LIVRO DO FONSECA (Capítulo 1, 3 e 4)

CAPÍTULO 1 - Série 11. Lance um dado e uma moeda.

a) Construa o espaço amostral:É constituído pelo conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento. Logo, o espaço amostral para o experimento sugerido pela questão será todos os eventos possíveis para o lançamento de um dado (6 lados) e uma moeda (cara ou coroa). Sendo assim, S = C1, C2,C3, C4, C5, C6, K1, K2, K3, K4, K5, K6

b) Enumere os seguintes eventos:A= coroa, marcado por número par – Excluindo-se os números ímpares e o lado cara da moeda temos as seguintes possibilidades. A = k2, k4, k6B= cara, marcado por número ímpar – Esse evento é o oposto do item A.B= C1, C3, C5

C= múltiplos de 3 – Nesse caso, utilizamos somente múltiplos de 3 (nesse caso temos 3 e 6) e os eventos cara e coroa. C= 3C, 6C, 3K, 6K

c) Expresse os eventos:a. B – Esse é o evento que ocorre se B não ocorre = C2, C4, C6, k1,

k2, k3, k4, k5, k6b. A ou B ocorrem – esse evento é que ocorre se A ou B ocorrem: P (A

∪B) = k2, k4, k6, C1, C3, C5c. B e C ocorrem – esse é o evento da intersecção: P (B ∩C ¿= 3Cd. AU B - esse é o evento que ocorre se não ocorrer A e B: K1, k3,

k5, C2, C4, C6d) Verifique 2 a 2 os eventos A, B e C diga quais são mutuamente exclusivos

A e B: São mutuamente exclusivos pois não pode ocorrer interseção entre número par e ímpar no mesmo evento. Logo, A ∩B=∅A e C: A= k2, k4, k6 e C=3C, 6C, 3K, 6K . Logo, A ∩C=¿ k6B e C: B= C1, C3, C5 e C= 3C, 6C, 3K, 6K . Logo, B ∩ C= C3

2. Se P(A)= 1/2; P(B)= ¼ e A e B mutuamente exclusivos, calcular.a) P (A) = 1 – ½= 1/2b) P (B) = 1 – ¼ = 3/4c) P (A ∩B) = se são mutualmente exclusivos, então, P (A ∩B)=∅d) P (A U B)= P(A) + P(B) = ½ + ¼ = 3/4e) P (A∩B) = 1 pois esse evento ocorrerá se P (A ∩B) não ocorrer. Como P

(A ∩B) é nulo, então, o outro ocorerrá.

3. Se P (A) = ½; P(B)= 1/3 e P (A ∩ B)=1/4. Calcule:a) P (A U B) = ½ + 1/3 – ¼ = 7/12b) P ( A U B)= ½ + 2/3 – 3/4 = 5/12 c) P (A ∩ B) = ½ + 2/3 – ¾= 5/12

4. Determine a probabilidade de cada evento:a) Um número par aparece no lançamento de um dado não viciado P= 3/6 =

1/2b) Um rei aparece ao extrair-se uma carta de um baralho P= 4/52 = 1/13c) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas

S = (ca, ca, ca), (ca, ca, co), (ca, co, ca), (ca, co, co), (co, ca, ca), (co, ca, co), (co, co, ca), (co, co, co) Logo, P = 7/8

d) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de n moedase) Duas copas aparecerem ao retirar-se duas cartas de um baralho

P = 13/52 x 12/51 = 156/2652= 78/1326= 1/17f) Uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas

de um baralho P(1 copa e 1 de ouro) = (13 C 1) x (13 C 1) / (52 C 2) = 13 x 13/1326 = 169 /1326 = 13 / 102 ou 12,74%

5. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1,2,3...50 Qual a probabilidade de:a) O número ser divisível por 5 = S = 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50 P =

10/50 = 1/5b) Terminar em 3 - S= 3, 13,23, 33, 43 = P = 5/50= 1/10c) Ser primo – s= 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 P =

15/50= 3/10d) Ser divisível por 6 ou 8 – S= 6, 8, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 40, 42, 48 P=

12/50= 0,24

6. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quando retiramos uma carta de baralho? P (rei) = 4/52 P(copas)= 13/52= ¼ P (rei ser de copa) = 1/52 Então, 1/13 + 13/52 – 1/52 = 16/52= 4/13

7. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:a) A soma ser menor que 4 total de possibilidades: P total =6x6 = 36

(a) soma menor que 4: 1+1; 1+2; 2+1 = 3 possibilidadesP = 3/36 = 1/12

b) A soma ser 9 soma 9: (3+6; 4+5; 5+4; 6+3)= 4 possib.P = 4/36 = 1/9

c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo. Evento C= (2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)= P (C)= 15/36 = 5/12

8. Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas (a, b) sem reposição. Qual a probabilidade de a +b = 10?S= (1,9) (2, 8) ( 3, 7) (4,6) = P = 4/10 x 3/9 = 12/90= 6/45= 2/15** diferente livro

9. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:

a) Ela não tenha defeitos graves P= 14/16 = 7/8b) Ela não tenha defeitos P= 10/16= 5/8c) Ela ou seja boa ou tenha defeitos graves P= 10/16 = 2/16 = 12/16 =3/4

10. Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que:

a) Ambas sejam perfeitas P= 10/16 x 9/15= 90/240 = 3/8b) Pelo menos uma seja perfeita P (ser defeituosa as 2) = 6/16 x 5/15 =

1/8, Então, P de as duas não serem defeituosas = 1 – 1/8 = 7/8c) Nenhuma tenha defeito grave P = 14/16 x 13/15 = 182/240 = 91/120d) Nenhuma seja perfeita P= 6/16 x 5/15 = 30/240 = 1/8

11. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de:

a) Todas pretas P (pretas) = 6/11 x 5/10 x 4/9 = 120/990 = 4/33b) Exatamente uma branca P (uma branca) = 5/11 c) Ao menos uma preta P (pelo menos uma preta) = P (3 bolas brancas) =

5/11 x 4/11 x 3/9 = 60/990 = 2/33. Logo, 1 – 2/33 = 31/33 de ter pelo menos uma bola preta

12. Numa classe existem 5 alunos do 40 ano, 4 do 20 e 3 do 30 ano. Qual a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 20 ano, 3 do 40 e 2 do 30?P (2 ano) = 4/12 x 3/11 = 12/132 = 1/11P (4 ano) = 5/12 x 4/11 x 3/10 = 60/1320 = 1/22P ( 3 ano) = 3/12 x 2/11 = 6/132 = 1/22P (total) = 1/11 + 1/22 + 1/22 = 4/22* diferente do livro

13. Numa urna existem N bolas assim distribuídas Nv (bolas vermelhas); Na (bolas azuis) e Np (bolas pretas). Qual a probabilidade de retirarmos números de bolas; sendo Nv, Na e Np?

