FichadeTrabalhoN.º23|ConsolidaçãoII–Limites|12.ºAno 1

1. No referencial o. n. Oxy encontra-se representada parte do gráfico da função f.

Considere as sucessões:

• 23nu n= +

• 3 11n

nwn−

=+

Indique:

1.1. 3

lim ( )x

f x−→

1.2. 3

lim ( )x

f x+→

1.3. ( )lim nf u

1.4. ( )lim nf w

2. No referencial o. n. Oxy encontra-se representada parte do gráfico das funções f e g de domínio ℝ. As retas de equações y = 3 e y = –3 são assíntotas aos gráficos das funções. Indique:

2.1. ( )12

lim ( )x

f g x−

→o

2.2. lim ( )x

g xf→−∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2.3. ( )lim ( )x

f g x→+∞

×

2.4. ( )1

lim ( )x

f g x+→−

×

3. Considere a função h de domínio ℝ definida por

2

2 , se 1( )

1, se 1x a x

h xx ax x + < −⎧

= ⎨− + ≥ −⎩

Determine a de modo que a função h tenha limite quando 1x→ − .

FichadeTrabalhoN.º 23Matemática12.ºAno

NomedoAlunoN.ºData ____ / ____ / 2015 Prof.SandraPaulo

FichadeTrabalhoN.º23|ConsolidaçãoII–Limites|12.ºAno 2

4. Calcule, se existirem, cada um dos seguintes limites.

4.1. 2

1

1lim3x

xx→

+

4.2. 3

21lim3a

a aa a→

−−

4.3. 3

20lim3b

b bb b→

−−

4.4. 2

21

2 1lim1a

a aa→

− +−

4.5. 4

32

16lim8x

xx→−

−+

4.6. 1

1lim1a

aa→

−−

4.7. 3

2lim3a

a aa a→−∞

−−

4.8. 2lim3a

aa a→+∞ −

4.9. 2lim1x

x xx→+∞

−+

4.10. ( )2lim 1x

x x→+∞

+ −

4.11. 3

3

e 1lim2 6

x

x x

−

→

−−

4.12. 50

2lime 1xx

x→ −

4.13. ( )0

ln 1lim

e 1xx

x→

+

−

4.14. 22lim

3

x

xx

xx→+∞

−×

5. Represente graficamente uma função f de modo que:

lim ( ) lim ( ) 2x x

f x f x→+∞ →−∞

= = ef(x)≠2,∀x∈Df

FichadeTrabalhoN.º23|ConsolidaçãoII–Limites|12.ºAno 3

PropostadeResolução

1.1.1. 1 1.2. 2

1.3. 2 1.4. 1

2.2.1. lim! →!

𝑓𝑜𝑔!! 𝑥 = 𝑓 𝑔!! 2 = 𝑓 0 = −1

2.2. lim! → ! !

!(!)!(!)

= −1

2.3. lim!→ ! !

𝑓×𝑔 𝑥 = −9

2.4. lim! → !!!

𝑓×𝑔 𝑥 = 0

3.

lim!→ !!!

𝑥 + 2𝑎 = −1+ 2𝑎

lim!→ !!!

𝑥! − 𝑎𝑥 + 1 = 1+ 𝑎 + 1 = 2 + 𝑎

−1+ 2𝑎 = 2+ 𝑎 ⟺ 𝑎 = 3

4.

4.1. lim!→!

!!! !!!

= !!= !

!

4.2. lim!→!

!!! !!!!! !

= !!= 0

4.3. lim!→!

!!! !!!!! !

= lim!→!

! !!! !! !!!!

= lim!→!

!!! !!!!!

= 1

4.4. lim!→!

!!! !!!!!!! !

= lim!→!

!!! !

!!! !!!= lim

!→!

!!!!!!

= !!= 0

4.5. lim!→!!

!!! !"!!! !

= lim! → !!

!!! !!! !!!!!!!!!!! !!! !!!!

= lim!→!!

!!! !!!!!!!!!!! !!!!

= ! !!

4.6. lim!→!

!! !!!!

= lim!→!

!! ! !! !! !!! !! !

= lim!→!

!!!! !!! !! !

= lim!→!

!! !! !

= − !!

4.7. lim!→ !!

!!! !!!!! !

= lim!→ !!

!!

!!!= lim

!→ !!𝑎 = −∞ �

FichadeTrabalhoN.º23|ConsolidaçãoII–Limites|12.ºAno 4

4.8. lim! → ! !

!!!!! !

= lim!→ !!

!!!!

= lim!→ !!

!!!= 0

4.9. lim!→ !!

!!! !!!!

= lim!→ !!

!!!= 2

4.10. lim! → ! !

𝑥! + 1− 𝑥 = lim! → ! !

!!! !! ! !!! !! !!!! !! !

= lim!→!!

!!! !!!!!!!! !

=

= lim!→! !

𝑥!

𝑥 = lim!→!!

𝑥 = + ∞

4.11. lim!→!

!!!!! ! !!!!

= lim!→!

!!!!! ! !(!!!)

= !!

lim!→!

!!! !!

= !!

Mudança de variável:

𝑥 → 3⟺ 𝑥 − 3⟶ 0

Seja 𝑦 = 𝑥 − 3 ⟺ 𝑥 = 𝑦 − 3

4.12. lim!→!

!!!!!! !

= 2 lim!→!

!!

!!! ! = !

! lim!→!

!!!! !

= !! lim

!→!

!!! !!

!!= !

!

Mudança de variável:

𝑥 → 0⟺ 5𝑥⟶ 0

Seja 𝑦 = 5𝑥 ⟺ 𝑥 = !!

4.13. lim!→!

!" !!!!!! !

= lim!→!

!" !!!!

!!! !!

= !"#!⟶!

!" !!!!

!"#!⟶!

!!! !!

= 1

4.14. lim!⟶!!

!!! !!

!.!!= lim

!⟶!! !!

!.!!− !

!

!.!!= lim

!⟶!! !!× !

!

!− lim

!⟶!! !!! = 0− 0 = 0

5.