Seminário Aeroespacial IIMestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Fenómenos da mecânica de fluidos

Bernardo Marques, 89648Duarte Lopes, 91010Hugo Caumo, 88012Júnior Tavares, 91188Kamila Diniz, 88643Tiago Martins, 89718

Docente:Professor Fernando Lau

Lisboa, Março de 2019

Índice

1 Introdução 11.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Precedentes históricos e Conceitos base 22.1 Definição de Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Pré-história . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Egípcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Antiguidade Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Idade Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.5.1 Viscosidade e Fluidos Newtonianos/Não Newtonianos 42.5.2 Fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.6 Fluido ou escoamento incompressível . . . . . . . . . . . . . . 52.7 Compressibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.8 Gás perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.9 Escoamento laminar e turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Mecânica dos Fluidos aplicada aos Automóveis 73.1 Resistência Aerodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Sustentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Princípio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Spoilers e Wings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 Vento Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.7 Energia e Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Mecânica dos Fluidos aplicada à Aviação 134.1 Camada limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Número de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2.1 Número de Mach crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.2 Escoamento Isentrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Ondas de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3.1 Formação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3.2 Equações da onda de choque normal . . . . . . . . . . 174.3.3 Captura e Deteção de ondas de choque . . . . . . . . . 18

5 Equação de Navier-Stokes 19

6 Conclusão 20

7 Anexos 24

1 Introdução

A Mecânica dos Fluidos é a ciência que estuda o comportamento físicodos fluidos, assim como as leis que o regem. As bases lançadas pela mecânicados fluidos são fundamentais para muitos ramos de aplicação da engenharia.Dessa forma, o escoamento de fluidos em canais e canalizações, a lubrifica-ção, os esforços em barragens, os corpos flutuantes, as máquinas hidráulicas,a ventilação, a aerodinâmica e muitos outros assuntos tiram proveito da Me-cânica dos Fluidos para obter resultados de aplicação prática (muitos destesexemplos vão ser explorados ao longo do nosso trabalho). Como se poderáobservar pelo exposto no relatório, poucos são os ramos da engenharia queescapam totalmente do conhecimento desta ciência que se torna, assim, umadas de maior importância entre as que devem fazer parte dos conhecimentosbásicos do engenheiro. Esta ciência pode ser dividida em duas grandes ver-tentes: dinâmica dos fluidos e a estática dos fluidos (hidrostática). Na mecâ-nica dos fluidos, os princípios básicos da mecânica clássica são aplicados emsituações que envolvem líquidos e/ou gases. Os princípios em questão são osda conservação da matéria e da energia e as leis do movimento de Newton,e para os fluidos compressíveis é necessário introduzir as leis da termodi-nâmica. Neste trabalho, fornece-se uma base à compreensão desta ciênciaestudando alguns dos seus vários aspetos. Fundamentalmente, procura-setransmitir interesse por este assunto de modo a criar ânimo para o explorar.

1.1 Metodologia

Este tema pode ser explorado de forma puramente analítica, teórica ematemática. Contudo, para tentar construir uma ponte para a realidadecomum do dia-a-dia, aborda-se o assunto de uma maneira mais humana. OHomem é o motor da descoberta e a matemática surge apenas como ferra-menta para solucionar os diversos problemas que vão surgindo.Desta forma, começamos por explorar de que forma esta disciplina evoluidesde os primórdios da Humanidade, passando por diversos momentos daHistória em que houve avanços no conhecimento dos fluidos. De seguidaavança-se para a aplicação desta ciência ao ramo automóvel, abordando otema das forças aerodinâmicas e concordantes soluções de engenharia. Emterceiro apresentam-se novos problemas na era da aviação devido ao esco-amento a altas velocidades. É de notar que ao longo desta evolução foinecessário criar modelos cada vez mais robustos. Naturalmente, por fim,explora-se superficialmente a equação de Navier-Stokes, uma vez que esta écapaz de explicar muitos dos fenómenos da mecânica de fluidos. Até hoje,está a ser estudada e melhor compreendida.

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2 Precedentes históricos e Conceitos base

2.1 Definição de Fluido

Um fluido pode ser definido como uma substância que se deforma conti-nuamente quando são aplicadas tensões tangenciais, por mais pequenas quesejam, ou uma força externa. Os fluidos incluem os líquidos, os gases e plas-mas. As suas propriedades têm origem molecular, porém são vistas comopropriedades macroscópicas do meio contínuo. A pressão, a temperatura ea viscosidade são alguns exemplos.

2.2 Pré-história

O estudo da mecânica dos fluidos despertou a curiosidade e o interessedo homem ao longo da história da humanidade. Desde o início já o ho-mem pré-histórico se interessava pelo movimento das águas e dos ventos, oque pode ser comprovado nas inúmeras pinturas rupestres encontradas emantigas cavernas que lhe serviram de abrigo. Na antiguidade conceitos deaerodinâmica já eram utilizados, ainda que de forma muito intuitiva, comopor exemplo no fabrico de armas e meios de transporte: Para transformarhastes de madeira em flechas, com pontas em forma de cunha e caudas es-tabilizadoras; no desenvolvimento de notáveis embarcações movidas à velae a remo, que evoluíram no sentido de minimizar as forças de resistência,facilitando bastante a navegação[1].

2.3 Egípcios

As primeiras utilizações hidráulicas remontam às mais antigas civiliza-ções. Com efeito, no Egito e na Mesopotâmia, foram construídos canais deirrigação; na Índia e Paquistão foram encontrados balneários alimentadospor condutas de material cerâmico instalados cerca de 3000 a.C.

