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Exercícios paraFundamentos da ProgramaçãoUtilizando Múltiplos Paradigmas

Pedro Adão, Fausto Almeida, Ana Cardoso-Cachopo, Pedro Amaro de Matos (editores)

Departamento de Engenharia InformáticaInstituto Superior TécnicoUniversidade Técnica de Lisboa

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Preâmbulo

O objectivo desta publicação é disponibilizar um conjunto de exercícios que permitam aos alu-nos da disciplina de Fundamentos de Programação da Licenciatura em Engenharia Informáticae de Computadores do Instituto Superior Técnico consolidarem os conhecimentos adquiridosao longo do semestre.

Os exercícios estão divididos de acordo com os capítulos do livro adoptado na disciplina:“Fundamentos da Programação Utilizando Múltiplos Paradigmas”, de João Pavão Martins eMaria dos Remédios Cravo, editado pela IST Press em 2011. Sempre que tal foi consideradorelevante, os exercícios foram subdivididos de acordo com o seu tipo.

Chama-se a atenção dos alunos para a indicação do nível de dificuldade de 1 a 4, corres-pondendo o nível 1 a exercícios muito fáceis e o nível 4 a exercícios francamente difíceis. Estainformação é apresentada dentro de um quadrado cinzento antes do enunciado do exercício aque diz respeito.

Alguns destes exercícios correspondem a exercícios propostos nas sebentas (a) Exercícios dacadeira de Introdução à Programação, Cláudia Antunes, Ana Cardoso Cachopo, João Cachopo,Francisco Couto, António Leitão, Inês Lynce, César Pimentel e H. Sofia Pinto, editados porInês Lynce, 2002, e (b) Exercícios para Programação em Scheme: Introdução à ProgramaçãoUtilizando Múltiplos Paradigmas, Departamento de Engenharia Informática, IST.

Conteúdo

1 Noções básicas 71.1 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Exercícios de programação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Abstracção Procedimental 112.1 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Exercícios de programação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Avaliação de Expressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Definição de Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Recursão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.4 Valores aproximados de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Processos gerados por procedimentos 253.1 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Exercícios de programação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Estruturação de Procedimentos 374.1 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Exercícios de programação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Estrutura de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.2 Utilização de Nomes Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Abstracção de dados 435.1 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Exercícios de programação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.1 Caixas e ponteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.2 Tipo tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.3 Tipo data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.4 Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.5 Listas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.6 Árvores Binárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Procedimentos de ordem superior 656.1 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2 Exercícios de programação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2.1 Procedimentos que recebem procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2.2 Procedimentos que produzem procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . 71

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6 CONTEÚDO

7 O desenvolvimento de programas 777.1 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 Exercícios de programação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Capítulo 1

Noções básicas

1.1 Exercícios de revisão

1. O que é um processo computacional? Qual a relação entre um programa e um processocomputacional?

2. O que é um algoritmo? Explique cada uma das suas características: rigor, eficácia egarantia de terminação.

3. O que é um programa? Qual a sua relação com um algoritmo?

4. O que é a abordagem do topo para a base? Aplique-a à solução de um problema à suaescolha.

5. Em que consiste a abstracção? Qual a sua vantagem?

6. Explique em que consiste o ciclo “lê-avalia-escreve”.

7. O que são a sintaxe e a semântica de uma linguagem? Como se descrevem?

8. Dê um exemplo de cada um dos seguintes tipos de entidades existentes em Scheme:

(a) Constante.

(b) Procedimento primitivo.

(c) Combinação.

(d) Forma especial.

9. Diga o que é uma combinação, apresentando a sua sintaxe em notação BNF e explicandoinformalmente os símbolos não terminais que a compõem.

10. Quais os passos seguidos pelo Scheme na avaliação de uma combinação?

11. O que é um predicado? Dê um exemplo.

12. O que é uma definição recursiva? Quais as partes que a compõem?

13. Considere a operação de nomeação em Scheme.

(a) Qual a sintaxe e a semântica da operação de nomeação?

7

8 CAPÍTULO 1. NOÇÕES BÁSICAS

(b) Explique a razão de esta operação corresponder a uma forma especial.(c) Qual a necessidade da definição desta operação?

14. O que é um ambiente?

1.2 Exercícios de programação

1. (1) Instale o Scheme no seu computador seguindo as instruções do Manual de Sobre-vivência em Scheme.

2. (1) Na janela de interacção do Scheme execute as seguintes acções:

(a) Avalie a constante inteira correspondente ao seu número de aluno.(b) Avalie a cadeia de caracteres correspondente ao seu nome completo.(c) Calcule a diferença entre 2007 e o seu ano de nascimento.(d) Calcule a área de um círculo com diâmetro 10.(e) Calcule a razão entre a área de um quadrado com 10 de lado e a área de um círculo

com diâmetro 10.

3. (1) Converta as seguintes expressões para a notação do Scheme:

(a) (1 + 5) ∗ 6− 12/3

(b) 2 + 3 ∗ 4/5

(c) (8 + 7 ∗ 9/3− 2) ∗ (8/4− 9 + 3)

4. (2) Traduza as seguintes expressões para notação prefixa e calcule o seu valor utilizandoo interpretador do Scheme. Mostre a árvore de avaliação para cada uma delas utilizandoo modo de avaliação de expressões em Scheme.

(a) (5 + 4 ∗ 3)/(2 + 1)

(b) (5 + 4) ∗ 3/2− 1

(c) 1 + 2 ∗ 3/4− 5 ∗ 6/(7 + 8)

5. (1) Suponha que as seguintes expressões são avaliadas pelo Scheme. Na linha imedia-tamente a seguir a cada uma delas diga o que é escrito pelo interpretador do Scheme (sea avaliação de alguma das expressões der origem a um erro, explique a razão do erro).

(a) (+ 1 20)

(b) (1 + 20)

6. (1) Considere uma máscara de papel feita a partir um círculo de papel de raio 5. Osdois olhos são círculos de raio 1 recortados, o nariz é um quarto de círculo de raio 3recortado e a boca corresponde a meio círculo de raio 3, também recortado. Escrevauma expressão em Scheme para calcular a área ocupada pela máscara.

(a) Escreva o código em texto corrido usando os valores apropriados.(b) Escreva o código usando a indentação elegante.

1.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 9

(c) Escreva o código definindo nomes Raio-Face, Raio-Olhos, Raio-Nariz, Raio-Bocapara os raios dos círculos referidos.

(d) Escreva o código utilizando os nomes Area-Face, Area-Olhos, Area-Nariz, Area-Boca,com os valores apropriados.

(e) Avalie cada uma das respostas das alíneas anteriores quanto à legibilidade do código.

7. (1) Suponha que as seguintes expressões são avaliadas pela ordem apresentada. Digao que é escrito pelo interpretador do Scheme. Se a avaliação de alguma das expressõesder origem a um erro, explique a razão do erro.

(a) (* 4 (+ 1 7.0))

(b) (define a 5)

(c) (+ a b)

(d) (define b (* (+ 5 a) (+ 2 56)))

(e) (+ a b)

(f) a

(g) (define a (+ a 2))

(h) a

(i) +

(j) 7.0

(k) (* 2 (/ 8 4))

(l) (+ 3 #f)

(m) (define a a)

(n) a

8. (1) Diga qual o resultado de avaliar cada uma das seguintes formas.Se a avaliação de uma forma não produzir resultados escreva -nada-.Se a avaliação de uma forma produzir um erro, explique a sua razão.

(a) (and (> 3 5) (/ 3 0))

(b) (and (/ 3 0) (> 3 5))

(c) (+ 8 (max 3 2))

(d) (define a 5)

10 CAPÍTULO 1. NOÇÕES BÁSICAS

Capítulo 2

Abstracção Procedimental


1. Diga qual a diferença entre uma função matemática e um procedimento em Scheme parao cálculo dessa função.

2. Explique o que são os parâmetros formais e o que são os parâmetros concretos, referindo,em particular onde aparecem os parâmetros formais e onde aparecem os parâmetrosconcretos e quando e como é que os parâmetros formais são associados com os parâmetrosconcretos.

3. Utilizando a notação BNF, apresente a definição de uma expressão lambda. Expliquecada um dos constituintes da sua definição.

4. O que é um procedimento anónimo? Dê um exemplo.

5. Diga o que é abstracção procedimental e qual a sua vantagem.

6. Escreva as regras seguidas pelo Scheme para a avaliação de uma expressão.

7. O que é um ambiente local? Qual o significado de dizer que um nome está ligado numambiente?


2.2.1 Avaliação de Expressões

1. (1) Avalie as seguintes formas. Se alguma das avaliações der origem a um erro, expliquequal a razão do erro.

(a) (3 1)

(b) ((lambda (x) (+ 2 x)) 3)

(c) ((lambda (x) ((lambda (y) (* y 2)) (+ x 3))) 4)

(d) ((lambda (x) (+ x 3)) ((lambda (y) (* y 2)) 4))

12 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL

2. (1) Diga qual o resultado de avaliar cada uma das seguintes formas. Considere queestas são fornecidas ao avaliador do Scheme pela ordem apresentada (e consequentementecada forma é dependente das anteriores).

Se a avaliação de uma forma não produzir resultados escreva -nada-. Se a avaliação deuma forma produzir um erro, explique a sua razão.

(a) (define a 5)

(b) (if (odd? a) (+ a 2) (* a 3))

(c) (lambda (x) (+ b x))

(d) ((lambda (x)(+ a x)) b)

3. (1) Considere o procedimento

(define (cont n)(if (< n 0)

0(+ 2 (cont (- n 3)))))

Com base nas regras de avaliação, desenhe a árvore que representa o funcionamentodeste procedimento com a avaliação de (cont 5).

4. (1) Considere o procedimento

(define (proc n)(cond ((= n 0) 1)

((= n 1) 1)(else (+ 3 (proc (- n 3))))))

Com base nas regras utilizadas pelo interpretador do Scheme para avaliar uma com-binação, desenhe a árvore que representa o funcionamento deste procedimento com aavaliação de (proc 3).

5. (1) Considere a seguinte interacção com o Scheme:

> (define (f x) (+ x 2))> (define (g x) (* 2 (f x)))> (define (h x) (f (* 2 x)))> (g 3)10> (h 3)8

Com base nas regras utilizadas pelo interpretador do Scheme para avaliar uma combi-nação, desenhe as árvores que representam o funcionamento destes procedimentos coma avaliação de (g 3) e de (h 3).


6. (2) Repare que o nosso modelo de avaliação permite a existência de combinações cujosoperadores são expressões compostas. Use esta observação para descrever o comporta-mento do seguinte procedimento:1

(define (a-plus-abs-b a b)((if (> b 0) + -) a b))

7. (2) Considere a seguinte interacção em Scheme:

> (define (f1 x) (* x x))> (f1 5)25> (define f2 f1)

(a) Qual o valor de (f2 5)? Justifique a sua resposta.

