faculdade cenecista de osório · quadros com datas de aniversários de 60 pessoas separados pelos...

R e v i s t a M o d e l o s – F A C O S / C N E C O s ó r i o V o l . 4 – N º 1 – A G O / 2 0 1 4 – I S S N 2 2 3 7 - 7 0 7 7

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Faculdade Cenecista de Osório – FACOS/CNEC

Modelos

Revista acadêmico-científica (eletrônica) do curso de licenciatura em Matemática

FACOS/CNEC

Vol. 4 – Nº 1 – agosto de 2014 - ISSN: 2237 7077

Diretor

Prof. Dr. Adelar Hengemühle

Coordenação geral do Conselho Editorial

Profª. Mª. Rosângela Leffa Behenck

Coordenação da revista Modelos

Profª. Mª. Andréia Goldani

Conselho Editorial

Profª. Mª. Andréia Goldani – FACOS/RS

Profª. Mª. Joseide Justin Dallemole – FACOS/RS

Profª. Luiza Elizabeta Bohlke Vasconcelos – FACOS/RS

Prof. Me. Rossano Evaldt Steinmetz Ribeiro – FACOS/RS

Assessoria Técnica

Jonatan Fortes – Assessor de Marketing

Willian de Ávila - Assessor técnico de tecnologias e sistemas

Maicon Flor dos Santos - Assessor de suporte técnico - digital

Lucas Innocente Teixeira – Assessor técnico do Conselho Editorial

As informações e comentários que compõem os conteúdos dos artigos

publicados são de inteira responsabilidade de seus respectivos autores.


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Apresentação

Nesta edição da Revista Modelos, Vol. 4, vinculada ao Curso de Licenciatura em

Matemática da Faculdade Cenecista de Osório – FACOS socializamos artigos

enviados por acadêmicos e professores do curso, além de professores de outras

instituições, comprometidos com a formação de professores, seja ela inicial ou

continuada.

Os artigos produzidos contemplam as práticas realizadas durante as aulas nas

diversas disciplinas oferecidas na grade curricular do curso, assim como uma análise

do currículo desenvolvido pelos cursos de licenciatura dos Institutos Federais do Rio

Grande do Sul.

O objetivo da revista, desde sua primeira edição, é contribuir com as reflexões

relacionadas à educação matemática, a formação de professores e ao ensino e

aprendizagem da matemática com articulação entre a teoria e prática pedagógica

escolar.

Visamos contribuir com tais reflexões e desejamos motivar os pesquisadores e

autores a construir conosco a próxima edição da revista.

Profª. Mª. Andréia Goldani Coordenadora Editorial da revista Modelos

FACOS/CNEC


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Sumário

Apresentação ....................................................................................................... 03

Análise do paradoxo do aniversário através da probabilidade ....................... 05 Cainan Paulino Alves

Monaliza Stassburg

Natasha Roberta Aguiar Lopes

Tatiane Leites da Rocha

Rossano Evaldt Steinmetz Ribeiro

Concepções dos alunos das séries finais do ensino fundamental acerca da disciplina de matemática ..................................................................................... 17 Grasiela de Lima Cesario Andréia Goldani

A contribuição dos estágios supervisionados a partir de perspectiva do futuro professor ............................................................................................................... 28 Gisele Schneider Andréia Goldani

A formação dos professores de Matemática nos cursos de Licenciaturas oferecidos pelo IFRS ............................................................................................ 38 Elisa Daminelli

A matemática no ensino de alunos especiais em classes regulares: um estudo de leis, metodologias e diferentes realidades ................................................... 50 Mariani Pereira Rigotti Andréia Goldani

Triângulo: um estudo das suas principais propriedades e elementos ........... 61 Natasha Roberta Aguiar Lopes Luiza E. Bohlke Vasconcelos


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Análise do paradoxo do aniversário através da probabilidade

Cainan Paulino Alves1

Monaliza Stassburg1

Natasha Roberta Aguiar Lopes1

Tatiane Leites da Rocha1

Rossano Evaldt Steinmetz Ribeiro2

Resumo: Este trabalho apresenta o Paradoxo do Aniversário, curioso problema matemático que questiona qual a probabilidade de que em um dado grupo de pessoas, duas façam aniversário no mesmo dia. Tendo em vista seu potencial como motivador no ensino de conteúdos de Análise Combinatória e Probabilidade, procuramos explicá-lo e resolvê-lo, sempre destacando importantes aspectos na interpretação do enunciado e buscando apresentar e explicar a fórmula geral de resolução. Também, abordamos o problema de Monty Hall e a relação entre probabilidade e aleatoriedade. Palavras-Chave: paradoxo do Aniversário – probabilidade – análise combinatória – aleatoriedade – problema das portas. Abstract: This work presents the Birthday Paradox, a curious mathematical problem that asks what is the probability that in a given group of people, two of them have birthday on the same date. Given its potential as a motivator in teaching Combinatorics and Probability Analysis of contents, we seek to explain and solve it, always stressing important aspects of the enunciate interpretation and seeking for a way to introduce the general resolution formula. Also, we show the problem of Monty Hall and the relationship between probability and randomness. Keywords: birthday Paradox – probability – combinatorics – randomness – Monty Hall problem.

Introdução

O Paradoxo do Aniversário é um problema interessante da teoria probabilística que

costuma causar espanto e admiração pela sua resposta. De fato, a palavra paradoxo

tem este significado: “Conceito que é ou parece contrário ao senso comum”

(FERREIRA, 2009). Este artigo tem como objetivo compreender, organizar e

apresentar um modelo de resolução do paradoxo do Aniversário.

Além de ser um problema muito interessante de probabilidade, o Paradoxo do

Aniversário é também bastante usado por pesquisadores da computação como

exemplo, para explicar o algoritmo de Hash, importante ferramenta de segurança

cibernética. Tal fato, só reforça seu valor, não apenas como mera curiosidade, mas

1 Acadêmicos do curso de licenciatura em Matemática – FACOS/CNEC. 2 Professor orientador: Mestre em Ensino de Matemática pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS.


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como um motivador capaz de levar a estudos maiores e mais complexos. Além

disso, nos deixa ciente do quão enganosa pode ser nossa intuição em problemas

desse tipo.

Destacamos ainda, o potencial que Paradoxo do Aniversário e os demais conceitos

aqui discutidos podem ter no ensino e aprendizagem da Análise Combinatória e da

Probabilidade, uma vez que possibilitam uma interessante e curiosa aplicação

destes conteúdos.

Enunciado do Paradoxo

“Dado um grupo de X pessoas, qual a probabilidade de que duas delas, escolhidas

aleatoriamente, façam aniversário no mesmo dia? ”

É necessário destacar que o enunciado acima considera um ano padrão de

trezentos e sessenta e cinco dias equiprováveis, desconsiderando variáveis como

anos bissextos, incidência de gêmeos, comportamentos sazonais e etc.

Tendemos a pensar nas chances de encontrarmos alguém que faça aniversário no

mesmo dia que nós, o que é uma conclusão precipitada acerca do sentido do

problema. Se, por exemplo, em um grupo de vinte pessoas, um indivíduo começar a

comparar o dia do seu aniversário com os outros, dificilmente encontrará um que

aniversarie junto com ele. Porém, como o paradoxo não fixa um dia específico, é

preciso lembrar que serão vinte pessoas efetuando as comparações mutuamente.

Também é importante destacar que quando nos referimos às datas neste artigo,

contamos apenas o dia do mês, desconsiderando o ano.

Probabilidade e Aleatoriedade

A probabilidade é um dos ramos da matemática que mais gera controvérsias, a

noção intuitiva que temos sobre as chances de um evento ocorrer é, na maioria das

vezes, precipitada. Para Bellos (2011 p. 346) isso se deve a incapacidade do

cérebro de lidar e projetar aleatoriedade.


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Existem inúmeros debates na sociedade científica sobre o que é a aleatoriedade,

por isso, o termo é muitas vezes substituído por expressões como evento aleatório

ou experimento aleatório.

Contudo, usaremos aqui a definição dada por Lopes (1999, p. 67), que parece ser

suficientemente completa: “Experimento aleatório é qualquer processo de

observação que pode ser repetido à vontade em condições análogas, com a

condição de que o resultado não possa ser previsto antes de cada uma de suas

realizações”.

Essa imprevisibilidade, inerente à ideia de um evento aleatório, é o que mais causa

conflitos entre a nossa intuição e a realidade. Tomaremos como exemplo dois

quadros com datas de aniversários de 60 pessoas separados pelos respectivos

signos do zodíaco:

Quadro 1 - Distribuição regular de aniversários

ÁRIES TOURO GÊMEOS CÂNCER LEÃO VIRGEM 21 de março 27 de março

2 de abril 9 de abril 14 de abril

21 de abril 28 de abril 1º de maio 9 de maio 19 de maio

22 de maio 30 de maio 4 de junho 6 de junho 10 de junho 20 de junho

25 de junho 4 de julho 14 de julho 16 de julho 23 de julho

28 de julho 2 de agosto 7 de agosto 13 de agosto 22 de agosto

25 de agosto 31 de agosto

1º de setembro

8 de setembro 18 de

setembro LIBRA ESCORPIÃO SAGITÁRIO CAPRICÓRNIO AQUÁRIO PEIXES 24 de

setembro 30 de

setembro 1º de outubro 5 de outubro

16 de outubro

28 de outubro 31 de

outubro 5 de

novembro 11 de

novembro 17 de

novembro

24 de novembro

29 de novembro

12 de dezembro

19 de dezembro

28 de dezembro

3 de janeiro 6 de janeiro 13 de janeiro 20 de janeiro

22 de janeiro 27 de janeiro

4 de fevereiro

14 de fevereiro

20 de fevereiro 27 de fevereiro

5 de março 11 de março 16 de março 20 de março

Fonte: BRUCE, Colin. Novas Aventuras Científicas de Sherlock Holmes. Rio de Janeiro, Jorge Zahar Ed, 2003.


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Quadro 2 – Distribuição irregular de aniversários

ÁRIES TOURO GÊMEOS CÂNCER LEÃO VIRGEM 21 de março

3 de abril 11 de abril

21 de abril 21 de abril 23 de abril 3 de maio 12 de maio 12 de maio 21 de maio

31 de maio 31 de maio 1º de junho 3 de junho 5 de junho 9 de junho 18 de junho

22 de junho 13 de julho 14 de julho 17 de julho

8 de agosto 3 de setembro 21 de

setembro 22 de

setembro

LIBRA ESCORPIÃO SAGITÁRIO CAPRICÓRNIO AQUÁRIO PEIXES 13 de

outubro 28 de

outubro 29 de

outubro 30 de

outubro 10 de

novembro 14 de

novembro 15 de

novembro 16 de

novembro 20 de

novembro

29 de novembro

14 de dezembro

19 de dezembro

26 de dezembro

31 de dezembro

7 de janeiro 9 de janeiro 9 de janeiro 14 de janeiro

27 de janeiro 5 de

fevereiro 5 de

fevereiro 16 de

fevereiro 16 de

fevereiro

23 de fevereiro 24 de fevereiro

1º de março 7 de março 9 de março 11 de março 9 de março 11 de março 11 de março 12 de março 12 de março 13 de março 19 de março

Fonte: BRUCE, Colin. Novas Aventuras Científicas de Sherlock Holmes. Rio de Janeiro, Jorge Zahar Ed, 2003.

No livro em que Bruce traz estes quadros, é pedido para uma personagem descobrir

a veracidade das listas. Então, para a surpresa de muitos, a personagem afirma

corretamente que o quadro 1 é muito improvável e, portanto, suspeito de ser falso.

Além disso, no quadro 1 as datas estão distribuídas de maneira muito uniforme, com

poucos dias consecutivos, o que só comprova sua ilegitimidade, segundo

Bruce(2003), a aleatoriedade não tende a produzir uniformidade.

Neste ponto retornamos ao Paradoxo do Aniversário. Qual a probabilidade de que

em um grupo de sessenta pessoas, duas façam aniversário no mesmo dia? A

resposta para esse questionamento pode ser surpreendente: Maior do que 99%.

Podemos adiantar que, para a probabilidade de coincidência de aniversários ser

maior do que 50%, é necessário um grupo de no mínimo vinte e três pessoas. A

surpresa causada ante esta afirmação se deve ao fato do paradoxo lidar com

eventos aleatórios, fenômeno de difícil compreensão.


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Bellos (2011) traz um interessante dado que vem corroborar a informação

apresentada, nas dez finais de copa do mundo abaixo, em sete delas havia

jogadores em campo aniversariando no mesmo dia.

Quadro 3 – Aniversariantes em finais de Copa do Mundo

Fonte: BELLOS, Alex. Alex no País dos Números. São Paulo, Companhia das Letras 2011.

A mente humana tem grande dificuldade para produzir a aleatoriedade,

configurações subjetivas sempre nos aproximam de um padrão, novamente citando

Bellos:

Por ser o nosso cérebro muito ruim para compreender a aleatoriedade, a

probabilidade é o ramo da matemática mais cheio de paradoxos e surpresas.

Instintivamente, atribuímos padrões a situações mesmo sabendo que não existe

padrão algum. (BELLOS, 2011 p. 346)

[...] Tudo tem a ver com controle, gostamos de sentir que controlamos nosso

ambiente. Se os acontecimentos são aleatórios é como se não tivéssemos controle

algum sobre eles. Inversamente, se temos controle sobre os acontecimentos eles

deixam de ser aleatórios. (BELLOS, 2011 p. 346)

Quando nos acostumamos à ideia de aleatoriedade, vemos que a maioria daquilo

que chamamos de coincidências não são tão raras nem extraordinárias. Por

exemplo, encontrar um conhecido no mercado em uma cidade relativamente

pequena, surpreendente seria encontrar um conhecido específico. A probabilidade

2006 – Patrick Vieira e Zinedine Zidane (França), 23 de junho

2002 – Ninguém

1998 – Emmanuel Petit (França) e Ronaldo (Brasil), 22 de setembro

1994 – Franco Baresi (Itália) e Claudio Taffarel (Brasil), 8 de maio

1990 – Ninguém

1986 – Sérgio Batista (Argentina) e Andreas Brehme (Alemanha Ocidental), 9 de novembro

1982 – Ninguém

1978 – Rene e Willy Van de Kerkhof (Holanda), 16 de setembro

Johnny Rep e Jan Jongbloed (Holanda), 25 de novembro

1974 – Johnny Rep e Jan Jongbloed (Holanda), 25 de novembro

1970 – Piazza (Brasil) e Pierluigi Cera (Itália), 25 de fevereiro


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definitivamente nos permite um olhar mais aguçado sobre as situações que

vivenciamos no nosso dia a dia.

