exercicios resolvidos de civ 105

7/26/2019 Exercicios Resolvidos de CIV 105

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Exerccios do item 1.5: 1) Calcule a fora de trao nas duas barras da estrutura abaixo.

0111 87,36)75,0(tanarc

4

3tan ===

0222 13,53)333,1(tanarc

3

4tan ===

0)13,53(cosF)87,36(cosF:0F o

2o

1x =+=

212

121 F75,0F

8,0

F6,0F06,0F8,0F ===+

0000.12)13,53(senF)87,36(senF:0F o

2o

1y =++=

000.128,0F6,0F 21 =+

Colocando-se a fora F1na expresso acima, tem-se:

N600.925,1

000.12F000.128,0F6,0F75,0 222 ===+

N200.7F9600x75,0F 11 ==

2) Calcule a fora de trao nos dois cabos da figura.


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000.6FF0F000.5000.1F:0F 2121y =+=+=

N8,730.3F06,2xF8,1x000.57,0x000.1:0M 221 ==+=

N2,269.2F08,0x000.59,1x000.16,2xF:0M 112 ===

Exerccios do item 1.6: 1) Calcule as reaes nos apoios da viga abaixo.

0H:0F Ax ==

000.14VV0V000.14V:0F BABAy =+=+=

N000.8V05,3xV0,2x000.14:0M BBA ===

N000.6V05,1x000.145,3xV:0M AAB ===

2) Calcule as reaes no apoio da viga em balano (ou viga cantilever).

0H:0F bx ==


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000.1V0000.1V:0F bby ===

m.N000.3M0M0,3x000.1:0M bbO ===

Exerccios do item 1.9: 1) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo.Dado: s= 77 kN/m

3

A carga q (N/m) obtida multiplicando-se o peso especfico pela rea da seo

transversal:

2mm000.3300x62x100x6A =+=

Ou:2326 m10x0,3m)10(000.3A ==

m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ===

0H0F Ax == L.qVV0F BAy =+=


4/118

Ento: N20790,9x231VV BA ==+

02

L.L.qL.V0M AB ==

2

LqV

2

LqV

BA

==

N5,10392

0,9x231VV BA ===

2) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo.

Dado: s= 77 kN/m3

0H0F Bx ==

N20790,9x231L.qV0F By ====

m.N5,93552

qLM0M

2

L.L.q0M

2

BBo ===+=

Observao muito importante: A substituio de uma carga distribuda pela fora

resultante somente pode usada para calcularem-se as reaes de apoio. No deve ser

usada para mais nada.


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Exerccios do item 2.1: 1) Calcule a tenso normal nos dois cabos da figura.

Dados: 1 = 2= 25,4 mm

rea dos cabos 1 e 2:

2

21

2

21 mm7,506AA)7,12(AA ====

Tenso normal nos cabos 1 e 2:

2

2

1

11 mm/N48,4

)mm(7,506

)N(2,269.2

A

F===

2

2

2

22 mm/N36,7

)mm(7,506

)N(8,730.3

A

F===

2) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo.

Dados: 1 = 12,5 mm ; 2= 20,0 mm


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21

o

2

o

1x FF0)45cos(F)45(cosF:0F ==+=

0000.5)45(senF)45(senF:0F o

2

o

1y =+=

N1,3536FF000.5707,0F2 211 ===

Tenso normal nas barras 1 e 2:

2

2

1

11 mm/N8,28

)25,6(

1,3536

A

F=

==

2

2

2

22 mm/N3,11

)10(

1,3536

A

F=

==

3) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo. As duas barras tm seo

transversal circular. Dados: Barra tracionada = 15 mm ; Barra comprimida= 20 mm

866,0FF0)30cos(FF:0F 21o

21x ==+=

N000.50F0000.52)30(senF:0F 2o

2y ==+=

N300.43F866,0.)000.50(F 11 ==

Tenso normal nas barras 1 e 2:

2

2

1

11 mm/N0,245

)5,7(

300.43

A

F=

==

2

2

2

22 mm/N2,159

)10(

000.50

A

F=

==


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4) Uma barra, de seo transversal retangular, tem altura varivel (como indicado) e

largurabconstante igual a 12 mm. Calcule a tenso normal no ponto de aplicao da

fora F e no engaste. Dado: F = 8.000 N

2

mm/N44,4415x12

000.8

A

F

===

2

Engaste mm/N67,2625x12

000.8

A

F===

5) Uma barra prismtica est pendurada por uma de suas extremidades. Construa os

diagramas de fora normal e de tenso normal.

Dados: : peso especfico; A: rea da seo transversal

Fazendo-se um corte imaginrio distncia x os esforos que eram internos passam a

ser externos. A parte recortada tambm tem que estar em equilbrio, pois qualquer

parte (ou ponto) de uma estrutura em equilbrio tambm est em equilbrio. N(x):

representa a ao da parte de cima sobre a parte de baixo.

xA)x(N0xA)x(N:0Fy ===


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xA

Ax

A

)x(N=

==

Exerccios do item 2.2: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular ( = 25mm) e de comprimento L = 800 mm fica solicitada por uma fora axial de trao F =

30.000 N. Calcule a tenso normal e a deformao linear especfica sabendo que o

alongamento da barra de 2,0 mm.

2

2 mm/N1,61

)5,12(

000.30

A

F=

==

310x5,2)mm(800)mm(0,2

LL ===

2) Um elstico tem comprimento no esticado igual a 30,0 cm. Calcule a deformao

linear especfica do elstico quando for esticado ao redor de um poste com dimetro

externo igual a 16 cm.

P: Permetro externo do poste: cm27,508.2R2P ===

68,030

3027,50

L

LL

L

L

i

if

i

=

=

=

=


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Exerccios do item 2.3: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular (d = 20

mm) fica solicitada por uma fora axial de trao F = 6.000 N. Experimentalmente,

determinou-se a deformao linear especfica longitudinal ooo

L /3= . Calcule a

tenso normal, a variao do comprimento e do dimetro da barra. Dado: = 0,25.

2

2x mm/N1,19

)10(

000.6

A

F=

==

003,01000

3/3 ooo

xL ====

mm5,4L1500.10x0,3LLL

Lx

3xxx

x

xx ===

=

yyyy

yy LL

L

L=

=

ddL yy ==

43xy

x

y10x5,710x0,3x25,0 ===

=

mm015,020x10x5,7d 4

==

2) Calcule o volume final da barra do problema anterior.

Vi: volume inicial da barra; Vf: volume final da barra32

iii mm9,238.471500.1x)10(LAV ===

32

fff mm9,943.471)5,41500(x4

)015,020(LAV =+

==

3if mm7059,238.4719,943.471VVV ===

Exerccio do item 2.4: A figura abaixo mostra um diagrama Fora-Alongamento de um

ensaio de trao simples. A barra tem seo transversal circular (d = 30 mm) e

comprimento inicial (referncia) igual a 800 mm. Calcule:


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a) a tenso (ou limite) de proporcionalidade (P);

b) a tenso (ou limite) de escoamento (Y);

c) a tenso ltima (U);

4

30.

4

DR.A

222

=

== = 2mm86,706

a) MPa15,14mm/N15,1486,706

000.10P

2P ===

b) MPa98,16mm/N98,1686,706

000.12Y2Y ===

c) MPa29,28mm/N29,2886,706

000.20U

2U ===

Exerccios do item 2.5: 1) Calcule o mdulo de Young () da barra do problema

anterior.

= .

310x75,3mm800

mm3LL ===

3

2

10x75,3

mm/N15,14

=

= 2mm/N3,773.3=

MPa3,773.3:Ou = Ou: GPa77,3=


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2) Uma circunferncia de raio R = 300 mm desenhada em uma placa. Calcule ao

aplicar-se a tenso normal x= 81,0 MPa os valores dos dimetros ab e cd. Dados da

placa: = 120 GPa; = 0,36

Lei de Hooke: = xx =

9

6x

x10x120

10x81=

= 4x 10x75,6

=

mm405,0600x10x75,6LL

L 4x

x

xx ==

=

mm405,600405,0600LFab =+=

Coeficiente de Poisson ():

x

y

= xy = =

410x75,6x36,0 = 410x43,2

mm1458,0600x10x43,2LL

L4

yy

yy ==

=

mm8542,5991458,0600LFcd ==

3) Um bloco de massa m = 1.500 kg sustentado por dois cabos de seo transversal

circular. Sendo dados d1= 8,0 mm; d2= 12,0 mm; 1= 70 GPa e 2= 120 GPa, calcule:

a) o valor do ngulo sabendo que 1= 2;

b) valor da tenso normal nas duas barras;

c) a deformao linear especfica das duas barras.


