¾

1) O número de bactérias de determinada cultura varia de acordo com a lei N( t)=100.2−t /2 , em que o tempo t é dado em horas. Nessas condições, julgue os itens.

C E No instante t = 0, o número de bactérias existente na cultura é igual a 200. E

C E Depois de 8 horas, o número de bactérias existente na cultura é menor que 7. C

C E Em 4 horas, a quantidade de bactérias na cultura se reduz a da quantidade inicial. C

2) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Ricther, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e M0 se relacionam pela fórmula:

Mw=−10,7+ 23

log(M0)

Onde M0 é o movimento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina cm.O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional, cuja magnitude foi de Mw= 7,3. Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina cm)?

a) 10– 5,10

b) 1012

c) 1021,65

d) 1027

3) Sabendo que log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5, determine o valor de:

a) log 12 b) log√ 1,51,1 0,1

4) Sabendo que A =log3 1+log0,01−lne

log7 7+5log5 4 , determine o valor de A-2. 25/9

5) Resolva as equações:

a) log2[ log1

4

(x2−2x+1)]=0.b) log2(x−3)+log2(x−4)=1.

c) log13

(x−1)=−2.

a) {½, 3/2}b) {5}

c) {10}

NOME: 2015

EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃOSÉRIE: 2ª TURMA: ENSINO: MÉDIO

MATEMÁTICA II

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6) Se logα = 6 e logβ = 4, então 4√ α2β é:

a) βb) 104

c) 24

d) α2

+ β4

7) Resolva, em ℝ , a seguinte equação: log(2x − 1) + log(x + 2) = log(8x − 4) . x=2

8) Sejam x e y positivos e 0 < b ≠ 1 . Se logb x =−2 e logb y = 3, calcule o valor de logb √ ( x 2. y3) . 5/2

9) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas seguintes funções: Altura:

Diâmetro do tronco:

com H (t) e D (t) em metros e t em anos.

Determine a soma das medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, em centímetros, de uma árvore no momento em que ela é plantada. 1,1

10) Na figura abaixo está representada a função real f, dada por f (x) = loga x , com x > 0. Sabendo-se que a

função passa pelos pares ordenados ( 14, – 1) , (1, 0), (xB, 1) e (xC; 1,5), julgue os itens.

E E C C C

11) A intensidade D de um terremoto, medida na escala Richter, é um número dado pela fórmula empírica

D = 23

. l o g( EE 0) , na qual E é a energia liberada no terremoto em kilowatt-hora e E0 = 7 .10−3  k W h . A energia

liberada em um terremoto de intensidade 4, na escala Richter, é, em kilowatt-hora, um número compreendido entre:a) 100 000 e 500 000 b) 50 000 e 100 000 c) 10 000 e 50 000 d) 1 000 e 10 000

12) Um paciente de um hospital está recebendo soro por via intravenosa. O equipamento foi regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos. Sabendo-se que este número x é solução da equação log4x = log23 e que cada gota tem

volume de 0,3 mL, determine o volume de soro que o paciente receberá em uma hora. 324mL

MATEMÁTICA IIE

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tNOME: TURMA: SÉRIE: 2ª ENSINO: MÉDIO

2 – 8

D( t)=(0,1) .2t7

H( t)=1+(0,8). log2( t+1)

¾

13) Determine o conjunto solução da inequação logarítmica abaixo.

X ≥ 3

14) A curva abaixo indica a representação gráfica da função f (x) = log2 x , sendo D e E dois dos seus pontos. Se os pontos A e B têm coordenadas respectivamente iguais a (2,0) e (4,0), julgue os itens.

(1) C E A função f é crescente.

(2) C E A área do triângulo CDE será igual a 40% da área do trapézio ABDE.

(3) C E O segmento DE tem medida igual a √ 5.

C E C

15) O conjunto solução da equação log4 x +logx 4 = 52

sendo U = IR +∗ – {1}, é tal que a soma de seus elementos é

igual a:

a) 0 b) 2 c) 14 d) 16 e) 18

16) Qual é a solução do sistema abaixo?