Aplicando probabilidade e análise combinatória para a compreensão do paradoxo

Conceitos Preliminares

Neste ponto, nos afastaremos, temporariamente, do Paradoxo do Aniversário a fim

de explicar alguns conceitos que nos serão úteis no prosseguimento do estudo. A

Probabilidade é o ramo da matemática que estuda as chances de ocorrência de um

evento aleatório. Sua fórmula mais básica nos diz que tal chance é dada pela razão

entre as ocorrências favoráveis (aquilo que desejamos que ocorra, o evento) e o

total de possibilidades de ocorrer o evento (espaço amostral). Denominamos

eventos equiprováveis os acontecimentos onde todos os elementos n, do espaço

amostral finito, possuem a mesma chance de acontecer, como é o exemplo do

lançamento de um dado honesto ou uma moeda.

Outro conceito importante é o de Evento Complementar, vejamos um exemplo, se

desejamos que saia cara no lançamento de uma moeda, seu complementar é “sair

coroa”. Ou seja, podemos entender como Evento Complementar de um evento A

todos os resultados do espaço amostral que não estão em A. A probabilidade de um

evento ocorrer pode ser obtida fazendo-se 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴𝑐), ou seja, 100% menos

a probabilidade complementar.

Outro conceito importante é o de Eventos Independentes, Dizemos que a

independência se dá quando a ocorrência de um evento não afeta a ocorrência de

outro. Dessa forma, calculamos a probabilidade de ocorrência de dois eventos

independentes pela multiplicação de suas probabilidades, temos então que P(A∩B)=

P(A).P(B) .

Vejamos um exemplo: Qual a probabilidade de que ao lançarmos um dado honesto

três vezes, obtenhamos três números diferentes?


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O espaço amostral de cada lançamento será seis (número de faces do dado), no

primeiro lançamento qualquer número poderá sair. Já no segundo, somente cinco

números poderão ocorrer, uma vez que no lançamento anterior um número já

apareceu, e o problema nos diz que os três lançamentos devem ser diferentes.

Assim, no terceiro lançamento teremos quatro opções. Esses três eventos são

independentes, logo devemos multiplicá-los:

6

6.5

6.4

6=

120

216≅ 0,556

Temos aproximadamente 55,6% de chances de obtermos três números diferentes

em três lançamentos de um dado honesto.

Observe que os numeradores decrescem uma unidade por vez e se multiplicam,

processo chamado Princípio Fundamental da Contagem, resultando em cento e

vinte. Outro modo de se chegar nesse resultado, seria usando análise combinatória,

com a técnica de arranjo simples, considerando um agrupamento de seis elementos

tomados três a três:

𝐴𝑛, 𝑝 =𝑛!

(𝑛 − 𝑝)!

𝐴(6,3) =6!

(6 − 3)!=

6.5.4.3.2.1

3.2.1= 120

Já os denominadores apresentam uma multiplicação de fatores iguais, ou seja, uma

potenciação, onde o expoente se refere ao número de lançamentos, assim

poderíamos ter chegado ao mesmo resultado fazendo 63 = 216.

Explicando o Paradoxo

Usaremos agora os conceitos explanados no item anterior, começando pela

Probabilidade do Evento Complementar, que no caso do paradoxo seriam as

chances de que num grupo de x pessoas, nenhuma faça aniversário junto com

outra.


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Para simplificar, começaremos com três pessoas (A, B e C) que não poderão fazer

aniversário juntas. O indivíduo A poderia nascer em qualquer dia do ano (365), o

indivíduo B poderia nascer somente em 364 dias, pois o A já teria nascido em um, e

o C em qualquer um dos 363 dias restantes. Teríamos então:

Probabilidade de que três pessoas aniversariem em dias diferentes:

365

365.364

365.363

365=

48228180

48627125≅ 0,992 ≅ 99,2

Logo, a probabilidade de que estas pessoas façam aniversário no mesmo dia é de 1-

0,992 = 0,008 = 0,8%

Relembrando a informação apresentada no item 2 deste artigo, de que para um

grupo de 23 pessoas, a probabilidade de coincidência de aniversários é maior do

que 50%, poderíamos verificá-lo efetuando um cálculo análogo ao realizado acima:

𝑃(𝐴) = 1 −365

365.364

365.363

365… .

343

365≅ 50,7

Contudo, é interessante buscar uma generalização, uma fórmula para facilitar o

cálculo. Para isto, faremos uso de outros conceitos do item 3.1: O de arranjo simples

para encontrar o numerador, e o de potenciação para encontrar o denominador,

sempre tomando x como o número de pessoas presentes no agrupamento. Assim,

efetuando as devidas trocas, teremos:

𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴𝑐)

𝑃(𝐴) = 1 −𝐴(365,𝑥)

365𝑥

𝑃(𝐴) = 1 −

365!(365 − 𝑥)!

365𝑥= 1 −

365!

(365 − 𝑥)!.

1

365𝑥

𝑃(𝐴) = 1 −365!

(365 − 𝑥)!. 365𝑥

Agora, podemos substituir o número 23 em x:


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𝑃(𝐴) = 1 −365!

(365 − 23)!. 36523 0,507 ≅ 50,7

Segue abaixo um gráfico que ilustra a probabilidade de coincidência de aniversários

em função do número de pessoas:

Figura 1 – Probabilidade de coincidência de Aniversários. Fonte: Próprio Autor

Outro Importante Paradoxo: o problema das portas

Outro problema matemático muito famoso, e igualmente interessante, é o chamado

Problema das Portas ou Problema de Monty Hall (assim denominado por ser o nome

do apresentador americano de um programa que inspirou o problema na década de

1960), onde novamente é viável observar a probabilidade do evento complementar.

O problema é o seguinte: Imagine que você está em um programa de TV, e precisa

escolher uma entre três portas (A, B e C), sendo que somente atrás de uma delas

existe um prêmio, as outras não possuem nada. Você escolhe a porta A, e o

apresentador do programa (que sabe onde o prêmio está) abre uma das outras duas

portas, digamos a porta C, e revela que não há nada atrás dela. O apresentador

2,71%

11,69%

25,29%

41,14%

50,73%

56,86%

70,63%

81,43%

89,12%

94,09% 97,03% 98,62% 99,41%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Pro

bab

ilid

ade

de

Co

inci

dê

nci

a d

e A

niv

ers

ário

s

Número de Pessoas


Página 14

então lhe pergunta se você quer manter sua escolha na porta A ou se quer mudar

para a porta B, o que você faria?

Aparentemente, nos parece indiferente qual porta escolher, podemos facilmente

pensar que existe 50% de chance de o prêmio estar em A e 50%de chance de estar

em B, Contudo, tal conclusão está errada.

Inicialmente qualquer uma das portas tinha 1

3 de chance de ocultar o prêmio, no

caso, ao escolher a porta A tínhamos 1

3 de chance de acertar. Mas como uma porta

foi aberta, temos uma alteração no cenário, pois a porta que escolhemos tem

apenas 1

3(≅ 33,3 de chance de estar correta, ou seja, os outros

2

3 (≅ 66,7) que antes

se dividiam em duas portas agora se concentram na outra porta ainda fechada.

Talvez fique mais fácil compreender se imaginarmos uma situação hipotética, na

qual o número de portas é igual a cem. Dessa vez escolheremos uma porta e o

apresentador abrirá noventa e oito portas. Para qualquer porta escolhida teríamos

1% de chances de ela ocultar o prêmio e 99% de chances de não estar com o

prêmio. No final, restará apenas a porta que selecionamos e outra qualquer

escolhida pelo apresentador. A decisão de trocar de porta precisa basear-se na

escolha inicial, o prêmio só seria ganho sem efetuar a troca se a porta escolhida

desde o princípio fosse a correta. Contudo, isso seria improvável de ocorrer, uma

vez que só haveria 1% de chance de ter escolhido a porta premiada entre as cem.

Deste modo, podemos perceber que nas duas situações é mais vantajoso trocar de

porta, aumentando assim a probabilidade de ficar com a porta que esconde o

prêmio.

Tanto o problema dos aniversários quanto o problema das portas, são dois

exemplos da imprevisibilidade inerente à probabilidade e aos eventos aleatórios.

Considerações Finais


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No âmbito da educação, esperamos que este artigo possa contribuir para estudantes

ou professores de matemática, uma vez que probabilidade e análise combinatória

estão presentes na maioria dos currículos do Ensino Médio. Muitos educadores

encontram dificuldades ao associar as teorias com problemas motivadores. O

paradoxo aqui apresentado é mais um entre os diversos problemas que desafiam

nossa intuição, e pode ser resolvido através da matemática. Isto mostra que a

Matemática tem vital importância na formação intelectual dos estudantes, tornando-

os aptos em analisar situações que exigem apurado nível de interpretação,

possibilitando-os a encontrar soluções que superem o senso comum.

Referências

BELLOS, Alex. Alex no País dos Números. São Paulo, Companhia das Letras

2011.

BRUCE, Colin. Novas Aventuras Científicas de Sherlock Holmes. Rio de Janeiro,

Jorge Zahar Ed, 2003.

CRILLY, Tony.50 ideias de Matemática que precisa mesmo de saber. São Paulo,

LeYa, 2011.

FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Mini Aurélio: O Dicionário da Língua

Portuguesa. 7ª Ed. Curitiba: Positivo,2009.

JÚNIOR, Silvano A. A. P. O Problema de Monty Hall. Disponível em

<http://web3.ufes.br/petmat/sites/web3.ufes.br.petmat/files/semcaltext.pdf >. Acesso

em 4 de maio de 2014.

LOPES, Paulo Afonso. Probabilidades e estatística. Rio de Janeiro: Reichmann&

Affonso Editores, 1999.


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RIBEIRO, R. E. S. Uma proposta de ensino de probabilidade no Ensino Médio.

Porto Alegre, UFRGS, 2012. 117 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de

Matemática). Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2012.

SÁ, Ilydio Pereira de . A magia da Matemática. 3ª Ed., Ciência Moderna, 2010.

SILVA, José Eduardo Ferreira da; WODEWOTZKI, Maria Lúcia Lorenzetti. O

Paradoxo da coincidência de aniversários. Série Mais Um: Jornal de Matemática.

2013. Disponível em: <http://www.projetozk.com/mais_um/22_aniversarios.htm>.

Acesso em 24 de Abril de 2014.

Algoritmos de Hash Criptográficos. Blog de Segurança de Informação.2008.

Disponível em: <http://segurancainformacao.wordpress.com/2008/12/16/algoritmos-

de-hash-criptograficos/>. Acesso em 25 de Abril de 2014.

O que é o Paradoxo do Aniversário? Disponível em:

<http://pessoas.hsw.uol.com.br/questao261.htm> Acesso em: 24 de Abril de 2014.


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Concepções dos alunos das séries finais do ensino fundamental acerca da disciplina de matemática

Grasiela de Lima Cesario1 Andréia Goldani2

Resumo: As reflexões registradas no presente artigo procuram demonstrar, as concepções intuitivas dos alunos das séries finais do Ensino Fundamental, bem como os sentimentos desencadeados por tal disciplina. Cercada por sentimentos contraditórios, culturalmente transmitidos através das gerações, a Matemática tem sido apontada como a disciplina que mais fomenta dúvidas e questionamentos dentro do contexto escolar. Através de pesquisas realizadas sobre a Educação Matemática, presentes nas obras de renomados autores como D’Ambrósio, Chacón, Freire, Piaget e Vygotsky, e documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais, desenvolveu-se este trabalho, estruturado da seguinte forma: inicialmente considerações sobre a Matemática, como disciplina obrigatória nos currículos escolares, ideias centrais relacionadas a novas tendências educacionais e as concepções, crenças e sentimentos adquiridos através dos tempos. Após, a metodologia utilizada para a realização do artigo e as concepções pessoais obtidas através de pesquisa realizada na elaboração do trabalho. Palavras-chave: educação matemática - matemática e cultura - concepções matemáticas. Abstract: The reflections that are registered in the following article aim do demonstrate the intuitive conceptions from elementary school students of the final grades, as well as the feelings brought to them by such discipline. Surrounded by contradictory feelings, culturally transmitted through generations, Mathematics has been pointed as the discipline to bring more doubts and questions inside the school context. Through researches made about Mathematical Education, that are in works from authors of renown such as D’Ambrósio, Chacón, Freire, Piaget and Vygotsky, as well as official documents like the National Curriculae Parameters, this work has been developed, structured as the following format: it begins with considerations about Mathematics as an obligatory discipline in the school curriculae, central ideas which are related to: new educational tendencies and conceptions, and feelings and beliefs acquired throughout time. Finally, we speak on the methodology that has been used to make the article and the personal conceptions obtained through the research that was made for this work. Keywords: mathematical education - mathematics and culture - mathematical conceptions.

Introdução: noções sobre a aprendizagem matemática

O presente artigo tem por finalidade investigar as concepções dos alunos das séries

finais do Ensino Fundamental acerca da disciplina de Matemática. Parte-se do

pressuposto que os alunos possuem uma visão subjetiva à referida disciplina, que

impossibilita ou facilita sua aprendizagem.

1 Acadêmica do curso de licenciatura em Matemática – FACOS/CNEC. 2 Professora orientadora.


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A própria palavra matemática consegue desencadear sentimentos dos mais

contraditórios, desde repulsa até o mais franco entusiasmo. Estes sentimentos

podem ser resgatados através das representações e da vivência escolar, que trazem

lembranças ainda muito presentes, vinculadas à Matemática. Para alguns, aparecem

de uma forma não muito positiva. Para outros sem nenhuma lembrança marcante,

quem sabe até para tentar esquecê-la. Há ainda aqueles que evidenciam o

professor em seu labor, buscando mostrar o outro lado da Matemática: dentre a

mistura desordenada de símbolos, normas e particularidades, o real significado e

sua relevância como área do conhecimento.

Segundo a teoria construtivista, uma das teorias atualmente praticada nas escolas,

em que o educador deve fornecer subsídios aos alunos para a construção do

conhecimento, bases sólidas de aprendizagem e desmistificar ideias errôneas

disseminadas junto à opinião pública. O ato de ensinar é mais complexo do que o

domínio sobre a matéria, exige responsabilidade em desenvolver o raciocínio do

educando, para que o mesmo possa instigar, questionar e buscar resultados, o que

impõe escolhas criteriosas.

O processo de percepção das situações e o raciocínio são elementos básicos para o

comportamento humano nas organizações mentais, pois a percepção resulta de

exercícios humanos que possibilitam a alteração dos processos de codificação

empregados nos sistemas de informação e influenciam a decisão de focalizar os

objetos percebidos em categorias apropriadas. Desta forma, a percepção de um

discente a respeito da disciplina de Matemática é concebida a partir de suas

experimentações pretéritas e presente, individual e coletivamente, dá-se o processo

dessas experiências.