P =(Nvnv )(Nana )(Npnp )

(Nn )

CAPÍTULO 1 - SÉRIE II

1. Dado P (A)= ½; P (B)= 1/3, P (A∩ B)= ¼, Calcular:a. P (A∪B) = P(A) + P(B) - P (A∩ B)= ½ + 1/3 – ¼ = 6/12 + 4/12 – 3/12

= 7/12

b. P (A/B) = P (A∩B)P(B)

= 1/41/3

= 3/4

c. P (B/A) = P (A∩B)P(A)

= 1/41/2

= 1/2

d. P [(A∪B ¿/B = P (A )+P(B)P (B /A)

= ½+1/3 –1/ 4

1/3= 6/12+4 /12– 3/12

1/3 =

7/121/3 = 7/12 x 3= 21/12= 7/4 *** diferente livro

2. Faça A e B serem eventos com P (A)=1/3; P(B)= 1/3 e P (A ∩ B) = ¼. Encontre P (A/B) e P (B/A).P(A ¿=1−P (A ) = 1 – ½ = ½ e P (B) = 1 – P (B) = 1-1/3 = 2/3 e P (A

∩B ¿=3 /4. Logo, P (A/B)= P (A ¿+P (B )−P ( A∩B )=1/2+2/3−3 /42/3

= 5/12

x 3/2= 15/24= 5/8

P (B/A)= ½+2/3−3/4

1/2= 5/12 x 2 = 10/12 = 5/6

3. Qual a probabilidade de que pessoas ז façam aniversário em dias distintos?O número de resultados possíveis para os aniversários de r pessoas é 365r .O número de casos possíveis onde todas as pessoas fazem aniversário em dias diferentes é dado por 365 × 364 × · · · × (365 − (r − 1)). Portanto, o número de casos possíveis onde pelo menos duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia é a diferença entre o número total de aniversários possíveis e o número de casos onde as pessoas têm aniversários em datas diferentes, ou seja, é igual a 365r − 365 × 364 × · · · × (365 − (r − 1)). Logo, a probabilidade deste evento é: 1 − 365 × 364 × · · · × (365 − (r − 1)) 365r . Para r = 23, temos que essa probabilidade é aproximadamente igual a 0, 51. E para r = 50, essa probabilidade é igual a 0, 97.

4. As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty são respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de:

a. Todos acertarem P (A)= 2/3 x 4/5 x 7/10 = 56/150 = 28/75b. Apenas um acertar: tendo em mente que se 2/3 é a probabilidade de

acerto do primeiro logo 1/3 é a sua probabilidade de erro e assim com os outros jogadores também) 1º caso) o primeiro acertar E o segundo E o terceiro errarem: 2/5 * 1/5 * 3/10 = 2/50 - 2º caso)o segundo acertar E o primeiro E o terceiro errarem: 1/3 * 4/5 * 3/10 = 4/50 - 3º caso)o terceiro acertar E o primeiro E o segundo errarem: 1/3 * 1/5 * 7/10 = 7/150. Portanto pode ocorrer o 1º caso OU o 2º caso OU o 3º caso (quando queremos um ou o outro somamos as probabilidades). R.: 2/50 + 4/50 + 7/150 = 1/6

c. Todos errarem P (P) = 1/3 x 1/5 x 3/10 = 3/150= 1/50

5. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado abaixo é dado por p. Se todos os relés funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que seja corrente entre os terminais L e R?

6. Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas e 3 pretas. Outra contem 18 bolas: 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que duas bolas sejam da mesma cor?Na primeira, a probabilidade é: Branca: 5/12 Vermelha: 4/12 Preta: 3/12Na segunda, a probabilidade é: Branca: 5/18 Vermelha: 6/18 Preta: 7/18Queremos que saiam duas balas iguais. Então, vamos calcular a probabilidade de ambas as bolas (uma de cada urna) serem: Brancas: 5/12 * 5/18 = 25/216 Vermelhas: 4/12 * 6/18 = 24/216 Pretas: 3/12 * 7/18 = 21/216. Portanto, a probabilidade de sairem duas bolas iguais é a probabilidade de saírem duas brancas, somada com a de saírem duas vermelhas, somada com a de saírem 2 pretas: 25/216+24/216+21/216=70/216=35/108. A probabilidade é 35/108

7. Numa bolsa temos 5 moedas de $ 1,00 e 4 de $ 0,50. Qual a probabilidade de ao retirarmos duas moedas obtemos $ 1,50?

?8. Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas. Foram

extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha?P (2 pretas e uma vermelha) = 3. 5/10 x 5/10 x 3/10 = 9/10

9. A urna número 1 contém: 1 bola vermelha e 2 brancas. A urna número 2 contém: 2 bolas vermelhas e 1 branca. Tiramos aleatoriamente uma bola da urna número 1, colocamos na urna número 2 e misturarmos. Em seguida tiramos aleatoriamente uma bola da urna número 1, colocamos na urna 2 e misturarmos. Em seguida tiramos aleatoriamente uma bola da urna 2?Urna 1 -->> P(b)= 2/3 ..e..P(v) =1/3

Urna 2 -->> P(b)= 1/3 ..e..P(v) =2/3

(A) Possibilidade -->> bola retirada de 1 -->> branca -->> urna 2 -->P(b)2/4

e P(v) = 2/4 . Nesta situação --> possibilidade de b em 1 x possibilidade de b em 2 = (2/3)(2/4) = 4/12 (B)Possibilidade -->> bola retirada de 1 -->> vermelha -->> urna 2 -->P(b)1/4 e P(v) = 3/4 .Nesta situação --> possibilidade de v em 1 x possibilidade de b em 2 = (1/3)(1/4) = 1/12 . P(tirarmos uma bola branca da urna 2) = (A) + (B) = 1/12 + 4/12 = 5/12

10. A urna 1 contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna 2 contém z bolas brancas e v vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na urna 2. A seguir uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual a probabilidade de que esta seja branca?P(x) = X / X+Y+Z+V;P(y) = Y / X+Y+Z+VP (z) = Z / X+Y+Z+VP (v) = V / X+Y+Z+VP(X) x P (Z) (X / X+Y+Z+V) x (Z / X+Y+Z+V)