X = 15 e y = 217) Determine o valor da expressão.

log0,01 10+lne− 3.log0,25 2√2 11/4

18) Para revestir externamente chapéus em forma de cones retos com diâmetro da base medindo 16 cm e o ângulo central do setor formado com a planificação da superfície lateral igual a 144º, serão utilizados um certo tipo de tecido. Quantos metros quadrados de tecido devem ser comprados para forrar 100 chapéus? 4,8 m2

19) A seção meridiana de um cone reto é um triângulo equilátero de perímetro 36 cm. Determine o que se pede abaixo.

a) A área lateral desse cone. 72.π cm2

b) O seu volume, em ml. 72.π √3cm3oumL

MATEMÁTICA IIE

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tNOME: TURMA: SÉRIE: 2ª ENSINO: MÉDIO

3 – 8

log12

(x−1) + log12

(x+5 )≤ −4

¾

20) Para a limpeza das dependências de um restaurante, é utilizada a água da chuva. A captação e o armazenamento da água são feitos em um reservatório, que tem a forma de um cone circular reto invertido. O reservatório ilustrado abaixo possui 6 m de altura, e diâmetro da base igual a 4 m. Ele está com água até a altura de 3 m, como indicado. Se a água do reservatório fosse retirada à taxa de 20 litros por minuto, qual seria o tempo necessário para esvaziá-lo? (Use π = 3 )

2h30 ou 150 min

21) Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família usa, para tomar banho, um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular reto de altura 30 cm e base com 12 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura. Por outro lado, numa praça de uma certa cidade, há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação π = 3 , determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual.

2 dias22) A superfície total de um tronco de cone reto é 1.536π cm2 . Sabendo que os raios das bases medem 26 cm e

20 cm, respectivamente, determine a altura e o volume do tronco

4256.π cm3

23) O retângulo ABCD gira em torno da reta r, considerada como eixo. Determine o volume do sólido gerado, sabendo que as medidas estão em dm. (Use π=3 )

1944 L

24) Uma chapa metálica tem a forma de um semicírculo de 24 cm de raio. Com ela, constrói-se a superfície de um funil, ou seja, um recipiente em forma de cone reto. Determine a capacidade desse funil, em mL.

576.π √3cm3

MATEMÁTICA IIE

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tNOME: TURMA: SÉRIE: 2ª ENSINO: MÉDIO

4 – 8

¾

25) O recipiente mostrado na figura (medidas em centímetros), com a forma de um cone circular reto, tem por base uma circunferência de comprimento igual a 8π cm, e a sua altura é igual ao triplo do raio da circunferência. Foi colocado nesse recipiente um medicamento, cujo nível atingiu 6 cm de altura, e, em seguida, foi adicionado soro fisiológico, em quantidade suficiente para preencher totalmente o recipiente. Determine:

a) o volume ocupado pelo medicamento antes do soro fisiológico.

8π cm3

b) a razão entre o volume ocupado pelo medicamento e o volume total do recipiente.

1/8

26) Sabendo que o cone reto abaixo cujo raio da base é 3 cm está inscrito numa esfera de raio 5 cm, julgue os itens.

(1) A altura desse cone é 9 cm. C(2) O volume desse cone é 36π cm3 . E(3) O volume do cone corresponde a 16,2% do volume da esfera. C(4) A área dessa superfície esférica é 100π cm2. C

27) Considere uma esfera com 12 cm de diâmetro e que dela foi retirada uma cunha esférica com ângulo diedro de 40o. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens.

(5) A área do fuso esférico da cunha acima é 16π cm2 . C

(6) A área do círculo máximo dessa esfera é 144π cm2 . E(7) O volume dessa cunha é 36π cm3 . C(8) O volume dessa esfera é 288π cm3. E

28) Na figura abaixo tem-se um cone circular reto, cuja geratriz mede 20 cm, inscrito em um cilindro circular reto de 16 cm de altura. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

MATEMÁTICA IIE

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tNOME: TURMA: SÉRIE: 2ª ENSINO: MÉDIO

5 – 8

¾

(9) A razão entre as áreas totais do cone e do cilindro, nesta ordem, é 7

2. E

(10) A área lateral do cone inscrito no cilindro é 160π cm2 . E

(11) Para se obter um outro cone circular reto, cujo volume é igual a 24

1 do volume do cilindro, pode-se

interceptar o cone dado por um plano paralelo à sua base e distante 8 cm de seu vértice. C

(12) O volume do cone é igual a 3

2 do volume do cilindro. E

29) Uma bola esférica de 16 cm de diâmetro está flutuando em uma piscina. A bola está com 4 cm de seu raio abaixo do nível da água. Qual é o raio da calota esférica imersa na água?

a) cm 23

b) cm 22c) 6 cmd) cm 34

30) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo alfa= 72º , como mostra a figura. Isso significa que a área do fuso esférico determinado é

a) 15πm2

b) 20πm2

c) 5πm2

d) 10πm2

31) Uma esfera de 15 cm de raio é seccionada por um plano, formando um círculo, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que a altura h é de 3 cm, determine a área da secção; isto é, do círculo formado. (considere π = 3 ).