A Matemática, fundamento de quase todas as áreas do conhecimento e dotada de

uma estrutura que admite o desenvolvimento do nível cognitivo e criativo tem sua

aplicação defendida, em variados graus de escolaridade, como canal para fazer

elevar a capacidade em inventar, moldar e solucionar problemas. Por isso, é

necessário fomentar meios que desenvolvam nos alunos, a capacidade de ler e

interpretar o domínio da Matemática, para que participe ativamente de sua


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aprendizagem, através de observações, reflexões e na busca de conclusões. Enfim,

que possa vivenciar dinamicamente a aprendizagem dos conteúdos matemáticos.

Cercada por crenças aversivas, a Matemática tem sido apontada como a disciplina

que mais fomenta dúvidas e questionamentos dentro do contexto escolar. Ela

ocasiona sentimentos de repulsa e indiferença, além de traumas pessoais por parte

de alguns alunos. No entanto, outros a consideram como uma disciplina de fácil

compreensão e dizem não encontrar dificuldades em entendê-la, e assumem

atitudes positivas em relação à aprendizagem. Acredita-se que quando os alunos

associam a matéria ao seu cotidiano, torna-se fácil a compreensão de tal disciplina.

A imagem que os educandos possuem e os sentimentos que esta disciplina gera,

pode servir de referência para nortear estratégias que devem ser utilizadas em sala

de aula. Para tal, é necessário observar nos alunos concepções, crenças e

sentimentos adquiridos através dos tempos. É fato que a disciplina de Matemática

exige a construção da abstração do indivíduo para que haja a interpretação e a

compreensão da mesma, mas é um mito que esta disciplina seja acessível a

poucos, pois serve de auxílio inclusive na área das ciências humanas.

Mais do que procurar contextualizar um problema matemático ou concretizá-lo

através de algum tipo de recurso que supostamente pertença à vida cotidiana dos

alunos, é necessário dar voz a estes no espaço escolar e aceitar a diversidade

dentro do currículo habitualmente homogeneizador da escola. Autores renomados

como D’Ambrósio, Chacón, Freire, Piaget e Vygotsky auxiliarão na construção dos

conceitos necessários para o desenvolvimento de tal artigo.

Educação matemática e as novas tendências

O ato de ensinar é mais complexo do que o domínio sobre a matéria, exige

responsabilidade de desenvolver o raciocínio, faz-se necessário instigar, questionar

e buscar resultados. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998),

os alunos do Ensino Fundamental devem ser capazes de compreender a cidadania,

respeitar o próximo e exigir respeito. Tomar decisões de forma crítica, responsável e

construtiva; construir a identidade nacional e pessoal. Questionar a realidade através


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do pensamento lógico; expressar suas ideias por meio de linguagens distintas e

utilizar diferentes formas para pesquisar e construir o conhecimento.

A proposta de uma aprendizagem significativa com atividades desafiadoras que

fazem sentido para o universo do aluno pode promover uma interação entre o

educando e o objeto de conhecimento, deve ser alcançado através de

questionamentos sobre conceitos que educando tem em relação à proposta de

ensino. Segundo Freire (2008, p. 38) “o pensar certo que supera o ingênuo tem que

ser produzido pelo próprio aprendiz em comunhão com o professor formador”.

A disciplina de Matemática, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, deve

contribuir para a inserção dos alunos como cidadãos, através da superação da

aprendizagem mecânica e da incorporação de Novas Tecnologias da Comunicação,

no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura, colocando-o diante de

instigações que o auxiliem a desenvolver atitudes de responsabilidade e

reconhecimento de seus direitos e deveres, bem como a iniciativa pessoal e a

capacidade para enfrentar desafios. Assim, torna-se necessário:

[...] que se desenvolva um Ensino de Matemática que permita ao aluno compreender a realidade em que está inserido, desenvolver suas capacidades cognitivas e sua confiança para enfrentar desafios, de modo a ampliar os recursos necessários para o exercício da cidadania, ao longo de seu processo de aprendizagem. (PCN, 1998, p.60)

A relação do indivíduo com seu ambiente sociocultural são de extrema importância

para o desenvolvimento da inteligência, pois as potencialidades são transformadas

em situações que ativam nele esquemas processuais cognitivos ou

comportamentais. A aprendizagem ocorre por assimilação de ações exteriores

mediante a interiorização gradual de atos externos e suas transformações em ações

mentais. Assim, “os conceitos se formam e se desenvolvem sob condições internas

e externas totalmente diferentes, depende se o fato originou-se do aprendizado em

sala de aula ou da experiência pessoal da criança” (VYGOTSKY, 1993, p. 74), torna-

se necessário uma investigação acerca do conhecimento do aluno sobre o objeto de

estudo.

Segundo uma das teorias cognitivas da aprendizagem, a aquisição de

conhecimentos depende tanto das estruturas cognitivas do indivíduo quanto de sua


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relação com o objeto. Logo, o conhecimento lógico-matemático resulta da ação

mental da criança sobre o mundo, não pode ser ensinado por repetição ou

verbalização, mas a partir das ações sobre os objetos. Ao abordar a questão do

conhecimento lógico-matemático, surge o assunto sobre o processo de abstração.

De acordo com Piaget (1973), a abstração lógica e Matemática desenvolve-se

através da coordenação de ações e experiências lógicas-matemáticas.

O avanço cognitivo do ser humano passa necessariamente pelo processo de

abstração, construído paralelamente ao desenvolvimento físico e social. Algumas

disciplinas auxiliam na construção do pensamento abstrato, dentre elas, podemos

citar a matemática.

Por possuir uma linguagem própria, com símbolos, fórmulas e conceitos, a

Matemática é vista por muitos autores como uma estratégia do ser humano para

explicar, entender e lidar com a realidade dentro do seu contexto natural. De acordo

com D’Ambrósio (1996, p. 8), “matemática e educação são estratégias

contextualizadas e totalmente interdependentes”. Portanto, a Matemática pode ser

disposta como um processo educativo do ser humano que precisa realizar-se como

tal; que dê respostas as suas inquietudes como também a necessidade de estar

inserido na sociedade. E para que esta o aceite, cria estratégia, a Matemática e o

conteúdo em si, constituem parte desta.

Estudos revelam que a dificuldade pela Matemática é tida como natural o que gera

nos alunos insegurança e medo e esta insegurança e este medo faz o aluno

assimilar que a matemática seja algo realmente difícil e que somente quem tem

aptidão consegue aprender. Apesar da matemática ainda possuir certa rigidez, a

tendência tem sido a de considerá-la como um processo de inferência na construção

empírica do conhecimento. Nesta direção, D’Ambrósio (1990) sugere que qualquer

ação pedagógica deva levar em conta as concepções de seu aluno, o

comportamento desenvolvido ao longo da história de cada indivíduo para explicar,

entender e desempenhar-se na sua realidade.


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Neste contexto, a relação do aluno e professor tem um papel importante no ensino e

na aprendizagem da disciplina Matemática, pois quando há um distanciamento entre

os dois ou a falta de diálogo entre estes, o educando poderá não acompanhar as

explicações, o que poderá ocasionar uma recusa ao saber matemático. Nesse

sentido, para que todos tenham acesso aos conhecimentos matemáticos, não é

necessário possuir habilidade para a Matemática e sim valorizar o conhecimento que

o aluno já possui e as diferentes estratégias para a solução de problemas, é preciso

valorizar a atividade intelectual do aluno.

Através das respostas obtidas por alunos, é possível compreender a importância e o

interesse na educação Matemática, pois “As crenças que os jovens manifestam

sobre o sucesso e o fracasso em matemática envolve valores do grupo social, de

sua dimensão afetiva e do posicionamento que eles assumem diante da

Matemática”. (CHACÓN, 2003, p. 77).

A preocupação dos professores com o desenvolvimento dos alunos em relação à

disciplina de Matemática faz com que as escolas se ajustem as novas propostas de

ensino, e atentem para a construção de um cidadão crítico e responsável.

Atualmente espera-se do educador ações pedagógicas que reconheçam o aluno

como sujeito ativo do processo de aprendizagem, observem seus conhecimentos

prévios, incentivem sua autonomia e capacidade de interação.

A Matemática, disciplina obrigatória no currículo das escolas brasileiras, tem seu

ensino e aprendizagem marcados por diversas concepções de professores e alunos.

Para compreender e desenvolver os assuntos que possam despertar o interesse e a

assimilação dos educandos é necessário descobrir os conceitos e os saberes destes

em relação a esta disciplina, pois tais informações possuem implicações positivas e

negativas no entendimento dos objetos matemáticos e na própria Matemática.

A perspectiva dos estudantes também deve ser melhorada. Se eles têm uma

determinada crença sobre como deve ser a aprendizagem, apresentarão resistência

diante de outra aproximação, manifestando reações emocionais negativas. É


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importante propor intervenções que ajudem os alunos a saírem do estado de

bloqueio diante da atividade matemática. (CHACÓN, 2003, p. 25).

Normalmente, a forma de aprender e ensinar tem origem nas atitudes dos alunos em

relação à matemática e principalmente no modo de aprender dos alunos. A imagem

que os aprendizes têm e os sentimentos que esta disciplina gera, pode servir de

referência para nortear estratégias que devam ser utilizadas em sala de aula. “O

trabalho educativo que ocorre na escola é sempre marcado por concepções, valores

e atitudes, mesmo que não explicitados e, muitas vezes contraditórios”. (PCN, 1998,

p. 28)

De acordo com estudos realizados em livros, teses e artigos científicos, a

Matemática, por ser baseada em raciocínio lógico e prático, constitui-se numa

disciplina considerada como maior área de dificuldade do aprendizado em crianças,

muitas vezes temida e até sem importância por não demonstrar a contextualização

com a vida cotidiana. Segundo D’Ambrósio (1998, p. 113), “A matemática

permanece conceituada como a ciência dos números e das formas, das relações e

das medidas, das inferências, e as suas características apontam para precisão,

rigor, exatidão”.

Dessa forma, torna-se necessário o estudo sobre como os alunos aprendem e

utilizam a Matemática no cotidiano, a influência na construção do autoconceito como

aprendiz de tal disciplina, as interações produzidas com o sistema de aprendizagem,

os obstáculos para o aprendiz e a influência na composição da sala de aula.

Em busca de conhecimentos

Como abordagem metodológica para a realização da pesquisa do presente artigo

utilizou-se o caráter qualitativo a partir de um estudo de caso, com entrevistas pré-

estruturadas com alunos das séries finais do Ensino Fundamental para sondar suas

concepções referentes ao fenômeno estudado. A Análise Documental foi

fundamentada em documentos que contém as diretrizes direcionadas à educação.

Livros e trabalhos acadêmicos serviram para nortear a construção do artigo.


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O material de pesquisa utilizado foi um questionário com perguntas relacionadas à

disciplina de matemática e a prática docente. Uma entrevista com os alunos serviu

de auxílio para a concepção sobre os sentimentos dos alunos em relação a tal

disciplina

A primeira pesquisa realizada para a elaboração do artigo foi de caráter qualitativo

exploratório. Tal processo busca explorar informações de diversas fontes que

permitem estudo aprofundado sobre o tema, a fim de unir todas as fundamentações

teóricas possíveis para a elaboração da pesquisa.

A coleta dos dados primários ocorreu através de análise documental, conforme

mencionada anteriormente, que possibilitou levantar os dados necessários para a

construção deste artigo.

A coleta dos dados secundários deu-se através de questionários realizados com

alunos do Ensino Fundamental. Com base no resultado dos questionários aplicados,

realizou-se uma entrevista com alunos, selecionados de forma aleatória, que

possibilitou o levantamento das concepções em relação ao fato pesquisado.

Concepções pessoais em relação aos dados obtidos

A Matemática, uma das disciplinas obrigatórias nos currículos escolares e

apresentada como uma matéria de difícil aprendizagem por ser baseada em

raciocínio lógico e prático, permanece conceituada ao longo da história, como uma

disciplina de difícil compreensão, e apenas acessível a poucos. Com essa cultura, o

indivíduo já sente certa aversão ao assunto, como pode ser observado mediante as

respostas do questionário realizado e o relato dos alunos das séries finais de Ensino

Fundamental.

De acordo com este questionário, setenta por cento dos alunos simplesmente

demonstraram aversão à disciplina e não conseguiram assimilá-la ao seu cotidiano.

Estes alunos associaram a dificuldade de entendimento aos métodos aplicados em


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sala de aula e à explicação da professora, demonstraram repulsa não só pela

Matemática, mas também pela profissional. Acreditam também que a Matemática é

uma disciplina isolada, que não pode ser associada nem vinculada as demais, e que

a Matemática serve somente para realização de operações básicas. Observam que

a professora domina o assunto e isso, de acordo com seus pensamentos, os afasta

ainda mais da disciplina. Quando indagados sobre os sentimentos dos pais em

relação à Matemática, todos evidenciaram uma grande dificuldade e aversão a tal

disciplina, como podemos observar no relato de uma aluna do nono ano:

A professora explica coisas que eu não compreendo, também fala coisas que para

mim não faz sentido algum. Sempre fala que precisamos de matemática pra tudo,

mas onde vou usar báskara na minha vida? Meus pais acham que a matemática

deveria ser mais simples, que ensinassem contas que a gente usasse no dia a dia,

não estas, cheia de letras que nem eles entendem. (Aluna do oitavo relatando seu

sentimento em relação à disciplina de matemática).

Quanto aos alunos que demonstraram facilidade em assimilar o conteúdo e

dominaram a aprendizagem, pôde ser observada cumplicidade com a matéria,

associaram-na ao seu cotidiano e salientaram sua importância nos diversos setores

de suas vidas e também com outras disciplinas. Possuem ótima relação afetiva com

a professora, compreendem sua metodologia e não se intimidam com as novas

propostas de aprendizagem. Quando indagados sobre os sentimentos dos pais em

relação à Matemática, a maioria respondeu que ao menos um dos pais demonstra

intimidade com tal disciplina.

Eu gosto das aulas de matemática porque a professora ensina muito bem, tem

paciência para explicar e tirar dúvidas. Quando a gente não entende, ela para e

explica tudo de novo. Sempre explica que a matemática está presente em tudo, o

que concordo porque até meus pais dizem que se não sabemos matemática, não

vamos a lugar nenhum. (Aluno do oitavo ano relatando seu sentimento em relação à

disciplina).


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Desta forma, pode-se notar que o domínio afetivo é capaz de desencadear atitudes,

crenças, emoções e valores que poderão auxiliar na construção de sentimentos

positivos ou negativos em relação à Matemática, que irá facilitar ou prejudicar a

aprendizagem e a compreensão em relação a esta disciplina.

