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FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO DOS CONTEÚDOS

MATEMÁTICOS DE OITAVA SÉRIE

Autor Acil Batista Vilela

Escola de Atuação Colégio Estadual “Antonio Carlos Gomes” - EFMP

Município da escola Terra Roxa

Núcleo Regional de Educação Toledo

Orientador Orlando Catarino da Silva

Instituição de Ensino Superior Unioeste – Universidade do Oeste do Paraná – Campus de Foz do Iguaçu

Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Público Alvo Alunos da 8ª Série B

Localização Colégio Estadual “Antonio Carlos Gomes” – EFMP

Rua Veriano dos Santos Dias, 401 - Centro

Terra Roxa-PR; CEP: 85990-000

Apresentação: O presente projeto tem como objetivo realizar um estudo

investigativo, com o qual se pretende verificar a eficiência da

utilização da metodologia da resolução de problemas, enquanto

perspectiva metodológica, para a introdução dos conteúdos

matemáticos, na oitava série (nono ano) do ensino fundamental,

com o intuito de sanar as enormes defasagens encontradas no

ensino da referida disciplina. A metodologia da resolução de

problemas oferece ao aluno oportunidades de construção de

conceitos matemáticos que estimule a sua curiosidade, permite

realizar aproximações e cálculos mentais por estimativa, possibilita a

investigação das ideias matemáticas e hipóteses, a esquematização

de figuras e gráficos a fim de obter maior compreensão e

visualização de uma situação matemática. Promove o prazer da

descoberta e eleva a autoestima, e a segurança necessária pra criar

suas próprias ferramentas e utilizá-las de modo adequado na busca

de resultados satisfatórios.

Palavras-chave resolução de problemas; perspectiva metodológica; ensino de

matemática.

1

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ

ACIL BATISTA VILELA

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO DOS

CONTEÚDOS MATEMÁTICOS DE OITAVA SÉRIE

Proposta de Unidade Didática apresen-tada ao Curso PDE – Plano de Desen-volvimento Educacional – promovido pela SEED, como Produção Didático-Pedagógica na área de Matemática, sob a orientação do professor Ms. Orlando Catarino da Silva.

TERRA ROXA

2011

2

IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Acil Batista Vilela

Área PDE: Matemática

NRE: Toledo

Professor Orientador: Orlando Catarino da Silva

IES Vinculada: Unioeste/Campus de Foz do Iguaçu

Escola de Implementação: Colégio Estadual "Antonio Carlos Gomes" – E.F.M.P.

Público Alvo: Alunos da 8ª série do ensino fundamental

OBJETIVO GERAL

Vislumbra-se, com essa unidade didática, realizar um estudo

investigativo, com o qual se pretende verificar a eficiência da utilização da

metodologia da resolução de problemas, enquanto perspectiva metodológica,

para a introdução dos conteúdos matemáticos, na oitava série (nono ano) do

ensino fundamental, com o intuito de sanar as enormes defasagens

encontradas no ensino da referida disciplina.

Para tanto, pretende-se utilizar a metodologia da resolução de

problemas como ferramenta básica na construção de conceitos matemáticos

sistematizados capazes de promover a autonomia no educando, tornando-o

capaz de promover a segurança necessária que o estimule a criar suas

próprias ferramentas e utilizá-las de modo adequado na busca de resultados

satisfatórios, bem como capacidade para a utilização dos conhecimentos

matemáticos disponíveis para obter respostas coerentes em relação a

situações matemáticas variáveis e distintas.

3

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................ 4

2 PROPOSTA PEDAGÓGICA ........................................................................... 6

3 EQUAÇÕES .................................................................................................... 7

3.1 EQUAÇÕES DO 1º GRAU ........................................................................... 8

3.1.1 Atividades de Aplicação ........................................................................... 9

3.2 EQUAÇÕES DO 2º GRAU ......................................................................... 14

3.2.1 Atividades Sugeridas .............................................................................. 16

4 PROBABILODADE ...................................................................................... 23

4.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO .................................................................... 24

4.2 ESPAÇO AMOSTRAL ................................................................................ 24

4.3 CONCEITO DE PROBABILIDADE ............................................................. 25

4 4 ATIVIDADES SUGERIDAS ........................................................................ 26

5 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ........................... 33

5.1 RELAÇÕES ................................................................................................ 34

5.2 ATIVIDADES SUGERIDAS ........................................................................ 36

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................... 43

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 45

SITES CONSULTADOS .................................................................................. 46

4

1 INTRODUÇÃO

A Matemática é uma área do conhecimento que surgiu a partir das

necessidades humanas e tem-se desenvolvido de acordo com os problemas

que o homem encontra durante sua existência. Acredita-se que ensinar

matemática é desenvolver o raciocínio lógico, estimular o pensamento

independente, a criatividade e a capacidade de resolver problemas. Dessa

forma, a essência fundamental da matemática é a resolução de problemas. E,

por esse motivo, para o seu ensino não basta só conhecer, é necessário,

também, ter criatividade e, acima de tudo, fazer com que os alunos participem

das resoluções dos problemas que surgirem.

A resolução de problemas é um método eficaz para desenvolver o raciocínio e para motivar os alunos para o estudo da Matemática. O processo ensino e aprendizagem pode ser desenvolvido através de desafios, problemas interessantes que possam ser explorados e não apenas resolvidos. (LUPINACCI e BOTIN, 2004, p. 1).

No processo de ensino e aprendizagem da matemática, os problemas

são fundamentais, visto que permitem ao aluno realizar questionamentos e

pensar por si próprio, elaborar conjecturas, possibilitando, dessa forma, o

exercício do raciocínio lógico e não apenas o uso padronizado de regras.

