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Código da Disciplina: 9EX120 - MATEMÁTICA 1

Como estudar Matemática Você acha possível que alguém consiga resolver mesmo as mais simples equações sem conhecer as 4 operações básicas ( +, - , x e : )? Na Matemática, principalmente, os pré-requisitos são essenciais. É impossível construirmos o “prédio da Matemática” sem as pedras fundamentais ou sem uma estrutura sólida. Caso você sinta dificuldades em algum assunto, o primeiro passo é avaliar se o conceito foi bem compreendido. Se mesmo assim as dificuldades persistirem, é necessário verificar em quais pré-requisitos estão as suas falhas. Para isso, peça a ajuda do seu professor, que é a pessoa que possui uma visão global da Matemática. E no dia-a-dia, procure sempre se lembrar do seguinte: estudar por pouco tempo, todos os dias, sem se cansar, assim, a sua

assimilação e a sua fixação serão bem mais eficazes; deixar que os assuntos se acumulem e estudar somente na véspera das

provas – é a forma mais errada e ineficaz de se estudar! – isto porque exige tempo demais num único dia, estourando o seu potencial de estudos e ultrapassando o seu tempo de concentração.

Faça uma simples analogia: “A sua boa saúde pode ser mantida se você tomar uma única refeição por semana? Ou seja, se comer em um só dia o que você come em 7 (sete) dias?” Intervalos Exercem papel importante, em qualquer ramo de estudo, os subconjuntos de R denominados intervalos. Quaisquer que sejam os números reais a e b, a < b, temos:

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São, também, intervalos os seguintes subconjuntos de R, qualquer que seja o número real a:

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Intersecção, Reunião e Diferença de Conjuntos Vamos lembrar, do ensino do 1° grau, as operações primordiais entre conjuntos. Sejam A e B conjuntos contidos num conjunto universo E. Exemplos:

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Relação e função Como localizar-se Um trecho de anúncio num jornal traz os dizeres: Naturalmente, não é todo mundo que conhece a localização de tal rua. Afinal a Rua Pedro Pomponazzi não é nenhuma Avenida Paulista ( de São Paulo ) ou Avenida Atlântica ( do Rio de Janeiro ) ou Avenida Afonso Pena ( de Belo Horizonte ), conhecidas por muitas pessoas. Então, as pessoas consultam guias e mapas para descobrir a sua posição geográfica. Por exemplo, num determinado guia, encontramos: De acordo com a convenção do guia, a rua de CEP 04115 encontra-se na página 137, nas coordenadas F e 3. Tais coordenadas facilitam a procura e, além disso, dão a posição do logradouro. A Matemática também faz uso de coordenadas (como abscissas e ordenadas), que serão vistas a seguir.

Venha conhecer o conforto total de morar bem num bairro residencial, sem as agitações e as aglomerações

da grande metrópole. R. Pedro Pomponazzi, xyz.

04115 Pedro Pomponazzi 137 F3

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Sistema Cartesiano Ortogonal

Seja α o plano determinado por dois eixos perpendiculares entre si com a

mesma origem 0.

O eixo desenhado na posição horizontal é denominado eixo das abscissas, em geral indicado por 0x. O eixo desenhado na posição vertical é denominado eixo das ordenadas, geralmente denotado por 0y. α é chamado de plano cartesiano ortogonal.

Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais É a correspondência biunívoca entre os pares ordenados de números reais e os

pontos do plano cartesiano ortogonal. Para indicar que P tem abscissa Xp e ordenada Yp, usamos a notação P(Xp;Yp) ou P=(Xp; Yp). O plano cartesiano fica dividido em quatro regiões distintas, denominadas quadrantes.

2º Quadrante 1º Quadrante

3º Quadrante 4º Quadrante

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Exercícios Propostos 1. Localizar no plano cartesiano ortogonal os pontos A(2; 6), B(-4; 5), C(-5; -2), D(4;

-3), E(3; 0), F(0; 4), G(-4; 0) e H(0; -1). 2. Determinar as coordenadas de A, B, C, D, E, F, e H da figura: 3. Determinar o quadrante ao qual pertence cada um dos pontos: (A 2 – 1; - π ), B( 3 – 2; 5 – 2), C(2 – π; 2 – 2) e D( 3 – 1; 3 – π). 4. a) Localizar no plano cartesiano ortogonal os pontos A (-1; 3), B (0; 3), C (2; 3) e

D (5; 3).

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b) O que ocorre com os pontos que tem ordenadas iguais? c) O que ocorre com as ordenadas dos pontos que pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo de abscissas?

5. a) Localizar A(-3; 3), B(-3; 0), C(-3; 4) e D(-3; -2) no plano cartesiano ortogonal. b) O que ocorre com os pontos que tem a mesma abscissa? c) O que ocorre com as abscissas dos pontos pertencentes a uma mesma reta paralela ao eixo de ordenadas?