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===

sen

PF0PsenF0F 22y

=== cossenPF0cosFF0F 121x

a)2

2

1

121

A

F

A

F==

36

1

16

cos

)6(

sen

P

)4(

sen

cosP

22 =

=

o61,633616cosarc =

=

b)2

o

o

1

11

)4(

)61,63(sen

)61,63(cosP

A

F

== = 2mm/N2,145

16

896,0

4444,0x81,9x1500

=

=

=

==

36

8958,0

81,91500

)6(

)61,63(sen

P

A

F

2

o

2

22

2mm/N2,145

c) Lei de Hooke: =

3123

2

1111 10x074,2)mm/N(10x70

)mm/N(2,145 ===

3223

2

2222 10x21,1)mm/N(10x120

)mm/N(2,145 ===


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Exerccios do item 3.1: 1) Uma barra prismtica de ao, com seo transversal circular,

tem 6,0 metros de comprimento e est solicitada por uma fora axial de trao F = 104

N. Sabendo-se que o alongamento da barra de 2,5 mm e que = 205 GPa, calcule:

a) o dimetro da barra;

b) a tenso normal.

a) mm1,6RR10x205

6000x105,2

AE

LFL

23

4

=

==

Ento: d = 12,2 mm

b)2

2

4

mm/N5,85)1,6(

10

A

F=

==

2) Calcule o alongamento dos dois cabos da estrutura abaixo.

Dados: 1 = 2= 25,4 mm; L1= L2= 3,5 m; 1= 2= 70 GPa

mm22,07,50610x70

3500x2,2269L

AE

LFL

31

11

111 =

==

mm37,07,50610x70

3500x8,3730L

AE

LFL

31

22

222 =

==

3) Calcule o alongamento das duas barras da trelia abaixo.

Dados: 1 = 12,5 mm ; 2= 20 mm; L1= 1,0 m; L2= 2,0 m; 1= 205 GPa; 2= 120 GPa


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mm14,07,12210x205

1000x1,3536L

AE

LFL

31

11

111 =

==

mm19,02,31410x120

2000x1,3536L

AE

LFL

31

22

222 =

==

Exerccios do item 3.2: 1) Calcule o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da

fora de 200 kN. Dados: A = 800 mm2; = 70 GPa

mm18,2280010x70

1800x000.250

80010x70

3600x000.80

80010x70

5400x000.200

AE

LFH

333

n

1i ii

ii =

+

== =

2) Duas barras de seo transversal circular so soldadas como mostra a figura. Sendo

dados: 1= 14 mm; 2= 8 mm; 1= 2= 70 GPa, calcule:

a) a tenso normal nas duas barras;

b) o alongamento da barra.

a) 221 mm9,153)7(A == ;22

2 mm3,50)4(A ==

21 mm/N98,51

9,153

8000== ; 22 mm/N64,59

3,50

3000==

b) mm91,19,15310x70

2000x000.5

9,15310x70

2000x000.3

3,5010x70

500x000.3L

333 =

+

+

=

3) Calcule a tenso normal mxima e o alongamento da barra prismtica abaixo. Dados:

A = 7,1 x 104

m2; = 120 GPa; = 44.300 N/m

3


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A tenso normal mxima ocorre no apoio:

266

4mx m/N10x22,010x63,55x300.44

10x1,7

000.4L

A

F+=+=+=

MPa85,5m/N10x85,5 26

mx ==

Clculo do alongamento:

E2

L

AE

LFL

2+=

O alongamento mximo ocorre na extremidade livre:

m10x61,410x41,110x120x2

544300

10x1,710x120

0,3x000.4L

64

9

2

49mx

+=

+

=

mm146,0m10x46,1L 4

mx ==


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Exerccios do item 3.3: 1): Calcule a tenso normal nas trs barras da trelia abaixo e o

deslocamento vertical do ponto de aplicao da fora P.

Dados: P = 15.000 N; 1= 2= 205 GPa; 1= 2= 2 x 104m2

Diagrama de corpo livre:

055cosF55cosF0F o

1o

1x =+=

0PF55senF.20F 2o

1y =+=

De onde: 1,64 F1+ F2 = P (1)

Temos uma equao e duas incgnitas, o problema uma vez hiperesttico. A outra

equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.

11o

2211

11o

22

22 LF35cosLFAE

LF35cos

AE

LF==


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Clculo do comprimento da barra 1: L1cos35o = L2

m44,2L35cos

0,2L 1o1

==

Da equao de compatibilidade:

121o

2 F49,1F44,2F35cos0,2xF == (2)

Colocando-se a equao (2) na equao (1), tem-se: 1,64 F1+ 1,49 F1 = P

N4792F000.15F13,3 11 ==

F2= 7.140 N

Clculo da tenso normal nas barras 1 e 2::

MPa96,2310x2

4792

A

F14

1

11 ===

MPa70,3510x2

7140

A

F24

2

22 ===

Clculo do deslocamento verticaldo ponto de aplicao da fora P:

mm35,0V10x2x10x205

000.2x7140

AE

LFLV

4922

222 ====

Exerccio 2): A barra rgida (indeformvel) AB, de peso desprezvel, rotulada em A,suspensa por dois cabos e suporta uma fora P = 58.000 N. Calcule a tenso normal

nos cabos 1 e 2 e a reao vertical no apoio A.

Dados: L1= L2; 1= 70 GPa; 2= 205 GPa; 1= 2= 5 x 104m2


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0PFFV0F 21Ay =++= (1)

0d4xFd3xPd2xF0M 21A =+=

De onde: Px3Fx4Fx2 21 =+ (2)

Temos duas equaes independentesda esttica e trs incgnitas. O Problema umavez hiperesttico e a outra equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.

2121 LL2d4

L

d2

L=

=

9

2

9

1

22

22

11

11

10x205

F

10x70

F2

AE

LF

AE

LF2 ==

De onde: F2 = 5,86 F1 (3)

Colocando-se a equao (3) na equao (2), tem-se:

Px3F86,5x4Fx2 11 =+


19/118

25,44 F1 = 3 x 58.000 F1 = 6.839,6 N

F2 = 40.080,1 N

Clculo da tenso normal nos cabos:

MPa68,1310x5

6,6839

A

F14

1

11 ===

MPa16,8010x5

6,080.40

A

F24

2

22 ===

Clculo da reao vertical no apoio A (equao (1):

N3,080.11000.581,080.406,839.6PFFV 21A =+=+=

Exerccio 3): A barra prismtica abaixo est presa em dois apoios indeformveis e

solicitada por uma fora axial F. Determine as reaes nos apoios A e B.

0HFH0F BAx =+= (1)

O problema uma vez hiperesttico. Vamos retirar um dos apoios e determinar o

deslocamento que o apoio retirado est impedindo.

Colocando-se o apoio retirado, tem-se:


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Compatibilidade dos deslocamentos:

L

a.FH

EA

L.H

EA

a.FLL B

B21 ===

L

b.FH)aL(

LF

L

a.F

LLF

L

a.FFHHFH AABA =====

Exerccio 4): A barra prismtica abaixo est carregada axialmente por duas foras F1e

F2. Calcule:

a) as reaes nos apoios indeformveis A e B;

b) a tenso normal no meio da barra.

Dados: F1= 2.000 N; F2= 3.500; Aseo transversal= 200 mm2

Superposio dos efeitos:

N6,384.16,2

8,1x000.2

L

b.FH 1

1A === N4,615

6,2

8,0x000.2

L

a.FH 1

1B ===


21/118

N7,8076,2

6,0x500.3

L

b.FH 2

2A === N3,692.2

6,2

0,2x500.3

L

a.FH 2

2B ===

N9,5767,8076,384.1HHH 2A1AA ==+=

N9,076.23,692.24,615HHH 2B1BB =+=+=

Clculo da tenso normal no meio da barra:

F = fora normal axial no meio da barra

F = H+ F1 = 576,9 + 2.000 = 1.423,1 N

Ou: F = HB+ F2 = 2.076,9 + 3.500 = 1.423,1 N

Ento:

MPa1,7:oumm/N1,7200

1,423.1

A

F 2====

Exerccio 5): A barra prismtica est na posio indicada quando a fora F = 0. Calcule

as reaes nos apoios rgidos A e B quando for aplicada a fora F = 18.000 N.

