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F128 - Exercícios Resolvidos - Cap. 7

Exercício 1Uma partícula de massa m = 2, 0kg desloca-se ao longo de uma reta. Entre x = 0 e x = 7, 0m,ela está sujeita a uma força F (x) representada no gráfico abaixo.

Sabendo-se que sua velocidade para x = 0 é de 3, 0m/s:a) calcule a velocidade da partícula nas posições x = 4, 0m e x = 7, 0m;Como a única força que atua sobre a partícula é a força F (x) mencionada, a variação da

energia cinética corresponde ao trabalho realizado por esta força.Quando x = 0m a velocidade da partícula é v (x = 0) = v0 = 3m/s. Chamando de vx=4 a

velocidade da partícula quando ela atinge x = 4m temos:

12mv

2x=4 −

12mv

20 =

ˆ 4

0F (x) dx

12 (2) v2

x=4 −12 (2) (3)2 = −4− 1 + 1

v2x=4 = −4 + 9vx=4 =

√5m/s

Quando a partícula atinge x = 7m temos:

12mv

2x=7 −

12mv

20 =

ˆ 7

0F (x) dx = área entre o gráfico e o eixo y = 0

12 (2) v2

x=7 −12 (2) (3)2 = −4− 1 + 1 + 4 + 1

v2x=7 = 1 + 9vx=7 =

√10m/s

Você acha que pode acontecer de o resultado ser um número imaginário, ou seja, no final en-contrarmos v2

f < 0? Pense sobre a conversão da energia cinética em trabalho.

c©2015 Resolvido por Douglas D. Souza.Para aulas particulares na UNICAMP: [email protected]

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b) em que posição a velocidade da partícula é nula?O único trecho da trajetória da partícula em que ela é freada é quando a força aplicada sobre

ela é negativa, onde x ∈ [0, 3]. Ao final desse trecho a partícula possui a menor velocidade possívelpois depois passa a ser acelerada. Partindo com v0 = 3m/s a partícula atinge a velocidade mínimaem x = 3m:

12mv

2x=3 −

12mv

20 =

ˆ 3

0F (x) dx = área entre o gráfico e o eixo y = 0

12 (2) v2

x=3 −12 (2) (3)2 = −4− 1

v2x=3 = −5 + 9vx=3 = 2m/s

Por esta razão a velocidade da partícula nunca é nula. O que ocorre se a velocidade da partículafor nula em algum ponto?

Exercício 2Qual o trabalho realizado por uma força ~F = (2xN)~i + (3N)~j , onde x está em metros, que éexercida sobre uma partícula enquanto ela se move da posição ~ri = (2m)~i+ (3m)~j para a posição~rf = –(4m)~i–(3m)~j? (Use os dois caminhos abaixo)

Como ilustração de um campo vetorial, visando aguçar a intuição dos alunos, plotamos o campovetorial na Fig. 1. Perceba que a cada ponto do espaço associamos um vetor. Cada componentedesse vetor é uma função das três (ou duas) coordenadas espaciais.

Pelo caminho azul da figuraMantendo y = 3m a partícula desloca-se −6m na direção x, entre x = 2m e x = −4m. O trabalhorealizado pela força neste trecho é:

W1 =ˆ

~F · d~l =ˆFxdx =

ˆ −4

22xdx = x2

∣∣∣x=−4

x=2= 16− 4 = 12J


3

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

Figura 1: Campo vetorial de forças do Exercício 3.

A seguir, mantendo x = −4m, a partícula se desloca −6m na direção y, entre y = 3m ey = −3m. O trabalho realizado neste trecho é:

W2 =ˆ

~F · d~l =ˆFydy =

ˆ −3

33dy = 3y|y=−3

y=3 = −9− 9 = −18J

O trabalho total no trajeto foi de W = −6J , ou seja, foram removidos 6J da energia dapartícula.