11. Uma urna contém 10 bolas prestas e 5 bolas vermelhas. São feitas retiradas aleatórias. Cada bola retirada é resposta, juntamente com 5 bolas da mesma cor. Qual a probabilidade de saírem nessa ordem: 1 preta, 1 preta, 1 vermelha, 1 vermelha? E nessa ordem; 1 preta, 1 vermelha, 1 preta, 1 vermelha? Dado que a primeira bola é preta qual a probabilidade de que a segunda seja preta?Sequência - PPVV -Considerando: P = preta, V = Vermelha, T= total10P/15T = 2/3 15P/20T = 3/4 5V/25T = 1/5 10V/30T = 1/3 P= 2/3 x3/4 x1/5 x 1/3 = 6/90 = 1/30A sequência PVPV tem o mesmo raciocínio

10P/15T = 2/3 5V/20T = 1/4 15P/25T = 3/5 10V/30T = 1/3 Multiplicando tb dá 1/30

12. Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa B contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa:

a. Qual a probabilidade p de que ambas não sejam defeituosas? P= 5/8 x 3/5 =15/40= 3/8

b. Qual a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra não? P = 2 peças defeituosas e 3 peças boas. Temos duas possibilidades:1°) Caixa A (peça defeituosa) e caixa B (peça boa) = P(A) e P(B)

= P(A) × P(B) = .2°) Caixa A (peça boa) e caixa B (peça defeituosa) = P(A) e P(B)

= P(A) × P(B) = . A probabilidade total (P) é evento 1° ou 2°

= 1° + 2° =

c. Se a peça é defeituosa e a outra não, qual a probabilidade p de que a peça defeituosa venha da caixa A? Caixa A, temos 5 peças boas e 3 defeituosas, e a caixa B, temos 2 peças defeituosas e 3 peças boas.Temos uma condição que é a peça ser defeituosa e vir da caixa A sabendo que a outra é perfeita, usamos a probabilidade condicional para resolver a questão (usaremos as respostas da "b" para resolver esta questão). P (uma peça ser defeituosa e a outra não e a defeituosa vir da caixa A) / (certeza: uma ser defeituosa e a outra não) = P(Caixa A (peça defeituosa) e caixa B (peça boa) = 3/8 × 3/5 9/40 (DA) / 1° ou 2° = 1° + 2° = 19/40 DP)

= P(DA/ DP) = 3/8 x3 /519/ 40 = 9/40 x 40/19 = 9/19

13. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é ¾ e do seu marido 3/5. Calcular a probabilidade de:

a. Apenas o homem estar vivob. Somente a mulher estar vivac. Pelo menos um vivod. Ambos estarem vivos

a) Se apenas o homem vive então a mulher morreu. Logo,

P(HV∩MM )=35×14= 320

b) Se apenas a mulher vive então o homem morreu. Logo,

P(HM∩MV )=25× 34= 620

≡ 310

c) Se pelo menos um vive então não há morte conjunta. Logo,

1−P(HM∩M M )=1−( 25×14 )=1820≡ 910

d) Ambos estarem vivos: ¾ x 3/5 =9 /20

14. Uma urna a contém 4 bolas: 2 brancas, 2 pretas; uma urna B contém 5 bolas: 3 brancas, 2 pretas. Uma bola é transferida de A para B. Uma bola retirada da B e verificada ser branca. Qual a probabilidade de que a bola transferida tenha sido branca?Primeiro, vamos distinguir as bolas da urna A em bolas pretas P1 e P2, e bolas brancas B1 e B2. 1° CASO: Bolas pretas Se eu transfiro uma bola preta para a urna B, essa bola preta pode ser P1 ou P2. Cada bola preta pode ser seguida da retirada de uma bola branca. Então, P1 abre 3 possibilidades e P2 abre mais 3. São 6 possibilidades ao todo. 2° CASO: Bolas brancas Se eu transfiro uma bola branca para a urna B, essa bola branca pode ser B1 ou B2. Cada bola branca pode ser seguida da retirada de 3 mais ela mesma. Assim, B1 abre4 possibilidades e B2 abre mais 4. São 8 possibilidades ao todo. São (6+8) possibilidades; sendo que 8 satisfazem o pedido no enunciado. Probabilidade de 4/7.

15. São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha, A urna B contém duas bolas pretas e 3 vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada na B. Uma bola é então extraída ao acaso da urna B. Pergunta-se:

8

5)( VP

8

3)( BP

Urna

9

5)( VP

9

4)( VP

9

3)( BP

9

2)( BP

a. Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor? P(A) x P(Bp/Ap) + P(A) x P(Bv/Bv) = ½ x 3/6 + ½ x 4/6 = 7/12

b. Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi preta? P(Av) = P (Bp) = 2/5

16. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas de outra cor são colocadas na urna. Uma segunda bola é então selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que:

a. A segunda bola seja vermelha; eb. Ambas as bolas sejam da mesma cor

Observe que as duas bolas colocadas após a 1ª retirada (aumentando para 9 o total de bolas) não são vermelhas, nem brancas. Repare ainda que após esta 1ª retirada a urna ficou com 1 bola a menos que pode ser vermelha ou branca.

a) A segunda bola pode ser vermelha nas opções VV ou BV. Logo a união destes resultados será a soma das probabilidades de cada caso:

P(VV )=58

×49

¿ ¿¿¿b) Bolas de mesma cor ocorrem nas opções VV ou BB. Logo a união destes resultados será a soma das probabilidades de cada caso:

P(VV )=58

×49

¿ ¿¿¿

17. Recorrendo-se ao problema precedente:a. Se a segunda bola é vermelha, qual é a probabilidade de que a

primeira bola seja vermelha?b. Se ambas são da mesma cor, qual a probabilidade de que sejam

brancas? Esta probabilidade é condicional. Considerando V2 = 2ª bola vermelha, temos pelo diagrama que

P(V 2 )=P(VV )+P (BV )=58×49+ 38×59=3572 . A probabilidade

pedida é P(V1\V2). Isto é, sabendo que a segunda já é vermelha.

