FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: O uso de Ambiente Virtual de Aprendizagem no aprendizado da matemática aplicada ao curso Técnico de Química

Autor Ângela Maria Wolski Borille

Escola de Atuação Centro Estadual de Educação Profissional de Curitiba

Município da escola Curitiba

Núcleo Regional de Educação Curitiba

Orientador M.Sc. Anderson Roges Teixeira Góes

Instituição de Ensino Superior Universidade Federal do Paraná

Disciplina/Área Matemática

Produção Didático-pedagógica Material Multimídia

Relação Interdisciplinar

Química

Público Alvo

Alunos do curso técnico de Química

Localização

Centro Estadual de Educação Profissional de Curitiba

Rua Frederico Maurer n° 3015, Boqueirão – Curitiba Apresentação:

O presente trabalho pretende analisar, a respeito das dificuldades em conteúdos matemáticos e as deficiências observadas em algumas disciplinas do ensino técnico de Química.

Com o objetivo de propor uma iniciativa de busca de soluções, foi criado um ambiente virtual de aprendizagem para acesso aos alunos, professores e comunidade escolar em geral. Para assim, oportunizar ao aluno auxílio às suas dúvidas, sem que precise dirigir-se à escola e possa fazer uso deste auxílio no momento em que julgar propício e necessário. Proporcionando também ambientes de intercambio e interação entre a Coordenação do Curso, professores e alunos da Escola, com a finalidade de melhorar o desempenho e a qualidade do ensino público.

Com isto espera-se motivar os alunos na aplicação da matemática na prática industrial e laboratorial.

Neste ambiente virtual estão disponibilizados textos com explicações teóricas da matemática, bem como sua contextualização na química, os recursos utilizados são texto, áudio e vídeo, bem como fórum e Chat. Desta forma, este material busca a formação de um cidadão crítico, atualizado, que cada vez mais esteja inserido nos avanços tecnológicos produzidos pela humanidade e que venha a ser um profissional bem formado e ativo na construção da sociedade.

Palavras-chave Ambiente Virtual de aprendizagem, Matemática, Wiki, Matemática aplicada na Química.

1

PRODUÇÃO DIDATICO PEDAGÓGICA

1 APRESENTAÇÃO.................................................................................. 2

2 PROCEDIMENTOS............................................................................... 4

2.1 A FILOSOFIA WIKI.............................................................................. 4

2.2. O AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM DESENVOLVIDO.... 4

2.3 CONTEÚDOS.......................................................................................... 18

3 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR....................................................... 74

4 PROPOSTA DE AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO..................... 75

5 INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS........................................................... 76

2

1 APRESENTAÇÃO

O presente trabalho, cujo tema é Ambiente Virtual de Aprendizagem no ensino da

Matemática, pretende analisar a respeito das dificuldades em conteúdos matemáticos e as

deficiências observadas em algumas disciplinas técnicas profissionalizantes no ensino

técnico de Química, ofertado no Centro Estadual de Educação Profissional de Curitiba. O

publico alvo serão os estudantes de Química deste Centro, nas modalidades de Ensino

Médio Integrado e de Subseqüente ao Ensino Médio.

O ambiente virtual de aprendizagem vai facilitar o acesso do aluno ao esclarecimento

e auxílio as suas dificuldades, acarretando diminuição do índice de desistência e reprovação

nas disciplinas técnicas, que se utilizam diretamente da matemática.

O ensino mediado pelo computador cria um ambiente de aprendizado não mais

centrado na sala de aula, e sim, ao alcance das casas, dos escritórios, das indústrias, etc.

Este modelo visa contribuir para as mudanças na educação tradicional, criando ambientes

que enfatizam a construção do conhecimento.

A utilização de ferramentas tecnológicas como o computador, a Internet, ambientes

virtuais de aprendizagem, software de simulação, seria um instrumento importantíssimo para

a motivação e incentivo ao aluno a estudar matemática dentro e fora da sala de aula. As

Tecnologias como sendo grande aliada na motivação e percepção da aplicação da

matemática dentro de sua formação escolhida.

O objetivo da criação de um ambiente virtual de aprendizagem foi para oportunizar

ao aluno trabalhador do curso de Química o acesso a materiais de apoio, onde ele possa

buscar o esclarecimento de dúvidas e construção de conhecimento.

Como objetivo específico também se espera: Proporcionar ambientes de intercambio

e interação entre a Coordenação do Curso, professores e alunos da Escola; Motivar os

alunos e contextualizá-los na aplicação da matemática na prática industrial e laboratorial;

Oportunizar ao aluno auxílio às suas dúvidas, sem que precise dirigir-se à escola e possa

fazer uso deste auxílio no momento em que julgar propício e necessário; Com a elaboração

deste material e disponibilização on line do mesmo espera-se contribuir para uma melhoria

de desempenho e qualidade do ensino público;

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Busca-se também a formação de um cidadão crítico, atualizado, que cada vez mais

esteja inserido nos avanços tecnológicos produzidos pela humanidade e que venha a ser

um profissional bem formado e ativo na construção da sociedade.

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2 PROCEDIMENTOS

2.1 A FILOSOFIA WIKI

A filosofia Wiki é proposta neste ambiente virtual como um sistema estratégico no

desenvolvimento das mais diversas habilidades entre elas a de escrita, a leitura e a

pesquisa, justificando a importância do sistema Wiki no aprender, enquanto um ambiente de

alcance pedagógico e colaborativo. Gomes (2006) descreve a tecnologia Wiki como uma

filosofia marcada pela possibilidade de liberdade e heterogeneidade. A opção pelo Wiki,

neste projeto, se dá pela possibilidade do trabalho colaborativo para geração de conteúdo e

consolidação progressiva de conhecimento coletivo e principalmente pela crença de que a

dimensão de um trabalho unindo saberes, criatividades e informações podem extrapolar

qualquer dificuldade.

Wiki é uma ferramenta baseada na web, que permite a colaboração entre usuários

por meio de fácil adição e edição de conteúdo, bem como sua publicação.

O termo "Wiki" vem do havaiano wiki, que significa "rápido". O nome foi escolhido

por ser uma ferramenta muito dinâmica para a consolidação de conteúdo.

Após várias pesquisas sobre ambientes virtual de aprendizagem, optou-se por

construir um Wiki. Nesta pesquisa pode-se perceber que existem diversas ferramentas

disponíveis, para a criação de Wikis, que podem ser pagas ou gratuitas.

2.2 O AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM DESENVOLVIDO

A escolha foi realizada pelo ambiente “Zoho Wiki”. Levou-se em consideração a sua

facilidade e eficiência na criação e administração de Wikis. Apresentou fácil manuseio e

personalização, espaço de hospedagem ilimitado, e mais recursos que os outros disponíveis

na web na versão gratuita. Além de que, no site https://igovexplica.wiki.zoho.com/Wiki.html,

ensina passo a passo como criar um Wiki, de maneira didática e acessível para quem não

tem muito conhecimento nesta área.

Para acessar este ambiente virtual de aprendizagem é necessário primeiramente

cadastrar-se no “WIKI ZOHO”, no endereço:

https://wiki.zoho.com/login.do?serviceurl=%2Fregister.do

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Onde abrirá a seguinte tela:

A tela se apresenta em inglês, mas basta clicar em traduzir na barra de ferramentas

do google.

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Se você já tem uma conta do Google (conta do Gmail, por exemplo) ou do Yahoo

clique em inicio de sessão utilizando Google ou Yahoo respectivamente, e efetue login de

sua conta normalmente. Clique em Conceder Acesso , isso permitirá associar sua conta já

existente a conta do Zoho, sem necessidade de efetuar cadastro.

Caso, não tenha nenhuma das contas, nem do Google nem do Yahoo, clique em

Inscreva-se gratuitamente. Aparecerá a seguinte tela:

7

Onde deverá ser preenchido os dados que se pede: nome, e-mail, senha, etc. Clicar

então em Inscrever agora. Uma página informará que uma mensagem de verificação será

enviada ao seu e-mail cadastrado.

Você receberá no e-mail informado uma mensagem de registro no “Zoho", que

confirma o registro. Para finalizar seu cadastro será preciso abrir seu e-mail, clicar no link

que é disponibilizado e colocar sua senha dentro de sete dias da data de recebimento da

mensagem, como a seguir:

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Adicionando a senha e clicando em confirmar, o acesso está liberado e poderá

dar início no Wiki e até mesmo criar o seu próprio Wiki.

Para acessar este Wiki o endereço é: https://maqceepctba.wiki.zoho.com/ basta

entrar com o e-mail cadastrado e a senha.

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Como este ambiente virtual de aprendizagem está estruturado:

A primeira página é HOME PAGE, onde é apresentado o tema e o título deste

projeto, e os links dos principais conteúdos a serem abordados.