(b) Suponha que agora definia o procedimento f2, do seguinte modo:

> (define (f2 x) (+ x 10))

Quais os valores de (f1 5) e de (f2 5)? Justifique a sua resposta.

8. (2) Considere a seguinte definição:

(define f ((lambda (x) (lambda (y) x)) 1)).

Diga quais os resultados da avaliação sequencial das seguintes expressões. Se algumadas expressões produzir um erro, explique a razão do erro.

(a) (f 2)

(b) (define g (f 3))

(c) (g 4)

(d) (define h f)

(e) (h 6)

2.2.2 Definição de Procedimentos

1. (1) Escreva um procedimento anónimo que soma dois ao seu argumento.

2. (1) Escreva um procedimento anónimo para representar a função de um argumento(x) cujo valor é calculado por (x− 32) ∗ 5/9.

3. (1) Escreva um procedimento anónimo para representar a função de dois argumentos(x e y) cujo valor é calculado por (x+ 3 ∗ y) ∗ (x− y).

4. (1) Escreva o procedimento dobro que devolve o dobro do seu argumento.

1Exercício 1.4 de Abelson H., Sussman G. J., e Sussman J., Structure and Interpretation of ComputerPrograms, 2a Edição, p. 21, 1996.


5. (1) Escreva o procedimento metade que recebe um número inteiro positivo e devolveum número racional que corresponde a metade do seu argumento.

6. (1) Escreva um procedimento horas->dias que recebe um inteiro correspondente aum certo número de horas e que devolve um número real que traduz o número de diascorrespondentes ao seu argumento.

> (horas->dias 48)2.0> (horas->dias 10)0.4166666666666667

7. (2) Escreva o procedimento digitos->numero que recebe como argumentos três dígitose produz o número inteiro de três algarismos constituído pelos seus argumentos e pelaordem em que aparecem.

> (digitos->numero 3 2 8)328

8. (1) Escreva um procedimento area-circulo que calcula a área de um círculo cujo raioé r. Note-se que esta área é dada pela fórmula πr2.

9. (2) Utilizando o procedimento area-circulo do exercício anterior, escreva um proce-dimento area-coroa que calcula a área de uma coroa circular de raio interior r1 e raioexterior r2.

10. (1) Defina o procedimento media que recebe dois argumentos que devem ser númerose devolve o número real que corresponde à média dos seus argumentos.

11. (1) Escreva um procedimento sinal, que receba um inteiro e devolva 1, −1 ou 0, casoo número seja, respectivamente, maior, menor ou igual a zero.

12. (1) Escreva o procedimento intermedio que recebe três números e devolve o númerocom o valor intermédio.

13. (3) Escreva um procedimento quant->qual, que recebe um real, representando umanota quantitativa de um aluno (entre 0 e 20), e a transforma numa constante do tipocadeia de caracteres que corresponde a uma nota qualitativa, de acordo com a tabela

Nota Notaquantitativa qualitativa

18 a 20 Muito Bom14 a 17 Bom10 a 13 Suficiente5 a 9 Mediocre0 a 4 Mau

A nota recebida deverá ser convertida para um número inteiro, antes da conversão paraa nota qualitativa.


14. (1) Escreva um procedimento que recebe as notas de um aluno de uma disciplina C1(nota do projecto, média dos trabalhos das práticas, nota do teste, e nota do examefinal) e calcula a sua nota final de acordo com as seguintes regras:

(a) A nota na disciplina será calculada por uma média ponderada da classificaçãoobtida nas provas realizadas, com os seguintes pesos: projecto – 25%; trabalhos decasa e aulas práticas – 10%; teste – 20%; exame final – 45%.

(b) Para obter aprovação na disciplina, a nota do exame terá de ser superior a 7,5valores, a nota do projecto terá de ser superior a 9,5 valores e a média ponderadada disciplina terá de ser superior a 9,5 valores.

O seu procedimento deve devolver a nota final da disciplina (um inteiro) no caso de oaluno ter sido aprovado ou zero no caso do aluno ter sido reprovado.

15. (1) Utilizando os procedimentos desenvolvidos nos exercícios 13 e 14, escreva um proce-dimento em Scheme que recebe as notas de um aluno da disciplina C1 (nota do projecto,média dos trabalhos das práticas, nota do teste, e nota do exame final) e calcula a suanota qualitativa final.

16. (3) O procedimento primitivo round, quando a parte decimal do número a arredondaré 0.5, arredonda por excesso ou por defeito (em termos de valor absoluto), consoante aparte inteira seja ímpar ou par. Por exemplo,

> (round 5.5)6.0> (round 6.5)6.0

Escreva um procedimento arredonda que arredonda sempre por excesso (em termos devalor absoluto), quando a parte decimal do número é 0.5. Por exemplo,

> (arredonda 5.5)6.0> (arredonda 6.5)7.0> (arredonda -6.5)-7.0

17. (2) Escreva um procedimento cinco? que tem o valor verdadeiro se o seu argumentofor 5 e falso no caso contrário. Não utilize o if, nem o cond, nem #t nem #f.

18. (2) Escreva um procedimento (entre? val x y) que devolve verdadeiro, no caso deval se encontrar entre x e y (x < val < y) e falso no caso contrário.

19. (2) Escreva o procedimento bissexto? para verificar se um ano é bissexto. Um anoé bissexto se for divisível por 4 e não for divisível por 100, a não ser que seja tambémdivisível por 400. Por exemplo, 1984 é bissexto, 1100 não é, e 2000 é bissexto.


> (bissexto? 2000)#t> (bissexto? 1900)#f

20. (2) Escreva o procedimento data-valida? para verificar se uma data é válida. O seuprocedimento deve receber 3 inteiros, em que o primeiro representa o ano, o segundo, omês, e o terceiro, o dia, e verificar se a data correspondente existe no calendário. Porexemplo, 1998 2 29 e 1945 4 31 não são datas válidas (porque 1998 não é bissexto e Abrilsó tem 30 dias, respectivamente) mas 2000 2 29 é uma data válida.

> (data-valida? 31 1 2000)#t> (data-valida? 29 2 1900)#f> (data-valida? 31 4 2000)#f

21. (2) Se a, b e c representam as dimensões dos lados de um triângulo, escreva um procedi-mento triangulo? que devolve verdadeiro se os valores de a, b e c puderem correspondera lados de um triângulo e falso no caso contrário. Note que a, b e c podem representar asdimensões dos lados de um triângulo se: (a) nenhum dos valores a, b e c for negativo ounulo; (b) a soma de quaisquer destes valores for maior do que o terceiro (num triângulo,qualquer lado é menor do que a soma dos outros dois).

22. (2) Escreva o procedimento classifica que recebe três números correspondentes aoscomprimentos dos lados de um triângulo e decide se o triângulo é equilátero, isóscelesou escaleno.

23. (2) Escreva um procedimento triangulo-rect?, que recebe três números inteiros po-sitivos e determina se estes correspondem aos comprimentos dos lados de um triângulorectângulo.

O seu procedimento deverá satisfazer as seguintes condições:

• O procedimento devolve verdadeiro no caso dos valores recebidos corresponderemaos comprimentos dos lados de um triângulo rectângulo e falso em caso contrário.• O funcionamento do procedimento é independente da ordem pela qual os valores

lhe são fornecidos.• O procedimento verifica se os valores fornecidos e correspondem a inteiros positivos,

produzindo uma mensagem em caso de não corresponderem.

Note que num triângulo rectângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dosquadrados dos outros dois.

24. (2) Escreva o procedimento idade que recebe como argumentos seis números inteiroscorrespondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data), sendo a primeira datacorrespondente à data de nascimento de uma pessoa e a segunda correspondente a umadata posterior, e devolve a idade (número de anos) dessa pessoa na segunda data.


> (idade 3 3 1990 28 9 2011)21> (idade 3 3 1990 3 2 2011)20

25. (3) Escreva o procedimento anterior? que recebe como argumentos seis númerosinteiros correspondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data) e devolveverdadeiro se a primeira data for anterior à segunda e falso caso contrário. Não utilizeo if, nem o cond, nem #t nem #f.

> (anterior? 1 12 2010 1 1 2011)#t> (anterior? 31 12 2010 1 12 2010)#f

26. (2) Escreva o procedimento dias-p/-reveillon que recebe como argumentos doisnúmeros inteiros correspondentes a um mês e um ano e que devolve o número de diasdesde o dia 1 do mês dado até ao final desse ano.

27. (3) Escreva um procedimento dias-entre-datas que recebe seis números inteiros comoargumentos correspondentes a duas datas (um dia, mês e ano para cada data), sendoa primeira data anterior à segunda e o período que decorre entre as datas não superiora um ano, e devolve o número de dias depois da primeira data até à segunda data(inclusive).

(dias-entre-datas 1 12 2010 1 1 2011)31(dias-entre-datas 1 12 2010 1 12 2011)365

28. (3) Escreva o procedimento proximo-29/2 que recebe como argumentos três númerosinteiros correspondentes a uma data (um dia, mês e ano) e devolve o ano da próximaocorrência do dia 29 de Fevereiro depois da data recebida como argumento.

Sugestão: Use o procedimento bissexto? definido na alínea 19.

> (proximo-29/2 29 1 2000)2000> (proximo-29/2 29 3 2000)2004> (proximo-29/2 29 1 1900)1904

29. (3) Escreva o procedimento numero-de-29/2s que recebe como argumentos seis nú-meros inteiros correspondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data), sendoa primeira data anterior à segunda, e devolve o número de ocorrências do dia 29 deFevereiro depois da primeira data e até à segunda (inclusive).

Sugestão: Use o procedimento proximo-29/2 definido na alínea 28.


30. (3) Escreva o procedimento dias que recebe como argumentos seis números inteiroscorrespondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data), sendo a primeira dataanterior à segunda, e devolve o número de dias depois da primeira data e até à segunda(inclusive).

Sugestão: Use os procedimentos definidos anteriormente.

2.2.3 Recursão

1. Suponha que em Scheme não existiam as operações aritméticas +, -, *, /, quotient eremainder nem os predicados <, >, =, odd? e even? mas que existem os procedimentosadd1, sub1 e zero? que recebem como argumento um inteiro e devolvem, respectiva-mente, o seu sucessor, o seu antecessor, e o resultado de verificar se o número é 0.

Neste exercício apenas poderá utilizar estas 3 operações e outras eventualmente definidasutilizando estas.

(a) (1) Escreva um procedimento soma que recebe dois números inteiros positivos ne m, e devolve a soma dos dois.Sugestão: A soma de dois números n e m pode ser vista como n + 1 + · · · + 1,m vezes.

> (soma 8 2)10

(b) (1) Escreva um procedimento multiplica que recebe dois números inteiros posi-tivos n e m, e devolve a multiplicação dos dois.Sugestão: A multiplicação de dois números n e m pode ser vista como n + n +· · ·+ n, m vezes.

> (multiplica 8 2)16

(c) (1) Escreva um procedimento menos que recebe dois números inteiros positivos ne m, e devolve a diferença dos dois.Sugestão: Use uma ideia semelhante ao exercício 1a.