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Função Função Uma relação f, de um conjunto A num conjunto B, é aplicação (função) de A em B se, e somente se, f associa a todo elemento de A um único elemento de B Numa aplicação f de A em B: A é o conjunto de f; será denotado por D(f); B é o contradomínio de f; será denotado por CD(f); indicando por x um elemento qualquer de A, o seu correspondente y em B é a imagem de x os elementos de B que são imagens dos elementos de A pela f constituem o conjunto imagem de f; será indicado por Im(f); será usada a indicação

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Exercícios Propostos Quais das relações de A em B são funções? Determinação de Domínio de Função

Para a completa caracterização de uma função necessitamos de:

dois conjuntos – u m chamado de domínio e o outro, de contradomínio; uma sentença aberta y = f(x) que a todo x D (f) possibilita o cálculo de um

único y CD(f). Quando uma função f for descrita, apenas, por uma sentença aberta y = f(x), subentendemos que: o domínio é o subconjunto de R, no qual são possíveis as operações indicadas em f(x); o contradomínio é R. Exemplos: a) f ( x ) = x + 3 x - 2 Devemos impor que o denominador não pode ser nulo: x – 2 0 x 2 Portanto, D(f) = { x R / x 2 } = R – {2}.

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b) f ( x ) = 4 2x - 6 Em R, o radicando de uma raiz de índice par não pode ser negativo: 2x – 6 ≥ 0 2x ≥ 6 x ≥ 3 Portanto, D ( f ) = { x R/ x ≥ 3} = [ 3; + ∞] c) f ( x ) = 3 2x - 8 O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser negativo, nulo ou positivo, ou seja, 2x – 8 pode assumir todos os valores reais. Portanto, D ( f ) = R. d) f ( x ) = As operações indicadas em são possíveis se, e só se: Exercícios Propostos Determinar o domínio de cada função: a) b) c)

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Função Constante Uma função f, de R em R, que a todo número x associa sempre o mesmo K é denominada função constante de valor k.

f : R → R x → y = k

É claro que: Im( f ) = { k }. Costumamos dizer, de forma abreviada, que a função constante de valor k é a função definida por y = k ou por f( x ) = k, ficando subentendido que o domínio e R. Exemplos: a) f( x ) = 3 é função constante de valor 3.

Observemos que : qualquer que seja o número que colocarmos no lugar de x, a imagem será sempre 3. Assim:

f (2) =3 f (1) = 3 f ( 2 ) = 3 f (-4) = 3 f (-3) = 3 f (0,666...) = 3 b) f (x) = -2 é função constante de valor –2. c) f (x) = 0 é função constante nula. Gráfico Cartesiano Seja dada a função f (x) = k, de domínio R. Atribuindo alguns valores a x, temos: Os pontos do gráfico de f (x) = k têm a mesma ordenada k; portanto, o gráfico de f (x) = k é a reta paralela ao eixo das abscissas que passa por (0; k).

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Função Linear Uma função f, de R em R, que a todo número x associa o número ax, com a real não-nulo, é denominada função linear.

f : R → R x → y = ax, a ≠ 0

Costumamos dizer, de forma abreviada, que função linear é a função definida por y = ax, a 0, ou por f (x) = ax, a 0, ficando subentendido que o domínio é R. Exemplos:

a) y = 3x, onde a = 3 b) y = -2x, onde a = -2 c) y = x, onde a =1

Na função linear f (x) = ax, a é denominado coeficiente angular ou declividade

do gráfico de f. Gráfico Cartesiano Inicialmente, notemos que o gráfico cartesiano de qualquer função linear y = ax, de domínio R, passa pela origem, pois x = 0 y = 0 Agora, vamos analisar alguns exemplos:

a) y = 3x, de domínio R. Construindo uma tabela de valores, temos:

Observamos que o gráfico é uma reta; considerando que ela passa pela origem e que dois pontos distintos determinam uma única reta, basta atribuir a x um valor não-nulo e obter o correspondente valor de y para a construção do gráfico de qualquer função linear.

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b) y = -2x, de domínio R. Usando o procedimento prático descrito no exemplo anterior, temos: x = 1 → y = - 2

Os exemplos analisados nos mostram que o gráfico cartesiano de uma função linear y = ax, de domínio R, é uma reta que passa pela origem e pelos 1° e 3° quadrantes para a > 0 ou pelos 2° e 4° quadrantes para a < 0. Função Crescente e Função Decrescente Consideremos as funções f (x) = 2x e g (x) = - 2x, de domínio R, e analisemos o que ocorre com as imagens quando aumentamos os valores de x.

a) f (x) = 2x

X -2 -1 0 1 2 Y = -2x -4 -2 0 2 4

Aumentando os valores de x, as imagens correspondentes também aumentam. Dizemos que: f (x) = 2x é crescente em R.

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b) g (x) = -2x

X -2 -1 0 1 2 Y = -2x 4 2 0 -2 -4

Aumentando os valores de x, as imagens Correspondentes diminuem. Dizemos que: g (x) = -2x é decrescente em R. Função Afim Uma função f, de R em R, que a todo número x associa o número ax + b , com a ≠ 0 e b reais, é denominada função afim ou função polinomial do 1° grau.

F : R → R X → y = ax + b, a ≠ 0

Costumamos dizer, de forma abreviada, que função afim é a função definida por y = ax + b, a 0, ou por f (x) = ax + b, a 0, ficando subentendido que o domínio é R. Exemplos:

a) y = 3x + 2, onde a = 3 e b = 2 b) y = 2 – 4x, onde a = -4 e b = 2

c) y = - 2x – 6 , onde a = - 2 e b = -6

3 3

d) y = 2x, onde a = 2 e b = 0

Na função afim f (x) = ax + b, a é o coeficiente angular ou declividade, e b é o coeficiente linear do gráfico de f.

