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Teoria das Eleições

Fundamentos e Ensino da Álgebra 1

FACULFACULFACULFACULDADE DE CIÊDADE DE CIÊDADE DE CIÊDADE DE CIÊNCIAS E NCIAS E NCIAS E NCIAS E

TECNTECNTECNTECNOLOGIA DAOLOGIA DAOLOGIA DAOLOGIA DA

UUUUNIVERSIDNIVERSIDNIVERSIDNIVERSIDADE DE COIMADE DE COIMADE DE COIMADE DE COIMBRABRABRABRA

DEPARTAMENTDEPARTAMENTDEPARTAMENTDEPARTAMENTOOOO DEDEDEDE MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA

Fundamentos e Ensino da Álgebra


Trabalho realizado por:

Ana Margarida Tavares Gonçalves, n.º 985012361 Emília Sofia Martins Tavares Lopes, n.º 985012389 Rita Duarte Pimentel, n.º 985012431 Sofia Isabel da Fonseca Miranda, n.º 995011946

Coimbra, 31 de Outubro de 2002



DDDDDDDDeeeeeeeemmmmmmmmooooooooccccccccrrrrrrrraaaaaaaacccccccciiiiiiiiaaaaaaaa éééééééé ooooooooppppppppoooooooorrrrrrrrttttttttuuuuuuuunnnnnnnniiiiiiiizzzzzzzzaaaaaaaarrrrrrrr aaaaaaaa ttttttttooooooooddddddddoooooooossssssss

oooooooo mmmmmmmmeeeeeeeessssssssmmmmmmmmoooooooo ppppppppoooooooonnnnnnnnttttttttoooooooo ddddddddeeeeeeee ppppppppaaaaaaaarrrrrrrrttttttttiiiiiiiiddddddddaaaaaaaa........

QQQQQQQQuuuuuuuuaaaaaaaannnnnnnnttttttttoooooooo aaaaaaaaoooooooo ppppppppoooooooonnnnnnnnttttttttoooooooo ddddddddeeeeeeee cccccccchhhhhhhheeeeeeeeggggggggaaaaaaaaddddddddaaaaaaaa,,,,,,,,

ddddddddeeeeeeeeppppppppeeeeeeeennnnnnnnddddddddeeeeeeee ddddddddeeeeeeee ccccccccaaaaaaaaddddddddaaaaaaaa uuuuuuuummmmmmmm........

FFFFFFFFeeeeeeeerrrrrrrrnnnnnnnnaaaaaaaannnnnnnnddddddddoooooooo SSSSSSSSaaaaaaaabbbbbbbbiiiiiiiinnnnnnnnoooooooo



ÍÍÍÍÍÍÍÍNNNNNNNNDDDDDDDDIIIIIIIICCCCCCCCEEEEEEEE

PREFÁCIO ................................................................................................................5

CAPÍTULO I – MÉTODOS DE VOTAÇÃO .........................................................6

0. Motivação .........................................................................................................7

1. Introdução ........................................................................................................9

1.1 Teorema da Impossibilidade de Arrow .................................................10

2. Conceitos Básicos .............................................................................................11

2.1 Boletim de voto por ordem de preferência e lista de preferências ......11

2.2 Transitividade e eliminação dos candidatos ..........................................15

3. Métodos de Votação ........................................................................................16

3.1 Método da Pluralidade ............................................................................17

3.1.1 Critério da Maioria ..................................................................19

3.1.2 Lacunas do método da pluralidade .........................................20

3.2 Método de Contagem de Borda ..............................................................24

3.2.1 Lacunas do método de contagem de Borda ............................28

3.3 Método da Pluralidade com Eliminação ...............................................30

3.3.1 Lacunas do método da pluralidade com eliminação .............37

3.4 Método de Comparação Par a Par .........................................................46

3.4.1 Lacunas do método de comparação par a par .......................51

3.4.2 Quantas comparações par a par têm de ser feitas

numa eleição? ............................................................................56

3.5 Comparação dos resultados obtidos ......................................................57

3.6 Rankings ...................................................................................................58

3.6.1 Métodos de Ranking Alargados ..............................................58

3.6.2 Métodos de Ranking Recursivos .............................................63

4. Conclusão .........................................................................................................66

5. Apêndice ...........................................................................................................67

5.1 Método do Voto Transferível ..................................................................68

5.2 Método de Votação por Aprovação ........................................................69



6. Observações ......................................................................................................71

CAPÍTULO II – ELEIÇÕES EM PORTUGAL ....................................................72

CAPÍTULO III – SISTEMAS DE VOTAÇÃO PONDERADA ............................76

1. Introdução ........................................................................................................77

2. Terminologia e Notação ..................................................................................78

3. Índice de Poder de Banzhaf ............................................................................82

3.1 Aplicações do Índice de Poder de Banzhaf ............................................89

4. Índice de Poder de Shapley-Shubik ...............................................................92

4.1 Aplicações do Índice de Poder de Shapley-Shubik ...............................99

5. Eleições Legislativas: Comparação dos Índices de Poder apresentados ....101

6. Conclusão .........................................................................................................106

CAPÍTULO IV – A TEORIA DAS ELEIÇÕES NA ESCOLA ............................108

EPÍLOGO ..................................................................................................................113

ANEXO .......................................................................................................................114

1. Biografias ..........................................................................................................114

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................121



PPPPPPPPRRRRRRRREEEEEEEEFFFFFFFFÁÁÁÁÁÁÁÁCCCCCCCCIIIIIIIIOOOOOOOO

Nos últimos anos o ensino da Matemática tem vindo a evoluir de modo a inter-

relacionar a matemática com os variados interesses dos alunos. A teoria das eleições,

tema a abordar neste trabalho, insere-se no módulo “Matemática Aplicada às Ciências

Sociais” e destina-se aos cursos Geral de Ciências Sociais e Humanas e Tecnológico de

Ordenamento do Território.

Neste trabalho iremos abordar diferentes métodos de votação incluindo o sistema

de votação ponderada.



CCCCCCCCAAAAAAAAPPPPPPPPÍÍÍÍÍÍÍÍTTTTTTTTUUUUUUUULLLLLLLLOOOOOOOO IIIIIIII

MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOOSSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEE VVVVVVVVOOOOOOOOTTTTTTTTAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO



00000000........ MMMMMMMMOOOOOOOOTTTTTTTTIIIIIIIIVVVVVVVVAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

O Problema do Senado Romano:

Há dois mil anos atrás, o historiador romano Pliny

teve um dilema de votação: um debate surgiu, referente ao

servo do Cônsul Afranius Dexter. Havia dúvida se este

último se teria suicidado ou se tinha sido morto pelas mãos

do seu servo. Tendo sido o seu servo a matá-lo, não estava

claro se este o fizera por obediência (um acto de “morte piedosa”, de acordo com a

vontade de Dexter) ou se cometeu assassínio. Pliny descreveu três grupos no Senado

Romano:

Grupo A: acreditava que o servo era inocente, sendo a favor da sua absolvição;

Grupo B: considerava o servo culpado até certo ponto, atribuindo como pena

apropriada, o banimento;

Grupo C: considerava o servo culpado do crime, achando assim que este devia

ser condenado à morte.



Morte de Dexter

Suicídio Assassínio

(inocente) (culpado)

Morto por obediência Assassinado

(banimento) (condenado

à morte)

Consideremos A, B, C para representar os três

grupos e a, b, c para definir as três acções,

respectivamente: absolvição, banimento e

condenação.

Suponhamos que os três grupos correspondem a 40%, 35% e 25% dos

Senadores, respectivamente. Com estas informações podemos construir a tabela 1.1.



Grupo A B C

Acção a b C

Percentagem 40 35 25

Tabela 1.1

11111111........ IIIIIIIINNNNNNNNTTTTTTTTRRRRRRRROOOOOOOODDDDDDDDUUUUUUUUÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

Votar é expressar a nossa opinião! Num país democrático votamos em eleições

governamentais e presidenciais; numa universidade reivindicativa votamos em

assembleias magnas organizadas pela associação de estudantes; numa escola organizada

votamos no delegado de turma; e em família votamos no destino das próximas férias.

Como podemos verificar, são muitas as situações em que temos que votar. Isso acontece

porque não temos todos a mesma opinião.

Mas votar é a parte simples de uma eleição, a parte com a qual estamos mais

familiarizados. Como sugere Tom Stoppard, é a parte seguinte – a contagem – o

verdadeiro cerne do processo democrático. A verdadeira dificuldade está em através da

voz de votos individuais descobrir a voz colectiva do grupo. A teoria das eleições

pretende mostrar como fazer esse trabalho.

A maioria das pessoas ficará intrigada com a necessidade de existência de uma

teoria das eleições. Pensará que basta fazer a eleição, contar os votos e baseado nessa

contagem, decidir o resultado da eleição de uma maneira consistente e justa, crentes de

que existe um processo razoável de efectuar tudo isto. Mas surpreendentemente, não há!

O veredicto vai depender, tanto do procedimento de votação dos Senadores como do género de informação que estes têm e das estratégias e argumentos de votação.



11111111........11111111 TTTTTTTTEEEEEEEEOOOOOOOORRRRRRRREEEEEEEEMMMMMMMMAAAAAAAA DDDDDDDDAAAAAAAA IIIIIIIIMMMMMMMMPPPPPPPPOOOOOOOOSSSSSSSSSSSSSSSSIIIIIIIIBBBBBBBBIIIIIIIILLLLLLLLIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDDEEEEEEEE DDDDDDDDEEEEEEEE AAAAAAAARRRRRRRRRRRRRRRROOOOOOOOWWWWWWWW

Durante vários séculos alguns matemáticos preocuparam-se em encontrar um

sistema de votação perfeito. No início de 1950, o matemático e economista Kenneth J.

Arrow descreveu um conjunto de condições que considerava necessárias para que um

método de votação fosse justo. Ficaram conhecidas como condições de Arrow e são as

seguintes:

Não à ditadura: a preferência de um só indivíduo não deve vir a ser uma

classificação de grupo, sem que sejam consideradas todas as outras preferências

individuais.

Soberania individual: a cada indivíduo é permitido ordenar as escolhas de

qualquer maneira e este pode ainda indicar empates.

Unanimidade: se cada indivíduo prefere uma escolha a outra, a classificação de

grupo deve ser a mesma.

Liberdade de alternativas irrelevantes: a classificação de grupo entre um par

de escolhas não depende das preferências individuais das restantes.

Classificação única de grupo: o método de produzir a classificação de grupo

deve levar a um único resultado, sempre que é aplicado o mesmo conjunto de

preferências. A classificação de grupo também deve ser transitiva.

Arrow, depois de estudar vários métodos, verificou que nenhum obedecia aos

cinco critérios. Então descobriu e demonstrou um facto notável: Para eleições

envolvendo três ou mais candidatos, é matematicamente impossível encontrar um

método, democrático e justo, para determinar o vencedor. Este facto, o mais famoso na

teoria das eleições, é conhecido como Teorema da impossibilidade de Arrow.



22222222........ CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNCCCCCCCCEEEEEEEEIIIIIIIITTTTTTTTOOOOOOOOSSSSSSSS BBBBBBBBÁÁÁÁÁÁÁÁSSSSSSSSIIIIIIIICCCCCCCCOOOOOOOOSSSSSSSS

Vamos começar por introduzir alguns conceitos elementares, necessários para a

compreensão de todo o capítulo.

22222222........11111111 BBBBBBBBOOOOOOOOLLLLLLLLEEEEEEEETTTTTTTTIIIIIIIIMMMMMMMM DDDDDDDDEEEEEEEE VVVVVVVVOOOOOOOOTTTTTTTTOOOOOOOO PPPPPPPPOOOOOOOORRRRRRRR OOOOOOOORRRRRRRRDDDDDDDDEEEEEEEEMMMMMMMM DDDDDDDDEEEEEEEE PPPPPPPPRRRRRRRREEEEEEEEFFFFFFFFEEEEEEEERRRRRRRRÊÊÊÊÊÊÊÊNNNNNNNNCCCCCCCCIIIIIIIIAAAAAAAA

EEEEEEEE LLLLLLLLIIIIIIIISSSSSSSSTTTTTTTTAAAAAAAA DDDDDDDDEEEEEEEE PPPPPPPPRRRRRRRREEEEEEEEFFFFFFFFEEEEEEEERRRRRRRRÊÊÊÊÊÊÊÊNNNNNNNNCCCCCCCCIIIIIIIIAAAAAAAASSSSSSSS

Existem vários tipos de boletim de voto. Aqueles em que é pedido ao eleitor para

ordenar todos os candidatos pela sua preferência são chamados boletins de voto por

ordem de preferência. Neste capítulo iremos ilustrar todos os nossos exemplos usando

este formato de boletim. Embora o boletim de voto por ordem de preferência não seja a

forma mais comum, na realidade, é uma das melhores formas utilizadas visto que

permite ao eleitor expressar a sua opinião acerca do mérito de todos os candidatos.

Após a fase final do Campeonato da Europa que decorreu em Inglaterra

(EURO’96), Portugal sentiu que tinha competência para submeter à UEFA um processo

de candidatura para o certame agendado para o ano de 2004, apesar de ser quase

consensual que somente os tradicionais “Cinco Grandes” países europeus (Alemanha,

Espanha, França, Inglaterra e Itália) teriam capacidade para fornecer as infra-estruturas

necessárias para o evento. Junto com Portugal,

foram a Genebra (Suíça) depositar na UEFA o

“dossiê” de candidatura, a Espanha, a coligação

Hungria-Áustria e a Suíça. Passado pouco tempo

a Suíça desistiu da corrida, reduzindo para dois

os concorrentes da candidatura portuguesa.

Eram 16 as federações com assento e direito de voto nos órgãos da UEFA, as

quais tomariam a decisão. Suponhamos que os boletins de voto eram por ordem de

Exemplo 1.1



preferência, ou seja, tinham os três espaços para cada federação colocar, por ordem da

sua preferência, os países candidatos. Admitamos que a votação tinha sido a seguinte:

Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto

1º opção: Portugal

2º opção: Espanha

3º opção: Hungria-Áustria

















































Boletim de Voto




Figura 1.1 – Os 16 boletins de voto por ordem de preferência para a eleição do país que organizará o EURO 2004

Analisando a Figura 1.1 verificamos que há muitas repetições entre os boletins

de voto preenchidos, ou seja, diferentes federações colocaram os candidatos

exactamente da mesma forma (Figura 1.2). Assim, uma forma lógica de organizar os

boletins é agrupar os que são iguais, e isso conduz-nos obviamente à tabela 1.2, que é

denominada lista de preferências. Esta é a forma mais simples e compacta de sumariar

as votações numa eleição baseada em boletins de voto por ordem de preferência.

0

2

4

6

8

Boletim tipo 1

Boletim tipo 2

Boletim tipo 3

Boletim tipo 4

Boletim tipo 5

Boletim tipo 6

Boletim tipo 1: Boletim tipo 2: Boletim tipo 3:









2º opção: Hungra-Áustria




Boletim tipo 4: Boletim tipo 5: Boletim tipo 6:











Figura 1.2 – Boletins de voto da eleição do organizador oficial do EURO 2004 organizados num gráfico

Número de votos 6 4 3 1 1 1

1º opção Portugal Portugal Espanha Espanha Hungria

Áustria

Hungria

Áustria

2º opção Espanha Hungria

Áustria Portugal

Hungria

Áustria Portugal Espanha

3º opção Hungria

Áustria Espanha

Hungria

Áustria Portugal Espanha Espanha

Tabela 1.2

Existe um formato alternativo para os boletins de voto por ordem de preferência,

no qual o nome dos candidatos aparece no boletim por uma ordem aleatória e o eleitor

põe a seguir ao nome de cada candidato a sua preferência (1, 2,...).

Figura 1.3 – Exemplo de um boletim de voto da eleição do organizador oficial do EURO

2004 no formato habitual

Boletim de Voto

1º opção: __________

2º opção: __________

3º opção: __________



Figura 1.4 – Exemplo de um boletim de voto da eleição do organizador oficial do EURO

2004 no formato alternativo

Obviamente a lista de preferências terá outro aspecto. Por exemplo, a lista de

preferências apresentada na Tabela 1.2 toma o seguinte aspecto:


Espanha 2 3 1 1 3 2

Coligação Hungria-Áustria 3 2 3 2 1 1

Portugal 1 1 2 3 2 3

Tabela 1.3

22222222........22222222 TTTTTTTTRRRRRRRRAAAAAAAANNNNNNNNSSSSSSSSIIIIIIIITTTTTTTTIIIIIIIIVVVVVVVVIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDDEEEEEEEE EEEEEEEE EEEEEEEELLLLLLLLIIIIIIIIMMMMMMMMIIIIIIIINNNNNNNNAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO DDDDDDDDEEEEEEEE CCCCCCCCAAAAAAAANNNNNNNNDDDDDDDDIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAATTTTTTTTOOOOOOOOSSSSSSSS Há dois factos importantes que precisamos de reter quando trabalhamos com

boletins de voto por ordem de preferência. O primeiro é a transitividade da preferência

individual, isto é, se um eleitor prefere A a B e B a C, então segue-se automaticamente

que este eleitor prefere A a C. Uma consequência útil desta observação é: se quisermos

saber qual o candidato em que um eleitor quer votar, se decair a escolha entre apenas

dois candidatos, tudo o que temos que fazer é olhar e ver qual o candidato que está

situado mais acima no voto desse eleitor. Ilustramos este facto nas duas figuras

seguintes.

Boletim de Voto

Espanha: ___________

Hungria-Áustria: _____

Portugal: ___________



Figura 1.5 – Exemplo de um boletim de voto para a eleição do organizador oficial do

EURO 2004, supondo que a Suíça ainda não tinha desistido quando decorreu a votação

Suponhamos que depois dos boletins de voto estarem preenchidos a Suíça

desiste da competição. O boletim de voto anterior tomaria o seguinte aspecto:

Figura 1.6 – Transformação do boletim de voto da Figura 1.5 quando a Suíça desistiu da

candidatura

Verificamos assim que a posição relativa dos restantes candidatos não é

afectada: Portugal permanece na primeira opção, a Espanha move-se para a segunda, e a

coligação Hungria-Áustria move-se para a terceira. Ou seja, a preferência relativa de

um eleitor não é afectada pela eliminação de um ou mais candidatos.

33333333........ MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOOSSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEE VVVVVVVVOOOOOOOOTTTTTTTTAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

Exploraremos agora alguns dos mais comuns métodos de votação – como

funcionam, quais são as suas implicações, e como se comportam quando sujeitos a

alguns testes básicos de justiça.

Boletim de Voto


2º opção: Suíça



Boletim de Voto






33333333........11111111 OOOOOOOO MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDAAAAAAAA PPPPPPPPLLLLLLLLUUUUUUUURRRRRRRRAAAAAAAALLLLLLLLIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDDEEEEEEEE SSSSSSSSIIIIIIIIMMMMMMMMPPPPPPPPLLLLLLLLEEEEEEEESSSSSSSS

Para simplificarmos o texto sempre que nos referirmos ao método da pluralidade

simples omitiremos a palavra simples.

O método da pluralidade é, possivelmente, o método mais reconhecido e

geralmente usado para encontrar um vencedor numa eleição. Essencialmente este

método afirma que vence o candidato (ou os candidatos, se forem mais do que um) com

maior número de votos em primeiro lugar. Notemos que no método da pluralidade a

única informação que é utilizada dos boletins de voto é a escolha para o primeiro lugar,

nada mais interessa.

Há alguns anos a televisão portuguesa começou a ser invadida por uma grande

quantidade de programas, conhecidos por muitos pela falta de qualidade, mas que são

líderes de audiência! O Big Brother, mais especificamente o Big Brother Famosos, é um

exemplo desse tipo de programas.

Vamos, inicialmente, explicar como funciona o Big

Brother Famosos. Neste programa entram dentro de uma casa treze

concorrentes (supostamente conhecidos na sociedade), os quais

têm como objectivo permanecer nessa mesma casa, sem contacto

com a realidade exterior, o máximo de tempo. Todas as semanas é expulso um

concorrente e o último a sair é o vencedor.

Admitamos que em cada semana, as pessoas que pretendem votar para expulsar

um concorrente da casa, bastaria se ligam à internet, acedem à página do programa e

preenchem um boletim de voto por ordem de preferência. Nesse boletim colocam os

nomes de todos os concorrentes que ainda vivem na casa, começando pelo que

preferiam que saísse nessa semana e terminando naquele que gostariam que ganhasse.

Exemplo 1.2



Suponhamos que hoje é terça-feira, dia em que sai um concorrente do programa,

e estão 5 concorrentes na casa. Sejam eles:

os quais representaremos por C, F, J, R e S, respectivamente.