> (menos 8 2)6> (menos 2 8)-6

(d) (2) Escreva um procedimento par? que recebe um número inteiro positivo n, edevolve #t se n for par e #f no caso contrário.

> (par? 8)#t> (par? 5)#f

(e) (2) Suponha definido um procedimento menor? que recebe dois números inteirospositivos n e m, e devolve #t se o n for menor do que m e #f no caso contrário.


Escreva um procedimento quociente que recebe dois números inteiros positivos ne m, e devolve o quociente da divisão de n por m. No caso de m ser 0 deverá dar umerro.Relembre que o quociente da divisão de dois números inteiros positivos n e m é omaior inteiro r tal que r.m ≤ n.Sugestão: Utilize o procedimento menos definido anteriormente.

> (quociente 8 2)4> (quociente 10 3)3

2. (1) Escreva um procedimento somatorio que recebe um número inteiro positivo n, edevolve a soma de todos os números até n.

> (somatorio 3)6> (somatorio 6)21

3. (1) Escreva um procedimento soma-quadrados que recebe um número inteiro positivon, e devolve a soma do quadrado de todos os números até n.

> (soma-quadrados 3)14> (soma-quadrados 5)55

4. (1) Escreva um procedimento factorial que recebe um número inteiro positivo n, edevolve o factorial desse número.

> (factorial 0)1> (factorial 5)120

5. (1) Escreva um procedimento potencia que recebe dois números inteiros positivos b en, e devolve a potência n de b, i.e., bn. Neste exercício não pode usar o procedimentoexpt.

> (potencia 3 2)9> (potencia 2 4)16

6. (2) Um número d é divisor de n se o resto da divisão de n por d for 0. Escreva umprocedimento numero-divisores que recebe um número inteiro positivo n, e devolve onúmero de divisores de n. No caso de n ser 0 deverá devolver 0.


> (numero-divisores 20)6> (numero-divisores 13)2

7. (2) Suponha definido um procedimento primo? que recebe um número inteiro positivon, e devolve #t se o número for primo e #f no caso contrário.

Escreva um procedimento numero-primos-menores que recebe um número inteiro posi-tivo n, e devolve o número de primos menores ou iguais a n.

> (numero-primos-menores 9)4> (numero-primos-menores 23)9

8. (2) Suponha definido um procedimento primo? que recebe um número inteiro positivon, e devolve #t se o número for primo e #f no caso contrário.

Escreva um procedimento numero-divisores-primos que recebe um número inteiropositivo n, e devolve o número de divisores primos de n. No caso de n ser 0 deverádevolver 0.

> (numero-divisores-primos 1)0> (numero-divisores-primos 20)2> (numero-divisores-primos 30)3

9. (2) Escreva um procedimento soma-divisores que recebe um número inteiro positivon, e devolve a soma de todos os divisores de n. No caso de n ser 0 deverá devolver 0.

> (soma-divisores 20)42> (soma-divisores 13)14

10. (3) O logaritmo inteiro de um número n na base b é o maior número inteiro e tal quebe ≤ n. Escreva um procedimento logaritmo que recebe dois números inteiros positivosn e b, e devolve o logaritmo inteiro de n na base b. No caso de n ou b serem 0 deverádevolver 0.

> (logaritmo 8 2)3> (logaritmo 7 2)2


11. (3) A raiz inteira de índice e de um número n é o maior número inteiro r tal quere ≤ n. Escreva um procedimento raiz que recebe dois números inteiros positivos n ee, e devolve a raiz inteira de n de índice e. No caso de e ser 0 deverá devolver 0.

> (raiz 8 3)2> (raiz 15 2)3

12. (4) Suponha definido um procedimento kesimo-factor-primo que recebe dois númerosinteiros positivos n e k, e devolve o seu k-ésimo factor primo de n.

Escreva um procedimento kesimo-expoente que recebe dois números inteiros positivosn e k, e devolve o expoente do k-ésimo factor primo de n. No caso de n ter menos de kfactores primos ou k ser 0, deverá devolver 0.

> (kesimo-expoente 72 1)3> (kesimo-expoente 72 2)2

Nos exercícios que se seguem poderá ser útil a utilização dos seguintes procedimentossobre números inteiros:

• (remainder n m) devolve o resto da divisão de n por m.• (quotient n m) devolve o quociente da divisão de n por m.

13. (3) Escreva um procedimento numero-digitos que recebe um número inteiro positivon, e devolve o número de dígitos de n.

> (numero-digitos 9)1> (numero-digitos 1012)4

14. (3) Escreva um procedimento soma-digitos que recebe um número inteiro positivo n,e devolve a soma de todos os dígitos de n.

> (soma-digitos 9)9> (soma-digitos 1012)4

15. (3) Escreva um procedimento soma-digitos-pares que recebe um número inteiropositivo n, e devolve a soma de todos os dígitos pares de n.

> (soma-digitos-pares 9)0> (soma-digitos-pares 1412)6


16. (4) Escreva um procedimento digitos-impares que recebe um número inteiro positivon, e devolve o número composto apenas pelos dígitos ímpares de n ou 0, se n não tiverdígitos ímpares.

> (digitos-impares 94558)955> (digitos-impares 2468)0

17. (4) Escreva um procedimento muda-digito que recebe três números inteiros positivosn, k e d, e devolve o inteiro que resulta de substituir o dígito na posição k de n por d.

> (muda-digito 12345 2 8)12385> (muda-digito 12345 7 8)80012345

18. (4) O espelho de um número inteiro positivo é o resultado de inverter a ordem de todosos seus algarismos. Escreva um procedimento espelho que recebe um número inteiropositivo n, e devolve o seu espelho.

> (espelho 391)139> (espelho 45679)97654

19. (4) Um número binário bnbn−1 . . . b1b0 pode ser transformado num número decimalusando a seguinte formula

∑ni=0 bi2

i. Escreva um procedimento binario-decimal querecebe um número b escrito em binário e devolve a sua representação decimal.

> (binario-decimal 1001)9> (binario-decimal 10000)16

20. (4) Um número decimal d pode ser transformado num número binário bnbn−1 . . . b1b0através da seguinte recorrência: seja q0 = d e qi = quociente(qi−1, 2) para i > 0, ebi = resto(qi, 2). Escreva um procedimento decimal-binario que recebe um número descrito em base 10 e devolve a sua representação binária.

> (decimal-binario 33)100001> (decimal-binario 156)10011100


2.2.4 Valores aproximados de funções

1. (2) Sabe-se que a seguinte fórmula permite calcular uma aproximação da função senoaté um determinado número de termos:

seno(x) = x(1− x2

2 · 3(1− x2

4 · 5(1− x2

6 · 7(· · · ))))

Defina um procedimento seno que corresponde ao método de cálculo anterior. O seuprocedimento deverá receber o número para o qual se pretende calcular o seno e o númerode factores a considerar.

2. (2) A função arctg pode ser aproximada através da fórmula

arctg(z) =

∞∑n=0

(−1)nz2n+1

2n+ 1= z − z3

3+z5

5− z7

7+ . . .

Defina um procedimento que calcule o arctg de acordo com a fórmula acima. O seuprocedimento deverá receber o número z para o qual se quer calcular o arctg bem comoo número de termos da expressão a calcular.

3. (3) Suponha que o procedimento sqrt não estava definido em Scheme como um pro-cedimento primitivo.

A raiz quadrada de um número, x, pode ser calculada usando um método de aproxima-ções sucessivas, chamado método de Newton, em que um valor aproximado para

√x, y,

é sucessivamente melhorado utilizando a fórmulay+x

y

2 .

Por exemplo, para calcular√

3, poderíamos efectuar os seguintes cálculos:

Passo Aproximação Nova aproximação1 3 22 2 1.753 1.75 1.7321428574 1.732142857 1.732050815 1.73205081 1.7320508086 1.732050808 1.732050808

Considerando que uma primeira aproximação grosseira para√x pode ser x, escreva um

procedimento para calcular a raiz quadrada de um número.

4. (3) A constante e é um dos números mais importantes em Matemática, a par comos elementos neutros da adição (0) e da multiplicação (1), com a constante π e com aunidade imaginária i.

O valor de e corresponde ao número real que é a soma da seguinte série infinita

e =

∞∑n=0

1

n!=

1

0!+

1

1!+

1

2!+

1

3!+ . . .

Escreva um procedimento para calcular uma aproximação do número e, utilizando asérie apresentada. A condição de paragem deve ser determinada por si e devidamentejustificada.

Capítulo 3

Processos gerados por procedimentos


1. Explique os seguintes conceitos: procedimento e processo gerado por um procedimento.

2. Quais são as características de um processo recursivo?

3. Quais são as características de um processo iterativo linear?

4. Será que um procedimento recursivo pode gerar um processo iterativo? Justifique a suaresposta e dê um exemplo.

5. Considere a afirmação “os procedimentos que geram processos iterativos são sempre me-lhores que os procedimentos que geram processos recursivos”. Comente-a relativamenteaos seguintes aspectos: (a) memória ocupada; (b) tempo gasto; (c) facilidade de escritae leitura do programa.

6. Qual o interesse de estudar a ordem de crescimento de um processo? Compare as or-dens de crescimento (temporal e espacial) entre processos recursivos lineares e iterativoslineares.

7. Diga o que significa a frase “A ordem de crescimento do recurso R(n) é Θ(n)”.

8. Usando a definição da função Θ que define a ordem de crescimento de um processo,explique o que significa um processo ter ordem de crescimento polinomial.


1. (1) Considere o seguinte procedimento

(define (misterio x)(cond ((= x 0) (newline))

(else (display (remainder x 10))(misterio (quotient x 10)))))

Qual a função calculada pelo procedimento misterio?

Sugestão: Siga o processo gerado por este procedimento para alguns inteiros. Depoisadmire o poder dos procedimentos recursivos.

26 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS

2. (1) Considere a definição do seguinte procedimento em Scheme que recebe inteirossuperiores ou iguais a zero:

(define (misterio?-aux b c)(cond ((zero? b) #t)

((zero? c) #f)(else (misterio?-aux (sub1 (sub1 b))

(sub1 (sub1 c))))))

(define (misterio? a)(misterio?-aux a (sub1 a)))

(a) Explique qual a função matemática calculada pelo procedimento misterio?.

(b) O processo gerado pelo procedimento misterio?-aux é iterativo ou recursivo? Jus-tifique a sua resposta.

3. (1) Considere o seguinte procedimento:

(define (misterio-aux n ac)(if (< n 10)

(+ n (* ac 10))(misterio-aux (quotient n 10)

(+ (remainder n 10) (* ac 10)))))

(define (misterio n)(misterio-aux n 0))

(a) Entre os procedimentos apresentados, misterio e misterio-aux, existe algum queseja um procedimento recursivo? Justifique a sua resposta.

(b) Mostre a evolução do processo gerado pela avaliação de (misterio 149).