Clicando na barra lateral a direita também é possível efetuar a navegação.

Ainda na barra lateral da direita tem a opção mapa de local.

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Clicando na frente do ícone tem a idéia de todas a subpastas de cada

assunto.

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A segunda página tem uma breve apresentação:

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Entrando nos conteúdos:

Clicando no link do primeiro conteúdo Função de 1° Grau, seja pela HOME

PAGE ou pela barra lateral, abre uma tela que aparece um índice com links que

basta clicar em cima para abrir nova página com o item escolhido.

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O segundo conteúdo abordado é logaritmo:

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O terceiro conteúdo abordado é Regra de três simples.

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O quarto conteúdo abordado é Regra de três composta.

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Além das páginas de conteúdos na barra lateral também aparecem as páginas: LINKS INTESSANTES: onde são listados links interessantes que abordam os assuntos tratados neste Wiki, bem como vídeos sobre os assunto PERGUNTAS FREQUENTES: com o objetivo dos estudantes ou visitantes postarem suas dúvidas. RESPOSTAS ÀS DÚVIDAS: onde serão postadas as respostas das perguntas solicitadas.

SUGESTÃO: com o objetivo dos estudantes ou visitantes postarem sugestões que

possam contribuir para melhoria deste ambiente virtual de aprendizagem.

AVALIAÇÃO DO WIKI: Esta página foi criada com o objetivo que os estudante ou

visitante, após acessar este Wiki postem sua opinião, uma breve avaliação sobre o Wiki.

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Em cada página, no rodapé, aparece um ícone de Chat, e-mail e grupo.

Estes recursos serão utilizados para promover discussões sobre os assuntos

deste Wiki, sobre aplicações e esclarecer dúvidas.

Ainda poderão ser utilizados recursos como fóruns e adicionar nove espaços

de trabalhos.

A avaliação dos conteúdos em relação aos participantes poderá ser feita

através de comentários postados dos participantes, que poderá ocorrer no chat,

fórum, bem como a sua postagem na página AVALIAÇÃO.

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2.3 CONTEÚDOS

Segue agora alguns dos conteúdos que estão postados no Wiki. Este Wiki

será uma construção coletiva, entende-se que este será apenas um início dos

conteúdos a serem postados.

A unidade 1 trata da função de 1° grau. Onde serão abordados a teoria

matemática, exercícios resolvidos, exercícios propostos e aplicação Química. A

escolha deste conteúdo se efetivou devido grande dificuldade que os alunos do

curso de Química apresentam na hora de calcular quantificações químicas a partir

do uso de uma equação da reta construída a partir de uma curva padrão preparada

em laboratório. Os alunos apresentam dificuldades na contextualização da

matemática e nas associações realizadas com a Química.

A unidade 2 trata dos logaritmos. Onde serão abordados a teoria matemática,

exercícios resolvidos, exercícios propostos, desafios e aplicação Química. A escolha

deste conteúdo se efetivou devido a importância que os logaritmos tem nos cálculo

da constante de ionização da água, o pH e pOH, dentro da Química, bem como

cálculos de pH de soluções ou determinação da concentração íons H+ presentes nas

soluções. Estes cálculos são muito importantes dentro da rotina de muitos

laboratórios e indústrias.

A unidade 3 e unidade 4 tratam da regra de três simples e da regra de três

composta, respectivamente. Onde também serão abordados a teoria matemática,

exercícios resolvidos, exercícios propostos, desafios e aplicação Química. Foram

escolhidos estes conteúdos, pois além de usarmos em muitas situações diárias eles

são muito importantes dentro da Química, principalmente na parte de cálculo

estequiométrico e físico-química, na parte de preparo de soluções. Saber preparar

soluções é um dos atributos essenciais do Técnico Químico. Aprendendo fazer

esses cálculos através de regra de três, abrindo mão de fórmulas prontas, o

estudante garante através do raciocínio lógico matemático, maior eficiência no

aprendizado.

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Unidade 1

Função de 1º grau

Noção

Definição

Tipos de Função de 1° Grau

Exercícios Propostos

Exercícios Resolvidos

Exercícios Aplicados a Química

Desafio

Referências

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Função de 1º grau

Noção de Função

A idéia de função está presente nos mais diversos ramos da atividade humana.

Como por exemplo:

O preço que se paga por uma ligação telefônica é dado em função do tempo que se fala ao telefone;

O comprimento de uma barra de ferro depende ou é dado em função da temperatura, pois o ferro se dilata quando aquecido;

A quantidade de tinta que se gasta para pintar a parede depende da área da parede;

A dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada;

A altura de uma criança é função de sua idade;

O desconto do Imposto de Renda é função da faixa salarial; Para entendermos o conceito de função é preciso pensar em duas grandezas

que variam, sendo que a variação de uma depende da variação da outra. O conceito de função é um dos mais utilizados em Matemática. Ele se aplica

não somente a esta área, mas também à Física, à Química e à Biologia, entre outras.

Freqüentemente nos deparamos com tabelas e gráficos, em jornais, revistas e empresas que tentam transmitir de forma simples fatos do cotidiano.

Com bastante freqüência, encontramos situações que envolvem relações entre duas grandezas variáveis. Consideremos algumas:

Exemplo 1 - Um caderno custa R$5,00. Se representarmos por x o número

de cadernos que queremos comprar e por y o preço correspondente a pagar, em reais, podemos organizar a seguinte tabela:

Número de cadernos (x)

Preço a pagar (y)

1 1.5 = 5

2 2.5 = 10

3 3.5 = 15

4 4.5 = 20

5 5.5 = 25

... ...

Olhando a tabela percebe-se que o preço y a pagar vai depender do número

x de cadernos que foram comprados. Entre as grandezas y e x existe uma relação expressa pela sentença matemática y = x · 5 ou y = 5x.

É possível notar que:

o número x de cadernos é uma grandeza variável;

o preço y a pagar é uma grandeza variável;

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a todos os valores de x estão associados valores de y;

para cada valor de x está associado um único valor de y;

Nessas condições pode-se dizer que:

O preço y a pagar é dado em função do número x de cadernos e a sentença y = 5x é chamada lei de formação da função.

Uma vez estabelecida a relação entre as variáveis número de cadernos e

preço a pagar, pode-se responder a questões como:

a) Quanto vou pagar por 15 cadernos iguais a esse? y = 5x y = 5.15 y = 75

Então, vou pagar R$ 75,00 por 15 cadernos. b) Se eu tiver R$ 90,00, quantos cadernos consigo comprar?

y = 5x 90 = 5.x x = 90/5 x = 18 Logo, vou conseguir comprar 18 cadernos. OBS.: Quando escrevemos a lei de formação de uma função, utilizamos, em geral, as letras x e y para representar as variáveis que estamos relacionando, sendo y dada em função de x. Desse modo, estamos uniformizando a notação de funções. Exemplo 2 - Para representar duas grandezas que dependem uma da outra, podemos utilizar uma tabela. A que segue mostra a variação da quantidade de tubos de tinta gastos para pintar uma parede por metro quadrado.

Tubo de tinta 1 2 3 4 5

m2 de pintura 12 24 36 48 60

Pode-se perceber que a quantidade de tubos de tintas gastos é uma grandeza variável; o m2 de pintura também é uma grandeza variável; e a variação da quantidade de tubos de tinta depende da variação da área pintada em m2. Dizemos então que a quantidade de tubos de tinta é função da área pintada em m2.

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Definição de função de 1° grau

Uma função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Pra que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como:

Toda função do 1º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax + b, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b deve pertencer ao conjunto dos reais.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x ou coeficiente angular e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear.

Podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:

f: R→ R definida por f(x) = ax + b, com a R* e b R.

Vejamos alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 4x - 1, onde a = 4 e b = - 1 f(x) = -2x - 5, onde a = -2 e b = - 5 f(x) = 7x, onde a = 7 e b = 0

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Gráfico no sistema cartesiano ortogonal

1 – Função identidade

A função polinomial do primeiro grau mais simples é a função identidade y= f(x) = x.

Cada ponto de seu gráfico é da forma (x,x) pois a ordenada y é sempre igual à abscissa x, para cada valor da variável independente x.

Vejamos o gráfico de y= f(x) = x.

X y

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

O gráfico da função identidade é a bissetriz dos quadrantes ímpares, isto é, 1° e 3°. O gráfico pode apresentar-se das seguintes maneiras:

Se a > 0, a função y = ax + b é crescente. Se a < 0, a função y = ax + b é decrescente.

x

y

x

a > 0 a < 0

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2 – Função linear

Chama-se função linear a toda função f: IR → IR definida por: f(x) = ax,

onde a ∈ IR*.