2.4 Antiguidade Clássica

A primeira abordagem científica para a solução de problemas de fluidosem repouso ocorreu muitos séculos depois, quando Arquimedes e Héron deAlexandria postularam a lei do paralelogramo para adição de vetores noséculo III a.C.

Figura 1: Lei do paralelogramo para adição de vetores. [2]

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Arquimedes (285-212 a.C) formulou as leis da impulsão e aplicou-as acorpos flutuantes e submersos deduzindo uma forma de cálculo diferencialcomo parte da análise. A impulsão é a resultante das forças de pressãoexercidas sobre um corpo total ou parcialmente imerso num fluido. Alémdisto foi o inventor do chamado “Parafuso de Arquimedes“, uma máquinacapaz de transportar fluídos de um local mais baixo até um local mais elevado.Devemos relembrar também o matemático e engenheiro Ctesibios(285-222a.C), responsável por inventar o órgão hidráulico em que o movimento do arnos tubos era produzido pela pressão da água.

Figura 2: Parafuso de Arquimedes. [3]

Figura 3: Impulsão e lei de Arquimedes. [4]

I = ρghS = ρgV (1)

A equação anterior expressa matematicamente a Lei de Arquimedes:“Todo o corpo mergulhado num fluido recebe, da parte deste, uma im-

pulsão vertical de baixo para cima e de intensidade igual ao valor do pesodo volume de fluido deslocado pelo corpo.” [5]

Os romanos construíram extensos sistemas de aquedutos no século IVa.C., mas não deixaram registos mostrando qualquer conhecimento quanti-tativo àcerca dos princípios de projeto.

2.5 Idade Moderna

Durante a Idade Média, devido a diversos fatores entre os quais pestes e ainfluência da Igreja, o progresso científico foi inibido. No entanto, ao chegarao Renascimento tudo mudou. Foi então que Leonardo da Vinci (1452-1519)

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deduziu a equação de conservação de massa para escoamento permanente eunidimensional. Da Vinci foi um excelente cientista e os seus apontamentoscontêm descrições precisas de ondas, jatos, prensas hidráulicas, formação deturbilhões e projetos para baixa resistência aerodinâmica (alinhados com oescoamento) e alta resistência aerodinâmica (pára-quedas). Podemos assimconsiderar que Leonardo da Vinci foi um enorme impulsionador da mecânicados fluidos [6].

2.5.1 Viscosidade e Fluidos Newtonianos/Não Newtonianos

Os problemas que envolviam a quantidade de fluidos puderam finalmenteser analisados após Isaac Newton (1642-1727) ter postulado as suas leis domovimento e a lei da viscosidade dos fluidos lineares, hoje chamados fluidosnewtonianos.

τ = µδu

δy(2)

Os fluidos newtonianos são fluidos cuja viscosidade, ou atrito interno, éconstante para diferentes tensões de corte e não variam com o tempo. Aconstante de proporcionalidade é a viscosidade (µ). Nos fluidos newtonianosa tensão de corte é diretamente proporcional à taxa de deformação, ou poroutras palavras, a tensão de corte entre as duas camadas adjacentes é propor-cional ao gradiente de velocidade na direção perpendicular a essas camadas.Por outro lado existem os fluidos não newtonianos, nos quais a viscosidadenão é independente da tensão de corte e esta não apresenta proporcionali-dade direta com a deformação, pelo que podem não ter uma viscosidade bemdefinida [7].

2.5.2 Fluido ideal

Esta teoria baseou-se na hipótese do fluido ideal, aquele com viscosidadenula. Por essa definição conclui-se que é um fluido que escoa sem perdasde energia por atrito. É claro que a maioria dos fluidos não possuem essapropriedade, no entanto por vezes é importante admitir essa hipótese [8].

Newton via o escoamento de um fluido como uma corrente retilínea euniforme de partículas que, ao chocar contra um obstáculo com uma certainclinação, transferia para este a sua componente normal da quantidade demovimento (ou momento linear), permanecendo a componente tangencialinalterada.

Há ainda que destacar D´Alembert (1717-1783), Clairaut (1713-1765) eEuler (1707-1783) que, juntamente com Bernoulli (1700-1782), lançaram asbases da hidrodinâmica em que Euler estabeleceu as equações de equilíbriodinâmico (usadas em situações na qual a viscosidade do fluido pode serdesprezada).

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2.6 Fluido ou escoamento incompressível

Um fluido é incompressível se o seu volume não variar ao modificar-sea pressão. Isto implica o facto de que, se o fluido for incompressível, a suamassa específica não variará com a pressão.

É claro que na prática não existem fluidos com estas condições. Os lí-quidos, porém, têm um comportamento muito próximo a este e na prática,normalmente, são considerados como tal. Mesmo os gases em certas con-dições, em que não são submetidos a variações de pressão muito grandes,podem ser considerados incompressíveis. Um dos exemplos práticos é o es-tudo da ventilação em que, em geral, esta hipótese é aceitável. Sempre que aolongo do escoamento a variação da massa específica for desprezável, o estudodo fluido será efetuado pelas leis estabelecidas para fluidos incompressíveis.