(c) O procedimento misterio gera um processo recursivo ou iterativo? Justifique asua resposta.

4. (2) Considere o seguinte procedimento

(define (misterio x n)(if (= n 0)

0(+ (* x n) (misterio x (- n 1)))))

(a) Mostre a evolução do processo gerado pela avaliação de (misterio 2 3).

(b) O procedimento apresentado é um procedimento recursivo? Justifique.

(c) O procedimento apresentado gera um processo recursivo ou iterativo? Justifique.

(d) Se o processo gerado era iterativo, transforme o procedimento de forma que gere umprocesso recursivo. Se o processo gerado era recursivo, transforme o procedimento,de forma a que gere um processo iterativo.


5. (2) Suponha que as operações de multiplicação e potência não existiam em Scheme eque pretende calcular o quadrado de um número natural. O quadrado de um númeronatural pode ser calculado como sendo a soma de todos os números ímpares inferioresao dobro do número. Com efeito:

n 1 + . . .+ (2n− 1) n2

1 1 = 12 1+3 = 43 1+3+5 = 94 1+3+5+7 = 165 1+3+5+7+9 = 256 1+3+5+7+9+11 = 36. . . . . . . . .

Note que o dobro de um número também não pode ser calculado recorrendo à operaçãode multiplicação.Escreva dois procedimentos que calculam o quadrado de um número natural utilizandoo método descrito.

(a) Um procedimento que dá origem a um processo recursivo linear.(b) Um procedimento que dá origem a um processo iterativo linear.

6. (2) Defina um procedimento recursivo que recebe três argumentos a, b e n e que devolveo valor de somar n vezes a a b, i.e., b+ a+ a+ · · ·+ a, n vezes.

(a) Gerando um processo recursivo.(b) Gerando um processo iterativo.

7. Suponha que em Scheme não existiam as operações aritméticas +, -, quotient, * e /nem os predicados <, > e = mas que existem os procedimentos add1, sub1 e zero? querecebem como argumento um inteiro e devolvem, respectivamente, o seu sucessor, o seuantecessor, e o resultado de verificar se o número é 0.

Neste exercício apenas poderá utilizar estas 3 operações e outras eventualmente definidasutilizando estas.

(a) (1) (Secção 2.2.3, Ex 1a) Escreva um procedimento soma, que gere um processoiterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a soma dosdois.Sugestão: A soma de dois números n e m pode ser vista como n + 1 + · · · + 1,m vezes.

> (soma 8 2)10

(b) (1) (Secção 2.2.3, Ex 1b) Escreva um procedimento multiplica, que gere umprocesso iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve amultiplicação dos dois.Sugestão: A multiplicação de dois números n e m pode ser vista como n + n +· · ·+ n, m vezes.


> (multiplica 8 2)16

(c) (1) (Secção 2.2.3, Ex 1c) Escreva um procedimento menos, que gere um processoiterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a diferençados dois.Sugestão: Use uma ideia semelhante ao exercício 7a.

> (menos 8 2)6> (menos 2 8)-6

(d) (2) (Secção 2.2.3, Ex 1d) Escreva um procedimento par?, que gere um processoiterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve verdadeiro se n forpar e falso no caso contrário.

> (par? 8)#t> (par? 5)#f

(e) (1) Escreva um procedimento igual?, e que gere um processo iterativo, que recebedois números inteiros positivos n e m, e devolve verdadeiro se o n for igual a m efalso no caso contrário.

> (igual? 8 2)#f> (igual? 8 8)#t> (igual? 2 8)#f

(f) (1) Escreva um procedimento menor?, e que gere um processo iterativo, que recebedois números inteiros positivos n e m, e devolve verdadeiro se o n for menor do quem e falso no caso contrário.

> (menor? 8 2)#f> (menor? 8 8)#f> (menor? 2 8)#t

(g) (2) (Secção 2.2.3, Ex 1e) Escreva um procedimento quociente, que gere um pro-cesso iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve oquociente da divisão de n por m. No caso de m ser 0 deverá devolver 0.Relembre que o quociente da divisão de dois números inteiros positivos n e m é omaior inteiro r tal que r.m ≤ n.Sugestão: Utilize os procedimentos menos e menor? definidos anteriormente.


> (quociente 8 2)4> (quociente 10 3)3

(h) (2) Escreva um procedimento resto, que gere um processo iterativo, e que recebedois números inteiros positivos n e m, e devolve o resto da divisão de n por m. Nocaso de m ser 0 deverá devolver n.

> (resto 8 2)0> (resto 10 3)1

(i) (2) Escreva um procedimento simetrico, que gere um processo iterativo, e querecebe um número inteiro n, e devolve o simetrico de n.

> (simetrico 8)-8> (simetrico -3)3

8. (1) (Secção 2.2.3, Ex 3) Escreva um procedimento soma-quadrados, que gere um pro-cesso iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma do quadradode todos os números até n.

> (soma-quadrados 3)14> (soma-quadrados 5)55

9. (1) (Secção 2.2.3, Ex 5) Escreva um procedimento potencia, que gere um processoiterativo, e que recebe dois números inteiros positivos b e n, e devolve a potência n de b,i.e., bn.

> (potencia 3 2)9> (potencia 2 4)16

10. (2) Um número n é quadrado perfeito se existir um m tal que m2 = n. Escreva umprocedimento quadrado-perfeito?, que gere um processo iterativo, e que recebe umnúmero n, e devolve verdadeiro se n for um quadrado perfeito e falso no caso contrário.

> (quadrado-perfeito? 4)#t> (quadrado-perfeito? 8)#f


11. (2) Um número n diz-se primo se os seus únicos divisores são o 1 e o próprio n. Onúmero 1 não é primo. Um modo, pouco eficiente, de determinar se um dado inteiro éprimo corresponde a dividi-lo sucessivamente por todos os inteiros menores que ele.

Escreva um procedimento primo?, que gere um processo iterativo, e que recebe umnúmero inteiro positivo n, e usando o método acima devolve verdadeiro se o número forprimo e falso no caso contrário.

> (primo? 53)#t> (primo? 21)#f

12. (3) Um número é livre de quadrados se não for divisível por nenhum quadrado perfeitopara além de 1. Escreva um procedimento livre-quadrados?, que gere um processoiterativo, e que recebe um número n, e devolve verdadeiro se n for livre de quadrados efalso no caso contrário.

> (livre-quadrados? 4)#f> (livre-quadrados? 50)#f> (livre-quadrados? 70)#t

13. (3) Um número n diz-se poderoso se para cada primo p, se p é divisor de n então p2

também é divisor de n. Escreva um procedimento poderoso?, que gere um processoiterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve verdadeiro se o númerofor poderoso e falso no caso contrário.

> (poderoso? 100)#t> (poderoso? 36)#t> (poderoso? 75)#f> (poderoso? 2)#f

14. (2) (Secção 2.2.3, Ex 6) Um número d é divisor de n se o resto da divisão de n por dfor 0. Escreva um procedimento numero-divisores, que gere um processo iterativo, eque recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número de divisores de n. No casode n ser 0 deverá devolver 0.

> (numero-divisores 20)6> (numero-divisores 13)2


15. (2) (Secção 2.2.3, Ex 9) Escreva um procedimento soma-divisores, que gere um pro-cesso iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos osdivisores de n. No caso de n ser 0 deverá devolver 0.

> (soma-divisores 20)42> (soma-divisores 13)14

16. (3) (Secção 2.2.3, Ex 11) A raiz inteira de índice e de um número n é o maior númerointeiro r tal que re ≤ n. Escreva um procedimento raiz, que gere um processo iterativo,e que recebe dois números inteiros positivos n e e, e devolve a raiz inteira de n de índicee. No caso de e ser 0 deverá devolver 0.

> (raiz 8 3)2> (raiz 15 2)3

17. (3) Um número n diz-se triangular se n = 1 + 2 + · · · + (m − 1) + m para algum m.Escreva um procedimento triangular?, que gere um processo iterativo, e que recebe umnúmero inteiro positivo n, e devolve verdadeiro se o número for triangular e falso no casocontrário. No caso de n ser 0 deverá devolver falso.

> (triangular? 6)#t> (triangular? 8)#f

18. (3) Dois números n em dizem-se primos entre si se não têm nenhum divisor em comumà excepção do 1. Escreva um procedimento primos-entre-si?, que gere um processoiterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve verdadeiro se osnúmeros forem primos entre si e falso no caso contrário. No caso de n ou m serem 0deverá devolver falso.

> (primos-entre-si? 4 10)#f> (primos-entre-si? 21 10)#t

19. (3) Um número n diz-se um divisor fraco de m se todos os factores primos de ntambém são factores primos de m. Escreva um procedimento divisor-fraco?, quegere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolveverdadeiro se n for um divisor fraco de m e falso no caso contrário. No caso de n ou mserem 0 deverá devolver falso.


> (divisor-fraco? 4 10)#t> (divisor-fraco? 10 4)#f> (divisor-fraco? 6 10)#f

20. (4) O máximo divisor comum de dois números n e m é o maior inteiro x tal que x édivisor de n e m. Escreva um procedimento mdc, que gere um processo iterativo, e querecebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve o máximo divisor comum dos doisnúmeros. No caso de n e m serem ambos 0 deverá devolver 0. Se apenas um deles for 0deverá devolver o outro.

> (mdc 3 0)3> (mdc 12 20)4> (mdc 10 20)10

21. (4) O mínimo múltiplo comum de dois números n e m é o menor inteiro x tal que xé divisível por n e m. Escreva um procedimento mmc, que gere um processo iterativo, eque recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve o mínimo múltiplo comumdos dois números. No caso de n ou m serem 0 deverá devolver 0.

> (mmc 4 6)12> (mmc 12 5)60

22. (3) Um número n é o n-ésimo primo se for primo e existirem n − 1 números primosmenores que ele. Escreva um procedimento nesimo-primo, que gere um processo itera-tivo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o n-ésimo número primo. Nocaso de n ser 0 deverá devolver 0.

> (nesimo-primo 1)2> (nesimo-primo 10)29

23. (3) Um número p é primo de Mersenne se p é primo e 2p − 1 também é primo. Umnúmero n é o n-ésimo primo de Mersenne se existirem n−1 primos de Mersenne menoresque n. Os primeiros 10 primos de Mersenne são 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89.

Escreva um procedimento nesimo-primo-mersenne, que gere um processo iterativo, eque recebe um número n, e devolve o n-ésimo primo de Mersenne.


> (nesimo-primo-mersenne 3)5> (nesimo-primo-mersenne 9)61

24. (3) Um número d é o k-ésimo divisor de n se for divisor de n e existirem k−1 divisores den menores que d. Escreva um procedimento k-divisor, que gere um processo iterativo,e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e devolve o k-ésimo divisor de n. Nocaso de n ser 0, ou k ser 0, ou n ter menos de k divisores deverá devolver 0.

