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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁSERVIÇO PÚBLICO FEDERAL - CAMPUS MARABÁ
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICAFACULDADE DE MATEMÁTICA
TEOREMA DO VALOR MÉDIO E ALGUMAS APLICAÇÕES
MARCIO DE AQUINO MAIA
REGINALDO RODRIGUES DA LUZ
MARABÁ-PAUFPA
FEVEREIRO - 2010
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁSERVIÇO PÚBLICO FEDERAL- CAMPUS MARABÁ
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICAFACULDADE DE MATEMÁTICA
MARCIO DE AQUINO MAIA
REGINALDO RODRIGUES DA LUZ
TEOREMA DO VALOR MÉDIO E ALGUMAS APLICAÇÕES
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO, APRESENTADO A FACULDADE DA MATEMÁTICA COMO OBJETIVO DE OBTENÇÃO DO TITULO DE LICENCIADO EM MATEMÁTICA.ORIENTADORA: Elizabeth Rego Sabino
MARABÁ-PAUFPA
FEVEREIRO – 2010
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁSERVIÇO PÚBLICO FEDERAL-CAMPUS MARABÁ
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICAFACULDADE DE MATEMÁTICA
MARCIO DE AQUINO MAIAREGINALDO RODRIGUES DA LUZ
TEOREMA DO VALOR MÉDIO E ALGUMAS APLICAÇÕES
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO, APRESENTADO A FACULDADE DA MATEMÁTICA COMO OBJETIVO DE OBTENÇAO DO TITULO DE LICENCIADO EM MATEMÁTICA.ORIENTADORA: Elizabeth Rego Sabino
DATA DA DEFESA:CONCEITO:
COMPONENTES DA BANCA EXAMINADORA
PROFESSOR DA UFPA-CAMPUS MARABÁ
PROFESSOR DA UFPA-CAMPUS MARABÁ
PROFESSORA (ORIENTADORA)
MARABÁ-PAUFPA
FEVEREIRO – 2010
O tolo revela todo o seu pensamento, mas o sábio o guarda até o fim. (Provérbios 29:11)
Dedico este TCC em especial a
DEUS cujo mesmo me deu entendimento
para saber esperar com paciência e fé, e
aos meus pais: José Maria de Souza Maia
e Odolina Mendes Aquino que me deram
apoio moral e que nos momentos difíceis
estiveram sempre do meu lado.
(Marcio de Aquino Maia)
Dedico este TCC a Deus por ter
dado força, coragem e saúde. Em especial
aos meus familiares: Sindoval Rodrigues
da Luz, Dinalva Aires da Luz e ao meu
filho Ronaldy Lima Rodrigues.
(Reginaldo Rodrigues da Luz)
AGRADECIMENTOS
Agradecemos primeiramente a DEUS pela força e o dom da sabedoria que nos
concedeu durante toda essa caminhada para que este sonho fosse realizado.
Aos nossos pais, esposas, irmãos e familiares que compreenderam e aceitaram
nossas ausências durante esses quatro anos de curso.
A todas as pessoas que nos ajudaram nos momentos difíceis e deram-nos forças
e incentivos para continuarmos até o fim.
Aos nossos professores e colegas de turma, que nos ajudaram a enfrentar
barreiras de todos os dias de angústia e sofrimento.
Em especial o orientador e professora Elisabeth Rego Sabino pelo credito dado
a nossa dupla e pela eficiência na orientação do TCC.
A UFPA, que nos proporcionou esta grande oportunidade de nos capacitar e
assim construir uma educação digna e de qualidade.
SUMÁRIO
Introdução..........................................................................................................09
Capítulo 1: Teoremas, definições e função contínua......................................10
Capítulo 2: Derivadas, gráficos e exemplos....................................................16
Capítulo 3: Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio............................43
Conclusão...........................................................................................................51
Referências Bibliográficas................................................................................52
INTRODUÇÃO
O assunto que apresentaremos abordará como tema principal do nosso trabalho:
Teorema do Valor médio. Primeiro iniciaremos mostrando algumas definições, logo em
seguida abordaremos sobre Derivadas, teoremas e gráficos e em seguida mostraremos
alguns exemplos para facilitar o entendimento do assunto e ao final abordaremos o
assunto principal que é o Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio.
CAPÍTULO 1
Neste primeiro capítulo faremos algumas definições que serão importantes para o desenvolvimento deste trabalho.
TEOREMAS, DEFINIÇÕES E FUNÇÃO CONTÍNUA
TEOREMA:
l ne=1
Prova pela definição que e=e1
Logo, l ne =l ne1
Como as funções logarítmicas e exponenciais naturais são inversas uma da outra,
segue que o segundo membro da igualdade acima é 1 .Assim l ne =1 .
TEOREMA:
Se a e 𝖻 forem números reais quaisquer, então:
e 𝓪.e𝖻 =e 𝓪+𝖻Prova: Seja A =e𝒶 e B =eb, então ℓn A=𝓪 e ℓnB=𝖻,daí
ℓn AB =ℓn𝓪+ℓn𝖻Substituindo na equação anterior iremos ter ℓnAB =𝓪+𝖻.
Assim,
e ℓnAB = e 𝓪+b Como e ℓn𝑥 =𝑥, o segundo membro da igualdade acima é AB; assim, AB =e a+b
Substituindo A e B pelos seus valores temos:
e 𝓪 .e b =e 𝓪+bTEOREMA:
Se 𝓪 e b forem números reais quaisquer, então:
ea
eb=ea−b
A demonstração é análoga aquela do teorema anterior, onde um é substituído no
outro.
TEOREMA:
Se 𝓪 e b forem números reais quaisquer, então (e 𝓪)b = e 𝓪𝖻Prova: na igualdade 𝑥=e ℓn𝑥, seja 𝑥 =(e 𝓪)b, temos (e 𝓪)b=e ℓn(b)e l n(e)b
Aplicando o teorema e substituindo aos demais chegaremos no seguinte
resultado:
(e)b=e bℓnℯ.𝒶 Mas ℓne a=a, e, portanto (e𝒶)b=e𝒶b
TEOREMA
(a) limx→0
sen xx
=1 (b) limx→0
1−cos xx
=0
Nesta seção vamos supor que a variável independente x das funções trigonométricas
sem x ,cos x , tg x ecotg x seja medida em radianos .
1.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL: A função exponencial é a inversa da função
logarítmica natural ; assim sendo ela é
definida por ex= y se e somente se x =log de ny .
A notaçãoex deve ser entendida como o valor da função exponencial natural em 𝑥. Como a imagem da função logarítmica natural é o conjunto de todos os números
reais. A imagem da função exponencial natural é o conjunto dos números positivos,
pois esse é o domínio da função logarítmica e exponencial natural são inversas uma
das outras. Segue o teorema que mostra o seguinte:
l n (ex )=x ee lnx=x
Queremos definir agoraax onde 𝓪 é um número positivo e 𝑥 um número
irracional. Para chegar a uma definição razoável, consideremos o caso 𝓪r, onde 𝒶 ¿0
e r é um número racional colocando ar no lugar de 𝑥, na equação 𝑥 = ex (lnx ¿ temos:
𝓪r =e [ln (ar )]
1.2 Se 𝓪 for um número positivo qualquer e 𝑥 for um número real qualquer,
definimos:
ax =ex ln a
1.3 Se 𝓪 for um número positivo qualquer e 𝑥 for um número real qualquer, então:
l nax =x l na
1.4 O númeroe é definido pela fórmula:
e =e1
A letra e foi escolhida em homenagem ao matemático e físico suíço LEONHARD
EULER (1707-1783).