Logo,

P(V 1¿2)=P(V 1V 2 )P(V )2

=

20723572

=2072

×7235

=2035

≡47

d) Esta probabilidade também é condicional. A probabilidade pedida é P(BB\(VVouBB)). Calculando a probabilidade do evento que já ocorreu,

temos: P(BB∩(BB∪VV )=P(BB)=3

8×29= 672 e

P(BB∪VV )=2672

→(item :b )Logo,

P(BB¿¿¿18. A urna A contém x bolas vermelhas e y bolas brancas e a urna B

contém z bolas vermelhas e v bolas brancas.a. Se a urna é selecionada ao acaso, e uma bola retirada, qual a

probabilidade de que a bola seja vermelha? Se x é vermelho e y branca, P (v) = P urna x P(vermelha/urna) P(v) = P(urna) x P (av) + P (b) = ½ x x/ x+y + z/ z+yP(v) = ½ [ x/ x+y + z/ z+y]

b. Se uma bola é retirada da urna A e colocada na Urna B, e uma bola é retirada da urna B, qual a probabilidade de que a segunda bola seja vermelha? P (v) = P(a) + P (b+1) – P ( a∩B ¿= p (a) + p (b+1) – P(a) x P(b) = x/ x+y + z/ z+v+1 – x/X+Y x Z+V/ Z+V+1 =P(V) xz + xz – xz+ xv – xv + x + yz/(x+y) (Z+V+1)

P(v) = xz+x+ yz

( x+ y )(z+v+1)

19. Uma urna contém x bolas brancas e y bola as pretas. Extarem-se todas elas. Qual a probabilidade de que saiam primeiro as brancas e as pretas?X = branca e y = pretasSe possuirmos x brancas e y pretas, a quantidade de formas diferentes de dispor estas bolas é uma permutação com repetição N(s)= x+y/ x! y!

P(b depois p) = 1/n(s) = 1/ x+y!/ x! y! = x ! y !

( x+ y )!

20. Seja E: lançar dois dados, e A=(x1, x2)/ x1,+ x2 = 8 , B= (x1, x2)/ x1 = x2 , C= (x1, x2)/ x1,+ x2 = 10 , D= (x1, x2)/ x1, > x2 , E= (x1, x2)/ x1, = 2 x2 . Calcular:

a. P (A/B) = P (A∩B) /P(B) = 1/6 x1/61/6 = 1/6

b. P (C/D)= 1/15c. P(D/E) = 1 pois os eventos 4 e 2 ou 6 e 3 sempre obedecem os

eventos D e Ed. P(A/C) = 0 pois x1 + x2 = 10e. P(C/E)= 0, é impossívelf. P(C/A) = 0, dado x1 + x2= 8g. P(A/D)=2/15h. P(B/C)= 1/3, pois S=(5,5), (6,4) (4,6)i. P(A/E) =0 pois S=(2,1), (4,2) (6,3)j. P(B/E) = 0 impossívelk. P(A/B∩C) = 0 pois x1 + x2 = 8l. P(A ∩B/C∩D ¿ = 0 A∩B/C = ∅

21. Temos 2 caixas; na primeira há 3 bolas brancas e 7 pretas e na segunda, 1 bola branca e 5 pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é preta. Qual a probabilidade de que a caixa de onde for extraída a bola seja a primeira? E a segunda?P (Ap) = 7/10 e P (bp) =5/6P (A) = P9Ap) x P (Bp) = 7/10 x ( 1 – P(Bp) = 7/10 ( 1- 5/6) = 7/10 x 1/6 = 7/10I- P (A) = 7/60 II- P (B) = ½ P (B) x P(a) = 5/12 x ( 1- 7/10 )= 5/12 x 3/10 = 1/20

22. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é ¾, de B é 1/6 e de C é 1/20. A probabilidade do indivíduo de classe A comprar um carro da marca D é 1/10; de B comprar da marca D é 3/5 e de C é 3/10. Em certa loja comprou-se um carro da marca D. qual a probabilidade de que o indivíduo da classe B o tenha comprado?P(B | D) = P(B) P(D) / [(P(A)P(D) + P(B)P(D) + P(C)P(D)] = = (1/6)(3/5) / (3/4)(1/10) + (1/6)(3/5) + (1/20)(3/10) = = (3/30) / (3/40 + 3/30 + 3/200) = = (3/30) / (45/600 + 60/600 + 9/600) = (3/30) / (114/600) = = (3 . 600) / 30 . 114) = 60/114 = 10/19

23. Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais de 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?

P ( M + 1,80) = 0,04 x0,02

0,600,050 ,400,02 = 0,00080,038

= 0,21

24. Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B?P(a) = 40/100 = 2/5 , P (B)= 50/100 = 1/5 P (C) = 10/100 = 1/10P( defeito) 3/10, P (defeito) 1/20 e P(Cdefeito)= 1/50

P (vindo de B)= P (B∩Bdefeito)/P (adefeito) =

15x120

3250

+1100

+1500

=25/39

25. Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que tem tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não tem tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste?Chance de ter tuberculose: 1/10Chance de reagir positivamente ao teste tendo tuberculose:80(%) de 1/10 = 4/5 * 1/10 = 4/50 = 2/25Chance de não ter tuberculose: 9/10Chance de reagir positivamente ao teste não tendo tuberculose:30% de 9/10 = 3/10 * 9/10 = 27/100Probabilidade de ter tuberculose ao reagir positivamente ao teste é dada

pela razão entre o número de pessoas que reagem positivamente ao teste e tem tuberculose e o número total de pessoas que reagem positivamente ao teste. Matematicamente: P = [(2/25)]/(2/25 + 27/100)P = [(2/25)]/[35/100]P = (100*2)/(25*35)P = 8/35

CAPÍTULO 1 - SÉRIE III

1 – Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem: n(S)= C,C,C

C,C,KC,K,KK,K,KK,K,CK,C,CK,C,KC,K,C

a) Três caras; P(3C)= ½ X 1/2 X ½ =1/8

b) Duas caras e uma coroa;P (2C e 1K) = n( 2C e 1K)/ n(S) = 3/8

c) Uma cara; P( 1C) = n(1n)/ n(S) = 3/8d) Pelo menos uma coroa;

P(20 menos 1K) = n(1n)/ n(S) = 7/8e) Nenhuma cara.