Referências

Brasil. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais.

Brasília: MEC/SEF, 1998.

CHACÓN, Inés Maria Gomes. Matemática emocional: os afetos na aprendizagem

matemática. Porto Alegre: Artmed, 2003.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer.

Ed. Ática, 1990.

____________________. Educação Matemática: Da teoria a prática. Campinas, SP:

Papirus, 1996.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia. Ed. Paz e Terra, 2008.

PIAGET, Jean. Biologia e Conhecimento. Petrópolis: Vozes, 1973.

LARA, I. C. (2003). Jogando com a Matemática. São Paulo: Editora Rêspel LTDA.

RÊGO, R.G.; RÊGO, R.M. Matemática ativa. João Pessoa: Universitária/UFPB,

INEP, Comped: 2000.

Sites consultados

http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/rcp01_06.pdf. Data de acesso 10/05/2014

http://ccnh.ufabc.edu.br/licenciaturaquimica/manual_estagio.pdf. Data de acesso

10/05/2014

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http://www.fenen.com.br/legislacao/es/parecer447.html. Data de acesso 10/05/2014

VYGOTSKY, LS. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes: 1993.



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A contribuição dos estágios supervisionados a partir de perspectiva do futuro professor

Gisele Schneider1 Andréia Goldani2

Resumo: O seguinte artigo visa apresentar a contribuição dos estágios supervisionados, destacando a sua importância como grande experiência na vida do futuro professor. O artigo parte da lei estabelecida pelo MEC e pela LDB, também relata o estágio supervisionado realizado no Ensino Fundamental, com uma turma de 9º ano, mostrando algumas atividades diferenciadas que foram aplicadas no decorrer do mesmo e que contribuíram muito para despertar o interesse dos alunos nos conteúdos que foram trabalhados. Palavras – chave: estágios supervisionados – licenciatura – Matemática - futuro professor. Abstract: The following article presents the contribution of supervised training highlighting its importance as a great life experience of the future teacher. The article of the law established by the MEC and the LDB and also reports the supervised internship conducted in Elementary Education with a class of Year 9 showing some different activities that were implemented during the same and that contributed greatly to arouse students' interest in content that were worked. Keywords: supervised training – graduation – mathematics - future teacher.

Estágios Supervisionados – Lei

Os Estágios Supervisionados são uma exigência da resolução CNE/CP 2 de 19 de

fevereiro de 2002, na qual constam a duração e a carga horária dos cursos de

licenciatura. De acordo com o artigo 1º, inciso II, é exigido, na formação de

professores da Educação Básica, 400 horas de estágio supervisionado, sendo este

realizado a partir da segunda metade do curso. Segundo o Art. 61 da LDB - 9394/96

Os Estágios Supervisionados constam de atividades de prática pré-profissional,

exercidas em situações reais de trabalho, nos termos da legislação em vigor. Para

cada aluno é obrigatório a integralização da carga horária total do estágio previsto

no currículo pleno do curso, nela podendo ser incluídas as horas destinadas ao

planejamento, orientação paralela e avaliação das atividades.

O estágio contempla diversos objetivos na vida do futuro licenciado, dentre eles

podemos citar que o mesmo propicia ao estudante um conhecimento real da

1 Acadêmica do curso de licenciatura em Matemática na Faculdade Cenecista de Osório.

2 Professora orientadora.


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situação de trabalho, uma vez que está vinculado diretamente a unidades escolares

do sistema de ensino e faz com que o mesmo coloque em prática as competências

profissionais exigidas. Conforme o parecer CNE/CP 28/2001

Estágio é o tempo de aprendizagem que, através de um período de permanência, alguém se demora em algum lugar ou ofício para aprender a prática do mesmo e depois poder exercer uma profissão ou ofício. Assim, o estágio supõe uma relação pedagógica entre alguém que já é um profissional reconhecido em um ambiente institucional de trabalho e um aluno estagiário. Por isso é que este momento se chama estágio supervisionado.

Desse modo, o estágio possibilita ao licenciado, sob a supervisão de um profissional

experiente, efetivar um processo de ensino/aprendizagem que se tornará concreto e

autônomo em sua futura vida profissional. O estágio só pode ocorrer em unidades

escolares, onde o estagiário assume o papel de professor e deve cumprir exigências

de acordo com o projeto pedagógico, é uma maneira de testar suas competências

por um determinado tempo.

O Decreto Federal nº 87.497/82 regulamentou a Lei Federal nº 6.494/77,

caracterizando claramente o estágio supervisionado como “estágio curricular”,

vinculado com a prática escolar do educando e não como um simples apêndice da

atividade escolar, como se fosse uma “atividade extracurricular”. Os estágios não

são uma atividade facultativa, mas sim uma das condições exigidas para a obtenção

do diploma em qualquer uma das licenciaturas.

Os estágios devem obedecer regulamentos próprios para cada curso que são

elaborados pelos Coordenadores de curso e aprovados pelo Conselho superior.

Conforme a LDB 9394/96 art 62 os estágios são coordenados pelos Coordenadores

de Cursos e supervisionados por docentes por eles designados.

O professor orientador é o professor da universidade que irá elaborar o plano de

atividades do estágio e acompanhará o desenvolvimento do mesmo. Confere ao

professor orientador discriminar as atividades a serem desenvolvidas pelos

estagiários e suas respectivas carga horárias, orientar e acompanhar as atividades

previstas no plano de estágio, realizar reuniões periódicas para discussão das

experiências vivenciadas pelos estagiários, fazendo uma correlação entre tais


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experiências e conhecimentos teóricos, avaliar a qualidade do relatório de estágios,

analisar o cumprimento da carga horária e das atividades previstas no plano de

estágio e avaliar o parecer emitido pelo professor supervisor, indicando aprovação

ou reprovação do estagiário.

O professor supervisor é o professor da escola onde o licenciado irá realizar o

estágio. Ele deve orientar e acompanhar o estagiário em todas as suas atividades,

tais como observação, monitoria e durante a regência. O professor supervisor

deverá acompanhar o andamento das aulas aplicadas pelo estagiário e emitir seu

parecer escrevendo no mesmo como foi o seu desempenho e comprometimento em

sala de aula.

Os passos dos Estágios Supervisionados

O curso de Licenciatura em Matemática possui três estágios supervisionados, são

eles: Estágio Supervisionado no Ensino Fundamental, Estágio Supervisionado no

Ensino Médio e Estágio Supervisionado: Vivências e Práticas Docentes.

O Estágio Supervisionado no Ensino Fundamental pode ser realizado em turmas de

6º a 9º ano. O mesmo é composto por 6 horas de conhecimento da realidade –

momento em que nos apresentamos à escola e olhamos o Projeto Político

Pedagógico, 12 períodos de observação, sendo 4 destinados à disciplina de

matemática e 8 às demais disciplinas; 8 períodos de monitoria nas aulas de

matemática e 30 períodos de regência.

O Estágio Supervisionado no Ensino Médio é composto por 10 horas de

observação, sendo 6 períodos obervados na disciplina de matemática e 4 períodos

nas demais disciplinas, 2 períodos de monitoria nas aulas de matemática e 20 horas

de regência. Este estágio pode ser realizado com turmas de 1º à 3º ano.

No Estágio Supervisionado: Vivências e Práticas Docentes o licenciado deve

elaborar um projeto para aplicar durante 20 períodos na escola, durante o turno


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inverso dos alunos. Para que o projeto tenha validade é preciso que o mesmo seja

composto por, no mínimo, 10 alunos.

Os estágios supervisionados contemplam uma carga horária de 400 horas. Sendo

140 horas do Estágio Supervisionado do Ensino Fundamental, 120 horas do Estágio

Supervisionado do Ensino Médio e 140 horas do Estágio Supervisionado: Vivências

e Práticas Docentes. 80 horas de cada estágio são destinadas ao planejamento do

mesmo e são cumpridas dentro da sala de aula regular do curso.

Relato de Experiência – Estágio Supervisionado no Ensino Fundamental

Durante as aulas sobre o Estágio Supervisionado no Ensino Fundamental

recebemos da professora orientadora as instruções necessárias a respeito de cada

passo que deveria ser dado no decorrer do mesmo. Começamos com o Referencial

Teórico, no qual escrevemos a forma como pretendemos trabalhar em sala de aula,

para isso realizamos uma pesquisa sobre diversos pensadores e o que eles dizem a

respeito da educação e do modo como se deve trabalhar com os alunos. Ganhamos

uma carta de apresentação que deve ser entregue à escola onde iremos realizar a

prática. Fazemos um breve relato sobre a caracterização da escola, que é

encontrada no PPP (Projeto Político Pedagógico) da mesma; relatamos a

observação; a monitoria e a caracterização da turma em questão. Elaboramos, com

o auxílio da professora orientadora, o plano de trabalho no qual constam os

objetivos, conteúdos, metodologias, avaliações e recursos que serão utilizados no

decorrer do estágio e também os planos de aula que devem ser aprovados antes de

serem utilizados no mesmo.

O estágio em questão foi feito em uma turma de 9º ano composta por 23 alunos.

Foram observados 12 períodos, sendo 4 períodos nas aulas de Matemática e 8

períodos distribuídos nas disciplinas de Português, Espanhol e Educação Artística.

O período da observação foi bastante importante, uma vez que através dele obtive

um contato maior com a turma em que iria fazer o estágio. Pude analisar o

rendimento geral dos alunos e o comportamento dos mesmos nas aulas de

diferentes disciplinas.


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Na monitoria auxiliei os alunos, durante 8 períodos, a realizarem os exercícios

propostos pelo professor nas aulas de matemática. No decorrer da mesma foi

possível perceber as dificuldades de alguns alunos em relação à disciplina e ao

conteúdo que estava sendo trabalhado. A monitoria é uma atividade que se faz

necessária, pois além de estarmos em contato direto com os alunos podemos ver

quais são suas necessidades referentes à matéria dada pelo professor.

O estágio foi realizado durante 30 períodos. Os conteúdos trabalhados no decorrer

deste foram Teorema de Pitágoras, Segmento proporcional e grandezas

proporcionais, Feixe de retas paralelas, Teorema de Tales e Semelhança. O objetivo

geral estabelecido foi de promover uma interação do que os alunos vivenciam no dia

a dia com os conceitos matemáticos e atividades aprendidas em sala de aula e

desenvolver nos alunos o pensamento lógico, despertando o interesse dos mesmos

através de atividades diversificadas que envolvam interpretação de situações-

problema vistas no cotidiano.

No artigo de Sandra Lucia Piola Barbosa, sobre “Jogos Matemáticos como

Metodologia de Ensino Aprendizagem das Operações com Números Inteiros” há

uma citação de Rêgo e Rêgo (2000) afirmando que:

[...] é importante a introdução de novas metodologias de ensino, onde o aluno seja sujeito da aprendizagem, respeitando o seu contexto e levando em consideração os aspectos recreativos e lúdicos das motivações próprias de sua idade, sua imensa curiosidade e desejo de realizar atividades em grupo.

Foi pensando nesse conceito que as aulas foram elaboradas. Dessa forma foram

utilizados jogos, dinâmicas e atividades diferenciadas na introdução dos conteúdos

estabelecidos e do decorrer dos mesmos para que o interesse dos alunos fosse

despertado.

É importante que os alunos se apropriem dos conceitos e procedimentos

matemáticos básicos, pois isso contribui para a formação dos mesmos como futuros

cidadãos que se engajarão no mundo do trabalho, das relações sociais, culturais e

políticas. O educador precisa ter claro em sua mente de que forma pretende

apresentar a matemática para seus alunos. O docente que apresenta os

conhecimentos matemáticos de forma pronta e acabada não permite que o aluno


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descubra tais conceitos e seja sujeito de sua aprendizagem, interagindo junto ao

professor, aos conteúdos programados, munidos de contexto social e sua própria

aprendizagem.

Os conteúdos trabalhados foram introduzidos de forma clara e objetiva. Uma das

maneiras utilizadas para essa introdução foi a de construir o conceito junto com os

alunos. Para dar início ao conteúdo de Teorema de Pitágoras foi usada essa

concepção. Cada aluno recebeu um pedaço de papel quadriculado. Foi pedido a

eles que fizessem três quadrados, um de área 16cm², um de área 9cm² e outro de

área 25cm². Eles pintaram os quadrados de área 9cm² e 16cm² da mesma cor e o

outro de área 25cm² de cor diferente.

A partir do momento em que todos estavam com seus quadrados, foi pedido a eles

que colocassem os mesmos de forma que ficasse um triângulo no meio como no

exemplo abaixo:

Quando os alunos dispuseram seus quadrados como no exemplo acima, foi feito o

mesmo no quadro com um papel cartaz para que eles pudessem visualizar melhor e

acompanhar o que seria pedido Foi questionado sobre como se chega às áreas de

cada quadrado. No momento em que eles fizeram essa observação, foi comentado

que a soma das áreas dos quadrados menores resultava na área do quadrado

maior. Assim chegamos à fórmula do Teorema de Pitágoras.

O mesmo procedimento foi utilizado para introduzir o conteúdo de Segmento

Proporcional e Grandezas proporcionais, no qual os alunos receberam papéis

coloridos e fizeram dois retângulos de 12cm de comprimento por 6 de largura. Foi


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pedido a eles que dobrassem um dos retângulos ao meio duas vezes, fazendo isso

os alunos obtiveram um retângulo de 6cm de comprimento por 3cm de largura. Após

eles dividiram a medida do comprimento de cada retângulo pela medida da largura e

constataram que o resultado era o mesmo, logo foi dito para eles que as razões das

medidas dos dois retângulos eram iguais, portanto eles eram proporcionais. Assim

que todos chegaram a essa concepção, foi passado alguns conceitos no quadro e

atividades referentes.

Os jogos também foram utilizados para estimular e despertar o interesse dos alunos

para com os conteúdos. É conveniente a utilização desse recurso, pois disponibiliza

uma forma interessante de propor problemas e permite que este seja socializado de

modo atrativo. Os jogos estimulam a criatividade na elaboração de estratégias para

a resolução e busca de soluções. Possibilita a simulação de situações-problema que

exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações. Além

disso, os jogos e demais atividades lúdicas e dinâmicas sempre estiveram presentes

na vida dos educandos, elas funcionam como um instrumento de desenvolvimento e

construção do processo de conhecimento de si mesmos e da realidade.