Uma função afim é caracterizada pelos valores de a e de b. Assim, consideradas as funções polinominais do 1° grau f (x) = ax + b e g (x) = mx + n, de R em R, temos:

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f = g (a = m (não-nulos) e b = n) f g (a m ou b n ) Raiz ou Zero Um número r D(f) é raiz ou zero de uma função f se, e somente se, f(r) = 0. Para uma função afim f (x) = ax + b, a raiz é obtida, resolvendo-se a equação f (x) = 0; ax + b = 0 ax = -b x = - b a Exemplo: A raiz ou o zero de f (x) = - 2x + 7 é dada por: - 2x + 7 = 0 x = 7 2 Estudo do Sinal Estudar o sinal de uma função f de domínio D (f) R significa descobrir os valores de x para os quais f (x) < 0 ou f (x) = 0 ou f (x) > 0 Para uma função afim f (x) = ax + b, de domínio R, analisando pelo gráfico, temos: x > - b → f (x) tem o mesmo sinal de a; a x < - b → f (x) tem o sinal contrário ao de a; a

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x = - b → f (x) = 0. a Podemos esquematizar o sinal da função afim f (x) = ax + b assim: Inequação do 1° grau na variável real x é toda inequação redutível à forma ax + b > 0 ou ax + b < 0 ou ax + b 0 ou ax + b 0 onde a 0 e b são números reais. Exercícios de Fixação ( Feitos com o Professor )

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Exercícios Propostos

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Função quadrática Uma função f, de R em R, que a todo número x associa o número ax2 + bx + c, com a ≠ 0, b e c reais, é denominada função quadrática ou função polinomial do 2° grau.

f : R → R x → y = ax2 + bx + c, a ≠ 0

Costumamos dizer, de forma abreviada, que função quadrática é a função definida por y = ax2 + bx + c, a 0, ou f (x) = ax2 + bx + c, a 0, ficando subentendido que o domínio é R. Exemplos: a) y = 3x2 + 6x + 2, onde a = 3, b = 6, c = 2 b) y = 1 - 4x2 - 8x, onde a = -4, b = -8, c = 1 c) y = 20x – 5x2 , onde a = -4, b = 20, c = 0 d) y = 3 - 2x2 , onde a = - 2 , b = 0, c = 3 3 3 e) y = -4x2 , onde a = -4, b = 0, c = 0 Os elementos caracterizadores de uma função quadrática são os seus coeficientes a, b e c; assim, considerados as funções quadráticas f (x) = ax2 + bx + c e g (x) = mx2 + nx + p, de R em R, temos: f = g a = m (não-nulos), b = n e c = p f g a m ou b n ou c p

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Raízes Obtemos as raízes de uma função quadrática f (x) = ax2 + bx + c resolvendo a equação ax2 + bx + c = 0; elas são dadas por: A concavidade dessa parábola está voltada para baixo ( a = - 1 < 0 ); c = -2 é a ordenada do ponto que essa parábola corta 0y; essa função não tem raízes reais ( a parábola não intercepta 0x ); existe, nessa curva, o ponto de máximo, localizado em (1 ; - 1 ), que é o vértice; a reta vertical que passa pelo vértice é o eixo de simetria. Podemos, então, organizar o seguinte quadro: V indica o vértice; e s, o eixo de simetria.

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Se houver necessidade de utilizarmos outros pontos, atribuiremos a x valores simetricamente dispostos em relação ao eixo de simetria. Obs.: Conhecidas as raízes reais x1 e x2 de uma função quadrática, como x1 +

x2 = ab e xv =

ab

2 , temos

Vértice ( V ) O gráfico cartesiano de uma Função Quadrática y = ax2 + bx + c, de domínio R e coeficientes reais, corta 0y em ( 0; c ). Para y = c em y = ax2 + bx + c, temos: c = ax2 + bx + c → x = 0 ou x = - b a Logo, para b 0, existe um outro ponto Dessa parábola, como ordenada c, que é Como e ( 0 ; c ) são eqüidis- tantes do eixo de simetria, todos os pontos deste têm abscissa igual à metade de – b , ou seja, - b ; a 2a em particular, o vértice V tem abscissa xv = - b e a 2a ordenada yx é a imagem de xv pela função:

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É fácil notar que essa relação são válidas,também, para b = 0. Máximo ou Mínimo. Conjunto Imagem Para uma função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, de domínio R e coeficientes reais, podemos registrar que: Exercícios Resolvidos De todos os retângulos de mesmo perímetro 40 cm, determinar o de área máxima. Resolução: Indicando a medida, em cm, de um lado Por x(x > 0), cada um dos lados conse - cutivos mede 40 – 2x = 20 – x, x < 20 2 Logo, a área A (x) desse retângulo é expressa por: A(x) = x( 20 – x ) → A(x) = x2 + 20x, com 0 < x < 20 Como a = -1 existe valor máximo de A(x) que ocorre para x = - b = - 20 = 10 2a 2( -1) A outra dimensão do retângulo é 20 – x = 20 – 10 = 10.

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Portanto, o retângulo procurado é um quadrado de lado 10 cm. Exercícios Propostos Para que valor de x a função f (x) = x2 - 2x + 1 assume valor mínimo? A função f (x) = 3x2 + 6x – m assume valor mínimo igual a 4. Determinar m. Determinar m e n para que o vértice da parábola de equação y = - 4x2 + mx + n Seja ( ½; 9 ). Determinar o conjunto imagem de cada função de domínio R; a) f (x) = 2x2 - 7x + 3 d) f (x) = - x2 + 4 b) f (x) = -3x2 + 7x -1 e) f (x) = 5x2 - 4x + 1 c) f (x) = 5x2 - 10x f) f (x) = -9x2 + 6x - 1 Determinar m para que a função: a) f (x) = ( 10 - 5m) x2 + 4x + 3 tenha valor mínimo. b) f (x) = ( -3m + 6) x2 - 2x - 6 tenha valor máximo. De todos os pares de números reais de mesma soma 12, determinar aquele de produto máximo. A função horária de movimento de um ponto material é expressar por s = 20 - 9t + t2 (SI). Em que instante o móvel muda de sentido e qual a sua posição?

