FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA DE COMPUTAO I Lista de Exerccios I - Prof. Salvador Ramos

1. Dentre as sentenas abaixo, formalize as que forem proposies. As que no so proposies, explique porque no o so.

a) Todo homem mortal. b) Talvez v ao cinema. c) Existe um aluno em minha sala que no gosta de nenhum colega. d) Quase todo poltico desonesto. e) Adalton amigo de Joo Augusto. f) Toda regra tem exceo. g) Quase todo funcionrio da Algar um talento. h) Poucos funcionrios da Algar no so empreendedores. i) O presidente da Algar admirado por seus colaboradores. j) Voc gosta de sorvete?

2. Seja p Ele alto e seja q Ele elegante. Escreva cada uma das seguintes proposies de forma simblica: a) Ele alto e elegante b) Ele alto mas no elegante c) falso que ele baixo ou elegante d) Ele no nem alto nem elegante e) Ele alto, ou ele baixo e elegante f) No verdade que ele baixo ou no elegante.

3. Seja P Est frio e seja Q Est chovendo. Escreva uma sentena verbal para as proposies: a) ~P b) P Q c) P Q d) P Q e) P ~Q f) Q ~P g) ~P ~Q h) P ~Q i) ~~Q j) (P ~Q) P

4. Encontre o antecedente e o conseqente de cada uma das proposies a seguir. a. O crescimento sadio das plantas conseqncia da quantidade suficiente de gua. b. O aumento da disponibilidade de informao uma condio necessria para um maior desenvolvimento

tecnolgico. c. Sero introduzidos erros apenas se forem feitas modificaes no programa. d. A economia de energia para aquecimento implica boa insulao ou vedao de todas as janelas.

5. Escreva a negao de cada fbf (frmula bem formada) a seguir. a. Se a comida boa, ento o servio excelente. b. Ou a comida boa, ou o servio excelente. c. O processador rpido mas a impressora lenta.

6. Escreva as sentenas a seguir utilizando a linguagem da Lgica Proposicional. Utilize smbolos proposicionais para representar sentenas atmicas.

a) Se Maria bonita, inteligente e sensvel e se Rodrigo ama Maria, ento ele feliz. b) Se Sr. Oscar feliz, Sra. Oscar infeliz e se Sra. Grotta feliz, Sr. Grotta infeliz. c) Maurcio vir festa e Ktia no vir ou Maurcio no vir festa e Ktia ficar infeliz. d) Irei ao teatro somente se for uma pea de comdia. e) Se minha namorada vier, irei ao teatro somente se for uma pea de comdia. f) Se os preos subirem, ento haver muitas casas para vender e elas sero caras; mas se as casas

no forem caras, ento, ainda assim, haver muitas casas para vender. g) Tanto ir dormir como ir nadar uma condio suficiente para a troca de roupa; no entanto,

mudar a roupa no significa que se vai nadar. h) Vai chover ou nevar, mas no ambos. i) Se Jane vencer ou perder, vai ficar cansada. j) Ou Jane ir vencer ou, se perder, ela ficar cansada.

7. Construa tabelas-verdade para as fbfs a seguir. Note quaisquer tautologia ou contradio. a. (A B) ~A B b. (A B) C A (B C)

c. A ~(~A ~B) d. A B ~A e. (A B) [(A C) (B C)]

8. Usando o mtodo da rvore semntica ou o da negao ou absurdo, refaa o exerccio anterior.

9. Usando o mtodo da rvore semntica ou da negao ou absurdo, verifique se as frmulas abaixo so vlidas. Caso alguma no seja, identifique uma interpretao I, para a qual a frmula no vlida. F = (~P Q) ((~Q P) (P Q)) G = (((P S) P) (P P1)) ((((P Q) P) ((P R) R)) P) H = ~((P Q) R S) (P1 Q1)

10. Seja I uma interpretao tal que I[P Q] = V. O que se pode deduzir a respeito dos resultados das interpretaes a seguir? a) I[~P Q] b) I[P ~Q] c) I[Q P] d) I[(P R) (Q R)]

11. Seja H a frmula a seguir e I uma interpretao. H = ((P Q) (((P Q) P) ((P Q) Q))) P

a) Se I [P] = F o que se pode concluir a respeito de I[H]? b) Se I[P] = V o que se pode concluir a respeito de I[H]?

12. Seja I uma interpretao e a frmula H = (P Q). a) Se I [H] = V, o que se pode concluir a respeito de I [P] e I [Q]? b) Se I [H] = V e I [P] = V, o que se pode concluir a respeito de I [Q]? c) Se I [Q] = V, o que se pode concluir a respeito de I [H]?