Dados: = 1,5 GPa; = 5 x 10 3 m2


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Chamando de Fca fora absorvida pelo concreto e Fsa fora absorvida pelas barras de

ao, tem-se:

N000.300FF sc =+

O problema uma vez hiperesttico. Sabendo-se que a fora F aplicada atravs de

uma placa rgida, os dois materiais (ao e concreto) tem o mesmo encurtamento:

sc LL =

2

s

2

c

ss

ss

cc

cc

84x205

F

)84000.90(x26

F

AE

LF

AE

LF

=

=

De onde: Fc = 14,07 Fs

Ento: 14,07 Fs + F

s= 300.000 N F

s = 19.907,1 N

Fc = 300.000 19.907,1 = 280.092,9 N

Clculo da tenso normal:

2

2c mm/N14,384000.90

9,092.280=

=

2

2s mm/N75,24

84

1,907.19=

=


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Exerccios do item 3.4: 1) A barra prismtica abaixo est livre de tenso quando a

temperatura igual a 20C. Sabendo que os engastes so indeformveis calcule a

tenso normal na barra quando a temperatura subir para 50C.

Dados: = 205 GPa; = 11,7 x 10 6

/oC

Retirando-se o apoio B, tem-se:

Compatibilidade dos deslocamentos

TF LL =

TLEA

FL=

TE =

30x10x7,11x10x205 69

=

26 m/N10x95,71=

Ou: compresso= 71,95 MPa


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Exerccio 2): A barra prismtica abaixo est livre de tenso quando a temperatura igual

a 25 C. Sabendo que os engastes A e B so indeformveis calcule a tenso normal na

barra quando a temperatura descer para 60C.

Dados: = 70 GPa; = 21,6 x 10 6

/oC; L = 4,0 m

Compatibilidade dos deslocamentos: TF LL =

TLEA

FL

=

TE =

85x10x6,21x10x70 69

=

26 m/N10x52,128=

Ou: trao= 128,52 MPa


26/118

Exerccio 3): Resolva o problema anterior considerando que temperatura t = 60 C

o apoio B se desloca de 3 mm e o apoio A continua indeformvel. Dados: = 70 GPa;

= 21,6 x 10 6

/oC; L = 4,0 m

T3

F L10x3L =+

TL10x3EAFL 3 =+

TL10x3E

L 3=+

85x4x10x6,2110x310x70

4x 639

=+


27/118

33

9 10x310x344,7

10x70

4x =

26 m/N10x02,76=

Ou: trao= 76,02 MPa

4) A estrutura abaixo perfeitamente ajustada aos engastes rgidos A e B quando a

temperatura igual a 18 C. Calcule a tenso normal nas barras 1 e 2 quando a

temperatura subir para 100 C. Dados: 1= 2= 205 GPa; 1= 2= 12 x 106/

oC; 1

= 600 mm

2

;

2= 300 mm

2

TLTLL 2211T +=

82x400x10x1282x500x10x12L 66T

+= = 0,8856 mm

22

2

11

1F

AE

FL

AE

FLL +=


28/118

300x10x205

400xF

600x10x205

500xFL

33F += = 1,0569 x 10

5. F

LF= LT

ento: 1,0569 x 10 5

. F = 0,8856

F = 83.791,4 N

Clculo da tenso normal:

2

11 mm/N7,139

600

4,791.83

A

F===

Ou: 1 = 139,7 MPa

2

22 mm/N3,279

300

4,791.83

A

F===

Ou: 2 = 279,3 MPa

5) A barra prismtica est na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura

igual a 25 C. Sabendo que apoios A e B so indeformveis calcule a tenso normal na

barra quando a temperatura for igual a:

a) 10 C; b) 70 C; c) 105 C;

Dados: = 70 GPa; que = 20 x 10 6/oC

a)

= 0,0

b) mm5,2mm25,245x500.2x10x20L 6T


29/118

Portanto, a barra no vai encostar no apoio B, ento: = 0,0

c) mm5,2mm0,480x500.2x10x20L 6T >==

2compresso33F

mm/N4210x70

500.2x5,1

A10x70

500.2xFL =

==

6) A barra prismtica est na posio indicada na figura abaixo quando a fora F = 0 e a

temperatura igual a 15 C. Sabendo que apoios A e B so indeformveis calcule as

reaes HAe HBquando for aplicada a fora F = 27.000 N e a temperatura subir para

40 C. Dados: = 120 GPa; que = 9,4 x 10 6

/oC; A = 125 mm

2

mm17,325x000.2x10x4,9125x10x120500.1x000.27TL

EAFLLLL 6

3TF1 =+=+=+=


30/118

mm17,1LHB =

N775.8H17,1

125x10x120

000.2xHmm17,1

EA

LHB

3

BB===

N225.18HN000.27HH ABA ==+

7) As barras esto na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura igual a

5 C. Determine a distncia d que o ponto a se desloca quando a temperatura subir

para 40 C. Considere que a barra ab tenha coeficiente de dilatao trmica

insignificante.

Dados: 1= 23 x 106/oC; 2= 12 x 10

6/oC


31/118

mm93,045x900x10x23TLLT 6111 ===

mm49,045x900x10x12TLLT 6

222 ===

290

x

30

49,093,0

290

x

30

LTLT 21=

=

mm25,4290.30

44,0x

30

44,0

290

x===

mm74,425,449,0d =+=


32/118

8) Um tubo de alumnio mede 35 m temperatura de 22 C. Um tubo de ao, mesma

temperatura, 5 mm mais longo. Calcule em qual temperatura estes tubos tero o

mesmo comprimento.

Dados: Alumnio= 21,6 x 106/

oC; S= 11,7 x 10

6/oC

SAL LT005.35LT000.35 +=+

TL005.35TL000.35 SSALAL +=+

Tx005.35x10x7,11005.35T000.35x10x6,21000.35 66 +=+

T410,0005.35T756,0000.35 +=+

000.35005.35T410,0T756,0 =

C45,14T5T346,0 o==

C45,36T45,1422T o=+=

Observao: temperatura t = 36,45C tm-se os seguintes comprimentos:

mm92,010.3545,14x000.35x10x6,21000.35L 6AL =+=

mm92,010.3545,14x005.35x10x7,11005.35L 6

S =+=


33/118

Exerccios do item 4.2: 1) Calcule a tenso de cisalhamento mdia que ocorre na cola.

MPa5,2m/N10x5,210,0x04,0x2

000.20AF 26mm ====

Ou:

MPa5,2mm/N5,2100x40x2

000.20

A

F 2mm ====

2) Calcule a tenso de cisalhamento mdia no pino e a tenso normal de trao mdia

no cabo da luminria abaixo.


34/118

2m2m

mm/N7,7110x

500.22

A

F=

==

2

m2m

mm/N5,2927x

000.45

A

F=

==

3) Um suporte para televiso sustentado por um pino de 8 mm de dimetro. Calcule a

tenso de cisalhamento mdia no pino sabendo que a massa da televiso igual a 25

kg.

Observao: a fora cisalhante no pino provocada pelo binrio exigido para o equilbrio

de momentos fletores.

050xF800xP0MA ==

N924.3F50xF800x81,9x25 ==

Clculo da tenso cisalhante mdia no pino:


35/118

2

m2mmm/N1,78

4x14,3

924.3

A

F===

Exerccio do item 4.4: Um bloco est solicitado por uma fora F = 112 kN. Calcule:

a) a tenso cisalhante mdia;

b) o deslocamento do ponto d considerando-se que a face inferior no se desloca.

