Ficha 1 – Teoria matemática das eleições – sistemas de votação* sistema maioritário

* sistema por ordem de preferência

¿ {método da pluralidade ¿ {método de e lim inação de run−off ¿ {método de Borba ¿ ¿¿* sistema de aprovação

1. Numa eleição com quatro candidatos, A, B, C e D, obtiveram-se os seguintes resultados, representados em esquemas de preferências:

a) Calcule a percentagem de primeiros lugares obtidos por cada candidato (2 c.d.).

b) Usando o Método da pluralidade, quem é o vencedor desta eleição? Justifique.

c) Determine o vencedor desta eleição usando o método:

i) run-off simples;

ii) run-off sequencial;

iii) de Borba

iv) de Condorcet.

2. A associação de estudantes da Escola Secundária de Monte de Azinha decidiu aplicar o método de Contagem de Borda, para escolher o representante dos alunos num fórum internacional sobre ciência. Concorreram quatro candidatos: a Ana, a Inês, o Nuno e o Pedro. Segundo o método da Contagem de Borda, o apuramento do vencedor faz-se de acordo com os seguintes critérios e etapas:

• para que um voto possa ser considerado válido, cada eleitor vota em todos os candidatos, ordenando-os de acordo com as suas preferências;• na ordenação final dos concorrentes, cada primeira preferência recebe tantos pontos quantos os candidatos em votação.• cada segunda preferência recebe menos um ponto do que a primeira, e assim sucessivamente, recebendo a última preferência um ponto;• o vencedor é o concorrente com maior número de pontos.

Foram apurados noventa e cinco votos válidos. Os resultados obtidos estão representados na tabela.Determine a pontuação final de cada candidato, e indique o vencedor.

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3. Os alunos do 12º ano da Escola «Bom Estudante» pretendem organizar uma viagem de finalistas a uma cidade espanhola. Os delegados das oito turmas reuniram-se para escolher essa cidade. Como não conseguiram consenso, decidiram que seriam todos os alunos do 12º ano a eleger o destino da viagem, sendo Granada, Madrid, Sevilha e Vigo, as cidades colocadas à votação. Cada aluno, no seu boletim de voto, ordena as quatro cidades de acordo com as suas preferências, sendo o seu voto atribuído à cidade colocada em primeira preferência.Na tabela (quadro de preferências) que se segue estão registadas as sequências das preferências obtidas na votação e o número correspondente de boletins:

O método escolhido para apurar a cidade como destino da viagem de finalistas foi o Método Preferencial, de acordo com os seguintes critérios e etapas:

contabiliza-se o número de votos obtidos, na primeira preferência, por cada cidade; caso uma cidade obtenha a maioria absoluta de votos na primeira preferência, ela é eleita a vencedora e o

processo termina; caso contrário, elimina-se a cidade que obteve o menor número de votos, na primeira preferência, e o

quadro de preferências é reestruturado, passando a incluir menos uma cidade (consequentemente menos uma preferência);

a este «novo» quadro de preferências, aplicam-se novamente todos os procedimentos anteriores, pela ordem enunciada;

o processo repete-se até uma das cidades obter maioria absoluta de votos na primeira preferência.

Tendo em conta os resultados da votação expressos na tabela:

a) Calcule o número de votos que cada uma das cidades obteve na primeira preferência;

b) Indique o número mínimo de votos que uma cidade deveria ter obtido na primeira preferência para ser

eleita vencedora na primeira contagem;

c) Determine, segundo o método descrito, a cidade onde se vai realizar a viagem de finalistas. Na sua

resposta deve incluir, obrigatoriamente, o número de votos obtidos na primeira preferência, por cada

cidade, em cada uma das contagens que efetuar para determinar a cidade a visitar.

d) Determine quantos alunos frequentam o 12º ano de escolaridade na Escola «Bom Estudante», sabendo que

4% dos alunos do 12º ano não votaram.

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4. Considere a seguinte tabela de preferências, relativamente às escolhas de 13 alunos, sobre o destino de uma visita de estudo: Mérida, Guimarães e Setúbal.