Mesmo assim, no entanto, a abordagem de conceitos matemáticos, ideias e

métodos sob a perspectiva da resolução de problemas ainda é bastante

desconhecida da grande maioria e, quando é incorporada à prática escolar,

aparece como um item isolado, desenvolvido paralelamente como aplicação da

aprendizagem, a partir de listagem de problemas cuja resolução depende

basicamente da escolha de técnicas ou formas de resolução memorizadas

pelos alunos (PCN, 1998).

É possível afirmar que o ensino da disciplina de matemática tem

mostrado que grande parcela dos alunos não desenvolve raciocínios que

contribuem para a construção e efetivação do saber matemático. Isso ocorre

porque fazer o aluno pensar produtivamente, desenvolver o raciocínio,

enfrentar situações novas e tornar as aulas mais desafiadoras e interessantes

5

tem sido a grande dificuldade enfrentada por professores durante seu trabalho

em sala de aula.

Ao mesmo tempo, a resolução de problemas tem contribuído para o

insucesso escolar do indivíduo, visto que, de modo geral, os problemas

trabalhados em sala de aula são exercícios repetitivos para fixar os conteúdos

que acabaram de ser estudados, motivando o uso de procedimentos

padronizados para serem utilizados na resolução de problemas semelhantes.

Essa atividade não desenvolve, no aluno, a capacidade de transpor o raciocínio

utilizado para o estudo de outros assuntos.

A metodologia de resolução de problemas, conforme o proposto por

Pozo (1998), Echeverría (1998) e Onuchic (1999), entre outros, é uma

importante contribuição para o processo de ensino e aprendizagem da

matemática, porque o aluno desenvolve o raciocínio participando das

atividades e isso estimula a capacidade de desenvolver o pensamento

matemático, não se restringindo a exercícios rotineiros desinteressantes que

valorizam o aprendizado por reprodução ou imitação.

A importância da resolução está no fato de

[...] possibilitar aos alunos mobilizarem conhecimentos e desenvolverem a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance dentro e fora da sala de aula. Assim, os alunos terão oportunidades de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança (SCHOENFELD apud PCN, 1998).

Sob essa mesma óptica, Dante (1991) argumenta que:

[...] é possível por meio da resolução de problemas desenvolver no aluno iniciativa, espírito explorador, criatividade, independência e a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela. (DANTE, 1191, p. 25).

Desse modo, os alunos, ao resolverem problemas, podem descobrir

fatos novos sendo motivados a encontrarem várias outras maneiras de

6

resolverem o mesmo problema, despertando a curiosidade e o interesse pelos

conhecimentos matemáticos e assim desenvolverem a capacidade de

solucionar as situações que lhes são propostas.

Despertar no aluno o gosto pela resolução de problemas não é tarefa

fácil, pois muitos são os momentos de dificuldade, obstáculos e erros. Isso

acontece porque professores e alunos não conseguem distinguir um problema

matemático de um exercício matemático.

2 PROPOSTA PEDAGÓGICA

Este trabalho será realizado no Colégio Estadual "Antônio Carlos

Gomes" – EFMP, de Terra Roxa, com alunos da 8ª série B, período vespertino

e tem como proposta pedagógica a seleção de uma coletânea de atividades

matemáticas cujo processo de resolução esteja de acordo com a metodologia

da resolução de problemas. Para viabilizar o trabalho pretendido, realizar-se-á

um estudo investigativo, estudo com o qual se pretende verificar a eficiência da

utilização da metodologia da resolução de problemas, enquanto perspectiva

metodológica, para a introdução dos conteúdos matemáticos na oitava série

(nono ano) do ensino fundamental, com o intuito de sanar as enormes

defasagens encontradas no ensino da referida disciplina.

A investigação que aqui se propõe será baseada nos estudos do

professor Luiz Roberto Dante, da professora Lourdes de la Rosa Onuchic, bem

como nos de outros estudiosos do assunto, que servirão de base nessa

pesquisa.

Para Dante (1991, p. 25), é preciso “[...] desenvolver no aluno a

habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos

recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões

que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela.” Onuchic (1999, p. 208),

em conformidade com Dante, atesta que: “À medida que a compreensão dos

7

alunos se torna mais profunda e mais rica, sua habilidade em usar matemática

para resolver problemas aumenta consideravelmente”.

O ensino de matemática baseado na abordagem da resolução de

problemas como uma metodologia de ensino permite que o aluno tanto

aprenda matemática resolvendo problemas como aprenda matemática para

resolver problemas. O entendimento correto é o de que a resolução de

problemas não pode ser vista como uma atividade para ser desenvolvida em

paralelo ou simplesmente como aplicação da aprendizagem, mas como

orientação para a aprendizagem.

Acredita-se que a matemática deve ser ensinada relacionando

problemas matemáticos com o cotidiano dos alunos, por meio de uma

abordagem que, inicialmente, é intuitiva, e, depois, gradativamente se torna

conceitual. Isso faz com que o raciocínio lógico se desenvolva, ao invés do

trabalho mecânico. Assim o estudante terá consciência do porquê do processo

de resolução, e não apenas aplique as fórmulas matemáticas com o intuito de

obter um resultado que não signifique nada para ele.

3 EQUAÇÕES

Definições

Em matemática, uma equação é uma sentença aberta expressa por

uma igualdade envolvendo expressões matemáticas. As equações

normalmente propõem um problema sobre sua validade. Grosseiramente

falando, uma equação é composta por incógnitas e coeficientes. Os

coeficientes são entidades matemáticas conhecidas. Resolver a equação, ou

seja, ou problema por ela proposto consiste em determinar quem são os

elementos de um determinado conjunto (o das possíveis soluções) que tornam

a equação verdadeira.