Admitamos que a lista de preferências para a votação de quem vai sair da casa

esta semana é a seguinte:

Tabela 1.4

Quando aplicamos o método da pluralidade ao exemplo do Big Brother Famosos

obtemos:

O Carlos conseguiu 10000 votos em primeiro lugar

O Francisco conseguiu 18000 votos em primeiro lugar

O João conseguiu 12000 votos em primeiro lugar

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção F J C R S S

2º opção R S J C J C

3º opção S R S S R R

4º opção C C R J C J

5º opção J F F F F F



O Ricky conseguiu 9000 votos em primeiro lugar

A Sónia conseguiu 6000 votos em primeiro lugar

Neste caso o resultado da eleição é claro:

O Francisco vai ser expulso.

A popularidade do método da pluralidade assenta não só na simplicidade mas

também por ser uma extensão natural do princípio da regra da maioria: Numa eleição

entre dois candidatos, o que tiver a maioria (mais do que metade) dos votos vence.

Quando existem três ou mais candidatos a regra da maioria nem sempre pode ser

aplicada.

Por exemplo, no caso do Big Brother Famosos, eram necessários 27500 votos

em primeiro lugar (metade de 55000) para obter uma maioria, mas nenhum dos

candidatos recebeu esse montante de votos, logo nenhum tem a requerida maioria.

O concorrente F, com 18000 votos em primeiro lugar, tem mais do que qualquer

outro, então ele tem a pluralidade.

33333333........11111111........11111111 OOOOOOOO CCCCCCCCrrrrrrrriiiiiiiittttttttéééééééérrrrrrrriiiiiiiioooooooo ddddddddaaaaaaaa MMMMMMMMaaaaaaaaiiiiiiiioooooooorrrrrrrriiiiiiiiaaaaaaaa

Enquanto que uma pluralidade não implica uma maioria, uma maioria implica

uma pluralidade: Um candidato que tem mais de metade dos votos em primeiro lugar,

tem automaticamente mais votos em primeiro lugar do que qualquer outro candidato.

Assim, um candidato que tem a maioria dos votos em primeiro lugar é o vencedor no

método da pluralidade.

A noção de que ter a maioria dos votos em primeiro lugar garante a vitória numa

eleição faz sentido e é um importante requisito para uma eleição justa e democrática. De

facto, é suficientemente importante para ter um nome: o critério da maioria.

Critério da Maioria: Se numa eleição existe uma opção que tem a maioria dos votos em primeiro lugar, então essa opção deverá ser considerada a vencedora da eleição.



Como já verificamos, um candidato que tenha a maioria dos votos em primeiro

lugar será garantidamente o vencedor pelo método da pluralidade. Isto significa que o

método da pluralidade satisfaz o critério da maioria.

Em democracia continuamos a pensar no critério da maioria como uma dádiva.

Veremos brevemente que pode não ser o caso. Existem métodos importantes, e muito

utilizados, da teoria das eleições em que um candidato pode ter a maioria dos votos em

primeiro lugar e perder a eleição.

33333333........11111111........22222222 LLLLLLLLAAAAAAAACCCCCCCCUUUUUUUUNNNNNNNNAAAAAAAASSSSSSSS DDDDDDDDOOOOOOOO MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDAAAAAAAA PPPPPPPPLLLLLLLLUUUUUUUURRRRRRRRAAAAAAAALLLLLLLLIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDDEEEEEEEE

O método da pluralidade tem muitas falhas e é usualmente um método “pobre”

para escolher o vencedor de uma eleição, quando existem mais do que dois candidatos.

A sua principal fraqueza é não tomar em consideração as escolhas dos eleitores além da

primeira, o que pode conduzir a resultados eleitorais muito incorrectos.

Para entender este ponto consideremos o seguinte exemplo:

Os 150 alunos do 12º ano da Escola

Secundária Geral e Básica das

Laranjeiras decidiram organizar uma

viagem de finalistas. Foram

propostos para votação cinco destinos

distintos: Algarve, Benidorm, Lorett

del Mar, Madeira e Torremolinos. A

lista de preferências que fornece o

resultado da votação está exposta na

tabela seguinte:

Exemplo 1.3



Número de votos 72 70 8

1º opção Benidorm Torremolinos Lorett del Mar

2º opção Torremolinos Algarve Torremolinos

3º opção Lorett del Mar Madeira Algarve

4º opção Madeira Lorett del Mar Madeira

5º opção Algarve Benidorm Benidorm

Tabela 1.5

Se fosse utilizado o método da pluralidade o destino da viagem de finalistas seria

Benidorm, com 72 votos em primeiro lugar. Mas notemos que Torremolinos tem 70

votos em primeiro lugar e 80 em segundo. O senso comum diz-nos que Torremolinos é

uma melhor escolha para representar o desejo de todos os alunos. De facto, comparando

Torremolinos, par a par, com os outros destinos, ele é sempre a escolha favorita.

Vejamos, comparando Torremolinos com Benidorm temos 78 votos para Torremolinos

(70 da segunda coluna e 8 da terceira) contra 72 votos para Benidorm. Do mesmo

modo, comparando Torremolinos com Lorett del Mar resulta 142 votos para

Torremolinos (72 da primeira coluna e 70 da segunda) e 8 para Loreto del Mar.

Finalmente quando Torremolinos é comparado com qualquer um dos restantes destinos

obtém 150 votos.

Podemos agora sumariar o problema do Exemplo 1.3. Embora Torremolinos

vença na disputa par a par com qualquer outra opção, o método da pluralidade não o

escolhe para vencedor. Na linguagem de teoria das eleições, dizemos que o método da

pluralidade viola uma exigência básica de justiça designada por Critério de Condorcet.

Um candidato que vence todos os confrontos quando comparado par a par com

os outros é chamado um candidato Condorcet. O critério de Condorcet diz,

Critério de Condorcet: Se houver uma opção, a qual quando comparada par a par é sempre preferida pelos eleitores, então essa opção deverá ser considerada a vencedora da eleição.



simplesmente, que quando há um candidato Condorcet esse deverá ser o vencedor da

eleição. É claro que pode não haver um candidato Condorcet na eleição, nesse caso o

critério de Condorcet não se aplica.

Antes de continuarmos, vamos esclarecer o significado de algumas das

terminologias que acabamos de introduzir. Quando dizemos que o método da

pluralidade viola o critério de Condorcet, significa que é possível encontrar exemplos de

eleições em que um candidato vence todos os confrontos par a par, e pelo método da

pluralidade perde a eleição. A eleição da viagem de finalistas é um exemplo. Não

devemos concluir, todavia, que o problema ocorre em todas as eleições.

Condorcet também descreveu outro critério que ficou conhecido pelo Critério

Perdedor de Condorcet. Nesse critério ele afirmava que, se existe uma alternativa que

perde no confronto par a par com qualquer outra, então essa alternativa não deve ser a

vencedora da eleição.

Ainda neste contexto, existe outro critério não tão conhecido, o qual se

denomina Critério de Pareto e afirma que: se todos os eleitores preferirem uma

alternativa X a uma alternativa Y, então um método de votação não deve escolher Y

para vencedor.

Vamos concluir esta secção examinando outra fraqueza do método da

pluralidade: a facilidade com que uma votação estratégica pode afectar os resultados

de uma eleição. Uma votação é chamada estratégica quando um eleitor muda a

verdadeira ordem das suas preferências no boletim de voto, com o objectivo de

influenciar o resultado da eleição contra um certo candidato (este voto é chamado um

voto estratégico). No mundo real o voto estratégico pode ter consequências sérias e

inesperadas.



No ano de 2000 verificava-se uma situação muito particular no parlamento: 115

deputados pertenciam ao partido do Governo e os outros 115 à oposição.

Nesse mesmo ano, José Daniel Rosas

Campelo da Rocha era deputado nas listas do

CDS/PP (partido da oposição), pelo círculo de

Viana do Castelo.

Daniel Campelo é um defensor dos

interesses do seu conselho, como prova disso fez

greve de fome durante duas semana – nos próprios corredores da Assembleia da

República – em protesto contra a decisão do Governo de transferir a fábrica de queijo

Limiano para Vale de Cambra.

Em Novembro decorreu a votação para o Orçamento de Estado

de 2001. Habitualmente neste género de votações os deputados estão

obrigatoriamente sujeitos à disciplina partidária. E se assim

acontecesse, como a oposição pretendia votar contra, o Orçamento não passaria. Mas

Daniel Campelo acordou com o Governo que se absteria se fossem concedidos alguns

benefícios para a sua região (tais como, a construção de várias estradas e vias rápidas,

investimentos nos portos e no sector da saúde, apoios à construção de uma nova fábrica

de queijo Limiano). Deste modo o Governo teria a maioria e o Orçamento de Estado

passaria. Assim foi. Em troca de alguns benefícios regionais foi aprovado um

Orçamento que diz respeito ao país inteiro!

Como Daniel Campelo pertencia ao CDS/PP deduzimos que concordava com os

princípios desse mesmo partido, ou seja, seguindo as suas crenças votaria contra o

Orçamento de Estado. Isto significa que ele alterou o seu voto para influenciar o

resultado da eleição, ou seja, fez uma votação estratégica.

Exemplo 1.4



33333333........22222222 OOOOOOOO MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDEEEEEEEE CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNTTTTTTTTAAAAAAAAGGGGGGGGEEEEEEEEMMMMMMMM DDDDDDDDEEEEEEEE BBBBBBBBOOOOOOOORRRRRRRRDDDDDDDDAAAAAAAA

Outro método para encontrar o vencedor duma eleição é o método de contagem

de Borda. Neste método cada posição no boletim de voto é dotada de pontuação. Numa

eleição com N candidatos atribuímos:

1 ponto ao último lugar

2 pontos ao penúltimo lugar

•

•

•

N pontos ao primeiro lugar.

Os pontos são somados para cada candidato separadamente, e o candidato com a

pontuação mais elevada é o vencedor. Vamos aplicar este método no exemplo seguinte:

Utilizaremos, novamente, o exemplo do Big Brother

Famosos. A tabela que se segue mostra os valores da pontuação

em cada coluna, baseada em que o primeiro lugar merece 5

pontos, o segundo merece 4, o terceiro 3, o quarto 2 e finalmente o quinto merece

apenas 1 ponto.

Exemplo 1.5



Número de

votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção:

5 pontos

F:

5x18000

J:

5x12000

C:

5x10000

R:

5x9000

S:

5x4000

S:

5x2000

2º opção:

4 pontos

R:

4x18000

S:

4x12000

J:

4x10000

C:

4x9000

J:

4x4000

C:

4x2000

3º opção:

3 pontos

S:

3x18000

R:

3x12000

S:

3x10000

S:

3x9000

R:

3x4000

R:

3x2000

4º opção:

2 pontos

C:

2x18000

C:

2x12000

R:

2x10000

J:

2x9000

C:

2x4000

J:

2x2000

5º opção:

1 ponto

J

1x18000

F:

1x12000

F:

1x10000

F:

1x9000

F:

1x4000

F:

1x2000

Tabela 1.6

Sistematizando, obtemos as seguintes pontuações:

Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total

F 90000+12000+10000+9000+4000+2000 127000

J 18000+60000+40000+18000+16000+4000 156000

C 36000+24000+50000+36000+8000+8000 162000

R 72000+36000+20000+45000+12000+6000 191000

S 54000+48000+30000+27000+20000+10000 189000

Tabela 1.7

Isto significa que, pelo método de contagem de Borda, terá

de ser o Ricky a abandonar a casa, com um total de 191000 pontos.

Existem duas variações do método de contagem de Borda.

Na primeira variação, sendo N o número de candidatos, tem-se,



o primeiro lugar recebe N-1 pontos

o segundo N-2

•

•

•

o último lugar recebe 0 pontos.

O candidato com mais pontos é o vencedor.

Adaptemos o exemplo anterior a esta variante do método de contagem de Borda.

As tabelas com a pontuação tomam o seguinte aspecto:

Número de

votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção:

4 pontos

F:

4x18000

J:

4x12000

C:

4x10000

R:

4x9000

S:

4x4000

S:

4x2000

2º opção:

3 pontos

R:

3x18000

S:

3x12000

J:

3x10000

C:

3x9000

J:

3x4000

C:

3x2000

3º opção:

2 pontos

S:

2x18000

R:

2x12000

S:

2x10000

S:

2x9000

R:

2x4000

R:

2x2000

4º opção:

1 ponto

C:

1x18000

C:

1x12000

R:

1x10000

J:

1x9000

C:

1x4000

J:

1x2000

5º opção:

0 pontos

J

0

F:

0

F:

0

F:

0

F:

0

F:

0

Tabela 1.8

Exemplo 1.6




F 72000 72000

J 48000+30000+9000+12000+2000 101000

N 18000+12000+40000+27000+4000+6000 107000

R 54000+24000+10000+36000+8000+4000 136000

S 36000+36000+20000+18000+16000+8000 134000

Tabela 1.9

Nesta variante do método de contagem de Borda obtemos a mesma conclusão

que no método original: o Ricky é expulso da casa, com 136000 pontos.

A segunda variação do método de contagem de Borda atribui:

1 ponto ao primeiro lugar

2 ao segundo

•

•

•

N ao último,

supondo que existem N candidatos. O candidato com menos pontos é o vencedor.

Aplicando esta nova variação do método de contagem de Borda ao exemplo do

Big Brother Famosos, as tabelas expressas no Exemplo 1.5 transformam-se nas duas

tabelas seguintes:

Exemplo 1.7



Número de

votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção:

1 ponto

F:

1x18000

J:

1x12000

C:

1x10000

R:

1x9000

S:

1x4000

S:

1x2000

2º opção:

2 pontos

R:

2x18000

S:

2x12000

J:

2x10000

C:

2x9000

J:

2x4000

C:

2x2000

3º opção:

3 pontos

S:

3x18000

R:

3x12000

S:

3x10000

S:

3x9000

R:

3x4000

R:

3x2000

4º opção:

4 pontos

C:

4x18000

C:

4x12000

R:

4x10000

J:

4x9000

C:

4x4000

J:

4x2000

5º opção:

5 pontos

J

5x18000

F:

5x12000

F:

5x10000

F:

5x9000

F:

5x4000

F:

5x2000

Tabela 1.10


C 72000+48000+10000+18000+16000+4000 168000

F 18000+60000+50000+45000+20000+10000 203000

J 90000+12000+20000+36000+8000+8000 174000

R 36000+36000+40000+9000+12000+6000 139000

S 54000+24000+30000+27000+4000+2000 141000

Tabela 1.11

Quem terá de abandonar a casa, como era previsível, é o Ricky, com 139000

pontos.

33333333........22222222........11111111 LLLLLLLLAAAAAAAACCCCCCCCUUUUUUUUNNNNNNNNAAAAAAAASSSSSSSS DDDDDDDDOOOOOOOO MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDEEEEEEEE CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNTTTTTTTTAAAAAAAAGGGGGGGGEEEEEEEEMMMMMMMM DDDDDDDDEEEEEEEE BBBBBBBBOOOOOOOORRRRRRRRDDDDDDDDAAAAAAAA

Ao contrário do método da pluralidade, o método de contagem de Borda valoriza

toda a informação proveniente das preferências do eleitor e produz como vencedor o

candidato de melhor acordo.



O verdadeiro problema é que este método viola o critério da maioria. Isto é, um

candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar pode perder a eleição. O seguinte

exemplo ilustra como isso pode suceder.

O Departamento de Matemática da Faculdade de

Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra decidiu

contratar um novo assistente. Concorreram para o cargo quatro

licenciados: a Ana, o Luís, o Nuno e a Teresa, os quais

representaremos por A, L, N e T, respectivamente.

Os 39 Professores Doutorados desse mesmo

departamento votaram para seleccionar qual dos concorrentes ficaria com o cargo. O

resultado da votação foi o apresentado na seguinte tabela.

Tabela 1.12

Obtemos a seguinte pontuação, utilizando o método de contagem de Borda.

Tabela 1.13


1º opção A N L

2º opção N L T

3º opção L T N

4º opção T A A


1º opção: 4 pontos A: 4x20 N: 4x15 L: 4x4

2º opção: 3 pontos N: 3x20 L: 3x15 T : 3x4

3º opção : 2 pontos L : 2x20 T: 2x15 N: 2x4

4º opção: 1 ponto T: 1x20 A: 1x15 A: 1x4

Exemplo 1.8



Simplificando temos,

Tabela 1.14

Concluímos assim que, pelo método de contagem de Borda, o Nuno é que ficará

com o cargo de assistente. Embora, pelo critério da maioria, a Ana é que devia ganhar o

lugar.

Existe outro problema com o método de contagem de Borda. Como qualquer

violação do critério da maioria é uma violação do critério de Condorcet, podemos

concluir do exemplo anterior que o método de contagem de Borda também viola o

critério de Concorcet.

Fora essas desvantagens, o método de contagem de Borda é muito utilizado em

variadas eleições importantes do mundo real, especialmente quando há um número

elevado de candidatos.

33333333........33333333 OOOOOOOO MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDAAAAAAAA PPPPPPPPLLLLLLLLUUUUUUUURRRRRRRRAAAAAAAALLLLLLLLIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDDEEEEEEEE CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMM EEEEEEEELLLLLLLLIIIIIIIIMMMMMMMMIIIIIIIINNNNNNNNAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

A ideia básica do método da pluralidade com eliminação é fazer

continuamente a eliminação dos candidatos inaptos, um por um, até restar um vencedor.

O processo pode ser descrito da seguinte forma:

1º passo: Contam-se os votos em primeiro lugar de cada candidato, tal como

fazemos no método da pluralidade.


A 80+15+4 99

L 40+45+16 101

N 60+60+8 128

T 20+30+12 62



Se um candidato tem a maioria dos votos em primeiro lugar, ele é

automaticamente declarado o vencedor.

Caso contrário, elimina-se o candidato (ou candidatos no caso de empate)

com menor número de votos em primeiro lugar.

2º passo: Excluem-se da lista de preferências os candidatos eliminados e recontam-

se os votos em primeiro lugar (recordemos que quando um candidato é

eliminado da lista de preferências, na sua coluna o candidato a baixo

move-se para cima um degrau).

Se um candidato tiver a maioria dos votos em primeiro lugar é declarado

vencedor.

Caso contrário, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de

empate) que tiver menor número de votos em primeiro lugar.

3º, 4º, etc. passo: Repete-se o processo, eliminando de cada vez um ou mais

candidatos, até haver um candidato com a maioria dos votos em

primeiro lugar, o qual é declarado vencedor.

Vamos utilizar novamente o exemplo do Big Brother

Famosos e aplicar-lhe o método da pluralidade com eliminação.

Exemplo 1.9



1º passo

Tabela 1.15

Como a Sónia é a concorrente com menos votos em primeiro lugar, ela é a

primeira a ser eliminada.

2º passo

Uma vez que a Sónia foi eliminada todos os concorrentes abaixo dela sobem um

degrau, logo o João ficará com mais 4000 votos em primeiro lugar, e o Carlos com mais

2000. Agrupamos os boletins que ficaram iguais depois da eliminação da Sónia e

obtemos a tabela seguinte:

Tabela 1.16

Concluímos, através dessa mesma tabela que o Ricky será eliminado.

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000






Número de votos 18000 16000 10000 9000 2000

1º opção F J C R C

2º opção R R J C R

3º opção C C R J J

4º opção J F F F F



3º passo

Actuamos da mesma forma e verificámos que o Carlos fica com mais 9000

votos em primeiro lugar. Voltamos a organizar os dados e obtemos a tabela seguinte:

Tabela 1.17

É fácil verificar que o João será eliminado, pois é o concorrente com menos

votos em primeiro lugar.

4º passo

Finalmente excluímos o João e obtemos a tabela que se segue:

Tabela 1.18

Para terminar é fácil verificar que o Carlos é que será expluso, pois é ele que tem

a maioria dos votos em primeiro lugar.

Então pelo método da pluralidade com eliminação o Carlos

é que abandonará a casa mais vigiada de Portugal.

Estudemos agora alguns exemplos onde se utiliza o método da pluralidade com

eliminação.

Número de votos 18000 16000 21000

1º opção F J C

2º opção C C J

3º opção J F F

Número de votos 18000 37000

1º opção F C

2º opção C F



A Sociedade

Portuguesa de Matemática

vai organizar na

Universidade de Coimbra

uma conferência intitulada

Pedro Nunes e a Ciência do

seu Tempo. Os 26

organizadores tiveram que escolher o hotel em que os convidados ficarão instalados.