2.7 Compressibilidade

Toda a matéria é de um certo modo compressível, ou seja, uma tensãode compressão aplicada numa determinada quantidade de substância pro-duz sempre uma alteração de volume. A compressibilidade é a medida davariação de volume em função da pressão e é definida pela seguinte equação:

β = − 1

V

∂V

∂p(3)

Em que β é a compressibilidade, V o volume e p a pressão. O inverso corres-ponde ao módulo de elasticidade, E e traduz-se na resistência à compressãoque uma substância apresenta. O valor de E em sólidos, é de forma geralsuperior ao dos líquidos e o destes superior ao dos gases. ´

2.8 Gás perfeito

No modelo dos gases perfeitos podemos ignorar as forças intermolecula-res, ou seja, podemos ignorar as complicações que surgem devido às forçasde Van der Waals. Segundo este modelo o gás é constituído por moléculasque estão em constante movimento aleatório, as colisões entre estas são pu-ramente elásticas e o volume das mesmas é desprezável quando comparadocom o volume do gás. Estes seguem a lei dos gases ideais:

PV = nRT. (4)

Nesta equação P corresponde à pressão, V ao volume, n ao número de molese R = 8, 314KJkmol−1K−1 à constante dos gases ideais. A maioria dosgases obedecem muito proximamente a esta relação quando submetidos atemperaturas e pressões que os mantêm afastados do estado liquido. Assim,sabendo três destas variáveis, é possível descobrir a que falta. [9]

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2.9 Escoamento laminar e turbulento

Escoamento laminar é aquele em que as partículas se deslocam em lâ-minas individualizadas, sem troca de massa entre elas. É o menos comumna prática, mas pode ser visualizado num fio de água duma torneira poucoaberta ou no início da trajetória seguida pelo fumo de um cigarro (já que auma certa distância dele notam-se movimentos transversais).

Figura 4: Escoamento Laminar. [10]

Escoamento turbulento é aquele em que as partículas apresentam um mo-vimento aleatório macroscópico, isto é, a velocidade apresenta componentestransversais ao movimento geral do conjunto do fluido, como a difusão deuma gota de corante ao cair na água.

Figura 5: Escoamento Turbulento. [10]

Reynolds (1883) verificou que o facto de o movimento ser laminar outurbulento depende do valor do número adimensional dado por [11] :

Re = ρvLµ−1, (5)

em que L é a dimensão linear característica do objeto, e µ é a viscosidadedinâmica, parâmetro que reflete a resistência do fluído à deformação, v a ve-locidade e ρ a densidade. O tipo de escoamento depende de cada uma destasgrandezas. Reynolds verificou que, no caso dos tubos, seriam observados osseguintes valores:

Re < 2.000 Escoamento laminar2.000 < Re < 2.400 Escoamento de transiçãoRe > 2.400 Escoamento turbulentoA superfícies diferentes correspondem intervalos de diferenciação de regi-

mes turbulentos, a partir do número de Reynolds, diferentes. O escoamentoem asas de aviões torna-se turbulento apenas a partir da ordem de 107.

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3 Mecânica dos Fluidos aplicada aos Automóveis

Com a produção em escala de automóveis, aumentou o interesse em fazê-los mais velozes, eficazes, eficientes e ecológicos. Tanto devido à competiçãoeconómica entre entidades produtoras, como à vontade generalizada de avan-ços tecnológicos, ou, mais atualmente, graças às preocupações ambientais.Aumentou a necessidade de criar modelos de engenharia que auxiliassemnesse processo de otimização. Passou a ser crucial prever a performance edurabilidade de um veículo logo na fase de projeto e em testes de fábrica, par-ticularmente explorando expressões matemáticas capazes de prever o com-portamento do automóvel relativamente à sua interação com a atmosferanum movimento a altas velocidades. Então, passou-se a usar modelos físicosque, com apenas algumas variáveis, fossem capazes de estudar o sistema com-plexo, quase caótico da ação atmosfera-automóvel: A mecânica dos fluidos,especialmente a aerodinâmica. Um veículo em movimento desloca o ar emseu redor, logo, pela terceira lei de Newton, também é alvo da aplicação deforças. Considerando um instante cinemático do carro podemos estabelecertrês direções de atuação: longitudinal, vertical e transversal. Em cada umadestas é necessário assegurar as condições de performance e de segurança doveículo.

3.1 Resistência Aerodinâmica

Considerando, neste problema, uma condução e comportamento regularde um carro, isto é, sem deslizamento lateral das rodas (drifting); na dire-ção da velocidade do veículo, a que chamamos de longitudinal, atuam asforças que agem em prol ou contra o movimento do primeiro. Para umaanálise completa é necessário considerar o atrito com o solo, a propulsão, agravidade, etc. Mas na ótica da mecânica dos fluidos o foco é na força dearrastamento (drag).

O arrastamento, também conhecido como resistência aerodinâmica, é umtipo de atrito que atua em resposta a um movimento através de um fluido,neste caso o ar. Existe na forma de interação fluido-fluido, contudo, noproblema do automóvel, é uma força de contacto gás-sólido. O ar acumula-se à frente da viatura devido ao choque cinético gerando uma zona de altapressão, que se opõe à baixa pressão na sua traseira. Existe um gradientede pressões e, consequentemente, uma força para trás. [12]

A velocidade a que o veículo se desloca influencia positivamente a energiada colisão com o ar e, consequentemente, juntamente com a área afetada,contribui para a pressão daí resultante. A densidade do ar, que pode serconsiderada constante neste caso, também é um fator contribuinte. Paraalém disso, o formato e acabamento da superfície do carro determinam amaneira como a interação com a atmosfera procede na escala vetorial naperturbação do fluxo do ar [14]. O modelo matemático que descreve esta

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Figura 6: Gradiente de Pressão e Resistência Aerodinâmica. [13]

força tem em conta estes fatores.

