fenomenosdetransportei.aula5

Fenmenos de Transporte I

Aula 05

Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

1

5. Equaes bsicas na forma integral para um

volume de controle.

5.1- Leis bsicas para um sistemaAs leis bsicas para um sistema so brevemente resumidas a seguir.

Conservao de Massa

Como um sistema , por definio, uma poro arbitrria de

matria de identidade fixa, ele constitudo da mesma quantidade

de matria em todos os instantes. A conservao de massa exige que

a massa, M, do sistema seja constante. Numa base de taxa, temos:

0 dt

dM

sistema

( 1 )

dV dm M

M(sistema) V(sistema)

sistema ( 2 )

onde

2

dt

Pd F

sistema

( 3 )

A Segunda Lei de Newton

Para um sistema movendo-se em relao a um eixo referencial fixo, a

segunda lei de Newton estabelece que a soma de todas as foras

agindo sobre o sistema igual taxa de variao da quantidade de

movimento linear do sistema.

onde a quantidade de movimento linear do sistema dada por:

dV v dmv P


sistema

( 4 )

3

O Princpio da Quantidade de Movimento Angular

O princpio da quantidade de movimento angular (ou do momento

da quantidade de movimento) para um sistema estabelece que a taxa

de variao da quantidade de movimento angular igual soma de

todos os torques atuando sobre o sistema.

dt

Hd T

sistema

( 5 )

onde a quantidade de movimento angular do sistema dada por:

dV vr dmvr H


sistema

( 6 )

4

A Primeira Lei da Termodinmica

A primeira lei da termodinmica um enunciado da conservao da

energia para um sistema.

W Q dE

W Q dt

dE

..

Sistema

dV dm E


sistema ee ( 9 )

( 8 )

( 7 )

Esta equao pode ser escrita na forma de taxa como

onde a energia total do sistema dada por:

e

gz 2

v u

2

e ( 10 )

5

6Sistema

Q ( + )

Q ( - )

W ( - )

W ( + )

Fronteira do sistema

A Segunda Lei da Termodinmica

Se uma quantidade de calor, Q , for transferida para um sistema

temperatura T, a segunda lei da termodinmica estabelece que a

variao da entropia, dS, do sistema satisfaz a relao:

T

Q dS

( 11 )

QT

1

dt

dS

.

sistema

( 12 )

Em uma base de taxa, podemos escrever

onde a entropia do sistema dada por:

dV s sdm S


sistema ( 13 ) 7

5.2- Relao entre as derivadas do sistema e a formulao

para volume de controle.

Normalmente quando estudamos escoamento de fluidos

conveniente fixar uma certa regio do espao e analisar o que

acontece no interior desta regio com o tempo.

Esta regio fixa recebe o nome de volume de controle (VC) e

baseado no mtodo de Euler , ou seja, em vez de acompanhar

as partculas, analisamos seu comportamento numa regio

fixa no espao. O mtodo tradicional de estudo a base do

mtodo de Lagrange.

8

Como estabelecer as equaes para o volume de controle?

Antes de responder especificamente esta questo, podemos

descrever a deduo em termos gerais.

Considere um VC fixo no espao em relao ao sistema de

coordenadas x, y e z. Vamos imaginar que selecionamos uma

poro arbitrria de um fluido em escoamento em algum

instante t = t0, conforme mostrado na Figura 1a. Em t0, as

fronteiras do sistema e do VC coincidem.

9

Figura 1a

Aps um tempo infinitesimal t, o sistema ter se

movimentado para um novo local, conforme mostrado na

Figura 1b. Em t = t0 + t, o sistema ocupa as regies II e III. O

sistema desloca-se com relao ao VC aps um t.

10

Figura 1b

A fim de desenvolver a formulao para volume de controle de

cada lei bsica, partindo da formulao para o sistema,

usaremos o smbolo N para designar qualquer propriedade

extensiva deste (N = M, , , E, S). A correspondentepropriedade intensiva ser designada por .

m

N ( 14 )

e (energia), E N

s , (entropia) S N

vr , angular) movimento de e(quantidad H N

v , linear) movimento de e(quantidad P N

1 , (massa) M N

onde:

11

ETA ( )

N N N N N N

N N

t tIIIIVCt tIIIIIt ts

tVCts

000

00

Observando a Figura 1a e 1b, notamos que o sistema, que estava

inteiramente dentro do volume de controle no instante t0, est

parcialmente fora do volume de controle no instante t0 + t.

As regies I e II, juntas, formam o volume de controle, e a regio III

que, junto com a regio II, delimita o sistema no instante t0 + t.