> (kesimo-divisor 20 3)4> (kesimo-divisor 20 6)20> (kesimo-divisor 20 7)0

25. (3) Um número p é o k-ésimo factor primo de n se p é primo e existem k − 1 factoresprimos de n menores que p. Escreva um procedimento kesimo-factor-primo, que gereum processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e devolve oseu k-ésimo factor primo de n. No caso de n ter menos de k factores primos ou k ser 0,deverá devolver 0.

> (kesimo-factor-primo 3 1)3> (kesimo-factor-primo 3 2)0> (kesimo-factor-primo 60 3)5

26. (4) (Secção 2.2.3, Ex 12) Escreva um procedimento kesimo-expoente, que gere umprocesso iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e devolve o expoentedo k-ésimo factor primo de n. No caso de n ter menos de k factores primos ou k ser 0,deverá devolver 0.

> (kesimo-expoente 72 1)3> (kesimo-expoente 72 2)2

Nos exercícios que se seguem poderá ser útil a utilização dos seguintes procedimentossobre números inteiros:

• (remainder n m) devolve o resto da divisão de n por m.• (quotient n m) devolve o quociente da divisão de n por m.

27. (3) (Secção 2.2.3, Ex 13) Escreva um procedimento numero-digitos, que gere umprocesso iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número dedígitos de n.


> (numero-digitos 9)1> (numero-digitos 1012)4

28. (3) (Secção 2.2.3, Ex 14) Escreva um procedimento soma-digitos, que gere um pro-cesso iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos osdígitos de n.

> (soma-digitos 9)9> (soma-digitos 1012)4

29. (3) Escreva um procedimento existe-digito?, que gere um processo iterativo, e querecebe um número inteiro positivo n e um dígito d, e devolve verdadeiro se o dígito docorrer em n e falso no caso contrário.

> (existe-digito? 234 3)#t> (existe-digito? 538 7)#f

30. (4) (Secção 2.2.3, Ex 16) Escreva um procedimento digitos-impares, que gere umprocesso iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o número com-posto apenas pelos dígitos ímpares de n.

> (digitos-impares 94558)955> (digitos-impares 2468)0

31. (3) O dígito de posição k de um número n é o dígito na k-ésima posição de n a partir dodígito das unidades. Escreva um procedimento posicao, que gere um processo iterativo,e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e devolve o dígito na posicao k de n.No caso de n ter menos de k dígitos ou k ser 0, deverá devolver 0.

> (posicao 12345 2)4> (posicao 12345 7)0

32. (3) Um número é capicua se se lê igualmente da esquerda para a direita e vice-versa.Escreva um procedimento capicua?, que gere um processo iterativo, e que recebe umnúmero inteiro positivo n, e devolve verdadeiro se o número for uma capicua e falso nocaso contrário.

Sugestão: Use o procedimento posicao definido na alínea 31


> (capicua? 12321)#t> (capicua? 1221)#t> (capicua? 123210)#f

33. (4) (Secção 2.2.3, Ex 17) Escreva um procedimento muda-digito, que gere um processoiterativo, e que recebe três números inteiros positivos n, k e d, e devolve o inteiro queresulta de substituir o dígito na posição k de n por d.

> (muda-digito 12345 2 8)12385> (muda-digito 12345 7 8)80012345

34. (4) (Secção 2.2.3, Ex 18) O espelho de um número inteiro positivo é o resultado deinverter a ordem de todos os seus algarismos. Escreva um procedimento espelho, quegere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o seuespelho.

> (espelho 391)139> (espelho 45679)97654

35. (1) Usando o procedimento espelho definido acima, reescreva de novo o procedimentocapicua? definido na alínea 32.

36. (4) (Secção 2.2.3, Ex 20) Um número decimal d pode ser transformado num número bi-nário bnbn−1 . . . b1b0 através da seguinte recorrência: seja q0 = d e qi = quociente(qi−1, 2)para i > 0, e bi = resto(qi, 2). Escreva um procedimento decimal-binario, que gereum processo iterativo, e que recebe um número d escrito em base 10 e devolve a suarepresentação binária.

> (decimal-binario 33)100001> (decimal-binario 156)10011100

Capítulo 4

Estruturação de Procedimentos


1. Diga o que entende por linguagem estruturada em blocos. Descreva a regra associada aesta estrutura, e diga qual a sua importância.

2. O que entende pelo domínio de um nome?


4.2.1 Estrutura de Blocos

1. (1) Considere as seguintes alternativas para definir um procedimento que calcula afunção factorial.

Alternativa 1:

(define (factorial n)(if (>= n 0)

(fact-aux n)(error "factorial: argumento negativo")))

(define (fact-aux n)(if (= n 0)

1(* n (fact-aux (- n 1)))))

Alternativa 2:

(define (factorial n)(define (fact-aux n)

(if (= n 0)1(* n (fact-aux (- n 1)))))

(if (>= n 0)(fact-aux n)(error "factorial: argumento negativo")))

38 CAPÍTULO 4. ESTRUTURAÇÃO DE PROCEDIMENTOS

(a) Compare estas duas alternativas quanto à garantia de que o factorial não é calculadocom valores indevidos.Sugestão: Será que se pode avaliar directamente (fact-aux -1)?

(b) Como se chama a estrutura definida pela alternativa 2? Qual a sua vantagem?

2. (1) Considere o seguinte procedimento que calcula m!n! (m > n), recorrendo à estrutura

de blocos. Identifique as variáveis locais e não locais para cada um dos procedimentos.

(define (quociente-de-factoriais m n)(define (iter m res)

(if (= m n)res(iter (- m 1) (* m res))))

(iter m 1))

3. (1) (Secção 2.2.3, Ex 2) Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimentosomatorio que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos osnúmeros até n. O seu procedimento deve gerar um processo iterativo.

> (somatorio 3)6> (somatorio 6)21

4. (1) (Secção 2.2.3, Ex 4) Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimentofactorial que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o factorial desse número.O seu procedimento deve gerar um processo iterativo.

> (factorial 0)1> (factorial 5)120

5. (2) (Secção 2.2.3, Ex 7) Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimentonumero-primos-menores que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o númerode primos menores ou iguais a n. O seu procedimento deve gerar um processo iterativo.

Sugestão: Utilize o procedimento primo? definido na alínea 11 da Secção 3.2.

> (numero-primos-menores 9)4> (numero-primos-menores 23)9

6. (2) (Secção 2.2.3, Ex 8) Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimentonumero-divisores-primos que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o númerode divisores primos de n. No caso de n ser 0 deverá devolver 0. O seu procedimentodeve gerar um processo iterativo.

Sugestão: Utilize o procedimento primo? definido na alínea 11 da Secção 3.2.


> (numero-divisores-primos 1)0> (numero-divisores-primos 20)2> (numero-divisores-primos 30)3

7. (3) (Secção 2.2.3, Ex 10) O logaritmo inteiro de um número n na base b é o maiornúmero inteiro e tal que be ≤ n. Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedi-mento logaritmo que recebe dois números inteiros positivos n e b, e devolve o logaritmointeiro de n na base b. No caso de n ou b serem 0 deverá devolver 0. O seu procedimentodeve gerar um processo iterativo.

> (logaritmo 8 2)3> (logaritmo 7 2)2

8. (3) (Secção 2.2.3, Ex 15) Recorrendo à estrutura de blocos, escreva um procedimentosoma-digitos-pares que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma detodos os dígitos pares de n. O seu procedimento deve gerar um processo iterativo.

> (soma-digitos-pares 9)0> (soma-digitos-pares 1412)6

9. (4) (Secção 2.2.3, Ex 19) Um número binário bnbn−1 . . . b1b0 pode ser transformadonum número decimal usando a seguinte formula

∑ni=0 bi2

i. Recorrendo à estrutura deblocos, escreva um procedimento binario-decimal que recebe um número b escritoem binário e devolve a sua representação decimal. O seu procedimento deve gerar umprocesso iterativo.

> (binario-decimal 1001)9> (binario-decimal 10000)16

4.2.2 Utilização de Nomes Locais

1. Em relação às seguintes expressões utilizando o “let”, avalie o valor da expressão etransforme-a numa expressão equivalente utilizando o “lambda”.

(a) (1)

(let ((x 5)(y 3))

(* x y))


(b) (1)

(let ((x 4)(y 3))

(let ((z (* x y)))(+ z x)))

(c) (2)

(let ((x 5))(let ((x 3)

(y (* x 2)))(+ x y)))

(d) (2)

(let ((x 5)(y 12))

(+ x (let ((x (+ x y)))(+ x 3))))

2. (2) Suponha que a tem o valor 5 no ambiente global. Diga qual o resultado de avaliara seguinte expressão:

(let ((a 3)(b (* a 4)))

(+ a b))

3. (2) Considere as seguintes expressões. São equivalentes? Justifique.

(let ((x 8))(let ((x 5)

(y (+ x 4)))(+ x y)))

(let* ((x 8)(x 5)(y (+ x 4)))

(+ x y))

4. Para cada uma das seguintes combinações envolvendo uma expressão “lambda”, calculeo seu valor e transforme-a numa expressão equivalente utilizando o “let”.

(a) (1)

((lambda (x y)(+ (* 3 x)

y))23)

(b) (1)

((lambda (x)((lambda (y)

((lambda (z) (* y z))(+ x y)))

2))5)


(c) (1)

((lambda (x)((lambda (y) (+ (* 2 y) x))(+ x 3)))

5)

(d) (2)

((lambda (x y)((lambda (x) (+ (* 2 x)

y))(+ x y)))

62)

(e) (2)

((lambda (x y)(+ x y ((lambda (z) (* 2 z))

(+ y 1))))52)

5. Para cada uma das seguintes séries, escreva um programa em Scheme que calcula o valoraproximado da série. O seu programa deve apresentar uma estrutura de blocos e deveevitar cálculos repetidos. Pode utilizar os procedimentos potencia e factorial sem osdefinir.

(a) (2)

1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . . =

∞∑n=0

1

2n

(b) (2)

1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5+ . . . =

∞∑n=1

(−1)n+1 1

n= ln(2)

(c) (2)∞∑n=1

xn

n!= ex

(d) (2)

1− x2

2!+x4

4!− . . . =

∞∑n=1

(−1)n+1 x2n−2

(2n− 2)!= cos(x)

Capítulo 5

Abstracção de dados


1. Diga o que é um tipo abstracto de informação.

2. Diga qual é a diferença entre tipos de informação elementares e tipos de informaçãoestruturados.

3. Explique em que consiste a abstracção de dados, usando os termos barreiras de abstrac-ção, encapsulação da informação e anonimato da representação.

4. Explique quais são as vantagens da abstracção de dados.

5. Compare a abstracção de dados com a abstracção procedimental.

6. Justifique a seguinte afirmação “a abstracção de dados aumenta o poder expressivo danossa linguagem de programação”.

7. Quais são os quatro passos a seguir na definição de um tipo abstracto de informação?Explique em que consiste cada um deles.