Dados: = 87,5 GPa; = 0,25

a) ==50x160

000.112

A

Fm

2m mm/N14=

b)

=

= 8080

tg

Lei de Hooke no cisalhamento: = G

GPa35G)25,01(2

5,87)1(2

EG =+

=+

=


36/118

.rad10x4)mm/N(10x35

)mm/N(14

G

4

23

2

==

=

mm032,010x4x804

==

Exerccios do item 4.5: 1) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao

abaixo. Dados: F = 35.000 N; d = 19,05 mm

Neste caso n = 4 e nA= 1 (corte simples)

2md2md

mm/N7,30)525,9(x14,3x1x4

000.35

A

F===

2) Calcule o dimetro dos parafusos da ligao abaixo.

Dados: F = 200.000 N;2

__

mm/N95=

Para este problema: n = 8 e nA= 1 (corte simples)


37/118

mm15,9R)R(x14,3x1x8

000.20095

A

F2md

===

Portanto: d = 18,3 mm

3) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao abaixo e a tenso normal

nas chapas. Dado: d = 12 mm

1 opo: F = 15.000 N; n = 6; An = 1

2md2md

mm/N1,22)6(x14,3x1x6

000.15

A

F===

2mm/N50100x3

000.15

A

F===

2 opo: F = 30.000 N; n = 6; An = 2

2md2md

mm/N1,22)6(x14,3x2x6

000.30

A

F===

2mm/N50

100x6

000.30

A

F===


38/118

Exerccios do item 5.4: 1) Para o eixo abaixo calcule:

a) a tenso de cisalhamento mxima;

b) o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A;

c) o deslocamento horizontal do ponto c.

Dados: =T 4.600 N.mm; G = 60 GPa.

a)J

r.T=

( ) ( ) 4444i4e mm2,270.8J121832

DD32

J =

=

=

MPa01,5:oumm/N01,52,270.8

9x600.4mx

2mx ===

b) .rad10x42,72,270.8x10x60

800x600.4

GJ

TL 33

===

c)

mm067,010x42,7x9x99

tg 3

===

=

Exerccio 2: Um eixo de seo transversal circular fica solicitado pelos momentos de

toro indicados na figura abaixo. Calcule a tenso de cisalhamento mxima e o giro

relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A. Dado: G = 25

GPa.


39/118

J

r.T= onde:

444 mm3,592.613J5032

D32

J =

=

=

MPa67,1:oumm/N67,13,592.613

25x000.41mx

2mx ===

GJ

TL=

.rad10x194,3

3,592.613x10x25

000.2x000.63

3,592.613x10x25

500.3x000.22 3

33B

==

Resposta: .rad10x194,3 3B

= (no sentido de 63.000 N.mm)

Exerccio 3) Calcule a tenso de cisalhamento mxima e o giro relativo da seo

transversal B em relao ao engaste indeformvel A.

Dado: d1= 100 mm; d2= 60 mm; G 1= G 2 = 30 GPa.


40/118

461

441 mm10x82,9J100

32D

32J =

=

=

462

442 mm10x27,1J60

32

D

32

J =

=

=

Clculo de mx:J

r.T=

21mx61mx

mm/N43,010x82,9

50x84230==

22mx62mx

mm/N73,010x27,1

30x15730==

Resposta: mx= 0,43 MPa

Clculo de B:

GJTL=

636363B 10x82,9x10x30

000.5x730.15

10x27,1x10x30

000.1x730.15

10x82,9x10x30

000.2x500.68++=

.rad10x14,1 3

B

=

Obs.: converso de radianos para graus:

==

o3

Bo 180x10x14,1

:ento180.rad1 = 0,065

Exerccio 4) Sendo =G 30 GPa calcule para o eixo de seo circular:

a) a tenso de cisalhamento mxima;

b) o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A;

c) o deslocamento horizontal do ponto c.


41/118

a)J

r.T= , onde:

444 m10x57,1J20,032

J =

=

MPa66,63:oum/N10x66,6310x57,1

10,0x000.100mx

26

4mx ===

b)4949

10x57,1x10x30

5,1x000.100

10x57,1x10x30

00,1x000.100

GJ

TL

+==

.rad10x06,1 3B

= (ou: 0,61)

m10x06,110x06,1x10,0x10,010,0

tg 43 ====

Exerccio 5) A tenso de cisalhamento mxima que solicita o eixo abaixo igual a 32,5

MPa. Sabendo que o eixo tem seo transversal circular ( = 12 mm) e L = 500 mm

calcule o valor da fora F. Para este valor de F calcule o giro relativo da seo

transversal onde est aplicado o binrio em relao ao engaste rgido. Dado: G = 42

GPa.

F12T =


42/118

44mm75,2035J12

32J =

=

N9,918F75,2035

6F125,32

J

r.Tmx =

===

Clculo do ngulo de toro:75,2035x10x42

5009,91812GJTL

3==

.rad064,0= (ou: 3,7)

Exerccios do item 5.5:1) Determine as reaes nos engastes indeformveis. O eixo

prismtico e tem seo transversal circular.

TTT0M BA =+=

O Problema uma vez hiperesttico. Precisamos de mais uma equao que vir da

compatibilidade dos deslocamentos. Retirando-se o apoio B tem-se o giro relativo B:

JGa.T

GJTL

B ==


43/118

Colocando-se o engaste B, tem-se o giro relativo :|B

JG

L.TB|B =


JG

L.TBB

|B = JG

a.T=

L

a.TTB =

Da equao de equilbrio:

===La.TTTTT BA T

LL

La.T

L

b.TT)aL(

L

TT AA ==

Exerccio 2) Calcule as reaes nos engastes indeformveis do eixo abaixo.

Superposio dos efeitos:


44/118

m.N9,1428,2

4,0x000.1Tm.N1,857

8,2

4,2x000.1T

1B

1A ====

m.N3,7148,2

0,1x000.2Tm.N7,285.1

8,2

8,1x000.2T

2B

2A ====

m.N6,928.18,2

8,1x000.3Tm.N4,071.1

8,2

0,1x000.3T

3B

3A ====

m.N8,6424,071.17,12851,857TA =+=

m.N2.357.16,19283,7149,142TB =+=


45/118

Exerccio 3) Calcule a tenso de cisalhamento mxima que ocorre no eixo abaixo. Os

engastes A e B so indeformveis.

Dados: G1= G2; D = 100 mm; d = 50 mm; = 4,0 x 107N.mm

TTT0M BA =+=

Retirando-se o apoio B, tem-se:

D

B

JG

2000.T

GJ

TL==

Colocando-se o apoio B:

d

B

D

BB|B

JG

3000.T

JG

2000.T

JG

L.T+==


= |

BB

d

B

D

B

D JG

3000.T

JG

2000.T

JG

2000.T+=

Clculo de :JeJ dD


46/118

464

D mm10x82,932

)100(J =

=

( ) 4644d mm10x20,95010032

J =

=

=610x82,9

2000.T6

B

6

B

10x20,9

3000.T

10x9,82

2000.T+

=T67,203 mm.N10x38,15TT75,529 6

BB =

mm.N10x62,24TTTT 6

ABA ==

Clculo de mx:J

r.T=

6

6

1mx10x82,9

50x10x62,24= = 125,36 N/mm2

6

6

2mx10x20,9

50x10x38,15= = 83,59 N/mm

2

Resposta: mx= 125,36 MPa

Exerccio do item 5.6: Calcule a tenso de cisalhamento mdia da barra com seo

vazada de parede fina com espessura t constante.


47/118


48/118

Diagramas de esforos internos (Momento fletor e fora cortante)


49/118


50/118

2

qx

2

x.qx)x(M

2

==

(se o sistema de referncia for colocado na extremidade livre)

qx)x(V =

2

qx

2

qLx.qL

2

qxMx.V)x(M

222

BB ==

(Se o sistema de referncia colocado no engaste)

qxqLqxV)x(V B +=+=


51/118

L

b.PVA =

L

a.PVB =

L

baPa.VM Amx == Ou:

L

baPb.VM Bmx ==

LMVA =

LMVB =

aL

Ma.VM A1 == b

L

Mb.VM B2 ==

M)ba(L

Mb

L

Ma

L

MMM 21 =+=+=+


52/118

L

MVA =

L

MVB =

2

L.qVV BA == 8L.qM2

mx =


53/118

21Amx L.PL.VM ==


54/118


55/118

2

xqx.V)x(M

2

A = )Lx0( 1

2

21

1A1 L.P

2

LqL.V)L(M ==


56/118


57/118


58/118

Exerccios do item 6.3: 1) Calcule a tenso normal e a tenso cisalhante nos pontos

KeJ,I .