Pelo caminho vermelho da figuraManeira 1: Percebendo que a integral se separa em duas

Neste caso recaímos no caso anterior quando separamos a força ~F e o vetor deslocamento infini-tesimal d~l em suas duas componentes:

W =ˆ

~F · d~l =ˆ (

Fxi+ Fy j)·(dxi+ dyj

)=ˆFxdx+

ˆFydy

W = 12− 18 = −6J

Maneira 2: Fazendo a parametrização da curva

Neste caso devemos parametrizar a curva. Para isso escrevemos a equação da trajetória:

y = y0 +m (x− x0)

y (x) = 3 + (x− 2)


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Onde m = 1 é o coeficiente angular da reta (tirado diretamente do gráfico).Podemos agora escolher um parâmetro em comum t (não precisa associar com tempo!) de

forma conveniente para obtermos equações paramétricas para a reta.Vamos reescrever a equação da reta na forma:

y − 31 = x− 2

1 = t

Separando x e y em função de t obtemos:

x (t) = 2 + t

y (t) = 3 + t

E o parâmetro t deve percorrer o intervalo t ∈ [−6, 0] no sentido inverso para obtermos otrajeto orientado da partícula, isto é, a integral deverá ser de 0 a −6.

Um pequeno elemento de trajetória fica d~l = dxi+ dyj = dti+ dtj.Escrevendo a força em termos do parâmetro t temos:

~F = 2 (2 + t) i+ 3j

E o trabalho agora pode ser escrito como

W =ˆ

~F · d~l =ˆ −6

0

[2 (2 + t) i+ 3j

]·[dti+ dtj

]=ˆ −6

0[2 (2 + t) + 3] dt =

ˆ −6

0(2t+ 7) dt

W = t2 + 7t∣∣∣t=−6

t=0= (36− 42)− (0) = −6J

EXTRA: O que é um campo vetorial conservativo?Daqui adiante no curso usaremos muito o conceito de campo vetorial conservativo. Em termosmatemáticos dizemos que um campo vetorial ~F (x, y, z) é conservativo em uma dada região doespaço quando podemos extrair esse campo de uma função potencial f (x, y, z) através de umgradiente:

~F (x, y, z) = −∇f (x, y, z) = − ∂

∂xf (x, y, z) i− ∂

∂yf (x, y, z) j − ∂

∂zf (x, y, z) k

onde na última expressão escrevemos o gradiente de uma função em coordenadas cartesianas.Um campo vetorial define um vetor para cada ponto do espaço. Veja a Fig. 2 para criar uma

intuição do que é um campo vetorial.


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(a) -3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

(b) -3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

(c) -3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 2: (a) Campo vetorial definido por ~F0 = (1, 0, 0) com rotacional nulo;(b) Campo vetorial definido por ~F1 = (x,−y, 0) com rotacional nulo;(c) Campo vetorial definido por ~F2 = (−y, x, 0) com vetor rotacional saindo do plano (regra damão direita);

Como o rotacional de um gradiente é sempre nulo ∇×∇f = 0 (demonstre isso, basta escreveras derivadas duplas!), quando o rotacional de um campo vetorial é nulo podemos sempre escrevero campo na forma de um gradiente, ou seja o campo é conservativo.

Dos exemplos da Fig. 2, apenas o primeiro e segundo campo possuem rotacional nulo e podemser escritos como o gradiente de uma função potencial (ou seja, são campos conservativos). Temosque:

f0 = −x+ const.

f1 = −x2

2 + y2

2 + const.

E obtemos os campos vetoriais a partir de:

~F0 = −∇f0~F1 = −∇f1

O campo vetorial força da gravidade que uma partícula de massaM centrada na origem aplicasobre outra partícula m é:

~Fg (x, y, z) = −GmMr3

(xi+ yj + zk

)e está plotado na Fig. 3. Notamos que ele representa o valor e direção da força que a partícula

m sofre quando colocada em cada ponto do espaço.