FD =1

2ρv2CDA, (6)

em que FD é a força de arrastamento, ρ é a densidade do fluido (ar),v é a velocidade relativa entre o ar e o objeto, A é a área perpendicularao movimento, e CD é o coeficiente de arrastamento. As propriedades doobjeto relativamente ao seu acabamento superficial (rugoso/liso etc.) e for-mato (retangular, curvo, etc.), juntamente com o tipo e particularidades doescoamento (laminar/turbulento, viscosidade, etc.) refletem-se neste últimoparâmetro CD, que como é de esperar é função do número de Reynolds, Re.Quanto maior o número de Reynolds menor o coeficiente de arrastamento.Note-se que para o ar a dependência entre o resistência aerodinâmica e avelocidade é quadrática, contudo para fluidos mais viscosos e laminares arelação é assintoticamente linear, devido à proximidade entre o coeficientede drag e o inverso do número de Reynolds. CD = f(Re) −→ Re−1. [15]

Figura 7: Ferrari 166 S de 1948. [16]

A maneira como o ar flui à volta do carro quando este se move traduz-se matematicamente no CD e, fisicamente, no efeito e magnitude do drag.Então os engenheiros procuraram soluções para fazer os veículos mais aero-dinâmicos. Isto é, otimizar o formato e atributos das superfícies dos carros,de modo a desviar o ar verticalmente e para os lados com o mínimo de força.É comum na natureza o formato de fuso em animais que se desloquem emfluidos, exemplos disso são o carapau que se desloca agilmente no mar e o

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falcão no seu voo acelerado de caça. Seguindo os ensinamentos da evoluçãobiológica, e a intuição humana, os primeiros carros aerodinâmicos (figura 7)eram alongados, curvos e lisos, sem grandes superfícies perpendiculares aomovimento.

Desta forma o ar era capaz de acompanhar o perfil do automóvel quasesem ser perturbado devido ao efeito Coandă, que consiste nessa mesma pre-disposição de uma lâmina fluída em acompanhar um perfil curvo. [17]

Figura 8: Ilustração do Efeito Coandă. [18]

Um automóvel aerodinâmico incorpora as luzes na carroçaria sem pontosangulosos. Emprega formas arredondadas (streamlining), por exemplo. Nãotem bordas afiadas que cruzem o fluxo de ar acima do pára-brisas e contacom uma espécie de cauda (fastback, kammback, etc.). Dispõe de jantesadequadas, embora os carros de corrida utilizem o fluxo pelas rodas paraarrefecimento dos travões. A suspensão deve estar retraída ou protegida. Asmaçanetas, antena, barras do tejadilho, etc. têm uma forma simplificada. Osespelhos laterais devem possuir uma carenagem (um formato aerodinâmicode peito de pássaro, tal como o casco de uma embarcação) rodada. Em opo-sição a desviar o ar eficazmente, também se pode aproveitar o ar que colidecom o veículo. Entra por grelhas na frente da viatura de onde é direcionadopara pontos-chave. É utilizado para a refrigeração de diversos componentes,principalmente o motor, para além disso possibilita e rentabiliza a combus-tão do combustível, e ainda serve para a ventilação natural dos passageiros.Depois, é acelerado e ejetado por debaixo do carro. [19]

Para ilustrar a influência do design no CD com valores concretos, abaixoestá uma pequena tabela com objetos e veículos e o seu coeficiente de arras-tamento associado.

Cubo 1,05Esfera 0,47

Gota de água 0,05Tesla Model X 0,24Toyota Prius 0,25Nissan 350Z 0,31

Porém carros caracterizados por CD

inferiores podem sofrer mais resistênciaaerodinâmica por serem de maiores di-mensões. Exemplos disso são o Tesla Mo-del X e o Nissan 350Z com áreas de 2,59m2 e 1,94 m2 respetivamente. O pri-meiro tem menor coeficiente de arrasta-mento, mas o produto CDA, denominadode Drag Area é superior. Logo, para uma

mesma velocidade de cruzamento sofre mais a influencia do drag, como a ex-pressão matemática correspondente (6) o sugere.

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3.2 Sustentação

Na direção normal à superfície em que se desloca o carro age o peso,a reação normal e a força de sustentação. Neste eixo é crucial promover omáximo contacto com o solo de modo a garantir a tração e a estabilidadedo veículo. Em termos de aerodinâmica queremos gerar lift negativo, oudownforce, em oposição do que se pretende para um avião. Então deve-serecorrer a antissimetrias no formato do carro que anulem a sustentação ouque a invertam. O objetivo é diminuir a pressão sob o carro e aumentar aque se encontra em cima. Exemplos de dispositivos com o efeito são: spoilerscom difusor, side-skirts, asas dianteira e traseira, etc. Tal como no problemaanterior, existe um modelo matemático que tenta o explicar. A sustentaçãoé dada em função do coeficiente de sustentação, como mostra a equação:

FL =1

2ρv2CLA (7)

Onde FL é a força de sustentação e CL o coeficiente de sustentação (adimen-sional).

Figura 9: Fluxo do ar ao longo do veículo e forças aerodinâmicas. [20]

3.3 Princípio de Bernoulli

Dado pela fórmula abaixo (8), o princípio de Bernoulli postula que paraum determinado volume de ar, quanto maior a velocidade das moléculas dear, menor a pressão. Da mesma forma, para um determinado volume de ar,quanto menor a velocidade do escoamento, maior a pressão.

v2

2+ gh+

p

ρ= cte (8)

De acordo com o princípio de Bernoulli, Isso se aplica ao ar em movimentoatravés de um corpo imóvel ou a um veículo em movimento, movendo-se atra-vés do ar relativamente parado. A forma do corpo cria força de sustentaçãoe descida do fluxo de ar. O arrastamento é cumulativo quando o ar flui dafrente para a traseira do veículo, como ilustra a figura 9.