8

Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista

uma ou mais letras que representem números, é denominada equação. Cada

letra que representa esse número desconhecido é chamada de variável ou

incógnita (GIOVANNI & GIOVANNI JR, 2002, p. 139).

A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é

denominada 1º membro da equação (ou igualdade).

A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada

2º membro da igualdade (ou equação).

3.1 Equações do 1º grau

* Resolução de uma equação do 1º grau

Resolver uma equação do primeiro grau significa determinar valores

que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou

seja, será preciso encontrar, de forma correta, a raiz da equação.

Na forma simples de entender a solução de equação do 1º grau, basta

separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual

(=). Dessa forma, os números ficam de um lado da igualdade e do outro lado

as constantes.

A resolução de um problema deve ter em conta as seguintes fases:

1 - Interpretar o problema: definir o que se pretende obter (incógnita) e

os dados de que se dispõe;

2 - Traduzir o enunciado do problema para uma condição matemática

e, se necessário, faz-se um desenho ou um esquema;

3 - Resolver a condição determinando a solução do problema;

9

4 - Examinar a solução obtida: se é adequada ao problema (pode ser

impossível) e se existem mais soluções.

Teve-se o cuidado de iniciar este trabalho de implementação

pedagógico com o conteúdo de equações do 1º grau, porque se entende que

as equações são fundamentais para o processo de aquisição do conhecimento

algébrico. Além disso, reconhece-se que as equações são de fundamental

importância no que se refere à metodologia da resolução de problemas,

tendência matemática a que se propõe o nosso trabalho.

Embora os conteúdos a serem desenvolvidos a partir da

implementação pedagógica aqui proposta se refiram àqueles destinados a

alunos de 8ª série (nono ano) do ensino fundamental, optou-se pelo conteúdo

de equações do 1º grau, apenas para fazer uma retomada de conteúdos e,

consequentemente, preparar os alunos-alvo deste estudo para as etapas

subsequentes, visto que, muitas vezes, eles têm dificuldades até mesmo em

atividades bem simples.

3.1.1 Atividades de Aplicação

As atividades sugeridas a seguir deverão ser revolvidas pelos alunos

sem nenhuma preparação prévia. Elas têm como finalidade verificar a

capacidade individual de cada aluno na resolução de situações-problema a

partir de conteúdos já estudados. As atividades aqui propostas foram

selecionadas e apresentam um grau mínimo de aprofundamento de conteúdo,

partindo de uma situação bem simples para outra mais complexa, isto é, cada

atividade prossupõe maior grau de complexidade e, portanto, maior

desempenho por parte do aluno.

É preciso ressaltar, ainda, que os alunos serão informados que existem

fórmulas e meios da resolução de equações do 1º grau, após terem suas

resoluções divulgadas para os demais alunos e analisadas pelo professor

juntamente com todos os alunos envolvidos nessa intervenção.

10

EXEMPLOS:

01 – Meu irmão é cinco anos mais velho do que eu. O triplo da minha idade

somado ao dobro da idade dele, dá 100 anos. Quais são nossas idade?1

Selecionando dados:

Minha idade: x anos

Idade de meu irmão: x + 5 anos

Montando a equação e resolvendo-a

Resposta: Desse modo, conclui-se que tenho 18 anos e meu irmão tem 23

anos.

02 – Numa turma de 46 alunos, o professor perguntou quem torcia pelo

Coritiba. Em resposta, 32 alunos levantaram a mão. A seguir, perguntou quem

torcia pelo Atlético Paranaense e 28 alunos ergueram a mão. Nessas

condições, quantos alunos torcem tanto para o Coritiba como para o Atlético?2

Dados

- torcedores do Coritiba: 32 alunos

1 Atividade retirada do site

http://www.celiomoliterno.eng.br/Arquivos/Santa/Exercicio/ex_sist_1g.pdf.

2 Atividade adaptada do livro Matemática pensar e descobrir: o + novo, 6ª série.

11

- torcedores do Atlético Paranaense: 28 alunos

- torcedores tanto do Coritiba como do Atlético: x alunos

- Total de alunos: 42

Montagem da equação por meio de um diagrama:

Figura 1

Fonte: Arquivo próprio

Resposta: Conclui-se que na turma há 14 alunos que torcem tanto para a

Coritiba, quanto para o Atlético Paranaense.

03 – Em um barril de forma cilindrica há uma certa quantidade de vinho que

ocupa a metade do barril. Retirando-se 50 litros de vinho, a quantidade restante

equivale a 30% da capacidade total do recipiente. Qual é a capacidade total do

barril?3


12

Dados:

capacidade total do barril: x litros

metade da capacidade:

30% da capacidade:

Resolvendo a equação, obtemos:

Figura 2


Resposta: O barril tem capacidade para 250 litros.

04 – Uma barra de ferro com 10 m de comprimento deve ser dividida em duas

partes. O comprimento da parte maior precisa ser o triplo do comprimento da

parte menor. Nessas condições, determine o comprimento que deve ter cada

uma das partes.4

O problema pede para encontrar dois números que representem o

comprimento de cada uma das partes em que a barra de ferro foi dividida.

Tais comprimentos serão representados por x (parte menor) e por 3x (parte

maior), conforme o esquema a seguir:

Figura 3



13

Resposta: A menor parte (x) deve ter 2,5m e a parte maior (3x) deve ter 7,5m.