Vejamos o gráfico de y= f(x) = 2x.

X y

2 2.2 = 4

1 2.1 = 2

0 2.0 = 0

-1 2.(-1) = 2

O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem do sistema,

isto é, pelo ponto (0, 0). O gráfico pode apresentar-se das seguintes maneiras:

Se a > 0, a função y = ax + b é crescente. Se a < 0, a função y = ax + b é decrescente.

y

x

a > 0 a < 0

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3 – Função constante

Chama-se função constante a toda função f: IR → IR definida por: f(x) = b, onde b ∈ IR. Note que neste caso temos a = 0.

Vejamos o gráfico de y= f(x) = 2.

O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x (eixo das abscissas). Esta reta intercepta o eixo y (eixo das ordenadas) no ponto de coordenadas (0, b). O gráfico pode apresentar-se das seguintes maneiras:

y

x

a > 0 a < 0

a = 0

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4 – Função afim

Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é A(0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é B .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

X Y

0 -1

0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à

inclinação da reta em relação ao eixo x. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x =

0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.

O gráfico pode apresentar-se das seguintes maneiras:

ou

Se a > 0, a função y = ax + b é crescente. Se a < 0, a função y = ax + b é decrescente.

a > 0 a < 0

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Exercícios Resolvidos

1) Uma empresa que conserta computadores cobra uma taxa fixa de R$80,00

pela visita técnica e mais R$15,00, por hora, de mão de obra. Logo, o preço

y que se paga pelo conserto depende ou é dado em função dessas

condições.

a) Sabendo que foram empregadas x horas de mão de obra, qual a lei de

formação que define essa função?

b) Quanto vou pagar pelo conserto de um computador sabendo que o técnico

levou 3 horas para efetuar o conserto?

Resolução:

a) Pode-se então estabelecer uma relação entre o tempo gasto x para efetuar o conserto e o valor y a ser pago pelo mesmo, através da fórmula

y = 80 + 15.x . b) Estabelecida a relação entre a variável tempo e valor, pode-se responder a

questão: quanto vou pagar pelo conserto de um computador, sabendo que

o técnico levou 3 horas para efetuar o conserto?

y = 80 + 15x y = 80 + 15 . 3 y = 80 + 45 y = 125

Irei pagar pelo conserto R$125,00.

2) Um trabalhador trabalha à base de comissão. Assim, seu ganho mensal y depende ou é dado em função do total x de vendas que ele realiza durante o mês. Sabendo-se que esse vendedor recebe 20% do total que vende.

a) Qual é a lei de formação dessa função? b) Qual é o salário deste vendedor se ele vender um total de R$14.800,00

ao mês? c) Para que o vendedor obtenha um salário mensal de R$1.300,00, quanto

ele deve vender por mês? Resolução: a) Pode-se então estabelecer uma relação entre seu ganho mensal y e o

total de vendas que ele realiza durante o mês x , através da fórmula y = 0,20.x ou y = 20/100

b) Estabelecida a relação entre a variável ganho mensal e total de vendas, pode-

se responder a questão: Qual é o salário deste vendedor se ele vender um total de R$14.800,00 ao mês?

y = 0,20.x y = 0,20 . 14800 y = 2960

O salário do vendedor será de R$2.960,00.

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c) Usando a mesma relação:

y = 0,20.x 1300 = 0,20x x = 1300/0,20 x = 6500

Para que o vendedor obtenha um salário mensal de R$1.300,00, ele

deverá vender por mês R$6.500,00

3) Construa no sistema cartesiano ortogonal os gráficos da função: y = - 2x e

classifique se a função é crescente ou decrescente.

Resolução:

Atribuindo valores para o x, calcula-se o valor de y pela equação da reta

y = - 2x

X Y Ponto

-1 -2.(-1) = 2 A(-1,2)

0 -2.0 = 0 B(0,0)

1 -2.1 = -2 C(1,-2)

Marcando os pontos no sistema cartesiano obtém-se o seguinte gráfico:

A função é decrescente, pois a<0, a= -2

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Exercícios Propostos

1) Uma empresa que conserta tubulações cobra uma taxa fixa de R$120,00

pela visita técnica e mais R$75,00, por hora, de mão de obra. Logo, o preço

y que se paga pelo conserto depende ou é dado em função dessas

condições.

a) Sabendo que foram empregadas x horas de mão de obra, qual a lei de

formação que define essa função?

b) Quanto vou pagar pelo conserto de uma tubulação sabendo que o técnico

levou 6 horas para efetuar o conserto?

2) Um trabalhador trabalha à base de comissão. Assim, seu ganho mensal y

depende ou é dado em função do total x de vendas que ele realiza durante o mês. Sabendo-se que esse vendedor recebe 12% do total que vende.

a) Qual é a lei de formação dessa função? b) Qual é o salário deste vendedor se ele vender um total de R$28.000,00 ao

mês? c) Para que o vendedor obtenha um salário mensal de R$1.600,00, quanto ele

deve vender por mês?

3) Construa no sistema cartesiano ortogonal os gráficos das seguintes funções e classifique se a função é crescente ou decrescente: a) y = 4x b) y = 2x c) y = - x d) y = x – 5 e) y = x + 2 f) y = 2x -1 g) y = - x + 1 h) y = - 2x - 2 i) y = x - 1 j) y = - x - 1

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Exercícios Resolvidos - Aplicados a Química

1) Um cromatógrafo líquido efetua a leitura de 5 amostras de cafeína por hora. Então a produção y de leituras por dia depende do número x de horas que o cromatógrafo líquido trabalha durante o dia

a) Encontre a lei de formação dessa função. b) Quantas horas serão necessárias para efetuar a leitura de 30 amostras

de cafeína? c) Quantas leituras de cafeína são possíveis efetuar com o cromatógrafo

líquido trabalhado 8 horas por dia?

Resolução:

a) Pode-se estabelecer uma relação entre o tempo gasto pelo

cromatógrafo líquido para efetuar a leitura e a quantidade de amostras a

serem lidas pelo mesmo, através da fórmula A = 5.t, onde A é a

quantidade de amostras de cafeína a serem lidas e o t é o tempo gasto

para efetuar as leituras (em horas).

b) Estabelecida a relação entre a variável quantidade de amostras de

cafeína a serem lidas pelo cromatógrafo liquido e o tempo gasto para

efetuar a leitura, pode-se responder a questão: Quantas horas serão

necessárias para efetuar a leitura de 30 amostras de cafeína?

A = 5.t 30 = 5 . t t = 30 / 5 t = 6

Irei gastar 6 horas para efetuar a leitura de 30 amostras

c) Utilizando-se da mesma relação estabelecidas no item a, temos: A = 5.t A = 5 . 8 A = 40

Com o cromatógrafo líquido trabalhando 8 horas por dia, é possível efetuar a leitura de 40 amostras de cafeína.

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2) Um analista mediu espectrofotometricamente (utilizando um aparelho de UV- Vis) uma amostra contendo Cr+3. A metodologia inclui a formação de um complexo amarelo que absorve em 510nm. Utilizando-se padrões de concentrações 120, 100 e 80ppm foram encontradas respectivamente as absorções de 0,9; 0,78 e 0,57. Qual a concentração de uma amostra que apresentou uma absorbância de 0,71em 510nm?

Resolução:

Construindo a curva de calibração em uma planilha eletrônica e adicionando a linha de tendência, a equação da reta e o coeficiente de correlação linear, tem-se:

Obteve-se a equação da reta: f(x) = 0,00825x – 0,0816666667 ou

y = 0,00825x – 0,0816666667

Como o problema pede a concentração da amostra que apresentou a absorbância de 0,71, deve-se então substituir o valor de 0,71 no lugar do y e encontra-se a concentração:

y = 0,00825x – 0,0816666667

0,71 = 0,00825. X – 0,0816666667

x =

x = 95

A concentração de uma amostra que apresentou uma absorbância de 0,71em 510nm é de 95 ppm

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3) Um analista, desejando construir uma curva de calibração para dosagem de sulfato, obteve os seguintes valores de absorbância: 0,1; 0,3; 0,4; 0,6 e 0,8. Sabendo-se que as amostras possuíam concentrações de 20; 50; 62; 83 e 101ppm, obtenha uma equação que seja válida para a determinação de concentrações a partir da absorbância de qualquer amostra. Faça o teste com uma amostra da própria curva.