Para isso fizeram uma votação entre, os que consideram ser, os 5 melhores hotéis de

Coimbra. Esses hotéis são: Astória, D. Inês, D. Luís, Meliá e Quinta das Lágrimas, os

quais representaremos por A, I, L, M e Q, respectivamente. A lista de preferências

obtida foi a seguinte:

Tabela 1.19

Como temos 26 eleitores são necessários 14 ou mais votos para atingir uma

maioria. Vamos usar o método da pluralidade com eliminação para encontrar o

vencedor.


1º opção A I L L M Q

2º opção I M A Q L M

3º opção L Q Q I A L

4º opção M L I A Q A

5º opção Q A M M I I

Exemplo 1.10



1º passo

Tabela 1.20

Aqui o Hotel D. Luís é o que tem menos votos em primeiro lugar, logo é o que

será eliminado primeiro.

2º passo

Dos 3 votos em que o Hotel D. Luís estava em primeiro lugar, 2 vão para o

Hotel Astória (basta verificar a terceira coluna da lista de preferências) e 1 vai para a

Quinta das Lágrimas (da quarta coluna da lista de preferências).

Tabela 1.21

Agora o Hotel Meliá é que tem menos votos em primeiro lugar, por isso vai ser

eliminado.

3º passo

Os 4 votos em primeiro lugar do Meliá iriam para o Hotel D. Luís (quinta

coluna), mas como o D. Luís também já está fora da corrida, vamos verificar qual o

hotel abaixo desse, na mesma coluna. O Hotel Astória é o felizardo.

Tabela 1.22

Candidatos A I L M Q

Número de votos em primeiro lugar 10 5 3 4 4


Número de votos em primeiro lugar 12 5 4 5


Número de votos em primeiro lugar 16 5 5



Agora podemos parar, não precisamos de avançar porque temos um candidato

com a maioria dos votos em primeiro lugar. O Hotel Astória é o vencedor, será lá que

ficarão os convidados para a conferência.

Num dos departamentos do Grupo SATA

uma funcionária faz anos e os colegas decidem

organizar um jantar. Tiveram que fazer uma

votação para escolher o restaurante. Foram a votos

os seguintes restaurantes: Batalha, Lagoa do Fogo, Marisqueira e Torre do Pópulo, os

quais serão denominados por B, L, M e T, respectivamente. O resultado da votação está

expresso na seguinte tabela:

Tabela 1.23

O número de eleitores é 8+6+2+19=35, ou seja, são necessários 18 ou mais

votos em primeiro lugar para obter uma maioria. A Marisqueira tem 19 votos então é

automaticamente a vencedora desta eleição.

Com os dois exemplos anteriores verificamos que o método da pluralidade com

eliminação satisfaz o critério da maioria.

Número de votos 8 6 2 19

1º opção B L T M

2º opção L M M L

3º opção M T B B

4º opção T B L T

Exemplo 1.11



33333333........33333333........11111111 LLLLLLLLAAAAAAAACCCCCCCCUUUUUUUUNNNNNNNNAAAAAAAASSSSSSSS DDDDDDDDOOOOOOOO MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDAAAAAAAA PPPPPPPPLLLLLLLLUUUUUUUURRRRRRRRAAAAAAAALLLLLLLLIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDDEEEEEEEE CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMM

EEEEEEEELLLLLLLLIIIIIIIIMMMMMMMMIIIIIIIINNNNNNNNAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

Vamos ilustrar no exemplo que se segue o principal problema do método da

pluralidade com eliminação.

Bastante tempo antes de se realizarem os Jogos

Olímpicos é necessário escolher qual a cidade onde

decorrerão. Essa é uma eleição que levanta muitas

controvérsias pois provoca grandes alterações no

desenvolvimento da cidade, quer a nível económico

quer a nível político. Os eleitores são os membros do Comité Olímpico Internacional e o

método actualmente utilizado é o método da pluralidade com eliminação com uma

pequena alteração. Essa alteração diz respeito ao facto de que cada eleitor apresenta as

suas preferências em cada ronda em vez de as mostrar ordenadas, todas de uma vez.

Para os Jogos Olímpicos de Verão 2000 concorreram cinco cidades: Beijing

(China), Berlim (Alemanha), Istambul (Turquia), Manchester (Inglaterra) e Sydney

(Austrália); e eram 89 os membros do Comité Internacional Olímpico. Neste exemplo,

para simplificar, vamos supor que concorreram apenas três cidades: Beijing, Manchester

e Sydney, as quais representaremos por B, M e S, respectivamente; e que os membros

do Comité eram apenas 29. Além disso, vamos utilizar o método da pluralidade com

eliminação sem a pequena alteração utilizada na realidade.

Suponhamos que dois dias antes da eleição efectuou-se uma eleição teste apenas

para analisar as tendências da votação. Os resultados dessa eleição são apresentados na

tabela seguinte:

Exemplo 1.12



Tabela 1.24

Utilizando o método da pluralidade com eliminação verificaremos quem será o

vencedor desta eleição teste.

1º passo

Tabela 1.25

Sydney é a cidade com menos votos em primeiro lugar, ou seja, será eliminada.

2º passo

Como Sydney foi eliminada os 8 votos que no primeiro passo lhe pertenciam

passam para Beijing. Temos então,

Tabela 1.26

Encontramos um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar: Beijing

é a cidade vencedora desta eleição teste.

Os resultados deste tipo de votação são secretos mas, infelizmente na maioria

dos casos, acabam por se tornar públicos. Admitamos que foi esse o caso. Isso

Número de votos 7 8 10 4

1º opção M S B M

2º opção S B M B

3º opção B M S S

Candidatos B M S


Candidatos B M S

Número de votos em primeiro lugar 18 11



influenciará alguns eleitores a alterar a sua tendência de voto. Suponhamos que os 4

eleitores da última coluna da tabela 1.24 decidem alterar os seus votos, pondo em

primeiro lugar Beijing em vez de Manchester.

No dia 23 de Setembro de 1993, em Monte Carlo, decorreu a votação oficial

para escolher a cidade que organizará os Jogos Olímpicos de Verão 2000.

Os resultados da eleição são os apresentados na tabela seguinte:

Tabela 1.27

Vamos aplicar o método da pluralidade com eliminação aos resultados

apresentados nesta tabela:

1º passo

Tabela 1.28

Manchester é a cidade com menos votos em primeiro lugar logo será eliminada.

2º passo

Sendo Manchester eliminada, os 7 votos que lhe pertenciam passam para

Sydney. Originando uma nova tabela.

Tabela 1.29


1º opção M S B

2º opção S B M

3º opção B M S

Candidatos B M S


Candidatos B M S




Sydney é a cidade vencedora da eleição pois é a que tem mais votos em primeiro

lugar.

É um facto bastante estranho não ser Beijing a

vencedora. Se repararmos a única alteração que ocorreu

da eleição teste para esta foi alguns eleitores alterarem

Beijing de segunda para primeira preferência. Em

princípio isso deveria favorecer Beijing. Obviamente os

habitantes de Beijing revoltaram-se, pensando ser uma

falcatrua de Sydney.

Mas o que acontece é que esta é uma falha deste método. O método da

pluralidade com eliminação viola o critério da monotonia.

Além disso o método da pluralidade com eliminação também viola o critério de

Condorcet como podemos conferir no seguinte exemplo:

A Federação Portuguesa de Voleibol

(FPV) fez eleições para escolher a sua futura

direcção. Concorreram ao cargo cinco listas:

A, B, C, D e E, as quais eram lideradas por

Manuela Brandão, Vicente Araújo, Carlos

Ribeiro, Pedro Amaral e Rui Valadas,

respectivamente. Representaremos cada lista

Critério da Monotonia: Se a opção X vence uma eleição e numa reeleição as únicas alterações, nas preferências dos eleitores, são a favor de X, então X deve permanecer o vencedor da eleição.

Exemplo 1.13



pela letra que lhe corresponde. Os eleitores foram as 30 associações de cada região. O

resultado da eleição é apresentado na tabela que se segue:

Tabela 1.30

Verifiquemos quem é o vencedor da eleição utilizando o método da pluralidade

com eliminação.

1º passo

Tabela 1.31

A lista E tem menos votos em primeiro lugar que qualquer outra, logo será

eliminada.

2º passo

Como a lista E foi eliminada, os 3 votos que lhe foram atribuídos passam para a

lista A.

Tabela 1.32

Número de votos 10 8 5 4 3

1º opção A D B C E

2º opção C C C B A

3º opção B B D D C

4º opção D E A E B

5º opção E A E A D

Candidatos A B C D E

Número de votos em primeiro lugar 10 5 4 8 3


Número de votos em primeiro lugar 13 5 4 8



A lista C é que será eliminada neste passo.

3º passo

Como a lista C foi eliminada os 4 votos que lhe pertenciam passam para a

lista B.

Tabela 1.33

Agora a lista D será eliminada.

4º passo

Como a lista D foi eliminada os seus votos passam para a lista B.

Tabela 1.34

Finalmente concluímos que a vencedora da eleição é a lista B liderada por

Vicente Araújo.

Verifiquemos, por outro lado, que a lista C é um candidato de Condorcet.

Realmente, temos que C comparada com A tem 17 votos contra 13; comparado com B

tem 25 contra 5; comparado com D tem 22 contra 8; e comparado com E tem 27 contra

3. Então a lista C é um candidato de Condorcet e não é o vencedor da eleição. Isto

significa que o método da pluralidade com eliminação viola o critério de Condorcet.

À parte dessas falhas, o método da pluralidade com eliminação é usado em

muitas situações do mundo real, principalmente em eleições com um número reduzido

de candidatos (geralmente três ou quatro, raramente mais do que seis).







Existem algumas variações do método da pluralidade com eliminação, por

exemplo, o método da pluralidade com runoff e o método de Coombs.

O método da pluralidade com runoff funciona como o método da pluralidade

com eliminação, distinguindo-se apenas no facto de que todos os candidatos, excepto os

dois que têm o maior número de votos em primeiro lugar, são eliminados no primeiro

passo.

Vamos utilizar o exemplo do Big Brother Famosos para

mostrar como funciona o método da pluralidade com runoff.

1º passo

Relembremos a lista de preferências:

Tabela 1.35

Como nenhum candidato tem uma maioria, vamos eliminar os três candidatos

com menos votos em primeiro lugar, porque pretendemos permanecer, apenas, com os

dois candidatos com mais votos em primeiro lugar. Ou seja, vamos eliminar os

candidatos C, R e S. Obtemos a tabela seguinte:

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000






Exemplo 1.14



2º passo


1º opção F J

2º opção J F

Tabela 1.36

Agora o João tem a maioria dos votos em primeiro lugar,

logo é ele que será afastado do concurso.

Quanto ao método de Coombs também se aplica como o método da pluralidade

com eliminação, mas em vez de em cada etapa eliminar o candidato com menos votos

em primeiro lugar, elimina aquele que está em último lugar o maior número de vezes.

Vamos, novamente, utilizar o exemplo do Big Brother Famosos

para mostrar como funciona o método de Coombs.

1º Passo

Relembremos a lista de preferências:

Tabela 1.37

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000






Exemplo 1.15



Como nenhum candidato tem mais que metade dos votos em primeiro lugar,

vamos averiguar o número de votos em último lugar de cada concorrente.

Verificámos que o Francisco é quem aparece mais vezes em último lugar (em

37000 boletins contra o João que aparece nos restantes), então será eliminado.

2º Passo

A lista de preferências é, obviamente, modificada.

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção R J C R S S

2º opção S S J C J C

3º opção C R S S R R

4º opção J C R J C J

Tabela 1.38

Novamente, nenhum candidato tem a maioria dos votos em primeiro lugar,

vamos ter que recontar os votos.

O João tem 13000 votos em último lugar, o Carlos tem 16000, o Ricky tem

10000 e a Sónia não tem votos em último lugar. O que significa que o Carlos é que será

eliminado.

3º Passo

Obtemos a seguinte lista de preferências:

Número de votos 27000 22000 4000 2000

1º opção R J S S

2º opção S S J R

3º opção J R R J

Tabela 1.39



Como anteriormente, nenhum candidato tem uma maioria de votos em primeiro

lugar, por isso vamos proceder como nos outros passos.

O João tem 29000 votos em último lugar e o Ricky 26000. A Sónia continua a

não ter nenhum. Então o João é que será eliminado.

4º Passo

Obtemos uma nova lista de preferências:


1º opção R S

2º opção S R

Tabela 1.40

Finalmente, a Sónia tem 28000 votos em primeiro lugar, ou

seja, uma maioria (mais que 27500). Isso significa que ela é que

será o próximo famoso a abandonar a casa Big Brother.

33333333........44444444 OOOOOOOO MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDAAAAAAAA CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMMPPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRRAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO PPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRR AAAAAAAA PPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRR

Os três métodos apresentados até agora violam o Critério de Condorcet, mas isto

não é um problema insuperável. De facto, é relativamente fácil encontrar um método de

votação que satisfaça este critério. O método que se segue, habitualmente designado por

Método da Comparação Par a Par, é exemplo disso.

Neste método todos os candidatos são comparados dois a dois. Cada uma destas

comparações dois a dois é designada por comparação par a par. Numa comparação

par a par entre os candidatos X e Y é atribuído um ponto ao vencedor, que é aquele que

se encontra em melhor posição num maior número de boletins de preferência. No caso

de empate, a cada candidato é atribuído meio ponto. Assim, como é óbvio, o vencedor

da eleição é o candidato com maior número de pontos depois de todas as comparações

par a par serem efectuadas. No caso de empate, que é comum neste método, ou se aceita



a existência de mais do que um vencedor ou se usa um método pré-determinado de

desempate caso não sejam permitidos múltiplos vencedores.

Para ilustrar este método, consideremos de novo o

exemplo da votação nos concorrentes do Big Brother.

Analisemos a tabela seguinte:

Tabela 1.41

Analisemos a comparação par a par entre o Francisco e o João:

Na primeira coluna da tabela de preferência verifica-se que os 18000 votos vão

para o Francisco, uma vez que este candidato ocupa uma posição superior na ordem de

preferência, relativamente ao João. No entanto, os restantes 37000 votos vão para o

João. Portanto, o vencedor desta comparação par a par é o João, que ganha um ponto.

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção F J N R S S

2º opção R S J N J N


4º opção N N R J N J


Exemplo 1.16



Tabela 1.42

No caso da comparação par a par entre o Carlos e o Ricky , verifica-se que

existem 43000 eleitores que preferem o Ricky ao Carlos e apenas 12000 eleitores que

preferem o Carlos ao Ricky. Portanto o vencedor desta comparação par a par é o Ricky,

que ganha um ponto.

Tabela 1.43

Fazendo-se todas as comparações possíveis, os resultados são:

F versus J: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

J vence e obtém 1 ponto.

F versus C: 18 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

C vence e obtém 1 ponto.

F versus R: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

R vence e obtém 1 ponto.

F versus S: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

S vence e obtém 1 ponto.

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000






Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000





5º opção B F F F F F



J versus C: (12000+4000)=16000 votos

para (18000+10000+9000+2000)=39000


J versus R: (12000+10000+4000)=26000 votos

para (18000+9000+2000)=29000


J versus S: (12000+10000)=22000 votos

para (18000+9000+4000+2000)= 33000


C versus R: (10000+2000)=12000 votos

para (18000+12000+9000+4000)= 43000


C versus S: (10000+9)=19000 votos para (18000+12000+4000+2000)=36000


R versus S: (18000+9000)=27000 votos

para (12000+10000+4000+2000)=28000

E vence e obtém 1 ponto.

Resultados obtidos após a contagem dos pontos:

Francisco 0 pontos

João 1 pontos

Carlos 2 pontos

Ricky 3 pontos

Sónia 4 pontos

Tabela 1.43

Conclusão:

O vencedor da eleição é o candidato S! Ou seja,

é a Sónia que vai abandonar a casa dos famosos.



Verifica-se facilmente que este método satisfaz o critério de Condorcet, uma vez

que um candidato Condorcet vence todas as comparações par a par, portanto ganha o

maior número de pontos e é o vencedor.

Verifica-se também que o método da comparação par a par satisfaz o critério da

maioria.

Consideremos uma eleição em que existem N candidatos : X1, X2, ... XN e que o

candidato X1 tem a maioria dos votos em primeiro lugar. Apliquemos o método da

comparação par a par. O candidato X1 é comparado com cada um dos outros N-1

candidatos e, como tem a maioria dos votos em primeiro lugar, ganha as N-1

comparações e obtém N-1 pontos. O candidato X2 é comparado com todos os outros

candidatos excepto com X1, visto que os dois já foram comparados anteriormente. E

portanto, são feitas N-2 comparações. Deste modo, X2 pode vencer no máximo N-2

comparações e ganhar N-2 pontos. E assim sucessivamente. Até que o (N-1)-ésimo

candidato é comparado apenas com o N-ésimo, visto que as comparações com os outros

N-2 candidatos já foram efectuadas e portanto, é apenas feita uma comparação par a

par. Caso o (N-1)-ésimo vença esta comparação, ganha, na melhor das hipóteses, um

ponto. Mas,

N-1 > N-2 > ... > 1,

portanto X1 tem o maior número de pontos e vence a eleição.

Mostrámos assim que o candidato que possui a maioria dos votos em primeiro

lugar no boletim de voto é de facto o vencedor da eleição e portanto este método

satisfaz o critério da maioria.

Pode-se verificar ainda que o método da comparação par a par satisfaz o critério

da monotonia.

Admitamos que o candidato X é o vencedor de uma eleição e que são efectuadas

alterações nos boletins de voto, mas que todas elas são favoráveis a X. Como X venceu

a eleição, então ele ganhou o maior número de pontos, ou seja, o maior número de

comparações par a par. Após as alterações, X vence ainda mais comparações par a par



visto que todas as alterações efectuadas nas votações dos eleitores são favoráveis a X.

Portanto X continua a ser o vencedor da eleição.

33333333........44444444........11111111 LLLLLLLLAAAAAAAACCCCCCCCUUUUUUUUNNNNNNNNAAAAAAAASSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEESSSSSSSSTTTTTTTTEEEEEEEE MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO

Infelizmente, apesar de obedecer aos critérios mencionados anteriormente, este

método não está livre de falhas.

O próximo exemplo ilustra a mais grave.

Os membros de uma turma de 22 alunos

pretendem eleger o delegado de turma. Há cinco

alunos dessa turma que se candidataram ao lugar: a

Ana (A), o Bruno (B), a Carolina (C), o Daniel (D) e

o Ernesto (E). A professora acordou com os alunos

que o método de eleição a ser usado seria o método

das comparações par a par.

A tabela seguinte apresenta a lista das preferências:

Número de

votos 2 6 4 1 1 4 4

1ª opção A B B C C D E

2º opção D A A B D A C

3ª opção C C D A A E D

4ª opção B D E D B C B

5ª opção E E C E E B A

Tabela 1.44

Exemplo 1.17



As comparações par a par são:

A versus B: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15

B vence e obtém 1 ponto.

A versus C: (2+6+4+4) = 16 votos para (1+1+4) = 6

A vence e obtém 1 ponto.

A versus D: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9


A versus E: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4


B versus C: (6+4) = 10 votos para (2+1+1+4+4) = 12


B versus D: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11

B e D empatam. B obtém ½ ponto e D obtém ½ ponto.

B versus E: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8


C versus D: (6+1+1+4) = 12 votos para (2+4+4) =10


C versus E: (2+6+1+1) = 10 votos para (4+4+4) = 12

E vence e obtém 1 ponto.

D versus E: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4

D vence e ganha 1 ponto.

Resultados obtidos após a contagem dos pontos:

Ana 3 pontos

Bruno 2 + ½ pontos

Carolina 2 pontos

Daniel 1+ ½ pontos

Ernesto 1 ponto

Tabela 1.45



Conclusão: o vencedor é a Ana!

Mas, entretanto, a Carolina anunciou que já não se queria candidatar porque ia

mudar de residência e pedir transferência para outra escola.

Será que este facto afectará de algum modo o resultado da eleição?

Suponhamos que o candidato C é eliminado da eleição original e que o método

de comparação par a par volta a ser aplicado. Então, os resultados obtidos são os que a

tabela seguinte apresenta:

Número de

Votos 2 6 4 1 1 4 4

1ª escolha A B B B D D E

2º escolha D A A A A A D

3ª escolha B D D D B E B

4ª escolha E E E E E B A

Tabela 1.46

As comparações par a par são:

A versus B: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15


A versus D: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9


A versus E: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4


B versus D: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11

B e D empatam. B obtém ½ ponto e D obtém ½ ponto.

B versus E: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8


D versus E: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4

D vence e ganha 1 ponto.



