8/12/2019 Exerccios - Unidade 15

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4.

a) Mostre que uma funo logartmica transforma toda progresso geomtrica em uma progresso aritmtica.b) Interprete a propriedade acima com base no crescimento da funo logartmica.c) A propriedade demonstrada no item a) pode ser considerada uma caracterizao para as funes logartmicas,

isto , verdade que uma funo logartmica se, e somente se, transforma toda progresso geomtrica em umaprogresso aritmtica?

a) Seja uma funo logartmica e uma PG, logo constante.Seja tambm

Logo, uma PA.

b) Se tomarmos valores para x tal que uma PG teremos emuma PA.

c) Teorema 8.8, pgina 195, Nmeros e Funes Reais, Elon Lages Lima.Seja uma funo montona injetiva (isto , crescente ou decrescente) tal que

para quaisquer . Ento existe tal que para

todo .

item b)

teorema 8.8(Livro: Nmeros e Funes Reais, E.L.L.)

5.(UNIRIO/1994) Um explorador descobriu, na selva amaznica, uma espcie nova de planta e, pesquisando-adurante anos, comprovou que o seu crescimento mdio variava de acordo com a frmula , onde a

altura mdia medida em centmetros e o tempo t em anos. Sabendo-se que e, determine:

a) a altura mdia, em centmetros, de uma planta dessa espcie aos anos de vida;

b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura mdia de .

a)A altura mdia ser .

b)6.(UERJ/2008) Admita que, em um determinado lago, a cada de profundidade, a intensidade de luz

reduzida em , de acordo com a equao , onde a intensidade da luz em uma profundidade, em centmetros, e a intensidade na superfcie. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a

intensidade da luz, em um ponto , de daquela observada na superfcie. Determine um valor aproximado

para a profundidade do ponto .

A intensidade da luz para o mergulhador .

O mergulhador est a aproximadamente .

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7.O acidente do reator nuclear de Chernobyl, URSS, em 1986, lanou na atmosfera grande quantidade do istoporadioativo estrncio-90, cuja meiavida de vinte e oito anos. Supondo ser este istopo a nica contaminaoradioativa e sabendo que o local poder ser considerado seguro quando a quantidade de estrncio-90 se reduzir,

por desintegrao, a da quantidade inicialmente presente, em que ano o local poder ser habitado novamente?

Para .

Para .

Para .

Para

O local poder ser habitado novamente em 2098.

8.Os grficos a seguir foram desenhados por um programa de computador, em eixos com escalas

logartmicas decimais. Isto , se o sistema de coordenadas cartesianas convencional, ento e

. A janela grfica e .

a) O grfico acima, esquerda, representa a famlia de curvas , em que varia de a . Expliquepor que as curvas tm este aspecto.

b) O grfico acima, direita, representa a famlia de curvas , em que varia de a . Explique porque as curvas tm este aspecto.

c) Observe que os intervalos escolhidos para ambos os eixos nessa escala comeam em . Como vocjustificaria essa escolha? Faria sentido comear os eixos em ?

d) Nesses eixos, cada unidade linear corresponde a uma multiplicao por . Explique esta afirmao.

a)Logo, o coeficiente linear, variando os valores de k temos retas paalelas.

b)Logo, k o coeficiente angular, variando os valores de k temos retas concorrentes que passam por

.

c)

Como os eixos representam logaritmos, no faz sentido come-los com zero pela prpriacondio de existncia dos logaritmos.

d) Notemos que cada unidade em (respectivamente ) temos uma variao de uma dezena em ,de fato:

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9.Em algumas situaes, para expressar certas grandezas, mais conveniente empregar as chamadas escalaslogartmicas do que as escalas lineares convencionais. Este o caso, por exemplo, da escala Richter de terremotos.Na escala Richter, a intensidade I de um terremoto, expressa em graus, definida da seguinte forma:

Em que representa a energia liberada pelo terremoto, medida em , e .a) Qual a energia liberada por um terremoto de graus na escala Richter? E por um terremoto de graus?

b) Qual a relao entre a energia liberada por um terremoto de grau e a energia liberada por um terremoto degrau na escala Richter?c) Por que voc acha que o uso de uma escala logartmica conveniente, no caso da medio de intensidade deterremotos?d) Pesquise outros exemplos de situaes em que o uso de escalas logartmicas mais conveniente.

a) Para um terremoto de 3 grausPara um terremoto de 9 graus

A energia liberada em um terremoto de 3 graus na escala Richter de aproximadamente

e em um terremoto de 9 graus de .

b) Para temos e para temosFazendo temos

A energia liberada em um terremoto de grau vezes maior do que a energia de

um terremoto de grau .

c) Porque a variao de energia em um terremoto e muito grande e uma escala logartmica torna osvalores mais simples, facilitando a compreenso do fato.

d) Medida da acidez de um lquido (PH), medida da intensidade sonora, desintegrao desubstncias radioativas.