O número e é um número transcendental isto é, não pode ser expresso como raiz
de qualquer polinômio com coeficientes inteiros. O número πé outro exemplo de
número transcendental. A demonstração de quee é transcendental foi dada pela
primeira vez em 1873 por CHARLES HERMITE. O valor do númeroe pode ser expresso
com qualquer precisão desejada. O valor de e com sete casas decimais é: 2, 7182818...
1.5 POTÊNCIA: Dizemos que Q ( 𝑥 ) é uma função potência ou simplesmente
potência de 𝑥 se ela é proporcional a uma potência constante de 𝑥 se k é a constante
de proporcionalidade e se p é a potência ,então :
Q(𝑥) =k. 𝑥 p
Exemplo 1:
Quais das seguintes funções são potências?
Escreva-as na forma y= Kxp e diga quais são os coeficientes k e a potência p.
a) y= 5x3
b) y = 2
3x
c) y = 5x2
2
d) y= 5 .2x
e) y=3 √x
f) y= ( 3 x2)3
Solução:
a ) como y = 5x -3 , esta função é uma potência com k = 5 e p = -3 .
b) como y = (2/3)x -1 esta função é uma potência com k= 2/3 e p = -1.
c) como y =(5/2)x2 esta função é uma potência com k = 5/2 =2,5 e p = 2
d) esta função não é uma potência. É uma exponencial.
e) como y=3x1/3, esta função e uma potência com k =3 e p =1/2.
f) como y = 33. (x2)3 = 27x6 esta função é uma potencia comk =27 ep = 6.
De acordo com a definição 1.10 que fala sobre função continua vejamos o
exemplo:
Exemplo2:
Mostre queƒ (x) =x3 é continua em 1. Primeiramente traçamos o gráfico e apartir
daí solucionamos o problema.
Solução:
Precisamos mostrar que dado ϵ > 0, existe um intervalo aberto I , contendo 1, tal que
xϵ I ⇒ƒ (1) –ϵ <ƒ (x) <ƒ (1) +ϵ
Vamos resolver a inequação ƒ (1) –ϵ <ƒ (x) <ƒ (1) +ϵ ,temos
ƒ (1) –ϵ <ƒ (x) <ƒ (1) +ϵ ⇔1-ϵ <x3 <1+ϵ ⇔ 3√1−¿ ϵ ¿ <x<3√1+¿ ϵ ¿.
Tomando-se I=¿ 3√1−¿ ϵ ¿ ,3√1+¿ϵ ¿ [1ϵ I ;x ϵ I ⇒ƒ (1) –ϵ <ƒ (x) <ƒ (1) +ϵ
Logo ƒ (x) = x3 é continua em 1.
1.6 INTERVALO ABERTO
(a
,b)={x ∈
R
/a< x<b }
A bolinha vazia (o ) indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo .
1.7 INTERVALO FECHADO
[a
,b] =)={x ∈
R
/a≤ x≤b
}
INTERVALO FECHADO A ESQUERDA E ABERTO A DIREITA
[a,b) ={x ∈ R/a≤ x<b}
INTERVALO FECHADO A DIREITA E ABERTO A ESQUERDA
(a,b] ={x ∈ R/a< x≤b}
SEMI-RETA, FECHADA DE ORIGEM b
(−∞,b] = {x ∈ R/x≤b }
SEMI-RETA ESQUERDA, ABERTA DE ORIGEM b
(−∞,b] ={x ∈ R/x<b }
SEMI-RETA, FECHADA DE ORIGEM a
[a,+∞ ) ={x ∈ R/x≥ a },
RETA REAL
(−∞,+∞) =R
1.8 FUNÇÃO CONTÍNUA
Sejam f e g funções de gráficos
Observe que f e g se comportam de modo diferente em p; o gráfico de fnão
apresenta salto em p, ao passo que o deg sim. Queremos destacar uma propriedade
que nos permite distinguir tais comportamentos .
Veja as situações apresentadas a seguir:
Sejam fuma função contínua e p um ponto de seu domínio, definimos:
fContínua em p ⇔ para todoϵ ¿0 dado, existeδ>0(δ dependendode ϵ) , tal que:
p−δ<x< p+δ⟹ f ( p )−ϵ< f ( p )+ϵ .
A definição anterior pode, então ser reescrita, em notação de módulo, na
seguinte forma:
f contínua em p⇔ para todo c > 0, existe δ >0 tal que para todo x em D xf⃓ −p⃓ <δ ⟹⃓f ( x )−f ( p) ⃓<ϵ .
Dizemos que f é contínua em A ⊂ D(f ) se f for contínua em todo p ∈ A. Dizemos simplesmente que fé uma função continua em todo p de seu domínio.
CAPÍTULO 2
1.1 RETA TANGENTE: Suponhamos que a funçãof seja continua em 𝑥₁. A reta
tangente ao gráfico de f no ponto p(𝑥₁,f (𝑥₁)) é:
(i) A reta passa por p tendo inclinação m (𝑥₁) dada por:
m(x1)= lim∆x→0+¿ f ( x ₁+Δx )−f (x ₁)
Δx¿
¿
Se o limite existir.
(ii) a reta x =𝑥1 se
lim∆ x→ 0+¿¿
¿ f ( x₁+Δx )− f (x₁)
Δx for +∞ ou - ∞
lim∆ x→0−¿ f (x ₁+Δx )−f (x ₁)
Δx ¿
¿ for +∞ ou - ∞
Se nem (i) nem (ii) da definição forem verdadeiras, então não existirá reta tangente ao
gráfico de f , no ponto p(𝑥1 ,f (𝑥1 )) .
1.2 DERIVADA: A Derivada de uma função f é uma função denotada por f ' , tal
que seu valor em qualquer número 𝑥 do domínio de f seja dado por :
f ’ (𝑥) = lim∆ x→ 0
¿ f ( x+Δx )−f (x )
Δx
Se esse limite existir.
Se 𝑥₁ for um determinado número no domínio de f então:
f ’ (𝑥1)= lim∆ x→ 0❑
¿ f ( x₁+Δx )−f (x₁)
Δx
1.3 DERIVADA À DIREITA: Se a função f for definida em x ₁ , então a derivada a
direita de f em 𝑥₁ , denotada por f '₊( 𝑥1 ) será definida por :
f '₊ (𝑥₁)= lim∆ x→ 0+¿¿
¿ f ( x₁+Δx )−f (x₁)
Δx
f '₊ ( 𝑥₁)= lim∆ x→ x₁+¿¿
¿ f ( x )−f (x₁)x−x₁
Se o limite existir.
1.4 DERIVADA A ESQUERDA: Se a função f for definida em 𝑥₁ , então a
derivada a esquerda de f em 𝑥₁ ,denotada por f ' ₋ ( 𝑥₁) ,será definida por :
f '₋ (x1 )= lim∆x→0−¿ f ( x₁+Δx )−f (x ₁)
Δx¿
¿
f '₋ (x1 )= lim
x→ x1−¿ f (x )−f (x ₁)
(x−x1)¿
¿
Se o limite existir.