Pode-se mostrar que o rotacional deste campo é nulo e a este campo gravitacional correspondea função potencial:

fg (x, y, z) = GmM

r+ const.


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Figura 3: Campo vetorial força da gravidade.

Tanto neste caso, quanto na simplificação ~Fg → ~g em que dizemos que o campo gravitacionalé constante na superfície da terra, o campo vetorial é conservativo.

O resultado mais importante para a física é que a integral de linha (ou de caminho) de umcampo conservativo não depende da trajetória escolhida, apenas depende do ponto inicial e finalda trajetória.

Exercício 3Um bloco de massa m é lançado para cima sobre um plano inclinado de α com velocidade inicialv0. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é menor que tanα, de modo que, depois deparar ao final do movimento ascendente, o bloco voltará a descer ao longo do plano.

a) Construa o gráfico de força total sobre o bloco em função da posição sobre o plano.A força de atrito cinética tem o mesmo módulo durante todo o movimento pois depende apenas

do peso do bloco e da inclinação do plano, que não mudam. O que muda é seu sentido, que ésempre contrário ao sentido do movimento. A força resultante é constante em cada parte domovimento (subida ou descida):

~R = ~P‖ + ~P⊥ + ~N + ~Fat.

A componente normal da gravidade é equilibrada pela força normal e as forças restantes estãona direção do plano.


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Na subida

Escolhendo o eixo positivo como sendo plano abaixo a força resultante é dada por:

R = P|| + Fat

Pois a força de atrito se une com a gravidade para frear o bloco. Temos assim:

R = P senα + µN = P senα + µP cosα = mg (senα + µ cosα)

Na descida

Desta vez o atrito age no sentido negativo do eixo (age para cima pois o bloco desce). A resultantefica:

R = P|| − Fat = mg (senα− µ cosα)

O gráfico das forças na subida e na descida está plotado na Fig. 4.

Figura 4: Gráfico da força resultante como função da posição do bloco - Exercício 4.

b) Qual será a altura máxima atingida pelo bloco sobre o plano?A altura máxima será atingida na subida quando toda a energia cinética se transformar em

calor, através do atrito, e em energia potencial gravitacional, através da força peso. Neste ponto avelocidade irá se anular. Equacionando a perda de energia cinética e o trabalho realizado temos:

12m (0)2 − 1

2mv20 = ~R · ~d = −Rd = −mg (senα + µ cosα) d

d = v20

2g (senα + µ cosα)

c) Qual é a quantidade de energia mecânica transformada em energia térmica durante esteprocesso?


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O atrito realiza sempre trabalho negativo, ou seja, todo o trabalho realizado pelo atrito converteas outras formas de energia em calor.

Tanto na subida quanto na descida o atrito realiza um trabalho:

W = ~Fat · ~d = −Fatd = − (mgµ cosα) v20

2g (senα + µ cosα) = − µ cosαmv20

2 (senα + µ cosα)

Assim o trabalho total realizado é o dobro deste:

Wat = − µ cosαmv20

senα + µ cosα

ou ainda

Wat = − mv20

1 + µ−1tanα

d) Em que velocidade o bloco retornará ao ponto de partida?Podemos obter este resultado de duas formas: Calculando o trabalho de todas as forças na

subida e na descida ou lembrando que a gravidade é uma força conservativa.Como a gravidade é uma força conservativa, cujo trabalho realizado só depende da altura do

bloco, quando o bloco retorna ao mesmo ponto o trabalho realizado pela gravidade é nulo. Sótemos que considerar portanto o trabalho da força de atrito:

∆K = 12mv

2f −

12mv

20 = − µ cosαmv2

0senα + µ cosα

12mv

2f = 1

2mv20 −

µ cosαmv20

senα + µ cosα

= mv20senα +mv2

0µ cosα− 2µ cosαmv20

2 (senα + µ cosα)

vf =√senα− µ cosαsenα + µ cosαv0

Exercício 4Um corpo de massa m acelera-se uniformemente, partindo do repouso até a velocidade vf , notempo tf .