05 - O Flávio foi às compras e gastou metade do dinheiro que tinha na compra

de um livro e a quinta parte do restante em chocolates. Determine quanto

dinheiro levava o Fávio se lhe sobraram R$ 78,00.5

Como não sabemos quanto dinheiro tem o Flávio, vamos considerar

que inicialmente tem x (incógnita).

Como o Flávio gastou metade do dinheiro , então ficou com:

Comprou então o chocolate gastando , ficando com R$

78,00.

Assim, a condição matemática que se obtém

é:

5 Atividade adaptada do site http://www.angelfire.com/comics/cravas/indice/1.htm.

14

Resposta: A resolução do problema corresponde à resolução da equação do

1º grau. Resolvendo-o, corretamente, obtém-se a solução R$ 195,00,

correspondente à quantidade de dinheiro que o Flávio tinha inicialmente.

3.2 Equações do 2º grau

Definição:

Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que

possa ser reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c

são números reais, com a ≠ 0. Então a, b e c são coeficientes da equação.

Observe-se que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isso

que a define como sendo uma equação do 2º grau.

Resolução de equações do 2° grau

A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos

os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática

uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação.

Fórmula geral de resolução

Para a resolução de uma equação do 2º grau completa ou incompleta,

podemos recorrer à fórmula geral de resolução:

Essa fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara.

O valor b2 -4ac é conhecido como discriminante da equação e é

representado pela letra grega Δ. Temos então que Δ = b2 -4ac, o que nos

permite escrever a fórmula geral de resolução como:

15

Resolução de equações do 2° grau incompletas

Para a resolução de equações incompletas podemos recorrer a certos

artifícios. Vejamos:

Para o caso de apenas b = 0 temos:

⟹ ⟹ ⟹

⟹ ⟹ ⟹

Assim, portanto, para equações do tipo ax2 + c = 0, onde b = 0, podemos

utilizar a fórmula simplificada para calcularmos as suas raízes.

Observe-se, no entanto, que a equação só possuirá raízes no conjunto dos

números reais se .

Para o caso de apenas c = 0 temos:

Assim, portanto, para equações do tipo ax2 + bx = 0, onde c = 0, uma das

raízes sempre será igual a zero e a outra será dada pela fórmula .

Para o caso de b = 0 e c = 0 temos:

⟹ ⟹ ⟹ ⟹

⟹ ⟹ ⟹

Podemos notar que ao contrário dos dois casos anteriores, neste caso temos

apenas uma única raiz real, que será sempre igual a zero.

16

3.2.1 Atividades Sugeridas

As atividades aqui sugeridas têm como intuito introduzir o conteúdo de

equações do 2º grau através da metodologia da resolução de problemas. Elas

serão trabalhadas antes de qualquer menção ao conteúdo a ser estudado.

Para isso, elas serão apresentadas aos alunos como situações-problema para

que eles exercitem os seus conhecimentos matemáticos na tentativa de

encontrar uma solução para cada problema proposto.

Após resolverem as atividades, os alunos deverão apresentar aos

colegas os meios utilizados para chegar à solução. Esses resultados serão

discutidos e analisados pelo professor com toda a turma e somente ao fim das

análises e das discussões é que o professor irá demonstrar aos alunos o

desenvolvimento das formulações utilizadas pela matemática moderna para

facilitar o trabalho de resolução de equações do 2º grau. Será esse o momento

que o professor deverá aproveitar para realizar demonstrações que irão definir

os conceitos específicos do conteúdo em estudo.

Para que a construção do conhecimento sobre equações do 2º grau

seja realmente efetivado, tomou-se o cuidado de selecionar problemas com

diferentes graus de complexidade, partindo sempre de uma situação-problema

mais simples para outra mais complexa, oportunizando ao aluno a buscar o

saber cognitivo já efetivado para a elaboração de estratégias e conjecturas que

possibilitem a resolução das atividades sugeridas.

01 – O triplo do quadrado do número de filhos de Laura é igual a 45 menos 6

vezes o número de filhos. Quantos filhos Laura tem?6

Considerando x o número de filhos de Laura, temos que 3x2 equivale ao triplo

do quadrado do número de filhos e que 45 - 6x equivale a 45 menos 6

vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:

6 Atividade adaptada do site

http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx.

17

Que pode ser expressa como:

Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, que

é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da

equação, que será a solução do nosso problema:

A raízes encontradas são 3 e -5, mas como o número de filhos de uma pessoa

não pode ser negativo, descartamos então a raiz -5. Logo, Laura tem 3 filhos.

02 – O produto da idade de Inácio pela idade de André é igual a 374. Inácio é 5

anos mais velho que André. Quantos anos tem cada um deles?7

Se chamarmos de x a idade de Inácio, teremos que x - 5 será a idade de

André. Como o produto das idades é igual a 374, temos que x . (x - 5) = 374.

Esta sentença matemática também pode ser expressa como:

7 Atividade adaptada do site:

www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercicios.aspx.

18

Figura 4

Fonte: arquivo próprio

Primeiramente, para obtermos a idade de Inácio, vamos solucionar a equação:

Resposta: As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17

deve ser descartada. Logo a idade de Inácio é de 22 anos.

Como Inácio é 5 anos mais velho que André, André tem, então, 17 anos. Logo:

Inácio tem 22 anos e André tem 17 anos.

03 – Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta

5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher

esse tanque isoladamente.8

8 Atividade extraída do site

pessoal.educacional.com.br/.../Estudo%20Equações%20de%202°%20Grau

19

Solução

Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o

tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.

Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

1ª torneira: e 2ª torneira:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão 1/6 do tanque. Observe a

equação correspondente:

mmc 6x(x + 5)

Resolvendo a equação, temos:

6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )

6x + 30 + 6x = x2 + 5x

x2 - 7x - 30 = 0

x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.

Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15

horas.

04 – Se, num jantar de confraternização, cada uma das pessoas presentes

trocar um aperto de mão com todas as outras e houver 190 cumprimentos,

quantas pessoas compareceram à confraternização?9

A princípio, é preciso considerar que, quando duas pessoas trocam um aperto

de mão, esses dois cumprimentos devem ser considerados como um só.

Seja x o número de pessoas presentes

9 Atividades adaptada do livro Novo praticando matemática, vol. 4, p. 62

20

Cada pessoa deve trocar apertos de mão.

Desta forma, temos:

Resposta: Desprezando o valor negativo, conclui-se que no jantar havia 20

pessoas.

05 – Numa festa de confraternização seria distribuído, em partes iguais, um

prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada

um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantas

pessoas estavam presentes nessa festa?10

Solução

Podemos representar por:

→O valor que cada um dos presentes receberia se não houvesse

faltas.

→O valor recebido por cada um dos presentes.

10

Atividade adaptada do site

http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_17.php.

21

Temos, então, a equação + 400

Resolvendo a equação:

+ 400 → Dividindo ambos os membros por 400 para

simplificá-la.

Após determinar o mmc = x(x – 5), temos:

Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram

5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.

06 – Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus

algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine

esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos

é 18.11

Solução

Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos

algarismos trocada por 10y + x.

Observe:

Número: → 10x + y

11

Atividade retirada do site

http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_16.php

x y

y

22

Número com a ordem dos algarismos trocada: → 10y + x.

Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:

Dividindo os coeficientes da 1ª equação por 9, obtemos:

Isolando o y na 1ª equação:

Substituindo y na 2ª equação:

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por:

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução

do problema o número

Resposta: O número procurado é 36.

y x

23

4 PROBABILIDADE

A palavra probabilidade deriva do latim probare (provar ou testar).

Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos

incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como

“sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.

Tal como acontece com a teoria da mecânica, que atribui definições

precisas a termos de uso diário, como trabalho e força, também a teoria das

probabilidades tenta quantificar a noção de provável.

Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível,

porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis

denominado espaço amostral. Qualquer subconjunto desse espaço amostral é

denominado evento. Se esse subconjunto possuir apenas um elemento, nós o

denominamos evento elementar. Por exemplo, no lançamento de um dado, o

nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espaço amostral U:

A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}

B: sair um número primo e par: B = {2}

C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}

O espaço amostral é também denominado espaço de prova.

Passa-se a tratar, aqui, dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles

onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem.

Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que, sendo o dado

perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Tem-se,

então, um espaço equiprovável.

Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos

determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, tem-

se certeza dos resultados a serem obtidos.

24

Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência

de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada

uma dessas possibilidades denominada probabilidade.

A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de

cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos

de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite

que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento

aleatório.

4.1 Experimento Aleatório

É aquele experimento que, quando repetido em iguais condições, pode

fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso.

Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem

envolve cálculo de experimento aleatório.

4.2 Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento

aleatório. A letra que representa o espaço amostral é S.

Exemplo:

Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço

amostral, constituído pelos 12 elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, C1, C2, C3, C4, C5, C6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par

aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar

aparece}.

2. Idem, o evento em que:

25

a) A ou B ocorrem;

b) B e C ocorrem;

c) Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos?

Resolução:

1. Para obter A, escolhem-se os elementos de S constituídos de um K e um

número par: A={K2, K4, K6}.

Para obter B, escolhem-se os pontos de S constituídos de números primos:

B={K2,K3,K5,C2,C3,C5}.

Para obter C, escolhem-se os pontos de S constituídos de um R e um número

ímpar: C={C1,C3,C5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,C2,C3,C5}

(b) B e C = B ∩ C = {C3,C5}

(c) Escolhem-se os elementos de B que não estão em A ou C;

B ∩ AC ∩ CC = {K3,K5,C2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A ∩ C = Ø

4.3 Conceito de Probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente

prováveis então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

26

Por exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer

de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2

= 50%.

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando

seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de

ocorrência de um evento E é sempre:

4.4 Atividades Sugeridas

Para as atividades aqui sugeridas, os alunos, antes de passar às suas

resoluções, serão orientados a fazer uma leitura minuciosa e atenta da parte

introdutória do conteúdo. Após realizarem a leitura sugerida, formarão grupos

de três alunos para discutirem e procurarem uma maneira de se chegar à

resolução de cada situação-problema proposta.

Para o desenvolvimento das atividades, eles terão o tempo de duas

horas- aula e, caso o tempo destinado para as atividades seja insuficiente, os

alunos deverão concluir suas tarefas como atividades de casa, visto que na aula

imediatamente seguinte o tempo disponível será destinado à discussão, análise

e interpretação dos resultados apresentados por cada grupo.

E, após as discussões necessárias, o professor irá expor à classe

métodos e estratégias que auxiliarão na resolução de exercícios que envolvam o

conteúdo „probabilidade‟.

1. Numa turma de 8ª série, de 35 alunos, a probabilidade de, numa escolha ao

acaso, se obter uma menina é 4/7. Quantos rapazes há na turma?12

12

Atividade adaptada do livro Novo praticando matemática.

27

Resposta: Na turma há 15 rapazes.

2. De um grupo de 9 pessoas, sendo 5 homens e 4 mulheres, qual é a

probabilidade de sortear, ao acaso, uma mulher?13

Para sortear uma dentre nove pessoas, temos:

n(S) = 9

Para que saia uma mulher:

n(E) = 4

E a probabilidade:

Resposta: Para que seja sorteada uma mulher tem-se 4/9 de probabilidade.