P(0 C) = n (0 K) / n(S) = 1/8

2 - São lançados dois dados. Qual a probabilidade de: n(S) = 6x6 = 36a) Obter-se um par de pontos iguais;

P( par e igual) = n ( par igual / n ( S) = 6/36 = 1/6b) Um par de pontos diferentes;

P ( par diferente) = P( par igual) = 1 – ( P par igual) = 1 -1/6 = 5/6c) Um par em que o 1º < 2 º;

P ( par 1 < par 2) = 3/9 x 9/36 = 3/36 = 1/12d) A soma dos pontos ser um numero par;

P ( x1 + x2 = par) = P (par) + P (impar) = 9/36 + 9/36 = 2 x 9/ 36 = 6/12 = 1/2

e) Obter-se soma 7, se o par de pontos é diferente; P ( x1 + x2 = 7) = 6/36 = 1/6

f) Obter-se soma 6, dado que o par de pontos é igual;P ( X1 + x2 = 6) 1/36

g) A soma ser 14. P ( x1 + x2 = 14) = P (ᶲ) = 0

3 - A probabilidade de o aluno X resolver esse problema é 3/5 e a do aluno Y é 4/7. Qual probabilidade de que o problema seja resolvido? P ( x) = 3/5 , P ( Y ) = 4/7 P ( resolver ) = P ( X ) x P (Y ) = 3/5 x 4/7 = 12/35

4 – No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o numero 5 ou um número par?P ( S ou par) = P ( S ) x P ( par ) = 1/6 x ½ = 1/12

5 – Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição:

Homens Mulheres Menores 5 3Adultos 5 2

Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de ser homem? P ( h ) = n (h)/n(S) = 10/15 = 2/3

b) Qual a probabilidade de ser adulto? P ( adulto) / n (S) = 7/15

c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher? P ( menor e m) = 3/15 = 1/5

d) Sabendo – se que o elemento escolhidos é adulto, qual a probabilidade de ser homem? P ( H, adulto) = 5/7

e) Dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor? P ( m, menor) = 3/5

6 – Um número é escolhido ao acaso no conjunto 1, 2, 3, ....., 20. Verificar se são independentes os eventos:S = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

a) X: o número é múltiplo de 3.Y: o número é par.

X = 3, 6,9,12,15,18 ; Y 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 Para serem independentes P ( X Ω Y) = P( X ) . P( Y ) P ( X Ω Y) = 3/20, P(X).P (Y) = 6/20 x 10/20 = 3/20 logo, P ( X Ω Y) = P (X).P(Y)= 3/20, assim x e y são independentes.

b) M: o número é primo. N: o número é impar.M=2,3,5,7,11,13,17,19N=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19

P(MΩN)= 7/20 ; P(M)x P(N)= 2/20 X 10/20 = 4/20P(MΩN) ≠ P(M)x P(N) ENTÃO, M e N não são independentes.

7 – Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o sexo e filiação partidária, a seguinte composição:Partido X Partido Y21 39 Homens 14 26 Mulheres

Calcular:a) A probabilidade de um escolhido ser homem;P(N)= 21+39/100= 3/5 ou 60%b) A probabilidade de um escolhido ser mulher do partido Y;P(M em Y)= 26/40= 13/20 OU 65%c) A porcentagem dos partidários do Y;P(Y)= 65/100 OU 65%d) A porcentagem dos homens filiados á X;P(N em X)= 21/35 OU 60%e) Se o sorteado for da X, qual a probabilidade de ser mulher;

P(M em X)= 14/35 OU 40%f) Se o sorteado for homem, qual a probabilidade de ser do Y.P(N em Y)= 39/65 OU 60%

8 – Prove: se A e B são eventos independentes e mutuamente exclusivos, então P (A) = 0 ou P (B) = 0.P(AΩB)= P(ᶲ) = 0Mas, P ( A Ω B) = P (A).P(B) logo, P (A) x P(B) = 0P (A)= 0 - - P (B)= 09 – Prove: se A e B são eventos independentes e de probabilidades não nulas, então A e B não nulas, então A e B não são mutuamente exclusivos, isto é, A Ω B # ᶲ.A e B INDEPENDENTES COM P(A) ≠ 0 e P(B)≠0P(AΩB)= P(A)x P(B) P(A)= P(AΩB)/ P(B); P(B)≠O

10 – Prove: os eventos A e S são independentes.A e S são independentes?P(AΩS)= P(A)x P(S); P(S)= 1P(A ΩS)= P(A) LOGO, P(A)x P(S)= P(A)x 1= P(A)PORTANTO, P(AΩS)= P(A)xP(S)= P(A), Assim A e S são independentes.

11 – Prove: os eventos A e ᶲ são independentes.A e ᶲ são independentes?P(AΩᶲ) = P(ᶲ) = 0; P(A)= P(A) E P(ᶲ)=0P(AΩᶲ)= P(A)x P(ᶲ)= P(ᶲ)=0LOGO, A e ᶲ são independentes.

12 – Prova: os eventos S e ᶲ são independentes.S e ᶲ são independentes?P(SΩᶲ)= P(ᶲ)= 0 e P(S)x P(ᶲ)= 1 x 0 = 0LOGO, P(SΩᶲ) = P(S)x P(ᶲ)= 0S e ᶲ são independentes.

CAPÍTULO 3 - Exercícios

1) Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades: a) de ocorrer 6 caras; n=10; P= 1∕2; q= 1∕2P(6c)= P(y=5)= (10∕6)x(1∕2)6x(1∕2)4= (10.9.8.7.6 ∕ 6.5.4.3.2) x (1∕64) x (1∕16)= 315∕1536 P =105∕512b) de dar pelo menos 2 caras; P(y> 1) = 1-P(y=1-1); P(y=y) = (n∕y) pyqn-y

P(y> 1) = 1-P(y=0)= 1-p0 x q10= 1-1x 1∕210 = 1- 1∕1024.P(y> 1) = 1024-1∕1024 = 1023∕1024.c) de não dar nenhuma coroa; P(ok)= P(y=0) = p0 x q10= 1-1x 1∕210 = 1- 1∕1024.d) de dar pelo menos uma coroa; P(> 1k) = P(> 1c) = 1- P(y=0) =1-1x 1∕210 = 1- 1∕1024.P(> 1k) =1023∕1024.e) de não dar 5 caras e 5 coroas.P (y ≠ 5c e y ≠ 5k) = 1 - P (y = 5c e y = 5k)P (y ≠ 5c e y ≠ 5k) = 1 – (10∕5) x (1∕2)2 x (1∕2)5 = 1- (10x9x8x7x6x5 ∕ 5x5x4x3x2) x 1∕210

P (y ≠ 5c e y ≠ 5k) = 1- 252 ∕1024 = 1024 - 252 ∕ 1024P (y ≠ 5c e y ≠ 5k) = 772∕1024 = 386∕ 512 = P (y ≠ 5c e y ≠ 5k) = 193∕ 256

2) Admitindo-se o nascimento de meninos e meninas seja iguais, calcular a probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 filhos homens e 2 mulheres.Nº meninos = nº meninas6 filhos ; 4H e 2MP(2h) = P(y=2) = (6 ∕ 4) x (1 ∕ 2)4 x (1∕ 2)6-4 = (6 x 5 x 4! ∕ 4! 2!)x (1∕24) x (1∕4)=P(2h) = 15∕1 x 1∕64 = 15∕64.

3) Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem: a) nenhuma menina; n=4; p = 1 P(2h) =2; q= 1 P(2h) =2P(y=m=o) = P (y=n=n) = (n∕ n) x (1∕2)4 x 320 = 1 x (1∕16) x 320 =P(y=m=o) =20.b) 3 meninos; P(y=3h) = (4 ∕ 3) x (1 ∕ 2)4 x 320 = (4x3! ∕ 3!) x 1 ∕16 x 320 = P(y=3h) = 80c) 4 meninos.P (y=n=n) = (4 ∕ 4) x (1 ∕ 2)4 x 320 = 20.

4) Qual a probabilidade de se obter ao menos uma vez o ponto 3 em n jogadas de um dado?Y = 3 em n jogadas; P(y=3) =?P(y> 1) = 1-P(y=0)= 1-p0 x q10

Onde q = 5 ∕6P(y> 1) = 1- (5 ∕6)n OU P(y> 1) = 6n – 5n ∕ 6n

5) Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, calcule a probabilidade de:p (x) = 2 ∕3 ; n= 5; p = 1 ∕3; q= 2 ∕3a) X vencer exatamente 3 partidas; P(y=3) = (5 ∕3) x (1 ∕3)2 x (2 ∕3)2 = (5x4x3! ∕ 3!x2x1) x (1 ∕27) x (4 ∕ 9)P(y=3) = 40 ∕243b) X vencer ao menos uma partida; P(y> 1) = 1-P(y=0)= 1- P(y=0) = 1 – (5∕5) X (2∕3)0 x (1∕ 3) =P(y> 1) = 1- 1∕243 = 243-1 ∕ 243 = P(y> 1) = 242∕243c) vencer mais da metade das partidas.P(y> 3) = P(y=3) + P(y=4) + P(y=5)P(y> 3) = 40∕243 + (5∕4) x (1∕3)4 x (2∕3)1 + (5∕5) x (1∕ 3) 5 X (2∕3)0 =P(y> 3) = 40∕243 + (5x4 ∕ 4x1 ) x 2x 35 + 1∕ 35 =P(y> 3) = 40∕ 243 + 10∕ 243 + 1∕243 =P(y> 3) = 51∕ 243.

6) A probabilidade de um atirador acertar um alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de: P= 1∕3 ; q= 1-P = 1- 1∕3; q= 2∕3; n = 6a) acertar exatamente 2 tiros; P (y=2) = (6∕2)x (1∕3)2 x (2∕3)4 = (6x5x4! ∕ 2!4!) x 1∕9 x 16∕81=P (y=2) = 80∕243b) não acertar nenhum tiro.P (y=0) = P(y=5) = (5 ∕5) x (1 ∕3)0 x (2 ∕3)6-0 =P (y=0) = 64 ∕729.

7) Num teste de certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das perguntas?P=1 ∕2 ; q= 1 ∕2P(70%) = (100 ∕70) x p70 x q30 = P(70%) = (100 ∕70) x (1 ∕2)70 x (1 ∕2)30 =

P(70%) = (100 ∕70) x (1 ∕2)100

8) Uma variável aleatória com distribuição binomial tem a função repartição dada por:

F(0) = 1/243 F(3) = 131/243F(1) = 11/243 F(4) = 211/243F(2) = 51/243 F(5) = 1

Determinar:A) n B) p e q C) média de Y D) variância de YE) P(Y >= 1)= a) =5b) p= 2/3 e q= 1/3c) np= 5 x 2/3 = 10/3d) npq= 5x (2/3) x (1/3) = 10/9e) F1 + F2 +F3 + F4 + F5 = 242/243.f)P (2< y < 4) = P (y=2) + P(y=3) + P ( y=4) = 51/243 + 131/243 + 211/243 = 200/243.

9) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, ache a probabilidade de que numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: P= 5% = 5/100= 1/20; q= 1-P= 19/20a) nenhuma defeituosa; P(y=0) = (100/100) x (1/20)100 x (19/20)100=P(y=0) = (19/20)100 = (0,95)100

b) 3 defeituosas; P(y=3) = (100/3) x (1/20)3 x (19/20)97

P(y=3) = (100/3) x (0,05)3 x ( 0,95)97

c) mais do que 1 boa.P(y>1) = 1- (1/20)100 – 100 x 19/20 x (1/20)99

P(y>1)= 1- (0,05)100 – 100 x 0,95 x (0,05)99

10) Aplique a definição de Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta para que a média de uma binomial é n x p e a variância n x p x q:Se µ (x) =pµ (y) = nµ (x)=npSe б (x) = pxq б2 (y) = n б2 (x) = npq

Distribuição Multinomial11) Jogue um dado 8 vezes. Calcule a probabilidade de aparecer 2 números 2; 2 números 5 e os demais números, uma vez.N=8P(x1, x 2, x 3, ...x k) = (n! / x1!, x 2!, ...x k!)P (2,5) = (8x7x6x5! / 2!5!) x (1/6)2 x (1/6)5 = 35/5832

12) As lâmpadas coloridas produzidas por uma fábrica são 60% verdes, 30% azuis e 10% amarelas. Em 5 lâmpadas, encontre a probabilidade de que 2 sejam verdes, 1 azul e 2 amarelas.P(2,1,20= (5x4x3x2x1 / 2x1x1x2x1) x (1/10)2 x (1/10)1 x (1/10)2 = 0,0324

13) O sangue humano foi classificado em 4 tipos: A, B, O e AB. Numa certa população, as probabilidades destes tipos são respectivamente: 0,40; 0,45; 0,10 e 0,05. Qual a probabilidade de que em 5 indivíduos escolhidos ao acaso haja: a) dois do tipo A e um de cada um dos outros?P(2,1) = (5x4x3x2x1 / 2x1x1) x 0,402 = 0,0216

b) Três do tipo A e dois do tipo O?P(3,2)= (5x4x3x2x1 / 2x1x3x2x1) x (0,45)3 x (0,40)2 = 0,1296.