Resultados obtidos na nova eleição:

Ana 2 pontos

Bruno 2 + ½ pontos

Daniel 1+ ½ pontos

Ernesto 0 pontos

Tabela 1.47

Conclusão: O vencedor é o Bruno e não a Ana!

Assim, este exemplo demonstra que, apesar de satisfazer os Critérios de Justiça

já referidos, o Método da Comparação Par a Par viola um requisito básico de justiça,

conhecido como Critério da Independência de Alternativas Irrelevantes.

Outra falha deste método é o facto de poder conduzir a resultados em que todos

os candidatos são vencedores, isto é, há um empate generalizado.

Um grupo de 11 professores de matemática de uma escola

reuniu-se para decidir qual o manual escolar que iria ser utilizado nas

aulas de matemática do 10º ano, no ano lectivo que estava a começar. As

preferências dos professores dividiam-se entre 3 manuais distintos:

Infinito (I)

A solução (S)

Xeq Mat (X)

Critério da Independência de Alternativas Irrelevantes: Se um candidato X é o vencedor de uma eleição e um ou mais dos outros candidatos é removido da eleição e os boletins de voto são contados de novo, então X deve continuar a ser o vencedor da eleição.

Exemplo 1.18



Portanto, para tomarem uma decisão, os professores decidiram fazer uma

votação e eleger o manual, utilizando o método da comparação par a par.

A tabela seguinte mostra os resultados obtidos e a ordem de preferências:

Número de Votos 4 2 5

1ª opção manual I manual S manual X

2ª opção manual S manual X manual I

3ª opção manual X manual I manual S

Tabela 1.48

Comparações par a par:

I versus S: (4 + 5) = 9 votos para 2

I vence e obtém 1 ponto.

I versus X: 4 votos para (2 + 5) = 7

X vence e obtém 1 ponto.

S versus X: (4 + 2) = 6 votos para 5


Resultados após a contagem dos votos:

manual I 1 ponto

manual S 1 ponto

manual X 1 ponto

Tabela 1.49

Conclusão: Os candidatos estão todos empatados!!!

Como é óbvio, neste caso não é possível nem razoável considerar os 3

candidatos vencedores. Geralmente não existe um procedimento fixo para desempatar

mas na prática é importante preestabelecer regras para desempatar, caso seja necessário.



33..44..22 QQQQQQQQUUUUUUUUAAAAAAAANNNNNNNNTTTTTTTTAAAAAAAASSSSSSSS CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMMPPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRRAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÕÕÕÕÕÕÕÕEEEEEEEESSSSSSSS PPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRR AAAAAAAA PPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRR TTTTTTTTÊÊÊÊÊÊÊÊMMMMMMMM DDDDDDDDEEEEEEEE SSSSSSSSEEEEEEEERRRRRRRR

FFFFFFFFEEEEEEEEIIIIIIIITTTTTTTTAAAAAAAASSSSSSSS NNNNNNNNUUUUUUUUMMMMMMMMAAAAAAAA EEEEEEEELLLLLLLLEEEEEEEEIIIIIIIIÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO????????

Este método coloca-nos ainda outra dificuldade prática relacionada com o

número de comparações par a par que têm de ser efectuadas numa eleição para que se

determine o vencedor. Uma vez que têm de ser feitas comparações entre todos os pares

de candidatos, é óbvio que este número depende do número de candidatos envolvidos

na eleição.

Analisemos o caso geral de uma eleição em que existem N candidatos.

É necessário contar o número de comparações sistematicamente, tendo o

cuidado de não repetir nenhuma:

O primeiro candidato deve ser comparado com cada um dos restantes

(N-1). Efectuam-se (N-1) comparações par a par.

O segundo candidato deve ser comparado com cada um dos outros

excepto com o primeiro, visto que essa comparação já foi efectuada.

Efectuam-se (N-2) comparações par a par.

O terceiro candidato deve ser comparado com cada um dos outros

candidatos excepto com o primeiro e o segundo, uma vez que essas

comparações já foram efectuadas. Efectuam-se (N-3) comparações par a par.

...

O (N-1)-ésimo candidato deve ser comparado com todos os outros

excepto com os (N-2) primeiros, uma vez que essas comparações já foram

feitas. Isto é, compara-se apenas o (N-1)-ésimo candidato com o N-ésimo

candidato. Efectua-se uma comparação par a par.



Assim concluímos que no total o número de comparações par a par é

1 + 2 + 3 + ... + (N-1)

(Este resultado prova-se facilmente por indução)

Ou seja, numa eleição com N candidatos, o número de comparações par a par é:

2

)1( NN −

(trata-se da soma dos primeiros N-1 termos de uma progressão aritmética de

razão 1.)

Assim, conclui-se que este método não é aconselhável em eleições com muitos

candidatos, uma vez que o número de comparações necessárias aumenta rapidamente

em função do número de candidatos.

33333333........55555555 CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMMPPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRRAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO DDDDDDDDOOOOOOOOSSSSSSSS RRRRRRRREEEEEEEESSSSSSSSUUUUUUUULLLLLLLLTTTTTTTTAAAAAAAADDDDDDDDOOOOOOOOSSSSSSSS OOOOOOOOBBBBBBBBTTTTTTTTIIIIIIIIDDDDDDDDOOOOOOOOSSSSSSSS

Na tabela seguinte apresentamos os resultados obtidos na eleição do Big Brother

Famosos usando os quatro Métodos de Votação apresentados:

Vencedor Método de Votação

Francisco Método da Pluralidade

Ricky Método de Contagem de Borda

Carlos Método da Pluralidade com Eliminação

Sónia Método da Comparação Par a Par

Tabela 1.50

Verifica-se que a aplicação de cada método origina vencedores distintos! Isto é,

o concorrente eleito para sair da casa do Big Brother é diferente em cada método.



33333333........66666666 RRRRRRRRAAAAAAAANNNNNNNNKKKKKKKKIIIIIIIINNNNNNNNGGGGGGGGSSSSSSSS

Em muitos casos é importante não só saber quem ganha uma eleição, mas

também quem fica em segundo lugar, terceiro lugar, ... Ou seja, é importante conhecer a

ordem de preferência dos candidatos.

33333333........66666666........11111111 MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOOSSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEE RRRRRRRRAAAAAAAANNNNNNNNKKKKKKKKIIIIIIIINNNNNNNNGGGGGGGG AAAAAAAALLLLLLLLAAAAAAAARRRRRRRRGGGGGGGGAAAAAAAADDDDDDDDOOOOOOOOSSSSSSSS

Cada um dos métodos de eleição analisados anteriormente tem uma extensão

natural que nos permite obter a ordem da classificação geral dos candidatos. De seguida

analisa-se cada um dos métodos.

MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDAAAAAAAA PPPPPPPPLLLLLLLLUUUUUUUURRRRRRRRAAAAAAAALLLLLLLLIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDDEEEEEEEE AAAAAAAALLLLLLLLAAAAAAAARRRRRRRRGGGGGGGGAAAAAAAADDDDDDDDOOOOOOOO

Como já se viu, segundo este método o vencedor é aquele em que mais eleitores

votaram em primeiro lugar na ordem de preferência do boletim de voto. Analogamente

o segundo classificado é aquele que, excepto o vencedor, teve maior número de votos

em primeiro lugar.

Para exemplificar este método, consideremos de novo a

eleição no concurso televisivo Big Brother.

A tabela com a lista de preferências da votação, já

apresentada, é a seguinte:

Exemplo 1.19



Tabela 1.51

Assim, verifica-se que:

F tem 18000 pontos em primeiro lugar

J tem 12000 pontos em primeiro lugar

C tem 10000 pontos em primeiro lugar

R tem 9000 pontos em primeiro lugar

S tem 6000 pontos em primeiro lugar

Portanto, segundo este método o vencedor é o Francisco (F), que terá então de

abandonar a casa. O João (J) ocupa a 2ª posição, uma vez que é o 2º candidato com mais

votos em 1º lugar e analogamente verifica-se que o Carlos (C) ocupa a 3ª posição, o

Ricky (R) ocupa a 4ª posição e a Sónia (S) ocupa a 5ª posição.

A tabela seguinte apresenta os resultados do ranking baseado no método da pluralidade

alargado:

Lugar Candidato Votos em 1º lugar 1º F 18000 2º J 12000 3º C 10000 4º R 9000 5º S 6000

Tabela 1.52

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1ª opção F J C R S S

2ª opção R S J C J C

3ª opção S R S S R R

4ª opção C C D J C J

5ª opção B F F F F F



MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDEEEEEEEE CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNTTTTTTTTAAAAAAAAGGGGGGGGEEEEEEEEMMMMMMMM DDDDDDDDEEEEEEEE BBBBBBBBOOOOOOOORRRRRRRRDDDDDDDDAAAAAAAA AAAAAAAALLLLLLLLAAAAAAAARRRRRRRRGGGGGGGGAAAAAAAADDDDDDDDOOOOOOOO

Estabelecer a ordem de classificação geral dos candidatos de uma eleição,

usando este método, é também bastante simples. Os candidatos são ordenados segundo

o número de pontos que ganharam, ficando obviamente em primeiro lugar aquele que

teve maior número de pontos, em segundo aquele que teve o segundo maior número de

pontos, ...

No exemplo do concurso Big Brother Famosos, o número

total de pontos obtidos pelos candidatos segundo o Método de

Contagem de Borda foi:

Concorrentes Pontuação Total

F 127000

J 156000

C 162000

R 191000

S 189000

Tabela 1.53

E portanto, os resultados do ranking baseado no método de contagem de borda

Alargado são os que estão apresentados na tabela seguinte:

Lugar Candidato Pontos Obtidos 1º R 191000 2º S 189000 3º C 162000 4º J 156000 5º F 127000

Tabela 1.54

Exemplo 1.20



MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDEEEEEEEE PPPPPPPPLLLLLLLLUUUUUUUURRRRRRRRAAAAAAAALLLLLLLLIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDDEEEEEEEE CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMM EEEEEEEELLLLLLLLIIIIIIIIMMMMMMMMIIIIIIIINNNNNNNNAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO AAAAAAAALLLLLLLLAAAAAAAARRRRRRRRGGGGGGGGAAAAAAAADDDDDDDDOOOOOOOO

Estabelecer a ordem de classificação geral dos candidatos da eleição usando este

método é um pouco diferente. Os candidatos são classificados por uma ordem inversa à

de eliminação: o primeiro candidato eliminado é colocado na última posição, o segundo

candidato eliminado é colocado na penúltima posição, e assim sucessivamente, até que

finalmente o último candidato a ser eliminado é colocado em primeiro lugar.

Consideremos mais uma vez o exemplo da eleição no

concurso televisivo Big Brother.

A tabela seguinte apresenta os resultados do ranking baseado neste método:

Lugar Candidato Eliminado na 1º C 2º F 4ª volta 3º J 3ª volta 4º R 2ª volta 5º S 1ª volta

Tabela 1.55

MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDAAAAAAAA CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMMPPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRRAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO PPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRR AAAAAAAA PPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRR AAAAAAAALLLLLLLLAAAAAAAARRRRRRRRGGGGGGGGAAAAAAAADDDDDDDDOOOOOOOO

Neste método os candidatos são classificados de acordo com o número de

comparações par a par que venceram, isto é, com o número de pontos que ganharam.

Exemplo 1.21



No exemplo do concurso televisivo Big Broher Famosos

verificamos que os resultados baseados neste método são:

Lugar Candidato Pontos 1º S 4 2º R 3 3º C 2 4º J 1 5º F 0

Tabela 1.56

RRRRRRRREEEEEEEESSSSSSSSUUUUUUUUMMMMMMMMOOOOOOOO EEEEEEEE CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMMEEEEEEEENNNNNNNNTTTTTTTTÁÁÁÁÁÁÁÁRRRRRRRRIIIIIIIIOOOOOOOO FFFFFFFFIIIIIIIINNNNNNNNAAAAAAAALLLLLLLL

Como se pode observar na tabela 1.57 os diferentes métodos conduziram a

ordens de classificação geral diferentes. De facto há uma grande e clara discrepância

entre os resultados.

Contudo convém esclarecer que o exemplo apresentado é uma excepção pois

estava restrito num contexto particular. Na maioria das eleições da vida real tende a

haver uma maior consistência e uniformidade entre os resultados provenientes da

aplicação dos distintos métodos.

Ordem de Classificações Gerais Método de Ranking Alargado 1º 2º 3º 4º 5º

Pluralidade F J C R S

Contagem de Borda R S C J F

Pluralidade com Eliminação C F J R S

Comparação Par a Par S R C J F

Tabela 1.57

Exemplo 1.22



33333333........66666666........22222222 MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOOSSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEE RRRRRRRRAAAAAAAANNNNNNNNKKKKKKKKIIIIIIIINNNNNNNNGGGGGGGG RRRRRRRREEEEEEEECCCCCCCCUUUUUUUURRRRRRRRSSSSSSSSIIIIIIIIVVVVVVVVOOOOOOOO

Outra estratégia de ordenar os candidatos é designada por aproximação

recursiva.

Admitamos que vamos usar um determinado método de eleição X e a

aproximação recursiva para estabelecer a ordem de classificação geral dos candidatos

numa eleição.

Inicialmente usamos o método X para encontrar o vencedor da eleição.

Depois removemos o nome do vencedor da lista de preferências e

obtemos uma nova e modificada lista com um candidato a menos.

Mais uma vez aplicamos o método X para determinar o candidato

vencedor. Esse candidato fica classificado em segundo lugar.

Procedemos sucessivamente de igual modo até estarem ordenados todos

os candidatos.

Neste exemplo considerámos de novo a eleição no Big

Brother Famosos e recorremos ao método da pluralidade recursivo

para classificar os candidatos.

Relembremos a tabela com a lista de preferências:

Exemplo 1.23



Tabela 1.58

1º Passo

Determinamos o vencedor usando o método da pluralidade.

Como já vimos anteriormente o vencedor é o Francisco e portanto é ele

que tem de abandonar a casa do Big Brother.

2º Passo

Removemos o Francisco da lista de preferências original e obtemos

uma nova lista de preferências:

Tabela 1.59

Aplicando de novo o método da pluralidade concluímos que o vencedor

é o Ricky. Portanto o Ricky ocupa o 2º lugar no ranking.

3º Passo

Removemos o Ricky da lista de preferências e obtemos a

seguinte tabela:

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1ª opção F J C R S S

2ª opção R S J C J C

3ª opção S R S S R R

4ª opção C C R J C J

5ª opção J F F F F F

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1ª opção R J C R S S

2ª opção S S J C J C

3ª opção C R S S R R

4ª opção J C R J C J



Tabela 1.60

Aplicando o método da pluralidade mais uma vez concluímos que o

vencedor é a Sónia, o que significa que ela ocupa o 3º lugar.

4º Passo

Removemos a Sónia da lista de preferências e obtemos a seguinte

tabela:

Tabela 1.61

Verificamos que, segundo o método da pluralidade o vencedor é o

Carlos. Deste modo concluímos que o Carlos ocupa o 4º lugar.

5º Passo

Finalmente, verificamos que o João ocupa a última posição, isto é, ocupa

a 5ª posição.

Assim a classificação geral dos candidatos segundo o método de pluralidade

recursivo é a seguinte:

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1ª opção S J C C S S

2ª opção C S J S J C

3ª opção J C S J C J

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1ª opção C J C C J C

2ª opção J C J J C J



Lugar Candidato

1º Francisco

2º Ricky

3º Sónia

4º Carlos

5º João

Tabela 1.62

Note-se que este resultado é diferente daquele que foi obtido com a aplicação do

método da pluralidade alargado. De facto, só o primeiro lugar é que se manteve igual.

44444444........ CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNCCCCCCCCLLLLLLLLUUUUUUUUSSSSSSSSÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

Quando é que um método é justo? Neste capítulo introduziram-se vários tipos de

requisitos de justiça conhecidos por Critérios Justiça:

Critério da Maioria

Critério de Condorcet

Critério da Monotonia

Critério da Independência de Alternativas Irrelevantes

Cada um destes critérios representa um parâmetro básico de justiça, e é razoável

esperar que um método de eleição justo deva satisfazer todos eles. Surpreendentemente

nenhum destes métodos de eleição o faz. Levanta-se uma questão: “Existirá um método

de eleição democrático que satisfaça os quatro critérios de justiça, ou seja, existirá um

método de eleição perfeito?”. Para eleições envolvendo mais de dois candidatos a

resposta é não!

Este facto pode parecer estranho dada a importância óbvia de uma eleição numa

democracia. Até aos anos cinquenta esta foi uma das maiores e mais desafiadoras

questões da Teoria da Escolha Social. Finalmente, em 1952, Kenneth Arrow

demonstrou o famoso Teorema da Impossibilidade de Arrow: Para eleições



envolvendo três ou mais candidatos é matematicamente impossível encontrar um

método de votação que satisfaça todos os Critérios de Justiça. Ironicamente, a justiça

total e consistente é inerentemente impossível numa democracia!

Contudo, os teóricos da escolha social continuam a procurar criar, ou talvez

redescobrir, melhores esquemas de votação, que permitam minimizar as falhas dos

métodos apresentados.

Todos os métodos de votação têm falhas inerentes e portanto nenhum método

pode ser considerado melhor que os outros. Assim, tendo em conta as vantagens e

desvantagens de cada método, deve-se escolher para cada situação particular aquele que

se julga ser mais adequado, não esquecendo que o método adoptado pode influenciar

bastante o resultado.

55555555........ AAAAAAAAPPPPPPPPÊÊÊÊÊÊÊÊNNNNNNNNDDDDDDDDIIIIIIIICCCCCCCCEEEEEEEE

Existem outros métodos de votação além dos apresentados, dos quais

apresentaremos, brevemente, dois.

55555555........11111111 MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDOOOOOOOO VVVVVVVVOOOOOOOOTTTTTTTTOOOOOOOO TTTTTTTTRRRRRRRRAAAAAAAANNNNNNNNSSSSSSSSFFFFFFFFEEEEEEEERRRRRRRRÍÍÍÍÍÍÍÍVVVVVVVVEEEEEEEELLLLLLLL

O Método do Voto Transferível é exemplo de outro método

particular de votação. Este é o método usado na eleição dos famosos

Oscars.

Os membros elegíveis da Academia elegem um vencedor em

cada categoria (melhor filme, melhor director, melhor actriz,...). O

processo de eleição varia ligeiramente de prémio para prémio e é

bastante complicado. Como exemplo, consideremos o processo de eleição do melhor

filme, que é quase idêntico a cada um dos outros grandes prémios.

A eleição divide-se em duas fases:

A fase da nomeação, em que são nomeados os cinco melhores filmes.

A eleição final do vencedor

O processo de selecção dos cinco melhores filmes é consideravelmente

complicado e baseia-se no método do voto transferível. Cada membro elegível da



Academia preenche um boletim de voto por ordem de preferências com os nomes dos

seus cinco filmes preferidos, ordenados do primeiro para o quinto. O número mínimo de

votos necessários para que um filme seja nomeado, designado por quota, é estabelecido

com base no número total de boletins de voto válidos. Normalmente o valor da quota

situa-se entre a percentagem de 16,66% e 20% do número total de boletins válidos.

Deste modo, fica assegurado que é impossível existirem 6 ou mais filmes com

nomeação automática. Teoricamente é possível que cinco filmes obtenham a quota e

ganhem automaticamente a nomeação, finalizando-se assim o processo de nomeação.

Contudo, isto nunca aconteceu na prática. De facto, normalmente nenhum filme obtém

automaticamente a quota de votos necessária. Deste modo, aquilo que sucede é que, o

filme que tem menos votos em primeiro lugar, chamemos-lhe por exemplo X, é

eliminado, e em todos os boletins de voto em que originalmente X era a primeira

escolha, o seu nome é riscado do topo e todos os outros filmes sobem uma posição. De

seguida os boletins são de novo contados e, caso não existam ainda cinco filmes que

cumpram a quota, o processo anterior de eliminação é repetido.

No momento em que um ou mais filmes são nomeados, existe uma reviravolta:

os filmes nomeados “oferecem” aos outros filmes, que ainda não estão eleitos mas

também ainda não foram eliminados, a sua “sobra” de votos, isto é o número de votos

que tiveram a mais do que o valor da quota estabelecido. Para se perceber melhor este

processo de “oferta” de votos, designado por transferência, é melhor considerar um

exemplo concreto. Suponhamos que a quota é de 400 votos e que a certa altura o

candidato Z obtém 500 votos em primeiro lugar, o que é suficiente para ser nomeado.

Assim, Z tem 500 – 400 = 100 votos de sobra, e estes são votos de que Z não necessita.