1.5 TAXA DE VARIAÇÃO: Sejay=f (x ), a taxa de variação instantânea de y por
unidade de variação de 𝑥 em 𝑥₁ , é f ¿𝑥₁) ou equivalente à derivada de y com respeito
a 𝑥 em 𝑥₁ , se ela existir no ponto 𝑥₁ .
Ilustramos geometricamente; seja f ’ (𝑥₁) a taxa de variação instantânea de y por
unidades de variação de 𝑥 em 𝑥₁, se ela existir no ponto 𝑥₁. Então sef ' de (𝑥₁) for
multiplicado por ∆ x(variação de 𝑥) temos a variação que ocorreria em y se o ponto
(𝑥, y) se movesse ao longo da reta tangente ao gráfico de y = f (𝑥) no ponto (𝑥1, y₁ ).
Veja a figura 1, ela mostra que a taxa média de variação por y por unidade de variação
de 𝑥 é dada pela fração, e se essa fração for multiplicada por ∆ x, obteremos∆ y ,que é
a variação real de y causada por uma variação de∆ x em x quando o ponto (x,y)
move-se ao longo do gráfico.
1.6 RETA TANGENTE A CURVA: Suponha que 𝑥0 seja um ponto do domínio
da funçãof . A reta tangente à curva y =f ( x ) no ponto p (x₀ , f ( x₀ ) ) é a reta da
equação:y - f(𝑥0) = mt (𝑥₁-𝑥₀)mt = lim
x→x ₀¿ f ( x )−f (x₀)x−x₀
Sempre que existir o limite. Para simplificar, também dizemos que essa reta é a reta
tangente a y = f ( x ) em x ₀.
1.7 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO: Sejam f uma função e p um ponto de seu
domínio, o limite .
limx→ p
f ( x )−f ( p )x−p
Quando existe e é finito, denomina-se derivada def em p e indica-se f ’( p) ; assim :
f ’(p) = limx→p
f ( x )− f ( p )
x− p
Como a função exponencial natural é inversa da função logarítmica natural.
Obtemos o teorema para a derivada da função exponencial natural por derivação
implícita.
Seja y=e𝑥. Então, segue que 𝑥=ℓny.
Vamos derivar ambos os membros da igualdade acima implicitamente em
relação a 𝑥 para obter:
1 = 1y · dydx ⇔dy
dx= y
Substituindo y por ex, obtemosddx (e𝑥) =e𝑥
O próximo teorema segue dessa relação e da regra da cadeia.
TEOREMA: Se u for uma função de x, diferenciavel, então:
Dx(eu)=eu Dxu
Demonstração:
Observe que a derivada da função definida por ƒ (x) =Kex, onde k é uma
constante a ela mesma. A única função que encontramos antes com essa propriedade
é a função constante zero; na realidade ela é um caso particular de ƒ(x) =Kex quando k
=0 . Podemos provar que a função mais geral, igual a sua própria derivada é dada por ƒ
(x) =Kex.
Conforme a definição 1.1 que fala sobre reta tangente veja um exemplo, e mais
adiante veremos dois gráficos dessa função, tanto da tangente quanto da secante.
Exemplo 3:
Usando a definição 1, encontre a equação da reta tangente a parábola У=x2 no ponto
(1,1) .
Solução:
У -1=mt(𝑥-1)
Para encontrar a inclinação m t considere a reta secante por p e um ponto
Q(𝑥 ,𝑥2) na parábola que é distinto de p. A inclinação ms dessa secante é :
ms=x2−1x−1
Observando a figura abaixo:
Ela sugere que, se agora, permitimos que Q se mova sobre a parábola e se
aproxime mais e mais de P, isso por sua vez, sugere que o valor de ms irá se aproximar
mais e mais do valor de mt a medida que Q se move em direção a P sobre a curva.
Contudo, dizer que Q(𝑥,𝑥2)aproxima mais e mais de P(1,1) é equivalente dizer
algebricamente que 𝑥 se aproxima mais e mais de 1 .Assim, o problema de encontrar
mt se reduz a medida que 𝑥 se aproxima mais e mais de 1(mas sempre que 𝑥≠1 para
garantir queP e Q permaneçam distintos ).
Já que 𝑥≠1 podemos reescrever como:
ms = x2−1x−1
=( x−1 )(x+1)
(x−1)=x+1
A partir do qual é evidente que ms se aproxima mais e mais de 2 quando 𝑥 se
aproxima mais e mais de1. Assim mt =2 e implica que a equação da reta tangente é :
y -1 =2(𝑥-1) ou equivalente y=2𝑥-1 .
A figura adiante mostra o gráfico de y= 𝑥2 e dessa reta tangente. Ela mostra onde
os pontos se encontram para formar a parábola e também mostra a reta secante que
encostar no gráfico, observe bem esta figura, pois mais adiante teremos que utilizar
ela para solucionar os demais problemas.
Na definição 2 vimos falar sobre a derivada, vejamos então o exemplo abaixo
Exemplo 2:
Ache a derivada de ƒ se f(𝑥) =3𝑥2 +12
Solução:
Se 𝑥 for qualquer número do domínio de ƒ, então temos:
ƒ’ (𝑥) = lim∆ x→0
¿ f ( x+ Δx )−f (x )
Δx
ƒ’ (𝑥)= lim∆ x→ 0❑
¿ ¿¿
ƒ’ (𝑥)= lim∆ x→0
¿ 3 x2+6x ∆ x+3¿¿
ƒ’ (𝑥)= lim∆ x→0
¿ 6 x ∆ x+3¿¿
ƒ’ (𝑥)= lim∆ x→0
¿ (6 x+3∆ x)
ƒ’ (𝑥)= 6𝑥 Logo, a derivada de ƒ é a função ƒ’, definida por ƒ’ (𝑥)=6 𝑥 . O domínio de ƒ’ é o
conjunto de todos os números reais, sendo igual ao domínio de ƒ.
Considere agora a fórmula que é:
ƒ ’(x₁) = lim∆ x→ 0
¿ f ( x₁+Δx )− f (x₁)
Δx
Nessa fórmula seja:
x1+∆ x=x então, ∆ x→0 é equivalente a x→ x₁ . Das fórmulas anteriores obtemos a
seguinte fórmula:
ƒ'(x1) = lim∆x→1
f ( x )−f (x₁)
x−x₁
Conforme a definição 3 e 4 que fala sobre derivada a esquerda e derivada a
direita vejamos o exemplo .
Exemplo 3:
Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal de acordo com a equação.
S = 2t3-4t2+2t-1
Determine os intervalos de tempo nos quais as partículas se movem para a
direita e para a esquerda. Determine também o instante no qual ela inverte seu
sentido.
Solução:
V=dsdt ¿ 6 t2- 8 t + 2
V= 2(3 t2 -4t + 1 )
V= 2(3 t -1 ) (t -1)
A velocidade instantânea é zero quando t = 13 e t =1. Logo, nesses dois instante a
partícula está em repouso. A partícula move-se para a direita quando v é positivo e
move-se para a esquerda quando v é negativo. Determinamos o sinal de v para os
vários intervalos de t e os resultados estão dados na tabela abaixo .
FIGURA 1
3t-1 t-1 conclusão
t<1/3 - - vé +e a particulamove−se paradireita
t =1/3 0 - vé 0ea particulaestámudando de sentidodadir . paraesq .