8. Diga o que são operações básicas de um tipo abstracto de informação e quais os gruposem que estas são divididas.

9. Explique o que são as barreiras de abstracção criadas por um tipo de informação e quaisos inconvenientes de não as respeitar.

10. Apresente a metodologia dos tipos abstractos de informação e explique porque é queesta metodologia garante a abstracão de dados.

11. Diga o que é o anonimato da representação e qual a sua importância.

12. Na criação de um tipo abstracto de informação, há dois tipos de representação a consi-derar. Diga quais são e descreva cada um deles.

13. Diga o que é uma árvore binária e quais são as suas operações básicas, classificando-asde acordo com os vários grupos de operações.

43

44 CAPÍTULO 5. ABSTRACÇÃO DE DADOS


5.2.1 Caixas e ponteiros

1. (1) Considere a seguinte estrutura de pares usando a notação de caixas e pontei-ros(correspondente à variável Estr):

Para cada uma das seguintes expressões escreva o seu valor (o qual pode ser um númerointeiro, uma estrutura de pares ou pode originar um erro). No caso de a expressãooriginar um erro explique a razão do erro.

(a) (car Estr)

(b) (car (car (cdr Estr)))

(c) (cdr (cdr (cdr Estr)))

2. (1) Represente as seguintes estruturas, usando a notação de caixas e ponteiros:

(a) (1 . 2)

(b) (1 . ("bom dia". 3))

(c) (1 . (2 . (3 . 4)))

(d) ((1 . 2) . ((3 . (4 . 5)) . (7 . 8)))

5.2.2 Tipo tempo

Suponha que desejava criar o tipo tempo em Scheme. Suponha que o tempo é caracterizadopor um certo número de horas (um inteiro não negativo), minutos (um inteiro entre 0 e 59) esegundos (um inteiro entre 0 e 59).

1. (2) Especifique as operações básicas para o tipo tempo.

2. (1) Escolha uma representação interna para o tipo tempo usando pares.

3. (2) Escreva em Scheme as operações básicas, de acordo com a representação escolhida.


4. (1) Supondo que a representação externa para os elementos do tipo tempo é h : mm : ss

(em que h é um inteiro positivo que representa as horas, mm são dois dígitos queidentificam os minutos e ss são dois dígitos que identificam os segundos) escreva otransformador de saída escreve-tempo para o tipo tempo. Por exemplo,

> (escreve-tempo (faz-tempo 9 2 34))9:02:34

5. (1) Escreva o procedimento diferenca-segundos que calcula o número de segundosentre dois instantes de tempo. Este procedimento apenas deve produzir um valor se osegundo tempo for maior do que o primeiro, gerando uma mensagem de erro se essacondição não se verificar.

> (diferenca-segundos (faz-tempo 10 2 34) (faz-tempo 11 2 34))3600

6. (1) Escreva o procedimento diferenca-tempo que calcula a diferença entre dois ins-tantes de tempo devolvendo o valor em termos de horas, minutos e segundos. Esteprocedimento apenas deve produzir um valor se o segundo tempo for maior do que oprimeiro, gerando uma mensagem de erro se essa condição não se verificar.

> (escreve-tempo (diferenca-tempo (faz-tempo 10 2 34) (faz-tempo 11 4 39)))1:02:05

7. (2) Escreva o procedimento soma-tempos que calcula o tempo resultante da soma entredois instantes de tempo.

> (escreve-tempo (soma-tempos (faz-tempo 1 45 30) (faz-tempo 2 20 40)))4:06:10

8. (2) Suponha agora que pretende representar os elementos do tipo tempo através deinteiros positivos com a forma hmmss, em que h é um inteiro não negativo que representao número de horas, mm e ss são dois inteiros entre 0 e 59 cada um e que representam,respectivamente, os minutos e os segundos do tempo.

Escreva em Scheme as operações básicas, de acordo com esta nova representação.

9. (1) Seria possível utilizar as operações definidas nos exercícios anteriores, 4–7, usandoesta nova representação? Justifique.

5.2.3 Tipo data

Suponha que desejava criar o tipo data em Scheme. Suponha que uma data é caracterizadapor um dia (um inteiro entre 1 e 31), um mês (um inteiro entre 1 e 12) e um ano. Para cadadata, deve ser respeitado o limite de dias de cada mês, incluindo o caso de Fevereiro nos anosbissextos.

1. (1) Especifique as operações básicas para o tipo data.


2. (2) Escolha uma representação interna para o tipo data usando pares.

3. (1) Escreva em Scheme as operações básicas, de acordo com a representação escolhida.

4. (1) Supondo que a representação externa para um elemento do tipo data é d/m/a (emque d representa o dia, m o mês e a o ano) escreva o transformador de saída para o tipodata. Por exemplo,

> (escreve-data (faz-data 5 9 2011))5/9/2011

5. (2) Tendo em conta as operações básicas do tipo data, defina um procedimento anterior?que recebe como argumentos duas datas e tem o valor verdadeiro se a primeira data foranterior à segunda e falso em caso contrário.

> (anterior? (faz-data 2 1 2003) (faz-data 2 1 2005))#t

6. (2) Tendo em conta as operações básicas do tipo data, defina um procedimento idadeque recebe como argumentos a data de nascimento de uma pessoa e outra data posteriore devolve a idade da pessoa na segunda data.

> (idade (faz-data 2 1 2003) (faz-data 2 1 2005))2> (idade (faz-data 2 1 2003) (faz-data 2 3 2006))3

5.2.4 Complexos

Suponha que desejava criar o tipo número complexo em Scheme. Um número complexo éum número que é constituído por uma parte real e por uma parte imaginária. Um númerocomplexo pode ser escrito sob a forma a + bi, em que a e b são números reais e i representaa unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = −1. Os reais a e b são chamados,respectivamente, a parte real e a parte imaginária de a+ bi. Os números complexos podem serrepresentados geometricamente no plano complexo (representação rectangular ou cartesiana),representando-se a parte real, a, no eixo horizontal e a parte imaginária, b, no eixo vertical.

1. Defina as operações básicas para o tipo número complexo.

2. Escolha uma representação para números complexos baseada em pares.

3. Com base na representação escolhida, implemente as operações básicas para númeroscomplexos.

4. Com base na representação escolhida, escreva o transformador de saída para númeroscomplexos.


5. Um número complexo diz-se um imaginário puro se a sua parte real for zero. Usando osresultados das alíneas anteriores, e a abstracção adequada, escreva um procedimento querecebe um número complexo e que decide se este é um imaginário puro. Por exemplo:

> (im-puro? (cmp 2 3))#f> (im-puro? (cmp 0 3))#t

6. Considere as seguintes operações definidas sobre números complexos:

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

(a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i

Usando os resultados das alíneas anteriores, e a abstracção adequada, escreva procedi-mentos que somam e multiplicam números complexos. Por exemplo:

> (escreve-cmp (cmp+ (cmp 2 3)(cmp 4 5)))6+8i> (escreve-cmp (cmp* (cmp 2 3)(cmp 4 5)))-7+22i

7. Considere a seguinte representação alternativa para números complexos: <[a + bi] =(cons "complexo"(cons a b)).

(a) Escreva as operações básicas e o transformador de saída com base nesta represen-tação.

(b) Quais as alterações a fazer nas operações imaginário puro e soma e multiplica com-plexos como consequência da alteração da representação. Justifique a sua resposta.

8. Suponha que por questões de segurança a representação de números complexos deveriaser encriptada. Supondo que existem funções de codificação (code que recebe um númeroreal devolve a sua imagem encriptada) e de descodificação (decode, que recebe umaimagem encriptada e devolve o real correspondente) e de teste de imagem encriptada(code?), defina uma representação correspondente aos números complexos encriptadose com base nessa representação volte a escrever as operações básicas para númeroscomplexos.

9. Uma representação alternativa para o número complexo a + bi, conhecida por repre-sentação polar ou trignométrica (Figura 5.1), utiliza a distância do número complexo àorigem do referencial, o módulo ρ =

√a2 + b2, e o ângulo θ que a linha que liga a origem

do referencial ao ponto que representa o número complexo faz com a parte positiva do


x

y

a

b

ρ

θ

Figura 5.1: Representação polar de números complexos.

eixo 0~x. Para o complexo a+ bi, o valor de θ é dado por:

θ =

arctg( ba) se a > 0

arctg( ba) + π se a < 0 e b ≥ 0

arctg( ba)− π se a < 0 e b < 0

π2 se a = 0 e b > 0

−π2 se a = 0 e b < 0

indefinido se a = 0 e b = 0

Com base nesta representação, podemos escrever:

a+ bi = ρ(cos(θ) + sen(θ)i)

Escolha uma representação para números complexos em notação polar e escreva as ope-rações básicas para complexos com base nessa representação.

10. Escreva as operações rect->polar e polar->rect que transformas as representaçõesrectangular em polar e vice-versa.

5.2.5 Listas

1. (1) Escreva um procedimento ultimo que recebe uma lista não vazia, e devolve oúltimo elemento da lista.

> (ultimo ’(4 5 6))6> (ultimo ’(1))1

2. (1) Escreva um procedimento produto-lista que recebe uma lista de números intei-ros, e devolve o produto de todos os elementos da lista. Considere que o produto doselementos de uma lista vazia tem o valor 1.Exemplo,


> (produto-lista ’(4 5 6))120> (produto-lista ’())1

3. (1) Escreva um procedimento conta-pares que recebe uma lista de números inteiros,e devolve o número de elementos pares na lista.

> (conta-pares ’(4 5 6))2> (conta-pares ’(3 5 7))0

4. (1) Escreva um procedimento conta-menores que recebe uma lista de números inteiroslst e um número inteiro n, e devolve o número de elementos da lista lst menores quen.

> (conta-menores ’(4 5 6) 4)0> (conta-menores ’(3 5 7) 6)2

5. (1) Escreva um procedimento numero-ocorrencias que recebe uma lista de númerosinteiros e um número inteiro n, e devolve o número de vezes que não ocorre na lista.

> (numero-ocorrencias ’(4 5 6) 5)1> (numero-ocorrencias ’(3 5 7) 2)0

6. (2) Escreva um procedimento todos-pares? que recebe uma lista de números inteiros,e devolve verdadeiro se a lista for constituída exclusivamente por números pares e falsono caso contrário.

> (todos-pares? ’(4 5 6))#f> (todos-pares? ’(4 4 6))#t

7. (2) Escreva um procedimento ocorre-lista? que recebe uma lista de números inteirose um número inteiro n, e devolve verdadeiro se o número n ocorrer na lista e falso nocaso contrário.

> (ocorre-lista? ’(3 2 4) 3)#t> (ocorre-lista? ’(3 2 4) 1)#f


8. (3) Escreva um procedimento maximo-lista que recebe uma lista não vazia de númerosinteiros, e devolve o maior elemento da lista.

> (maximo-lista ’(4 5 6))6> (maximo-lista ’(7 3 6))7

9. (2) Escreva um procedimento quadrados-lista que recebe uma lista de números intei-ros e devolve a lista que resulta de elevar todos os números da lista original ao quadrado.