Portanto estes 100 votos a mais são tirados a Z e justamente divididos entre as segundas

escolhas nos 500 boletins de voto. Este processo pode parecer um pouco bizarro, mas

faz sentido. De facto, uma vez que há 100 votos a mais para serem divididos em 500

partes iguais, cada voto na segunda escolha nos 500 boletins de voto que elegeram Z

vale 100/500 = 1/5 voto. Um quinto de um voto pode parecer pouco, contudo alguns

destes votos fraccionais podem fazer a diferença e ajudar algum outro filme a obter a

quota. Nesse caso, os votos a mais são de novo transferidos para os restantes filmes, de

acordo com o processo descrito anteriormente. Caso contrário, o processo de eliminação

é reiniciado. Depois de vários ciclos de eliminações e transferências de votos, existirão



cinco filmes com votos suficientes para cumprirem a quota e serem nomeados. E,

finalmente o processo termina.

A segunda fase, em que é eleito um dos cincos filmes nomeados, é bastante

mais simples. Cada membro elegível da Academia vota num candidato, e o vencedor é

eleito pelo método da pluralidade simples. Como o número de votos é elevado

(normalmente situa-se entre os 4000 e os 5000), é pouco provável que ocorram empates.

No entanto, se estes existirem, não são quebrados. Assim, é possível que dois

candidatos ganhem o mesmo prémio, tal como aconteceu em 1968, quando Katherine

Hepburn e Barbra Streisend partilharam o Oscar para melhor actriz.

O método do voto transferível não é apenas usado nos Oscars mas também

noutros casos, como por exemplo na eleição de funcionários em várias sociedades

profissionais e também na eleição do Senado Irlandês.

55555555........22222222 MMMMMMMMÉÉÉÉÉÉÉÉTTTTTTTTOOOOOOOODDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDEEEEEEEE VVVVVVVVOOOOOOOOTTTTTTTTAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO PPPPPPPPOOOOOOOORRRRRRRR AAAAAAAAPPPPPPPPRRRRRRRROOOOOOOOVVVVVVVVAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

Embora Arrow tenha concluído que não é possível encontrar um método de

votação perfeito, podem-se melhorar os existentes. Com esse intuito foi criado um novo

método denominado votação por aprovação. A votação por aprovação viola menos

vezes os critérios de Arrow do que qualquer outro método.

Neste método o eleitor não preenche um boletim de voto por preferência, em vez

disso, atribui um voto aos candidatos que desejar. Mostra gosto por um candidato

votando nele e desagrado não votando. Não é imposto um número limite de candidatos

em que cada eleitor pode votar. O candidato que obtiver maior número de votos de

aprovação é o vencedor.

Voltaremos a utilizar o Exemplo 1.1, da eleição para a organização oficial do

EURO 2004, para ilustrar o funcionamento deste método.

Exemplo 1.24



Suponhamos que a eleição foi realizada utilizando o método de votação por

aprovação. Então cada Federação deu um voto aos candidatos que gostava. Suponhamos

que obteríamos a votação, expressa na tabela seguinte, onde X indica um voto de

aprovação.

Os resultados são os seguintes:

Espanha: 6 votos

Coligação Hungria-Áustria: 4 votos

Portugal: 10 votos

Tabela 1.63

Finalmente, na manhã do dia 12 de Outubro de 1999, na cidade

alemã de Aachen, o presidente da UEFA, Lennart Johansson,

anunciou que havia sido confiada a Portugal a organização da

fase final do Campeonato da Europa de 2004. Portugal tinha

vencido com 10 votos do total de 16. Haviam ficado para trás

esperanças e preocupações, momentos de euforia e de justificada precaução.

Candidatos

Federações

Espanha Hungria

Áustria

Portugal

Alemanha X

Azerbaijão X

Bélgica X

Chipre X

Finlândia X

França X

Holanda X X

Itália X

Noruega X X

Polónia X X

República Checa X

Roménia X

Rússia X

Suécia X

Suíça X

Ucrânia X X



66666666........ OOOOOOOOBBBBBBBBSSSSSSSSEEEEEEEERRRRRRRRVVVVVVVVAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÕÕÕÕÕÕÕÕEEEEEEEESSSSSSSS

A maior parte das vezes, não sabemos quais foram os métodos de votação

utilizados nos exemplos reais que apresentamos, ou sabemos mas supomos que foi

utilizado outro. Quisemos apenas ilustrar os diferentes métodos utilizando exemplos

interessantes e actuais.

Em relação ao Big Brother Famosos a votação não se realiza da forma como

sugerimos. No programa todas as semanas, à terça-feira, os concorrentes que estão na

casa nomeiam dois dos seus colegas. Os dois (ou mais) que tiverem mais nomeações

vão a votos, ou seja, o público vota naquele (apenas um) que pretende que saia da casa

nessa semana.

No caso Daniel Campelo afirmamos que ele, seguindo as suas crenças votaria

contra o Orçamento de Estado 2001. É evidente que especulamos um pouco, pois

supusemos que qualquer pessoa que se aliste por um partido é porque concorda com

todos os princípios desse mesmo partido e por isso votaria sempre como ele. Estes são

assuntos muito subjectivos, nem que seja pelo simples facto de que um partido é um

conjunto de pessoas.

Relativamente à eleição do organizador oficial do EURO 2004, é muito provável

que não tenha sido utilizado o método de votação por aprovação pois os resultados

foram: a coligação Hungria-Áustria com 2 votos, a Espanha com 4 votos e Portugal saiu

vencedor com 10 votos; e haviam 16 eleitores.



CCCCCCCCAAAAAAAAPPPPPPPPÍÍÍÍÍÍÍÍTTTTTTTTUUUUUUUULLLLLLLLOOOOOOOO IIIIIIIIIIIIIIII

EEEEEEEELLLLLLLLEEEEEEEEIIIIIIIIÇÇÇÇÇÇÇÇÕÕÕÕÕÕÕÕEEEEEEEESSSSSSSS EEEEEEEEMMMMMMMM PPPPPPPPOOOOOOOORRRRRRRRTTTTTTTTUUUUUUUUGGGGGGGGAAAAAAAALLLLLLLL



EEEEEEEELLLLLLLLEEEEEEEEIIIIIIIIÇÇÇÇÇÇÇÇÕÕÕÕÕÕÕÕEEEEEEEESSSSSSSS EEEEEEEEMMMMMMMM PPPPPPPPOOOOOOOORRRRRRRRTTTTTTTTUUUUUUUUGGGGGGGGAAAAAAAALLLLLLLL

Em Portugal, o Presidente da Republica é eleito segundo o sistema maioritário a

duas voltas enquanto que as leis eleitorais da Assembleia da República, Autarquias

Locais e Parlamento Europeu seguem o sistema de representação proporcional e

utilizam o método de Hondt .

Segundo a constituição portuguesa a conversão dos votos em mandatos faz-se de

acordo com o método de representação proporcional de Hondt, obedecendo às

seguintes regras:

1) Apura-se em separado o número de votos recebidos por cada lista no

círculo eleitoral respectivo;

2) O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente,

por 1, 2, 3, 4, 5, etc., sendo os quocientes alinhados pela ordem

decrescente da sua grandeza numa série de tantos termos quantos os

mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo;

3) Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da

série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas

tantos mandatos quantos os seus termos na série;

4) No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos

seguintes da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à

lista que tiver obtido menor número de votos.



1) Há 7 mandatos a atribuir numa dada eleição e 4 listas:

divisores A B C D

1 400 300 266 200

2 200 150 133 100

3 133,3 100

Tabela 2.1

- assinala-se a necessidade de considerar casas decimais para desempatar .

2) Há só 4 mandatos a atribuir:

divisores A B C D

1 400 300 266 200

2 200 150 133 100

3 133,3 100

Tabela 2.2

- assinala-se a aplicação da 4ª regra, específica da legislação portuguesa "no caso de

restar um só mandato para distribuir e de os termos seguintes da série serem iguais

[A=200 e D=200 ] e de listas diferentes, o mandato caberá à lista que tiver obtido menor

número de votos .

Exemplos



3) No distrito de Leiria existem dez mandatos a atribuir. Nas últimas eleições

legislativas os mandatos foram distribuídos da seguinte forma:

Tabela 2.3

Apliquemos o método de Hondt de modo a confirmar os resultados (vamos

ignorar os últimos cinco partidos de modo a simplificar o processo):

divisores PSD PS PP PCP BE

1 121350 70384 23482 9810 5297

2 60675 35192 11741 4905 2648,5

3 40450 23461,3 7827,3 3270 1765,7

4 30337,5 17596 5870,5 2452,5 1324,25

5 24270 14076,8 4696,4 1962 1059.4

6 20225 11730,7 3913,7 1635 882,8

7 17335,7

Tabela 2.4

Lista Votos Perc Mand PPD/PSD 121350 50,78% 6

PS 70384 29,46% 3 CDS-PP 23482 9,83% 1

PCP-PEV 9810 4,11% 0 B.E. 5297 2,22% 0

PCTP/MRPP 994 0,42% 0 MPT 671 0,28% 0 PPM 658 0,28% 0

POUS 518 0,22% 0 P.H. 414 0,17% 0



CCCCCCCCAAAAAAAAPPPPPPPPÍÍÍÍÍÍÍÍTTTTTTTTUUUUUUUULLLLLLLLOOOOOOOO IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

SSSSSSSSIIIIIIIISSSSSSSSTTTTTTTTEEEEEEEEMMMMMMMMAAAAAAAASSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEE VVVVVVVVOOOOOOOOTTTTTTTTAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

PPPPPPPPOOOOOOOONNNNNNNNDDDDDDDDEEEEEEEERRRRRRRRAAAAAAAADDDDDDDDAAAAAAAA



11111111........ IIIIIIIINNNNNNNNTTTTTTTTRRRRRRRROOOOOOOODDDDDDDDUUUUUUUUÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

Numa democracia tomamos muitas coisas como certas, uma delas é a ideia de

que todas as pessoas são iguais. No que respeita a direitos de votação o ideal de

igualdade traduz-se pelo princípio uma pessoa-um voto. Mas será este um princípio

sempre justo? Será que se deve aplicar quando os eleitores são mais que indivíduos, por

exemplo organizações ou países?

Numa sociedade diversificada os eleitores, sejam eles indivíduos ou instituições,

não são iguais e é por vezes recomendável reconhecer as suas diferenças, atribuindo

diferentes pesos a cada um dos seus votos. Este princípio é precisamente o contrário do

princípio uma pessoa-um voto e pode ser descrito como o princípio

uma pessoa – x votos. É usualmente conhecido como votação ponderada.

Um bom exemplo deste princípio é a eleição do presidente dos E.U.A.- o

controverso Electoral College. Neste sistema os eleitores são os cinquenta estados e o

Distrito da Colômbia e estes estão longe de terem o mesmo peso na votação! Enquanto

o grande Estado da Califórnia dispõe de cinquenta e quatro votos para eleger o

presidente, um pequeno estado como o de Montana tem apenas três.

A todo o método no qual os eleitores não estejam em igualdade em termos do

número de votos que controlam dá-se o nome de sistema de votação ponderada. Nestes

sistemas a questão principal é a relação entre a quantidade de votos e o poder de cada

eleitor.

Dado um eleitor com determinado número de votos, que poder detém sobre a

eleição? A resposta a esta questão baseia-se em ideias matemáticas que vamos abordar

de seguida. Antes de mais, de modo a simplificar a escrita iremos introduzir a

terminologia e elementos básicos de qualquer sistema de votação ponderada. Iremos

abordar o caso em que a votação apenas incide sobre duas alternativas ou candidatos.

Um voto desta natureza pode ser interpretado como um voto sim/não ou referido como

uma moção.



22222222........ TTTTTTTTEEEEEEEERRRRRRRRMMMMMMMMIIIIIIIINNNNNNNNOOOOOOOOLLLLLLLLOOOOOOOOGGGGGGGGIIIIIIIIAAAAAAAA EEEEEEEE NNNNNNNNOOOOOOOOTTTTTTTTAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

TTTTTTTTEEEEEEEERRRRRRRRMMMMMMMMIIIIIIIINNNNNNNNOOOOOOOOLLLLLLLLOOOOOOOOGGGGGGGGIIIIIIIIAAAAAAAA

Todo o sistema de votação ponderada é caracterizado por três elementos: os

jogadores, os pesos dos seus votos e a quota.

Os jogadores são os próprios eleitores. Vamos, a partir de agora, chamar

eleitores quando se tratar de um sistema de votação uma pessoa – um voto e jogadores

quando nos referirmos a um sistema de votação ponderada.

Usaremos a letra N para representar o número de jogadores e os símbolos

P1, P2, …, PN , para denominar os próprios jogadores.

Num sistema de votação ponderada cada jogador detém um certo número de

votos ao qual chamaremos o seu peso. Assim sendo damos o nome de w1,w2, …, wN,

aos pesos dos respectivos jogadores P1, P2, …, PN.

Finalmente temos a quota, o número mínimo de votos necessário para uma

moção ser aprovada. Atribuímos então a letra q à quota. É importante referir que a quota

q pode ser mais do que uma simples superioridade de votos. Pode dar-se o caso de

existirem regras estipulando diferentes definições para aprovar uma moção. Temos

como exemplo as regras do senado dos E.U.A.: para aprovar uma lei é apenas

necessário um maior número de votos, mas para que o presidente não possa exercer o

seu poder de veto são necessários dois terços da totalidade dos votos. Noutras

organizações podem ser necessários três quartos, 80% dos votos ou mesmo a sua

totalidade (unanimidade). De facto qualquer número superior que metade da totalidade

dos votos é aceitável para o valor da quota. Formalmente,

N

N wwwqwww

+++≤<+++

...2

...21

21



NNNNNNNNOOOOOOOOTTTTTTTTAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

Uma forma conveniente de descrever um sistema de votação ponderada é,

[q: w1, w2, …, wN]

A quota aparece em primeiro lugar seguida do peso de cada jogador. É costume

pôr os diferentes pesos por ordem decrescente de grandeza.

Consideremos uma corporação com quatro membros, P1, P2, P3 e P4. Com a

seguinte distribuição de votos,

Membros Votos

P1 8

P2 6

P3 5

P4 1

Tabela 3.1

Seguindo as regras da corporação, são necessários dois terços dos vinte votos

para aprovar uma moção. Usando a nossa notação este sistema de votação ponderada

pode ser descrito por [14: 8, 6, 5,1].

Note-se que q = 14 pois catorze é o primeiro inteiro superior a dois terços de

vinte.

Consideremos agora o sistema de votação ponderada [7: 5, 4, 4, 2]. A quota

q = 7 é inferior a metade da totalidade dos votos. Neste caso se os jogadores P1 e P4

Exemplo 3.1

Exemplo 3.2



votarem a favor e os outros dois jogadores votarem contra, os dois grupos ganham! Isto

é a versão matemática de anarquia. Como tal, não consideraremos este sistema de

votação ponderada válido.

Seja [17: 5, 4, 4, 2] um sistema de votação ponderada. A quota excede o número

total de votos. Assim é impossível aprovar qualquer moção. Este sistema será, por isso,

também invalidado.

Analisemos agora o sistema de votação ponderada [11: 4, 4, 4, 4, 4]. Neste caso

os cinco jogadores têm igual número de votos. Para que uma moção seja aprovada basta

que três quaisquer jogadores votem a favor. Note-se que se a quota fosse alterada para

q = 12 a situação manter-se-ia igual. O que se apresenta neste caso é, disfarçado, o

sistema uma pessoa – um voto, com simples necessidade de maioria de votos para

aprovar uma moção.

Estudemos o sistema de votação ponderada [15: 5, 4, 3, 2, 1]. Os cinco jogadores

têm quinze votos no total. Para uma moção ser aprovada é necessária a unanimidade.

Assim, em termos práticos, os sistemas de votação ponderada [15: 5, 4, 3, 2, 1] e

[5: 1, 1, 1, 1, 1] são equivalentes.

Vamos continuar com mais alguns exemplos, introduzindo agora,

informalmente, a noção de poder:

Exemplo 3.3

Exemplo 3.4

Exemplo 3.5



Seja [11: 12, 5, 4] um sistema de votação ponderada. Nesta simulação o jogador

P1 controla um número de votos suficiente para fazer passar qualquer moção. Desta

forma o jogador P1 detém todo o poder e é chamado ditador.

Dizemos que um jogador é um ditador quando detém um número de votos igual

ou superior ao valor da quota. É de notar que sempre que existe um ditador, nenhum dos

outros jogadores tem qualquer poder! A um jogador sem qualquer poder chamamos

dummy.

No sistema de votação ponderada [12: 9, 5, 4, 2] o jogador P1 não é um ditador

mas tem o poder de impedir que qualquer moção seja aprovada. De facto mesmo que

todos os outros jogadores estivessem de acordo a soma dos seus votos não seria

suficiente para fazer passar uma moção contra a vontade do P1.

Um jogador que não é um ditador mas que sozinho pode impedir uma moção de

ser aprovada, diz-se que tem poder de veto.

Analisemos o sistema de votação ponderada [101: 99, 98, 3]. À primeira vista

parece que os jogadores P1 e P2 têm muito poder em comparação com o jogador P3.

Contudo, se repararmos melhor, chegamos à conclusão que só é possível aprovar uma

moção com dois jogadores a favor. Mais, quaisquer dois jogadores juntos têm uma

coligação vencedora! Pois bem, na verdade os três jogadores têm exactamente o mesmo

poder.

Exemplo 3.6

Exemplo 3.7

Exemplo 3.8



33333333........ OOOOOOOO ÍÍÍÍÍÍÍÍNNNNNNNNDDDDDDDDIIIIIIIICCCCCCCCEEEEEEEE DDDDDDDDEEEEEEEE PPPPPPPPOOOOOOOODDDDDDDDEEEEEEEERRRRRRRR BBBBBBBBAAAAAAAANNNNNNNNZZZZZZZZAAAAAAAAHHHHHHHHFFFFFFFF

Vamos então introduzir a primeira interpretação matemática de poder nos

sistemas de votação ponderada. Esta definição de poder foi sugerida por John Banzahf

em 1965.

Analisemos o exemplo 3.8 com mais pormenor de modo a introduzir conceitos

importantes. Que conjuntos de jogadores podem reunir forças e, votando juntos,

conseguir a aprovação de uma moção? Olhando para os números, verificamos que

existem quatro conjuntos nestas condições:

P1 e P2 (197 votos);



P1, P2 e P3 (200 votos, a totalidade dos votos)

A partir deste momento vamos aderir à linguagem standard da teoria de eleições

e chamar, a todo o conjunto de jogadores que unam forças, para votar em conjunto, uma

coligação (usamos também a expressão ‘coligação‘ para conjuntos de um só elemento).

Ao número total de votos controlados por uma coligação chamamos peso da coligação.

Claro está que algumas coligações têm votos suficientes para ganhar outras não.

Naturalmente, chamamos às primeiras coligações vencedoras e às últimas coligações

perdedoras. Uma coligação formada por todos os jogadores chama-se a grande

coligação.

A melhor maneira de descrever as coligações matematicamente é usando

notação de conjuntos. Por exemplo, a coligação formada pelos jogadores P1 e P2 pode

ser escrita como o conjunto {P1, P2}.



Continuemos a analisar o exemplo 3.8:

Coligação Peso da coligação Vence ou perde

{P1} 99 Perde

{P2} 98 Perde

{P3} 3 Perde

{P1, P2} 197 Ganha

{P1, P3} 102 Ganha

{P2, P3} 101 Ganha

{P1, P2, P3} 200 Ganha

Tabela 3.2

Observando as coligações vencedoras na tabela acima, concluímos que nas

coligações {P1, P2}, {P1, P3}, {P2, P3} os dois jogadores são necessários para a

coligação ter votos suficientes para ganhar. Isto já não se verifica na coligação {P1, P2,

P3}, em que qualquer jogador pode abandonar a coligação sem que esta deixe de ser

vencedora.

Chamamos então, aos jogadores cuja deserção de uma coligação vencedora a

transformam em perdedora, jogadores críticos. Note-se que uma coligação vencedora

pode ter mais do que um jogador crítico enquanto que uma coligação perdedora não tem

um único jogador crítico. O conceito do jogador crítico é a base da definição do Índice

de Poder Banzhaf. A ideia chave é que o poder de um jogador é proporcional ao número

de coligações em que esse jogador é crítico. Quanto mais vezes um jogador é crítico

maior poder detém.

No exemplo 3.8 cada jogador é crítico duas vezes, assim todos têm o mesmo

poder. Cada jogador tem um terço de poder.