1/3< t <1 + - vé−ea particulamove−se para esquerda
t =1 + 0 vé zero ea particulaestámuda ndode sentidodaesq . paradir .
1<t + + vé positivo ea particulamove−se paradireita
FIGURA 2
O movimento da partícula, indicado na figura 2, é ao longo de uma reta
horizontal, contudo, o comportamento do movimento está indicado acima da reta. A
tabela 2 dá os valores de s e v para os valores específicos de t .
Conforme a definição 5 vejamos o exemplo de taxa de variação
t s v
-1 -9 16
0 -1 2
1/3 19/27 0
1 -1 0
2 3 10
Exemplo 4:
Seja cm3 o volume de um cubo com xcm de lado, use a calculadora para calcular a taxa
média de variação de v (x) em relação à xquandox varia de:
(a) 3, 000 a 3, 200
(b) 3, 000 a 3, 100
(c) 3, 000 a 3, 010
(d) 3, 000 a 3, 001. (e).
(e) Qual será a taxa de variação instantânea de v (x) em relação a x quando x é 3 ?
Solução:
A taxa média de variação de v(x) em relação a x ,quando x varia de x1 a x1 +∆ (x) é :
V = ( x1+Δx )−v (x 1)
Δx
a)x1 =3, 000
Δx=0, 200
V =v (3,200 )−v (3,000)
0,200 = ¿¿=28 ,84
b) x1 =3, 000
Δx =0, 100
V =v (3,100 )−v (3,000)
0,100 =¿¿ =27 ,91
c) x1 =3, 000
Δx =0, 010
V =v (3,010 )−v (3,000)
0,010 =¿¿=27 ,09
d) x1 =3, 000
Δx =0, 001
V =v (3,001 )−v (3,000)
0,001 =¿¿=27,01
Vemos que quando a medida do lado do cubo varia de 3,000 a 3,200 cm, a
variação do volume é de 28,84 cm3 por centímetro de variação do comprimento do
lado interpretamos (b) e (d) de forma similar .(e) a taxa de variação de v(x) em relação
a x quando x é 3 e v ’ (3) . Isso significa dizer que v ’ (x)=3x2 ,daí , v ’(3)=27 .
Logo quando o comprimento do lado do cubo é 3 cm, a taxa de variação
instantânea do volume é 27 cm 3 por centímetro de variação do comprimento do lado.
De acordo com a definição 6 veja um exemplo sobre a reta tangente a curva .
Exemplo5:
Encontre uma equação para a reta tangente a curva y= 2x no ponto (2,1).
Solução:
Vamos encontrar a inclinação da reta tangente aplicando a fórmula ƒ(x) = 2x e x0 = 2
temos ,
mt = limh→0¿
f (2+h )−f (2)
h
mt = limh→0
22+h−1
h = lim
h→ 0(
2−(2+h)2+hh
)
mt = limh→0
−h
h(2+h)
Logo:
mt = lim h→0
12+h=−1
2
Assim, uma equação da reta tangente em (2,1) é y-1 =−12 (x-2 ) ou
equivalentemente, a y = - 12 x+2.
Observe a reta tangente ao gráfico da função.
Conforme a definições 7 .1, 7.2, 7.3, 7.4, que fala sobre função exponencial veja
alguns exemplos :
Exemplo 6 :
Calcule o valor de2√3 com duas casa decimais
Como ax = e lna sea > 0 ,
2√3 = e√3 ln 2
≈e 1,732(0,6931)
≈e1,200
≈3,32
Exemplo 7 :
Ache dydx se y =e (4x)2
Solução:
dydx =e (1/x) 2(-2/x3)
= - 2e1/x/x3
Exemplo 8:
Ache dydx se y=e2x+lnx
Solução:
Como e2x+lnx =e2xelnx e elnx= x ,então : y = xe2x
Logo;
dydx =e2x+2xe2x
Exemplo 9:
A taxa de crescimento da população de certa cidade e proporcional ao número
de habitantes. Se a população em 1950 era de 50.00 e em 1980 de 75.000, qual a
população esperada em 2010.
Solução:
Seja t o tempo em anos, decorrido desde 1950. Seja y a população emt anos. As
condições laterais são dadas na tabela 1, onde Y 60 é a população esperada em 2010?
A equação diferencial é; dydt
=ky
Tabela 2
t 0 30 60
y 50.000 75.000 Y60
Onde K é uma constante e y = 50.000 quando t = 0. Temos a lei do crescimento
natural. Y= 50.000 ekt como y = 75.000 quando t = 30, obtemos:
75.000 = 50.000 e20k
e30k = 32
Quando t = 60, y = Y60, logo,
Y60 = 50.000 e60k
Y60 = 50.000 (e30k)2
Substituindo na equação temos: Y60 = 50.000 (32 )2 = 112.500.
Portanto, a população esperada em 2010 é 112.500 habitantes.
RETAS TANGENTES
Mostremos como a noção de limite pode ser utilizada para encontrar uma
equação para a reta tangente a uma curva. Estamos de dar uma definição matemática
de reta tangente a uma curva y= ƒ (x) num ponto p(x0 f(x0)) da curva. Considere um
ponto Q (xf (x )) na curva que seja distinto de p e calcule a inclinação da reta secante
por p e Q.
Veja a figura:
MPQ =f ( x )−f (xo)x−x 0
quando x tende a x0 , então o ponto Q caminha na curva e se
aproxima do ponto P , se a reta secante por P e Q atingir alguma posição limite quando
x→ xo . Então consideramos essa posição como a posição da reta tangente em
P. Dito de outra maneira, se a inclinação mPQ da reta secante por P e Q atender a um
limite.
Quando x→ xo, então consideremos esse limite como a inclinação m t da reta
tangente em P.
Exemplo 10:
Encontre as inclinações das retas tangentes a curva y=√ x em x0 =1, x0 =4, x0 =9
Solução:
Poderíamos calcular cada uma dessas inclinações, mais e mais eficiente,
encontramos a inclinação para um valor arbitrário de x0 e depois substituir os valores
numéricos específicos dados, dessa forma obtemos:
mt =limh→ 0
f (x ₀+h )−f (x ₀)
h
mt = limh→ 0¿
√x ₀+h−√x₀
h
mt = limh→0¿
√x ₀+h−√x₀
h . √x ₀+h+√ x₀√x ₀+h+√ x₀
mt = limh→ 0¿
x₀+h−x₀
√¿¿¿
mt = limh→0
h
(√ x₀+h+√x ₀)
Logo :
limh→0
1
(√ x₀+h+√x ₀) =
12√ x₀
As inclinações em x0 = 1,4 e 9 agora podem ser obtidas substituindo esses valores
na formula geral de mt ,assim :
Inclinação em x0 = 1 é 1
2√1 =
12
Inclinação em x0 = 4 é1
2√4 =
14
Inclinação em x0 = 9 é 1
2√9=
16
Veja o gráfico que mostra a inclinação:
DESLOCAMENTO E VELOCIDADE MÉDIA
A chave para descrever a velocidade de uma partícula em movimento retilíneo é
a noção de deslocamento. Se [t0,t0+h] é um dado intervalo de tempo, definimos o
deslocamento ou a variação na posição da partícula nesse intervalo como sendo a
diferença entre as coordenadas de sua posição inicial.
