Ficha 2 - GeometriaParte I1) Na figura est representado um octaedro regular (slido geomtrico com oito faces, que so todas tringulos equilteros) A, B, C, D, E e F so vrtices do octaedro.

O valor do produto escalar :

[A] 16 [B] 8[C] 8 [D] 16R: C

2) Considere a recta r, de equao y= - 2x + 3. O valor de k para o qual o vector =(2, k) tem direco perpendicular da recta r :[A] 2 [B] 3 [C] -2 [D] 1R: D

3)

O valor de a para que as rectas de equaes: e sejam paralelas : [A] 1[B] 0[C] 1[D] 2R: A

4) Na figura est representada, num referencial o.n. Oxyz, uma recta AB. O ponto A pertence ao plano xOy. O ponto B pertence ao plano yOz. Indique qual das condies seguintes define a recta AB. [A] 3x+5y+4z=0[B] (x,y,z)=(3,0,4)+k(3,5,0), kZ[C] x=3 y=5 z=4[D] (x,y,z)=(3,5,0)+k(3,0, 4), kZ

R: D

5) A representao do plano : x+2y+z=1 no primeiro octante de um referencial ortonormado :

R: C

6) Num referencial o.n. Oxyz, o plano de equao x z = 2 :(A) paralelo a xOz(B) perpendicular ao eixo Oz(C) perpendicular a xOz (D) paralelo ao eixo OzR: C

7)

A posio relativa da reta e do plano dada por uma das representaes seguintes. Qual?

R: C8)

Num referencial o.n. Oxyz, considere as rectas r e s, definidas por: e . Qual das afirmaes verdadeira?(A) r e s so concorrentes(B) r e s so no complanares(C) r e s so paralelas(D) r e s so perpendicularesR: A

9)

Num referencial o.n. Oxyz, as rectas AB e r so paralelas. O vector tem coordenadas . A recta r definida pala condio . O valor de m :(A)

(B) (C) 0(D) 1R: B

10)

Para um certo nmero real k, as rectas r e s, definidas, em referencial o.n. Oxyz, pelas condies e so coincidentes. Qual o valor de k?(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4R: C

11) Considera num referencial o.n.(O,x,y,z) a recta r definida por e o plano : 2x+3y = 0. Qual das afirmaes verdadeira?(A) r concorrente com (B) r est contida em (C) r estritamente paralela a (D) r perpendicular a R: D

12)

Num referencial o.n. Oxyz, os planos e so definidos pelas equaes: e .Os planos e so(A) Coincidentes(B) estritamente paralelos(C) concorrentes no perpendiculares(D) perpendicularesR: C13) Considera a reta r: . Num referencial o.n. Oxyz, o ponto de interseco da recta r com o plano xOz tem de coordenadas:[A] (3,2,5) [B] (3,0,5) [C] (1,0,5) [D] (3,0,1)R: B

14) Considera a reta r: . Num referencial o.n. Oxyz, o ponto de interseco da recta r com o eixo Oy tem de coordenadas:(A)

(B) (C) (D) R: A15) Na figura est representada a regio do plano definida pela condio:

O valor mnimo que a funo pode tomar na regio dada :

(A)1(B) 2(C) 4(D) 5R: C

16) Na Figura, est representada a regio admissvel de um certo problema de programao linear em que se pretende maximizar a funo objetivo L, definida por L = x + 3y. Qual o valor mximo da funo L nesta regio?(A) 14(B) 15(C) 20(D) 21R: C

Parte II17) Na figura est representado, num referencial o.n. Oxyz, um slido formado por um cubo e por uma pirmide quadrangular regular. Sabe-se que: A base da pirmide coincide com a face superior do cubo. A altura da pirmide igual ao comprimento da aresta do cubo. O vrtice O a origem do referencial. O vrtice N pertence ao eixo Ox O vrtice P pertence ao eixo Oy O vrtice S pertence ao eixo Oz Uma equao do plano MNP

a) Determine as coordenadas do vrtice VR: (5, 5, 20)b) Considere a reta r perpendicular reta SP e que passa no ponto Q. Determine as coordenadas do ponto de interseo da reta r com o plano MNP.R: (10, 0, 10)c) Mostre que a reta US perpendicular ao plano NRVd) Considere que dispomos de seis cores (amarelo, branco, castanho, verde, laranja e rosa) para pintar as quatro faces laterais da pirmide e as quatro faces laterais do cubo. Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar as faces (visveis) do slido, de tal modo que: Todas as faces devem ser pintadas; Cada face pintada com uma nica cor; A pirmide s pode ficar pintada com uma cor; As faces laterais da pirmide no podem ter a mesma cor que as faces laterais do cubo; No cubo as faces laterais opostas devem ficar pintadas com a mesma cor; O slido deve ficar pintado com duas ou com trs cores.R: 150e) Dispomos agora de cinco cores (amarelo, branco, castanho, verde e vermelho) para colorir as nove faces do slido. Cada face colorida com uma nica cor.i) De quantas maneiras diferentes podemos colorir o slido, supondo que as quatro faces triangulares s podem ser coloridas de amarelo, de branco ou de castanho, e que as cinco faces rectangulares s podem ser coloridas de verde ou de vermelho?R: 2 592ii) Admita agora que o slido vai ser colorido ao acaso, podendo qualquer cor colorir qualquer face. Determine a probabilidade de exactamente cinco faces ficarem coloridas de branco e as restantes faces com cores todas distintas. Apresente o resultado na forma de dzima, arredondado s dcimas de milsima.R: 0,0015f) Escolhendo dois quaisquer vrtices do slido, qual a probabilidade de os vrtices escolhidos no serem os extremos de uma aresta?R: 5/9