Assim:

12

t

N Nlim

dt

dN 00

tst ts

0 t sistema

( 15 )

Da definio de derivada, a taxa de variao do Nsistema dado por:

Substituindo na definio de derivada do sistema, obtemos:

t

N N N Nlim

dt

dN00 tVCt tIIIIVC

0 t sistema

t

Nlim

t

Nlim

t

N Nlim

dt

dN

3

t tI

0 t

2

t tIII

0 t

1

tVCt tVC

0 t s

0000

( 16 )

13

O termo (1) na equao 16 simplificado para:

dV

t

t

N

t

N Nlim

VC

VCtVCt tVC

0 t

00

( 17 )

Para avaliar o termo (2), primeiro ser desenvolvido uma expresso

para NIII)to + t examinando a sub-regio (3) da regio III.

Para essa sub-regio, temos:

dV N t tt tIII 00

( 18 )

14

O volume do cilindro na sub-regio III dado por:

t A.dv Ad. dAcos dV

( 19 )

Portanto, para a sub-regio III, podemos escrever:

( 20 )

Deste modo, podemos integrar sobre toda regio III, e obter, para o

termo (2) na equao 16,

t A.dv dN t tIII 0

A.dv t

tA.dv

lim t

dN

lim t

Nlim

III

IIIIII

0

0

SC

SC

0 t

SC

t tIII

0 t

t tIII

0 t

( 21 )

15

Podemos desenvolver uma anlise similar para a sub-regio (1) da

regio I, e obter, para o termo (3) da equao 16.

A.dv

t

Nlim

I

0

SC

t tI

0 t

( 22 )

O produto escalar da equao 22 ser negativo, requerendo um

sinal negativo para produzir um resultado positivo.

Finalmente, podemos usar as equaes 17, 21 e 22 para obter:

A.dv A.dv dVt

dt

dN

IIII SCSCVCs

( 23 )

16

As duas ltimas integrais podem ser combinadas porque SCI e

SCIII constituem a superfcie de controle inteira,

A.dv dVt

dt

dN

SCVCs

( 24 )

A equao 24 a relao fundamental entre a taxa de

variao de qualquer propriedade extensiva arbitrria, N, de

um sistema e as variaes dessa propriedade associadas com

um volume de controle. Alguns autores referem-se a equao

24 como o Teorema de Transporte de Reynolds.

17

dV dm N


sistema ( 25 ) onde

18

Interpretao Fsica

.Ad rea da atravs N extensiva epropriedad da fluxo de taxaa A.dv

tempo;de unidadepor Ad rea de elemento do atravs massa de fluxo de taxaa A.dv

controle; de superfcie da atravs N extensiva epropriedad da fluxo de lquida taxaa A.dv

controle; de volumedo dentro contida N extensiva epropriedad da totalquantidade a dV

controle; de volumeno contido massa de elemento um dV

massa; de unidadepor N, a entecorrespond intensiva epropriedad a

controle; de volume

do dentro arbitrria extensiva epropriedad da tempoo com variaode taxaa dVt

sistema; do N arbritria extensiva epropriedadqualquer de variaode taxaa dt

dN

SC

VC

VC

s

19

d

.d = vdAcos

SC

d

SC

.d = +vdA = 00

.d = -vdA = 1800

SC

d

Avaliao do produto escalar .d

20

5.2- Conservao de Massa

O primeiro princpio fsico ao qual aplicamos a relao entre as

formulaes de sistema e de volume de controle o princpio de

conservao da massa: Amassa do sistema permanece constante

0 dt

dM

sistema

onde

dV dm M


sistema

( 1 )

( 2 )

21

A.dv dVt

dt

dN

SCVCs

As formulaes de sistema e de volume de controle so

relacionados pela equao 24.

onde

dV dm N


sistema

( 24 )

( 25 )

22

Para deduzir a formulao de volume de controle da conservao

de massa, fazemos

1 , M N

Com essa substituio na equao 24, obtemos

A.dv dVt

dt

dM

SCVCs

( 26 )

Comparando a equao 26 com a 1, obtemos

que a equao da conservao de massa para um volume de

controle. Esta equao conhecida tambm como equao da

continuidade.

0 A.dv dVt

SCVC

( 27 )

23

Casos especiaisEm casos especiais, possvel simplificar a equao 27.

Fluidos incompressveis ( = cte):

Regime permanente e fluido incompressvel:

Regime permanente e fluido compressvel:

0 A.dv dVt

SCVC

( 28 )

0 A.dv

SC

( 29 )

0 A.dv

SC

( 30 )

24

Exemplo 01: Considere o escoamento permanente de gua em uma

juno de tubos mostrado na figura. As reas das sees so: A1 =

0,2 m2 , A2 = 0,2 m2 e A3 = 0,15 m

2. O fluido tambm vaza para fora

do tubo atravs de um orifcio em 4, com uma vazo volumtrica

estimada em 0,1 m3/s. As velocidades mdias nas sees 1 e 3 so v1 =

5m/s e v3 = 12m/s, respectivamente. Determine a velocidade do

escoamento na seo 2.