Podemos agora formalizar a nossa abordagem para encontrar o índice de poder

Banzhaf de qualquer jogador, num sistema de votação ponderada genérico com N

jogadores.



DETERMINAÇÃO DO INDÍCE DE PODER BANZHAF DE UM JOGADOR P:

Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações possíveis.

Passo 2: Determinar quais as coligações vencedoras.

Passo3: Em cada coligação vencedora identificar os jogadores críticos.

Passo 4: Contar o número de vezes que o jogador P é crítico (chamemos a este

número B)

Passo 5: Contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos. (Seja

este número T)

O Índice de poder de Banzhaf do jogador P é dado pela fracção T

B!

Tabela 3.3

Dias e filhos é uma empresa familiar. Três gerações de Dias (Afonso I, Afonso

II, Afonso III) estão envolvidas na sua gerência. No que toca a decisões, o Afonso I tem

três votos, o Afonso II tem dois votos e o Afonso III um voto. Uma maioria de quatro

votos é necessária para aprovar uma moção. Como está distribuído o poder pelas três

gerações?

Estamos na presença de um sistema votação ponderada

[4: 3, 2, 1]. Vamos seguir os passos acima referidos para determinar

o Índice de Poder Banzahf dos três jogadores (usamos P1, P2 e P3

para denotar respectivamente o Afonso I, o Afonso II e o

Afonso III).

Empresa Dias & Filhos

Exemplo 3.9



Passo 1 – Existem 7 coligações possíveis:

{P1}, {P2}, {P3}, {P1, P2},

{P1, P3}, {P2, P3}, {P1, P2, P3}.

Passo 2 – As coligações vencedoras são: {P1, P2}; {P1, P3} e {P1, P2, P3}.

Passo 3

Coligação Vencedora Jogadores críticos

{P1, P2} P1 e P2

{P1, P3} P1 e P3

{P1, P2, P3} P1

Tabela 3.4

Passo 4

P1 é crítico 3 vezes.

P2 e P3 são críticos 1 vez.

O índice de poder Banzhaf de cada jogador é:

P1: 5

3;

P2: 5

1 ;

P3: 5

1 .

Vamos referir a lista completa dos índices de poder como a distribuição de poder

Banzhaf de um sistema de votação ponderada. É comum escrever índices de poder

como percentagens.

Em percentagem a distribuição de poder do exemplo 3.9 é:

P1: 60%;

P2: 20%;

P3: 20%.



Uma das decisões mais importantes de uma equipa de hóquei

é escolher os seus jogadores. Em muitos casos a decisão é tomada

através de um sistema de votação ponderada. Tomemos, como

exemplo, a equipa do hóquei de Barcelos. No seu sistema, o treinador (T) tem quatro

votos, o presidente do clube (P) três votos, o treinador adjunto (TA) dois votos e a

equipa médica (EM) um voto. Dos dez votos, é necessária uma maioria de seis para

requisitar um jogador. Basicamente estamos perante um sistema de votação ponderada

[6: 4, 3, 2, 1]. Vamos então encontrar a distribuição de poder Banzhaf neste sistema de

votação ponderada. Na tabela estão as quinze coligações possíveis, e em cada coligação

vencedora estão sublinhados os jogadores críticos.

Coligação Peso da coligação Vence ou perde

{T} 4 Perde

{P} 3 Perde

{TA} 2 Perde

{EM} 1 Perde

{T, P} 7 Ganha

{T, TA} 6 Ganha

{T, EM} 5 Perde

{P, TA} 5 Perde

{P, EM} 4 Perde

{TA, EM} 3 Perde

{T, P, TA} 9 Ganha

{T, P, EM} 8 Ganha

{T, TA, EM} 7 Ganha

{P, TA, EM} 6 Ganha

{T, P, TA, EM} 10 Ganha

Tabela 3.5

Exemplo 3.10



Só temos agora que contar o número de vezes que cada jogador está sublinhado

e dividi-lo pelo número total de jogadores sublinhados. A distribuição de poder Banzhaf

é:

T: 12

5 ⇒ 42%;

P: 12

3 ⇒ 25%;

TA: 12

3 ⇒ 25%;

EM: 12

1 ⇒ 8%.

Note-se que a soma dos índices de poder é sempre igual a um. Este facto é útil

para confirmar os cálculos.

Para N jogadores quantas coligações podem ser formadas?

Com excepção do conjunto vazio, todo o subconjunto do conjunto dos jogadores

pode ser identificado como uma coligação. Isto significa que podemos saber o número

total de coligações, subtraindo ao número de subconjuntos do conjunto dos jogadores

uma unidade. Em termos matemáticos:

N

N

+

−

N

N 1

+ … +

N

1

+

N

0

- 1 = 2 N -1

Número total de subconjuntos de um conjunto com N elementos

Conjunto Vazio



O conselho executivo de uma escola tem cinco membros:

presidente, vice-presidente e três secretários. No que toca a votar

qualquer acção disciplinar, o presidente (P) tem três votos, o vice-

presidente (VC) 2 votos e os três secretários têm um voto cada (S1,

S2, S3). São necessários cinco votos para aprovar uma moção. Descrevemos então do

seguinte modo este sistema de votação ponderada: [5: 3, 2,1, 1, 1, 1].

Sabemos agora que o número total de coligações será,

25 – 1 = 31.

Na tabela seguinte apresentam-se apenas as coligações vencedoras e em cada

uma encontram-se sublinhados os jogadores críticos:

Coligação vencedora

{P, VP}

{P, VP, S1}

{P, VP, S2}

{P, VP, S3}

{P, S1, S2}

{P, S1, S3}

{P, S2, S3}

{P, VP, S1, S2}

{P, VP, S1, S3}

{P, VP, S2, S3}

{P, S1, S2, S3}

{VP, S1, S2, S3}

{P, VP, S1, S2, S3}

Tabela 3.6

Exemplo 3.11



A distribuição de poder Banzhaf neste sistema de votação ponderada é:

P: 25

11 ⇒ 44%

VP: 25

5 ⇒ 20%

S1, S2, S3: 25

3 ⇒ 12%

3.13.13.13.1 AAAAPLICAÇÕES DO PLICAÇÕES DO PLICAÇÕES DO PLICAÇÕES DO ÍÍÍÍNDICE DE NDICE DE NDICE DE NDICE DE PPPPODER DE ODER DE ODER DE ODER DE BBBBANZHAFANZHAFANZHAFANZHAF

Jonh Banzhaf introduziu primeiramente o índice de poder em 1965, numa

análise sobre como o poder estava distribuído na Comissão de Supervisores do

Concelho de Nassau, em Nova York. Apesar de ser advogado, foi a sua análise

matemática que providenciou uma base legal para uma série de casos de tribunal,

envolvendo as matemáticas dos processos de voto.

O Concelho de Nassau estava dividido em seis distritos diferentes e, com dados

populacionais recolhidos no ano de 1964, havia 115 votos no total dos distritos. A

tabela que se segue mostra os votos distribuídos pelos distritos:

Distrito Votos em 1964

Hempstead #1 31

Hempstead #2 31

Oyster Bay 28

North Hempstead 21

Long Beach 2

Glen Cove 2

Tabela 3.7 - Votos por Distrito no Concelho de Nassau

Observa-se que são necessários 58 votos para passar a moção.

Com efeito, a Comissão de Supervisores do Concelho de Nassau, funcionou com

o sistema de voto ponderado [58: 31, 31, 28, 21, 2, 2]. Desta forma todo o poder estava



concentrado nas mãos dos três primeiros distritos. De facto, não era possível nenhuma

coligação vencedora sem dois dos três primeiros, e desde que quaisquer dois dos três

primeiros formassem uma coligação vencedora, nenhum dos últimos três poderia

alguma vez ser jogador crítico.

Nesta Comissão de Concelho havia três membros (Hempstead #1, Hempstead

#2, Oyster Bay) cada um com um terço do poder e, outros três (North Hempstead, Long

Beach, Glen Cove) sem nenhum poder.

O CONCELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES UNIDAS é

um exemplo de voto ponderado. Ele consiste em 15 nações

votantes – 5 delas são membros permanentes – Reino Unido,

China, França, Rússia e E.U.A; as outras 10 nações são

membros não permanentes eleitos por um período de dois

anos numa base rotativa. Para passar uma moção no concelho de segurança é requerido

um voto positivo de cada um dos membros permanentes (dando efectivamente a cada

membro permanente o poder de veto) mais um voto positivo de pelo menos quatro dos

dez membros não permanentes. Desta forma a coligação vencedora consiste nos cinco

membros permanentes e quatro ou mais membros não permanentes. Temos:

4

10= 210

coligações com 5 membros permanentes e exactamente 4 membros não permanentes, e

5

10+

6

10+

7

10+

8

10+

9

10+

10

10= 638

coligações com 5 membros permanentes e mais de 4 membros não permanentes.

Há um total de

4

10 +

5

10+

6

10+

7

10+

8

10+

9

10+

10

10= 210+ 638= 848

coligações com 5 membros permanentes e 4 ou mais membros não permanentes.

Exemplos



Qual o índice de poder de um membro permanente nestas coligações?

Ora, em cada uma destas coligações cada membro permanente é crítico, pois tem

poder de veto.

Numa coligação com 9 elementos um membro não permanente é critico em

3

9= 84

coligações, pois neste caso fixamos os 5 permanentes e o não permanente é

considerado como crítico. Nas coligações com 10 ou mais elementos um membro não

permanente nunca é crítico.

Sendo assim o poder de cada membro permanente é

84108485

848

×+× =

5080

848 = 0,167.

O poder de um membro não permanente é

84108485

84

×+× =

5080

84 = 0,0167.

Repare-se na discrepância de poder entre membros permanentes e não

permanentes: aproximadamente 16,7% e 1,65%, respectivamente. Um membro

permanente tem cerca de dez vezes mais poder do que um membro não permanente.

Seria intenção do decreto das Nações Unidas ou talvez um erro de cálculo baseado na

falta de conhecimento da matemática dos votos ponderados?



O COLÉGIO ELEITORAL.

O Presidente dos E.U.A é escolhido usando uma instituição chamada de Colégio

Eleitoral. Na escolha do presidente é permitido a cada estado ganhar um certo número

de votos, igual ao total de membros do congresso (Senadores e Representantes) desse

estado. Os votos são distribuídos por indivíduos chamados eleitores, que são escolhidos

para representantes dos cidadãos dos respectivos estados. A regra geral é de que todos

os eleitores de um estado particular votem no candidato presidencial que tem a

pluralidade dos votos nesse estado. Esta regra é conhecida pela regra da Unidade ou

pela regra “O vencedor ganha tudo”.

Outro ponto importante é o facto de sob o sistema de dois partidos mais fortes

americanos muitas eleições presidenciais culminam na escolha entre apenas dois

candidatos viáveis. Sob esta regra da unidade e numa eleição entre apenas dois

candidatos viáveis, o colégio eleitoral representa um dos mais importantes exemplos de

um sistema de voto ponderado, bem como um único sistema – os E.U.A são o único

país no mundo com tal sistema.

44444444........ OOOOOOOO ÍÍÍÍÍÍÍÍNNNNNNNNDDDDDDDDIIIIIIIICCCCCCCCEEEEEEEE DDDDDDDDEEEEEEEE PPPPPPPPOOOOOOOODDDDDDDDEEEEEEEERRRRRRRR DDDDDDDDEEEEEEEE SSSSSSSSHHHHHHHHAAAAAAAAPPPPPPPPLLLLLLLLEEEEEEEEYYYYYYYY--------SSSSSSSSHHHHHHHHUUUUUUUUBBBBBBBBIIIIIIIIKKKKKKKK

Neste ponto vamos discutir uma aproximação diferente ao poder de medida,

proposto em conjunto por Lloyd Shapley e Martin Shubik em 1954. A principal

diferença entre a interpretação do poder de Shapley-Shubik e de Banzhaf centra-se no

conceito de coligação sequencial. No método Shapley-Shubik as coligações assumem-

se de forma sequencial: cada coligação começa com um primeiro jogador, que se pode

aliar a um segundo, seguidamente a um terceiro, e por ai adiante. Desta maneira

adicionamos mais um vinco a uma situação já complicada: a questão da ordem pela qual

os jogadores entraram na coligação. Será que a ordem interessa? Vamos ver que sim

com a ajuda de um exemplo. Ora, de acordo com o índice de poder de Banzhaf, uma

coligação como {P1, P2, P3} significa que P1, P2 e P3 juntaram-se e vão votar juntos.

Não interessa quem entrou primeiro na coligação. Em contrapartida, de acordo com o

índice de poder de Shapley-Shubik os mesmos três jogadores podem formar seis

coligações sequências diferentes: ⟨P1, P2, P3⟩ (significa que P1 iniciou a coligação à qual



se juntou a seguir P2 e por ultimo P3); ⟨P1, P3, P2⟩; ⟨P2, P1, P3⟩; ⟨P2, P3, P1⟩; ⟨P3, P1, P2⟩; ⟨P3, P2, P1⟩. A notação ⟨ ⟩ indicará a partir de agora que estamos perante uma coligação

sequencial, ou seja interessa a ordem pela qual os jogadores entram na coligação.

Com N jogadores quantas coligações sequenciais existem?

Acabamos de ver que com 3 jogadores há 6 coligações sequenciais diferentes. O

que acontecerá se tivermos 4 jogadores? Podíamos tentar escrever todas as coligações

sequenciais possíveis, tarefa essa fastidiosa! Em vez disso, argumentamos o seguinte:

para preencher o primeiro lugar da coligação sequencial temos 4 hipóteses de escolha

(qualquer um dos 4 jogadores), para preencher o segundo temos 3 hipóteses (qualquer

um, excepto o que ocupou o primeiro lugar), para preencher o terceiro há 2

possibilidades (um dos que não foi escolhido para primeiro e segundo lugar), finalmente

para preencher o último lugar temos apenas uma hipótese. Para combinar as escolhas

multiplicamo-las. Desta forma, o número total de coligações sequenciais possíveis com

4 jogadores será

4×3×2×1 = 4! = 24.

Suponhamos agora que temos um sistema de voto ponderado com N jogadores.

Sabemos da discussão precedente que há um total de N! coligações sequenciais

diferentes contendo todos os jogadores.

Em todas estas coligações há um jogador que inicia a escala – o momento em

que o jogador entra para a coligação, a coligação muda de uma coligação perdedora

para uma coligação vencedora (ver figura 3.1).

Chama-se a esse jogador o jogador pivotal da coligação sequencial. O princípio

subjacente à teoria de Shapley-Shubik é o de que o jogador pivotal merece um

reconhecimento especial, pois os jogadores que surgem antes do jogador pivotal não

têm votos suficientes para aprovar uma moção.

De acordo com Shapley e Shubik o poder de um jogador depende do número de

vezes em que é jogador pivotal relativamente aos outros jogadores.



COLIGAÇÃO SEQUENCIAL

Ganha

Perde

…

Primeiro

Jogador

Segundo

Jogador …

Jogador

Pivotal

Restantes

Jogadores

Figura 3.1 O Jogador Pivotal

A descrição formal do procedimento para encontrar o índice de poder de

Shapley-Shubik para qualquer jogador num sistema de voto ponderado genérico com N

jogadores é a seguinte:



CÁLCULO DO ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK PARA O JOGADOR P

Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais contendo N

jogadores. Há N! destas coligações.

Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar o jogador pivotal. Há um

em cada coligação sequencial.

Passo3: Contar o número total de vezes em que P é jogador pivotal e

denominar esse número por S.

O Índice de Poder de Shapley-Shubik do Jogador P é dado pela fracção !N

S.

Tabela 3.8

A listagem dos Índices de Poder de Shapley-Shubik para todos os jogadores dá

origem à distribuição de poder de Shapley-Shubik para o sistema de voto ponderado.

Neste exemplo vamos retomar o exemplo 3.9 e usar o método de

Shapley-Shubik:

Passo 1

Há 3! = 6 Coligações sequenciais com 3 jogadores.

Temos,

⟨P1, P2, P3⟩, ⟨P1, P3, P2⟩, ⟨P2, P1, P3⟩, ⟨P2, P3, P1⟩, ⟨P3, P1, P2⟩, ⟨P3, P2, P1⟩

Empresa Dias & Filhos

Exemplo 3.12



Passo 2

Coligação Sequencial Jogador Pivotal

⟨P1, P2, P3⟩ P2

⟨P1, P3, P2⟩ P3

⟨P2, P1, P3⟩ P1

⟨P2, P3, P1⟩ P1

⟨P3, P1, P2⟩ P1

⟨P3, P2, P1⟩ P1

Tabela 3.9

Passo 3

P1 é jogador pivotal quatro vezes.

P2 é jogador pivotal uma vez.

P3 é jogador pivotal uma vez.

A distribuição de poder de Shapley-Shubik é a seguinte:

P1: 6

4 = 0,6(6) ⇒ 66,7 %

P2: 6

1 = 0,1(6) ⇒ 16,7%

P3: 6

1 = 0,1(6) ⇒ 16,7%

Observe-se que a distribuição de poder é diferente da distribuição de poder de

Banzhaf obtida no exemplo 3.9. De acordo com a interpretação de poder de Shapley-

Shubik Afonso I tem ainda mais poder e o filho e o neto têm ainda menos poder. Um

facto que não muda é de que Afonso II tem o mesmo poder que Afonso III.



Vamos considerar o exemplo 3.10. De acordo com Banzhaf a

distribuição é [6: 4, 3, 2, 1] e agora vamos encontrar a distribuição de

poder de Shapley-Shubik.

Há 24 coligações diferentes envolvendo 4 jogadores. Lista-se na

tabela 3.10 as coligações e os jogadores pivotal estão sublinhados.

⟨T, P, TA, EM⟩ ⟨P, T, TA, EM⟩ ⟨TA, T, P, EM⟩ ⟨EM, T, P, TA⟩ ⟨T, P, EM, TA⟩ ⟨P, T, EM, TA⟩ ⟨TA, T, EM, P⟩ ⟨EM, T, TA, P⟩ ⟨T, TA, P, EM⟩ ⟨P, TA, T, EM⟩ ⟨TA, P, T, EM⟩ ⟨EM, P, T, TA⟩ ⟨T, TA, EM, P⟩ ⟨P, TA, EM, T⟩ ⟨TA, P, EM, T⟩ ⟨EM, P, TA, T⟩ ⟨T, EM, P, TA⟩ ⟨P, EM, T, TA⟩ ⟨TA, EM, T, P⟩ ⟨EM, TA, T, P⟩ ⟨T, EM, TA, P⟩ ⟨P, EM, TA, T⟩ ⟨TA, EM, P, T⟩ ⟨EM, TA, P, T⟩

Tabela 3.10

A distribuição de poder de Shapley-Shubik é:

T: 24

10 = 0,42 ⇒ 42%

P: 24

6 = 0.25 ⇒ 25%

TA: 24

6 = 0,25 ⇒ 25%

EM: 24

2 = 0,08 ⇒ 8%

Vale a pena mencionar que a distribuição de poder de Shapley-Shubik é

exactamente igual à distribuição de poder de Banzhaf. Isto mostra como é impossível

que estas distribuições de poder estejam de acordo. Contudo, de modo geral, escolhendo

aleatoriamente situações reais é muito pouco provável que os métodos de Banzahf e de

Shapley-Shubik nos dêem a mesma resposta.

Exemplo 3.13



98

Na Câmara Municipal de Bragança há 5

membros: o presidente e 4 membros ordinários de

concelho. Uma moção só passa se o presidente e pelo

menos 2 membros do concelho votarem a favor, ou em

alternativa, se todos os 4 membros ordinários votarem a

favor. (Isto significa que o presidente tem poder de veto, mas um voto não unânime dos

outros 4 membros do concelho pode sobrepor-se ao veto do presidente.) O senso

comum diz-nos que de acordo com estas regras, os 4 membros ordinários do concelho

têm o mesmo poder, mas o presidente tem mais. Vamos usar a interpretação de poder de

Shapley-Shubik para determinar exactamente quanto mais poder tem o presidente. Uma

vez que há 5 jogadores neste sistema de voto, há 5! = 120 coligações sequenciais a

considerar. Vamos em primeiro lugar tentar encontrar o índice de poder de Shapley-

Shubik para o presidente. Qual a ordem de posição em que o presidente deve estar numa

coligação sequencial para ser jogador pivotal? Terá de estar em primeiro lugar? De

modo algum! Nenhum jogador que esteja na primeira posição pode ser pivotal, a não ser

que seja um ditador. Em segundo? Não.

Ganha

Perde

Ganha

Perde

Ganha

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

(a) (b)

(c)

Figura 3.2

Exemplo 3.14



99

Um membro ordinário e o presidente não são suficientes para passar uma moção.