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Sinal da Função Quadrática

Estudar o sinal de uma função f significa descobrir os valores de x E D (f) para os quais f (x) < 0 ou f (x) = 0 ou f (x) > 0. Para uma função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, de domínio R e coeficientes

reais, temos três casos a considerar:

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Inequação do 2° grau

Inequação do 2° grau na variável real x é toda inequação redutível à forma ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 com a 0, b e c reais. Para obtermos o conjunto solução S de cada uma dessas inequações, basta analisarmos o sinal de ax2 + bx + c.

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Exercícios de Fixação ( Feitos com o Professor )

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Exercícios Propostos Resolver cada inequação em R: a) ( 2x + 3 ) ( x2 + 3x – 4 ) < 0 b) ( - x2 + 4 ) ( 4x2 – 4x + 1 ) ≤ 0 c) - x2 + 3x + 10 < 0 x -3 d) x2 – 4x + 3 ≥ 0 x2 - x – 2 Equações Exponenciais

Toda equação com incógnita no expoente é denominada equação exponencial. Exemplos:

a) 2 x = 128 c) 2 x . 3 = 3 x . 2

b) 2 x – 2 1x + 2 2x = 9 d) 25 x – 6 . 5 x + 5 = 0

Estudaremos, inicialmente, as equações exponenciais que possam ser resolvidas

reduzindo-se o 1° e o 2° membros a potências de mesma base. Usaremos a

propriedade:

Completaremos o estudo de equações exponenciais na unidade de

logaritmos.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

ER.1 Resolver a equação 5 2x . 5-4x = 3125.

a m = a n ↔ m = n, com a > 0 e a ≠ 1

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Resolução:

Como 3125 = 55, temos:

5X2 –4X = 55 ↔ x² -4x = 5 ↔ x² - 4x – 5 = 0 ↔x = 5 ou x = -1

Portanto, o conjunto solução é S = { 5; -1}.

ER.2 Resolver a equação 2x . 27 = 3x . 8.

Resolução:

Isolando no 1° membro as potências com incógnita, obtemos:

332

32

278

32 3

x

x

x

x

Portanto, o conjunto solução é S= {3}

ER.3 Resolver a equação 2 1x + 2 x – 2 2x = 88.

Resolução:

Colocando 2 x em evidência no 1° membro, temos:

522884

11.2882122 52 xxxx

Portanto, o conjunto é S= {5}.

ER.4 Resolver a equação 5 x2 – 23 . 5 x – 50 = 0.

Resolução:

Temos uma equação do 2° grau em 5 x .

Colocando x5 y, com y > 0, temos:

y 2 - 23y – 50 = 0 y = -2 ou y = 25

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y = - 2 não serve, pois não satisfaz a condição y > 0 .

Substituindo y = 25 em 5 x = y, obtemos:

5 x = 5 2 x = 2

Portanto, o conjunto solução é S = {2}.

Logaritmo 1 - INTRODUÇÃO

O logaritmo na Química

Os químicos utilizam-se dos logaritmos para quantificar a acidez de um meio,

por exemplo. Definem o que é denominado potencial hidrogeniônico (pH)

como sendo o cologaritmo da concentração hidrogeniônica:

pH = colog [H +]

que também pode ser expresso:

pH = - log [H+]

De modo análogo, existe o potencial hidroxiliônico (pOH):

POH = colog [OH -] ou pOH = - log [OH-]

Consulte os livros de Química e procure saber de onde vem a relação:

pH + pOH = 14

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2 - Logaritmo

Sabemos que 3128 nn

Chamamos: x de logaritmo de 81 na base 3;

m de logaritmo de 1 na base 5;

125

n de logaritmo de 2 na base 8.

Logaritmo de um número positivo b numa base a, 0 < a ≠ 1, é o expoente da

potência à qual deve-se elevar a para se obter b.

log a b = x a x = b, b > 0, 0 < a ≠ 1

Na igualdade logab = x, b é denominado logaritmando ou antilogaritmo de

x na base a e é indicado por antilogax.

antilog a x = b log a b = x

Notemos que : existe log a b

10

0

aeb

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3 - Propriedades Imediatas

Sejam a, b e c números positivos, com a ≠ 1, e m um número real. Da

definição de logaritmo decorrem as propriedades:

1) log a 1 = 0

2) log a a m = m

3) a balog = b

Colocando log a b = x, temos a x = b e substituindo x obtemos a balog = b

4) log a b = log a c b = c

Aplicando a definição em log a b = log a c, temos a calog = b e, como a ca

log = c,

obtemos c = b.