25

Soluo:

Consideraes:

1- Escoamento permanente (dado),

2- Escoamento incompressvel,

3- Propriedades uniformes em cada seo.

A equao geral para um volume de controle a equao 26,

porm podemos escrever imediatamente a equao 28 por causa

da considerao 1 e 2.

Assim, temos:

onde Q4 a vazo em volume do vazamento para fora.

0 A.dv

SC

0 Q A.v A.v A.v 4332211

( 1 )

( 29 )

26

Vamos examinar os trs primeiros termos na equao 1 e os sentidos

dos vetores velocidades e reas:

27

Usando estes resultados na equao 1, temos:

2

322

2

2

43311

2

4332211

0,2m

/sm1,0 0,15m12m/s 0,2m5m/s v

A

Q Av Av v

0 Q Av A v Av

m/s5,4 v2

Lembre-se de que v2 representa o mdulo da velocidade, que

assumimos supostamente apontar para fora do volume de controle.

O fato de v2 ter sinal negativo significa que, na verdade, temos uma

entrada de escoamento na seo 2, portanto a nossa hiptese no era

correta.

28

Exemplo 02: A Figura mostra o desenvolvimento de um escoamento

laminar de gua num tubo reto (raio R). O perfil de velocidade na

seo 1 uniforme com velocidade U paralela ao eixo do tubo. O

perfil de velocidade na seo 2 assimtrico, parablico, com

velocidade nula na parede do tubo e velocidade mxima, vmx , na

linha de centro do tubo. Qual a relao que existe entre U e vmx?

Qual a relao que existe entre a velocidade mdia na seo 2 e a

velocidade mxima?

29

Soluo:

Consideraes:

1- Escoamento permanente,

2- Escoamento incompressvel,

3- As propriedades no so uniformes em cada seo.

A equao geral para um volume de controle a equao 26, porm

podemos escrever imediatamente a equao 28 por causa da

considerao 1 e 2.

0 A.dv

SC

R

r 1 v v

2

2

mx

30

R

0

2

42

mx

2

R

0

2

2

mx

2

R

0

2

A

21

A

2211

4R

r

2

r2v UR

rdrR

r 12v UR

rdr v2 R U

0 vdA UA

0 A.dv A.v

2

2

2U vmx

2

42

2

mxm

R

0

2

42

2

mxm

R

0

2

2

2

mxm

R

0

2

2

mx2m

A

m

4R

R

2

R

R

2v v

4R

r

2

r

R

2v v

rdrR

r 1

R

2v v

rdr 2R

r 1v

R

1 v

vdA A

1 v

2

v v mxm

31

Exemplo 03: Um leo incompressvel despejado com uma vazo Qconstante em um reservatrio cilndrico de dimetro D. O leo vaza atravs

de um orifcio de dimetro d, localizado na base do reservatrio, com uma

velocidade de sada dada por v = (2gh)1/2 , em que h o nvel do leo,

conforme mostrado na Figura. Considerando que o jato de leo possui

dimetro d no orifcio de sada, determine:

a) A equao diferencial que descreve a evoluo, com o tempo, do nvel h

de leo supondo um nvel inicial qualquer;

b) O nvel mximo, hmx , de leo no reservatrio a partir do qual o

escoamento fica em regime permanente.

c) Considerando que o tanque no tenha alimentao, qual seria o tempo

para esvazi-lo a partir de h?

32

Soluo:a) Escolhemos como volume de controle o volume ocupado pelo leo do

reservatrio, de forma que a ocorrncia de variao do nvel h implica

na variao do volume de controle com o tempo.

Q

v

A2

A1

h

SC

d

Q

VC

0 A v Av dt

h4

D d

0 A.v A.v dt

dV

0 A.dv dVt

cte) ( 0 A.dv dVt

22

Q

11

2

2211

SCVC

SCVC

+z

33

l)diferencia (equao 2ghD

d

D

4Q

dt

dh

0 4

d 2gh Q

4

D

dt

dh

2

2

2

22

b) No regime permanente qualquer caracterstica ou propriedade do

escoamento invariante com o tempo, ou seja, a partir do instante em que

o escoamento fica permanente tem-se:

gd

8Q h

42

3

mx

2ghD

d

D

4Q

0 dt

dh

mx2

2

2

mx

34

c) A variao do nvel h implica na variao do volume de controle com o

tempo.