18) No referencial ortonormado Oxyz da figura encontra-se um tronco de uma pirmide quadrangular regular reta. Sabe-se que: A base maior do tronco est contida no plano xOy z-2y+6=0 uma equao do plano PQT

Sejam: r a reta perpendicular ao plano PQT, que passa no ponto Q A o ponto de interseo entre r e o plano xOzDetermina as coordenadas de A

Sugesto: Percorre as seguintes etapas: Determina as coordenadas do ponto Q Indica uma condio para a reta r Escreve as coordenadas pedidasR: (3, 0, 3/2)

19) Na figura est representado, em referencial o.n., Oxyz, um octaedro [ABCDEF]. Sabe-se que: o vrtice B tem coordenadas (1, 0, 1) o vrtice E tem coordenadas (0, 1, 1) o vrtice F pertence ao plano xOy o vrtice A tem coordenadas (1, 1, 2)

a) Escreve uma equao vetorial e as equaes cartesianas da reta:i) AFii) AEb) Mostre que o plano CDF pode ser definido por x+y-z-2=0c) Mostre que a reta AB est contida no plano y-z=-1d) Mostre que a reta definida pela condio x=y=z perpendicular ao plano ACDe) Determine uma equao da superfcie esfrica que contm os seis vrtices do octaedro.f)

Para um certo valor de o ponto pertence ao plano CDF. Determine o valor de e indique as coordenadas do ponto P.R: =g) Seja o plano paralelo ao plano xOz que passa no ponto A. A seco produzida no octaedro pelo plano um quadriltero. Caraterize esse quadriltero e determine o seu permetro.R: quadrado

20) Observe o octaedro representado no referencial o.n. Oxyz da imagem seguinte. Considere a superfcie esfrica definida por que contm os vrtices do octaedro.

a) Mostra que C(2,2,0) b) Determine uma equao do plano ACB.R: c) Considere o plano de equao x+y2z=4. Determine a sua interseo com o plano xOy e mostre que o ponto C pertence a essa interseo.R; x=4y z=0d) Determine o ngulo, em graus, que a reta CB faz com a reta CE.R: 45e) Prove que o plano mediador de [CB] passa em A.f) Identifique e escreva uma equao do lugar geomtrico dos pontos do espao definido por g) Considera os pontos de interseo da superfcie esfrica, com os eixos.i) Quantos tringulos nessas condies podem ser definidos?R: 20ii) Escolhendo um desses tringulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por z=0. Indique o resultado na forma de percentagem.R: 20%h) Considere os pontos que se encontram no centro das faces do octaedro. De todos os quadrilteros que possvel, escolhe-se um ao acaso. Qual a probabilidade de esse quadriltero no ser paralelo ao plano z=0?R= 6/7i) Escolhendo ao acaso dois vrtices do octaedro, qual a probabilidade de estes definirem uma reta contida no plano de equao x=y?R:2/5

21) Na figura est representada, num referencial o.n.Oxyz, a pirmide quadrangular cuja base o retngulo e o vrtice o ponto V.Sabe-se que:

o vrtice Q tem coordenadas (2, 2, 2); o ponto A o centro da base da pirmide; a altura da pirmide; .

a) Determina as equaes cartesianas da reta AV.b) Determina a equao cartesiana do plano OPQ.c)

Seja o vetor de coordenadas, com . Determina o valor exato de para o qual os vetores e so perpendiculares.

22) Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, um cone de revoluo. Sabe-se que:

A base do cone est contida no plano de equao O vrtice V do cone tem coordenadas (1, 2, 6) O ponto C o centro da base do cone

a) Determine uma equao do plano que contm o vrtice do cone e paralelo ao plano R: x+2y-2z+7=0b) Seja o plano definido pela equao . Investiga se os planos e so perpendiculares.R: Simc) Sabendo que o raio da base do cone 3, indique as coordenadas do ponto C. Determine o volume do cone.R: C(3,4,2) ; V=18d) Calcule a amplitude do ngulo, em graus e arredondado s unidades, que a reta CV forma com o eixo Oy.e) Escreva uma condio do plano VOC

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