> (quadrados-lista ’(3 2 4))(9 4 16)

10. (2) Escreva um procedimento substitui que recebe uma lista de números inteiros lst,um número inteiro v (velho) e um número inteiro n (novo), e devolve a lista que resultade substituir em lst todas as ocorrências de v por n.

> (substitui ’(4 3 2 4) 4 5)(5 3 2 5)

11. (2) Escreva um procedimento insere-no-fim que recebe uma lista lst e um númeron, e devolve a lista que resulta de inserir o elemento n no final da lista lst.

> (insere-no-fim 3 ’(3 2 4))(3 2 4 3)> (insere-no-fim 3 ’())(3)

12. (2) Escreva um procedimento remove-ultimo que recebe uma lista não vazia, e devolvea lista que resulta de remover o último elemento da lista.

> (remove-ultimo ’(3 2 4))(3 2)> (remove-ultimo ’(4))()

13. (2) Escreva um procedimento junta que recebe duas listas, e devolve a lista que resultade juntar a segunda lista no final da primeira.

> (junta ’(3 2 4) ’(1 2 3))(3 2 4 1 2 3)> (junta ’() ’(4 5 3))(4 5 3)> (junta ’(1 2 3) ’())(1 2 3)


14. (2) Escreva um procedimento inverte que recebe uma lista, e devolve a lista queresulta de inverter a lista original.

Sugestão: Utilize o procedimento insere-no-fim definido no exercício 11 ou os proce-dimentos ultimo e remove-ultimo definidos nos exercícios 1 e 12.

> (inverte ’(3 2 4))(4 2 3)

15. (3) Escreva um procedimento alisa que recebe uma lista, cujos elementos podem serlistas, e devolve a lista com todos os elementos atómicos da lista original.

Sugestão: Utilize o procedimento junta definido no exercício 13.

> (alisa ’((((3))) 4 5 (8 (9))))(3 4 5 8 9)

16. (3) Escreva um procedimento sublistas que recebe uma lista, e conta o número totalde sublistas que esta contém.

> (sublistas ’(1 2 3))0> (sublistas ’((1) 2 (3)))2> (sublistas ’(((((1))))))4

17. (2) Escreva um procedimento selecciona-pares que recebe uma lista de númerosinteiros, e devolve a lista com todos os números pares da lista original.

> (selecciona-pares ’(4 3 2 4))(4 2 4)> (selecciona-pares ’(7 3 5))()

18. (2) Escreva um procedimento selecciona-menores que recebe uma lista de númerosinteiros e um número inteiro n, e devolve a lista com todos os números da lista originalmenores que n.

> (selecciona-menores ’(4 3 2 4) 4)(3 2)> (selecciona-menores ’(7 3 5) 1)()

19. (2) Escreva um procedimento selecciona-primos que recebe uma lista de númerosinteiros, e devolve a lista com todos os números primos da lista original.

> (selecciona-primos ’(4 3 2 4))(3 2)> (selecciona-primos ’(4 6 8 9))()


20. (2) Escreva um procedimento remove-elemento que recebe uma lista de números intei-ros e um número inteiro n, e devolve a lista que resulta de remover todas as ocorrênciasde n da lista original.

> (remove-elemento ’(4 3 2 4) 4)(3 2)> (remove-elemento ’(7 3 5) 1)(7 3 5)

21. (2) Escreva um procedimento altera-posicao que recebe uma lista, um número inteiropositivo p e um número inteiro n, e devolve a lista que resulta de alterar o elemento naposição p da lista para n. Caso a lista tenha menos de p posições deverá devolver a listaoriginal.

> (altera-posicao ’(4 3 2 2 1 4) 4 10)(4 3 2 10 1 4)> (altera-posicao ’(4 3 2 2 1 4) 100 8)(4 3 2 2 1 4)

22. (2) Escreva um procedimento posicoes-lista que recebe uma lista de números in-teiros e um número inteiro n, e devolve a lista de todas as posições em que n ocorre nalista.

> (posicoes-lista ’(4 3 2 2 1 4) 4)(1 6)> (posicoes-lista ’(4 3 2 2 1 4) 6)()

23. (2) Escreva um procedimento posicoes-dos-pares que recebe uma lista de númerosinteiros, e devolve a lista de todas as posições da lista em que ocorrem números pares.

> (posicoes-dos-pares ’(4 3 2 2 1 4))(1 3 4 6)> (posicoes-dos-pares ’(5 3 5 3 1))()

24. (2) Escreva um procedimento ordenada? que recebe uma lista de números inteiros, edevolve verdadeiro se a lista estiver ordenada de forma crescente e falso no caso contrário.

> (ordenada? ’(3 2 1 2 3))#f> (ordenada? ’(3 5 7 8))#t

25. (3) Escreva um procedimento intercala que recebe duas listas, e devolve a lista queresulta de intercalar os elementos das duas listas. Se as listas não forem do mesmotamanho, o que restar da lista maior deverá ser adicionado no fim.


> (intercala ’(3 2 4) ’(1 2 3))(3 1 2 2 4 3)> (intercala ’(2 3) ’(4 5 8 6))(2 4 3 5 8 6)

26. (2) Escreva um procedimento insere-ordenado que recebe uma lista ordenada denúmeros inteiros e um número inteiro n, e devolve a lista que resulta de inserir o númeron na posição certa na lista de modo a que o resultado continue uma lista ordenada.

> (insere-ordenado ’(3 5 7 8) 7)(3 5 7 7 8)> (insere-ordenado ’(3 5 7 8) 1)(1 3 5 7 8)> (insere-ordenado ’(3 5 7 8) 15)(3 5 7 8 15)

27. (3) Escreva um procedimento parte que recebe uma lista de números inteiros lst eum número inteiro n, e devolve uma lista contendo na primeira posição a lista com oselementos de lst menores que n, e na segunda posição a lista com os elementos de lstmaiores ou iguais a n. A ordem pela qual os elementos aparecem nas listas devolvidas éirrelevante.

> (parte ’(6 1 2 9 7) 3)((1 2) (6 9 7))> (parte ’(6 1 2 3 9 7) 3)((1 2) (6 3 9 7))> (parte ’(9 12 5) 4)(() (9 12 5))

28. (2) Escreva um procedimento capicua? que recebe uma lista de números inteiros, edevolve verdadeiro se a lista for uma capicua e falso no caso contrário.

Sugestão: Utilize os procedimentos ultimo e remove-ultimo definidos nos exercícios 1e 12.

> (capicua? ’(3 2 1 2 3))#t> (capicua? ’(3 2 2 3))#t> (capicua? ’(3 2 1 3 2 3))#f

29. (3) Escreva um procedimento capicua que recebe uma lista de números inteiros, edevolve a lista que se obtém construindo uma capicua com a lista original.

Sugestão: Utilize o procedimento insere-no-fim do exercício 11.

> (capicua ’(3 4 7 1))(3 4 7 1 1 7 4 3)> (capicua ’(1 2))(1 2 2 1)


30. (3) Escreva um procedimento remove-duplicados que recebe uma lista de númerosinteiros lst, e fica apenas com uma cópia de cada elemento de lst. A ordem pela qualos elementos aparecem na lista devolvida é irrelevante.

Sugestão: Utilize o procedimento remove-elemento do exercício 20.

> (remove-duplicados ’(4 3 2 2 1 4))(4 3 2 1)> (remove-duplicados ’(4 3 2 2 1 4 2))(4 3 2 1)> (remove-duplicados ’(7 5 3 4 6 2))(7 5 3 4 6 2)

31. (3) Escreva um procedimento elementos-repetidos que recebe uma lista de númerosinteiros, e devolve a lista com uma cópia de cada elemento que aparece repetido na lista.A ordem pela qual os elementos aparecem na lista devolvida é irrelevante.

Sugestão: Utilize os procedimentos ocorre-lista? e remove-elemento dos exercí-cios 7 e 20.

> (elementos-repetidos ’(3 4 4 4 3 6 7))(3 4)> (elementos-repetidos ’(3 4 6 7))()

32. (3) Escreva um procedimento conta-elementos que recebe uma lista de números in-teiros, e devolve uma lista de pares em que cada par contém como primeiro elementoum elemento da lista e como segundo elemento o número de vezes que este aparece nalista. A ordem pela qual os pares aparecem na lista devolvida é irrelevante.

Respeite as barreiras de abstracção, mas lembre-se que está a lidar com dois tipos es-truturados, a lista e o par.

Sugestão: Utilize os procedimentos ocorre-lista? e remove-elemento dos exercí-cios 7 e 20.

> (conta-elementos ’(3 4 5 5 3 3 9 3 3 12 3 12))((3 . 6) (4 . 1) (5 . 2) (9 . 1) (12 . 2))

33. (2) Escreva um procedimento lista-inteiros que recebe um inteiro positivo n, edevolva uma lista com todos os inteiros entre 0 e n (a ordem pela qual os númerosaparecem na lista não é relevante).

> (lista-inteiros 7)(0 1 2 3 4 5 6 7)

(a) O seu procedimento é um procedimento recursivo? Porquê?

(b) O seu procedimento gera um processo iterativo ou recursivo? Porquê?


(c) Se o seu procedimento gera um processo iterativo, escreva um que gere um processorecursivo. Se gera um processo recursivo, escreva um que gere um processo iterativo.

34. (4) O Crivo de Eratóstenes é um algoritmo para calcular números primos que, segundoa tradição, foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C.), o terceirobibliotecário-chefe da Biblioteca de Alexandria. O algoritmo calcula os números primosinferiores a n. Para isso, começa-se por criar uma lista com todos os inteiros positivos de2 a n e seleccionar o número 2. Enquanto o número seleccionado for menor que

√n: (a)

removem-se da lista todos os múltiplos desse número; (b) passa-se ao número seguintena lista. No final do algoritmo, quando o número seleccionado for superior a

√n, a lista

apenas contém números primos.

Escreva um procedimento que recebe um inteiro positivo n e calcula a lista de númerosprimos inferiores a n de acordo com o Crivo de Eratóstenes.

Sugestão: Defina um procedimento remove-multiplos que dado uma lista lst e umnúmero inteiro n, remove da lista todos os múltiplos de n.

> (lista-primos 20)(2 3 5 7 11 13 17 19)> (lista-primos 100)(2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97)

5.2.6 Árvores Binárias

Definições e Notação

Nesta secção deve considerar os seguintes procedimentos sobre árvores binárias:

• (nova-arv) cria uma árvore vazia.• (cria-arv r arve arvd) cria uma árvore binária com raiz r, árvore esquerda arve e

árvore direita arvd.• (raiz arv) dada uma árvore binária arv devolve a sua raiz.• (arv-esq arv) dada uma árvore binária arv devolve a sua árvore esquerda.• (arv-dir arv) dada uma árvore binária arv devolve a sua árvore direita.• (arvore-vazia? arv) devolve verdadeiro se a árvore binária arv é vazia e falso no

caso contrário.• (arvore? arg) devolve verdadeiro se arg for uma árvore binária e falso no caso con-

trário.• (arvores=? arv1 arv2) devolve verdadeiro se as árvores binárias arv1 e arv2 forem

iguais e falso no caso contrário.