a) Mostre que o trabalho realizado sobre o corpo, como função do tempo t em função de vf etf é dado por:

12m

v2f

t2ft2


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Se o corpo se acelera uniformemente, a força resultante que atua sobre ele é constante e temmódulo F = ma. Por esta razão nos basta obter a aceleração e saber qual foi o deslocamento atéum dado instante t para calcular o trabalho realizado até este instante. Para todo o intervalo detempo a aceleração instantânea coincide com a aceleração média neste caso:

a = ∆v∆t = vf − 0

tf − 0 = vf

tf

A força portanto é F = mvf

tf.

Em um instante t qualquer o deslocamento do corpo desde a origem é:

∆x (t) = 12at

2 = vf t2

2tf

E o trabalho realizado é uma função do tempo:

W (t) = F∆x (t) =mv2

f

2

(t

tf

)2

b) Em função do tempo t, qual a potência instantânea fornecida ao corpo?Pela definição de potência como sendo a quantidade de trabalho realizada em um certo tempo:

P = dWdt =

mv2f

t2ft

E notamos que um corpo acelerado absorve energia cada vez mais rápido da força que é apli-cada sobre ele.

c) Qual a potência instantânea, em t = 10s, fornecida a um corpo de 1500kg que é uniforme-mente acelerado de 0 a 100km/h nestes 10s?

Convertendo os valores para o SI: 100km/h = 27, 78m/s. Usando os valores dados:

P (t = 10s) = 1500× (27, 78)2

102 10 ≈ 1, 16× 105W ≈ 155cv

Exercício 5Um sistema formado por duas lâminas delgadas de mesma massa m, presas por uma mola deconstante elástica k e massa desprezível, encontram-se sobre uma mesa horizontal.


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a) De que distância a mola está comprimida na posição de equilíbrio?Quando o sistema está em equilíbrio as forças que agem sobre cada corpo se anulam. Chamando

de x0 a compressão da mola, para a lâmina de cima temos o equilíbrio:

Fmola − P = 0kx0 −mg = 0

x0 = mg

k

b) Comprime-se a lâmina superior, abaixando-a de uma distância adicional d a partir daposição de equilíbrio. De que distância ela subirá acima da posição de equilíbrio, supondo que alâmina inferior permaneça em contato com a mesa?

Vamos adotar um eixo vertical para descrever a posição da lâmina superior. Como é tudopedido em relação à posição de equilíbrio, a origem pode ser escolhida nesta posição para facilitara notação nos cálculos. Vamos chamar de x0 a posição de repouso da mola quando ainda nãocomprimida e apenas depois escolher a origem. Abaixo ilustramos o passo-a-passo do procedimentode compressão e liberação da mola, indicando e nomeando cada posição da lâmina superior:

Essa escolha nos permite escrever a força que a mola aplica sobre a lâmina como sendo:


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F (x) = −k (x− x0)

onde x pode ser positivo ou negativo. Note que se x está acima de x0 (mola estendida) a molapuxa a lâmina para baixo. No outro caso (x < x0 - mola comprimida) ela empurra a lâmina paracima.

Vamos usar o teorema do trabalho - energia cinética: o trabalho realizado por todas as forçassobre um dado corpo é responsável por alterar a sua energia cinética.