DESLOCAMENTO NO INTERVALO
[t0, t0+h] = f (¿+h )− f (¿)
O deslocamento é positivo se a posição final está no sentido positivo em relação à
posição inicial, negativo se a posição final está no sentido negativo em relação à
posição inicial, e zero se a posição final coincide com a posição inicial.
Vejamos a figura:
Quando uma partícula em movimento retilíneo move-se somente no sentido
positivo ao longo de um intervalo de tempo, então o deslocamento nesse intervalo é
igual à distância percorrida pela partícula, pode-se mover em ambos os sentidos no
intervalo de tempo dado, então o deslocamento e a distância percorrida podem
diferir. Por exemplo, se a partícula se move 100 unidades no sentido positivo e depois
100 unidades no sentido negativo, à distância percorridas são 200 unidades, mas o
deslocamento é zero, pois as posições finais e iniciais coincidem.
É importante distinguir entre a velocidade (quão rápida é e em que sentido) e a
velocidade escalar (quão rápida é) de uma partícula em movimento. Isso é feito
usando velocidade negativa para movimentos no sentido negativo e velocidade
positiva para movimentos no sentido positivo. Assim uma partícula com uma
velocidade de -2 m/s tem uma velocidade escalar de 2 m/s e se move no sentido
negativo, enquanto uma partícula com uma velocidade de 2 m/s tem uma velocidade
escalar de 2m/s e se move no sentido positivo .
Suponha que uma partícula em um movimento retilíneo ao longo de um eixo s
tenha uma função posição s = f(t). A velocidade média da partícula em um intervalo de
tempo [t0, t0+h ] . Com h >0 é definida como:
Vm= deslocamentotempo percorrido
f (¿+h )−f (¿)h
Por definir a velocidade escalar média, usando a distância percorrida pela
partícula.
Exemplo 11:
Uma partícula se move 5 m no sentindo positivo e então retrocede 2m no sentido
negativo, seu deslocamento e de 3m, mas a distância percorrida é de 7m. Definimos a
velocidade escalar média como o quociente de distância percorrida pelo tempo:
Velocidade Escalar Média = distância percorridatempodecorrido
No caso em que a partícula se move somente no sentido positivo, seu deslocamento é
à distância percorrido em qualquer intervalo de tempo são iguais. Nesse caso, a
velocidade média também é igual.
Exemplo 12:
Suponha que S= f(t) = 1+3t – 2t2 seja a função a posição de uma partícula onde s está
metros e t em segundos. Encontre o deslocamento e a velocidade média em metros da
partícula nos intervalos de tempo:
(a) [0,1]
(b) [1,3].
Solução:
a) Aplicando á formula: f ( t0+h )−f (t 0)
V em t0 = 0 e h= 1, logo f(1) –f(0) = 2-1 = 1m segue da forma f¿=h−f (¿)
h=1
1 , logo a
velocidade média no intervalo [0,1] é 1m/s.
b) Aplicando a fórmula:f ( t0+h )−f (t 0)
V em t0= 1 e h = 2, substituindo na fórmula fica f(3) –f(1), usando :
f (t) =1+3t-2t2
=-8-2
= -10m f ( t 0+h )−f ( t 0 )
h
= −10
2 =-5, Portanto a velocidade média no intervalo de tempo [1,3] é - 5m/s.
INCLINAÇÃO E TAXAS VARIAÇÃO
A velocidade pode ser vista como taxa de variação da posição em relação ao
tempo. As taxa de variação também ocorrem em outras aplicações. Por exemplo:
Exemplo 13:
1) Um biólogo pode está interessado na taxa com que a quantidade de bactérias de
uma colônia muda com o tempo.
2) Um Engenheiro pode estar interessado na taxa com que o comprimento de um cano
de metal muda com a temperatura.
3) Um Economista pode estar interessado na taxa com que os custos de produção
mudam com a quantidade de produto que está sendo produzido.
4) Um Médico pode está interessado na taxa com que o raio de uma artéria muda com
a concentração de álcool na corrente sangüínea.
Nosso próximo objetivo é definir precisamente o que se entende por “taxa de
variação de y em relação à x” quando y é uma função de x. No caso em que y é uma
função linear dex, digamos y=mx+b, a inclinação me uma mediada natural da taxa de
variação de y em relação à y. Vejamos a figura:
Cada aumento de uma unidade em x qualquer lugar ao longo da reta produz uma
variação de m unidades de y, de modo que vemos que y muda a taxa constante em
relação à x ao longo da reta e que m que mede a taxa de variação.
Exemplo 14:
Encontre a taxa de variação de y em relação à x.
a)y = 2x– 1
b) y = -5x + 1
Solução:
Em (a) a taxa de variação de y em relação a x é m=2, de modo que um aumento de 1
unidade em x produz um aumento de 2 unidades em y.
Em (b) a taxa de variação de y em relação à x é m = -5, de modo que um aumento de
1 unidade em x produz uma redução de 5 unidades em de y.
FUNÇÃO DERIVADA Exemplo 15:
Encontre a derivada em relação à x de f(x) = x3 –x
f ’(x) = limh→0¿
f ( x+h )−f (x )
h
f ’(x) = limh→0¿
¿¿
f ' ( x )=limh→0
¿ [ x3+3 x2h+3x h2+h3−x−h ]−[x3−x]
h
f ’(x) = limh→0¿
3x2h+3 xh2+h3−h
h
f ’(x) = limh→0¿
[3x2+3 xh+h2−1]
f ’(x) = 3x2−1
TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃONos temas abordados anteriormente definimos a derivada de uma função f como um
limite e usamos esse limite para calcular algumas derivadas simples. Vamos
desenvolver agora alguns teoremas importantes, que nos possibilitarão calcular
derivadas de forma mais eficiente .
DERIVADA DE UMA CONSTANTE
O tipo mais simples de função é a função constante f( x) =c. Como o gráfico def é
a reta horizontal de inclinação 0, a reta tangente ao gráfico de f tem inclinação zero
em cada ponto de x ; portanto, podemos ver geometricamente que f’ dex =0
Veja a figura:
A reta tangente ao gráfico de f ¿) =c tem inclinação zero para todo x. Podemos
ver algebricamente, pois:
f’ (x) = limh→0
¿ f ( x+h )−f (x )
h= limh→0
¿ c−ch = lim
h→ 0¿
=0
TEOREMA
A derivada de uma função constante é 0, isto é x for um número real qualquer,
então ddx
[c ]=0 .
Exemplo 16:
ddx
[1 ]=0 , ddx
[−3 ]=0 , ddx
[π ]=0 , ddx
[−7 ]=0 .
REGRA DO PRODUTO E DO QUOCIENTENesta seção desenvolveremos técnicas para derivar produtos e quocientes de funções
cujas derivadas são conhecidas.
DERIVADA DE UM PRODUTO
Poderíamos conjecturar que a derivada do produto de duas funções seja o
produto de suas derivadas. Contudo, isso é falso. Considere as funções
f (x)=xe g (x)=x2.O produto de suas derivadas é f ’(x) g’(x) = (1) .(2x)=2x. Mas seu
produto é h(x) = g(x) =x3 , portanto a derivada do produto é h’(x)=3x2 .
Assim, a derivada do produto não é igual ao produto das derivadas. A relação
correta que é creditada a LEIBNIZ, é expressa no teorema seguinte.