Esforos internosna seo transversal que contm os trs pontos:

M = 15.000 N.m e V = 5.000 N

443

Z m10x8,112

30,0x08,0I ==

Clculo da tenso normal ():

ZI

y.M=

MPa5,12m/N10x5,1210x8,1

)15,0(x000.15 26I4I

==

=

010x8,1

)0(x000.15J4J

=

=

MPa5,12m/N10x5,1210x8,1

)15,0(x000.15 26K4K ===


59/118

Clculo da tenso cisalhante ():

ZI.b

Q.V=

010x8,1x08,0

0x000.54I

==

MPa3125,0m/N10x125,310x8,1x08,0

075,0x15,0x08,0x000.5 254J

===

010x8,1x08,0

0x000.54K ==

2) Uma viga em balano tem largura b constante em todo o comprimento igual a 10 cm e

altura varivel, como mostra a figura abaixo. Calcule mxcmxtmx e, no

meio da viga e no engaste. Dado: P = 30.000 N


60/118

No meio da viga tem-se os seguintes esforos internos (ou esforos solicitantes):

M = 30.000 (N) x 2,5 (m) = 75.000 N.m

V = 30.000 N

453

Z m10x8125,212

15,0x10,0I ==

MPa200m/N10x20010x8125,2

)075,0(x000.75 265tmx

==

=

MPa200m/N10x200

10x8125,2

)075,0(x000.75 265cmx

==

=

MPa3m/N10x310x8125,2x10,0

)0375,0x075,0x10,0(x000.30 265mx ===

No engaste da viga tem-se os esforos internos:

M = 30.000 (N) x 5,0 (m) = 150.000 N.m

V = 30.000 N

443

Z m10x3021,112

25,0x10,0I ==

MPa144m/N10x14410x3021,1

)125,0(x000.150 264tmx

==

=

MPa144m/N10x14410x3021,1

)125,0(x000.150 264tmx

==

=

MPa8,1m/N10x8,110x3021,1x10,0

)0625,0x125,0x10,0(x000.30 264mx ===


61/118

3) Para a viga abaixo calcule as tenses normais extremas (mx Te mx C) e a maior

tenso cisalhante.

N000.27VV0F BAY =+=

09,3xV7,2x000.152,1x000.120M BA =+=

N9,076.14VB =

02,1x000.157,2x000.129,3xV0M AB == N1,923.12VA =

443

Z m10x998,612

36,0x18,0I ==

MPa34,4m/N10x34,410x998,6

18,0x3,892.16 264tmx

===


62/118

MPa34,4m/N10x34,410x998,6

)18,0(x3,892.16 264cmx

==

=

MPa326,0m/N2,854.32510x998,6x18,0

09,0x18,0x18,0x9,076.14 24mx ===

4) A viga abaixo est solicitada por trs foras atuando no plano de simetria vertical.

Calcule as tenses normais extremas (mx Te mx C) e a maior tenso cisalhante.


63/118

N500.12VV0F BAY =+=

09x000.20,6xV0,4x500.40,2x000.60M BA =++= N000.8VB =

00,3x000.20,2x500.40,4x000.6Vx60M AB =+=

N500.4VA =

Clculo do momento de inrcia IZ:

4433

Z m10x25,212

30,0x10,0

12

h.bI ===

Clculo das tenses normais extremas:

264

Zm/N10x0,6

10x25,2

15,0x000.9

I

y.M===

MPa0,6Tmx = MPa0,6Cmx =

Clculo de mx:

ZIb

Q.V=

25

4mx m/N10x0,3

1025,2x10,0

)075,0x15,0x10,0(x000.6==

5) A viga abaixo est solicitada por trs foras atuando no plano de simetria vertical.



64/118


65/118

2

3e m/N5,698.917

10x373,1

)14,0(.x000.9=

=

2

3f m/N2,297.704.1

10x373,1

)26,0(.x000.9==

2

3g m/N0,799.611

10x373,1

)14,0(.x000.6=

=

2

3h m/N1,198.136.1

10x373,1

)26,0(.x000.6=

=

MPa70,1Tmx = MPa14,1Cmx =

Clculo de mx:

23mx m/N8,705.147

10x373,1x15,013,0x26,0x15,0x000.6 ==

6) A viga abaixo est solicitada pela fora P atuando no plano de simetria vertical.


Clculo das coordenadas do centride:


66/118

0z_

=

mm73,82800.8

000.728

20x2402x100x20

110x20x2402x50x100x20y_

==

+

+=

+

+= 2x)5073,82(x100x20

12

100x20I

23

Z

4623

mm10x348,11)1027,37(x20x24012

20x240=+


2

6tmx mm/N39,273

10x348,11

73,82x000.500.37==

2

6cmx mm/N16,123

10x348,11

)27,37(x000.500.37=

=

Clculo de mx:

2

6mx mm/N54,710x348,11x40

)2x365,41x20x73,82(x000.25==


67/118

Conveno de sinais para os momentos fletores yz MeM :

Exerccios item 6.7:1) Uma viga em balano com 4,0 m de comprimento est solicitada por

duas foras: F1(vertical) e F2(horizontal). Calcule na seo transversal do engaste as tenses

normais extremas e o ngulo () que a L. N. forma com o eixo z.

Dados: F1= 15.000 N; F2= 27.000 N


68/118

Momentos fletores na seo transversal do engaste Mye Mz:

m.N000.108000.27x4Fx4M 2y ===

m.N000.60000.15x4Fx4M 1z ===

My negativo porque comprime o sentido positivo do eixo z.

Mz negativo porque comprime o sentido positivo do eixo y (comprime em baixo).

A linha neutra do momento fletor Mycoincide com o vetor momento porque o eixo y um eixo

principal de inrcia (ZY=0).

A linha neutra do momento fletor Mzcoincide com o vetor momento porque o eixo z um eixoprincipal de inrcia (ZY=0).

12

30,0x20,0I

3

z= 44

z m10x5,4I =

12

20,0x30,0I

3

y= 44y m10x0,2I =


69/118


70/118


71/118

m.N113.12M18MsenM yo

y ==

Outra forma de calcularem-se os momentos fletores yz MeM : decompondo-se a fora P

No engaste tm-se os seguintes momentos fletores:

m.N281.37M0,472sen800.90,4PM zo

yz ===

m.N113.12M0,472cos98000,4PM yo

zy ===

= x z

z

I

y.M

y

y

I

z.M+


72/118


73/118

Exerccio sobre flexo de viga constituda de dois materiais (item 6.8): A viga abaixo

composta por madeira (150 mm x 250 mm) e por uma lmina de ao (150 mm x 10 mm).

Calcule as tenses normais mximas no ao e na madeira.

Dados: s= 205 GPa; M= 10,25 GPa

2025,10

205

E

En

m

s===

Clculo das coordenadas do centride colocando-se o sistema de referncia na face superior:

mm78,182103000150250

255103000125.150250y_

=+

+=

Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo z do centride:


74/118

23

z )12578,182(25015012

250150I +

=

23

)522,77(10300012

103000+

+

46z mm10x23,477I =

Clculo do momento fletor mximo:

mm.N10x254

000.5x000.20

4

LPM 6mx ==

=

Clculo das tenses normais mximas: = zI

y.M

2

6

6

M mm/N58,91023,477

)78,182(1025=

=

2

6

6

S mm/N90,80201023,477

)22,77(1025=

=

Exerccio sobre flexo de viga de concreto armado (item 6.9): Calcule a tenso normal

mxima no concreto e nas barras de ao da viga abaixo. A armadura constituda de duasbarras de ao com dimetro = 30 mm.