Sobre a lâmina de cima atuam a força da mola e a força peso, o tempo todo. Quando a lâminaacaba de ser solta a sua velocidade é nula e a energia cinética é nula. Quando a lâmina chegana altura máxima novamente sua velocidade é nula, assim como sua energia cinética. Temosportanto:

ˆ h

−d

F (x) dx+ˆ h

−d

(−P ) dx = 12mv

2f −

12mv

20

ˆ h

−d

[−k (x− x0)] dx+ˆ h

−d

(−mg) dx = 0

−12kh

2 + kx0h+ 12k (−d)2 − kx0 (−d)−mg (h+ d) = 0

12k(d2 − h2

)+ k (h+ d)x0 −mg (h+ d) = 0

Lembremos que x0 = mgk. Substituindo e reorganizando obtemos:

h = d

Ou seja, a lâmina de cima sobe de d acima da posição de repouso quando pressionamos a molapara baixo com deslocamento d. Isso nos diz que se deixarmos o movimento continuar veremos alâmina oscilar para cima e para baixo com amplitude d ao redor da posição de equilíbrio.

c) Qual é o valor mínimo de d no item b) para que a lâmina inferior salte da mesa?Na lâmina de baixo a força da mola age no sentido contrário do que age na lâmina de cima.

Quando x é positivo a lâmina é puxada para cima (Fmola é positivo!) e quando x é negativo alâmina é pressionada contra o solo (Fmola é negativo!). Para que ela deixe o solo devemos ter:

Fmola ≥ mg

k (x− x0) ≥ mg

onde x é a posição da lâmina de cima.Queremos que a lâmina de cima suba até uma altura xmın que faça a lâmina de baixo apenas

desencostar do solo. Para esta condição de mínimo devemos ter:

k (xmın − x0) = mg

xmın = x0 + mg

k


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Mas pelo ítem anterior temos xmın = hmın = dmın e x0 = mgk. Substituindo obtemos:

dmın = 2mgk

Exercício 6 (Extra)Um bloco de gelo de 45kg escorrega por uma rampa sem atrito de 1, 5m de comprimento e 0, 90mde altura. Um operário aplica uma força no bloco, para cima, paralelamente à rampa, com umaintensidade suficiente para que ele desça com velocidade constante. Determine:

a) a força exercida pelo operário;

Figura 5: Bloco de gelo descendo a rampa - Exercício 1. Diagrama de forças do bloco.

Para que o bloco desça a rampa com velocidade constante devemos ter ~a = 0. Para isso, aresultante das forças em qualquer direção deve anular-se. Por esta razão, conforme a Fig. 5, nadireção paralela ao plano a projeção da força peso deve ser igual à força exercida pelo operário.Assim temos:

Fop. = P|| = P senθ = Ph

d= (450)0, 9

1, 5 = 270N

b) o trabalho executado sobre o bloco pelo operário;Se o bloco desliza por toda a rampa ele percorre 1, 5m e o operário aplica uma força contrária

a este movimento. O trabalho realizado pelo operário é:

Wop. = ~Fop. · ~d = Fop.d cos 180 = −270× 1, 5 = −405J

Ou seja, o operário é empurrado pelo bloco e freia seu movimento, realizando um trabalhonegativo (reduzindo a energia do bloco).

c) o trabalho executado sobre o bloco pelo seu peso;


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A energia armazenada na forma de energia potencial gravitacional é convertida em energiacinética através da realização de trabalho pela força peso. Neste caso, podemos calcular o trabalhoda força peso de três maneiras distintas:

através da definição W = ~F · ~d

Wg = ~P · ~d = Pd cos (90− θ) = Pdsenθ = 405J

através do equacionamento da energia:

∆K = 0 = Wop. +Wg

Wg = −Wop. = 405J

ou através do fato que a força gravitacional é conservativa:

Wg = ∆E = mgh = 450× 0, 9 = 405J

d) o trabalho executado sobre o bloco pela força normal exercida pela rampa;A força normal atua perpendicularmente ao deslocamento do bloco de gelo e portanto não

realiza trabalho: WN = Nd cos 90 = 0.

e) o trabalho total executado sobre o bloco.O trabalho total realizado sobre o bloco é responsável pela alteração total do seu estado de

movimento. Como o bloco permanece com a mesma velocidade e mesma massa (ou seja, mesmaenergia cinética), o trabalho total realizado é nulo.


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