Em terceiro lugar? Sim. Se o presidente está na terceira posição ele é o jogador pivotal

nessa coligação sequencial. (Ver figura 3.2(a)). Igualmente se o presidente estiver na

quarta posição ele é o jogador pivotal nessa coligação sequencial porque os três

membros ordinários precedentes não são suficientes para passar uma moção. (Ver figura

3.2(b)). Finalmente, quando o presidente está na quinta posição não é o jogador pivotal,

pois os 4 membros ordinários precedentes são suficientes para passar a moção. (Ver

figura 3.2(c))

Surge agora uma questão pertinente: em quantas coligações sequenciais está o

presidente em primeiro lugar? Em segundo? … Em quinto? A simetria das posições

indica-nos que haverá tantas coligações sequenciais em que o presidente está em

primeiro lugar como em qualquer outra posição. As 120 coligações sequenciais podem

ser divididas em cinco grupos de vinte e quatro – 24 com o presidente em primeiro

lugar, 24 com o presidente em segundo, etc. Finalmente, o presidente é jogador pivotal

em todas as coligações que esteja em terceiro ou quarto lugar, havendo 24 de cada.

Assim o índice de poder do presidente é 120

48 = 40%. Dado que os 4 membros

ordinários do concelho têm que repartir igualmente os restantes 60% de poder, cada um

terá um índice de poder de Shapley-Shubik de 15%.

4444.1.1.1.1 AAAAPLICAÇÕES DO ÍNDICE PLICAÇÕES DO ÍNDICE PLICAÇÕES DO ÍNDICE PLICAÇÕES DO ÍNDICE DE PODER DE DE PODER DE DE PODER DE DE PODER DE SSSSHAPLEYHAPLEYHAPLEYHAPLEY----SSSSHUBIK HUBIK HUBIK HUBIK

O REGRESSO AO COLÉGIO ELEITORAL. Calcular o índice de poder de Shapley-

Shubik dos diferentes estados não é tarefa fácil. Temos 51 estados, o que dá um total de

51! Coligações sequenciais, um número muito grande (com 67 dígitos!). Fazer a análise

de todas as coligações possíveis é um processo que requer muito tempo, podendo até

estar envolvidas centenas de anos! Desta maneira uma análise directa fica fora de

questão. Contudo, existem sofisticados atalhos matemáticos que acompanhados de um

computador e do software adequado permite eficiência nos cálculos.

Exemplos



100

O REGRESSO AO CONCELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES

UNIDAS.

Vamos agora ilustrar o método de Shapley-Shubik no

Concelho de Segurança das Nações Unidas por passos. Seguindo o

esquema apresentado anteriormente temos:

Passo 1

Há 15! Coligações sequenciais envolvendo os 15 membros, isto é cerca

de 1,3 triliões de coligações sequenciais diferentes.

Passo 2

Um membro não permanente pode ser pivotal numa destas coligações

apenas se for o nono jogador na coligação sequencial, precedido pelos 5

membros permanentes e por três não permanentes (estes últimos podem

ser escolhidos de

3

9 maneiras diferentes). Os oito elementos que o

precedem podem ser ordenados de 8! maneiras diferentes. Os seis que o

seguem podem ser ordenados de 6! maneiras diferentes. Deste modo cada

membro não permanente será pivotal em

3

9 × 8!× 6!, isto é, !6!3

!6!8!9,

aproximadamente 2,44 biliões de coligações sequenciais.

Passo 3

Desta forma cada membro não permanente tem um índice de poder de

Shapley-Shubik de

!15!3

!8!9

= 0,001865

ou seja, aproximadamente 0,19% (triliões

biliões

3,1

44,2).

Assim, o índice de poder dos 10 membros não permanentes é inferior a 2%, os

restantes 98% ficam distribuídos pelos 5 membros permanentes, dando a cada um cerca



101

de 5

%98= 19,6% do poder. Consequentemente cada membro permanente tem cerca de

cem vezes mais poder do que um membro não permanente.

A desproporção entre membros permanentes e não permanentes é ainda mais

reflectida neste método!

55555555.. EEEEEEEELLLLLLLLEEEEEEEEIIIIIIIIÇÇÇÇÇÇÇÇÕÕÕÕÕÕÕÕEEEEEEEESSSSSSSS LLLLLLLLEEEEEEEEGGGGGGGGIIIIIIIISSSSSSSSLLLLLLLLAAAAAAAATTTTTTTTIIIIIIIIVVVVVVVVAAAAAAAASSSSSSSS:::::::: CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMMPPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRRAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO DDDDDDDDOOOOOOOOSSSSSSSS

ÍÍÍÍÍÍÍÍNNNNNNNNDDDDDDDDIIIIIIIICCCCCCCCEEEEEEEESSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEE PPPPPPPPOOOOOOOODDDDDDDDEEEEEEEERRRRRRRR AAAAAAAAPPPPPPPPRRRRRRRREEEEEEEESSSSSSSSEEEEEEEENNNNNNNNTTTTTTTTAAAAAAAADDDDDDDDOOOOOOOOSSSSSSSS

Em Março de 2002 deram-se as eleições

legislativas no nosso país. Quem saiu vencedor foi a

coligação PSD/CDS. Quem mais poderia sair

vencedor? Qual o índice de poder de cada partido?

Seguidamente vamos tentar responder a estas

questões.

Considerando cada partido como um eleitor, podemos ter como exemplo do

sistema de voto ponderado as eleições legislativas de Março de 2002. Observemos a

seguinte tabela:

Tabela 3.11

Partidos Votos % Mandatos

PPD/PSD 2181672 40,15 102

PS 2055986 37,84 95

CDS-PP 475515 8,75 14

PCP-PEV 378640 6,97 12

B.E. 149543 2,75 3

PCTP/MRPP 35930 0,66 0

MPT 15226 0,28 0

PPM 12508 0,23 0

P.H. 11630 0,21 0

PNR 3962 0,07 0

B.E.-UDP 3934 0,07 0

POUS 3905 0,07 0



102

Para um partido ganhar as eleições tem de somar mais de cinquenta por cento

dos mandatos (114 mandatos). Analisemos então o poder de cada partido segundo os

dois métodos estudados (para tornar o estudo mais simples consideramos apenas os

cinco partidos que obtiveram mandatos):

Índice de Poder de Banzhaf: segundo a nossa notação este sistema de votação

ponderada pode ser descrita de seguinte forma, [114: 102, 95, 14, 12, 3].

Coligação vencedora

{PSD, PS}

{PSD, PP}

{PSD, PCP}

{PSD, PS, PP}

{PSD, PS, PCP}

{PSD, PS, BE}

{PSD, PP, PCP}

{PSD, PP, BE}

{PSD, PCP, BE}

{PS, PP, PCP}

{PSD, PS, PP, PCP}

{PSD, PS, PP, BE}

{PSD, PP, PCP, BE}

{PS, PP, PCP, BE}

{PSD, PS, PP, PCP, BE}

Tabela 3.12

A distribuição de poder Banzhaf é:

PSD: 23

11⇒ 47, 8 %



103

PS: 23

4 ⇒ 17, 4 %

PP: 23

4 ⇒ 17, 4 %

PCP: 23

4 ⇒ 17, 4 %

BE: 0 %

Índice de poder de shapley-shubik:

Passo 1 e Passo 2

Há 5! =120 coligações sequenciais diferentes, uma vez que temos 5 partidos!

Coligação Sequencial Jogador Pivotal Coligação Sequencial Jogador Pivotal

⟨PSD,PS,CDS,PCP,BE ⟩ PS ⟨PS,PCP,PSD,BE,CDS⟩ PSD

⟨PSD,PS,PCP,CDS,BE⟩ PS ⟨PS,PCP,BE,PSD,CDS⟩ PSD

⟨PS,PS,CDS,BE,PCP ⟩ PS ⟨PS,PCP,BE,CDS,PSD⟩ CDS

⟨PSD,PS,BE,PCP,CDS ⟩ PS ⟨PS,PCP,PSD,CDS,BE⟩ PSD

⟨PSD,PS,PCP,BE,CDS⟩ PS ⟨PS,PCP,CDS,BE,PSD⟩ CDS

⟨PSD,PS,BE,CDS,PCP⟩ PS ⟨PS,PCP,CDS,PSD,BE⟩ CDS

⟨PSD,CDS,PS,BE,PCP⟩ CDS ⟨PS,CDS,PCP,PSD,BE⟩ PCP

⟨PSD,CDS,PS,PCP,BE⟩ CDS ⟨PS,CDS,PCP,BE,PSD⟩ PCP

⟨PSD,CDS,BE,PS,PCP⟩ CDS ⟨PS,CDS,BE,PCP,PSD⟩ PCP

⟨PSD,CDS,BE,PCP,PS⟩ CDS ⟨PS,CDS,BE,PSD,PCP⟩ PSD

⟨PSD,CDS,PCP,BE,PS⟩ CDS ⟨PS,CDS,PSD,BE,PCP⟩ PSD

⟨PSD,CDS,PCP,PS,BE⟩ CDS ⟨PS,CDS,PSD,PCP,BE⟩ PSD

⟨PSD,PCP,BE,PS,CDS⟩ PCP ⟨PS,BE,PSD,PCP,CDS⟩ PSD

⟨PSD,PCP,CDS,BE,PS⟩ PCP ⟨PS,BE,PSD,CDS,PCP⟩ PSD

⟨PSD,PCP,PS,BE,CDS⟩ PCP ⟨PS,BE,CDS,PSD,PCP⟩ PSD

⟨PSD,PCP,PS,CDS,BE⟩ PCP ⟨PS,BE,CDS,PCP,PSD⟩ PCP



104

⟨PSD,PCP,BE,CDS,PS⟩ PCP ⟨PS,BE,PCP,PSD,CDS⟩ PSD

⟨PSD,PCP,CDS,PS,BE⟩ PCP ⟨PS,BE,PCP,CDS,PSD⟩ CDS

⟨PSD,BE,PS,PCP,CDS⟩ PS ⟨CDS,PSD,PS,PCP,BE⟩ PSD

⟨PSD,BE,CDS,PCP,PS⟩ CDS ⟨CDS,PSD,PS,BE,PCP⟩ PSD

⟨PSD,BE,PCP,CDS,PS⟩ PCP ⟨CDS,PSD,BE,PS,PCP⟩ PSD

⟨PSD,BE,PCP,PS,CDS⟩ PCP ⟨CDS,PSD,BE,PCP,PS⟩ PSD

⟨PSD,BE,PS,CDS,PCP⟩ PS ⟨CDS,PSD,PCP,BE,PS⟩ PSD

⟨PSD,BE,CDS,PS,PCP⟩ CDS ⟨CDS,PSD,PCP,PS,BE⟩ PSD

⟨PS,PSD,CDS,PCP,BE⟩ PSD ⟨CDS,PS,PSD,BE,PCP⟩ PSD

⟨PS,PSD,CDS,BE,PCP⟩ PSD ⟨CDS,PS,PSD,BE,PCP⟩ PSD

⟨PS,PSD,BE,CDS,PCP⟩ PSD ⟨CDS,PS,PCP,CDS,BE⟩ PCP

⟨PS,PSD,BE,PCP,CDS⟩ PSD ⟨CDS,PS,PCP,BE,CDS⟩ PCP

⟨PS,PSD,PCP,CDS,BE⟩ PSD ⟨CDS,PS,BE,PCP,PSD⟩ PCP

⟨PS,PSD,PCP,BE,CDS⟩ PSD ⟨CDS,PS,BE,PSD,PCP⟩ PSD

⟨CDS,PCP,PSD,BE,PS⟩ PSD ⟨CDS,PCP,PSD,PS,BE⟩ PSD

⟨CDS,PCP,BE,PSD,PS⟩ PSD ⟨PCP,BE,CDS,PS,PSD⟩ PS

⟨CDS,PCP,BE,PS,PSD⟩ PS ⟨PCP,BE,CDS,PSD,PS⟩ PSD

⟨CDS,PCP,PS,PSD,BE⟩ PS ⟨PCP,BE,PS,PSD,CDS⟩ PSD

⟨CDS,PCP,PS,BE,PSD⟩ PS ⟨PCP,BE,PS,CDS,PSD⟩ CDS

⟨CDS,BE,PCP,PS,PSD⟩ PS ⟨BE,PSD,PS,CDS,PCP⟩ PS

⟨CDS,BE,PCP,PSD,PS⟩ PSD ⟨BE,PSD,PS,PCP,CDS⟩ PS

⟨CDS,BE,PSD,PS,PCP⟩ PSD ⟨BE,PSD,PCP,PS,CDS⟩ PCP

⟨CDS,BE,PSD,PCP,PS⟩ PSD ⟨BE,PSD,PCP,CDS,PS⟩ PCP

⟨CDS,BE,PS,PCP,PSD⟩ PCP ⟨BE,PSD,CDS,PS,PCP⟩ CDS

⟨CDS,BE,PS,PSD,PCP⟩ PSD ⟨BE,PSD,CDS,PCP,PS⟩ CDS

⟨PCP,PSD,CDS,PS,BE⟩ PSD ⟨BE,PS,CDS,PCP,PSD⟩ PCP

⟨PCP,PSD,CDS,BE,PS⟩ PSD ⟨BE,PS,CDS,PSD,PCP⟩ PSD

⟨PCP,PSD,PS,CDS,BE⟩ PSD ⟨BE,PS,PSD,CDS,PCP⟩ PSD



105

⟨PCP,PSD,PS,BE,CDS⟩ PSD ⟨BE,PS,PSD,PCP,CDS⟩ PSD

⟨PCP,PSD,BE,CDS,PS⟩ PSD ⟨BE,PS,PCP,PSD,CDS⟩ PSD

⟨PCP,PSD,BE,PS,CDS⟩ PSD ⟨BE,PS,PCP,CDS,PSD⟩ CDS

⟨PCP,PS,PSD,CDS,BE⟩ PSD ⟨BE,CDS,PSD,PS,PCP⟩ PSD

⟨PCP,PS,PSD,BE,CDS⟩ PSD ⟨BE,CDS,PSD,PCP,PS⟩ PSD

⟨PCP,PS,BE,CDS,PSD⟩ CDS ⟨BE,CDS,PS,PSD,PCP⟩ PSD

⟨PCP,PS,BE,PSD,CDS⟩ PSD ⟨BE,CDS,PS,PCP,PSD⟩ PCP

⟨PCP,PS,CDS,PSD,BE⟩ CDS ⟨BE,CDS,PCP,PS,PSD⟩ PS

⟨PCP,PS,CDS,BE,PSD⟩ CDS ⟨BE,CDS,PCP,PSD,PS⟩ PSD

⟨PCP,CDS,PSD,PS,BE⟩ PSD ⟨BE,PCP,PSD,PS,CDS⟩ PSD

⟨PCP,CDS,PSD,BE,PS⟩ PSD ⟨BE,PCP,PSD,CDS,PS⟩ PSD

⟨PCP,CDS,PS,BE,PSD⟩ PS ⟨BE,PCP,PS,CDS,PSD⟩ CDS

⟨PCP,CDS,PS,PSD,BE⟩ PS ⟨BE,PCP,PS,PSD,CDS⟩ PSD

⟨PCP,CDS,BE,PS,PSD⟩ PS ⟨BE,PCP,CDS,PS,PSD⟩ PS

⟨PCP,CDS,BE,PSD,PS⟩ PSD ⟨BE,PCP,CDS,PSD,PS⟩ PSD

⟨PCP,BE,PSD,PS,CDS⟩ PSD ⟨PCP,BE,PSD,CDS,PS⟩ PSD

Tabela 3.13

Passo 3

PSD é pivotal 60 vezes.

PS é pivotal 20 vezes.

CDS é pivotal 20 vezes.

PCP é pivotal 20 vezes.

BE é pivotal 0 vezes.

A distribuição de poder de Shapley-Shubik é a seguinte:

PSD: 120

60 ⇒ 50% do poder



106

PS: 120

20 ⇒ 16,(6)% do poder

CDS: 120

20 ⇒ 16,(6)% do poder

PCP: 120

20 ⇒ 16,(6)% do poder

BE: 120

0= 0 ⇒ 0% do poder

Comparação dos índices de poder:

Partido Índice de poder Banzhaf Índice de Poder

Shapley-Shubik

PSD 47,8% 50%

PS 17,4% 16,(6)%

CDS 17,4% 16,(6)%

PCP 17,4% 16,(6)%

BE 0% 0%

Comentário: Neste exemplo é de notar a diferença entre as percentagens dos

índices de poder de cada partido. É ainda de salientar que se torna muito mais fastidioso

calcular o índice de poder Shapley-Shubik podendo até dar origem a erros!

66666666........ CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNCCCCCCCCLLLLLLLLUUUUUUUUSSSSSSSSÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO::::::::

Nesta parte do trabalho discutimos a noção de poder quando aplicada a situações

formais de votação chamadas sistemas de votação ponderada. Analisámos dois tipos de

índice de poder: o Índice de poder de Banzhaf e o Índice de poder de Shapley-Shubik.



107

Os índices têm diferentes medidas de poder e mesmo estando de acordo

ocasionalmente, por vezes têm grandes discrepâncias. Dos dois qual estará mais perto

da realidade? Não existe uma resposta simples. A ideia que está por detrás do índice de

poder de Banzhaf é que cada jogador entra e sai quando quiser na coligação, ao passo

que no índice de poder de Shapley-Shubik um jogador entra na coligação para assumir

um compromisso de permanência. Na prática a escolha do método é baseada na análise

da informação (dados) que melhor se adequa às características da situação. A

Matemática não nos dá uma resposta, apenas ferramentas para ajudar a tomar uma

decisão. É ainda de notar, no nosso último exemplo, a grande diferença a nível de

morosidade dos dois métodos. Neste caso torna-se muito mais simples aplicar o Índice

de Poder Banzhaf, não querendo de todo dizer que seja mais ou menos apropriado.



108

CCCCCCCCAAAAAAAAPPPPPPPPÍÍÍÍÍÍÍÍTTTTTTTTUUUUUUUULLLLLLLLOOOOOOOO IIIIIIIIVVVVVVVV

TTTTTTTTEEEEEEEEOOOOOOOORRRRRRRRIIIIIIIIAAAAAAAA MMMMMMMMAAAAAAAATTTTTTTTEEEEEEEEMMMMMMMMÁÁÁÁÁÁÁÁTTTTTTTTIIIIIIIICCCCCCCCAAAAAAAA DDDDDDDDAAAAAAAASSSSSSSS

EEEEEEEELLLLLLLLEEEEEEEEIIIIIIIIÇÇÇÇÇÇÇÇÕÕÕÕÕÕÕÕEEEEEEEESSSSSSSS NNNNNNNNAAAAAAAA EEEEEEEESSSSSSSSCCCCCCCCOOOOOOOOLLLLLLLLAAAAAAAA



109

A Teoria Matemática das Eleições fará parte da disciplina de Matemática

Aplicada às Ciências Sociais e destina-se aos cursos Geral de Ciências Sociais e

Humanas e Tecnológico de Ordenamento do Território.

Esta disciplina pretende desempenhar um papel incontornável para os estudantes

dos cursos referidos, contribuindo para uma abordagem tão completa quanto possível de

situações reais, ao desenvolver a capacidade de formular e resolver matematicamente

problemas e ao desenvolver a capacidade de comunicação de ideias matemáticas (os

estudantes devem saber ler e escrever textos com conteúdo matemático descrevendo

situações concretas).

Mais do que pretender que os estudantes dominem questões técnicas e de

pormenor, pretende-se que tenham experiências matemáticas significativas que lhes

permitam saber apreciar devidamente a importância das abordagens matemáticas nas

suas futuras actividades. Assim, este programa admite diferentes níveis de

aprofundamento das diferentes rubricas (podendo mesmo ficar-se por uma simples

referência) desde que tal se traduza em vantagens para o trabalho dos estudantes, de

modo a garantir que tenham experiências matemáticas significativas.

As finalidades gerais desta disciplina são:

Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e

humanística que constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o

prosseguimento de estudos como para a inserção na vida activa;

Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de

interpretação e intervenção no real;

Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas simples em

situações do dia a dia e no domínio das Ciências Sociais;

Desenvolver a capacidade de interpretar textos escritos em linguagem

matemática, a capacidade de comunicar e o espírito crítico;

Contribuir para formar uma atitude positiva face à ciência e

particularmente com a Matemática.

Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de actitudes de

autonomia e solidariedade;



110

Desenvolver capacidades de intervenção social pela compreensão e

discussão de sistemas e instâncias de decisão que influenciam a vida dos

cidadãos, participando desse modo na formação para uma cidadania activa e

participativa.