243

32) Dadas duas esferas tangentes, de raios 2 m e 1 m, respectivamente, determine o volume do cone reto circunscrito a essas duas esferas. (Use π = 3 ) 064

MATEMÁTICA IIE

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tNOME: TURMA: SÉRIE: 2ª ENSINO: MÉDIO

6 – 8

¾

Sua história é marcada por uma série de lendas, assim como a sua morte. Em 212 a.C., durante a segunda Guerra Púnica, os romanos finalmente invadiram Siracusa e tinham ordens para não matar Arquimedes, pois ele poderia ser útil também aos romanos. Porém, na invasão, encontraram Arquimedes na praia desenhando na areia, algo que provavelmente seria mais um de seus projetos, e, tão absorto que estava em seu raciocínio, não obedeceu às ordens dos soldados, que acabaram matando-o sem saber que era o próprio Arquimedes. Sua sepultura foi decorada com o desenho de uma esfera dentro de um cilindro como ilustrado abaixo, segundo seu desejo, pois era um dos seus teoremas favoritos.

Com base nas informações, julgue os itens.

(1) Se dobrarmos o raio de uma esfera, a área de sua superfície quadruplica. C(2) Se triplicarmos o raio de uma esfera, o seu volume fica nove vezes maior. E(3) O volume de um cilindro, que tem por base o maior dos círculos contidos na esfera e por altura o diâmetro dessa esfera, é igual a uma vez e meia o volume dessa mesma esfera. C(4) A superfície lateral do cilindro e a superfície esférica referente ao item anterior, possuem a mesma área. C

Uma mexerica pode ser considerada uma esfera de raio 3 cm, composta de 12 gomos exatamente iguais. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens.

(5) A área do círculo máximo dessa esfera é 9πcm2 Χ(6) A área do fuso esférico de cada gomo acima é 36πcm2 . E(7) O volume dessa esfera é 36πcm3 . C

Três bolas de tênis idênticas, de diâmetro igual a 6 cm, encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica com tampa. As bolas tangenciam a superfície interna da embalagem nos pontos de contato, como ilustra a figura abaixo. Com base nesses dados, julgue os itens seguintes.

(8) A área total, em cm2, da superfície da embalagem mede 216π cm2. C

(9) A fração do volume da embalagem ocupado pelas bolinhas de tênis equivale a23

. C

Um cilindro equilátero de altura 2√ 2 m está inscrito numa esfera. Com base nesses dados, julgue os itens seguintes.

(10) O volume da esfera mede32 π

3m3 . C

(11) A diagonal do cilindro é igual ao raio da esfera. E(12) O volume do cilindro mede 4π √ 2 m3 . C

(13) A área de uma secção feita a 6 cm do centro de uma esfera é 64 π cm2. Nessas condições, a área da superfície esférica é:

a) 300 π cm2. b) 400 π cm2 c) 500 π cm2 d) 600 π cm2

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tNOME: TURMA: SÉRIE: 2ª ENSINO: MÉDIO

7 – 8

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(14) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60o de ângulo do vértice, obtido a partir da secção meridiana feita nesse cone. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam 2 √ 3 cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm³, é igual a:

a)416π

9cm3 . b)

516π9

cm3 . c)480π

9cm3 . d)

542π9

cm3 .

(15) Deseja-se encher de água um reservatório em forma de um hemisfério, utilizando-se um outro recipiente menor de forma cilíndrica circular reta, conforme figuras abaixo. A partir de suas medidas

internas, constatou-se que a razão entre os seus raios é16

e que a altura do recipiente menor é o triplo

do seu raio. Sendo assim, para que o reservatório fique completamente cheio, quantas vezes o recipiente menor deve também ser completamente enchido e derramado no maior?

048(16) Um sorveteiro vende sorvete de casquinha de biscoito que tem a forma de cone de 3 cm de diâmetro e

6 cm de profundidade. As casquinhas são totalmente preenchidas de sorvete e, ainda, nelas é superposta uma meia bola de sorvete de mesmo diâmetro do cone. Os recipientes onde é armazenado o sorvete têm a forma cilíndrica de 18 cm de diâmetro e 5 cm de profundidade. Determine o número de casquinhas que podem ser servidas com o sorvete armazenado em um recipiente pela metade.

030

MATEMÁTICA IIE

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tNOME: TURMA: SÉRIE: 2ª ENSINO: MÉDIO

8 – 8