Dados: s= 205 GPa; C= 13,667 GPa

15667,13

205

E

En

c

s===

mN000.708

8x750.8

8

LqM

22

mx ==

=

23232S m10x4137,1)1015(2R2A

===


75/118

Seo equivalente (seo homogeneizada):

Clculo da coordenada_

y do centride:

+= 1

nA

bd21

b

nAy

s

s_

+

=

110x4137,115

5,025,021

25,0

10x4137,115y

3

3_

de onde: m219,0y

_

=

Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo z:

2__

s

3__

)yd(nA12

yb4I +=

43233

m10x55,2)219,050,0(10x4137,11512

)219,0(25,04I =+

=

Clculo da tenso normal no concreto e nas barras de ao:

= zI

y.M

MPa01,61055,2

)219,0(000.703C

=

=

MPa71,115151055,2

)281,0(000.703S

=

=


76/118


77/118


23Tmx mm/N625,0)200(10x375,91,25 ==

23Cmx mm/N125,3)200(10x375,91,25 ==

Equao da linha neutra: = 0

y10x375,91,2503

=

mm133,3310x375,9

1,25y

3 =

=

Exerccio 2) Calcule a tenso normal nos pontos f e g e a posio da linha neutra no engaste. Calcule

tambm a tenso de cisalhamento mxima.

Seo transversal do engaste:

Mz= 3000 x 3,7 5.000 x 2,5 = 23.600 N.m


78/118

z

z

I

yM

A

F

+=

12

5,0x25,0

y23600

5,0x0,25

150.000

3

=

y10x06,910x1,266

=

Clculo das tenses normais:

MPa06,1)25,0(10x06,910x1,266

f ==

MPa46,3)25,0(10x06,910x1,2 66g ==

Equao da linha neutra: = 0

y10x06,910x1,2066=

m13,010x06,9

10x1,2y

6

6

=

=

Clculo de mx:ZIbQV

=

2

3mxm/N000.96

10x604,2x25,0

0,125x0,25x0,25x8.000 ==

Exerccio 3) Um pilar est solicitado por uma fora de compresso F = 25.000 N. Calcule:

a) as tenses normais extremas;

b) o ngulo () que a linha neutra forma com o eixo z.

Dados: a = 40 mm; b = 30 mm


79/118


80/118

Outra forma de calcularem-se :MeM yz

mm.N10x0,1)mm(40x)N(000.25a.PM 6z ===

mm.N000.750)mm(30x)N(000.25b.PM y ===

O momento fletor Mz positivo (traciona o sentido positivo do eixo y)

O momento fletor My positivo (traciona o sentido positivo do eixo z)

y

y

z

z

I

zM

I

yM

A

F

+

+=

12

120x200

z750000

12

200x120

y10x1

200x120

25000

33

6

+

+=

z10x6,2y10x25,11,04 22 ++=

a)

)60(10x6,2)100(10x25,11,0422

f ++=

MPa85,3N/mm3,85 2f ==

)60(10x6,2)100(10x25,11,04 22g ++=

MPa77,1N/mm1,772

g

==

b) Linha neutra: = 0


81/118

z10x6,2y10x25,11,040 22 ++=

Para y = 0:

mm40zz10x6,204,1 2 ==

Para z = 0:

mm2,83yy10x25,104,1 2 ==

o3,6408,2

)mm(40

)mm(2,83tan ===

Exerccio 4) Um pilar, de seo transversal circular, est solicitado por uma fora de compresso F =

200.000 N. Calcule:

a) as tenses normais extremas;

b) a posio da linha neutra.Dados: a = 80 mm; b = 60 mm

M = 200.000 (N) x 100 (mm) = 2,0x 107N.mm

Existem infinitos eixos de simetria passando pelo centride de uma rea circular. Todos estes eixos so

eixos principais de inrcia. Desta forma o eixo z pode ser girado at encontrar a direo do vetor momento

M.


82/118

'z

'z

I

'yM

A

F

+=

A fora F negativa (compresso) e o momento fletor Mz negativo (porque comprime o sentido positivo

do eixo 'y ).

64)300(

'y10x0,2

150

200.000

4

7

2

=

'y10x03,52,832

=

a)

22f mm/N71,4)150(10x03,52,83 ==

22g mm/N4,10)150(10x03,52,83 ==

b)

'y10x03,52,830 2=

mm3,56'y =


83/118

Exerccios sobre ncleo central (item 7.2):1) Calcule a rea de um pilar, com seo transversal circular,

na qual uma fora de compresso (trao) pode atuar e no ocorre tenso normal de trao

(compresso).

nA = rea do ncleo central:222

n mm5,196325RA ===

tA = rea total do pilar: 222t mm9,415.31100RA ===

totalreada%25,6A0625,09,415.31

5,1963

A

An

t

n ===

2) Calcule a rea de um pilar, com seo transversal retangular, na qual uma fora de compresso (trao)

pode atuar e no ocorre tenso normal de trao (compresso).

nA = rea do ncleo central:2

n mm000.52x2

100x50A ==

tA = rea total do pilar:2

t mm000.90600x150A ==

totalreada%56,5A0556,0000.90

000.5

A

An

t

n ===


84/118

Exerccios do item 8.4: 1) Sendo = constante, determine:

a) a equao da tangente linha elstica;

b) a equao da linha elstica;

c) a deflexo do ponto A;

d) a deflexo do ponto d.

1 soluo:Colocando-se o sistema de referncia no ponto A:

)x(M)x(vIE ||

=

)Lx0(x.P)x(M =

x.P)x(vIE ||

+=

1

2|

C2

xP)x(vIE +=

Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v|

=

2

PLC0C

2

LP)L(vIE

2

11

2|

==+=

a)2

PL

2

xP)x(vIE

22|

=

Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):

2

23

C2

xPL

6

xP)x(vIE +=

Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =

3

PL

2

PL

6

PLC0C

2

LPL

6

LP)L(vIE

333

22

23

=+==+=

b)3

PL

2

xPL

6

xP)x(vIE323

+=


85/118

c)3

PL

2

0PL

6

0P)0(vIE

323

+=

IE3

PLv)0(v

3

A ==

d)

( )

3

PL

2

)2L(PL

6

2LP

)2L(vIE

323

+=

3333

PL48

)16121(

3

PL

4

PL

48

PL)2/L(EIv

+=+=

EI48

PL5v)2/L(v

3

d ==

2 soluo:Colocando-se o sistema de referncia no engaste:

PVePLM:apoiodeaesRe BB ==

)Lx0(x.PPLxVM)x(M BB +=+=

)x(M)x(vIE ||

=

x.PPL)x(vIE ||

=

1

2|

C2

xPxPL)x(vIE +=

Os engastes impedem rotaes, ento: 0)0(v | =

0C0C2

0P0PL)0(vIE 11

2|

==+=

a)2

xPxPL)x(vIE

2|

=


2

32

C6

Px

2

xLP)x(vIE +=

Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)0(v =

0C0C00)0(vIE 22 ==+=


86/118

b)6

Px

2

xLP)x(vIE

32

=

c)3

32

PL)6

13(

6

PL

2

LPL)L(vIE

==

IE3PLv)L(v

3

A ==

d)( ) 3

3332

PL)48

16(

48

PL

8

PL

6

)2/L(P

2

2LLP)2L(vIE

===

EI48

PL5v)2/L(v

3

d ==

2) Sendo = constante, determine:a) a equao da tangente linha elstica;


c) a deflexo do ponto A;

d) a deflexo do ponto d.

)Lx0(2

qx)x(M

2

=

2

qx)x(vIE

2||

+=

1

3| C

6

qx)x(vIE +=

Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v | =

6

qLC0C

6

Lq)L(vIE

3

11

3|

==+=

a)6

qL

6

xq)x(vIE

33|

=


2

34

C6

xqL

24

xq)x(vIE +=


87/118

Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =

8

qL

6

qL

24

qLC0C

6

LqL

24

Lq)L(vIE

444

22

34

=+==+=

b)

8

qL

6

xqL

24

xq)x(vIE

434

+=

c)8

qL

6

0qL

24

0q)0(vIE

434

+=

IE8

qLv)0(v

4

A ==

d)8

qL

6

)3/L(qL

24

)3/L(q)3/L(vIE

434

+=

4444

qL1944

)2431081(

8

qL

18

qL

1944

qL)3/L(EIv

+=+=

EI243

qL17

EI1944

qL136v)3/L(v

44

d ===

3) Sendo = constante, determine:


b) a equao da linha elstica;c) a deflexo mxima;

d) a rotao nos apoios.