3. As pessoas presentes a uma convenção anual de uma empresa distribuem-

se assim:

Homens Mulheres

solteiros 29 27

casados 25 19

Ao final da convenção será sorteada uma viagem para um dos participantes.

Qual é a probabilidade de que uma mulher ganhe a viagem?14

n(E)=100 → pessoas presentes à convenção.

13

Atividade adaptada do livro Matemática, de Souza & Spinelli, vol. 2.

14 Atividade adaptada do livro Novo praticando matemática.

28

n(A) = 46 → mulheres presentes à convenção.

Resposta: A probabilidade de que uma mulher ganhe a viagem é de 46%.

4. No caso de um casal que tenha três filhos, não ao mesmo tempo, qual é a

probabilidade de que esses filhos sejam todos do mesmo sexo?15

Considerando que a cada gravidez há apenas duas possibilidades (masculino

ou feminino), temos:

n(S) = 2 . 2 . 2 ⟹ n(S) = 8

Para que todos sejam do mesmo sexo, devem ser três homens ou três

mulheres, portanto: n(E) = 2 (três homens ou três mulheres).

Resposta: A probabilidade de que os três filhos sejam do mesmo sexo é de

1/4 ou 25%.

5. Numa urna há bolinhas numeradas de 1 a 50. Uma bolinha será sorteada ao

acaso. Qual é a probabilidade de o número da bolinha sorteada ser múltiplo de

seis? A probabilidade de o número da bolinha sorteada ser um número primo é

maior ou menor que a probabilidade de ele ser múltiplo de seis?16

15

Atividade extraída do livro Matemática, de Souza & Spinelli, vol. 2.

16 Atividade extraída do livro Novo praticando matemática.

29

n(S) = 50

n(E1) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48} ⟹ n(E1) = 8

n(E2) = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47} ⟹ n(E2) = 15

Resposta: Nesse caso, há maior probabilidade de o número da bolinha

sorteada ser primo.

6. Uma urna contém exatamente 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se, ao

acaso, uma bola da urna. Qual é a probabilidade de se obter um número

múltiplo de 2 ou de 3?17

O espaço amostral do experimento é:

E = {1, 2, 3, 4, ..., 20} ... n(E) = 20

A = {x E/x é múltiplo de 2} = {2, 4, 6,..., 20} ... n(A) = 10

B = {y E/y é múltiplo de 3} = {3, 6, 9,..., 18} ... n(B) = 6

Como a probabilidade pode ocorrer em algum elemento de A ou B, ou seja

P(AUB). Para tanto, necessita-se de A∩B.

A∩B = {6, 12, 18} ... n(A∩B) = 3

Logo:

17

Atividade adaptada do livro Coleção base: matemática, vol. único.

30

Resposta: Para que a bola sorteada seja múltiplo de dois ou múltiplo de três,

tem-se 13/20 de probabilidade.

7. No lançamento simultâneo de um dado e uma moeda, pede-se que

determine:

a) o espaço amostral.

b) o número de elementos do E1= {cara na moeda e face par no dado} e a

probabilidade de ocorrência do evento E1.

c) o número de elemento do evento E2= {face cinco no dado} e a probabilidade

de ocorrência do evento E2.18

a) A moeda tem duas faces, cara (k) e coroa (c), e o dado tem seis faces

numeradas de 1 a 6. Assim, portanto, o espaço amostral é:

S = {(k,1),(k,2),(k,3),(k,4),(k,5),(k,6),(c,1),(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),(c,6)} e n(S)=12

b) O evento “cara na moeda e face par no dado” tem os seguintes elementos:

E1={(k,2), (k,4), (k,6)} e n(E1) = 3

Ou P(E1) = 25%

c) O evento “face cinco no dado” tem os seguintes elementos:

18

Atividade extraída do livro Matemática, de Souza & Spinelli, vol. 2.

31

E2 = {(k,5), (c,5)} e n(E2) = 2

ou P(E2) = 16,7%

8. José cria galinhas caipiras. São galinhas que vivem soltas e chocam seus

próprios ovos, o que não acontece com as galinhas de granja. Com base em

várias observações, José concluiu que a probabilidade de nascer um pintinho

de um ovo é: 7/9. No momento, há 18 galinhas chocando 13 ovos cada uma

(José é supersticioso!). Qual é o número esperados de pintinhos que irão

nascer?19

Número de ovos sendo chocados:

Cálculo do número de pintinhos esperados:

Resposta: São esperados, portanto, 182 pintinhos.

9. Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade de a

mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade de ela vir a engravidar

somente no quarto mês de tentativas?20

Sabe-se que a probabilidade de a mulher engravidar em um mês é de 20%, o

que, na forma decimal, é igual a 0,2. A probabilidade de ela não conseguir

engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

19

Atividade extraída do livro Matemática, de Imenes & Lellis; 8ª série.

20 Atividade extraída do site http://www.matematicadidatica.com.br/.

32

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos

enquanto ela não engravida). Então a probabilidade de que todos eles

ocorram,é dada pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a

mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três

meses anteriores deve ser igual à probabilidade de ela não engravidar no mês,

logo:

O número decimal 0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.

Resposta: Então, a probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no

quarto mês é de 10,24%.