No conteúdo de Teorema de Pitágoras foi proposto aos alunos que eles

confeccionassem um jogo chamado “Trinca Pitagórica”. Todos foram divididos em

duplas, cada dupla recebeu um pedaço de cartolina. Eles confeccionaram 18 cartas

em forma retangular com os seguintes números: 12, 35, 37, 15, 20, 25, 64, 48, 80, 7,

24, 25, 9, 40, 41, 11, 60, 61. Estes números formam trincas pitagóricas.

Logo que os alunos acabaram de confeccionar os seus jogos, eles jogaram com a

sua dupla. Para jogar, os alunos colocaram todas as cartas viradas para baixo e por

vez viravam 3 cartas para cima. Eles aplicaram o Teorema de Pitágoras para ver se

as medidas obtidas nas cartas formavam um triângulo retângulo, se formasse os

alunos ficavam com as cartas para si, se não as viravam novamente para baixo. O

vencedor é quem conseguir formar mais trincas pitagóricas.

No decorrer do conteúdo de Segmento Proporcional e Grandezas Proporcionais os

alunos também construíram um jogo chamado “Construindo proporções”. A turma foi


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dividida em duplas, cada dupla recebeu um pedaço de cartolina. Eles desenharam e

recortaram na cartolina 12 retângulos com as seguintes medidas: 7cm x 4cm;

10,5cm x 6cm; 8cm x 14cm; 16cm x 28cm; 12,3cm x 12cm; 8,2cm x 8cm; 4,3cm x

3,7cm; 8,6cm x 7,4cm; 2cm x 1cm; 4cm x 2cm; 9cm x 4,5cm e 6cm x 3cm. Após a

confecção, foi explicado aos alunos que cada retângulo tinha outro que é

proporcional a ele, pois as duas razões são iguais, logo eles deveriam procurar e

juntar os retângulos de dois em dois, formando assim 6 pares.

Uma dinâmica também foi aplicada contemplando os conteúdos de Teorema de

Tales e Semelhança de Triângulos. A dinâmica se chama “Gincana dos Balões”. Os

alunos foram divididos em duas equipes. Na mesa do professor foram colocados 10

balões vazios. Dentro de cada balão havia uma questão que poderia envolver

Teorema de Tales ou Semelhança de triângulos. Ao sinal da professora 1 aluno de

cada equipe pegou um balão e encheu até estourar, para que assim pegasse a ficha

de exercício que estava dentro do mesmo. Assim que o aluno pegou a ficha, ele a

levou até o seu grupo para que resolvessem rapidamente a questão. O grupo que

resolvesse primeiro e apresentasse a resposta correta marcava o número de pontos

que estava em sua ficha. Quando todos os balões foram estourados os alunos

somaram os pontos das fichas que conseguiram resolver. Quem obteve mais pontos

ganhou.

Através da dinâmica, dos jogos e das introduções de conteúdos aplicados no

decorrer do estágio, pude perceber que a aprendizagem de Matemática realmente

ocorre de forma satisfatória a partir do momento em que o professor busca

ferramentas pedagógicas diversificadas. Munido de diferentes metodologias de

ensino, o professor consegue fazer com que os alunos compreendam melhor o

conteúdo que está sendo trabalhado.

É importante despertar nos mesmos a vontade de aprender e realizar as atividades

propostas na disciplina de matemática, uma vez que esta contribui para a formação

plena do educando como um ser crítico e formador de opinião. A matemática não

deve ser tratada apenas como uma ferramenta utilizada para desenvolver

isoladamente o raciocínio e as habilidades cognitivas. É preciso redirecionar o olhar


Página 36

para a matemática, abordando seus benefícios na vida dos educandos, tais como a

capacidade de trabalhar em grupos e resolver situações-problemas.

A realização desse estágio foi de suma importância, pois através dele pude adquirir

mais experiência na área em que pretendo atuar. Foi muito gratificante estar em

contato direto com a escola, professores e alunos. Neste estágio obtive uma boa

aceitação da turma. Todos os alunos colaboraram bastante para o andamento das

aulas, se esforçaram para realizar as atividades e foram muito participativos. A

receptividade de todos serviu de grande ajuda para que este trabalho fosse

concluído com êxito.

Referências

BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases. Lei nº 9.394/96, de 20 de dezembro de 1996.

________. Parecer CNE/CES 28/2001. Dá nova redação ao Parecer CNE/CP

21/2001, que estabelece a duração e a carga horária dos cursos de Formação de

Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de

graduação plena.

_______. Resolução CNE/CP 2/2002. Institui a duração e a carga horária dos

cursos de licenciatura, de graduação plena, de formação de professores da

Educação Básica em nível superior. In: Diário Oficial da União, Brasília, 09 de abril

de 2002. Seção 1, p.9

________. Decreto 87.497/1982. Regulamenta a Lei 6.494/77, que dispõe sobre o

estágio de estudantes de estabelecimentos de ensino superior e de 2º grau regular a

supletivo, nos limites que específica e dá outras providências.

LARA, I.C. Jogando com a Matemática. São Paulo: Editora Rêspel LTDA.


Página 37

RÊGO, R.G; RÊGO, R.M. Matemática ativa. João Pessoa: Universitária/UFPB,

INEP, Comped: 2000.

Sites consultados:



10/05/2014


http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/rcp01_06.pdf



http://www.fenen.com.br/legislacao/es/parecer447.html


Página 38

A formação dos professores de Matemática nos cursos de Licenciaturas oferecidos pelo IFRS

Elisa Daminelli1

Resumo: Este artigo tem como objetivo realizar uma breve análise dos currículos de licenciatura em Matemática oferecidos no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS). Na Lei de criação dos Institutos Federais consta como um dos objetivos dessas instituições a oferta de cursos de Licenciatura, preferencialmente nas áreas de Ciências da Natureza e Matemática, visto que são as áreas mais carentes de profissionais formados. Diante disso, com a recente expansão da rede federal de ensino, e abertura de novos campi em cada Instituto Federal, têm surgido muitos cursos novos de licenciatura, em especial de Matemática. Este trabalho faz uma análise de como estão estruturados seus currículos, tomando como referencial textos sobre a formação docente, e também autores que tratam da Educação Matemática e da formação de professores de Matemática. Palavras – Chave: formação de professores – institutos Federais – licenciatura em Matemática. Abstract: This paper intends to make an analysis of training courses for Mathematics teachers that offer the Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS). In the law of creation of Institutos Federais there is the purpose to offer training courses for teachers, specially in Nature Science and Mathematics, these are the areas that most need of trained professionals. So, with the expansion of Institutos Federais, many courses of Mathematics have been opened. This work makes an analysis about the structures of Math courses, and uses studies about teachers training, Mathematics Education and Mathematics teachers training. Key-words: Teacher training – Institutos Federais – Math Courses.

Introdução

É fato conhecido a carência de professores com formação adequada para atuarem

na Educação Básica, em especial nas áreas de Ciências da Natureza e Matemática.

Atualmente os cursos de licenciatura são, em sua maioria, oferecidos por instituições

privadas, e ao longo do tempo, o número de interessados pelos cursos de

licenciatura tem diminuído gradativamente, ocasionando, em alguns casos, o

fechamento de cursos da rede privada. A expansão da rede federal de ensino trouxe

a criação dos Institutos Federais (IF), os quais têm entre seus objetivos a oferta de

cursos de licenciaturas, em especial nas áreas de Ciências da Natureza e

Matemática. Com isso, novos cursos de licenciaturas estão sendo implantados em

todo o país. O Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande

do Sul (IFRS) é constituído por doze campi em funcionamento e mais quatro em 1 Doutoranda em Educação – Faced/UFRGS.


Página 39

fase de implantação, todos localizados em cidades diferentes, e em diversas regiões

do estado do Rio Grande do Sul. Dos doze campi em funcionamento, sete oferecem

pelo menos uma licenciatura, sendo que três deles – Bento Gonçalves, Caxias do

Sul e Ibirubá – oferecem Licenciatura em Matemática.

Neste trabalho será realizada uma breve análise dos currículos das Licenciaturas em

Matemática oferecidas neste três campi. Para tanto serão utilizados como referencial

os estudos sobre a formação de professores, e estudos na área de educação

Matemática e sobre a formação de professores de Matemática.

Os Institutos Federais e a oferta de Licenciaturas

Após um período de pouco investimento na Educação Técnica e Tecnológica da

rede Federal, em 2008, o governo brasileiro instituiu, através da Lei Nº 11.892, a

Rede Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica e criou os Institutos

Federais de Educação, Ciência e Tecnologia.

Conforme a Lei Nº 11.892 os Institutos Federais (IF) têm por objetivo atender as

demandas locais no que tange a formação técnica e tecnológica, e para além disso,

têm a proposta de promover a equidade social, garantindo a formação humana e

cidadã, difundindo a cultura e o saber científico. Os IF podem oferecer cursos nas

diversas modalidades e níveis, sendo incentivados a proporcionar a verticalização

da educação, oferecendo cursos técnicos de nível médio, pós-médio, tecnólogos de

nível superior e pós-graduação. Além disso, destaca-se entre os objetivos dos IF a

oferta de licenciaturas, como citado no artigo 7º, inciso IV da Lei Nº 11.892, no que

trata de ministrar em nível de Educação Superior:

b) cursos de licenciatura, bem como programas especiais de formação pedagógica,

com vistas na formação de professores para a educação básica, sobretudo nas

áreas de ciências e matemática, e para a educação profissional. (BRASIL 2008)

E também, conforme artigo 8º, em que determina o percentual de 20% das vagas a

serem ofertadas nas licenciaturas:


Página 40

No desenvolvimento da sua ação acadêmica, o Instituto Federal, em cada exercício,

deverá garantir o mínimo de 50% (cinquenta por cento) de suas vagas para atender

aos objetivos definidos no inciso I do caput do art. 7° desta Lei, e o mínimo de 20%

(vinte por cento) de suas vagas para atender ao previsto na alínea b do inciso VI do

caput do citado art. 7°. (BRASIL, 2008)

Essas informações apontam a preocupação existente acerca da carência de

professores com formação adequada, em especial nas áreas de Ciências da

Natureza. E ainda, a intenção de diminuir a defasagem de profissionais nestas áreas

através da oferta de cursos de licenciaturas em instituições públicas federais,

gratuitas, com promessa de ensino de qualidade, e que, acima de tudo, atendem

regiões fora dos grandes centros e capitais, uma vez que os IF são formados por

diversos Campi espalhados em diferentes localidades dentro dos estados, o que não

ocorre com as Universidades Federais. Dessa forma, pretende-se atender em parte

a demanda por profissionais de educação qualificados.

Formação inicial docente

A formação inicial docente no Brasil é realizada, prioritariamente, através de cursos

de Licenciaturas. Com a crescente demanda por professores, uma das alternativas

políticas tem sido a expansão da oferta de cursos de Licenciaturas, muitos na

modalidade à distância, e também, como já citado, através da expansão dos IF, e da

oferta de licenciaturas por essas instituições. Porém, o que se observa é que o

aumento dos cursos, e em consequência de professores diplomados, não é

suficiente para garantir a boa qualificação desses profissionais, como aborda GATTI

(2011):

A preocupação predominante das políticas volta-se mais à expansão da oferta dos

cursos no formato existente, especialmente a distância, sem crítica e busca de

alternativas formativas que melhor qualifiquem a formação inicial dos professores da

educação básica na direção de uma profissionalização mais eficaz, mais coerente

com as necessidades dos educandos e as demandas sociais do país. Não basta


Página 41

titular professores em nível superior, é necessário e importante que a essa titulação

corresponda a formação de características de profissionalidade consistentes com o

exigido, para o bom desempenho em seu trabalho. Pelos dados curriculares

disponíveis sobre esses cursos, estamos longe de uma política de melhor

qualificação real dos professores da educação básica. As normatizações existentes

não estão sendo suficientes para garantir minimamente essa qualificação no que se

refere à formação inicial.(GATTI et al, 2011, p.101)

Embora existam orientações nacionais ressaltando a importância da integração

entre teoria e prática na formação docente, em muitos cursos se observa uma

reprodução maquiada dos currículos do século passado, nos quais a prioridade era

formar o bacharel, com conhecimento específico da área, e depois acrescentar

conhecimentos pedagógicos, no chamado modelo 3+1 (três anos de formação

disciplinar da área específica e um ano de formação pedagógica). Ainda conforme

GATTI (2011) sobre a formação docente:

Há predomínio de formação acadêmica, mais abstrata, de caráter excessivamente

genérico, nas proposições institucionais para essa formação. Não que esse tipo de

formação não seja necessário, mas ele é insuficiente para a integralização da

formação de um(a) profissional da docência. Pelas normas vigentes no Brasil,

definem-se espaços nas licenciaturas, destinados ao tratamento concreto das

práticas docentes, nos quais se poderia aliar experiência e teoria. Porém, esses

espaços não são utilizados de fato nas instituições formadoras, para fazer essa rica

aliança entre conhecimento acadêmico e conhecimento que vem com o exercício da

profissão e as experiências vividas em situações escolares na educação básica.

(GATTI, 2011, p.91).

De forma geral, os currículos das licenciaturas são divididos em disciplinas

semestrais, fechadas em si e ministradas por um grande mestre da área específica.

No caso da Matemática, por exemplo, professores com formação em Matemática

Pura, os bacharéis em Matemática, que são mestres ou doutores em Matemática,

ministram as disciplinas que são consideradas mais “pesadas” ou chamadas de

áreas “duras”, como Cálculo e Álgebra. Os professores com mestrados e doutorados


Página 42

em Educação ministram as disciplinas das áreas pedagógicas. Essa situação é

frequente nos cursos de Licenciaturas como podemos observar no excerto a seguir

de TARDIF (2006):

No que se refere aos cursos universitários de formação de professores, a maioria

também continua sendo dominada por formas tradicionais de ensino e por lógicas

disciplinares, e não por lógicas profissionais; além disso, observa-se que existe uma

divisão do trabalho e uma separação importante entre os professores de profissão e

os responsáveis pela formação prática. Os currículos universitários ainda são

demasiado fragmentados, baseados em conteúdos demasiado especializados,

oferecidos em unidades de ensino de curta duração e sem relação entre elas, com

pouco impacto nos alunos. (TARDIF, 2006, p.283)

Nesse contexto, é curioso observar a importância dada à especialidade em

detrimento da formação específica para a profissão, continuando com exemplo da

Licenciatura em Matemática, as disciplinas com atribuições para a formação

pedagógica, em geral estão distribuídas ao longo do curso, sem apresentar relação

entre elas, e muitas vezes, ministradas em grandes turmas com alunos de diferentes

cursos de Licenciatura e desvinculada do conhecimento específico da Licenciatura.