Resolução:

Construindo a curva de calibração em uma planilha eletrônica e adicionando a linha de tendência e a equação da reta tem-se:

Obtive-se a equação da reta: f(x) = 0,0086362224x – 0,1058092575 ou

y = 0,0086362224x – 0,1058092575

Como o problema pede para testar a equação com uma amostra da própria curva, escolheu-se o ponto 4 (83; 0,6), pois o mesmo fica bem em cima da linha de tendência. Sabendo-se que ao substituir o valor de x na equação da reta se encontra o ponto y, tem-se:

y = 0,0086362224x – 0,1058092575

y = 0,0086362224. (83) – 0,1058092575

y = 0,6

Confirmando o ponto (83; 0,6) e a validade da equação.

33

4) Analisando os dados fornecidos pela curva de calibração realizada em

espectrofotômetro de feixe simples para dosagem de um metal, obter

as concentrações de um lote de amostras, cujas absorbâncias

correspondem a: 0,23; 0,54; 0,92; 0,98; 0,83 e 1,21. Para as amostras,

construa o gráfico para obter a equação da reta e o coeficiente de

correlação linear. Dados fornecidos:

Resolução:

Analisando os dados da curva de calibração fornecida pelo problema é possível

escrever a equação da reta:

y = ax + b

y = 0,07351x - 0,03963

O problema também pede para obter as concentrações das amostras, cujas

absorbâncias correspondem a: 0,23; 0,54; 0,92; 0,98; 0,83 e 1,21. Utilizando a

equação da reta com o auxilio de uma planilha eletrônica calcula-se o x

(concentração) para cada valor de y:

a = 0,07351

b = - 0,03963

Y = ax + b

Cálculo da concentração

das amostras

34

Com os valores encontrados obtêm-se os pontos para construir o seguinte

gráfico:

Através da curva traçada e adição de linha de tendência obtêm-se a equação

da reta dos pontos das amostras e o coeficiente de correlação linear R

f(x) = 0,07351x - 0,03963

R² = 1

35

5) A partir da curva de calibração para dosagem de sulfato, obtenha a

equação de calibração e os valores absolutos das concentrações das

amostras indicadas abaixo, indique os cálculos pela equação de

calibração e indique no gráfico os valores encontrados para as

amostras

Amostras Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 Amostra 4

Absorbância (525nm)

0,05 0,32 0,55 0,9

Resolução:

Analisando os dados da curva de calibração fornecida pelo problema é possível escrever a equação da reta ou equação de calibração:

y = ax + b

y = 0,02947x - 0,00461

O problema também pede para obter as concentrações das amostras, cujas absorbâncias correspondem a: 0,05; 0,32; 0,55; 0,9. Utilizando a equação da reta com o auxilio de uma planilha eletrônica calcula-se o x (concentração) para cada valor de y.

Obtendo os seguintes resultados:

0 5 10 15 20 25 30 35

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Concentração (ppm)

Ab

so

rbâ

nci

a

a = 0,02947

b = - 0,00461

Y = ax + b

36

amostra Concentração (g/L) Absorbância

1 1,85 0,05

2 11,01 0,32

3 18,82 0,55

4 30,69 0,90

O problema também pede para indicar no gráfico os valores de concentrações

das amostras:

37

Onde: A1 = amostra 1(1,85 ; 0,085), A2 = amostra 2 (11,01 ; 0,32) , A3 = amostra 3 (18,82 ; 0,55) e A4 = amostra 4 (30,69 ; 0,90)

0 5 10 15 20 25 30 35

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Concentração (ppm)

Ab

so

rbâ

nci

a

A1

A2

A3

A4

38

Desafio

Resolva os exercícios sobre função de 1° Grau aplicados na Química

1) Ao medir um certo metal através da técnica de Absorção Atômica, foi encontrado os seguintes valores para a curva de calibração:

A 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09

C (ppm) 5 10 15 20 25

a) Construa a curva de calibração utilizando uma planilha eletrônica. b) Utilizando as ferramentas da planilha, calcule a equação da reta e o

coeficiente de correlação linear. c) Calcule a concentração de uma solução problema cuja absorbância foi

de 0,040.

2) Ao medir um certo metal através da técnica de Absorção Atômica, foi encontrado os seguintes valores para a curva de calibração:

C (ppm) 0,20 0,26 0,32 0,38 0,44 0,50

A 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

a) Construa a curva de calibração utilizando uma planilha eletrônica. b) Utilizando as ferramentas da planilha, calcule a equação da reta e o

coeficiente de correlação linear. c) Calcule a concentração de uma solução problema cuja absorbância foi de

0,035. 3) Ao quantificar uma amostra contendo níquel, utilizando a técnica de

Absorção Atômica, obteve-se os seguintes valores para a curva de calibração:

A 0,002 0,005 0,014 0,016 0,019

C (ppm) 3 5 10 12 15

a) Construa a curva de calibração utilizando uma planilha eletrônica. b) Utilizando as ferramentas da planilha, calcule a equação da reta e o

coeficiente de correlação linear. c) Calcule a concentração de uma amostra cuja absorbância foi de 0,008. 4) Um analista, desejando construir uma curva de calibração para dosagem de

sulfato, obteve os seguintes valores de absorbância: 0,15 – 0,25 – 0,35 – 0,56 – 0,85 – 1,05. Sabendo-se que as amostras possuíam concentrações de 12 – 22 – 32 – 52 – 82 – 100ppm, obtenha uma equação que seja válida para a determinação de concentrações a partir da absorbância de qualquer amostra. Construa o gráfico para essa análise.

39

REFERÊNCIAS

BASSET, F.R.I.C. et al. Vogel - Análise Inorgânica Quantitativa. 5. ed. Rio de Janeiro: Guanabara dois, 1992.

FELTRE, R. Química. Físico-Química. Vol 2. São Paulo: Moderna, 2000.

GIOVANI, J. R.; BONJORNO,J.R.R.G.. Matemática 1 - 2°Grau. São Paulo: FTD, 1992.

GIOVANI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANI, J. R. Jr.. A conquista da matemática – 8ª série. São Paulo: FTD, 1998.

GIOVANI, J. R.; GIOVANI, J. R. Jr.. Matemática pensar e descobrir – 8ª série. São Paulo: FTD, 1996.

GRASSESCHI, M. C. C.; ANDRETTA, M. C.; SILVA, A, B.S.. PROMAT- Projeto de Oficina de Matemática - 8ª série. São Paulo: FTD, 1999.

JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M.. Matemática na medida certa - 8ª série. São

Paulo: Scipione, 1994.

LEMBO, A. Química realidade e contexto, vol 2 Físico-Química, São Paulo:

Ática, 1999

SKOOG,D.; HOLLER, F. J; NIEMAN, T. Princípios de análise instrumental.

5.ed. Porto Alegre, Bookman, 2002.

40

Unidade 2

Logaritmo

Introdução

Definição

Consequências da Definição

Exercícios Resolvidos 1

Propriedades

Exercícios Resolvidos 2

Aplicação Química

Referências

41

Logaritmo

Introdução

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John

Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A

descoberta dos logaritmos aconteceu devido à grande necessidade de

simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época,

principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos,

pode-se transformar e simplificar as operações de multiplicação, divisão

potenciação e radiciação, facilitando de maneira significativa os cálculos.

Assim por exemplo, na igualdade 1000 = 103 , o expoente 3 é chamado

de logaritmo do número 1000 na base 10 e se escreve:

42

Definição

O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e

diferente de 1, é o numero x ao qual se deve elevar a base a para se obter b,

ou seja, ax = b. Lê-se logaritmo de b na base a.

Podemos escrever:

(b > 0 e 1 ≠ a > 0)

b é o logaritmando * b é a potência

x é o logaritmo * x é o expoente

a é a base do logaritmo * a é a base da potência

Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16, onde 4 é a base, 2 o

expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o

logaritmo de 16 na base 4 e escreve-se log4 16 = 2

Vejamos outros exemplos:

152 = 225, logo: log15 225 = 2

63 = 216, logo: log6 216 = 3

54 = 625, logo: log5 625 = 4

70 = 1, logo: log7 1 = 0

Nos logaritmos a base 10 é bastante comum, nela os logaritmos são chamados de logaritmos decimais e, por comodidade, omite-se o número 10, junto ao símbolo log. Assim escrevendo-se apenas log 1000, já subtende tratar-se de base 10.