Distribuição de Poisson14) Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um estouro de pneu a cada 5000 km.P(x=k) = e-µ x µk / k! ; onde µ = ƛ.ƭa) qual a probabilidade que num teste de 3000 km haja no máximo um pneu estourado? µ=1/5000P(ooU1)= P(0) + P1 = e1/5000x (1/5000)0 / 0! + e-(1/5000)x(1/5000)1 / 1! = 0,8784b) qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum pneu?P(0) = e-1/5000 x ((1/5000)0 / 0! = 0,2020

15) Certo posto de bombeiros recebe em média três chamadas por dia. Calcular a probabilidade de:a) receber 4 chamadas num dia; P(4) = e-3 x (3)4 / 4! = 0,168b) receber 3 ou mais chamadas num dia.P(x> 3) = 1 – e-3 x 30 / 0! - e-3 x 31 / 1! - e-3 x 32 /2! = 0,5767

16) A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Qual a probabilidade de: a) receber exatamente 3 chamadas numa hora? P(x=3) = e-3 x 33 / 3! = e-3 x 27 / 6 = 0,2241b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos? P(x> 4) = 1- P(3) –P(2) – P(1) –P(0)=1- e-4,5 x (4,5)3 / 3! – e-4,5 x (4,5)2 / 2! - e-4,5 x (4,5)1 / 1! - e-4,5 x (4,5)0 / 0! = 0,658

17) Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 x 2m?µ= x.t = 1def/1m2 .2m2 = µ=2P(x=3) = e-2 x 23 / 3! = e-2 x 8 / 6 = 0,1804

18) suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000. Em uma cidade de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido: µ= x.t = 2suic / ano x 1 / 50.000 = 1/ 25.000a)0 P(0) = e-1/ 25000 x (1/ 25000)0 / 0! = 0,0183b)1 P(1)= e-1/ 25000 x (1/ 25000)1 / 1! =0,0732c)2 P(2)= e-1/ 25000 x (1/ 25000)2 / 2! = 0,1464d)2 ou mais suicídiosP(x>2)= 1- P(1) – P(0) = 1- 0,0732 – 0,0183 = 0,9085

19) Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha: µ= 400/500 = 4/5 = 0,8a) nenhum erro; P(0)= e-0,8 x (0,8)0 / 0!= 0,449b) exatamente 2 erros.P(2)= e-0,8 x (0,8)2 / 2! = 0,1437

20) Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora:

µ= 2 clientes / hora = 2a) atender exatamente 2 clientes; P(2)= e-2 x 22 / 2! = e-2 x 4 / 4 = e-2 x 2 = 0,2706b) atender 3 clientes.P(3)= e-2 x 23 / 6 = e-2 x 8 / 6 = e-2 x 4 / 3 = 0,180421) Aplicando as definições de média e variância, prove que a média e variância de uma Poisson são iguais a ƛƭ. P(x) = e-µ x µ / x!; onde µ = ƛƭ

i) µ (x) =npt, np = ƛ µ(x) = ƛƭ

ii) б2 (x) = np (1-p)б2 (x)= ƛ (1-p)б2 (x)= ƛƭ

CAPÍTULO 4 – SÉRIE 1

Distribuição Uniforme

1. Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [1,4]. Calcular: a) probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 2 e 3 b) entre 0,5 e 2,5c) seja exatamente o 2d) a media dessa distribuiçãoe) a variância dessa distribuição

a)

b) c) zero, devido aos infinitos pontos na reta

d) média =

e) variância =

2. Calcular a expressão para a média e variância de uma variável uniformemente distribuída entre a e b.

3. Suponha que X seja uniformemente distribuído entre [-e, e], em que e > 0. Quando possível, calcular e de modo que as seguintes relações sejam satisfeitas:a) P (X > 1)= 1/3b) P(X > 1)= 1/2c) P (X < 1/2)= 0,7d) P(X < 1/2)= 0,3

a)

b) ;

c)

d)

Distribuição Normal

4. Faça z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre (use a tabela):a) P (0 < z < 1,44 )= b) P(-0,85 < z < 0)= c) P (-1,48 < z < 2,05)=d) P(0,72 < z <1,89)=e) P(z > 1,08)=f) P(z > - 0,66)=g) P(|z| < 0,5)=

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

5. A duração de um certo componente eletrônico tem media 850 dias e desvio-padrão 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar:a) entre 700 e 1000 dias;b) mais que 800 dias;c) menos que 750 dias;d) exatamente 1000 dias.Qual deve ser o numero de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos componentes?

a)

Probabilidade de 100%

b) probabilidade de 36,65%

c) probabilidade de 1,32%δδ

d) zero, a área do gráfico é zero quando o intervalo de z é zero.

6. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com media 65,3 kg e desvio-padrão 5,5 Kg. Encontre o numero de alunos que pesam:

a) entre 60 e 70 Kg; =

b) mais que 63,2 Kg.

7. Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com media 73 e desvio-padrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais atrasados recebem nota F. encontre o mínimo para receber A e o mínimo para passar, não recebe F.

8. Uma fabrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de media 48.000 km e desvio-padrão 2.000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: a) dure mais que 46.000 km;b) dure entre 45.000 e 50.000 km.

9. X é uma variável aleatória continua, tal que X = N (12,25). Qual a probabilidade de uma observação ao acaso:a) ser menor do que -3b) cair entre -1 e 15.

10. O salario semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma media de $ 180,00 com desvio-padrão de $ 25,00. Pede-se:a) encontre a probabilidade de um operário ter salario semanal situado entre $ 150,00 e $ 178,00.b) dentro de que desvios de ambos os lados da media, cairão 96% dos salários?

11. Certo produto tem peso médio de 10g e desvio-padrão 0,5g. É embalado em caixas de 120 unidades que pesam em media 150g e desvio-padrão 8g. Qual a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais de 1.370g?

12. Determinada maquina enche latas baseada no peso bruto com media 1Kg e desvio-padrão 25g.As latas tem peso de 90g com desvio-padrão 8g. Pede-se:a) a probabilidade de uma lata conter menos de 870g de peso liquido;b) a probabilidade de uma lata conter mais de 900g de peso liquido.

