UNIDADE 11

1. Um estudante anotou a posição, ao longo do tempo, de um móvel sujeito a uma força constante e obteve os dados abaixo:

Instante (seg) Posição (metros)0 1710 4520 81

Calcule a posição do móvel nos instantes 5 seg, 15 seg e 25 seg.

A função é da forma f ( t )=a t2+bt +c. Temos como dados iniciais: f (0 )=17, f (10 )=45 e f (20 )=81, assim:

f (0 )=17⇒ a .02+b.0+c=17⇒ c=17

f (10 )=45⇒ a .102+b.10+c=45⇒ 100a+10b+17=45⇒100 a+10b=28 ( I )

f (20 )=81⇒a .202+b .20+c=81⇒ 400a+20b+17=81⇒ 400a+20b=64 (II )

Fazendo ( II )−2 . ( I ) temos:

200a=8⇒a= 8200

⇒ a= 125

Substituindo a= 125

em ( I ) temos

100.125

+10b=28⇒10b=28−4⇒b=2410⇒ b=12

5

Logo, a função que representa o movimento é f ( t )= t 2

25+12 t5

+17

f (5 )= 52

25+ 12.55

+17=1+12+17=30

f (15 )=152

25+ 12.15

5+17=9+36+17=62

f (25 )=252

25+12.25

5+17=25+60+17=102

∴ A posição do móvel nos instantes 5 seg, 15 seg e 25 seg são respectivamente 30m, 62m e 102m.

2. O motorista de um automóvel aplica os freios de modo suave e constante, de modo a imprimir uma força de frenagem constante a seu veículo, até o repouso. O diagrama a seguir mostra a posição do veículo a cada segundo a partir do instante em que os freios foram aplicados.

a) Os dados acima são compatíveis com o fato de a força de frenagem ser constante?b) Qual a posição do veículo 5s após o início da frenagem?c) Quanto tempo o veículo demora para chegar ao repouso?d) Qual era a velocidade do veículo no instante em que o motorista começou a aplicar os freios?

a) Sim. Intervalos de tempo iguais implicam em redução de distância iguais.

b) Encontrando a função da posição f (t )=a t2+bt +c. Temos como dados iniciais: f (0 )=0, f (1 )=30, f (2 )=55, f (3 )=75.

f (0 )=0⇒ a .02+b.0+c=0⇒ c=0f (1 )=30⇒a .12+b .1+0=0⇒ a+b=30 ( I )f (2 )=55⇒a .22+b .2+0=0⇒ 4 a+2b=55

Fazendo ( II )−2 . ( I ) temos: 2a=−5⇒ a=−52

Substituindo a=−52

em ( I ) temos: −52

+b=30⇒ b=30+ 52⇒ b=65

2

Verificando os valores em f (3 )=75

f (3 )=−52

.32+652.3+0=−45

2+ 1922

=1502

=75

Logo, f ( t )=−52

.t 2+ 652

. t

f (5 )=−52

.52+ 652.5=−125

2+3252

=2002

=100

∴ A posição é 100m.

c) A função da velocidade é dada por v (t )=2at +b=2.(−52 ) .t + 652⇒ v (t )=−5 t + 65

2

v (t )=0⇒−5. t+ 652

=0⇒−5. t=−652

⇒ t= −652 (−5 )

⇒ t=6,5

d) v (0 )=−5.0+ 652

=32,5

80

60 xy

x

60-y

80-x

y

60

80

100

y

xh

∴ A velocidade era 32,5m /s.

3. Numa vidraçaria há um pedaço de espelho, sob a forma de um triângulo retângulo de lados 60cm, 80cm e 1m . Quer-se, a partir dele, recortar um espelho retangular com a maior área possível. A fim de economizar corte, pelo menos um dos lados do retângulo deve estar sobre um lado do triângulo.

As posições sugeridas são as da figura acima. Em cada caso, determine qual o retângulo de maior área e compare os dois resultados. Discuta se a restrição de um lado estar sobre o contorno do triângulo é realmente necessária para efeito de maximizar a área.

1º caso:Sejam x e y os lados do retângulo. Usando semelhança de triângulos nos triângulos interiores temos:

60− yx

= y80−x

⇒ (60− y ) (80−x )=xy⇒4800−60 x−80 y+xy=xy⇒60 x+80 y=4800

⇒6 x+8 y=480⇒3 x+4 y=240⇒ y=240−3x4

A área do retângulo interior é:

Aret=x . y=x .( 240−3 x4 )=−3 x2+240x

4=−34

x2+60 x

A área é máxima quando x=−b2a

= −60

2.(−34 )=−60.42. (−3 )

=−240−6

=40 e y=

240−3.404

=30 cuja área é

30.40=1200cm2

∴ O retângulo de maior área tem os lados com 40cm e 30cm.

2º caso:Sejam x e y os lados do retângulo. Tracemos a altura relativa à hipotenusa no triângulo externo.

ah=bc⇒ 100h=60.80⇒ h=48

Usando semelhança de triângulos nos seguintes triângulos:

60

80

100

48x

48-y

10048

= x48− y

⇒100 (48− y )=48x

⇒ 4800−100 y=48 x⇒100 y=4800−48 x⇒ y=48−0,48 x

A área do retângulo é: Aret=x . y=x . (48−0,48x )=−0,48 x2+48 x

A área é máxima quando x=−b2a

= −482. (−0,48 )

=50 e y=48−0,48.50=24 cuja área é

50.24 .=1200cm2.

∴ O retângulo de maior área tem os lados com 50cm e 24cm.

Em ambos os casos a área é igual à metade da área do triângulo. É possível demonstrar que se um lado do retângulo não estiver sobre o contorno do triângulo a área será menor que a metade da área do triângulo.

4. Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma área retangular junto a um rio para confinar alguns animais.

Quais devem ser as medidas do retângulo para que a área cercada seja a maior possível?

Sejam x e y os lados da cerca. O comprimento da cerca é de 2 x+ y que deve ter 80m, logo 2 x+ y=80⇒ y=80−2 x

A área da região cercada é xy=x . (80−2 x )=−2 x2+80x .

A área máxima é dada quando x=−b2a

= −802. (−2 )

=20 e y=80−2.20=40

∴ A área cercada deve ter 20m de comprimento por 40 cm de largura.