TEOREMA (REGRA DO PRODUTO)
Se f e g forem diferenciáveis em x, então o produto de f . gtambém é:
dydx
[ f (x ) g ( x )]=¿ f ( x ) ddx [g ( x ) ]+g ( x ) d
dx[ f ( x ) ]
Demonstração:
ddx
[ f ( x )g (x )] = limh→ 0
f (x+h ) . g ( x+h )−f ( x ) . g (x)
h
= limh→ 0
f (x+h )g ( x+h )− f ( x+h )g ( x )+f ( x+h ) g (x )−f ( x )g( x)
h
= limh→ 0¿ +g ( x ) .
f ( x+h )−f (x)h
]
= limh→ 0
f ( x+h ) .limh→0
g ( x+h )−g (x)
h+limh→ 0
g ( x ) .limh→ 0
f ( x+h )−f (x)
h
= [limh→0
f ( x+h )]ddx [g(x )¿+[lim
h→0g (x)¿ d
dx [f (x)¿
=f ( x ) ddx [g ( x ) ]+g ( x ) d
dx[ f ( x )]
Logo, conseguimos demonstrar da regra do produto pelo próprio teorema.
Exemplo 17:
Encontre dy /dx se y= (4x2-1)(7x3+x)
Solução:
Pode x usar dois métodos para encontrardydx . Podemos tanto usar a regra do produto
quanto efetuar as multiplicações indicadas na formula de y e, então diferenciar. Vamos
utilizar ambos os métodos.
Método 1 (usando a regra do produto ):
dydx =
ddx
¿2-1) ¿3+x )]
dydx
=¿ (4x2-1)ddx
¿3+x] +(7 x3+x)ddx
¿2-1]
dydx
=¿ (4x 2-1)(21 x 2+1)+(7x3 +x)(8x)
dydx
=¿ 140 x 4-9x2-1
Método 2 (Primeiro multiplicando ) :
y= (4x 2-1) (7x3 +x) =28x5-3x3-x
Assim:
dydx =
ddx
¿28x5-3x3-x]
dydx=140x4-9x2-1
DERIVADA DO QUOCIENTE
Assim como a derivada do produto não é, em geral, o produto das derivadas,
também a derivada de um quociente não é em geral, o quociente das derivadas. A
relação correta é dada no teorema seguinte.
TEOREMA (REGRA DO QUOCIENTE)
Se f e gforem diferenciáveis em x e g(x )≠ 0 então fg é diferenciável emx e
dydx = [
f (x )g (x)
¿=¿ = ¿]
Demonstração:
ddx [ f ( x )
g (x ) ]=limh→0
f (x+h)g(x+h)
−f (x )g (x)
h=
limh→0
f ( x+h ) . g ( x )− f ( x ) . g(x+h)
h. g ( x ) . g(x+h)
ddx [ f ( x )
g (x ) ]=limh→ 0
f ( x+h ) . g ( x )−f (x ) . g ( x )−f ( x ) . g ( x+h )+ f ( x ) . g(x )
h . g ( x) . g (x+h)
¿ limh→ 0
g ( x ) .
f ( x+h )− f ( x )h
g ( x ) . g ( x+h )−f ( x ) .
g ( x+h )−g (x)h
g ( x ) . g ( x+h )
= limh→0
g ( x ) .limh→0
f ( x+h )−f (x)
h−lim
h→0f ( x )
limh→0
g ( x+h )−g (x)
h.
limh→0
g ( x ) . limh→0
g(x+h)
= limh→0g (x)¿ . d
dx[ f (x )]−[ lim
h→0f (x)] d
dx[ g(x)] ¿
limh→0
g ( x ) . limh→0
g (x+h)
=g ( x ) ddx [ f ( x ) ]−f ( x ) d
dx[g ( x )]
¿ ¿
Logo conseguimos demonstrar a fórmula da Regra do Quociente.
Exemplo 18:
Encontrey ’(x) para y= x3+2 x2−1x+5
Solução:
Aplicando a regra do quociente temos:
dydx= ddx [ x3+2 x2−1x+5
] =(x+5) ddx [x3+2x2-1]
−(x3+2 x2−1) ddx
[ x+5 ]
(x+5)
dydx= ( x+5 ) (3 x2+4 x )−(x3+2x2−1 )(1)¿¿
dydx=2x3+17 x2+20 x+1¿¿
DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
O teorema acima em vez de x usaremos hcomo variável, como segue:
limh→ 0
senh
h=1 e lim
h→0¿ 1−cosh
h=0
Comecemos com o problema de derivar f (x) =senx usando a definição de
derivada, obtemos:
f ’(x ) = limh→ 0
f (x+h )−f (x)
h
f ’(x ) = limh→0
sen ( x+h )−sen(x )
h
f ’(x )= limh→ 0
senxcosh+cosxsenh−senx
h
f ’ (x ) = limh→0¿ [senx( cosh−1
h )+cosx( sehh )¿
f ’ (x ) = [limh→0
[cosx( senhh )−senx( 1−coshh )]
f ’(x ) = limh→0cosx .
limh→0
senh
h−¿ lim
h→0senx .
limh→ 0
1−cosh
h
f ’(x ) = (limh→0
¿ cosx )(1) –(limh→ 0senx
) ( 0 )
f ’(x ) = limh→0cosx
= cosx
Assim ddx [senx¿=cos x e
ddx [cosx ¿=−senx
Logo conseguimos demonstrar que limh→ 0
senh
h=1 e limh→0
¿ 1−coshh
=0 equivale dizer
que ddx [senx¿=cos x e
ddx [cosx ¿=−senx
EXEMPLO 19:
Encontre dydx se y=sen x
SOLUÇÃO:
Usando a fórmuladdx
[sen x ]=cos x e a regra do produto, obtemos
dydx =
ddx
[ xsenx ]=xddx [sen x ]+sen x
ddx [x]
=xcosx+senx
Vejamos outras derivadas
ddx [tg x ]=sec2x
ddx
[ xcx ]=¿sec xtgx
ddx
[cotgx ]=cosec x2
ddx
¿]= −cosec x cotg x
REGRA DA CADEIA
Considere o problema de calcular a derivada de ddx
¿2+1)100] .
Seja h(x )=¿2+1)100, nossa estratégia será escrever h como uma composta de
funções mais simples que sabemos derivar facilmente e, então expressar ddx
¿2+1)100]
em termos das derivadas das funções simples. Por exemplo, expressamos h(x ) como a
composição h(x ) =( f og)(x )=f (g ( x )) onde g(x )=¿ x2 +1,f (x) =x100 .
Como sabemos que g’(x) =2x e f ’(x) =100x99 basta encontrar uma maneira de
expressar h’(x) em termos dessas duas derivadas conhecidas. A chave para isso é a
introdução das variáveis dependentes y=( x2+1)100 e u = g(x) =x2 +1 dos quais segue
y=u100. Assim queremos usar as derivadas conhecidas dydu
=100 u99 e dudx
=2 x .
Para encontrar a derivada desconhecida dydx =
ddx
¿2+1)100] segue que :
dydx
=dydu . dudx =100u99 .2 x=200 ¿
TEOREMA (REGRA DA CADEIA )
O nome regra da cadeia é apropriado porque a derivada procurada é obtida com
os dois elos de uma cadeia das derivadas mais simples.