Ordem de preferênciaVotos

1º 2º 3ºMérida Guimarães Setúbal 3

Guimarães Setúbal Mérida 6Setúbal Mérida Guimarães 4

a) Determine a escolha vencedora pelo método de Borda.

b) Existe vencedor de Condorcet? Justifique.

c) Suponha que a Diretora de Turma disse que não é possível ir a Setúbal. Qual será o destino escolhido, de

acordo com o método da pluralidade?

5. Considere a tabela incompleta, resultante de uma votação com ordem de preferência, cujos candidatos designaremos por “A”, “B”, “C” e “D”.

Atribui-se 4 pontos ao primeiro classificado, 3 pontos ao segundo, 2 ao terceiro e um ponto ao quarto e obtivemos as pontuações A: 48 B: 84 C: 84 D: 104. Descubra a ordem de votação da coluna do meio. Apresente todos os cálculos.

6. Os 32 alunos de uma classe de ginástica vão eleger o tesoureiro, pois pretendem organizar uma viagem no final do ano. Existem quatro candidatos e os alunos votam por ordem de preferência. Os resultados foram os seguintes:

Determine, caso seja possível, o vencedor da eleição. Caso não seja possível, apresente a respectiva justificação. Utilize o método:

a) maioria simples. b) maioria absoluta.

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7. Os alunos de uma turma vão eleger o delegado. Existem quatro candidatos que representaremos por A, B, C e D. Os alunos votam por ordem de preferência. Os resultados estão na tabela.

Determine, caso seja possível, o vencedor da eleição. Caso não seja possível, apresente a respectiva justificação. Utilize o método:

a) maioria simples. b) maioria absoluta c) maioria a duas voltas

8. Na eleição para o delegado de turma do 10º E foram obtidos os seguintes resultados:

a) Qual a percentagem de votos de cada aluno? Apresente o resultado

aproximado às décimas.

b) Quem ganha pelo sistema maioritário de uma volta?

c) Quantos votos o delegado de turma teria de obter para ganhar à

primeira volta no sistema maioritário de duas voltas?

9. Considere a seguinte tabela de preferências, relativamente às escolhas de 13 crianças, sobre a fruta a comer ao lanche: pêra (P); banana (B) e morango (M).

a) Determine a escolha vencedora pelo método de Borda.

b) Existe um vencedor de Condorcet?

c) Como a Joana faz anos, a educadora tornou representativas as suas

preferências: 1ª M, 2ª P e 3ª B. É justo este método?

d) Qual é a escolha vencedora pelo método de run-off simples?

e) As alíneas anteriores violaram alguma das condições de Arrow?

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Nomes Nº de votosAnabela 4Hugo 5Leonel 10Ana Miguel 1Nulos 2Brancos 4Total 26

Preferências1ª P B M2ª B M P3ª M P BTotal 3 6 4

10. Quatro encarregados de educação, Álvaro, Belmira, Carlota e Dinis candidataram-se à presidência da Associação de Pais da Escola Arco-Íris. Um júri constituído por oito pessoas (E, F, G, H, I, J, L e M) usou o Sistema de Aprovação para decidir esta questão. O quadro seguinte resume a votação (√ significa que aprova o candidato).

a) Quem foi eleito Presidente? Com quantos votos?

b) As votações de dois dos elementos do júri não têm influência no resultado final. Indique quais e porquê.

11. Uma turma do 10º ano pretende efetuar uma visita de estudo e, para isso, organizou uma eleição para determinar a localidade de destino. As opções são Lisboa, Mérida e Porto. As opiniões recolhidas foram as seguintes:

13 alunos votaram Lisboa e Mérida; 12 alunos votaram Mérida; 10 alunos votaram Porto e Mérida; 5 alunos votaram Mérida, Porto e Lisboa.

a) Quantos votos obteve cada localidade?

b) Usando o Sistema de aprovação, qual será a vencedora?

c) Supondo que a Diretora de Turma disse que não era possível ir ao Porto, haverá alteração no resultado

final? Justifique.

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