)Lx0(2

qxx

2

qL

2

qxxV)x(M

22

A ==

2

qxx

2

qL)x(vIE

2||

+=

1

32|

C6

qxx

4

qL)x(vIE ++=

21

43 CxC

24

qxx

12

qL)x(vIE +++=

Condies de contorno (ou condies de extremidades):


88/118


89/118




c) a deflexo no meio do vo;

d) a deflexo mxima;

6

qLV0

3

L

2

qLLV0M AAB

===

3

qLV0

3

L2

2

qLLV0M BBA

===

)Lx0(L6

qxx

6

qL

L6

qxxV)x(M

33

A ==

L6

qxx

6

qL)x(vIE

3||+=

1

42|

CL24

qxx

12

qL)x(vIE ++=

21

53

CxCL120

qxx

36

qL)x(vIE +++=

Condies de contorno (ou condies de extremidades):

0)0(v = e 0)L(v =


90/118


91/118

5) Calcule a deflexo (flecha) mxima da viga abaixo. IE = constante.

Dados:

= 120 GPa; q = 80.000 N/m

4333

m10x083,2I12

)5,0(20,0

12

hbI

=

==

EI

qL00652,0v

4

mx =

m10x3,110x083,2x10x120

)5(x000.80x00652,0v 3

39

4

mx

==


92/118




c) a deflexo mxima;

d) a deflexo do ponto de aplicao da fora P.

Trecho 1: )2/Lx0(0)x(M =

0)x(vIE || =

1|

C)x(vIE =

21 CxC)x(vIE +=

Trecho 2: )2/Lx0(Px)x(M =

xP)x(vIE ||

=

3

2|

C2

Px)x(vIE +=

43

3

CxC6

Px)x(vIE ++=

Condies de contorno:

Para x = L/2 do trecho 2: v|(L/2) = 0 e v(L/2) = 0

8

PLC0C

2

)2/L(P)2/L(vIE

2

33

2|

==+=

0C)2/L(8

PL

6

)2/L(P

)2/L(vIE 4

23

=+=

24

PLC

16

PL

48

PLC

3

4

33

4 =+=

3 condio de contorno:

Em funo da continuidade da linha elstica:

2Trecho

|

1Trecho

| )0(vIE)2/L(vIE =


93/118


94/118

3

PL

2

xPL

6

xP)x(vIE

323

+=8

qL

6

xqL

24

xq

434

++

3

PL

2

0PL

6

0P)0(vIE

323

+=8

qL

6

0qL

24

0q

434

++

IE8qL

IE3PLv)0(v

43

A +==

vlido o princpio da superposio dos efeitos para o clculo de flechas.

8) Determine a deflexo no meio da viga. IE = constante.

Trecho 1: )2/Lx0(x2

P)x(M =

x2

P)x(vIE

||=

12|

Cx

4

P)x(vIE +=

213

CxCx12

P)x(vIE ++=

Condies de contorno:

Para x = L/2: v| (L/2) = 0

16

PLC0C)2/L(

4

P)2/L(vIE

2

112|

==+=

Para x = 0: v(0) = 0

0C0C016

PL

012

P

)0(vIE 22

23

==++=

Ento: )2/Lx0(x16

PLx

12

P)x(vIE

23

+=

Clculo da deflexo no meio do vo:

3332

3PL

96

)31(

32

PL

96

PL)2/L(

16

PL)2/L(

12

P)2/L(vIE

+=+=+=

IE48

PL)2/L(v

3

=

9) Sabendo que a deflexo mxima da viga abaixo igual a 0,6 cm calcule o valor do mdulo de

elasticidade da viga abaixo. IE = constante.


95/118

IE48

PLv

3

mx =

443

z m10x375,312

30,015,0I

=

=

4

3

10x375,3E48

)4,6(26000006,0

=

29 m/N10x12,70E =

ou: GPa12,70E =

10) Calcule a deflexo (flecha) mxima da viga abaixo devida ao peso prprio. A viga de ao e

tem seo transversal em forma I .

Dados: s= 77 kN/m3; z= 4,16x10

5m4; s= 205 GPa; IE = constante.

A carga q (N/m) obtida multiplicando-se o peso especfico pela rea da seo transversal:

2mm000.3300x62x100x6A =+=


96/118

Ou: 2326 m10x0,3m)10(000.3A ==

m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ===

m10x31,210x16,4x10x205x384

9x231x5

IE384

qL5v

3

59

44

mx

===

11) Sendo IE = constante determine a deflexo mxima e a rotao nos apoios.

xL

MxV)x(M

A

==

xL

M)x(vIE || =

1

2| C

L2

xM)x(vIE +=

21

3

CxCL6

Mx)x(vIE ++=

Condies de contorno: v(0) = 0 e v(L) = 0:

0C0C0CL60M)0(vIE 221

3

==++=

6

MLC0LC

L6

ML)L(vIE 11

3

==+=

Ento:6

ML

L2

xM)x(vIE

2|

+=

x6

ML

L6

Mx)x(vIE

3

+=

A deflexo mxima ocorre onde v|(x) = 0

06

ML

L2

xM)x(vIE

2|

=+=

L58,03

Lx

6

L2x

6

L

L2

x

222

2

====

23

ML064,0)L58,0(6

ML

L6

)L58,0(M)L58,0(vIE =+=

EI

ML064,0v)L58,0(v

2

mx==


97/118


98/118

Exerccios do item 8.6: 1) Construa os diagramas de esforos internos (momento fletor e

fora cortante) da viga abaixo. = constante.

0LqVV0F BAY =+=

0MLV2

LLq0M BBA =+=

Vamos retirar o apoio A (a viga fica isosttica) e determinar o deslocamento que este apoio

est impedindo:

Colocando-se o apoio A


8

Lq3V

EI8

qL

EI3

LVA

43A ==

As outras duas reaes so obtidas com as equaes de equilbrio:

8

Lq5V

8

qL3LqVLqV BAB ===

8

qLML

8

qL5

2

qLM

2

B

2

B =+=


99/118

Com o sistema de referncia com origem no apoio A, tem-se:

)Lx0(xqV)x(Ve2

qxxV)x(M A

2

A ==

O momento fletor mximo positivo ocorre onde V(x) = 0:

q8

qL3

q

Vx0xqV AA ===

8

L3x=

128

qL9

2

)8L3(q)8L3(

8

qL3)8L3(MM

22

mx ===

2) Determine a fora (F) de trao na mola. = constante.

Retirando-se a mola da viga:


100/118

A mola aplica uma fora F na viga em sentido contrrio da fora P:

Compatibilidade dos deslocamentos:EI3

PL

EI3

FL 3

M

3

=+

Lei de Hooke para molas:MkF

=

EI3

PL

k

F

EI3

FL 33

=+

Multiplicando a expresso acima por IE3 :

33PL

k

FIE3FL =+ 33 PL

k

EI3LF =

+

De onde:

k

EI3L

PL

F 3

3

+

=

Anlise de casos extremos:

Se: == FIE 0

Se: == F0IE P

Se: == Fk P

Se: == F0k 0


101/118

Exerccios sobre flambagem:1) Investigue se vai ocorrer flambagem do pilar BC. Dados:

BC= 120 GPa; LBC= 4,0 m.

Clculo da carga crtica do pilar BC:

( )2fl

min2

CRL

IEP

=

43

min mm500.11212

30x50I ==

mm40004000x0,1LKLfl ===

( ) N5,327.84000

112500x10x120

P 2

32

CR =

=


102/118

A fora de compresso que atua no pilar BC maior do que a carga crtica ( CRP ) do

pilar. Portanto, vai ocorre flambagem do pilar BC.

2) Resolva o problema anterior considerando que o pilar BC est engastado no ponto C.

Clculo da carga crtica do pilar BC:

( )2fl

min2

CRL

IEP

=

mm28004000x7,0LKLfl ===

( )N9,994.16

2800

112500x10x120P

2

32

CR =

=

CRBC PF < , neste caso no vai ocorrer flambagem do pilar.

3) Calcule o valor crtico da fora P. As duas barras tm seo transversal circular com

dimetro = 15mm e mdulo de elasticidade = 205 GPa.