10. Todos os 40 alunos de uma classe já leram pelo menos um dos romances

Memórias Póstumas de Brás Cubas ou Dom Casmurro, ambos de Machado de

Assis. Vinte e oito alunos já leram Memórias Póstumas de Brás Cubas e 31

alunos já leram Dom Casmurro. Escolheu-se um desses alunos, ao acaso,

constatando-se que ele já havia lido Dom Casmurro. Qual é a probabilidade de

que o aluno escolhido tenha lido, também, Memórias Póstumas de Brás

Cubas?21

Montando um diagrama com a distribuição das informações, tem-se:

21

Atividade adaptada do livro Coleção base: matemática, vol. único.

33

Número de alunos que leram

Memórias Póstumas de Brás Cubas:

28 – x

Número de alunos que leram Dom

Casmurro: 31 – x

Número de alunos que leram ambos

os romances: x

Figura 5


Logo: 28 – x + x – 31 – x = 40

Resposta: A probabilidade de que o aluno selecionado tenha lido, também,

Memórias Póstumas de Brás Cubas é de 19/31.

5 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Para a geometria, um triângulo é denominado „triângulo retângulo‟

quando que possui um ângulo reto – de 90° – e outros dois ângulos agudos –

menores que 90°.

Na matemática, o triângulo retângulo é uma figura geométrica que

oferece várias possibilidades quando utilizado no cálculo de áreas, de volumes

e no cálculo algébrico. Por isso sua aplicabilidade tem grande importância no

processo de ensino-aprendizagem da disciplina de matemática.

34

Os elementos do triângulo retângulo possuem denominações

especiais: hipotenusa (a), catetos (b;c), altura relativa (h) à hipotenusa e

projeção dos catetos sobre a hipotenusa.

- A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo, ou seja, é o lado oposto

ao ângulo reto.

- Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo e juntos formam o

ângulo de 90°, ou seja, o ângulo reto.

- A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a hipotenusa e o vértice do

ângulo reto.

- As projeções dos catetos são as partes formadas com a linha divisória que

representa a altura relativa à hipotenusa.

Figura 6


5.1 Relações

1ª – Em qualquer triângulo retângulo, o produto dos catetos é igual ao produto

da hipotenusa pela altura relativa a própria hipotenusa. b . c = a . h

Figura 7 Como os lados correspondentes dos

triângulos são proporcionais, tem-se a

seguinte proporção:

35


por isso, as relações: b . c = a . h

2ª – Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa é a média

proporcional entre os segmentos que ela determina sobre a hipotenusa. h² = m

. n

Figura 8

Figura 9


Como os lados correspondentes dos



por isso, as relações: h² = m . n

3ª – Em qualquer triângulo retângulo, cada cateto é a média proporcional entre

a hipotenusa e a projeção desse cateto sobre a própria hipotenusa. b² = a . m

ou c² = a . n

36

Figura 10


Como os lados correspondentes dos



por isso, as relações: c² = a . n e b²= a .

m

4ª – Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma

dos quadrados dos catetos. a² = b² + c² (Teorema de Pitágoras).

Figura 11


No triângulo retângulo, tem-se as relações:

b² = a . m

c² = a . n, logo:

b² + c² = a . m + a . n

b² + c² = a(m + n) (note que m+n = a)

b² + c² = a . a

b² + c² = a² (Teorema de Pitágoras)

5.2 Atividades Sugeridas

Para a resolução das seguintes atividades, deve-se considerar que os

alunos já tiveram conhecimento dos conteúdos relativos a „congruência e

semelhança de figuras‟. Neste momento, portanto, o professor necessita,

apenas, demonstrar as principais relações métricas no triângulo retângulo, bem

como revisar o teorema de Pitágoras e o teorema de Tales.

37

Após a demonstração das relações métricas e das citadas revisões, os

alunos serão instigados a resolver as atividades propostas a seguir.

Novamente, em grupo de três, eles devem construir meios para resolver as

situações- problema adiante selecionadas.

Conforme as outras atividades aqui nesta unidade sugeridas, os alunos

irão desenvolver suas atividades e apresentá-las ao restante da turma, que, em

conjunto com o professor, farão as discussões pertinentes e os devidos

apontamentos para promover maior eficácia da aprendizagem do referido

conteúdo.

1. Um pedaço de arame de 60 cm de comprimento é dobrado

convenientemente na forma de um triângulo retângulo. Se a hipotenusa do

triângulo formado tem 26 cm, qual é o comprimento do menor dos catetos

desse triângulo?22

Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:

Substituindo os valores no teorema, tem-se:

22

Atividade extraída do livro: Matemática – Marcondes, Gentil e Sérgio.

38

Resolvendo Bháskara

Resposta: Assim, o menor dos catetos mede 10 cm.

2. Um terreno tem a forma do quadrilátero ABCD da figura ao lado. Uma

medição feita nesse terreno mostrou, em metros, as medidas indicadas.

Usando √2 = 1,4, qual é o perímetro desse terreno?23

Figura 12


23

Atividade extraída do livro A conquista da matemática: 9º ano.

39

Resposta: O terreno, em questão, tem 76 m de perímetro.

3. Uma torre erguida perpendicularmente em um terreno plano é fixada por dois

cabos de aço, como mostra a figura. Os cabos, cujas medidas estão na figura,

formam no topo da torre um ângulo de 90º.

Figura 13


Com esses dados calcule:

a) A distância (BC) entre os pontos de fixação dos cabos de aço no solo;

b) As distâncias (BH e HC) desses pontos de fixação até a base da torre;

c) A altura (AH) da torre.24

24


40

a) Aplicando o teorema de Pitágoras,

obtém-se:

b) Usando as relações métricas do

triângulo retângulo, tem-se:

4. Dois prédios construídos no mesmo plano medem 20 m e 26 m de altura.

Deseja-se construir uma passarela que una os topos desses dois prédios.