Ao que parece, tal forma de organizar o currículo da Licenciatura passa a falsa

impressão ao aluno, futuro professor, que o conhecimento que é realmente

importante na sua formação é o domínio de sua especialidade, e que a prática é a

aplicação dos conhecimentos adquiridos na graduação, como cita TARDIF (2006):

Os cursos de formação para o magistério são globalmente idealizados segundo um

modelo aplicacionista do conhecimento: os alunos passam um certo número de anos

a assistir as aulas baseadas em disciplinas e constituídas de conhecimentos

proposicionais. Em seguida, ou durante essas aulas, eles vão estagiar para

“aplicarem” esses conhecimentos. Enfim, quando a formação termina, eles começam

a trabalhar sozinhos, aprendendo seu ofício na prática e constatando, na maioria

das vezes, que esses conhecimentos proposicionais não se aplicam bem na ação

cotidiana. (WIDEEN et alli, 1998 apud TARDIF, 2006, p.270)


Página 43

Ao final do curso e diante da atuação profissional é que o licenciado começa a

perceber a necessidade do conhecimento da prática para o ofício, e começa a se

moldar professor conforme sua experiência cotidiana em sala de aula, e percebe

que têm que lidar com diversas situações no cotidiano escolar para as quais sua

formação não teve contribuição efetiva, conforme descreve MOREIRA e DAVID

(2010) “Frequentemente os licenciados se veem diante do problema de desenvolver

sua ação pedagógica em sala de aula a partir de uma formação que não lhes

proporcionou acesso à discussão de uma série de questões fundamentais na prática

escolar”.

Nessa perspectiva, muitos trabalhos acerca da formação docente apontam para a

necessidade de repensar os currículos e as práticas adotadas em cursos de

licenciaturas, de forma que essa formação seja baseada nos conhecimentos da

profissão como sugere TARDIF (2006) “Se o trabalho dos professores exige

conhecimentos específicos a sua profissão e dela oriundos, então a formação de

professores deveria, em boa parte, basear-se nesses conhecimentos”.

É evidente que não se trata de abandonar os conhecimentos específicos da área em

que o licenciando vai atuar, afinal um bom domínio dos conteúdos também é

essencial para a formação de um bom professor e para uma boa prática de ensino,

conforme afirma TARDIF (2006) “O professor ideal é alguém que deve conhecer sua

matéria, sua disciplina e seu programa, além de possuir certos conhecimentos

relativos às ciências da educação e à pedagogia e desenvolver um saber prático

baseado em sua experiência cotidiana com os alunos.”

No entanto, tomando como exemplo a Licenciatura em Matemática é notável o fato

de que muitos dos conhecimentos que são abordados e aprofundados no curso não

são objetos de estudo da educação básica, enquanto os tópicos da educação básica

são abordados de forma superficial. Muitas vezes se considera que o licenciando já

possui os conhecimentos da educação básica e, portanto, os conhecimentos

abordados na graduação devem fazer parte de uma Matemática mais sofisticada,

conforme BICUDO e GARNICA (2011):


Página 44

Nos textos Matemáticos de cursos universitários típicos do presente de uma

civilização ocidental, por exemplo, percebe-se com mais facilidade a onipresença da

formalização. Dificilmente, porém, serão encontradas, no trabalho cotidiano do

professor da escola elementar, formalizações sofisticadas do ponto de vista

matemático. (BICUDO, GARNICA, 2011, p.93)

Entre as dificuldades encontradas pelo licenciado em Matemática quando vai atuar

em sala de aula, que é decorrente da prática adotada nas licenciaturas, é o fato que

a matemática escolar difere em muitos aspectos do formalismo adotado na

graduação, conforme descrevem MOREIRA e DAVID (2010)

A formação matemática na licenciatura, ao adotar a perspectiva e os valores da

Matemática Acadêmica, desconsidera importantes questões da prática docente

escolar que não se ajustam a essa perspectiva e a esses valores. As formas de

conhecimento matemático associado ao tratamento escolar dessas questões não se

identificam – algumas vezes chegam a se opor – à forma com que se estrutura o

conhecimento matemático no processo de formação. Diante disso, coloca-se

claramente a necessidade de um redimensionamento da formação matemática na

licenciatura, de modo a equacionar melhor os papéis da Matemática Científica e da

Matemática Escolar nesse processo. (MOREIRA, DAVID, 2010, p.103)

O formalismo matemático adotado na licenciatura em Matemática, de certa forma

cria a expectativa de que a Matemática escolar também necessita desse formalismo,

e por vezes, o professor tende a aplicá-la na Educação Básica. Essa situação é

ratificada por MOREIRA e DAVID (2010):

No limite, a educação matemática na escola acabaria se reduzindo ao ensino de

Matemática Acadêmica, adaptada às condições escolares. Uma formação profunda

para o professor se reduziria, então, ainda segundo essa concepção, ao domínio da

Matemática Acadêmica não elementar, ou seja, à internalização dos seus valores,

conceitos, técnicas, métodos, concepções, formas de pensamento etc. Desse modo,

a Matemática Acadêmica e seus valores se estabelecem de forma natural como

centro de gravidade da formação profissional do professor; deslocam-se para a


Página 45

“periferia” desse processo as questões referentes à prática pedagógica efetiva na

escola e à própria cultura escolar.”(MOREIRA, DAVID, 2010, p.35)

Currículos de Licenciatura em Matemática do IFRS

Conforme já descrevemos, o IFRS possui três campi – Bento Gonçalves, Caxias do

Sul e Ibirubá – que oferecem Licenciatura em Matemática. Verificamos que os

cursos não seguem uma mesma grade curricular, cada campus tem seu próprio

projeto de curso e sua grade curricular. Dessa forma, os currículos serão descritos

por campus, e as disciplinas da grade curricular serão agrupadas em três categorias:

formação específica, formação geral, formação pedagógica.

Na categoria formação específica serão consideradas todas as disciplinas

ministradas nos cursos que tratam do conhecimento matemático, ou seja, refere-se

ao domínio do conteúdo específico da área, como as disciplinas de Cálculo e

Álgebra.

Na categoria formação pedagógica serão contabilizadas as disciplinas que tratam de

questões relacionadas ao trabalho docente e a rotina escolar, como no caso dos

estágios, da legislação e da didática.

Na categoria formação geral serão agrupadas as disciplinas do curso que não

atendem a formação específica e que também não fazem parte da formação

pedagógica, como por exemplo Língua Portuguesa e Libras.

Campus Bento Gonçalves

A grade curricular da Licenciatura em Matemática oferecida pelo IFRS campus

Bento Gonçalves é composta de 2810 horas. O curso tem oferta noturna com

duração de oito semestres. A carga horária do curso é distribuída da seguinte forma.

Categorias Carga horária Percentual do curso

Formação Específica 1470 53%


Página 46

Formação Pedagógica 1020 36%

Formação Geral 120 4%

Atividades

Complementares

200 7%

Tabela 1: Carga horária da Licenciatura em Matemática do Campus Bento

Gonçalves

Campus Caxias do Sul





Atividades

Complementares

200 7%

Tabela 2: Carga horária da Licenciatura em Matemática do Campus Caxias do Sul

O curso de Licenciatura em Matemática oferecido pelo IFRS Campus Caxias do Sul

tem oferta noturna com carga horária total de 3050 horas distribuídas em oito

semestres. A carga horária do curso é distribuída da seguinte forma.

Campus Ibirubá

O curso de Licenciatura em Matemática oferecido pelo IFRS Campus Ibirubá

também tem oferta noturna e duração de oito semestres com total de 2990 horas. A

carga horária do curso é distribuída da seguinte forma.





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Atividades

Complementares

200 7%

Tabela 3: Carga horária da Licenciatura em Matemática do Campus Ibirubá.

Resumidamente, o que se percebe é que, embora as grades curriculares sejam

diferentes, os três cursos têm duração de oito semestres com cargas horárias bem

próximas. Além disso, nota-se que a distribuição da carga horária do curso entre as

três categorias que citamos é bem parecida, prevalecendo em torno de 50% da

carga horária para a formação específica de matemática.

Cabe ressaltar também que dentro da carga horária de formação pedagógica estão

contabilizadas todas as horas destinadas aos estágios. Outro fato que não é

percebido na tabela apresentada, mas que foi observado na distribuição da grade

curricular dos cursos, é que as práticas de ensino nos três cursos iniciam-se a partir

do 5º semestre, ou seja, o contato com a escola e a sala de aula, em que o

licenciando tem suas primeiras experiências como professor, só ocorre na metade

final destes cursos de licenciatura.

Considerações finais

Este artigo apresentou um breve relato sobre a grade curricular dos cursos de

licenciatura em Matemática oferecidos pelo IFRS. Embora existam diversos estudos

que apontem para a reformulação dos currículos das licenciaturas, enfatizando a

importância de se abordar conhecimentos diretamente ligados a profissão docente, o

que se observa nos currículos oferecidos, pelo menos no que diz respeito à grade

curricular, é que ela se aproxima muito do modelo utilizado desde o século passado.

Primeiramente, observa-se o caráter disciplinar dos cursos, com metade da carga

horária destinada à formação específica, abrangendo disciplinas que muitas vezes

não têm relação nenhuma com a Matemática trabalhada na escola básica. Além

disso, essa prática disciplinar se contrapõe a diversos estudos que apontam para a


Página 48

interdisciplinaridade e o trabalho integrado na Educação Básica, o que também

deveria ocorrer nos cursos de formação de professores.

Nos IF os cursos de licenciaturas são discutidos e organizados, de forma geral, por

professores da área. Por exemplo, o projeto de curso para uma licenciatura em

Matemática é discutido e formulado pelos professores de Matemática do Campus

onde o curso será implantado. Diante disso, verifica-se que esses cursos devem

trazer muito das experiências pessoais desses docentes, incluindo a que obtiveram

na sua formação inicial. Portanto, o caráter disciplinar, a alta carga horária para

formação específica, o contato com a escola e a sala de aula a partir do 5º semestre,

são fatores que evidenciam isso, uma vez que estes cursos seguem um padrão, um

modelo parecido com o de outras instituições.

A questão que fica é como saber se esses cursos estão adequados à formação que

se espera de um docente de Matemática nos dias de hoje? E se não estão, que

alterações precisam ser realizadas? É uma questão difícil, de um lado sabe-se que a

formação específica de matemática não é suficiente para formação do professor,

são necessários outros saberes ligados à profissão docente e à escola. De outro

lado, reconhecemos que as deficiências no ensino de matemática são grandes, e já

começam na educação básica. Portanto, um professor com sólida formação

específica é importante. No entanto, aumentar carga horária das licenciaturas

parece algo impensável; em muitos casos, essa carga horária tem sido reduzida,

cursos que antes tinham duração de oito semestres, têm reduzido este tempo para

sete ou seis semestres. Outro fato, é a baixa procura pelos cursos de licenciaturas,

dada à desvalorização da profissão docente na sociedade atual.

Diante do exposto, verifica-se a necessidade de buscar mais bases teóricas e

aprofundar as discussões, a fim de buscar alternativas que contribuam para

solucionar essas questões.


Página 49

Referências

BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; GARNICA, Antônio Vicente Marafioti. Filosofia

da Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2011.

BRASIL. Lei Nº 11.892 de 29 de dezembro de 2008.

GATTI, Bernardete Angelina; BARRETTO, Elba Siqueira de Sá; ANDRÉ, Marli Eliza

Dalmazo de Afonso. Políticas docentes no Brasil: um estado da arte. Brasília:

UNESCO, 2011.

MOREIRA, Plínio Cavalcanti; DAVID, Maria Manuela M.S. A formação matemática

do professor: licenciatura e prática docente escolar. Belo Horizonte: Autêntica,

2010.

TARDIF, Maurice. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes,

2006.

Sites consultados

Grade curricular da Licenciatura em Matemática do IFRS Campus Bento Gonçalves.

<http://www.bento.ifrs.edu.br/site/conteudo.php?cat=44&sub=79> acesso em

03.01.14

Grade curricular da Licenciatura em Matemática do IFRS Campus Caxias do Sul

<http://www.caxias.ifrs.edu.br/site/conteudo.php?cat=12&sub=29> acesso em

03.01.14

Grade curricular da Licenciatura em Matemática do IFRS Campus Ibirubá

<http://www.ibiruba.ifrs.edu.br/site/conteudo.php?cat=30&sub=95> Acesso em

03.01.14

http://www.bento.ifrs.edu.br/site/conteudo.php?cat=44&sub=79

http://www.caxias.ifrs.edu.br/site/conteudo.php?cat=12&sub=29

http://www.ibiruba.ifrs.edu.br/site/conteudo.php?cat=30&sub=95


Página 50

A matemática no ensino de alunos especiais em classes regulares: um estudo de leis, metodologias e diferentes realidades

Mariani Pereira Rigotti1 Andréia Goldani2

Resumo: O presente trabalho procura refletir e compreender o ensino e a metodologia da matemática para o aluno especial inserido na classe regular. Para esta pesquisa foi utilizado dados de uma escola municipal de Santo Antônio da Patrulha e opiniões dos docentes da instituição. A escola é considerada uma das pioneiras na educação inclusiva da rede regular de ensino do local. Constatar também a obrigatoriedade do acesso, permanência e das condições favoráveis garantidas em lei para todos os portadores de necessidades especiais. Palavras-chave: Classe regular – inclusão – Leis – metodologia - Matemática. Abstract: This paper aims to understand and think over the mathematics’ teaching and methodology offered to students with special needs included in regular classes; it also aims to confirm the obligatoriness of access, permanence and favorable conditions ensured by law to all people with special needs. This research used data from a school situated in Santo Antônio da Patrulha and its teachers’ opinions. The school is considered one of the pioneers in inclusive educations of the regular educational system in the region. Key-words: Regular class – inclusion – Law – methodology - Mathematics.

Um olhar sobre o tema

O trabalho realizado visou compreender a metodologia usada no ensino da

matemática para alunos portadores de necessidades especiais em classes

regulares. O que os alunos precisam para adquirir o conhecimento com mais

facilidade e de que maneira se pode, enquanto educador, proporcionar a eles um

aprendizado satisfatório?

Muitas escolas, de redes municipais e estaduais, não participam da lei da inclusão e

os fatores para que esse acontecimento permaneça são diversos: há falta de

infraestrutura nas escolas, falta de qualificação no quadro de professores, falta de

investimentos para que tais dificuldades sejam solucionadas e muitas vezes falta de

informação da família, para exigirem os seus direitos.

1 Acadêmica do curso de licenciatura em Matemática 2 Professora orientadora


Página 51

A melhor maneira de descobrir qual metodologia deve ser usada, é perguntando a

quem trabalha diariamente e diretamente com ela. Essa realidade exige cuidado,

carinho e paciência para que o aprendizado seja efetivo e não uma mera execução

do que mandam os parâmetros curriculares.