O tema, Teoria Matemática das Eleições, funciona como módulo inicial. As

técnicas matemáticas que envolve (numa abordagem elementar, como tem de ser a de

um programa desta índole) são todas leccionadas no 2º e 3º ciclos. Assim, poderá

começar a insistir-se num trabalho metodológico mais avançado, que é a base

fundamental para o sucesso de uma disciplina deste tipo.

Como este tema trata de um assunto correntemente abordado na comunicação

social, não será difícil encontrar exemplos concretos ou mesmo fazer simulações na sala

de aula. O assunto em si está também claramente dentro dos interesses dos estudantes

deste agrupamento e poderá assim constituir uma boa introdução ao estudo da

Matemática para os estudantes de Ciências Sociais e Humanas.

Podemos ainda apresentar as seguintes vantagens de um trabalho com este tema:

aborda um assunto muito importante para qualquer regime politico

democrático;

ajuda a recordar técnicas e conceitos matemáticos já abordados no ensino

básico, tais como cálculo, percentagens e desigualdades;

alerta os estudantes para a importância de modelos matemáticos em áreas

fora das ciências e da engenharia;

mostra as limitações de um modelo matemático;

permite uma forma de trabalho em que o investigar situações, o recolher

dados, o analisar situações e o escrever de pequenos relatórios desempenham um

papel preponderante.

Nesta ordem de ideias apresenta-se a seguir uma possível sequência de trabalho:



111

EEEEEEEESSSSSSSSTTTTTTTTUUUUUUUUDDDDDDDDOOOOOOOO DDDDDDDDEEEEEEEE AAAAAAAALLLLLLLLGGGGGGGGUUUUUUUUMMMMMMMMAAAAAAAASSSSSSSS EEEEEEEELLLLLLLLEEEEEEEEIIIIIIIIÇÇÇÇÇÇÇÇÕÕÕÕÕÕÕÕEEEEEEEESSSSSSSS

Objectivos a atingir:

perceber como se contabilizam os mandatos nalgumas eleições;

perceber que os resultados podem ser diferentes se os métodos de

contabilização dos mandatos forem diferentes.

Todo o trabalho ganha se for feito a partir de exemplos concretos que tanto

podem vir de votações feitas entre os próprios estudantes (cores, sabores, clubes, etc.),

como podem vir de dados de eleições já realizadas, com particular relevância para as

eleições nacionais, regionais e locais portuguesas; devem contudo evita-se exemplos

demasiado recentes passíveis de gerar efervescência desnecessária na sala de aula.

Devem também ser usados alguns exemplos históricos significativos, de diferentes

épocas e países que tenham usado diferentes sistemas de votação.

O professor deve usar a metodologia que achar mais adequada de modo a que os

estudantes participem activamente no estudo dos exemplos e modelos propostos.

Os estudantes devem recorrer à tecnologia (calculadoras gráficas ou

computadores) para simular variações das situações estudadas e tentar retirar algumas

conclusões, elaborando pequenos relatórios.

CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMMOOOOOOOO MMMMMMMMEEEEEEEELLLLLLLLHHHHHHHHOOOOOOOORRRRRRRRAAAAAAAARRRRRRRR OOOOOOOO SSSSSSSSIIIIIIIISSSSSSSSTTTTTTTTEEEEEEEEMMMMMMMMAAAAAAAA DDDDDDDDEEEEEEEE VVVVVVVVOOOOOOOOTTTTTTTTAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO

Objectivos a atingir:

Estudar algumas situações paradoxais;

Analisar algumas condições para ter um sistema adequado;

Perceber que há limitações à melhoria dos sistemas.

Os diferentes sistemas de votação e métodos de contabilização de mandatos que

poderão ser estudados são: por ordem de preferência, maioritário com duas ou mais

voltas, proporcional (com diferentes métodos de traduzir a proporcionalidade), de



112

aprovação. Cada sistema estudado deve ser acompanhado de uma pequena análise das

suas principais consequências.

O teorema de Arrow, que mostra as limitações de um sistema matemático de

votação e de contabilização dos mandatos em eleições, pode ser trabalhado com

diferentes níveis de aprofundamento, podendo contudo fazer-se apenas uma breve

referência à sua existência. Esta é uma boa oportunidade para fazer uma referência

histórica ao matemático Kenneth Arrow que foi galardoado com o prémio Nobel da

Economia em 1972.

Não se pretende desenvolver uma teoria matemática das eleições, mas tão só

alertar os estudantes para uma área de importância fundamental na sociedade actual e

como a matemática é uma ferramenta incontornável (embora de modo nenhum seja a

única ferramenta relevante).



113

EEEEEEEEPPPPPPPPÍÍÍÍÍÍÍÍLLLLLLLLOOOOOOOOGGGGGGGGOOOOOOOO

Com este trabalho ficamos a conhecer melhor a diversidade de métodos de

votação e a sua aplicação. É importante no dia a dia compreender como se processam as

eleições de uma maneira geral, e como os seus resultados são diferentes de método para

método.

É espantoso como numa simples votação para eleger o Presidente da República

poucos são os que sabem como é contabilizado o seu voto!



114

AAAAAAAANNNNNNNNEEEEEEEEXXXXXXXXOOOOOOOO Considerámos que seria interessante apresentar uma breve biografia das pessoas

de cuja autoria são os métodos e resultados referidos durante o trabalho.

11111111........ BBBBBBBBIIIIIIIIOOOOOOOOGGGGGGGGRRRRRRRRAAAAAAAAFFFFFFFFIIIIIIIIAAAAAAAASSSSSSSS

AAAAAAAARRRRRRRRRRRRRRRROOOOOOOOWWWWWWWW,,,,,,,, KKKKKKKKEEEEEEEENNNNNNNNNNNNNNNNEEEEEEEETTTTTTTTHHHHHHHH JJJJJJJJ........

Kenneth J. Arrow nasceu a 23 de Agosto de 1921 na

cidade de Nova York, onde cresceu. Frequentou a Universidade

de Nova York (CCNY) e, em 1941, graduou-se em Estatística

Matemática na Universidade da Colômbia onde mais tarde, sob

influências do economista Harold Hotelling, se mudou para o

departamento de economia.

Foi pioneiro no estudo de uma disciplina que combina

aspectos da matemática, da economia e das ciências políticas conhecida como a Teoria

da Escolha Social. Consequentemente, pelas suas relevantes contribuições nesta área,

Arrow foi galardoado em 1972 com o prémio Nobel da Economia (note-se que não

existe Prémio Nobel da Matemática).

BBBBBBBBAAAAAAAANNNNNNNNZZZZZZZZHHHHHHHHAAAAAAAAFFFFFFFF,,,,,,,, JJJJJJJJOOOOOOOOHHHHHHHHNNNNNNNN FFFFFFFF........

John F. Banzhaf - professor de Direito na Universidade

George Washington. Quando propôs a sua ideia original para o

Indíce de Poder Banzhaf estava interessado em assuntos como

igualdade e representação justa no corpo governamental.

Ainda como jovem advogado moveu uma acção legal onde

requeria publicidade grátis para divulgar mensagens anti-tabagismo.



115

Ajudou a eliminar os anúncios publicitários de tabaco e iniciou o movimento dos

direitos dos não fumadores.

Abordou vários outros assuntos entre os quais, auto-defesa, corrupção

governamental, discriminação sexual e ainda se manifestou contra todas as formas de

“ fast- food” para prevenção e luta contra a obesidade.

Jonh Banzhaf já foi chamado “Sr. Anti-tabaco”, “O homem que vive pelas suas regras”,

“Terrorista Legal”, “Feminista Radical” e “Taliban Americano” (por usar acções legais

na luta contra a obesidade).

É uma das cem pessoas mais importantes e poderosas de Washington.

BBBBBBBBOOOOOOOORRRRRRRRDDDDDDDDAAAAAAAA,,,,,,,, JJJJJJJJEEEEEEEEAAAAAAAANNNNNNNN CCCCCCCCHHHHHHHHAAAAAAAARRRRRRRRLLLLLLLLEEEEEEEESSSSSSSS

Borda nasceu a 4 de Maio de 1733 em Dax (França). Foi um

militar. Alistou-se no exército, onde foi oficial de cavalaria, e mais

tarde optou pela marinha aonde foi capitão. Realizou diversas viagens

cientificas e participou na guerra da independência americana.

Trabalhou com fluídos mecânicos. Estudou o fluxo de fluídos

em diferentes situações, tais como navios, artilharia, bombas e instrumentos científicos.

Com esses instrumentos mediu um arco do meridiano e foi uma das principais forças

motrizes na introdução do sistema decimal.

Ele fez um bom uso dos cálculos e da experiência para unificar áreas da física.

Também desenvolveu uma série de tabelas trigonométricas com as técnicas descobertas.

Escreveu acerca de variados assuntos como matemática, física, desenho de instrumentos

científicos e teoria das eleições. Em 1782, enquanto estava no comando de uma frota de

seis navios franceses, foi capturado pelos britânicos e depois da sua libertação adoeceu.

Acabou por falecer a 19 de Fevereiro de 1799 em Paris.



116

CCCCCCCCOOOOOOOOOOOOOOOOMMMMMMMMBBBBBBBBSSSSSSSS,,,,,,,, CCCCCCCCLLLLLLLLYYYYYYYYDDDDDDDDEEEEEEEE FFFFFFFF........

Clyde Hamilton Coombs nasceu a 22 de Julho de

1912, em New Jersey. No entanto, cresceu e passou os

seus primeiros anos de vida na Califórnia. Os seus dois

primeiros anos de Universidade foram passados no estado

de Santa Bárbara, onde estudou matemática e engenharia

durante a preparação para uma carreira militar que

tencionava ter para seguir os passos do seu pai.

Contudo, um curso de psicologia abriu-lhe os horizontes e convenceu-o a mudar

de rumo. Assim, Coombs veio a continuar a sua educação na Universidade da

Califórnia, em Berkeley, onde se formou em Psicologia. Com o aparecimento do livro

“Vectors of the Mind”, de L.L. Thurstone, Coombs começou-se a interessar pelas

possibilidades de usar modelos matemáticos para estudar processos psicológicos e

chegou mesmo a ser convidado por Thurstone para ser assistente de investigação na

Universidade de Chicago. Assim, em 1937 Coombs foi para Chicago e iniciou uma

nova fase no seu desenvolvimento intelectual. Mais tarde, conheceu uma estudante de

demografia, Lolagene Convis, com quem casou e teve dois filhos: Steven e Douglas.

Depois de obter o seu doutoramento, em 1940, Coombs tornou-se Psicólogo de

investigação pessoal no Departamento de Guerra dos Estados Unidos, onde permaneceu

durante seis anos. Em 1947, regressou à vida académica, juntando-se ao departamento

de psicologia da Universidade de Michigan. Apesar de Coombs ser primariamente um

teórico que desenvolveu estruturas matemáticas para descrever processos cognitivos, ele

também foi um dotado experimentador que introduziu vários processos inovadores, e

um engenhoso analista de informação, que contribuiu com alguns métodos poderosos

para a análise da informação psicológica. Na sua maioria, o trabalho desenvolvido por

Coombs pode ser caracterizado como uma tentativa de descobrir e articular as estruturas

formais que se escondem na informação psicológica. Em particular, o seu trabalho sobre

a escolha centrou-se directa e indirectamente na questão do conflito: Como é que as

pessoas conciliam objectivos e aspirações diferentes e incompatíveis? Clyde Hamilton

Coombs faleceu a 4 de Fevereiro de 1988, mas será para sempre relembrado como um

cientista criativo e um professor inovador.



117

CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNDDDDDDDDOOOOOOOORRRRRRRRCCCCCCCCEEEEEEEETTTTTTTT,,,,,,,, MMMMMMMMAAAAAAAARRRRRRRRIIIIIIIIEEEEEEEE JJJJJJJJEEEEEEEEAAAAAAAANNNNNNNN AAAAAAAANNNNNNNNTTTTTTTTOOOOOOOOIIIIIIIINNNNNNNNEEEEEEEE NNNNNNNNIIIIIIIICCCCCCCCOOOOOOOOLLLLLLLLAAAAAAAASSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEE CCCCCCCCAAAAAAAARRRRRRRRIIIIIIIITTTTTTTTAAAAAAAATTTTTTTT

Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat nasceu a 17 de

Setembro de 1743 em Ribermont (França). Recebeu o titulo de

Marquês de Condorcet da cidade de Condorcet, em Dauphiné. Foi

educado num colégio de Jesuítas em Reims e no colégio de

Navarre em Paris. Mais tarde estudou no colégio Mazarin também

em Paris.

Em 1769 foi eleito para a Academia das Ciências e em 1774 foi nomeado

inspector geral da Casa da Moeda e permaneceu no cargo até 1791.

Dedicou-se a diversas áreas do conhecimento, entre elas a matemática, a

filosofia, a economia e as ciências sociais. O seu trabalho mais importante foi nas

probabilidades e na filosofia da matemática.

Condorcet foi membro de um grupo liberal de pensamento (os enciclopedistas),

cuja a causa venceu aquando da revolução francesa. Foi eleito como o representante de

Paris na assembleia legislativa e tornou-se o secretário da mesma. Por volta de 1792

passou a ser um dos lideres da causa republicana. Como as suas ideais eram

ameaçadoras para os seus inimigos, em Março de 1794 apercebeu-se de que estava a ser

vigiado e fugiu de Paris. Mas a 27 de Março foi encontrado e presso. Passados apenas

dois dias foi encontrado morto na sua cela da cadeia, em Bourg-la-Reine, e até hoje não

se sabe se morreu de morte natural, se foi morto ou se se suicidou.

DDDDDDDD’’’’’’’’ HHHHHHHHOOOOOOOONNNNNNNNDDDDDDDDTTTTTTTT VVVVVVVVIIIIIIIICCCCCCCCTTTTTTTTOOOOOOOORRRRRRRR

Victor D' Hondt (1841-1901) - jurista belga e professor de

direito civil na Universidade de Gand ( Ghent ), adepto da

representação proporcional [ consiste na repartição dos mandatos

pelos partidos, proporcionalmente à sua importância respectiva],

concebeu o método que leva o seu nome. As suas obras mais

importantes são:



118

"La représentation proportionnelle des partis par un électeur", Gand, 1878.

"Système pratique et raisonné de représentation proportionelle", Bruxelles,

Muquardt, 1882.

"Exposé du système pratique de représentation proportionnelle", Gand,

Imprimerie Eug. Vanderhaeghen, 1885.

"Tables de division des nombres 1 à 400 par 1 à 31 et 401 à 1000 par 1 à 13 pour

la répartition proportionnelle des sièges en matière électorale avec exposé de la

méthode", Gand, A Siffer, 1900.

PPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRREEEEEEEETTTTTTTTOOOOOOOO,,,,,,,, VVVVVVVVIIIIIIIILLLLLLLLFFFFFFFFRRRRRRRREEEEEEEEDDDDDDDDOOOOOOOO

Vilfredo Pareto nasceu em Paris em 1848. Foi viver para

Itália, onde tirou a licenciatura em engenharia na Universidade

Politécnica de Turim em 1869. Foi defensor do liberalismo

económico e opositor da intervenção do Estado e do militarismo

italiano. Em 1893 começou a dar aulas de economia Política na

Universidade de Lausana. Em 1917 abandonou a economia para se dedicar à sociologia.

Em 1922 iniciou a sua actividade como embaixador de Itália na Sociedade das Nações.

Finalmente faleceu em 1923.

SSSSSSSSHHHHHHHHAAAAAAAAPPPPPPPPLLLLLLLLEEEEEEEEYYYYYYYY,,,,,,,, LLLLLLLLLLLLLLLLOOOOOOOOYYYYYYYYBBBBBBBB

Lloyd Shapley nasceu em 1923. Obteve o

grau A.B. na Universidade de De Harvard em 1948

e o grau de Ph.D. em 1953 na Universidade de

Princeton. Começou por ser professor nesta última

universidade e desde de 1981 trabalha na UCLA.



119

SSSSSSSSHHHHHHHHUUUUUUUUBBBBBBBBIIIIIIIIKKKKKKKK,,,,,,,, MMMMMMMMAAAAAAAARRRRRRRRTTTTTTTTIIIIIIIINNNNNNNN

Martin Shubik nasceu em 1926. Recebeu os graus de B.A. e de M.S. na

matemática e na economia política da Universidade de Toronto (Ontário, Canadá) em

1947 e 1949, respectivamente. Também recebeu o grau de A.M. e de Ph.D em

economia da Universidade de Princeton, em 1951 e 1953, respectivamente.

Actualmente é membro da faculdade de Yale

desde 1963. É especialista na análise estratégia,

na economia da competição incorporada e no

estudo de instituições financeiras. É autor de

centenas de artigos e de aproximadamente vinte

livros. Já incorporou a equipa de funcionários

dos laboratórios de pesquisa de T. J. Watson na

IBM e foi professor na Universidade do Chile em

Santiago, no Instituto para estudos avançados em

Viena e na Universidade de Melbourne.



120

RRRRRRRREEEEEEEEFFFFFFFFEEEEEEEERRRRRRRRÊÊÊÊÊÊÊÊNNNNNNNNCCCCCCCCIIIIIIIIAAAAAAAASSSSSSSS BBBBBBBBIIIIIIIIBBBBBBBBLLLLLLLLIIIIIIIIOOOOOOOOGGGGGGGGRRRRRRRRÁÁÁÁÁÁÁÁFFFFFFFFIIIIIIIICCCCCCCCAAAAAAAASSSSSSSS

� ASSUNÇÃO, Francisco; VASCONCELOS, Hugo; MORIM, Martins; Jornal “A Bola”; 12/10/1999

� CANOTILHO, J. J. Gomes, Constituição da República Portuguesa Anotada,

Coimbra Editora, 3ª edição, 1993

� MAGALHÃES, Fernanda Maria Ladeiro Monteiro Gouveia de; Teoria das

Eleições; Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra; Maio de

2001

� TANNENBAUM, Peter; ARNOLD, Robert; Excursions in Modern

Mathematics; Prentice Hall, Inc; 2001

PPPPPPPPEEEEEEEESSSSSSSSQQQQQQQQUUUUUUUUIIIIIIIISSSSSSSSAAAAAAAA NNNNNNNNAAAAAAAA IIIIIIIINNNNNNNNTTTTTTTTEEEEEEEERRRRRRRRNNNNNNNNEEEEEEEETTTTTTTT::::::::

� http://books.nap.edu/books/0309047463/html/59.html#pagetop

� http://cepa.newsschool.edu/het/profiles/arrow.htm

� http://clientes.netvisao.pt/idmarque/europeu/euro2004/org.html

� http://ebotelho.planetaclix.pt/vpareto.htm

� http://primeirasedicoes.expresso.pt/ed1367/r0621.asp

� http://primeirasedicoes.expresso.pt/ed1407/d271.asp?ls



� http://primeirasedicoes.expresso.pt/ed1462/p041.asp?pu13,p041,p052,p053,p05

4,p055

� http://primeirasedicoes.expresso.pt/ed1463/p031.asp

� http://www.mas.org/new-in-math/cover/voting-decision.html



121

� http://www.arq.lusa.pt/documento/imprimir.asp?ID=11732&tipo=TEXTO

� http://www.arq.lusa.pt/documento/imprimir.asp?ID=12089&tipo=TEXTO

� http://www.eidosinteractive.co.uk/games/info.html?gmid=90

� http://www.fpvoleibol.pt/home_ficheiros/index.jpg

� http://www.freipedro.pt/tb/141099/desp1.htm

� http://www.geocities.com/siliconvalley/vista/8002/aspas/citacoes.html

� http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Borda.html

� http://www.law.gwn.edu/images/facphotos/banzhaf.jpg

� http://www.maurinto.pro.br/atualidades/eua.htm

� http://www.people.vcu.edu/~gasmeron/MAT131/arrow.html

� http://www.people.vcu.edu/~gasmerom/MAT131/lecturel.html

� http://www.sci.wsu.edu/math/Lessons/Voting/

� http://www.uefa.com/competitions/EURO2004.por/index.html

� http://216.239.39.120/translate_c?hl=pt&sl=en&u=http://mayet.som.yale.edu/~s

hubik/&

� http://216.239.39.120/translate_c?hl=pt&sl=en&u=http://cowles.econ.yale.edu/f

aculty/s

� http://216.239.39.120/translate_c?hl=pt&sl=en&u=http://www.math.ucla.edu/fa

culty/sh

faculfaculdade de ciÊdade de ciÊdade de ciÊncias …mcag/fea2003/trabalho completo.pdf · de...

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