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À medida que o ar passa pelo capô do carro, perde a pressão, mas quandochega ao para-brisa, volta a deparar-se com uma barreira e atinge brevementeuma pressão mais alta. A área de menor pressão sobre o carro cria umapequena força de levantamento que age sobre o capô (como se o tentassearrancar do carro). A área de pressão mais alta na frente do para-brisa criadownforce. É importante acrescentar que a parte de baixo do carro tambémé responsável pelo jogo entre lift e downforce. Se a extremidade dianteira deum carro for menor do que a extremidade traseira, a parte frontal restringiráo fluxo de ar sob o carro e a diferença crescente entre a parte inferior e aestrada criará uma área de baixa pressão. Se houver pressão de ar neutra oumais alta acima do carro, então obteremos downforce devido à diferença napressão acima e abaixo do carro. [21]

Figura 10: Sustentação Negativa. [22]

3.4 Spoilers e Wings

Os spoilers produzem downforce criando uma barreira na parte traseirado tronco, elevando a pressão do ar sobre ela. Onde existe um vazio deixadopela janela traseira, um spoiler pode ajudar a restaurar a pressão atrás dajanela. O uso de spoilers na frente do carro restringe o fluxo de ar para a zonainferior do carro. Isso cria uma área de menor pressão abaixo do veículo,efetivamente fornecendo downforce. Em muitos casos, uso de spoilers nafrente do carro (Air Dam), também reduz o seu CD. As asas (wings) são aversão invertida do que se encontra em aeronaves. Elas trabalham de formaeficiente e em formas menos agressivas, geram mais sustentação negativa doque o arrastamento, por isso são usados em muitos circuitos de corrida e porfabricantes de carros de alto desempenho. As asas são posicionadas em áreasque têm um fluxo de ar direcionado para elas.

O vácuo traseiro citado acima, é causado pelo vazio deixado pelo arquando um carro passa por ele. Esta incapacidade de preencher o vácuodeixado pelo carro é tecnicamente chamada de descolamento de fluxo. Odescolamento de fluxo aplica-se somente à porção de “vácuo traseiro”, é umaparte da força de arrastamento, e tem um efeito negativo cada vez maiorà medida que a velocidade do carro aumenta. Na verdade, o arrastamentoaumenta com o quadrado da velocidade do carro, portanto, mais e maispotência é necessária para impulsionar um carro pelo ar à medida que suavelocidade aumenta. [23]

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3.5 Vento Lateral

Na direção lateral as forças aerodinâmicas que mais influenciam a estabi-lidade e performance do automóvel são derivadas da ação do vento. Lida-secom este problema equilibrando-se, na engenharia das dimensões do carro,a sua altura e largura, e dessa forma os momentos de força que nele atuam.

3.6 CFD

Visto que as equações cinemáticas e os equilíbrios termodinâmicos sãomuito difíceis de resolver, recorre-se cada vez mais à dinâmica dos FluidosComputacional (CFD - computational fluid dynamics) como auxiliar de en-genharia. É um ramo da mecânica dos fluidos que usa análise numérica eestruturas de dados para explorar e resolver problemas que envolvam fluxosfluidos. Recorre-se a computadores para realizar os cálculos necessários parasimular o escoamento livre e a interação desse mesmo com as superfíciesdefinidas por condições limite. Com supercomputação de alta-velocidade,melhores soluções são alcançáveis, logo é muito utilizada na resolução dosproblemas mais complexos. A geometria do problema pode ser definida comprogramas de desenho computacional (CAD - computer aided design). Daíos dados são processados (cleaned-up) e o volume ou domínio fluido é ex-traído. Esse volume é dividido em células discretas (mesh) com distribuiçãoque pode ou não ser uniforme. O modelo físico é definido com, por exem-plo, equações de movimento fluido (Navier-Stokes, a ser estudado adiante),equilíbrios de entalpia e leis de conservação (massa, energia, momento). Ascondições fronteira são definidas. Isso requer a especificação do comporta-mento do fluido e as propriedades as superfícies de interface. A simulaçãoinicia e as equações são resolvidas de modo iterativo e recursivo, finalmenteem pós-processamento visualizam-se os resultados.

Figura 11: Exemplo de renderização obtida por CFD. [24]

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3.7 Energia e Otimização

A otimização visa atingir melhor segurança (veículos mais estáveis), maisperformance e economia. Para atingir as mesmas velocidades de circulação,é necessário fornecer menos potência (P = Fv) e alcançam-se superioresdistâncias de autonomia, poupando-se combustível e/ou eletricidade. Atual-mente o estudo para o desenvolvimento é à base de testes de alta velocidadeem túneis aerodinâmicos, jatos concentrados de ar e, cada vez mais, emsimulações computacionais (CFD). Comparando os formatos dos carros atu-ais aos passados, conclui-se facilmente o papel da mecânica dos fluidos nessaevolução.