4 - Propriedades Operatórias

Logaritmo de Produto

O logaritmo, em qualquer base a (0 < a ≠ 1), de um produto de dois

números positivos é igual à soma dos logaritmos, nessa base, dos fatores.

loga( b . c ) = logac + logac, 0 < a ≠ 1, b > 0, c > 0

Logaritmo de Quociente

O logaritmo, em qualquer base a (0 < a ≠ 1), de um quociente de dois

números positivos é igual à diferença entre os logaritmos, nessa base, do

dividendo e do divisor.

loga b = logab - logac, 0 < a ≠ 1, b > 0, c >0

c

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Logaritmo de Potência

O logaritmo , em qualquer base a (0 < a ≠ 1), de uma potência de base

positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo, na

base a, da base dessa potência.

log a b m = m . log a b, 0 < a ≠ 1, b > 0, m e ε IR

Caso particular:

Se m =qp , com p inteiro e q natural (q ≥2), é irredutível , então, temos

logaritmo de uma raiz:

Exemplos:

a) 5log.65log 36

3

b) 3log.523log3log 7

52

75 2

7

c) 4 35

43

55 11log11log11log.43

EQUAÇÕES MODULARES

Notemos uma propriedade do modulo dos números reais:

x = 1 x² = 1 x=1 ou x = -1 De modo geral , sendo k um número positivo ,temos: x = k x = k ou x = -k

log 0,10,log.lo babqpbg a

q pa

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1 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA

SEQÜÊNCIAS

Na lista de chamada de sua classe, o nome de cada aluno está associado a

um número natural não-nulo. Por exemplo:

1. Alberto Vieira de Moraes

2. Alessandra Rodrigues Fontana

3. Alex Stanley

30. Valdir de Souza e Ramos

Existem, também, seqüências infinitas como, por exemplo, a seqüência dos

números naturais pares em ordem crescente (0, 2, 4, 6, 8,...).

NOTAS 1. Cada elemento de uma seqüência também pode ser denominado termo da

seqüência.

2. O termo de uma seqüência que ocupa a posição de número n é indicado pelo

símbolo a .n . Isto é:

a 1 indica o primeiro termo da seqüência

a 2 indica o segundo termo da seqüência

a 3 indica o terceiro termo da seqüência

a n indica o enésimo termo da seqüência

3. Uma seqüência ,...,...,,, 321 naaaa pode ser representada abreviadamente por

INnna .

EXEMPLO Na seqüência (3, 7, 11, 15, ...), temos:

,...15,11,7,3 4321 aaaa

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Lei da formação de uma seqüência

Um conjunto de informações capazes de determinar todos os termos de uma

seqüência e a ordem em que se apresentam é chamado de lei de formação da seqüência.

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A)

Definição

Progressão aritmética é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do

segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com uma constante r. O

número r é chamado de razão da progressão aritmética.

Exemplos

a) (4, 7, 10,13, 16,19, 22) é uma P.A. finita de razão r=3.

b) (10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, ...) é uma P.A. infinita de razão r=-2.

c) (5, 5, 5, 5, ...) é uma P.A. infinita de razão r=0.


1. Calcular a razão da P.A. ,INnna sabendo que .21

31

87 eaa

Resolução A razão r da P.A. é tal que:

61

31

21

78 aar

2. Verificar se a seqüência INnna tal que na = 3n+8 é ou não P.A.

Resolução

Devemos verificar se a diferença entre um termo qualquer, a partir do segundo, e seu antecessor é constante ou não.

Sabemos que 81383 1 neana nn são termos consecutivos da seqüência

,n com .INn Calculando a diferença nn aa 1 , obtemos:

3838131 nnaa nn

Como essa diferença é constante, concluímos que a seqüência é P.A.

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Classificação das progressões aritméticas Uma P.A. é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o

termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a

sua razão seja positiva. Exemplo

(7, 11, 15, 19, ...) é uma P.A. crescente. Note que sua razão é positiva, r =4.

Uma P.A. é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o

termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a

sua razão seja negativa. Exemplo

(50, 40, 30, 20, ...) é uma P.A. decrescente . Note que sua razão é negativa, r = -10.

Uma P.A. é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso

aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.

Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética rnaan 11


3. Determinar o 61° termo da P.A. (9, 13, 17, 21, ...)

Resolução

?,61,4,9 611 anra

Aplicando a fórmula do termo geral, ,11 rnaan para n = 61, temos

2494.60960161

61

1161

araraa

4. Determinar a razão da P.A. ,...,, 321 aaa em que 21 a e .38 a

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Resolução ?,8,3,2 81 rnaa

Aplicando a fórmula do termo geral, ,11 rnaan para n = 8, temos

71

723718

r

rraa

5. Determinar o número de termos da P.A. (4, 7, 10, ...., 136).

Resolução ?,3,136,41 nraa n

Aplicando a fórmula do termo geral, ,11 rnaan temos:

451353

3341363.14136

nn

nn

Logo, a P.A. possui 45 termos.

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A.

Seja, 2

1 naaS nn


6. Calcular a soma dos trinta primeiros termos da P.A. (4, 9, 14, 19, ...)

Resolução

Aplicando a fórmula 2

1 naaS nn

para 30n , temos

2

3030130

aaS

Precisamos calcular o valor de 30a . Pelo termo geral

1495.29429

:,1

30

130

1

araa

temosrnaan

Logo: 295.22

30149430

S

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)

Definição

Progressão geométrica é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir

do segundo, é igual ao produto do termo, a partir do segundo, é igual ao produto

do termo precedente (anterior) por uma constante q é chamado de razão da

progressão geométrica.

Exemplos

a) (3, 6, 12, 24, 48, 96) é uma P.G. finita de razão q = 2.

b)

,...