Q

v

A2

h

SC

d

VC

0 A v dt

h4

D d

0 A.v A.v dt

dV

0 A.dv dVt

cte) ( 0 A.dv dVt

22

2

221

0

1

SCVC

SCVC

+z

35

dg2

Dh2 t

22/1

2

t

0

2/1

2

2h

0

1/2

2/1

2

2

1/2

1/22/1

2

2

2

2

22

dtg2D

d

h

dh

dtg2D

d

h

dh

hg2D

d

dt

dh

2ghD

d

dt

dh

0 4

d 2gh

4

D

dt

dh

36

Exemplo 04: gua est entrando em um tanque bem agitado com uma

vazo de 68,1 kg/h e 13,62 kg/h de sal (NaCl) tambm entra no sistema. A

soluo resultante, com uma vazo de 54,48 kg/h, est saindo do tanque;

por causa do efeito da boa agitao realizada, a soluo que deixa o

tanque a mesma que a da soluo no interior do sistema. Considerando-

se que existem 45,4 kg de gua pura no interior do tanque, no incio da

operao, e que as vazes de entrada e sada so mantidas constantes,

calcular a concentrao de sada (frao mssica de sal) aps 1 hora.

NaClH2O

Soluo

68,1 kg/h 13,62 kg/h

45,4 kg de gua para t = 0

54,48 kg/h

37

) 1 ( 0 m m t

M

0 Av Av t

M

0 A.v A.v t

M

0 A.dv t

V

0 A.dv dVt

0 A.dv dVt

.

2

.

1

m

22

m

11

2211

SC

SCVC

SCVC

.

2

.

1

38

Balano de massa global no tanque de mistura contnuo (equao1):

(3) t h

kg27,24 45,4kg M

0) (t 45,4kg M ;t h

kg27,24 M M

dth

kg27,24 dM

(2) h

kg27,24

t

M

0 h

kg54,48

h

kg13,62 68,1

t

M

0 m m t

M

00

t

0

M

M

.

2

.

1

0

(1)

39

Balano parcial de massa de sal (NaCl) no tanque de mistura contnuo:

(4) 0 h

kg48,54 w

h

kg13,62 M

t

w w

t

M

0 m w m Mt

w w

t

M

0 mw mw Mt

w w

t

M

0 m w m w t

Mw

A

A

A

A2

.

AA1

.A

A

A2

.

w

A2A1

.

1

A1

A

A

A2

.

A2A1

.

A1

A

A

40

27,24t 45,4 M ( 3 )

0 48,54 w 13,62 Mt

w w

t

M A

AA

( 4 )

Aw

0A

A

t

0

AA

AA

AA

A

AA

A

81,72w 13,62

dw

27,24t 45,4

dt

0 27,24t 45,4t

w 81,72w 13,62

1)(x 0 13,62 27,24t 45,4t

w 81,72w

0 w48,54 13,62 27,24t 45,4t

w 27,24w

0 48,54 w 13,62 27,24t 45,4t

w w

t

27,24t 45,4

Substituindo (3) em (4), temos:

41

(5) 6t 10

10 1

6

1 w

6w 1 10

6t 1

6w 1ln 10

6t 1ln

13,62

81,72w 13,62ln

45,4

27,24t 45,4ln3

13,62ln 81,72w 13,62ln 45,4ln 27,24t 45,4ln3

81,72w 13,62ln81,72

1 27,24t 45,4ln

27,24

1

3

A

A

3

A

3

A

A

w

0A

t

0A

Para t = 1 h, wA = 0,126 (frao mssica de NaCl)

42

Exemplo 05: Um fluido, com massa especfica de 1050 kg/m3, flui

em regime permanente atravs da caixa retangular. Dados: A1 =

0,05 m2; A2 = 0,01 m2; A3 = 0,06 m

2; V1 = 4i m/s e V2 = -8j m/s,

determine a velocidade V3.

43

/sm 0,28 A.v

m j0,01m/s j8 m i0,05m/s i4 A.v

A.v A.v A.v

0 A.v A.v A.v

0 A.dv

0 A.dv dVt

3

33

22

33

221133

332211

SC

SCVC

permanenteregime

VC

+x

-y

= 0

44

0 A.v 33

Como , o fluxo para fora da seo 3, assim temos :

m/s j2,34 i4,04 v

jcos60m/s 4,67 isen60m/s 4,67 v

jcos60 v isen60 v v

m/s 4,67 v

0,06m

/sm28,0 /sm28,0

A

1 v

/s0,28m A v A.v

3

00

3

0

3

0

33

3

2

3

3

3

3

3

3333

3v

060

+x

-y

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