13. Um avião de turismo de 4 lugares pode levar uma carga útil de 350 Kg. Supondo que os passageiros tem peso de 70 Kg com distribuição normal de peso e desvio-padrão 20 Kg, e que a bagagem de cada passageiro pese em media 12 Kg, com desvio-padrão 5 Kg e distribuição normal do peso. Calcular a probabilidade de:a) haver sobrecarga se o piloto não pesar os 4 passageiros e respectiva bagagem;b) que o piloto tenha de tirar pelo menos 50 Kg de gasolina para evitar sobrecarga.

14. Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19. Encontrar a media e a variância da distribuição.

15. Seja Y uma função tal que Y= X1 + X2 + X3 e as variáveis X, são independentes com as seguintes distribuições: X1 = N (10; 9); X2 = N(-2;4); X3 = N(5; 25). Qual é a distribuição de Y?

16. Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fabrica é de 0,25 polegadas, e o desvio-padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é

considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas.a) encontre a porcentagem de parafusos defeituosos;b) qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos?

17. Suponha que a duração de vida de dois equipamentos E1 e E2 tenham respectivamente distribuições: N (45;9) e N(40;36). Se o equipamento tiver que ser usado por um período de 45 horas, qual deles deve ser preferido?

18. Certa maquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso com desvio-padrão de 20g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10% tenham menos que 400g?Calcule a probabilidade de um pacote sair com mais de 450g.

19. Sendo Xd N( µ;σ2), determine:a) P(µ- σ≤X≤ µ+σ)b) P(µ- 2σ≤X≤ µ+2σ)c) P(µ- 3σ≤X≤ µ+3σ)d) P(µ- 1,5σ≤X≤ µ+1,5σ)e) P(µ- 3,5σ≤X≤ µ+3,5σ)

20. Com base nas respostas obtidas no exercício anterior, pode-se concluir que:a) o intervalo compreendido entre valor e média menos “um” desvio – padrão e o valor da média mais “um” desvio – padrão contém aproximadamente 68% das observações. Elabore conclusões semelhantes, considerando os resultados obtidos nos outros itens do exercício 19.

21. Como você verá no capítulo 5, os pacientes (Pi) são medidas estatísticas que dividem uma distribuição em 100 partes iguais. Da mesma forma os decis (Di)dividem a distribuição em dez partes iguais, enquanto os quartis (Qi) dividem a distribuição em quatro partes iguais, e a mediana (Md) divide a distribuição em duas parte iguais. Ou seja:

Determine o que se pede:a)P5 de uma N (18,64)b) P85 de uma N (20,100)c)D1 de uma N (30,49)d) D1 de uma N (120,81)e) Q1 de uma N (5,9)f) Q3 de uma N (78,121)g) Md de uma N (30,40)

22. Usando a tabela da distribuição N(0.1) determine Z0 tal que:

a) P(Z<Z0)= 0,05b) P(Z<Z0)= 12%c) P(Z<Z0)= 35%d) P(Z<Z0)= 50%e) P(Z<Z0)= 60%f) P(Z<Z0)= 75%g) P(Z<Z0)= 90%h) P(Z<Z0)= 72%i) P(Z<Z0)= 0,65j) P(Z<Z0)= 0,38k) P(Z<Z0)= 0,08

23. Uma lâmpada tema duração de acordo com a densidade de probabilidade a seguir :

Determinar: a) A probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime antes de 1.000horas;b) A probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração

média;c) Qual é o desvio- padrão da distribuição

24. Se as interrupções no suprimento de energia elétrica ocorrem segundo uma distribuição de Poisson com a média de uma interrupção por mês ( quatro semanas), qual a probabilidade de que entre duas interrupções consecutivas haja um intervalo de :

a) menos de uma semanab)entre dez e doze semanas;c) exatamente um mês;d) mais de três semanas.

25. Prove que f(t) é uma função densidade de probabilidade.

26. Prove que µ (t)= 1λ .

27. Prove que σ2 (t)= 1.λ2

EXERCÍCIOS SÉRIE II

1. Considere uma distribuição qui-quadrado com 23 graus de liberdade. Determine a média, variância, desvio-padrão, mediana e terceiro quartil.

2. Determine os valores do X2sup e X2

inf.

Média ( 232 ) 23

2 Variância: ( 23) 2 23 46 Desvio-padrão:( 23) 46 6,7823 Mediana: consultando a tabela de distribuição de qui-quadrado, no encontro da linha 23com a coluna 0,5logo temos M d(23

2 ) 22,3 3º Quartil: na tabela, para 23 e 0,25encontramos Q3 27,1

Na tabela: 8 e 0,1 temos; sup

2 13,4 8 e 0,9temos: inf

2 3,49

3. Considere uma distribuição t com parâmetro 23. Determine a média, variância, desvio-padrão, primeiro quartil, o quinto percentil e moda. media: (t23) 0 Variância: (t23) 1,095 Desvio-padrão: (t23) 1,095 1,046 Na tabela: Q1 0,68531 P5 1,7139

4. Consulte a tabela para descobrir os valores das abcissas.

Na tabela para 20temos: Em 5% t 2,086 Em 25% t 1,1848

5. Admite uma distribuição F com ϕ1=8 e ϕ2=10. Determine a média, variância, desvio-padrão e moda bem como as abcissas para:

Média: 2 10 1,25 2 2 8 Variância: 2 2( 22(14)( 2 2)2)2 28(1010 (82 4)(10 10 2)2)2 8200 61664 32003072 1,0416 1 2 2 Desvio-padrão: 1,0416 1,0206 1,021 Moda: M0 1 2 2 2 8 8 21010 12 8 226 10 0,75 0,45 0,3409

1 2

6. Determine o que se pede:

a) Primeiro quartil de uma distribuição N(100;49)b) Z0, tal que : P( Z> Z0)= 65%c) Z0, tal que : P( Z> Z0)= 80%d) P(-1,57≤Z≤2,42)e) 90° percentil de uma distribuição N(R$2.000,00;R$2.225,00)f) Mediana de um qui-quadrado com parâmetro 30.g) X2 tal que: P (X2

15< X2)=10%h) X2 tal que: P (X2

20< X2)=0,25%i) 9° decil de um qui-quadrado com variância 50.j) P (13,8≤ X2

26≤ 38,9)k) 3° quartil de um “t” de Student com ϕ=5.l) P(t8 >2,3060)m) P(t14 <-2,9768)n) P(-1,1816≤t22≤ 2,7500)o) 5° percentil de um F(8,7)p) 95° percentil de um F(7,8)q) P(0,00418≤F(1,8)≤5,32)r) P(F(6,4)<0,22075)