43

Exercícios resolvidos

Considerando a definição dada, calcular o valor dos logaritmos:

a) log6 36 Chamando o resultado de x temos:

log6 36 = x ⇒ 6x = 36

6x = 62 ∴ x = 2

b) log10 0,01 Chamando o resultado de x temos:

Log10 0,01 = x ⇒ 10x = 0,01

10x =

10x = 10-2 ∴ x = - 2

c) log

Chamando o resultado de x temos:

log = x ⇒

=

∴

44

Conseqüências da definição

1 – O logaritmo da unidade em qualquer base é sempre nulo, ou seja:

logb 1 = 0 porque b0 = 1. Vejamos os exemplos:

a) log2 1= x ↔ 2x = 2

0 ∴ x = 0

b) log5 1= x ↔ 5x = 5

0 ∴ x = 0

c) loga 1= x ↔ ax = a

0 ∴ x = 0

2 – O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logb b = 1

porque b1 = b. Vejamos os exemplos:

a) log2 2 = x ↔ 2x = 2

1 ∴ x = 1

b) log5 5 = x ↔ 5x = 5

1 ∴ x = 1

c) loga a = x ↔ ax = a

1 ∴ x = 1

3 – O logaritmo logbb k = k porque bk = bk . Vejamos os exemplos:

a) log223 = x ↔ 2

x = 2

3 ∴ x = 3

b) log552 = x ↔ 5

x = 5

2 ∴ x = 2

c) logaam

= x ↔ ax = a

m ∴ x = m

45

Propriedades

Vamos conhecer as propriedades operatórias dos logaritmos.

1 – O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores tomados

na mesma base, isto é:

logb (a . c) = logb a + logb c

2 – O logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos do numerador e

do denominador tomados na mesma base, isto é:

logb (a /c) = logb a – logb c

3 – O logaritmo da potencia é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da

base da potência:

logb am = m . logb a

4 – Caso particular, logaritmo da raiz:

46

Vejamos alguns exemplos das propriedades:

a) Calcular o valor de log3(9.27).

Resolução: Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto, temos:

log3(9.27) = log3 9 + log3 27

3x = 9 3x = 27

3x = 32 3x = 33

x = 2 x = 3

= 2 + 3

= 5

Resposta 5

b) Calcular o valor de

Resolução: Aplicando a propriedade do logaritmo de quociente, temos:

= log2 512 - log2 64

2x = 512 2x = 64

2x = 29 2x = 26

x = 9 x = 6

= 9 - 6

= 3

Resposta: 3

c) Calcular o valor de log5256

Resolução: Aplicando a propriedade do logaritmo de exponencial, temos:

log5256 = 6.log525 log525 = x

= 6 . 2 5x = 25

= 12 5x = 5

2

Resposta: 12

47

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE LOGARITMOS APLICADOS A QUÍMICA

1) Qual é o pH de uma solução cuja concentração hidrogeniônica é 10-9? A solução é ácida, neutra ou básica?

Resolução:

Por definição: pH = - log [H+] Foi dado que: [H+] = 10-9

pH = 9 Sendo o resultado em pH > 7, podemos então afirmar que a solução é básica.

2) Considerando que a concentração de íons H3O+ em um ovo fresco é

0,00000001M, qual será o valor de pH desse ovo? Resolução: Por definição: pH = - log [H+] e [H+] = [H3O

+] Foi dado que: [H+] = 0,00000001M ou seja [H+] = 10-8M

pH = 8

3) Considere a solução de H2SO4 da bateria de carro tenha pH = 1,0 e que o suco de limão tenha pH = 2,0. a) Qual é a solução mais ácida? b) Qual a relação entre as respectivas concentrações de íons H+?

Resolução: a) A solução de H2SO4 é mais ácida porque possui menor valor de pH. b) Usando a relação:

log a = b ↔ 10b = a temos: pH = - log [H+] ↔ - pH = log [H+] ↔ log [H+] = - pH resolvendo o logaritmo de base 10 podemos dizer que: 10- pH = [H+] ↔ [H+] = 10- pH

48

Aplicando essa expressão para as duas soluções, temos:

Para a solução de H2SO4: pH = 1 → [H+] = 10-1

Para o suco de limão: pH = 2 → [H+] = 10-2

Portanto, a relação entre essas duas concentrações será: [H+] H2SO4 = 10-1 = 10 [H+] limão = 10-2

Vejamos um fato interessante: Água de bateria suco de limão pH = 1 pH = 2 → variação de 1 unidade [H+] = 10-1 [H+] = 10-2 → variação de um fator 10 (10 vezes maior) A solução de H2SO4 apresenta uma concentração dez vezes maior de H+ que a concentração de H+ do suco de limão.

4) A bile segregada pelo fígado, é um líquido amargo, esverdeado e muito importante na digestão. Sabendo que a concentração de H+ na bile é de

1,0. 10-8 mol/L, determine o pH da bile e discuta se é ácida, neutra ou ácida. Resolução:

Usamos a relação matemática:

log ab = log a + log b → - log ab = - log a - log b

como pH = - log [H+], temos:

pH = - log [1,0 . 10-8]

pH = - log 1,0 - log 10-8

0 pH = - log 10-8

pH = 8

49

5) O vinagre é uma solução de ácido acético que pode ser obtida pela oxidação do álcool etílico do vinho. Sabendo que a análise de uma amostra de vinagre revelou [H+] = 4,5 . 10-3M, determine o pH da amostra. (Dado: log 4,5 = 0,65)

Resolução:

Usamos a relação matemática:

log ab = log a + log b

como pH = - log [H+], temos:

pH = - log [4,5 . 10-3]

pH = - (log 4,5 + log 10-3)

pH = - (0,65 – 3)

pH = - ( - 2,35)

pH = 2,35

6) A análise de uma amostra de sabão revelou [H+] = 1,0 . 10-10 mol/L. Determine o valor do pOH da amostra.

Resolução:

Para resolvermos essa questão o caminho mais simples é determinar o pH e depois empregar a relação pH + pOH = 14 pH = - log [H+]

pH = - log [1,0 . 10-10]

pH = - log 1,0 - log 10-10

0

pH = - log 10-10

pH = 10

Substituindo na relação: pH + pOH = 14 10 + pOH = 14 pOH = 14 – 10

pOH = 4

50

REFERÊNCIAS

BASSET, F.R.I.C. et al. Vogel - Análise Inorgânica Quantitativa. 5. ed. Rio de Janeiro: Guanabara dois, 1992.

FELTRE, R. Química. Físico-Química. Vol 2. São Paulo: Moderna, 2000.

LEMBO, A. Química realidade e contexto, vol 2 Físico-Química, São Paulo: Ática, 1999

51

Unidade 3

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Introdução

Exemplo 1

Exemplo 2

Exercícios Resolvidos

Aplicação Química

Referências

52

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Chamamos de regra de três simples a um processo de resolução de problemas que envolvam quatro valores, onde três deles são conhecidos e devemos determinar um quarto valor. É um processo simples e prático. Vejamos os exemplos:

Exemplo 1 Uma máquina que produz peças automotivas trabalhando 5 horas

por dia produz 110 peças. Quantas peças essa máquina produzirá se trabalhar 7 horas por dia?

Vamos representar a quantidade de peças pela letra x

De acordo com os dados do problema sabemos que:

Estamos relacionando dois valores da grandeza tempo (5h e 7h) com dois valores da grandeza produção (110 e x).

Conhecidos três desses valores, pode-se determinar o quarto valor. Vamos organizar os dados do problema em uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie na mesma coluna e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência, como segue:

Tempo (horas) Produção (peças)

5 110

7 x

Nesse caso se duplicarmos o tempo, a produção duplicará; se

triplicarmos o tempo, a produção triplicará. Logo as grandezas relacionadas

são diretamente proporcionais.

Por isso, com os dados da tabela, podemos escrever esta proporção:

110 = 5 e como as grandezas são diretamente proporcionais podemos indicar essa relação com uma seta ao lado de cada grandeza, ambas no mesmo sentido:

x 7

agora é só resolver essa equação:

x . 5 = 110 . 7

x = 770 5 x = 154 Em 7 horas, a máquina produzirá 154 peças.

110 = 5 x 7

53

Exemplo 2

Numa velocidade média de 90km/h fiz uma viagem em 12 horas. Se a velocidade fosse de 70km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem?

Vamos representar o tempo pela letra x

De acordo com os dados do problema sabemos que:

Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (90km/h e 70km/h) com dois valores da grandeza tempo (12 e x).

Conhecidos três desses valores, pode-se determinar o quarto valor. Vamos organizar os dados do problema em uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie na mesma coluna e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência, como segue:

Velocidade (km/h) Tempo (horas)

90 12

60 x

Nesse caso se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para

percorrer o percurso vai cair pela metade; se triplicarmos a velocidade, o tempo gasto para percorrer o percurso vai cair para a terça parte. Logo as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais.

Por isso, com os dados da tabela, podemos escrever esta proporção:

90 = 12 e como as grandezas são inversamente proporcionais pode-se indicar essa relação com uma seta ao lado de cada grandeza, mas em sentidos opostos:

60 x

como as setas estão em sentidos contrários é preciso inverter a posição dos números de uma das colunas para as setas ficarem no mesmo sentido (para as grandezas ficarem

diretamente proporcionais:

agora é só resolver essa equação:

x . 60 = 90 . 12

x = 90 . 12 60 x = 18 A viagem será feita de 18 horas.