103/118

o60)5,0(cosarc

69,0

345,0cos ===

P155,160sen

PF0senFP0F

o22Y===+=

==+= cosFF0cosFF0F 2121X

P5775,060cos)P155,1(F o

1 ==

Clculo da carga crtica da barra 2:

( )2fl

min2

CRL

IEP

=

4944

min m10x485,264

)015,0(

64

DI

=

=

=

m69,069,0x0,1LKLfl ===

( )N560.10

69,0

10x485,2x10x205P

2

992

CR =

=

Para que ocorra flambagem da barra 2: F2= Pcr, ento:

N9,142.9P560.10P155,1 ==

4) A trelia abaixo formada por quatro barras de ao com seo transversal circular.

Todas as barras tm o mesmo dimetro = 30 mm e mdulo de elasticidade =205

GPa. Calcule:

a) a tenso normal na barra CD;

b) o alongamento da barra AC;

c) investigue se a barra AB ir flambar.


104/118

N4800H06,5x12004,1xH0M DDB===

N4800H0HH0F BDBX===

Diagrama de corpo livre do n A:

o57,26)5,0(tanarc

8,2

4,1tan

===

N8,2682F01200senF0F ACACY ===

==+= cosFF0FcosF0F ACABABACX

N2400)57,26(cos8,2682F o

AB ==


105/118

Diagrama de corpo livre do n B:

BABBCBBCABXHFcosF0HcosFF0F ==++=

N4,683.2)57,26(cos

400.2800.4)2400(cosFBC =

==

0senFV0F BCBY=+=

N1200)57,26(sen)4,2683(V o

B ==

Portanto, VD= 0.

a) 2CD2CD

CDCD mm/N79,6

154800

AF =

==

b) m10x79,5)015,0(10x205

13,3x8,2682

AE

LFL

5

29ACAC

ACACAC

=

==

c) Clculo da fora crtica da barra AB:

444

min mm8,3976064

)30(

64

DI =

=

=

mm56005600x0,1LKLfl ===

( )N3,565.2

5600

8,39760x10x205

L

IP

2

32

2fl

min2

CR =

=

=

FAB= 2.400 N < PCR = 2.565,3 N, portanto, a barra AB no ir flambar.


106/118


107/118


108/118

3_

Z mm000.86436012020AyQ ===

3) Calcule o momento esttico da rea hachurada em relao ao eixo horizontal do

centride.

3

_

Z mm000.400.2120200100AyQ ===

Demonstrao do teorema dos eixos paralelos

2|ZZ a.AII +=

2|YY b.AII +=

= A2|

|Z

dA)y(I

[ ] ++=+= A2|2|

A

2|Z dAaay2)y(dA)ay(I

++= A A A2|2|

Z dAadAya2dA)y(I

O momento esttico de uma rea em relao a um eixo que passa pelo seu centride

nulo, ento: =A

|

0dAy


109/118

2|ZZ a.AII +=

4) Para a rea abaixo, determine:

a) o momento de inrcia IZ

b) o momento de inrcia IY

a) ==2b

2b

2h

2h

2

A

2Z dzdyydAyI

=

2h

2h

3

Z3

yI

2b

2bz

=

2

b

2

b

8

h

8

h

3

1 33

12

hbIb8

h

8

h

3

1I3

Z

33

Z =

+=

b) ==2b

2b

22h

2hA

2Y dzzdydAzI

=

2h

2hY yI

2b

2b

3

3

z

12

bh 3

=

5) Determine o momento de inrcia de uma rea circular vazada em relao ao eixo Z.


110/118

= A2

Z dAyI onde: drrddA =

== senryr

ysen

= drrd)rsen(I 2

Z

= er

ir

2

0

23 dsendrr

( )

=

2

0

er

ir

4

Z cossen2

1

4

rI

)( )[ ])0cos0sen0(2cos2sen2

2

1

4

rrI

4i

4e

Z

=

) )4

rrI2

2

1

4

rrI

4i

4e

Z

4i

4e

Z

=

=

Ou colocando em funo dos dimetros externo e interno:

=

4

i

4

eZ

2

D

2

D

4I

=

16

D

16

D

4

4i

4e

[ ]4i

4eZ DD64I

=

Particularizando para seo cheia (Di= 0):

64

DI

4e

Z

=

Observaes: 1) Existem infinitos eixos de simetria que passam pelo centride de uma

rea circular. Portanto, todos os momentos de inrcia em relao aos eixos que passam

pelo centride so iguais.


111/118

2 ) No confundir momento de inrcia ( I ) com momento de inrcia toro (J )

I usado na flexo

J usado na toro

64

DII

4

YZ

== (para seo circular cheia)

222 yzr +=

+=+== A A A2222

A

2 dAydAzdA)yz(dArJ

ZY IIJ +=32

D

64

D

64

D 444 =

+

=

6) Calcule o momento de inrcia de uma rea em forma de T em relao ao eixo

horizontal (Z) do centride.


112/118


0z_

=

21

_

22

_

11A_

AA

yAyA

A

ydAy

+

+==

10,0x80,020,0x50,0

55,0x10,0x80,025,0x50,0x20,0

+

+=

m383,018,0

069,0y_

==

Se o sistema de referncia auxiliar for colocado na face superior, tem-se:

=_y m217,0

18,0

039,0

10,0x80,020,0x50,0

35,0x50,0x20,005,0x10,0x80,0==

+

+


113/118

Transladando-se o sistema de referncia para o centride da figura, tem-se:

Clculo de IZusando-se o teorema dos eixos paralelos:

2|ZZ a.AII +=

23

23

Z )133,0(x5,0x2,0

12

5,0x2,0)167,0(x1,0x8,0

12

1,0x8,0I +++=

43Z m10x15,6I

=

7) Para a rea do exerccio anterior calcule o momento de inrcia em relao ao eixo y

( YI ).

4333

Y m10x6,412

20,0x50,0

12

80,0x10,0I

=+=


114/118

Exerccios sobre eixos principais de inrcia: 1) Calcule os momentos de inrcia

centrais principais e as direes dos eixos principais de inrcia.


=

==

n

1i

i

n

1i

i

_

i_

A

yA

y

2,767,122,767,122,767,12

)4,25(2,767,1235,62,767,121,382,767,12y_

++

++= = 6,35 mm


115/118

=

==

n

1i

i

n

1i

i

_

i_

A

zA

z

2,767,122,767,122,767,12

)25,95(2,767,128,502,767,1235,62,767,12z_

++

++= = 50,8 mm

+

=

12

2,767,12I

3

Z

2)75,31(2,767,12 +

+

12

7,122,76 3

4Z

23

mm7,612.900.2I)75,31(2,767,1212

2,767,12=+

+

=

12

7,122,76I

3

Y 2)45,44(2,767,12 +

+

12

2,767,12 3

4Y

23

mm0,401.318.4I)45,44(2,767,1212

7,122,76=+

+=0I YZ )45,44()75,31(2,767,12 45,4475,312,767,120 ++

4YZ mm7,518.731.2I =


116/118

Clculo de 1, 2, 1e 2

2

ZY

2

ZYYZ

1 I2

II

2

II

I +

+

+=

= 6.431.514 mm

4

2ZY

2

ZYYZ2 I

2

II

2

III +

+= = 787.499,5 mm

4

Y1

ZY1

II

Itg

= = 52,27

=

2Y

ZY2

II

Itg = 37,73

2) Calcule os momentos de inrcia centrais principais e as direes dos eixos principais

de inrcia.


117/118


2,767,122,767,122,767,12

1,382,767,1285,692,767,121,382,767,12y_

++

++= = 48,68 mm

2,767,122,767,122,767,12

25,952,767,128,502,767,1235,62,767,12z_

++

++= = 50,8 mm

+

+

= 2)1,3868,48(2,767,12

122,767,12I 2

3

Z

4Z

23

mm6,889.599.1I)35,652,27(2,767,1212

7,122,76=+

+

+

= 2)35,61,38(2,767,12

12

7,122,76I 2

3

y

4y

3

mm6,359.445.2I12

2,767,12=


118/118

O produto de inrcia zy igual a zero (a rea possui um eixo de simetria), ento os

eixos Z e Y so os eixos principais de inrcia.

y o maior momento de inrcia = 1

z o menor momento de inrcia = 2

3) Para a rea abaixo calcule os momentos de inrcia principais.

41033

Z mm10x97,112

400x300

12

800x500I ==

4933

300x400500x800

exercicios resolvidos de civ 105

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