Se g for direrenciavel no ponto x e f for diferenciavel no ponto g(x), então a
composição fog é diferenciavel no ponto x. Além disso, sey = f (g(x )) e u =g(x ) então:
y=f (u) é dydx
=dydu .
dudx
EXEMPLO 20:
1) Encontre dydx se y = cos (x3)
Solução:
Tomamos u = x3 e expressamos y como y= cos u. Aplicando a fórmula dydx
=dydu .
dudx . Obtemos
ddu [cos u ]
ddx [x3] .
dydx =(-sen u ).(3x2)
dydx = (-sen (x3)). (3x2)
dydx = - 3x2sen (x3)
2) calcule f ’(x ) ,sendo f(x) = (3x2+1)3
Solução:
Fazendo, f (x) =u3, onde u = 3x2+1 temos:
f ’ (x) =ddu [u3]
dudx = 3 u2
dudx =3(3x2+1)2 (6x)
Ou seja,
f ’ (x) =18x(3x2 +1)2
Exemplo 21:
Seja f (x) =x4 calcule
a)f ’(x )
b) f ’(12)
Solução:
a) f (x) = x4 ⇒f ’(x ) =4x4-1, ou seja, f ’ (x) =4x3
b)como f ’ (x )=4x3,segue que f ’12= 4 .1/33 ,ou seja f ’ de ½ =1/2
TEOREMA: São validos as fórmulas de derivação
a) f (x) =ex⇒f ’ ¿) = ex
b) g(x) =lnx ⇒g(x ) = 1/ x , x > 0
EXEMPLO 22:
Calculef ’(x)
a) f (x) =2x
b) f (x) = 5x
c)f (x) = ex
SOLUÇÃO
a) 2Xln2
b) 5xln5
c)ex
Exemplo 23:
1) Ache f ’(x) se f (x) =x2 sen x
Solução:
f ’ (x )=¿ x2cosx+2xsenx
2)Ache f ’(x) se f (x) = 2 cos x
Solução:
f ' ( x )=−2 senx
3)Ache g ’( x)se g (x)=4 tgx
Solução:
g ’( x)=4 sec2
4)Ache f ’(x )se f (x)=2 secx
Solução:
f ’ (x )=2 secx 2 tgx
CAPÍTULO 3
Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio Ressaltamos a importância do teorema do valor médio na introdução deste
capitulo. A demonstração do teorema do valor médio é baseada num caso particular
conhecido como teorema de Rolle, que discutiremos primeiro. Seja f uma função
continua no intervalo fechado [a, b], derivável no intervalo aberto (a,b) e tal que f(a)=0
e f(b)=0 . O matemático francês MICHAEL ROLLE (1652-1719) provou que se uma
função satisfaz essas condições, existe pelo menos um número centre a e b para o
qual f ’(x )=0 .
Vejamos qual o significado geométrico disto, a figura 1 mostra um esboço do
gráfico de uma função f que satisfaz as condições do parágrafo precedente.
Vemos, intuitivamente, que existe pelo menos um ponto sobre a curva entre os
pontos (a ,0) e (b ,0) onde a reta tangente é paralela ao eixo x ;isto é, a inclinação da
reta tangente é zero . Esta situação é ilustrada na figura 1, no ponto p. Assim sendo, a
abscissa de p é o c ,tal que f ’(x )=0 .
FIGURA 1
A função cujo gráfico está esboçado na figura não é derivável apenas no intervalo
(a,b); isso ocorre também nos extremos do intervalo. Mas, a condição de que f seja
derivável nos extremos não é necessária, para que o gráfico tenha uma reta tangente
horizontal em algum ponto no intervalo; a figura 2 mostra isso, ela mostra que a figura
não é derivável em a e b ;contudo, existe uma reta tangente no ponto onde x=c e c
está entre a e b.
FIGURA 2
Entretanto, é necessário que a função seja contínua nos extremos do intervalo, para
garantir a existência dessa tangente. A figura 3 mostra um esboço do gráfico de uma
função que é contínua no intervalo [a,b], mas descontínua em zero em ambos os
pontos a e b .Não existe contudo, nenhum ponto no qual o gráfico tenha uma reta
tangente horizontal .
FIGURA 3
Vamos enunciar e provar agora o teorema de ROLLE
Teorema de Rolle: seja f uma função, tal que (i) ela seja continua no intervalo fechado
[a ,b] ; (ii) ela seja continua no intervalo aberto (a,b); (iii)f (a) = 0 e f (b)= 0 Então existe
um numero Cno intervalo aberto (a ,b),tal que f l(c) = 0 .
Demonstração: Vamos dividir a demonstração deste em dois casos.
Caso 1: f (x)=¿0 para todo x em [a,b] entãof ' (x) = 0 para todo x em (a,b); logo
qualquer numero entre a e c pode ser tornado como c.
Caso 2: f (x) não se anula para todos os valores de x no intervalo aberto (a ,b). Como f
é continua no intervalo fechado [a, b]. De (iii¿, f (a)=0 e f (b)=0.Além disso f (x) não
é zero para todox em (a ,b),ou um valor mínimo absoluto negativo em algum c2 de (
a ,b) ou ambos. Assim, para c=c1 ou c = c2 , conforme o caso, existe um extremo
absoluto num ponto interior ao intervalo [a,b].Logo o extremo absoluto f (c) é um
extremo relativo, e como por hipótese existe f ’ (c), segue do teorema que f (c) =0 isso
prova o teorema .
Pode existir mais de um número no intervalo aberto (a,b), para o qual a derivada de f
seja zero isso é ilustrado geometricamente na figura 4, onde a reta tangente é
horizontal no ponto onde x=c1 e também no ponto onde x=c2, assim ambos f ’(c1)=0
e f ’(c2)=0 .
FIGURA 4
O inverso do teorema de ROLLE não é verdadeiro, isto é, não podemos concluir
se uma função f for tal que f ’(c) =0, como a<c<b , então serão verdadeiras as
condições (i), (ii), (iii).
Agora vejamos os exemplos:
Exemplo 25:
Dado f (x) =4 x3-9 x, comprove que as condições (i),(ii) ,(iii ) das hipóteses do
teorema de ROLLE então satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos: [- 3/2; 0] ,
[0;3/2] , e
[-3/2; 3/2], ache então o valor de c em cada um desses intervalos para os quais f ’ (x)
=0.
Solução:
f ’ (x) =12x2-9
Como f ’(x) existe para todos os valores de x , f é derivável em (-∞ ,+∞). Assim as
condições (i) e (ii) do teorema de ROLLE são validas em qualquer intervalo. Para
determinar em quais intervalos a condição (iii) se verifica, encontramos os valores de x
para os quais f (x)=¿0.
Se f (x) =0. 4x(x2-94 ) = 0 ⇒x = -
32 , x = o , x=
32 .
Como a = 32 e b=0 o teorema de ROLLE é valido em [-
32 ···, 0 ]analogamente o
Teorema de Rolle é valido em [0 , 32 ] e [-
32 ,
32 ] .
Para encontrarmos os valores adequados de c ,equacionamos f ’ (x ) =0 obtendo
12x2-9 =0→x=- 12 √3 ⇒x=
12 √3
Portanto no intervalo [- 3/2; 0], uma escolha adequada para c é - 12 √3. No intervalo,
[0;3/2] tomamos c =12 √3 , enquanto que no intervalo [-
32 ,
32 ] temos duas
possibilidades para
c =- 12 √3 ou
12 √3 .