161

,81

,41

,21

,1 é uma P.G. infinita de razão q = 21 .

c) (2, -6, 18, -54, 162,...) é uma P.G. infinita de razão q = -3.

d) (5, 0, 0, 0, ...) é uma P.G. infinita de razão q = 0.

e) (0, 0, 0, ...) é uma P.G. infinita de razão indeterminada.


7. Determinar a razão da P.G. INnna

tal que 3215 a e .10816 a

Resolução Como 0

15a , a razão q da P.G. é tal que:

827

32108

15

16 aaq

Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica 1

1 n

n qaa

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Matemática Financeira

Noções de matemática financeira 1 – Razão e proporção Sejam dois números reais a e b, com b 0. Chama-se razão entre a e b (nessa

ordem ) o quociente a : b, ou .ba

Exemplo 1

A razão entre 20 e 50 é já;52

5020

entre 50 e 20 é 25

2050

.

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Exemplo 2 Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças.

A razão entre o número de rapazes e o número de moças é ,43

2418

o que

significa que para “ cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, a razão entre o

número de rapazes e o total de alunos é dada por 73

4218

, o que equivale a dizer

que “de cada 7 alunos na classe, 3 são rapazes”. A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.

Na proporção 106

53 ( lê-se :” 3 está para 5 assim como 6 está para 10”), os

números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados meios. Observamos que o produto 3 10 = 30 é igual ao produto 5 6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. Exemplo 1

Na proporção 96

32

, temos 2 9 = 3 6 = 18;

e em 164

41 , temos 4 161614

Exemplo 2

Para determinarmos o valor de x em :,15

625

1 fazemosxx

15. (x + 1) = 5. (2x + 6 ) x = 3 . Exemplo 3 Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg do “peso” da criança. Se uma criança tem 12kg, a dosagem correta x é dada por:

gotasxkgx

kggotas 30

1225

Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois:

kgpp

gotaskg

gotas 8202

5

(Nota: O procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra de três simples.).

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2 - Porcentagem A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos de razões centesimais:

100

9,27100135,

1004,

10030 e

Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais:

%9,27100

9,27;%135100135;%4

1004;%30

10030

Tais razões estão

expressas em taxas percentuais. Exemplo 1 De um grupo de 100 jovens. 30praticam basquete. Isso significa que 30% (lê-se “trinta por cento”) dos jovens praticam basquete. Exemplo 2 Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito; a razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por:

%2610026

5013

O que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas,

deveríamos encontrar 26 com defeito.

O número 10026 26% é a taxa percentual de lâmpadas defeituosas, e o número

26 é a porcentagem de lâmpadas com defeito. Exemplo 3

Outro modo de representar a taxa 4% = 100

4 é obtido, simplesmente,

Efetuando a divisão de 4 por 100: 4: 100 = 0,04 Da mesma forma: 37% = 0,37 80% = 0,80 = 0,8 14,5% = 0,145 100% = 1 250 % = 2,50 = 2,5 0,7 % = 0,007 3- Juros Suponhamos que uma pessoa deseja comprar uma geladeira e não disponha de dinheiro suficiente para pagamento á vista. Nessas condições, ela pode efetuar a compra a prazo ou tentar um empréstimo em um banco. Em qualquer um dos casos, a pessoa geralmente paga uma quantia - além do preço da geladeira - a título de juros. O valor desses juros é justificado pelo prazo obtido para o pagamento ou pelo “aluguel” do dinheiro emprestado.

Há outras situações em que aparecem juros. Por exemplo: se uma pessoa dispõe de uma importância em dinheiro, ela pode aplicá-lo em uma caderneta de

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poupança ou em algum outro investimento. Ao fim de certo período, ela receberá do banco a importância paliçada acrescida de um valor referente aos juros da aplicação.

Normalmente, quando se realiza alguma operação desse tipo, fica estabelecida uma\ taxa de juros por um período (mês, dia, anos), a qual incide sobre o valor da transação, chamado de capital. 4 -Juros Simples Suponhamos que sobre uma quantia devam ser calculados juros simples, a uma taxa fixa por período, durante certo número de períodos. Isso significa que os juros correspondentes a cada um dos períodos serão sempre calculados sobre a quantia inicial, e só serão incorporados a ela ao final do último período. Dizemos, portanto, que nesse regime há pagamento de juros constante por períodos iguais. Atualmente, a maioria dos investimentos financeiros – como caderneta de poupança e fundos de aplicações -, além de dívidas e reajustes de preços, não obedece ao princípio de juros simples. A exceção principal é o mecanismo de desconto simples, que estudaremos adiante. Exemplo 1 Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600, 00, comprometendo-se a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de 5 % a.m (ao mês). Para calcularmos os juros serem pagos, fazemos: 1º) Em um mês, os juros são de: 5% de 600,00 = 0,05. 600 = 30,00 2º) Como o prazo é de 3 meses, o total de juros é: j = 3. 30,00 = 90,00. Assim, ao final de 3 meses, o comerciante deverá pagar: 600,00 + 90,00 = 690,00 capital juros O valor total a ser pago (R$ 690,00) é chamado montante. De modo geral, um capital C, empregado durante n períodos, à taxa i, produz juros j dados por:

e montante M igual a: M = C + J = C + Cin Observação : A taxa deve ser sempre compatível com a unidade de tempo consideranda. Por exemplo, se a taxa for de 4 % a.m, para um prazo de 60 dias adotaremos n = 2( 2 meses)

M = C (1 + i . n )

J = C. i. n

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Exemplo 2 Um capital de R$ 210,00, aplicado em regime de juros simples durante 4 meses gerou um montante de R$ 260,40. Para calcularmos a taxa mensal de juros considerada, fazemos: M = C ( 1+ in),isto é, 260,40 = 210 (1 + i . 4)

%606,0424,04124,141210

40,260 iiii a.m .