90 = 12 60 x

90 = x . 60 12

54

Exercícios resolvidos

1) Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 6 quilos de manteiga?

Resolução: Neste caso as grandezas relacionadas são diretamente proporcionais. Então temos:

Leite (L) Manteiga(kg)

7 1,5

x 6

x . 1,5 = 6 . 7 x = 42 1,5 x = 28 Serão necessários 28 litros de leite

2) Para um carregamento de calcário, foram necessárias 30 viagens de caminhões de capacidade de 5m3 cada um. Se o transporte fosse feito em caminhões de 6m3 de capacidade, quantas viagens seriam necessárias?

Resolução: Neste caso as grandezas relacionadas são inversamente

proporcionais, pois quanto maior a capacidade menos viagens serão

necessárias Então temos:

viagens capacidade(m3)

30 5

x 6

Invertendo uma das grandezas temos:

x . 6 = 30 . 5 x = 150 6 x = 25 Seriam necessárias 25 viagens

7 = 1,5 x 6

30 = 5

x 6

x = 5

30 6

55

3) Para ler um livro durante os meus 30 dias de férias fiz os cálculos de que eu precisava ler 12 páginas por dia para terminar a leitura pedida pela escola. Infelizmente, eu nem peguei no livro. Agora, restam apenas 15 dias de férias. Quantas páginas terei de ler por dia, para completar a leitura no último dia de férias?

Resolução: Neste caso as grandezas relacionadas são inversamente

proporcionais, pois quanto menos dias mais páginas eu vou ter que ler por dia. Então temos:

dias páginas

30 12

15 x

Invertendo uma das grandezas temos:

x . 15 = 30 . 12 x = 360 15 x = 24 Terei que ler 24 páginas por dia.

4) Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 30 clientes?

Resolução: Neste caso as grandezas relacionadas são diretamente

proporcionais. Então temos:

tempo (min) clientes

5 3

x 30

3 . x = 5 . 30 x = 150 3 x = 50 O caixa vai levar para atender os 30 clientes, em média, 50min

30 = 12

15 x

15 = 12

30 x

5 = 3 x 30

56

Aplicação Química

1) Um cromatógrafo líquido efetua a leitura de 5 amostras de cafeína por hora.

d) Quantas horas serão necessárias para efetuar a leitura de 30 amostras de cafeína?

e) Quantas leituras de cafeína são possíveis efetuar com o cromatógrafo líquido trabalhado 8 horas por dia?

Resolução:

a) Neste caso as grandezas relacionadas são diretamente proporcionais. Então temos:

Amostras Tempo (h)

5 1

30 x

5 . x . = 30 . 1 x = 30

5 x = 6

Serão necessários 6 horas para efetuar as leituras.

b) Neste caso as grandezas relacionadas também são diretamente proporcionais. Então temos:

Amostras Tempo (h)

5 1

x 8

1 . x . = 5 . 8 x = 40

Será possível realizar a leitura de 40 amostras de cafeína.

5 = 1 30 x

5 = 1 x 8

57

2) Uma água mineral apresenta na sua composição química 2,4 mg de

sulfato de cálcio por litro de água. Que quantidade de sulfato de

cálcio (em mg) estará ingerindo uma pessoa ao beber um copo de

200mL?

Resolução: retirando os dados do problema temos:

Sulfato de cálcio (mg) Água (mL)

2,4 1000

x 200

Neste caso as grandezas relacionadas são diretamente proporcionais e sabendo que 1L equivale a dizer 1000mL, então temos:

1000 . x = 2,4 . 200 x = 480 1000 x = 0,48 Estará ingerindo 0,48mg de sulfato de cálcio.

3) Uma pessoa adulta possui, em média, 5L de sangue com cloreto de

sódio dissolvido na concentração de 5,8g/L. Qual a massa total de

cloreto de sódio (NaCl) no sangue de uma pessoa adulta?

Resolução: retirando os dados do problema temos:

1L de sangue 5,8g de NaCl

5 L de sangue x

Neste caso as grandezas relacionadas são diretamente proporcionais, então temos:

1 . x . = 5 . 5,8 x = 29 A massa total de NaCl no sangue de uma pessoa adulta é 29g

2,4 = 1000 x 200

1 = 5,8 5 x

58

4) Sabendo que o leite bovino contém lactose (um açúcar) na concentração de 45g/L determine a massa de lactose em um copo que contém 200mL de leite

Resolução: retirando os dados do problema temos:

1L de leite 45g de lactose

0,2 L(200mL) de leite x

Neste caso as grandezas relacionadas são diretamente proporcionais, então temos:

1 . x . = 45 . 0,2 x = 9 A massa de lactose contida em 200mL de leite é de 9g

5) Calcule a concentração, em g/L, de uma solução de nitrato de prata,

sabendo que ele encerra 50g do sal em 200cm3 de solução. Resolução: Relembrando que concentração comum ou concentração em g/L é a quantidade, em gramas, de soluto (substancia dissolvida – neste caso nitrato de prata) existente em 1L de solução (mistura homogênea de duas ou mais substâncias – neste caso água e nitrato de prata). Relembrando também que 1L equivale a 1000cm3. Vamos representar a concentração pela letra C, temos então:

200cm3 de solução

--------- 50 g de AgNO3 (nitrato de prata)

1000 cm3 (1L) de solução --------- C (pelo próprio significado de concentração)

Analisando as grandezas podemos constatar que são diretamente proporcionais, podemos representar a seguinte proporção e resolver a equação:

200 . C . = 1000 . 50 C = 50000 200

C = 250 O valor encontrado foi de 250g de nitrato de prata por litro de solução, em termos de concentração, dizemos que a solução apresenta uma concentração de 250g/L.

1 = 45 0,2 x

200 = 50 1000 C

59

REFERÊNCIAS

BASSET, F.R.I.C. et al. Vogel - Análise Inorgânica Quantitativa. 5. ed. Rio de Janeiro: Guanabara dois, 1992.

FELTRE, R. Química. Físico-Química. Vol 2. São Paulo: Moderna, 2000.

GIOVANI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANI, J. R. Jr.. A conquista da matemática – 6ª série. São Paulo: FTD, 1998.

GIOVANI, J. R.; GIOVANI, J. R. Jr.. Matemática pensar e descobrir – 6ª série. São Paulo: FTD, 1996.

GRASSESCHI, M. C. C.; ANDRETTA, M. C.; SILVA, A, B.S.. PROMAT- Projeto de Oficina de Matemática - 6ª série. São Paulo: FTD, 1999.

JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M.. Matemática na medida certa - 6ª série. São Paulo: Scipione, 1994.

LEMBO, A. Química realidade e contexto, vol 2 Físico-Química, São Paulo:

Ática, 1999

60

Unidade 4

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Introdução

Exercícios Resolvidos

Aplicação Química

Referências

61

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas

grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Usou-se setas no mesmo sentido para marcar as grandezas diretamente

proporcionais e, setas no sentido oposto, para as inversamente proporcionais. Para a resolução, na hora de construir o quadro com os dados do

problema, é aconselhável sempre manter a incógnita na primeira coluna (na grandeza A)

Vejamos os exemplos:

Exemplo 1

Funcionando durante 5 dias, 6 máquinas produziram 300 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 9 máquinas funcionando durante 7dias?

Vamos representar o número de peças pela letra x.

Com os dados do problema podemos construir o seguinte quadro, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Número de peças (A)

Número de dias (B)

Número de máquinas (C)

300 5 6

x 7 9

Fixando a grandeza C, vamos relacionar as grandezas A e B.

Se dobrarmos o número de dias, o número de peças também dobrará. Logo as grandezas A e B são diretamente proporcionais. Inserindo as setas de mesmo sentido nas grandezas já analisadas, temos:

N° de

peças (A)

N° de dias (B)

N° de máquinas

(C)

300

5

6

x 7 9

Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C. Mantendo-se fixa a seta da grandeza que possui a incógnita, neste caso a grandeza A

62

Se dobrarmos o número de máquinas, o número de peças também dobrará. Logo as grandezas A e C são diretamente proporcionais. Inserindo na grandeza C a seta de mesmo sentido que a grandeza A, temos:

N° de

peças (A)

N° de dias (B)

N° de máquinas

(C)

300

5

6

x 7 9

Quando uma grandeza é diretamente proporcional a duas outras, a variação da primeira é diretamente proporcional ao produto da variação das outras duas.

Deixando a grandeza com a incógnita isolada temos:

300 =

5

. 6

300 =

5

. 6

x 7 9 x 7 9

300 = 5 . 6 x 7 . 9

300 = 30 x 63 30 . x = 300 . 63 30x = 18900 x = 18900 30 x = 630 Se as máquinas funcionarem durante 7 dias, serão produzidas 630 peças.

