Exerccios Resolvidos de Fatorao Algbrica

Exemplo 19) Fatore c2 - 2bc - a2 + b2

Reagrupando o polinmio, teremos : b2 - 2bc + c2 - a2 = (b2 - 2bc + c2) - a2

O trinmio b2 - 2bc + c2 pode ser fatorado como : (b - c)2

E dessa forma, teremos a diferena de dois quadrados (b - c)2 - a2, e finalmente, teremos :

(b - c)2 - a2 = (b - c + a) (b - c - a)

Exemplo 20) Fatore: 5m8 + 10m4 - 15

Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:

5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3)

O trinmio m8 + 2m4 - 3 no um trinmio quadrado perfeito, mas poder ser um trinmio de Stevin. E realmente o , pois os nmeros 3 e -1, tm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela raiz quadrada m4 de m8.

Dessa forma, teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3) = 5(m4 + 3) (m4 - 1)

E como (m4 - 1) = (m2 + 1) (m2 - 1) , e como (m2 - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m4 + 3)(m2 + 1)(m + 1)(m - 1)

Exemplo 21) Fatore: (x - y)2 + 2(y - x) - 24

Antes de mais nada, lembremos que (x - y)2 = (y - x)2 ( verifique se isso verdade )

Com isso podemos escrever a expresso dada como : (y - x)2 + 2(y - x) - 24

Para facilitar o reconhecimento do caso de fatorao, chamemos o binmio (y - x) de A, ento :

(y - x)2 + 2(y - x) - 24 = A2 + 2A - 24

O trinmio no quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin. Verificando, percebemos que os nmeros - 4 e + 6 tm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece multiplicada pela raiz quadrada A de A2.

E assim : A2 + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y)2 + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y - x - 4)

Exemplo 22) Fatore x6 - y6

1 Resoluo: Considerando uma diferena de dois cubos

Como ambos so termos cbicos, essa diferena poder ser fatorada. A raiz cbica de x6 x2 e a raiz cbica de y6 y2. Assim j temos o nosso primeiro fator x2 - y2 A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x2 x4 ; o produto entre x2 e y2 x2y2 e o quadrado do segundo y2 y4.

E dessa forma, teremos:

x6 - y6 = (x2 - y2) ( x4 + x2y2 + y4). Como a diferena de quadrados (x2 - y2) ainda pode ser fatorado, teremos :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x4 + x2y2 + y4).

Se escrevermos o trinmio ( x4 + x2y2 + y4) de uma outra forma, perceberemos que ele tambm poder ser fatorado. Vejamos :

x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2, que uma diferena de dois quadrados.

Assim : (x2 + y2)2 - x2y2 = ( x2 + y2 + xy) ( x2 + y2 - xy) = ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2). E finalmente :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

2 Resoluo: Considerando uma diferena de dois quadrados. Como ambos so quadrados, temos uma diferena de dois quadrados.

A raiz quadrada de x6 x3 e a raiz quadrada de y6 y3.

Assim j temos o nosso primeiro fator (x3 + y3) e o segundo fator (x3 - y3).

Assim, teremos : x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) . Como a soma e a diferena de dois cubos (x3 + y3) e (x3 - y3) ainda podem ser fatorados, teremos :

x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) = (x + y) ( x2 - xy + y2) (x - y) ( x2 + xy + y2) , ou ainda :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

OBSERVAO MUITO IMPORTANTE

Sempre que fatoramos uma expresso algbrica ou quando efetuamos um produto notvel devemos utilizar o sinal de identidade que uma ampliao do conceito de igualdade.

Vamos entender melhor essa diferenciao:

Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornar verdadeira essa sentena. Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.

Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentena verdadeira.

Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade .

E escrevermos :

Assim o correto seria utilizarmos o sinal de identidade para todos os casos de produtos notveis e, tambm, de fatorao.

Assim, por exemplo :

Fatorao Algbrica - Exerccios Propostos

I - Fatore colocando em evidncia

II - Fatore os trinmios quadrados perfeitos

III - Fatore as diferenas entre quadrados

IV - Fatore os trinmios de Stevin

V - Fatore as Somas ou diferenas entre dois cubos

VI - Fatore por agrupamento

VII - Fatore as expresses algbricas

Resposta dos Exerccios Propostos de Fatorao Algbrica