13. Considere o seguinte pseudocdigo: repita

i = 1 leia o valor de x se ((x < 5,0) e (2x < 10,7)) ou ( x5 > 5,1) ento

escreva o valor de x fim do se aumente i de 1

at i > 5 Repita o algoritmo para cada um dos valores de entrada: 1,0; 5,1; 2,4; 7,2 e 5,3. Qual o valor de sada para cada valor de entrada?

14. Utilize os princpios da Lgica Proposicional para responder a seguinte questo. Suponha que a afirmao a seguir verdadeira.

Se Jlio ama Simone, ento Jlio um sortudo. A partir deste fato, o que se pode concluir a respeito da afirmao a seguir? Se Jlio no ama Simone ou um sortudo, ento ele ama Simone ou um sortudo.

15. Verifique so logicamente vlidos os argumentos: a) Se Fidel comunista, ele ateu. Fidel ateu, portanto ele comunista.

b) Se Fernandinho ganhar as eleies, a corrupo aumentar se a impunidade permanecer alta. Se Fernandinho ganhar as eleies, a impunidade permanecer alta. Portanto, se Fernandinho ganhar as eleies, a corrupo aumentar.

c) Se os investimentos em Uberlndia permanecerem constantes, os gastos da prefeitura aumentaro ou crescer o desemprego. Se os gastos da prefeitura no aumentarem, os impostos municipais podero ser reduzidos. Se os impostos municipais forem reduzidos e os

investimentos em Uberlndia permanecerem constantes, no haver desemprego. Portanto, os gastos da prefeitura no aumentaro.

16. Considere as fbf: F = (P Q) (P Q) G = P ~(P (P Q)) H = P (P Q) Diga se so verdadeiras as seguintes afirmaes: a) F G b) F ( P Q) c) H G d) F H

17. Utilizando o mtodo dedutivo da lgica proposicional, prove os seguintes argumentos: a) ~A B (B (A C)) C b) ((C D) C) ((C D) D) c) (A B) (A ( B C) ) (A C) d) (A (B C)) (A ~D) B (D C) e) ((P Q) (~Q ~P) f) Se o programa eficiente, executa rapidamente. Ou o programa eficiente ou tem algum erro.

Mas o programa no executa rapidamente. Logo, ele tem um erro. (Use as letras E, R, B) Para os exerccios seguintes, considere: C - A concluso deste argumento correta. S - Este argumento correto P - As premissas deste argumento so verdadeiras. V - Este argumento vlido.

g) Este argumento no incorreto. Portanto, este argumento correto. h) Este argumento correto. Portanto, este argumento no incorreto. i) Este argumento correto se e somente se todas as suas premissas forem verdadeiras. Mas nem

todas as suas premissas so verdadeiras. Portanto, ele incorreto. j) Se este argumento for vlido e todas as suas premissas forem verdadeiras, ento ele ser

correto. Se ele for correto, ento a sua concluso ser verdadeira. Todas as suas premissas so verdadeiras. Portanto, se este argumento for vlido, ento a sua concluso ser verdadeira.

18. Considerando R uma r, V verde e S est saltitando, formaliza as sentenas a seguir: a) Toda coisa uma r. b) Existem rs verdes. c) Todas as rs so verdes. d) Todas as rs esto saltitando. e) Somente rs so verdes. f) Nenhuma r verde.0 g) Nenhuma r est saltitando. h) Alguma r est saltitando. i) Qualquer coisa que est saltitando uma r. j) Se nada verde, ento no existem rs verdes. k) Ou qualquer coisa uma r ou nada uma r. l) Existem rs que so verdes e no esto saltitando.

19. Determine o valor lgico das fbf abaixo, sendo o conjunto dos inteiros o conjunto universo, e a interpretao Ix x impar, Mx x < 0 e Nx x > 5":

a) x(Ix) b) x(Ix) c) x(Mx Nx) d) x(Mx Nx) e) x(Ix Nx)

20. Sendo o conjunto universo o conjunto dos nmeros inteiros (conjunto Z), qual o valor lgico das fbf a seguir: a) x,y(x + y = x) b) y,x (x + y = x) c) x,y(x + y = 0) d) y,x (x + y = 0)

21. Formalize os enunciados abaixo, de acordo com a Lgica de Predicados: a) Ana estudante b) Ana e Marcos so estudantes c) Ou Ana estudante ou Marcos enfermeiro. d) Marcos ama a si prprio e) Ana ama Marcos f) Existe algum que Marta no ama. g) Marta ama todo mundo h) Todo mundo amado por algum i) Qualquer pessoa ama a si mesma j) SE Marcos ama a si prprio, ento ele ama alguma pessoa. l) Se Marcos no ama a si prprio, ento ele no ama ningum.