4 Mecânica dos Fluidos aplicada à Aviação

O desenvolvimento da aviação e o aparecimento de veículos capazes deviajar a velocidades iguais ou superiores à velocidade do som trouxe no-vos desafios e problemas que ainda hoje estão a ser estudados. Um aviãomantém-se no ar devido à forma como o ar em alta velocidade passa pelassuas asas. O comprimento da asa na parte superior é maior do que na in-ferior, devido à existência de uma curvatura, e vai ser acelerado nesta, logona parte superior a pressão vai ser inferior à pressão na parte inferior. Estadiferença de pressões gera assim sustentação que permite o avião permanecerno ar. No entanto, devido à possibilidade de circular a velocidades supersó-nicas, é necessário ter em atenção outros fatores, isto não esquecendo aquelesque normalmente já são tidos em conta,como por exemplo a camada limite.[25]

4.1 Camada limite

Quando um objeto se move através de um fluido ou vice-versa, as mo-léculas do fluido junto do objeto são perturbadas e movem-se à volta deste,o que gera de forças aerodinâmicas. A magnitude destas depende da formado objeto, da velocidade, da massa de fluido e também da viscosidade e dacompressibilidade do mesmo. Quando o fluido se desloca junto do objeto,as moléculas perto da superfície colam-se a esta. As que se encontram umpouco acima perdem velocidade, devido à colisão com as que ficaram coladase por sua vez as acima destas vão também colidir e perder velocidade, e assimsucessivamente. Isto cria uma fina camada de fluido perto da superfície naqual a velocidade altera-se desde zero, perto da superfície, para a velocidadedo escoamento afastada da superfície. Esta é chamada a camada limite.

A altura da camada limite depende do número de Reynolds, logo, daviscosidade e da distância ao bordo da superfície. O número de Reynoldsaumenta com a distância ao bordo da superfície, ou no caso dos aviões,ao bordo de ataque. O escoamento na camada limite pode ser laminar ou

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turbulento, sendo que no caso do escoamento turbulento, a altura da camadalimite é superior comparativamente a um escoamento laminar. Inicialmente,perto do bordo de ataque, o escoamento é laminar e o número de Reynoldsvai aumentando, passando a um escoamento de transição e, por fim, aoatingir o valor crítico da ordem de 107 (explicitado na secção 2.9) passa aser turbulento. [26]

A separação da camada limite do objeto é algo que pode acontecer. Istoocorre pois o escoamento na camada tem energia baixa relativamente aoescoamento livre e é mais suscetível a ser alterado devido a variações napressão. A diminuição de velocidade na região traseira do perfil alar vai levara que exista um aumento de pressão nesta zona. A camada limite vai tentarcombater este fenómeno, pelo que as partículas vão perder energia ou, após oponto de separação, inverter a direção do escoamento. A baixa energia levaà separação da camada limite, criando-se assim uma zona de baixa pressão(wake). A grande diferença de pressão entra o bordo de ataque e bordo defuga vai gerar resistência de pressão que se pode tornar problemática. Devidoa isto, é necessário ter em conta certos aspetos na conceção de aeronavese recorrer a métodos para anular ou atrasar a separação. Pode-se forçar aexistência de um regime turbulento visto que estes têm mais energia, fornecerenergia cinética às partículas da camada limite ou retirar as partículas combaixa energia cinética. [27]

Figura 12: Camada limite e a separação desta da superfície do avião. [28]

4.2 Número de Mach

O número de Mach, uma grandeza adimensional, corresponde à razãoentre a velocidade a que um objeto se move e a velocidade do som.

M =v

c. (9)

Em que v corresponde à velocidade a que um objeto se desloca, c à velocidadedo som(c =

√γRT , em que γ é o índice adiabático, R a constante dos gases e

T a temperatura absoluta) e M ao número de Mach. Velocidades inferiores àvelocidade do som correspondem a números de Mach entre 0 e 1 e velocidadessuperiores a c possuem um número de Mach superior a 1. O fluido só pode ser

14

considerado incompressível para velocidades muito menores que a do som(Maproximadamente igual a 0.3«1). [29]

Quando o escoamento passa de um número de Mach superior a um paraum número de Mach inferior a um o ar comprime-se, existindo uma ondade choque normal, ou seja, uma onda normal à direção do escoamento. Masse o número de Mach ao diminuir, mesmo assim, permanecer acima de um,estamos na presença de uma onda de choque oblíqua, que corresponde a umaonda em que o ângulo entre esta e a direção do escoamento é diferente de90º. O nariz e as asas do avião causam esse tipo de onda de choque. [30]

4.2.1 Número de Mach crítico

O Número de Mach crítico de uma aeronave corresponde ao M mínimoem que o escoamento do ar, num determinado ponto da aeronave, atinge avelocidade do som, mas não a excede. De facto, a aeronave pode não estar avoar à velocidade do som, mas o escoamento sim, numa região da aeronave.Quando M>Mcrit surgem ondas de choque normais ao escoamento que o vãoalterar. A sua velocidade vai diminuir, passando para um regime subsónico.[30]

4.2.2 Escoamento Isentrópico

Um escoamento isentrópico é um escoamento adiabático e reversível. Emescoamentos compressíveis, nos quais as variações são pequenas e graduais,estamos na presença de um processo reversível e entropia constante, ou seja,de um processo isentrópico. Um exemplo deste tipo de processo correspondeà formação de ondas sonoras. Neste caso as alterações no escoamento sãodadas pelas relações isentrópicas. (Figura 15 em anexo) No entanto, quandoestamos na presença de um objeto que se move mais rápido do que a veloci-dade do som, devido às alterações repentinas no escoamento, encontramo-nosperante um processo irreversível em que a entropia aumenta, como acontecena formação de ondas de choque. Neste caso o escoamento vai ser ditadopelas equações das ondas de choque normais ou oblíquas. [31]

4.3 Ondas de Choque

Uma onda de choque é uma região muito fina de um escoamento produ-zida por um objeto que se desloca a velocidade próxima,igual ou superiorà velocidade do som, como por exemplo, um barco ou um avião. Tal comooutros tipos de onda, transporta energia e pode-se propagar através de qual-quer meio. No entanto, esta onda é caraterizada por uma abrupta e quasedescontinua alteração de pressão, temperatura e densidade do meio. No casodas ondas de choque formadas por uma explosão ou o estampido sónico deuma aeronave, o choque é seguido por uma expansão que retorna o ar àssuas condições normais. [32]

15

Ao passar através de uma onda de choque, o número de Mach e a velo-cidade do fluido diminuem, enquanto que a pressão estática, a densidade e atemperatura aumentam.