63

Exemplo 2 Um motorista, rodando em 4 horas por dia percorre em média 200km em 2 dias. Em quantos dias esse motorista vai percorrer 600km, se rodar 6 horas por dia?

Vamos representar o número de dias procurados pela letra x.

Com os dados do problema podemos construir o seguinte quadro, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Número de dias (A)

Número de horas/dias (B)

Número de Km (C)

2 4 200

x 6 600

Fixando a grandeza C, vamos relacionar as grandezas A e B. Se dobrarmos o número de horas que o motorista roda por dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância cairá para metade. Logo as grandezas A e B são inversamente proporcionais. Inserindo as setas no sentido oposto nas grandezas já analisadas temos:

N° de dias (A)

N° de horas/dias (B)

N° de Km (C)

2

4

200

x 6 600

Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C. Mantendo-se fixa a seta da grandeza que possui a incógnita, neste caso a grandeza A.

Se dobrarmos o número de quilômetros percorridos, o número de dias também dobrará, fixando que motorista roda o mesmo número de horas por dia. Logo as grandezas A e C são diretamente proporcionais. Inserindo a seta na grandeza C de mesmo sentido que a grandeza A, temos:

N° de dias (A)

N° de horas/dias

(B)

N° de Km (C)

2

4

200

x 6 600

Assim, a grandeza Aé diretamente proporcional à grandeza C e inversamente proporcional à grandeza B. Para que a variação da grandeza A seja

64

diretamente proporcional ao produto da variação das duas outras, devemos escrever a razão inversa dos valores que expressam a grandeza B. ( A razão inversa de 4 é 6 )

6 4 Sempre para que a variação de grandeza seja diretamente proporcional ao produto da variação de duas outras grandezas as setas deverão estar todas no mesmo sentido

N° de dias (A)

N° de horas/dias

(B)

N° de km (C)

2

6

200

x 4 600

2 =

6

. 200

2 =

6

. 200

x 4 600 x 4 600

2 = 6 . 200

x 4 . 600

2 = 1200

x 2400

1200 . x = 2 . 2400

1200x = 4800

x = 4800

1200

x = 4

O motorista levará 4 dias para percorrer 600km, se rodar 6 horas por dia

65

Exercícios resolvidos

1) Numa obra da construção civil, quarenta operários, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia, conseguiram terminar a obra. Quantos operários farão a mesma obra em 12 dias, se eles trabalharem 8 horas por dia?

Resolução

Com os dados do problema podemos construir o seguinte quadro:

Número de operários

(A)

Número de dias (B)

Número de dias horas/dias

(C)

40 6 4

x 12 8

Fixando a grandeza C, vamos relacionar as grandezas A e B. Se dobrarmos o número de operários, o número de dias que ele leva para concluir a obra cairá para metade. Logo as grandezas A e B são inversamente proporcionais. Inserindo as setas nas grandezas já analisadas temos:

N° de operários

(A)

N° de dias (B)

N° de horas/dias

(C)

40

6

4

x 12 8

Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C. Mantendo-se fixa a seta da grandeza que possui a incógnita, neste caso a grandeza A Se dobrarmos o número de horas por dia, o número de operários para concluir a obra cairá para metade. Logo as grandezas A e C são inversamente proporcionais. Inserindo a seta na grandeza C, temos:

N° de operários

(A)

N° de dias (B)

N° de horas/dias

(C)

40

6

4

x 12 8

Assim, a grandeza A é inversamente proporcional à grandeza B e inversamente proporcional à grandeza C. Para que a variação da grandeza A seja diretamente proporcional ao produto da variação das duas outras, devemos escrever a razão inversa dos valores que expressam as

66

grandezas B e C ou a razão inversa dos valores que expressam a grandeza A. Sempre para que a variação de grandeza seja diretamente proporcional ao produto da variação de duas outras grandezas as setas deverão estar todas no mesmo sentido. A razão inversa de 40 é x x 40

N° de operários

(A)

N° de dias (B)

N° de horas/dias

(C)

x

6

4

40 12 8

Então:

x =

6

. 4

x =

6

. 4

40 12 8 40 12 8

x = 6 . 4 40 12 . 8 x = 24

40 96 96 . x = 40. 24 96x = 960 x = 960 96 x = 10

São necessários 10 operários para fazer a obra em 12 dias, trabalhando 8 horas por dia.

67

2) Uma torneira pingando 20 gotas por minuto, ocasiona um desperdício de 100L de água, em 30 dias. Na casa de Joana, uma torneira esteve pingando 45 gotas por minuto durante 40 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados nesse período. Resolução Com os dados do problema podemos construir o seguinte quadro:

Quantidade de agua desperdiçada (L)

(A)

Tempo (dias)

(B)

Quantidade de gota/ min

(C)

100 30 20

x 40 45

Determinado que as grandezas A e C: são diretamente proporcionais.

Determinado que as grandezas A e B: são diretamente proporcionais.

Temos:

Quantidade de agua desperdiçada (L)

(A)

Tempo (dias)

(B)

Quantidade de gota/ min

(C)

100 30 20 x 40 45

Então:

100 =

30

. 20

100 =

30

. 20

x 40 45 x 40 45

100 = 30 . 20 x 40 . 45 100 = 600 x 1800 600 . x = 1800. 100 600x = 180000 x = 180000 600 x = 300

Foram desperdiçados neste período 300L de água.

68

Aplicação Química

1) Qual o número de gramas de HCl presentes em 5L de uma solução

6M de ácido clorídrico? (Dado: Massa Molar do HCl = 36,5)

Resolução

Lembrando que a concentração molar indica a quantidade de mols de soluto em cada litro de solução. Podemos dizer que 1mol de HCl vale 36,5g. Assim

Massa Molar (grandeza A)

Volume (grandeza B)

Concentração (grandeza C)

36,5g 1L 1M

x 5L 6M Relacionando a grandeza A com a grandeza B constatou-se que são

diretamente proporcionais. Pois à medida que aumentamos o volume, precisamos aumentar a quantidade de massa de soluto (HCl) para manter a mesma concentração.

Relacionando a grandeza A com a grandeza C constatou-se que são

diretamente proporcionais. Pois à medida que desejamos aumentar a concentração, mantendo um mesmo volume de solvente, devemos aumentar a massa do soluto (HCl).

Temos:

Massa Molar (grandeza A)

Volume (grandeza B)

Concentração (grandeza C)

36,5

1

1

x 5 6

Então:

36,5 =

1

. 1

36,5 =

1

. 1

x 5 6 x 5 6

36,5 = 1 . 1 x 5 . 6 36,5 = 1

x 30 1. x = 36,5. 30

x = 1095g O número de gramas presentes de HCl em 5litros de solução 6M é de 1095g.

69

2) Calcule a massa de hidróxido de sódio necessária para preparar uma solução de 500mL de solução 0,3molar. (massas atômicas: H=1; O=16; Na=23)

Resolução: Relembrando da Química que:

molaridade e concentração molar são a mesma coisa.

a concentração molar indica a quantidade de mols de soluto em cada litro de solução.

a massa molar do (hidróxido de sódio) NaOH = 23 + 16 + 1 ⇒ 40g/mol

500mL = 0,5L

Como o problema deu já deu a concentração molar de 0,5L e pede a massa, então temos:

Massa Molar (g) (grandeza A)

Volume (L) (grandeza B)

Concentração (Molar) (grandeza C)

40 1 1

x 0,5 0,3

Relacionando a grandeza A com a grandeza B constatou-se que são diretamente proporcionais. Pois à medida que diminuímos o volume, precisamos diminuir a quantidade de massa de soluto (NaOH) para manter a mesma concentração.

Relacionando a grandeza A com a grandeza C constatou-se que são diretamente proporcionais. Pois à medida que desejamos diminuir a concentração, mantendo um mesmo volume de solvente, devemos diminuir a massa do soluto (NaOH). Temos:

Massa Molar (g) (grandeza A)

Volume (L) (grandeza B)

Concentração (Molar) (grandeza C)

40

1

1

x 0,5 0,3

Então:

40 =

1

. 1

40 =

1

. 1

x 0,5 0,3 x 0,5 0,3

40 = 1 . 1 x 0,5 . 0,3

40 = 1 x 0,15 1. x = 0,15. 40

x = 6 A massa necessária para preparar 500mL de solução de hidróxido de sódio 0,3Molar é de 6g.