Determine o menor comprimento dessa passarela se a distância dos prédios e

de 8 m.25

Figura 14

25


41


Resposta: A menor distância da passarela entre os dois prédio é de 10 m.

5. Dois teleféricos T1 e T2 partem de uma estação E situada num plano

horizontal em direção aos picos P1 e P2 de duas montanhas. Calcule a

distância entre P1 e P2, sabendo que os teleféricos fazem percurso de 1500 m e

2900 m, respectivamente; que a primeira montanha tem 900 m de altura, e a

segunda, 2000 m; e que as bases das montanhas e a estação E estão em linha

reta.26

Figura 15


Calculando P1

Calculando P2

26

Atividade extraída do livro Matemática e realidade, 9º ano.

42

Cálculo da distância entre P1 e P2

Resposta: A distância entre os picos P1 e P2 é de aproximadamente 1421 m.

6. Dois navios partem de um mesmo ponto, ao mesmo instante, e viajam com

velocidade constante em direções que formam um ângulo reto entre si. Depois

de uma hora de viagem, a distância entre os dois navios é de 13 milhas. Se um

deles é 7 milhas por hora mais rápido que outro, determine a velocidade de

cada navio.27

Resolvendo Bháskara

27

Atividade extraída do livro A conquista da matemática: 9º ano.

43

Resposta: Desse modo, um navio desenvolve velocidade constante de 5

milhas por hora e o outro, velocidade constante de 12 milhas por hora.

6 Considerações Finais

Todas as atividades sugeridas nesta unidade didática visam estimular a

curiosidade e a criatividade do aluno para que ele explore novas ideias e

descubra novos caminhos para a aplicação de conceitos adquiridos na

construção do conhecimento matemático.

Por isso as atividades selecionadas e aqui sugeridas têm como intuito

“desafiar” o aluno para que ele encontre meios de resolução para cada

situação-problema proposta, de modo que, ao buscar estratégias para resolver

o problema, ele reflita os mecanismos que possibilitaram sua resolução.

É preciso ressaltar que, quando se propõe a resolução de problemas

na sua concepção mais moderna, ou seja, a de uma estratégia metodológica

de ensino para se compreender e aprender os conteúdos matemáticos, tem-se

por base as considerações de teóricos que, como Gontijo, afirmam:

[...] a capacidade de apresentar inúmeras possibilidades de solução apropriadas para uma situação-problema, de modo que estas focalizem aspectos distintos do problema e/ou formas diferenciadas de solucioná-lo, especialmente formas incomuns (originalidade), tanto em situações que requeiram a resolução e elaboração de problemas como em situações que solicitem a classificação ou organização de objetos e/ou elementos matemáticos em função de suas propriedades e atributos, seja textualmente, numericamente, graficamente ou na forma de uma seqüência de ações. (GONTIJO, 2006, p. 4).

Valendo-se dessa estratégia da metodologia da resolução de

problemas, o professor tem a oportunidade de, no momento da resolução, da

discussão e da correção das atividades, avaliar se os alunos apresentam

dificuldades e identificar se essas dificuldades indicam possíveis lacunas no

44

processo de aprendizagem dos conteúdos matemáticos envolvidos na

resolução de cada atividade sugerida.

Essa avaliação é fundamental para que o professor possa elaborar

estratégias numa tentativa de procurar sanar as dúvidas e as dificuldades

apresentadas pela turma ou por algum aluno.

45

Referências Bibliográficas

ANDRINI, A.; VASCONCELLOS, M. J. Novo praticando matemática. vol. 4.

São Paulo: Editora do Brasil, 2007.

__________. Praticando matemática: coleção atualizada. São Paulo: Editora do Brasil, 2002. DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. 2. ed. São Paulo: Ática, 1991. ________. Matemática – contexto e aplicações. v. 1. São Paulo: Ática, 1999. GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI JR, J. R. Matemática - pensar e descobrir: o + novo. 1. ed. São Paulo: FTD, 2002. GIOVANNI JR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da matemática. Ed. renovada. São Paulo: FTD, 2009. GONTIJO, C. H. Resolução e formulação de problemas: caminhos para o desenvolvimento da criatividade em matemática. In: Anais do Sipemat. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação-Centro de Educação – Universidade Federal de Pernambuco, 2006, 11 f. IMENES, L. M. P.; LELLIS, M. Matemática. São Paulo: Scipione, 1997. IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade: 9º ano. 6. ed. São Paulo: Atual, 2009. LUPINACCI, M. L. V.; BOTIN, M. L. M. Resolução de problemas no ensino de matemática. Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, Recife, PE. 2004, p. 1–5. MEC (1998) Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos: matemática - 1998. Secretaria de Educação Fundamental, Ministério da Educação e do Desporto, Brasília, DF. PAIVA, M. Coleção base: matemática: volume único. São Paulo: Moderna, 1999. SANTOS, C. A. M. dos; GENTIL, N.; GRECO, S. E. Matemática, 2º grau. volume único. São Paulo: Ática, 2003. SOUZA, M. H. S. de; SPINELLI, W. Matemática, 2º grau. vol. 2. São Paulo: Scipione, 1996.

46

SITES CONSULTADOS:

http://www.celiomoliterno.eng.br/Arquivos/Santa/Exercicio/ex_sist_1g.pdf. Acesso em: 6 jun. 2011. http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx. Acesso em: 12 jun. 2011. http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex3. Acesso em: 27 jun. 2011. http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_16.php. Acesso em: 13 jun. 2001.

ficha para catÁlogo...resolvidos. (lupinacci e botin, 2004, p. 1). no processo de ensino e...

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