4.3.1 Formação

Sempre que um objeto, ou perturbação, se desloca mais rápido do que avelocidade a que a informação se propaga nesse meio, o fluido que circundaesse mesmo objeto não consegue receber a informação sobre a aproxima-ção do mesmo antes que ele choque contra si, o que provoca uma alteraçãoabrupta das propriedades do fluido (temperatura, densidade, pressão, velo-cidade).Isto é o que acontece no caso em que o avião se desloca a uma ve-locidade supersónica, gerando assim uma onda de choque. Contrariamente,quando um avião se desloca a uma velocidade subsónica, as variações napressão causadas pelo mesmo são pequenas e possuem a velocidade do som.Assim, o ar que se encontra à frente do avião recebe a informação de queeste se está a deslocar e consegue contornar a aeronave sem que exista aformação de ondas de choque.

Quando a velocidade de uma fonte emissora de ondas é igual à velo-cidade do som, a fonte vai estar sempre na frente das ondas que produz,logo vai ocorrer a acumulação de ondas que formam uma “barreira do som”,perpendicular ao escoamento, de grande amplitude que torna o voo a es-tas velocidades difícil e arriscado pois a resistência do ar aumenta bastante,enquanto a manobrabilidade e sustentação diminuem. Quando o objeto ul-trapassa a velocidade do som, a fonte vai estar sempre à frente das ondas queproduz, gerando-se uma região de influência chamada cone de Mach, cujovértice corresponde ao corpo. A fronteira do cone forma uma onda supersó-nica com uma amplitude bastante elevada que corresponde a uma onda dechoque. Quando esta atinge um observador é ouvido um estampido sónico,um som bastante elevado resultante de um som de elevada pressão seguidopor um de baixa pressão. (Figura 13)

Figura 13: Ondas emitidas por um objeto a velocidade subsónica e outro asupersónica(formação cone de Mach). [33]

16

Uma onda de choque propaga-se com direção radial e velocidade c, fi-cando assim com um raio c×t. A fonte dessa mesma onda desloca-se paraa frente com uma velocidade v, deslocando-se v×t. Desta forma, obtém-seum triângulo retângulo, em que estes deslocamentos correspondem, respeti-vamente, a um cateto e à hipotenusa, que pode ser utilizado para determinaro ângulo de Mach, sinθ = c

v (Figura 13)Se a velocidade de uma aeronave, por exemplo, for inferior à velocidade

do som, a razão entre c e v é superior a 1 e a equação não tem uma soluçãoreal, o que está de acordo com o esperado pois a estas velocidades não existeonda de choque. Se v=c, então o ângulo corresponde a 90º, o que está emconcordância com o que foi anteriormente enunciado. Através da expressãopodemos observar que quanto maior for a velocidade do objeto, menor vaiser a abertura do cone. Assim, é possível determinar a velocidade de umobjeto supersónico recorrendo ao ângulo de Mach. [34]

4.3.2 Equações da onda de choque normal

Partindo das equações de conservação de massa (continuidade, na equa-ção 18), momento (equação 19) e energia (equação 20), da equação dos gasesperfeitos (equação 4) e da definição do Número de Mach (equação 22) épossível deduzir as equações que descrevem as alterações que ocorrem nofluído ao passar através de uma onda de choque, considerando um escoa-mento compressível e ignorando a viscosidade. Neste caso consideramos 1a zona em que o fluido se desloca antes da onda de choque e 2 como a re-gião após atravessá-la. Sabendo que: γ-índice adiabático, p-pressão estática,pt-pressão total, ρ-densidade, Tt-temperatura total, T-temperatura estática,M-número de Mach;

Através da onda de choque, o número de Mach decresce para um valorM2 dado por:

M22 =

(γ − 1)M21 + 2

2γM21 − (γ − 1)

, (10)

A temperatura total mantém-se constante.A temperatura estática,ou seja, a temperatura do fluido quando este está

parado, aumenta da seguinte forma,

T2T1

=[2γM2

1 − (γ − 1)][(γ − 1)M21 + 2]

(γ + 1)2M21

, (11)

A pressão estática aumenta para:

p2p1

=2γM2

1 − (γ − 1)

γ + 1, (12)

A densidade vai ser alterada,

ρ2ρ1

=(γ + 1)M2

1

(γ − 1)M21 + 2

, (13)

17

A pressão total diminui, sendo esta variação descrita por:

pt2pt1

=

[(γ + 1)M2

1

(γ − 1)M21 + 2

] γγ−1[

(γ + 1)

2γM21 − (γ − 1)

] 1γ−1

, (14)

Todas estas equações são apenas dependentes de M1, logo sabendo este épossível determinar todas as condições associadas à onda de choque normal.[35]

Relativamente às ondas oblíquas, as equações que as descrevem são seme-lhantes às anteriores mas também têm em consideração o facto de existir umângulo diferente de 90º entre a direção do escoamento e a onda de choque.(Figura 16 em anexo) [36]

4.3.3 Captura e Deteção de ondas de choque

Detetar e Capturar ondas de choque é importante visto que estas causamresistência extra, o que provoca a necessidade de ser necessária mais potênciapor parte dos motores e também a separação do escoamento da superfícieda asa o que vai alterar a pressão à volta da asa e consequentemente podecausar uma perda de sustentação e várias situações de instabilidade.

