exponencial: equação e função (operações...
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Exponencial: Equação e Função
(Operações Básicas)
Profª: Helen Savi Mondo de Oliveira
Setembro
2014
Um pouco sobre a história O primeiro indício do uso de equações está relacionado,
aproximadamente, ao ano de 1650 a.C., no documento denominado
Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na cidade de
Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de
Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas
relacionados à Matemática. (Noé, 2014)
A ideia de se escrever x . x = x² ou x . x . x = x³ nos parece óbvia,
mas a utilização de numerais indo-arábicos como expoentes de uma
determinada base, na forma utilizada hoje, ocorreu somente por volta
de 1637, sendo atribuída ao grande matemático francês René
Descartes. Silva (2003)
Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um documento egípcio de cerca de 1650 a.C., onde um escriba de nome Ahmes detalha a solução de 85 problemas de aritmética, frações, cálculo de áreas, volumes, progressões, repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares, trigonometria básica e geometria.
Situação 1:
A partir de um determinado instante t, que denominou instante zero (t = 0), um
biólogo começou a estudar o crescimento das populações de duas culturas
bacteriológicas A e B. Após o estudo, o cientista concluiu que em cada instante t, em
minutos, o número f(t) e g(t) de indivíduos de A e B, respectivamente, eram dados por
a) Qual era o número de indivíduos de cada população no instante zero?
Situação 1:
A partir de um determinado instante t, que denominou instante zero (t = 0), um
biólogo começou a estudar o crescimento das populações de duas culturas
bacteriológicas A e B. Após o estudo, o cientista concluiu que em cada instante t, em
minutos, o número f(t) e g(t) de indivíduos de A e B, respectivamente, eram dados por
b) Em que instante o número de bactérias se igualam em cada cultura?
Situação 2
Represente a sua árvore genealógica e escreva o
modelo matemático desta representação:
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS:
1ª Propriedade → Multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes:
2ª Propriedade → Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se os expoentes:
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS:
3ª Propriedade → Potência de um produto:
4ª Propriedade → Potência de uma divisão:
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS:
5ª Propriedade → Potência de potência, conserva-se
a base e multiplicasse os expoentes:
6ª Propriedade → Potência de expoente racional:
Sendo a um número real positivo e K e n
números inteiros, com n ≥ 1, define-se:
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
As equações exponenciais, são expressões
algébricas matemáticas, cuja incógnita se apresenta no
expoente de uma ou mais potências de base positiva e
diferente de 1. Paiva (2005)
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
A forma de resolução de uma equação exponencial permite que
as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática.
Esse tipo de função apresenta características individuais na análise
de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas
desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências
envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia,
Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras. Para
resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas
para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são
iguais.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Toda relação de dependência, em que uma
incógnita depende do valor da outra, é denominada
função. A função denominada como exponencial
possui essa relação de dependência e sua principal
característica é que a parte variável representada por x
se encontra no expoente.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
A lei de formação de uma função
exponencial indica que a base elevada ao
expoente x precisa ser maior que zero e diferente
de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Uma função exponencial é utilizada na
representação de situações em que a taxa de variação é
considerada grande, por exemplo, em rendimento
financeiros capitalizados por juros, no decaimento
radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento
de bactérias e micro-organismos, crescimento
populacional entre outras situações. As funções
exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se
necessário, as regras envolvendo potenciação.
Exemplo
Após o início de um experimento o número de
bactérias de uma cultura é dado pela expressão: N(t) =
1200.20,4t
Quanto tempo após o início do experimento a
cultura terá 19200 bactérias?
Exemplo
Sob certas condições, o número de bactérias B
de uma cultura , em função do temo t, medido
em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o
número de bactérias 6 dias após a hora zero?
Exemplo A partir de um mesmo instante, um cientista começou a
estudar o crescimento de duas populações: uma de cupins e
outra de formigas. As populações de cupins e de formigas
cresceram de acordo com as funções e respectivamente,
sendo f(t) e g(t) os milhares de indivíduos em t meses após
o inicio do estudo.
a) Qual era o número de indivíduos de cada população, um
mês após o início do estudo?
Exemplo
A partir de um mesmo instante, um cientista começou a
estudar o crescimento de duas populações: uma de cupins e
outra de formigas. As populações de cupins e de formigas
cresceram de acordo com as funções e respectivamente,
sendo f(t) e g(t) os milhares de indivíduos em t meses após
o inicio do estudo.
b) Depois de quanto tempo, a partir do início do estudo, as
duas populações tiveram o mesmo número de indivíduos?
Questionamentos