Esse tema foi escolhido pela necessidade da conscientização dos educadores, pois

os mesmos devem estar preparados para receber em suas salas de aula, alunos

portadores de necessidades especiais e saberem transmitir a eles de forma

adequada o conhecimento que precisam. Segundo Nardi 2009:

Existem muitos obstáculos que impedem que a política da inclusão aconteça

plenamente em nosso cotidiano. Entre estes, o principal, sem dúvida, é o

despreparo dos professores do ensino regular para permitir que a real inclusão

aconteça em suas salas de aula. (2009, p.135)

Dentre muitos objetivos que levou a esta pesquisa, destaco alguns considerados

fundamentais para sua realização.

De início conhecer profundamente o trabalho realizado com alunos portadores de

necessidades especiais, e a formação que os educadores têm para ensinar a estas

crianças, pois assim como qualquer outro aluno, requerem um olhar diferenciado.

Essa pesquisa quer compreender qual a melhor metodologia para ser trabalhada

neste âmbito e deixar mais claro os direitos que a família e a criança possuem.

Um “debate” sobre o problema de pesquisa e suas transversalidades

A problemática deste projeto proporcionou outra visão sobre o que é educação

especial. Para iniciar este “debate” apresenta-se alguns dados relevantes sobre a

educação inclusiva.

A partir de 1990, o tradicional ensino regular brasileiro iniciou o processo de inclusão

de alunosportadores de deficiência em classes de ensino regular e daí vem se


Página 52

movimentando no sentido depromover mudanças estruturais capazes de propiciar a

implantação eficaz da Educação Inclusiva.

Hoje todas as escolas regulares de acordo com a lei deveriam ter classes inclusivas

para os portadores de necessidades especiais, pois é um direito assegurado na

Constituição da República Federativa do Brasil, que na sua Lei nº 7.853/89 diz:

Dispõe sobre o apoio às pessoas portadoras de deficiência e sua integração social.

Define como crime recusar, suspender, adiar, cancelar ou extinguir a matrícula de

um estudante por causa de sua deficiência, em qualquer curso ou nível de ensino,

seja ele público ou privado. A pena para o infrator pode variar de um a quatro anos

de prisão, mais multa. (1989)

O direito à educação3: Lei nº 9.394/96 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação:

A pessoa com deficiência tem direito a educação pública e gratuita assegurada por

lei, preferencialmente na rede regular de ensino e, se for o caso, a educação

adaptada as suas necessidades em escolas especiais.

É garantido serviço de apoio especializado, na escola pública regular, para atender

ao aluno com deficiência.

O Poder Público, havendo necessidade, é obrigado a equipar a escola, visando o

eficaz atendimento da pessoa com deficiência.

Asseguram o seu acesso à educação especial para o trabalho, tanto em instituição

pública quanto privada, que lhe proporcione efetiva integração na vida em

sociedade. Nesse caso, as instituições são obrigadas a oferecer cursos de formação

profissional de nível básico, condicionando a matrícula da pessoa com deficiência a

sua capacidade de aproveitamento e não ao seu nível de escolaridade. Ainda

deverão oferecer serviços de apoio especializados para atender as peculiaridades

da pessoa com deficiência, como adaptação de material pedagógico, equipamento e

3 Texto baseado na Legislação Brasiliera – Educação especial.

http://portal.mec.gov.br/seesp/arquivos/pdf/lei7853.pdf


Página 53

currículo; capacitação de professores, instrutores e profissionais especializados;

adequação dos recursos físicos, como eliminação de barreiras ambientes e de

comunicação.

A pessoa com deficiência, como qualquer cidadão tem direito a educação superior,

tanto em escolas pública quanto privada, em todas as suas modalidades.

Decreto Federal n˚ 3.289/99

O aluno com deficiência tem direito aos mesmos benefícios conferidos aos demais

alunos, inclusive material escolar, transporte, merenda escolar e bolsasde estudos.

As instituições de ensino devem oferecer adaptações de acordo com as

características das pessoas com deficiência. Nesse caso, a pessoa com deficiência

deve solicitar tais adaptações previamente.

Decreto nº 6.571/2008: Dispõe sobre o Atendimento Educacional Especializado

(AEE)

A União prestará apoio técnico e financeiro para alunos com deficiência, transtornos

globais do desenvolvimento e altas habilidades ou superdotados, matriculados na

rede pública do ensino regular. Considera-se atendimento educacional especializado

o conjunto de atividades, recursos de acessibilidade e pedagógicos organizados

institucionalmente, prestado de forma complementar ou suplementar à formação dos

alunos no ensino regular. As salas de recursos multifuncionais são ambientes

dotados de equipamentos, mobiliários e materiais didáticos e pedagógicos para a

oferta do atendimento educacional especializado.

Resolução nº 4, de 02 de outubro de 2009

Os sistemas de ensino devem matricular os alunos com deficiência, transtornos

globais do desenvolvimento e altas habilidades/superdotados nas classes comuns

do ensino regular e no Atendimento Educacional Especializado (AEE), ofertado em

salas de recursos multifuncionais ou em centros de Atendimento Educacional


Página 54

Especializado da rede pública ou de instituições comunitárias, confessionais ou

filantrópicas sem fins lucrativos.

Para fins destas Diretrizes, considera-se público-alvo do AEE: I – Alunos com

deficiência: aqueles que têm impedimentos de longo prazo de natureza física,

intelectual, mental ou sensorial. II – Alunos com transtornos globais do

desenvolvimento: aqueles que apresentam um quadro de alterações no

desenvolvimento neuropsicomotor, comprometimento nas relações sociais, na

comunicação ou estereotipias motoras. Incluem-se nessa definição alunos com

autismo clássico, síndrome de Asperger, síndrome de Rett, transtorno desintegrativo

da infância (psicoses) e transtornos invasivos sem outra especificação. III – Alunos

com altas habilidades/superdotados: aqueles que apresentam um potencial elevado

e grande envolvimento com as áreas do conhecimento humano, isoladas ou

combinadas: intelectual, liderança, psicomotora, artes e criatividade.

Para atuação no AEE, o professor deve ter formação inicial que o habilite para o

exercício da docência e formação específica para a Educação Especial.

Implicações da pesquisa

Tendo conhecimento da negação de algumas escolas sobre incluir crianças

especiais, mesmo com as referidas leis, se foi à busca de uma escola oposta. A

resposta para o problema de pesquisa foi em parte encontrada na Escola Antônio

Laureano da Cunha Filho, situada no município de Santo Antônio da Patrulha, onde

se realizou uma entrevista com a professora de matemática acerca das dificuldades

enfrentadas e a metodologia usada para com os alunos especiais.

Antes de citar o produto da entrevista, far-se-á um breve relato do espaço físico da

escola: o ambiente apresenta uma estrutura adequada para todos os alunos que ali

estudam e principalmente para aqueles que necessitam de uma geografia e

condições diferenciadas. O banheiro é adaptado, há salas com rampas e material de

apoio em caso de dificuldade de aprendizagem, ou falta de visão, por exemplo.


Página 55

Existe também uma sala multifuncional, que trabalha com diferentes métodos

pedagógicos para auxiliar no desenvolvimento dos alunos.

Em uma conversa com a professora de matemática da escola, ela relatou como

acontece o processo de inclusão na rede regular e respondeu a algumas perguntas:

Segundo a professora “a inclusão é algo familiar, pois a escola segue esta política e

procura realmente incluir aqueles que precisam”. Percebe-se, pela conversa com a

professora que todos participam de um processo de conscientização para melhor

atendê-los. A mesma relatou que “a escola oportuniza aos professores, quando

possível, capacitação continuada, para que estejam melhores preparados para o

trabalho”.

Após algum tempo de conversa e apesar do esforço e do comprometimento de

todos os envolvidos neste processo de inclusão a professora relatou, ainda, “que a

inclusão é um processo difícil, que deveria ter mais suporte pedagógico e mais

recursos humanos, contudo a escola procura proporcionar um bom ambiente de

estudo para todos”.

Outra pergunta feita a professora foi sobre a metodologia usada no ensino da

matemática para estes alunos com necessidades especiais. Ela relatou que “há uma

adaptação curricular para cada tipo de dificuldade, para um melhor desenvolvimento

dos alunos. Conta-se também com o apoio de psicopedagogas que auxiliam o

trabalho do professor na sala de aula”. E quanto ao relacionamento com os demais

colegas e professores, ela comentou que “é muito bom, que todos são solidários

quando notam que algum colega tem uma dificuldade a mais e que procuram

sempre ajudar e estimular aquele que precisa”.

Quando necessário é utilizado à sala multifuncional, onde segundo a professora

entrevistada, “existem vários jogos pedagógicos e de testagem, que as

psicopedagogas podem utilizar com as crianças”. Dentro dos recursos

disponibilizados para escola, eles estão sempre procurando adquirir algo para esta

sala.


Página 56

Aponta-se também alguns relatos de uma segunda professora que trabalha há

bastante tempo com inclusão. A mesma enfatiza que “o processo das crianças

especiais é mais lento e que a aprendizagem é uma conquista dia-a-dia”.

Pode-se observar que a sua metodologia para o ensino da matemática é baseada

no pressuposto do concreto. Segundo a mesma “o uso de objetos concretos, ao

manusear o aluno vai aprendendo as primeiras noções da disciplina. A maioria dos

meus alunos gosta de realizar operações e trabalhar com os números”.

Analisando a metodologia da professora, que parte do concreto, a brincadeira, como

algo concreto, pode ser um ótimo recurso a contribuir no aprendizado do aluno

especial. Neste sentido, VYGOTSKY (1998. p.15) afirma que “a arte de brincar pode

ajudar a criança com necessidades educativas especiais a desenvolver-se, a

comunicar-se com os que a cercam e consigo mesma.”

Através dos jogos, brincadeiras e materiais concretos a criança com deficiência pode

desenvolver a imaginação, a confiança, a autoestima, o autocontrole e a

cooperação. Os jogos e brincadeiras proporcionam o aprender fazendo, o

desenvolvimento da linguagem, o senso de companheirismo e a criatividade, além

de facilitar a aquisição do conhecimento.

Apesar das dificuldades e talvez, da demora dos resultados, cada conquista deve

ser sempre valorizada, para não desestimular o apreço do aluno pelo conhecimento,

por menor que seja ele. Deve-se proporcionar condições para que a sua maneira, a

aprendizagem vá se tornando efetiva. Neste contexto, Nardi (2009, p. 135) afirma

que: “Além disso, considerando que incluir transcende uma integração, por meios

físicos, ou seja, incluir é, sobretudo, disponibilizar aos alunos possibilidades de

dominar um saber real e não transitório.”

Considerar as dificuldades e progressos do aluno faz parte do processo ensino

aprendizagem, assim como a observação direta que é um ponto crucial para a

estimativa do estudante. Confirmando essa ideia a professora entrevistada ressalta


Página 57

que “são as anotações dos avanços e retrocessos que vão norteando seu trabalho

em aula”, relatando também sobre a questão da avaliação.

Constata-se que a inclusão é um processo demorado e de muito estudo. E que

ainda hoje precisa quebrar as barreiras do preconceito, pois de que adianta

“formalmente” a inclusão ser feita, se no momento de incluir mesmo, há despreparo

para tal? Os alunos com deficiência acabam por serem excluídos, mesmo estando

em um sistema, dito, de inclusão. Para SASSAKI (1997, p. 41),

Inclusão é um processo pelo qual a sociedade se adapta para poder incluir em seus

sistemas sociais gerais, pessoas com necessidades e simultaneamente, estas se

preparam para assumir seus papéis na sociedade.

Considerando que a escola deve preparar o aluno para a vida e ensinar, dentro das

suas condições aquilo, que acrescentará na sua formação enquanto cidadão ativo

da sociedade.

“O ensino revendo esta frase deve se adaptar as necessidades dos alunos, ao invés

de ser ao contrário, ou seja, o aluno adaptar-se aos paradigmas preconcebidos a

respeito do ritmo e da natureza dos processos de aprendizagens.” (Nardi, p.136)

A metodologia para ser eficaz precisa de embasamento, de recursos materiais e

humanos, de apoio e boa estrutura para que na disciplina da matemática e em todas

as outras áreas do conhecimento o ensino proporcione a autonomia e a

independência de que os alunos portadores de necessidades especiais precisam

para terem a uma aprendizagem de qualidade, que contribua na sua vida

diariamente, pois merecem e tem direito dela. Pensando no processo de inclusão

nas escolas, FONSECA (1995, p.136) afirma que: “acredito que é preciso preparar

todos os professores com urgência, para se obter sucesso na inclusão.”

Neste contexto, pensa-se que para a inclusão se dar como um todo e a assimilação

do aluno especial acontecer efetivamente, é necessário mais do que só o preparo

dos professores, é preciso que ocorra uma mudança interna de todas as pessoas. A


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conscientização acerca do que é incluir começa em casa, vai à escola, passa pela

sociedade e pela vida da criança. Além disso, mais importante que verificar os

resultados obtidos na escola enquanto conteúdo é saber se a criança está

socialmente bem inserida nela.

Considerações finais

Considerando que pessoas modificam-se continuamente, transformando o contexto

no qual estão inseridas, esse dinamismo exige uma atuação pedagógica voltada

para alterar a situação de exclusão, reforçando a importância dos ambientes

heterogêneos para a promoção da aprendizagem de todos os alunos.

Ressaltando sempre que se deve respeitar as individualidades e potencialidades

com vistas a valorizar a socialização e a convivência no ambiente escolar. Atender

as necessidades educativas especiais e específicas de cada aluno, favorecendo lhe

o processo de aprendizagem, a integração social à escola para o exercício da

cidadania e seu reconhecimento diante da sociedade.

O plano de estudo da classe especial visa às necessidades específicas do aluno,

considerando sempre como perspectiva a inclusão no ensino regular. Ou seja, a

inclusão no ensino regular acontece, mas ainda é perspectiva para muitas escolas.

Refletindo sobre as práticas de educação e a metodologia usada para o ensino da

matemática na Escola Antônio Laureano, e com os relatos das professoras

entrevistadas, constata-se a partir das entrevistas que os profissionais devem estar

preparados para trabalhar com alunos especiais de maneira lúdica e concreta.

Valorizando seus ganhos e acompanhando os retrocessos para que através da

observação sejam identificadas as maiores dificuldades do aluno, para assim

poderem auxiliar no que for necessário.

Assim, considera-se que a melhor metodologia é aquela adaptada de acordo com a

necessidade de cada um. Pois dois alunos podem ter o mesmo diagnóstico, mas


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com certeza não terão as mesmas dificuldades. Respeitar o ritmo de cada aluno e

não exigir mais do que ele pode oferecer.