Exemplo 3 À taxa anual de 30% (30%a.a) , certo capital, em 8 meses, produziu, a juros simples, um total de R$ 1500,00. Calculemos o capital de C aplicado.

Uma taxa de 30% a.a, equivale a 1230 = 2,5% a.m. Assim, devemos adotar

i = 0,025. Daí: 1500 = C (1 + 0,025 . 8) 1500 = C . (1 + 0,2)

00,1250$2,11500 RCC 5 – Juros Compostos O regime de capitalização mais utilizado nas transações comerciais e finmanceiras é o de juros composto, que se baseia no seguinte princípio: Ao final do 1º período, os juros incidentes sobre o capital inicial são a ele incorporados, produzindo o 1º montante. Ao final de 2º período, os juros incxidem sobre 1º montante e incorporam-se a ele, gerando o 2º montante. Ao final do 3º período, os juros, calculados sobre o 2º montante , incorporan-se a ele, gerando o 3º montante ; assim por diante. De modo geral, um capital C, a juros compostos aplicado a uma taxa fixa i, durante n períodos, produz: ao fianl do 1º período : M 1 = C + Ci M 1 = C ( 1 + i) ao final do 2º período : M2 = M1 + M1i = M 1( 1+i) M2 = C (1+i)2 ao final do 3º período : M3 = M2 + M 2 i= M2 91+i) M3 = C ( 1+i)3 ao final do n-ésimo: M3 = C (1+i)n

Devido à sua natureza, o sistema de juros compostos é chamado capitalização acumulada.

Exemplo 1

Joana aplicou R4 400,00 num investimento que rende 2% a.m., a juros compostos .

O montante, ao fianl de 3 meses, é dado por: M 3 = 400 (1 +0,02)3 = 400 . 1,023 = 424,48 Ao final de 6 meses:

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M 6 = 400 ( 1 +0,02)6 = 400 . 1,02 6 = 450,46 Ao final de 1 ano (12 meses) : M12 = 400 ( 1 + 0,02)12 = 400 . 1,0212 = 507,29 Exemplo 2 Considerando os dados do exemplo anterior, suponhamos que Joana deseje saber o tempo necessário para que o montante sejaR$ 600,00. Temos :

nnnn

iCM

02,15,102,1400600

02,0)02,01(400600400

600

A determinação do expoente n é feita através de logaritimos:

log 1,5 = log 1,02n mesesnnn 47,200086,01761,0

02,1log5,1log5,1log02,1log.

O valor obtido, entre 20 e 21 meses, significa que : a) caso Joana efetue o resgate após o final do 20º. mês ou no decorrer do 21ºmês, ela não terá o valor desejado, mas apenas M 20 = 400 . 1,0220 = 594,37 b) caso Joana efetue o resgate ao final do 21º mês, ela terá disponível o valor de M21 = 400 . 1,0221 = 606,26. Observação Em geral, o prazo de resgate de uma aplicação financeira é determinado pelo governo federal.Na maioria das vezes, o prazo é mensal, e o resgate antecipado ( antes do vencimento da aplicação) acarreta a perda de juros correspondentes áquele mês, cabendo ao poupador sacar apenas o montante acumulado até o mês anterior. Exemplos 3 No dia 1º de junho, Cristiano abriu uma crdeneta de poupança no valor de R4 200,00. Nesse mês, a taxa de rendimento da poupança foi de 1,2% e , em julho, foi de 1,4%. Qual será o saldo de Cristiano em 1º de agosto ? Em problemas como esse não podemos aplicar a fórmula do montante de juros composto, pois as taxas de rendimento não são iguais; entretanto , o princípio de capitalização acumulada é mantido. Vejamos: a) Em 1º de julho, serão capitalizados os juros correspondentes ao rendimento de junho e incidentes sobre o valor inicialmente aplicados, produzidos um total de : 200 + 1,2% de200 = 200 + 0,012 . 200 = 1,012 . 200 = 202,40 b) Em 1º de agosto, serão capitalizados os juros correspondentes ao rendimento de julho e incidentes sobre seu último “saldo”, gerando um total de : 202,40 + 1,4% de 202,40 = 202,40 + 0,014 . 202,40 = = 1,014 . 202,40 = 205,23

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6 - Desconto Simples Suponhamos que um fabricante de tecidos tenha efetuado uma vendaà rede Tecidos Brasil no valor de R$ 80 000 , 00, quantia a ser paga três meses após a entrega. Passado um mês da data da entrega, o fornecedor, pecisando de dinheiro, procurou o Banco da Nação para tentar descontar a duplicata (documento comprobatório da dívida contraída pela rede Tecido Brasil). O banco ofereceu em troca do título a quantia de R$ 76 000,00. Tendo sido aceita a proposta, o fornecedor recebeu do banco a importância de R$ 76 000,00, e o banco passou a ser o credor da dívida, que será saldada pela Tecidos Brasil; ou seja, na data inicialmente estabelecida, a Tecidos Brasil fará o pagamento de R$ 80 000,00 diretamente ao Banco da Nação, e não mais ao fornecedor . Esse tipo de operação recebe o nome de desconto de título. O valor do título na data do vencimento - R$ 80 000,00 – é chamado valor nominal. O valor pago pelo Banco da Nação – R$ 76 000,00 – é chamado valor atual ou valor descontado. A diferença entre o valor nominal e o atual: R$ 80 000,00 - R$ 76 000,00 = 4 000,00 é chamada desconto.

