Produtos Notáveis

Ângelo Moreira dos Reis

Efetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem

alguns produtos muito usuais. É recomendado então

sabê-los “de cor”.

• QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

•SOMA PELA DIFERENÇA:

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

• CUBO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma

multiplicação de fatores. Fatoração é o processo

inverso dos produtos notáveis.

Veja os retângulos e suas respectivas áreas:

•O polinômio que representa a área do retângulo amarelo é : A1 = ax.

•O polinômio que representa a área do retângulo azul é : A2 = ay.

•O polinômio que representa a área do retângulo vermelho é : A3 = az.

Qual polinômio representa a área total?

AT = ax + ay + az = a (x + y + z)

Ao escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produto

a (x + y + z), estamos efetuando uma fatoração.

Estudaremos a partir de agora cinco casos de fatoração

muito importantes para o desenvolvimento do cálculo

algébrico.

•Fator comum em evidência;

•Fatoração por agrupamento;

•Diferença de dois quadrados;

•Trinômio do Quadrado Perfeito;

•Soma ou diferença de dois cubos.

Como já foi dito fatorar significa transformar uma

soma em produto de dois ou mais termos.

Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentam

um fator comum, podemos colocá-lo em evidência.

Por exemplo:

•Na expressão ab + ac, o fator a aparece nos dois

termos, este é o fator comum.

A forma fatorada é o produto do fator comum por uma

expressão que é obtida dividindo-se a expressão inicial pelo

fator comum.

É UMA RECORRÊNCIA DO FATOR

COMUM EM EVIDÊNCIA.

Exemplos:

•x2 – ay +xy – ax = x2 – ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a) = (x – a)(x + y)

•ax + bx +2a + 2b = x(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(x + 2)

•y3 – 5y2 + y – 5 = y2(y – 5) +1(y – 5) = (y – 5)(y2 + 1)

Neste processo verificamos que:

a2 – b2 = (a + b).(a – b)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Para reconhecer se um trinômio é um quadrado perfeito, proceda da seguinte forma:

• Verifique se a expressão tem dois termos que são quadrados perfeitos (a2 e b2);

• Determine as raízes desses quadrados (a e b);

• Verifique se o 3.º termo é o dobro do produto dessas raízes (+2ab ou –2ab).

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

FIM!