Com essa realidade, os cursos de formação de professores devem pensar no

preparo dos futuros docentes com mais atenção. E aqueles que já lecionam devem

procurar cursos para estarem preparados para as diversidades da sala de aula.

Referências

BRASIL. Lei 7.853/1989. Dispõe sobre o apoio às pessoas portadoras de

deficiência, sua integração social, sobre a Coordenadoria para Integração da Pessoa

Portadora de Deficiência – CORDE. Institui a tutela jurisdicional de interesses

coletivos ou difusos dessas pessoas, disciplina a atuação.

________. Lei de Diretrizes e Bases. Lei nº 9.394/96, de 20 de dezembro de 1996.

FONSECA, V. Educação Especial. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.

MAFRA, Sonia Regina C. O lúdico e o desenvolvimento da criança deficiente

intelectual. 2008. http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2444-

6.pdf. Acessado em: 19/04/2012.

NARDI, Roberto (org.). Ensino de Ciências e Matemática I. São Paulo: Unesp,

2009.

SASSAKI, Romeu Kazumi. Inclusão: Construindo uma sociedade para todos. Rio

de Janeiro: WVA, 1991.

Sites consultados:

Constituição da República Federativa do Brasil. 1998. Disponível em,

http://inclusaoja.com.br/legislacao/, aceso em 16/04/2012.

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2444-6.pdf

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2444-6.pdf

http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/constituicao/constitui%C3%A7ao.htm

http://inclusaoja.com.br/legislacao/


Página 60

Estatuto da Criança e do Adolescente – Lei nº. 8.069/90. 1990. Disponível em,

http://inclusaoja.com.br/legislacao/, aceso em 16/04/2012.

FREIRE, Paulo. Citações. Disponível em:

http://pensador.uol.com.br/autor/paulo_freire/, acesso em 16/04/2012.

http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/Leis/L8069.htm

http://inclusaoja.com.br/legislacao/

http://pensador.uol.com.br/autor/paulo_freire/


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Triângulo: um estudo das suas principais propriedades e elementos

Natasha Roberta Aguiar Lopes1 Luiza Elizabeta Bohlke Vasconcelos2

Resumo: Este ensaio fará uma breve explanação sobre a forma geométrica triângulo, um dos polígonos mais importantes e presentes em nosso cotidiano, iniciaremos justificando o motivo do estudo para na continuidade apresentarmos os principais elementos e propriedades dos triângulos, suas classificações, os casos de congruências, as cevianas mais conhecidas e seus pontos notáveis, explicando alguns teoremas básicos para uma melhor compreensão sobre o tema. Palavras-chave: Triângulo – Congruência – Ceviana. Abstract: This article will give a brief explanation of the geometric shape triangle, one of the most important and present in our everyday polygons begin justifying the reason for the continuation of the study presenting the main features and properties of triangles, their ratings, cases of congruence, the best known cevianas and their remarkable points, explaining some basics to a better understanding of the topic theorems. Keywords: Triangle - Congruence – Ceviana.

Introdução: por que estudar triângulos?

Durante a evolução humana, o triângulo sempre se fez presente quando se tratava

do estudo das formas, aparecendo desde a antiguidade em projetos arquitetônicos,

cadernos de agrimensura e etc.

Com o passar do tempo diversas descobertas sobre este importante polígono foram

sendo feitas, relações tão perfeitas que surpreendiam até mesmo os maiores

geômetras.

Este ensaio tem como objetivo apresentar o triângulo, suas propriedades e

elementos mais importantes, buscando ser sucinto, mas sem deixar de trazer

informações importantes sobre o assunto.

1 Acadêmica do curso de licenciatura em Matemática – FACOS/CNEC. 2 Professora orientadora.


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Fatos básicos sobre triângulos

Definição e elementos

Triângulo é a reunião de todos os pontos do plano contidos dentro da região

delimitada por três segmentos de reta não colineares, denominados lados, que se

interceptam duas a duas, formando ângulos internos, em três pontos distintos

denominados vértices.

Na figura 1, temos:

A, B e C são vértices,

α, β e γ são os ângulos internos,

α', β’ e γ’ são os ângulos externos, suplementares ao ângulo interno adjacente.

a, b e c são os lados, ou seja, os segmentos BC, AC e AB respectivamente

O triângulo é o polígono com menor número de lados, apenas três, e também três

ângulos. Não possui diagonais, já que a definição de diagonal a classifica como

segmento de reta que une ângulos não consecutivos de um polígono, e no triângulo

todos os ângulos são consecutivos.


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Existe uma condição de existência para triângulos baseada no comprimento de seus

lados, na qual é explícito que um lado sempre tem que ser menor do que a soma

dos outros dois e maior que o módulo da diferença (MORGADO, WAGNER e

JORGE, 1990). Ou seja:

|b-c| < a < b+c

|a-c| < b < a+c

|b-a| < c < b+a

De fato, se imarginarmos o ponto B (ver figura 1) como um corpo que se move

aspirando chegar em C, considerando somente os lados do triângulo como trajetória

possível, teremos o segmentos BC como o percurso mais curto, já que o outro

percurso disponível seria BA+AC, que é maior que BC.

É importante esclarecer que neste ensaio, por motivos de conveniência e visando

facilitar a visualização, simularemos os triângulos apenas pelo contorno de seus

lados, sem preencher toda a figura, criando assim regiões triangulares, mas com o

intuíto de representar triângulos.

Propriedades

Triângulos possuem certas propriedades importantes que devem ser observadas:

Com três pontos distintos podemos formar um único triângulo, desde que ao

menos um dos pontos não seja colinear aos outros dois.

A Soma dos ângulos internos é sempre 180º.

Podemos visualizar a efetividade desta propriedade ao observarmos o triângulo

AB’C (figura 2) como uma projeção do triângulo ABC, e r como uma reta auxiliar

traçada sobre o segmento BC. Como c e c’ são segmentos paralelos, temos que α =

θ; bem como β = φ, pois são ângulos alternos. Ficamos então com as seguintes

igualdades:


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γ + φ + θ = 180º

γ + β + α = 180º

Qualquer ângulo externo é congruente a soma dos ângulos internos não

adjacentes a ele.

Ainda na figura 2, temos que μ + α = 180º e que α + β + γ = 180º, logo, podemos

efetuar a seguinte igualdade: μ + α = α + β + γ , diminuindo α dos dois lados,

descobrimos que μ = β + γ, como queríamos demonstrar.

Qualquer ângulo externo é maior do que os ângulos internos a ele não

adjacentes.

A explicação desta propriedade decorre diretamente da propriedade citada

anteriormente, se μ = β + γ, o ângulo externo μ é maior do que os internos β e γ.

Classificação

Classificação quanto aos lados

Denominação

Ilustração

(Quantidade iguais de

traços representam

lados iguais)

Descrição

Figura 2 Fonte: próprio Autor


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Triângulo Equilátero

Os três lados têm a

mesma medida

Triângulo Isósceles

Somente dois lados

possuem a mesma

medida

Triângulo Escaleno

Todos os lados são

diferentes

Classificação quanto aos ângulos

Denominação

Ilustração

(Considere α,α’ e α’’

como ângulos agudos e

β como ângulo obtuso)

Descrição

Triângulo Retângulo

Possui um ângulo interno

de 90º e os outros dois

ângulos internos menores

de 90º.

Triângulo Acutângulo

Possui os três ângulos

internos agudos

(menores que 90º)

Triângulo Obtusângulo

Possui um ângulo interno

obtuso (maior que 90º)

Fonte: próprio autor


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Congruência de triângulos

Um triângulo é congruente a outro se, e somente se, for possível formar uma

correspondência entre seus vértices de modo que as medidas dos lados e dos

ângulos dos dois sejam iguais (BARBOSA, 2003).

A definição apresentada pode parecer óbvia, mas em muitas situações problemas

nós não sabemos a medida de todos os lados e/ou de todos os ângulos, tornando

complicado a visualização, por isso, existem algumas condições mínimas para que

possamos determinar a congruência, são os denominados Casos ou Critérios de

Congruência (DOLCE e POMPEO, 1993).

Lado – Lado – Lado (LLL)

Se dois triângulos têm ordenadamente lados iguais, eles são congruentes.

∆ ABC ≡ ∆ EFG

Lado – Ângulo – Lado (LAL)

Se dois triângulos possuem dois lados congruentes e o ângulo compreendido entre

eles também, então os triângulos serão congruentes.

∆ ABC ≡ ∆ EFG

Além disso, se dois lados são congruentes, então os ângulos opostos a eles também

serão, como é o caso do triângulo isósceles.

Ângulo – Lado – Ângulo (ALA)

Fonte: Próprio Autor



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Se dois triângulos possuem os ângulos adjacentes a um mesmo lado, bem como o

próprio lado, congruentes, então os triângulos são congruentes.

∆ ABC ≡ ∆ EFG

Lado – Ângulo – Ângulo Oposto (LAAo)

Se dois triângulos possuem um lado e um dos ângulos adjacentes e o ângulo oposto

a ele iguais, então os triângulos são congruentes.

∆ ABC ≡ ∆ EFG

Cevianas

Uma ceviana é qualquer segmento de reta que une algum dos vértices do triângulo a

reta suporte do seu lado oposto. Abaixo, listaremos as principais cevianas e suas

características mais interessantes.

Bissetriz interna

Ceviana que divide algum dos ângulos internos do triângulo em outros dois ângulos

iguais. No exemplo abaixo (figura 3), o ângulo α foi dividido em α’ e α’, cada um

medindo α/2, pela bissetriz b.


Figura 3 Fonte: Próprio Autor


Página 68

Teorema: Se P é um ponto pertencente a bissetriz, então a distância de P a ambos

os lados do ângulo é igual (DOLCE e POMPEO, 1993).

Para provar este teorema, é preciso ter em mente que distância é o menor segmento

de reta que une dois elementos, e que no caso de ponto e reta, a distância sempre

será uma perpendicular em relação a reta. Assim, na figura 4 temos uma bissetriz (b)

e o ponto P marcado sobre ela, e as respectivas distâncias (d1 e d2) de P em relação

aos lados do ângulo. Pelo critério de congruência LAAo temos que:

b=b ; α’=α’ e os ângulos opostos de b são ambos retos, portanto iguais. Logo, temos

que as distâncias d1 e d2 são iguais pela congruência LAAo. Como queríamos

demonstrar.

Mediana

Mediana é a ceviana que liga um vértice ao ponto médio do seu lado oposto. (fig. 5).


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Altura

Segmento de reta (h) que liga um vértice a reta suporte do lado oposto formando um

ângulo de 90º. De acordo com a altura, também podemos classificar o triângulo

quanto aos ângulos do seguinte modo: I) Se o ponto de intersecção(H) de h for

sobre o lado oposto, temos um triângulo acutângulo (fig. 6.1). II) Se o ponto de

intersecção(H) de h for no prolongamento do lado oposto, temos um triângulo

obtusângulo(fig. 6.2). III) Se o ponto de intersecção(H) de h for coincidente ao lado

adjacente temos um triângulo retângulo(fig.6.3).

Pontos notáveis do triângulo

Circuncentro

Na maioria das vezes encontramos a definição de circuncentro como o encontro das

mediatrizes (reta perpendicular que intercepta o ponto médio de um segmento) de

um triângulo, contudo, talvez facilite o entendimento também deixar claro que o

circuncentro é um ponto que está a uma mesma distância de todos os vértices.

Teorema: Qualquer ponto C sobre uma mediatriz é equidistante aos extremos do

segmento que ela intercepta (fig. 7) (DOLCE e POMPEO, 1993).

Temos que m é uma mediatriz, M o ponto médio do segmento AB. Pela congruência

LAL, sabemos que os triângulos AMC e BMC são congruentes, pois AM=MB, temos

dois ângulos retos e m=m, logo d1=d2.

Figura 6.3 Fonte: Próprio Autor

Figura 6.2 Figura 6.1


Página 70

Com este teorema prévio, iremos traçar as medianas do triângulo da figura 8 e

observar as seguintes relações: D pertence às três mediatrizes pois está no ponto

de intersecção entre elas, logo, pelo teorema explicitado acima, sabemos que a

distância de D até os vértice são iguais, ou seja g=h=i. D é chamado circuncentro do

triângulo e g,h e i são os cincunraios. A partir de D, conseguimos traçar uma

circunferência circunscrita ao triângulo usando como medida do raio a medida do

circunraio, e perceberemos que os vértices irão pertencer todos a

circunferência(fig.9).


Figura 9


Página 71

Nem sempre o circuncentro está dentro do triângulo(fig. 10), além disso, no caso

especial do triângulo retângulo, o circuncentro sempre será o ponto médio da

hipotenusa(maior lado), o que está de acordo com o teorema que afirma que

qualquer triângulo inscrito na circunferência com um dos seus lados coincidindo com

o diâmetro será retângulo(fig.11).

Incentro

Ponto de intersecção das bissetrizes (ver item 5.1) de um triângulo, que é o centro

de uma circunferência inscrita que é tangente aos três lados do triângulo (Figura 12).

As distâncias do Incentro aos lados são chamadas de inraios.

Baricentro

O encontro das medianas do triângulo é chamado Baricentro, caracteriza-se por

estar localizado sempre a 1/3 do comprimento da mediana em relação ao ponto


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médio do seu lado correspondente. O baricentro(G) é o centro de gravidade do

triângulo.

Uma propriedade interessante da mediana é que ela sempre divide um triângulo em

dois triângulos menores e de mesma área. No caso da figura 13, temos as três

medianas dividindo o triângulo em outros 6 de mesma área.

Ortocentro

Encontro das alturas de um triângulo(H).

A reta de Euler e considerações finais

Uma das relações mais surpreendentes envolvendo triângulos é que o Circuncentro,

o Baricentro e o Ortocentro estão sempre na mesma reta, que recebe o nome de

reta de Euler.


Página 73

A existência de tal reta comprova o quanto a geometria está presente no nosso

mundo, algumas vezes de maneiras que sequer vemos ou imaginamos, mas ainda

assim estabelecendo relações que assombram pela exatidão. Conhecer estas

relações e propriedades dos triângulos nos é útil em muitas áreas, tais como na

engenharia e na física, mas acima de tudo é um complemento do modo como vemos

o mundo concreto ao nosso redor, de uma maneira muito mais organizada, lógica e

bonita.

Referências

BARBOSA, J. L. M. Geometria Eucliana Plana. 6ª. ed. Rio de Janeiro: Sociedade

Brasileira de Matemática, 2003.

DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da Matemática Elementar 9 -

Geometria Plana. 7ª. ed. São Paulo: Atual, 1993.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Geometria I. 5ª. ed. Rio de Janeiro:

Francisco Alves, 1990.


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