Esta área encontra-se ainda em desenvolvimento, sendo que recente-mente, a agência espacial norte-americana, a NASA, foi capaz de fotografarpela primeira vez na história a interação entre ondas de choque de dois aviõessupersónicos (Figura 14). Captaram também imagens de uma única aero-nave e nesta, as ondas de choque assemelham-se a linhas retas, que formamum cone à volta da aeronave.

Para tal, recorreu a uma tecnologia avançada, que esteve em desenvolvi-mento durante dez anos e vai ser também utilizada para obter dados para oprojeto da aeronave X-59 QueSST da NASA, que vai ser supersónica, mascujas ondas de choque, invés de emitirem um estampido sónico, vão emitirapenas emitir um ruído leve, o que permitirá que aeronaves supersónicassejam capazes de sobrevoar junto da terra, algo que não é possível devido àsrestrições atualmente em vigor. [37]

Figura 14: Imagens capturadas pela Nasa que mostram a interação entre asondas de choque de suas aeronaves. [37]

18

5 Equação de Navier-Stokes

O modelo matemático mais completo usado para resolver os problemasde mecânica dos fluidos é o que advém do conjunto de equações de Navier-Stokes. A grande vantagem deste sistema é o facto de através de simplifi-cações de engenharia ser capaz de explicar uma grande vastidão de fenóme-nos. Descreve os eventos físicos de diferentes campos de estudo, como fluxosde água em rios e oceanos, diferenças climáticas, escoamentos nas asas dosaviões, propagação de fumo e muitas outras interações no ramo.

As equações descrevem o movimento do fluido por taxas de variação(derivadas):

∂v

∂t+ (v · 5)v = −5 p+ η52 v (15)

Em casos simples, como fluidos ideais com viscosidade próxima de zero ouconsiderando o fluido incompressível a equação de Navier-Stokes pode serresolvida com facilidade. O problema desta equação é o termo não-linearv · 5v. Cria-se uma complexidade enorme e deixam de existir métodos ana-líticos possíveis. É exigido na maioria das vezes a utilização da dinâmicados fluidos computacional (CFD, discutido na secção 3.6) para resolver aequação numericamente. Em projetos de maior escala usam-se supercompu-tadores em processamento contínuo durante dias seguidos. Então frisa-se aimportância das simplificações ao modelo e de indicadores da complexidadeda resolução das equações. O número de Reynolds é um destes critérios.Para a equação de Navier-Stokes, ele é um indicador da sua resolução. CasoRe seja muito grande é extremamente árduo resolver a equação, ocorrendoquase sempre em regimes turbulentos. Então para diminuir a complexidadedas equações utilizam-se simplificações físicas:

Viscosidade Constante:

−∂p∂x

+1

3µ∂

∂x[∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z]+µ(

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2)+gxρ = ρ(

∂u

∂xu+

∂u

∂yv+

∂u

∂zw+

∂u

∂t)

(16)Escoamento Incompressível:

− ∂p

∂x+ µ(

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2) + gxρ = ρ(

∂u

∂xu+

∂u

∂yv +

∂u

∂zw +

∂u

∂t) (17)

Para resolver um problema de fluxo é necessário a resolução de todas asequações acima devido ao número de incógnitas no sistema.

As equações de Navier-Stokes são tão importantes para a resolução dosproblemas da atualidade que o Instituto Clay de Matemática oferece umprémio de um milhão de dólares para quem conseguir encontrar uma soluçãogeral para o problema. [38]

19

6 Conclusão

Como anunciado na introdução do relatório, ao longo do trabalho abor-dámos o tema de uma forma bastante mais humana do que teórica uma vezque não foram exploradas a fundo deduções matemáticas, mas sim a históriae a aplicação da mecânica dos fluidos no mundo quotidiano e na engenharia.

Como observámos, mesmo que tenha sido de forma indireta e intuitivadurante os primórdios da humanidade, a mecânica de fluidos sempre foi umadisciplina bastante importante para a sociedade, encontrando-se na base demuitos dos grandes avanços civilizacionais; exemplos são os sistemas de regae os aquedutos. Atualmente possui ainda um maior interesse, pois é atra-vés do estudo desta que poderemos ser capazes de atingir patamares antesinalcançáveis e quiçá até inimagináveis, tais como: vir a desenhar meios detransporte cada vez mais eficientes e capazes de se deslocarem a velocidadesnunca antes vistas; construir eficientes barragens hidroeléctricas e aerogera-dores otimizados para lidar com as crescentes necessidades energéticas; com-bater desastres ambientais como cheias, secas e tempestades; curar impassesfisiológicos e médicos, por exemplo problemas circulatórios e respiratórios;etc.

E nesta ciência tão jovem existem ainda muitos caminhos por explorar esoluções por inventar e descobrir. Além disso ainda há que encontrar umasolução geral para a equação de Navier-Stokes, alterando o nosso entendi-mento sobre fluidos. A mecânica dos fluidos tem estado presente da evoluçãoda Humanidade e será cada vez mais relevante. Para se ser parte deste de-senvolvimento futuro é crucial tomar conhecimento sobre o tema.

20

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23

7 Anexos

ρ1V1 = ρ2V2, (18)

p1 + ρ1V21 = p2 + ρ2V

22 , (19)

T1 +V 21

2cp= T2 +

V 22

2cp, (20)

p1p2

=ρ1T1ρ2T2

, (21)

V1V2

=

√T1T2

M1

M2, (22)

Figura 15: Equações Fluido isentrópico. [31]

24

Figura 16: Equações que descrevem o fluido ao atravessar uma onda dechoque oblíqua. [36]

Figura 17: Equações para Resolução de Navier-Stokes. [39]

25