deslumbrar a inteligência humana.

Todos sabem que a abelha constrói os seus alvéolospara neles depositar o mel que fabrica. Esses alvéolossão feitos de cera. A abelha procura, portanto, obteruma forma de alvéolos que seja a mais econômicapossível, isto é, que apresente maior área para amenor porção de material empregado.

É preciso que a parede de um alvéolo sirva, também,ao alvéolo vizinho. Logo, o alvéolo não pode ter formacilíndrica, pois do contrário cada parede só serviria aum alvéolo.

Procuraram as abelhas uma forma poligonal para osseus alvéolos. Os únicos polígonos regulares quepodem ser justapostos sem deixar interstício são: otriangular, o quadrangular e o hexagonal. Foi esteúltimo que as abelhas escolheram. E sabem por quê?Porque dos três polígonos regulares A, B e Cconstruídos com porção igual de cera, o prismahexagonal é o que apresenta maior área.

Eis o problema resolvido pelas abelhas:

Dados três polígonos regulares da mesmo perímetro A(triangular), B (quadrangular), C (hexagonal), tendo amesma área lateral, qual é o que tem maior área?

Adaptado de Malba Tahan (1999, p. 44)

A

10 cm

15 cm

20 cm

15 cm

10 cm

5 cm

15 cm

20 cm


i. Quais as três formas que a abelha poderia utilizar para construir os alvéolos?

ii. Por que as abelhas utilizam o hexágono como para construir suas colméias?

iii. Qual seria o valor de cada ângulo interno dos alvéolos?

12. Sr. Manoel pretende construir um canteiro retangular para plantar alface e, para proteger paraque seu cachorro não estrague sua plantação, cercará os quatro lados do canteiro com umatela. Ele quer que no canteiro construído caiba a maior quantidade de alface possível. Se atela comprada possui 60m, ele está em dúvida se faz um canteiro de 5m x 25m, 10m x 20m ou15m x 15m. Qual seria a melhor alternativa? Por quê? Sabendo que em 1m2 cabem 25 pés dealface, quantos pés de alface poderiam ser produzidos no canteiro escolhido?

"Uma abelha envergonha, pela qualidade de suascolméias, a habilidade de muitos arquitetos. Mas oque distingue o pior dos arquitetos da abelha maishabilidosa é que ele construiu a célula na suacabeça antes de a construir na colméia" (Marx)

1 m

1 m


13. (Enem 2002 - adaptado) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ouazulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, nãosão todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana,sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares.

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre ospolígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter que forma?

14. Para refletir:

i. Você já viu painéis de propaganda giratórios (aqueles em que é exibida mais de umapropaganda)? Como você acha que eles funcionam? Quantas propagandas, no máximo,podem ser exibidas? Qual a forma dos elementos que giram no painel?

ii. Por que as cabeças dos parafusos são na forma de um prisma hexagonal?

3. Um pouco de história

Platão2 nasceu em Atenas, em 428 ou 427 a.C. Filho de pais aristocráticos e abastados, tinha

temperamento artístico e dialético - manifestação característica e suma do gênio grego. Na

mocidade deu livre curso ao seu talento poético, que o acompanhou durante a vida toda,

manifestando-se na expressão estética de seus escritos.

Aos vinte anos, Platão travou relação com Sócrates - mais velho do que ele quarenta anos - e

gozou por oito anos do ensinamento e da amizade do mestre. Quando discípulo de Sócrates e

2 Fonte: http://www.mundodosfilosofos.com.br/platao.htm


ainda depois, Platão estudou também os maiores pré-socráticos. Depois da morte do mestre,

Platão retirou-se com outros socráticos para junto de Euclides, em Mégara.

Em Atenas, pelo ano de 387, Platão fundava a sua célebre escola, que, dos jardins de Academo,

onde surgiu, tomou o nome famoso de Academia. Morreu em 348 ou 347 a.C., com oitenta anos

de idade. A atividade literária de Platão abrangeu mais de cinqüenta anos da sua vida. A parte

mais importante da atividade literária de Platão é representada pelos diálogos - em três grupos

principais, segundo certa ordem cronológica, lógica e formal, que representa a evolução do

pensamento platônico, do socratismo ao aristotelismo.

A obra de Platão tem grande importância na Matemática, seja na discussão filosófica ou de

conceitos específicos. Uma das suas contribuições são seus estudos dos chamados “sólidos

platônicos” ou “poliedros regulares”. Para Platão o universo era formado por um corpo e uma alma

ou inteligência. Na matéria havia porções limitadas por triângulos, formando-se elementos que

diferem entre si pela natureza da forma das suas superfícies periféricas. Se forem quadrados

temos o cubo - o elemento da terra. Se forem triângulos, formando um tetraedro, teremos o

fogo, cuja natureza penetrante está simbolizada na agudeza dos seus vértices.

O ar é formado por octaedros e a água de icosaedros. Platão admitia ainda que por intervenção

inteligente, uns se transformavam nos outros à exceção da terra, que se transforma em si própria.

O dodecaedro cheio de harmonia simbolizava o próprio universo. No entanto, ainda existem

dúvidas se o teorema "só há cinco sólidos platônicos" se deve a Platão ou a Pitágoras. Mas

provar-se-ia mais tarde que este teorema era falso e Cauchy provou que há nove poliedros

regulares e que não existem mais. O erro do teorema de Platão ou de Pitágoras reside no fato de

os poliedros regulares por eles considerados não serem obrigatoriamente convexos (que

características possuem os poliedros convexos? Pesquise e discuta com colegas e professores).


POR QUE HÁ SOMENTE 5 SÓLIDOS DE PLATÃO?

Para responder esta questão vamos fazer uma atividade prática utilizando material concreto.

Comece construindo sólidos cujas faces sejam apenas triângulos equiláteros. Veja como você irá

construir os triângulos:

I. Pegue uma folha de papel e dobre ao meio na direção do maior tamanho para fazer uma marca.

II. Agora dobre a folha por uma das pontas até que a ponta encontre o meio da

III. Dobre a outra ponta até se alinhar com a dobra feita na etapa anterior


IV. Dobre, agora, a ponta que está sobrando para trás

V. Pronto, você já tem o seu triângulo eqüilátero. Você deverá utilizá-lo como molde para fazer vários

triângulos eqüiláteros.

Agora que você já tem os triângulos, deverá marcar os locais para dobrá-los, para que depois posamos

construir as nossas figuras. Proceda da seguinte forma:

VI. Dobre um pedaço do lado de um dos triângulos construídos.

VII. Em seguida, utilize este molde para riscar os triângulos construídos, assim:


VIII. Agora, corte as pontas e dobre as abas:

Pronto. Com os triângulos construídos e com as borrachinhas construa todos os sólidos que

puder. Experimente todas as possibilidades. Registre as conclusões no quadro a seguir. Façam a

mesma coisa para quadrados e pentágonos regulares (converse com seu professor ou professora

como fazer um molde de um pentágono regular). Você deverá construir todos que são possíveis.

1 2 3 4 5 6 7

Face dosólido

Tamanho doângulo

interno decada face

Número defaces

concorrentesem cadavértice

Número defaces

Número devértices

Número dearestas

Nome do

sólido

Agora reflita:

I. Que relação existe entre os valores das colunas 4, 5 e 6?

II. Quantos sólidos conseguiram construir apenas com triângulos? E só com quadrados? E

apenas com pentágonos? Expliquem o porquê.

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