Normalmente, nesse tipo de operação, o valor proposto pelo banco decorre da aplicação de uma taxa de desconto simples, que incide sobre o valor nominal do título, em regime semelhante ao de juros simples.

No exemplo, a taxa de desconto simples usada teria sido de 2,5% a.m e por 2 meses, que corresponde ao número de meses de antecipação: d = (2,5% de 80 000,0000) . 2 de = 0,025 . 80 000,00 . 2 = R$ 4 000,00 Exemplo 1 Um título de valor nominal R4 900,00, com vencimento para 150 dias, sera descontado em um banco que opera com a taxa de desconto de 6% a.m Se o prazo de antecipação for de 3 mese, o desconto será dado por d = 0,06 . 900 . 3 = R4 162,00 e o valor atual será : V A = 900 – 162 = R$ 738,00 Se o resgate for feito 48 dias antes do vencimento, o prazo de antecipação será

3048 = 1,6 mês, e o desconto será :

d = 0,06 . 900 . 1,6 = R$ 86,40 produzindo o valor atual de : VA = 900 – 86,40 = R$ 813,60

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Exercícios Complementares 1. Comércio. No primeiro dia de sua liquidação anual, uma loja vendeu 40% do

estoque de determinado produto; no segundo dia, vendeu 25% do restante.

Qual a porcentagem do estoque do produto que não foi vendida?

2. Saúde. Feita uma pesquisa junto à população de certa região, constatou-se

que 20% dos entrevistados usavam óculos e que, entre eles, 40% são

míopes. Qual a porcentagem de pessoas míopes nessa população?

3. Metrô. Um dos meios de transportes mais eficientes nas grandes capitais são

os trens de metrô. Ao adquirir seu bilhete, o usuário do metrô tem diversas

alternativas. Se o bilhete unitário custa, hoje R$ 2,10 e o chamado “múltiplo

10”, R$ 20,00, que porcentual de economia o usuário terá ao adquirir o bilhete

“múltiplo 10” em relação a dez bilhetes unitários?

4. Economia. Em países de economia instável, observa-se o fenômeno da

inflação, que basicamente é a perda do valor de compra de uma moeda.

a) Se um país a inflação mensal é de 5%, qual a taxa de inflação

trimestral?

b) Uma inflação de 44%, acumulada em dois anos, corresponde a que

inflação média ao ano?

5. Finanças. A valorização de uma ação foi de 38% em dois meses. Qual foi sua

valorização do 2º mês, sabendo que no 1º mês a valorização foi de 15%?

6. Comércio. Uma loja compra televisores por R$ 500,00 cada e os revende por

R$ 700,00 cada.

a) Determine o lucro da loja sobre o preço de custo.

b) Devido à crise econômica, o fornecedor passou a cobrar R$ 400,00 por

televisor e a loja passou a vender por R$ 600,00, a título de repasse do

desconto.

Calcule o lucro da loja sobre o custo.

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c) Se o repasse do desconto fosse “correto”, por quanto a loja deveria

vender os televisores?

7. Comércio. Ao vender um produto por R$ 520,00, um comerciante obtém lucro

de 30% sobre o preço que pagou pelo mesmo produto. Qual o preço de

compra desse produto?

8. Comércio. Um objeto que custava R$ 260,00 sofreu dois aumentos

sucessivos, um de 20% e depois outro de 30%. O novo valor do objeto é 50%

maior que o original? Qual o novo valor e qual a taxa acumulada pelos dois

aumentos?

9. Comércio. Um vendedor repassa seus produtos ao consumidor com um lucro

de 60% em relação ao preço de vendo. Qual a taxa de lucro do comerciante

em relação ao preço de custo?

10. Comércio. Um comerciante compra um produto por R$ 28,00 a unidade e o

revende com um lucro igual a 20% do preço de venda. Qual o preço de venda

do produto? E se o lucro fosse de 20% do preço de custo?

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Elementos do prisma Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: as regiões poligonais R e S altura:a distância h entre os planos

arestas das bases:os lados ( dos polígonos)

arestas laterais:os segmentos faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A Classificação Um prisma pode ser: reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Veja:

prisma reto

prisma oblíquo

Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

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prisma regular hexagonal

prisma regular triangular Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes. Secção Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma. Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

Áreas Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral ( AL ): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma. No prisma regular, temos: AL = n. AF (n = número de lados do polígono da base). c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases; d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases AT = AL + 2AB

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Vejamos um exemplo. Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

Paralelepípedo Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo, ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

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Paralelepípedo retângulo Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. Diagonais da base e do paralelepípedo Considere a figura a seguir:

db = diagonal da base dp = diagonal do paralelepípedo

Na base ABFE, temos:

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No triângulo AFD, temos:

Área lateral Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc) Área total Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

AT= 2( ab + ac + bc)

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Volume Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4. 2. 2 cubos de aresta 1:

Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: V = abc Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:

Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadradas.

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Diagonais da base e do cubo Considere a figura a seguir:

dc=diagonal do cubo db = diagonal da base

Na base ABCD, temos:

No triângulo ACE, temos:

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Área lateral A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:

AL=4a2

Área total A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:

AT=6a2

Volume De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por: V= a. a. a = a3

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Generalização do volume de um prisma Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri (matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo a

, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:

Vprisma = ABh

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