70

3) Um copo contém 200mL de café adoçado com 6,84g de açúcar

comum, C12H22O11 (sacarose). Determine a concentração molar do

açúcar comum. (Dado: massa molar da sacarose 342g/mol)

Resolução

Lembrando que a concentração molar indica a quantidade de mols de soluto em cada litro de solução. Concentração (mol/L)

(grandeza A) Volume (L)

(grandeza B) Massa Molar (g)

(grandeza C)

1 1 342

x 0,2 6,84

Relacionando a grandeza A com a grandeza B constatou-se que são inversamente proporcionais. Pois à medida que diminuímos o volume, para uma mesma quantidade de massa de soluto (C12H22O11), aumentamos a

concentração da solução.

Concentração (mol/L) (grandeza A)

Volume (L) (grandeza B)

Massa Molar (g) (grandeza C)

1

1

342

x 0,2 6,84

Relacionando a grandeza A com a grandeza C constatou-se que são

diretamente proporcionais. Pois à medida que diminuímos a massa de soluto (C12H22O11), mantendo um mesmo volume de solvente, diminuímos a

concentração da solução.

Concentração (mol/L) (grandeza A)

Volume (L) (grandeza B)

Massa Molar (g) (grandeza C)

1

1

342

x 0,2 6,84

Invertendo a grandeza B para que todas as setas fiquem no mesmo sentido, temos:

Concentração (mol/L) (grandeza A)

Volume (L) (grandeza B)

Massa Molar (g) (grandeza C)

1

0,2

342

x 1 6,84

71

Então:

1 =

0,2

. 342

1 =

0,2

. 342

x 1 6,84 x 1 6,84

1 = 0,2 . 342 x 1 . 6,84 1 = 68,4

x 6,84 68,4. x = 1. 6,84

x = 6,84 68,4 x = 0,1

A concentração molar de açúcar é de 0,1 mol/L

4) Qual é a molaridade de uma solução de iodeto de sódio (NaI) que

encerra 45g do sal em 400mL de solução? (Massas atômicas: Na =

23 e I = 127)

Resolução: Relembrando da Química que:

molaridade e concentração molar são a mesma coisa.

a concentração molar indica a quantidade de mols de soluto em cada litro de solução.

a massa molar do NaI = 23 + 127 ⇒ 150g/mol

400mL = 0,4L

Concentração (mol/L) (grandeza A)

Volume (L) (grandeza B)

Massa Molar (g) (grandeza C)

1 1 150

x 0,4 45

Relacionando a grandeza A com a grandeza B constatou-se que são

inversamente proporcionais. Pois à medida que diminuímos o volume, para uma mesma quantidade de massa de soluto (NaI), aumentamos a concentração da solução.

Concentração (mol/L) (grandeza A)

Volume (L) (grandeza B)

Massa Molar (g) (grandeza C)

1

1

150

x 0,4 45

72

Relacionando a grandeza A com a grandeza C constatou-se que são

diretamente proporcionais. Pois à medida que diminuímos a massa de soluto (NaI), mantendo um mesmo volume de solvente, diminuímos a concentração da solução.

Concentração (mol/L) (grandeza A)

Volume (L) (grandeza B)

Massa Molar (g) (grandeza C)

1

1

150

x 0,4 45

Invertendo a grandeza B para que todas as setas fiquem no mesmo sentido, temos:

Concentração (mol/L)

(grandeza A) Volume (L)

(grandeza B) Massa Molar (g)

(grandeza C)

1

0,4

150

x 1 45

Então:

1 =

0,4

. 150

1 =

0,4

. 150

x 1 45 x 1 45

1 = 0,4 . 150 x 1 . 45 1 = 60

x 45 60. x = 1. 45

x = 45 60 x = 0,75

A concentração molar de açúcar é de 0,75 mol/L ou 0,75 Molar ou

0,75M

73

REFERÊNCIAS

BASSET, F.R.I.C. et al. Vogel - Análise Inorgânica Quantitativa. 5. ed. Rio de

Janeiro: Guanabara dois, 1992.

FELTRE, R. Química. Físico-Química. Vol 2. São Paulo: Moderna, 2000.

GIOVANI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANI, J. R. Jr.. A conquista da matemática – 6ª série. São Paulo: FTD, 1998.

GIOVANI, J. R.; GIOVANI, J. R. Jr.. Matemática pensar e descobrir – 6ª série. São Paulo: FTD, 1996.

GRASSESCHI, M. C. C.; ANDRETTA, M. C.; SILVA, A, B.S.. PROMAT- Projeto de Oficina de Matemática - 6ª série. São Paulo: FTD, 1999.

JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M.. Matemática na medida certa - 6ª série. São Paulo: Scipione, 1994.

LEMBO, A. Química realidade e contexto, vol 2 Físico-Química, São Paulo: Ática, 1999

74

3 ORIENTAÇÕES E RECOMENDAÇÕES AO PROFESSOR

O professor poderá fazer uso deste Ambiente Virtual de Aprendizagem

como um embasamento teórico para suas aulas de matemática ou de

química. O professor poderá utilizar este recurso no desenvolver suas aulas,

no laboratório de informática da escola, ou sugerir que o aluno acesse

posteriormente ao desenvolvimento de sua aula, como forma de fixar os

conteúdos aprendidos e também como uma forma de busca de

enriquecimento do conteúdo aprendido em sala.

O professor também poderá utilizar-se do recurso do chat para que os

alunos discutam os conteúdos trabalhados, exponham suas dúvidas e

coletivamente vão através do uso desta ferramenta, construindo e

enriquecendo seu conhecimento e sua formação.

Outra sugestão é que com base neste Wiki o professor proponha criar

um ambiente virtual de aprendizagem com sua turma, sobre outras aplicações

deste conteúdo matemático ou com outros conteúdos matemáticos que julgue

mais significativo para a realidade de sua turma.

75

4 PROPOSTA DE AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO

A proposta de avaliação deste material didático é a postagem da

avaliação e de comentários dos estudantes e visitantes do Wiki na página

AVALIAÇÃO criada no próprio Wiki.

Outro mecanismo de avaliação será através dos professores do GTR

(Grupo de Trabalho em Rede) 2011, onde será socializada esta produção

com os professores que optarem por inscrever-se neste tema e título deste

projeto PDE.

76

5 INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS

BOBBIO, N. O futuro da democracia: uma defesa das regras do jogo. Rio de

Janeiro: Paz e Terra, 1989.

CASTELLS, M. A sociedade em rede. São Paulo: Paz e Terra, 1999.

FERREIRA, L. de F. Ambiente de aprendizagem construtivista. Disponível em: <http://www.penta.ufrgs.br/~luis/Ativ1/Construt.html>. Acesso em: 18 out. 2007.

GALVIS, A. H. Ingeniería de software educativo. Santa Fé, Bogotá: Ediciones

Uniandes, 1992.

GARDNER, H. Inteligências múltiplas: a teoria na prática. Tradução de M. A. V. Veronese. Porto Alegre: ArtMed, 1995.

GOMES, M. R. A ferramenta wiki uma experiência pedagógica. In: ENDECOM

2006

Fórum Nacional em Defesa da Qualidade do Ensino de Comunicação, 2006.

ECA/USP, São Paulo.

LAURENTI, M. E. A. A Internet na educação a distância. Revista Lúmen, v. 6, n. 13, dez. 2000. Edição especial.

LOLLINI, P. Didática e computadores: quando e como a informática na escola. São Paulo: Loyola, 1991.

MARTINS, J. G. et al. A transformação do ensino através do uso da tecnologia da educação. In: XIX Congresso Nacional da Sociedade Brasileira de Computação, Rio de Janeiro, PUC. Anais, 1999.

MORAN, J. M. A escola do amanhã: desafio do presente-educação, meios de comunicação e conhecimento. Revista Tecnologia Educacional, v. 22, jul. /out. 1993.

RIBEIRO, V. S. Ambiente de aprendizagem Web: um olhar a partir de um curso de especialização do Laboratório de Ensino a Distância

(LED/UFSC). Dissertação de mestrado, UFSC/PPGEP, Florianópolis, 2001.

SECRETARIA DE ESTADO DE GESTÃO PÚBLICA DO GOVERNO DE SÃO PAULO. Disponível em: https://igovexplica.wiki.zoho.com/Configura%C3%A7%C3%B5es-do-Wiki.html. Acesso em março 2011.

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VALENTE, J.A. Computadores e Conhecimento: Repensando a Educação.

Campinas, SP. Gráfica da UNICAMP 1993.

VALENTE, J. A. O computador na sociedade do conhecimento. Campinas: Unicamp/Nied, 1999.

VALENTE, J. A. Por que o computador na educação? 1996. 25 f. Disponível

em: www.geocities.com/cadej_99/textos/texto3.htm. ACESSO EM NOV.2007.

VALENTE, J. A. Aprendendo para a vida: os computadores na sala de aula.

São Paulo: Cortes, 2001.