Vamos agora aplicar o teorema de ROLLE para provar o teorema do valor
médio.Iniciaremos sobre três itens principais e em seguida mostraremos as fórmulas
aplicadas em cada um deles ,após isso será feito o esboço do gráfico da função dada
formando assim uma reta secante que liga os pontos
TEOREMA DO VALOR MÉDIO
TEOREMA: Seja fuma função tal que:
(i) seja contínua no intervalo fechado [a, b];
(ii) seja derivável no intervalo aberto (a, b); então, existirá um número c no intervalo
aberto (a ,b) tal que,
f ’(c) =f (b )−f (a)b−a
Antes de demonstrar o teorema, vamos interpretá-lo geometricamente. Num
esboço do gráfico da funçãof ’ [ f (b)−f (a)]/(b−a)] é a inclinação ao seguimento da
reta que liga os pontos A (a,f(a)) e B(b,f(b) ). O teorema do valor médio afirma que
existe um ponto sobre a curva entre a e b onde a reta tangente e paralela a reta
secante por A e B, isto é, existe um número c em (a,b), tal que :
f ’(c) =f (b )−f (a)b−a
FIGURA 5
Tomarmos o eixo x coincidente com a reta secante AB, podemos observar que o
teorema do valor médio é Se uma generalização do teorema de Rolle, o qual será
usado em sua demonstração.
DEMONSTRAÇÃO:
Uma equação da reta que passa por A e B na figura 5 é
y-f (a) =f (b )−f (a)b−a
(x-a) ⇒y =f (b )−f (a)b−a
(x−a)-f (a)
Vamos mostrar que a equação f satisfaz as três condições da hipótese do
Teorema de Rolle.
A função f é continua no intervalo fechado [a ,b] pois, é a soma de f com uma
função polinomial linear , ambos os quais são contínuas no intervalo. Logo, a condição
(i) está satisfeita por f . A condição (i i) está satisfeita por f ,pois, f é derivável em (a, b)
de onde segue que f (a) = 0. Portanto, também a condição (iii) do Teorema de Rolle
está satisfeita por f .
Da conclusão do teorema de Rolle, temos que existe um c no intervalo aberto (
a ,b) tal que f ’(c) =0, mas:
f ’(x) =f ’(x) - f (b )−f (a)b−a
Assim:
f ’(c) =f ’(c) - f (b )−f (a)b−a
Logo, existe um número c em (a ,b) tal que:
0 = f ’(c) - f (b )−f (a)b−a
=f ’(c) - f (b )−f (a)b−a
Como queríamos demonstrar.
EXEMPLO 24:
Dada f (x) = x3-5x2-3x
Comprove que as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para a
=1 e b =3. Então, encontre todos os números c no intervalo aberto (1,3), tais que,
f ’(c) = f (3 )−f (1)
3−1
Solução:
Como f é uma função polinomial, ela será continua e derivável para todos os
valores de x. Logo, as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para todo
a e b.
f ’(x) =3x2 -10x-3
f (1) = - 7 ef (3) = - 27
Logo,
f (3 )− f (1)3−1
= −27−(−7)2
= −20
2 = - 10
Equacionando f ’ (c) = -10 ,obtemos:
3c2 – 10c -3 = - 10
3c2-10c +7=0
(3c−7¿(c−1)=0
C =73 ; c =1
Como 1 não está no intervalo aberto (1,3), o único valor possível para cé 73 .
Exemplo 25:
Dada f (x) = x2/3
Faça um esboço do gráfico de f . Mostre que não existe nenhum número c no intervalo
aberto (-2,2) tal que:
f ' (c )=f (2 )− f (−2)
2−(−2)
Que condição dentre as hipóteses do teorema do valor médio não está satisfeita
Para f quando a = -2 e b= 2?
Solução: Um esboço do gráfico f aparece na figura 6.
FIGURA 6
f ’(x) =23x -1/3
Assim: f ’(c) = 23c
23
f (2 )− f (−2)2−(−2)
=41/3−41/3
4 Não existe um número c para o qual 2 ÷3c1/3 = 0 . A funçãof é contínua no intervalo fechado [-2,2]; contudo f não é derivável no intervalo aberto (-2,2), pois f ’(0) não existe. Logo a condição (ii) das hipóteses do teorema do valor médio não está satisfeita para f ,quando a= -2 e b =2. Antes do enunciado do teorema do valor médio, indicamos que se trata de um dos mais importantes teoremas de cálculo, pois é usado na demonstração de muitos outros teoremas. Em tais casos não é necessário encontra o valor do número c garantido pelo teorema. O fato crucial do teorema é a existência do número c. para
indicar a importância do teorema do valor médio, mostramos o seu uso na demonstração do teorema a seguir.Teorema: se f for uma função tal que f (x) =0 para todos os valores de x num intervalo I, entãof será constante em I.Prova: Suponha quef não seja constante no intervalo I. Então existe dois números distintos, x1 e x2 em 1 ,com x1 <x2, tais que f (x₁)≠ f (x₂) . Como por hipótese f ’(x)= 0 para todo x em 1 ,então f ’ (x ) = 0 para todox no intervalo fechado [ x₁ , x ₂] . Logo,fé derivável para todo x em [x₁ , x₂] e f é continua em [x1, x2]. Portanto, a hipótese do teorema do valor médio está satisfeita, e então existe um número c ,com x1 <c <x2 tal que:
f ’(c) = f ( x1 )−f (x 2)x 1−x 2 Mas como f ’(x) =0 para todo x no intervalo [x₁ , x₂] então f ’( c ) =0 logo, segue que f (x₁)=f (x₂) mas supomos que f (x₁)≠ f (x₂).Temos ,portanto uma contradição e , assim sendo ,f é constante em I .ProposiçãoSeja f uma função contínua no intervalo [a ,b] e derivável no intervalo (a ,b).
i ¿ Se f ’ (x)>0 para todo x ∈ (a ,b) ,então f é crescente em [a,b] ;ii¿ Se f ’ (x) < 0 para todo x ∈ (a,b) ,entãof é decrescente em [a,b] .CONCLUSÃO
É importante que se conheça teoricamente o teorema do valor médio, pois, há
muitas formas de aplicações. Ao longo do assunto podemos observar que abordamos
temas importantes bem como: potências, Derivadas, reta tangente, função exponencial
dentre outros. São assuntos comuns do nosso dia a dia e que sem dúvida nenhuma
servirá como fonte de pesquisa para futuros alunos e também professores. Esperamos
que o professores que fizeram parte da banca tenham gostado, pois concluir este
trabalho para nós foi uma superação.obrigado .
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] GUIDORIZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo, Volume 1, 5ª edição,Rio de
Janeiro,LTC,1985.
[2] LOUIS, Leithold. O Cálculo com Geometria Analítica, Volume 1, 3ª edição, São
Paulo,HARBRA Ltda, 1994.
[3] HOWARD Anton;IRI Bivens; STEPHEN Davis, CÁLCULO,Volume 1, 8ª edição,
Rio Grande do Sul,ABDR,Bookman, 2007.
[4] HUGLES-HALLETT,GLEASON, LOCK,FLATH. Cálculo e aplicações, Volume
único, São Paulo, EDGARD Ltda, 1999.