22. Prove por induo matemtica, que as proposies a seguir so verdadeiras para todo inteiro n positivo:

a) b) )12()34(...951 =++++ nnn c) 6

)2)(1(2

)1(...631 ++=+++++ nnnnn

d) 4

)1(...21

22333 +

=+++nn

n

e) 6)72)(1()2(...534231 ++=+++++ nnnnn

f) Prove que a soma dos n primeiros termos de uma progresso geomtrica, de termo inicial

a e razo r :r

araarara

nn

=+++ 1

...

1

g) 1)1(1

...

541

431

321

211

+=

+++

+

+

+ n

n

nn

h) 2

)1(55...15105 +=++++ nnn

i) 2)1()1()1(...4321

1212222 +

=++++

nnn

nn

j) 12 +> nn , para n 2 k) 1052 +> nn para n > 6 l) 22 nn > para n 5 m) 123 n divisvel por 7 n)

nn 27 divisvel por 5 o)

nn 613 divisvel por 7 p) 215 52 ++ + nn divisvel por 27 q)

nn 613 divisvel por 7

r) n3 n divisvel por 3

23. Escreva os cinco primeiros valores de cada seqncia abaixo: k) A(1) = 2

A(N) = 1/ A(n 1), para n 2 l) B(1) = 1

B(n) = B(n 1) + 1/n, para n 2.

24. D uma definio recorrente para: m) a operao fatorial de n (n!), para n 1 n) a adio de dois inteiros no negativos. o) a multiplicao de dois nmeros inteiros no negativos.

25. Desenvolva um algoritmo recorrente para somar os valores inteiros armazenados em um vetor.

26. Resolva as relaes de recorrncia abaixo: p) S(1) = 5

S(n) = S(n 1) + 5, para n 2 q) T(1) = 2

T(n) = 2T(n 1) + 2n, para n 2 r) A(1) = 1

A(n) = 2A(n 1) + 1, para n 2 s) S(1) = 1

S(n) = S(n 1) + 2n 1 para n 2

27. Os primeiros membros da Associao de Pitgoras definiram nmeros poligonais como sendo o nmero de pontos em determinadas configuraes geomtricas. Os primeiros nmeros triangulares so 1, 3, 6, e 10.

Pede-se encontrar e resolver uma relao de recorrncia para o n-simo nmero triangular.

28. Os primeiros nmeros pentagonais so: 1, 5, 12, 22. Encontre e resolva uma relao de recorrncia para o n-simo nmero pentagonal.

29. Escreva o corpo de uma funo recorrente para calcular S(n), onde S a seqncia dada: t) 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ... u) 2, 4, 16, 256, ... v) 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... w) 1, 3, 9, 27, 81, ... x) p, p q, p + q, p 2q, p + 2q, p 3q, ...

30. Uma colnia de morcegos contada a cada dois meses. As quatro primeiras contagens foram de 1200, 1800, 2700 e 4050. Se essa taxa de crescimento continuar, qual ser a 12a contagem? Obs.: Encontre e resolva uma relao de recorrncia para responder questo.

31. Para cada uma das relaes R abaixo, definidas no conjunto R (dos reais) desenha uma figura para mostrar a rea do plano que representa a mesma.

a) xRy x2 + y2 25 b) xRy x = y 1 c) xRy x y d) xRy -2 y 2 e) xRy y < 2x

32. Para cada uma das figuras abaixo, escrever a relao que descreve a rea sombreada:

a) b)

33. Teste se as relaes abaixo para verificar que propriedades possuem: a) S = {0, 1, 2, 4, 6}

- R = {(0,1), (1,0), (2,4), (4,2), (4,6), (6,4)} - R = {(0,0), (1,1), (1,0), (2,2), (2,4), (4,2), (4,6), (6,4), (4,4), (6,6)}

b) para as relaes que no so transitivas, simtricas ou reflexiva, encontre o respectivo fecho transitivo, simtrico ou reflexivo.

c) S o conjunto de pessoas no Brasil. - xRy x mais alto do que y. - xRy x filho ou filha de y. - xRy x cnjuge de y. - xRy x marido de y. d) S = Q; xRy |x| |y| e) S = N; xRy x.y par.

34. Para as relaes do exerccio 3, acima, que so ordens parciais, desenhe o diagrama de Hasse. Para as relaes de equivalncia, determine a partio.

35. D um exemplo de uma relao R que seja: a. Reflexiva, simtrica e transitiva. b. Apenas transitiva. c. Reflexiva, anti-simtrica e transitiva.

Curiosidade: Leonardo Pisano, (1175 1250), tambm conhecido como Fibonacci, foi um matemtico italiano, nascido na cidade de Pisa. Descreveu a conhecida sequncia de Fibonacci, como sendo o crescimento de uma populao de coelhos, se for suposto que: no primeiro ms nasce apenas um casal; casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas aps o segundo ms de vida; no h problemas genticos no cruzamento consanguneo; todos os meses, cada casal frtil d luz a um novo casal, e os coelhos nunca morrem.