Um nó de uma árvore a é a raiz de uma das sub-árvores de a. As raízes das sub-árvoresesquerda e direita de um nó r dizem-se os filhos de r. Neste caso r diz-se o pai dos dois nós.Dois nós dizem-se irmãos se tiverem o mesmo pai. Uma folha de uma árvore é um nó semfilhos.

A profundidade de um nó é o comprimento do caminho desde a raiz até ele. A profundidadede uma árvore é o comprimento do caminho desde a raiz até ao nó mais profundo. O nó ddiz-se descendente de a se existir um caminho na árvore de a para d e a profundidade de a émenor que a profundidade de d. Um nó a diz-se ascendente de d se d for descendente de a.


O tamanho de um nó é o número de seus descendentes, incluindo o próprio. O tamanhode uma árvore é o tamanho da sua raiz.

Suponha definidas as seguintes árvores binárias

(define a1 (cria-arv 3(cria-arv 2

(cria-arv 5 (nova-arv) (nova-arv))(cria-arv 7 (nova-arv) (nova-arv)))

(cria-arv 5(cria-arv 1 (nova-arv) (nova-arv))(cria-arv 6 (nova-arv) (nova-arv)))))

(define a2 (cria-arv 10(cria-arv 12

(nova-arv)(nova-arv))

(cria-arv 1(cria-arv 8 (nova-arv) (nova-arv))(cria-arv 2 (nova-arv) (nova-arv)))))

(define a3 (cria-arv 5(nova-arv)(cria-arv 10

(cria-arv 8 (nova-arv) (nova-arv))(cria-arv 10 (nova-arv) (nova-arv)))))

cujas representações gráficas são dadas por

3

5

61

2

75

10

1

28

12

5

10

108

Exercícios

1. (1) Escreva um procedimento folha? que recebe uma árvore binária, e devolve verda-deiro se a árvore for uma folha e falso no caso contrário.

> (folha? (arv-esq a1))#f> (folha? (arv-esq a2))#t

2. (1) Escreva um procedimento tamanho que recebe uma árvore binária, e devolve onúmero de nós da árvore.

> (tamanho a1)7


3. (1) Escreva um procedimento soma-arvore que recebe uma árvore binária contendonúmeros inteiros, e devolve a soma de todos os nós da árvore.

> (soma-arvore a1)29

4. (1) Escreva um procedimento procura? que recebe uma árvore binária contendo nú-meros inteiros arv e um número inteiro n, e devolve verdadeiro se n ocorre num dos nósda árvore e falso no caso contrário.

> (procura? a1 8)#f> (procura? a2 8)#t

5. (1) Escreva um procedimento todos-pares? que recebe uma árvore binária contendonúmeros inteiros, e devolve verdadeiro se a árvore for constituída exclusivamente pornúmeros pares e falso no caso contrário.

> (todos-pares? a3)#f> (todos-pares? (arv-dir a3))#t

6. (1) Escreva um procedimento conta-pares-arvore que recebe uma árvore bináriacontendo números inteiros, e conta quantos números pares ocorrem na árvore.

> (conta-pares-arvore a1)2

7. (1) Escreva um procedimento numero-folhas que recebe uma árvore binária, e devolveo número de folhas da árvore.

> (numero-folhas a1)4> (numero-folhas a2)3> (numero-folhas a3)2

8. (1) Escreva um procedimento profundidade que recebe uma árvore binária, e devolvea profundidade da árvore.

> (profundidade a2)3

9. (2) Escreva um procedimento pai? que recebe uma árvore binária contendo númerosinteiros e dois números inteiros p e f, e devolve verdadeiro se p for pai de f na árvore efalso no caso contrário.


> (pai? a1 3 7)#f> (pai? a1 3 9)#f> (pai? a1 5 1)#t

10. (2) Escreva um procedimento filho? que recebe uma árvore binária contendo númerosinteiros e dois números inteiros f e p, e devolve verdadeiro se f for filho de p na árvoree falso no caso contrário.

> (filho? a1 6 3)#f> (filho? a1 9 3)#f> (filho? a1 5 2)#t> (filho? a1 5 3)#t

11. (2) Escreva um procedimento irmaos? que recebe uma árvore binária contendo nú-meros inteiros e dois números inteiros n e m, e devolve verdadeiro se os números foremirmãos na árvore e falso no caso contrário.

> (irmaos? a1 2 7)#f> (irmaos? a1 2 5)#t

12. (2) Escreva um procedimento ascendente? que recebe uma árvore binária contendonúmeros inteiros e dois números inteiros a e d, e devolve verdadeiro se a for ascendentede d na árvore e falso no caso contrário.

Sugestão: Utilize o procedimento procura? definido no exercício 4.

> (ascendente? a1 3 6)#t> (ascendente? a1 3 9)#f> (ascendente? a1 2 5)#t> (ascendente? a1 3 5)#t

13. (2) Escreva um procedimento descendente? que recebe uma árvore binária contendonúmeros inteiros e dois números inteiros d e a, e devolve verdadeiro se d for descendentede a na árvore e falso no caso contrário.


> (descendente? a1 6 5)#t> (descendente? a1 7 3)#t> (descendente? a1 2 5)#f

14. (2) Uma árvore binária diz-se própria se todos os seus nós têm dois filhos ou sãofolhas. Escreva um procedimento arv-propria? que recebe uma árvore binária, edevolve verdadeiro se a árvore for própria e falso no caso contrário.

> (arv-propria? a1)#t> (arv-propria? a2)#t> (arv-propria? a3)#f

15. (2) Uma árvore binária diz-se perfeita se é própria e todas as suas folhas estão aomesmo nível. Escreva um procedimento arv-perfeita? que recebe uma árvore binária,e devolve verdadeiro se a árvore for perfeita e falso no caso contrário.

Sugestão: Utilize o procedimento profundidade definido no exercício 8.

> (arv-perfeita? a1)#t> (arv-perfeita? a2)#f> (arv-perfeita? a3)#f

16. (3) Uma árvore binária diz-se balanceada se for própria e todas as suas folhas diferemno máximo de um nível. Escreva um procedimento arv-balanceada? que recebe umaárvore binária, e devolve verdadeiro se a árvore for balanceada e falso no caso contrário.


> (arv-balanceada? a1)#t> (arv-balanceada? a2)#t> (arv-balanceada? a3)#f

17. (3) Escreva um procedimento maximo que recebe uma árvore binária não vazia contendonúmeros inteiros, e devolve o maior elemento da árvore.

> (maximo a1)7


18. (3) Escreva um procedimento minimo que recebe uma árvore binária não vazia contendonúmeros inteiros, e devolve o menor elemento da árvore.

> (minimo a2)1

19. (3) Escreva um procedimento mais-profundo que recebe uma árvore binária não vazia,e devolve o nó mais profundo da árvore. Caso existam vários à mesma profundidadedeverá devolver o mais à esquerda na árvore.


> (mais-profundo a1)5> (mais-profundo a2)8

20. (4) Escreva um procedimento profundidade-minima que recebe uma árvore binárianão vazia contendo números inteiros e um número inteiro n, e devolve a profundidademínima a que n ocorre na árvore. Caso o número não ocorra na árvore deverá devolverfalso.

Sugestão: Utilize o procedimento mais-profundo definido no exercício 19.

> (profundidade-minima a1 5)2> (profundidade-minima a1 1)3> (profundidade-minima a1 9)#f

21. (2) Escreva um procedimento lista-folhas que recebe uma árvore binária, e devolvea lista com todas as suas folhas começando da mais à esquerda para a mais à direita.

Sugestão: Utilize o procedimento junta definido no exercício 13.

> (lista-folhas a2)(12 8 2)> (lista-folhas a3)(8 10)

22. (2) Escreva um procedimento espelha que recebe uma árvore binária e devolve umanova árvore binária idêntica à recebida, mas em que em cada nível da árvore se trocoua árvore esquerda com a direita, mantendo-se a raiz.

> (espelha a1)

deve devolver a árvore cuja representação gráfica é


3

2

57

5

16

23. (2) Escreva um procedimento substitui que recebe uma árvore binária contendonúmeros inteiros e dois números inteiros v (velho) e n (novo), e devolve a árvore queresulta de substituir todas as ocorrências de v por n.

> (substitui a1 5 8)


3

8

61

2

78

24. (2) Escreva um procedimento poda que recebe uma árvore binária, e devolve a árvoreque resulta de remover todas as folhas da árvore.

> (poda a2)


10

1

25. (4) Escreva um procedimento promove-irmao que recebe uma árvore binária contendonúmeros inteiros, e que em cada uma das suas sub-árvores coloca o irmão maior comoraiz da árvore direita.

> (promove-irmao a2)


10

12

82

1


26. (4) Escreva um procedimento promove-descendente que recebe uma árvore bináriacontendo números inteiros, e que em cada uma das suas sub-árvores coloca o seu maiorelemento na raiz. Nos casos em que há troca da raiz r por m, então r deverá ocupar olugar onde m estava.

Sugestão: Defina um procedimento substitui1 que recebe uma árvore arv e doisnúmeros v e n e substitui uma única ocorrência de v por n na árvore arv.

> (promove-descendente a1)


7

6

51

5

32

27. (4) Uma árvore binária contendo números inteiros diz-se de procura se a sua raiz émaior que todos os elementos da sua sub-árvore esquerda, menor ou igual que todos oselementos da sua sub-árvore direita, e o mesmo se passa para todas as suas sub-árvores.Escreva um procedimento arv-procura? que recebe uma árvore binária, e devolveverdadeiro se a árvore for uma árvore binária de procura e falso no caso contrário.

> (arv-procura? a1)#f> (arv-procura? a3)#t

28. (2) Escreva um procedimento existe-arv-procura? que recebe uma árvore bináriade procura contendo números inteiros e um número inteiro n, e devolve verdadeiro se onúmero n ocorre num dos nós da árvore e falso no caso contrário.

Nota: O seu procedimento deve tirar partido do facto de receber uma árvore bináriade procura e não uma árvore binária qualquer.

> (existe-arv-procura? a3 8)#t> (existe-arv-procura? a3 9)#f

29. (3) Escreva um procedimento insere-arvore-procura que recebe uma árvore bináriade procura contendo números inteiros e um número inteiro n, e devolve a árvore bináriade procura que resulta de inserir o número n na árvore.

> (insere-arvore-procura a3 9)



5

10

108

9

30. (2) Escreva um procedimento cria-arvore-procura que recebe zero ou mais númerosinteiros, e devolve uma árvore binária de procura criada a partir desses argumentos. Oprimeiro argumento, caso exista, deverá ser a raiz da árvore.

> (cria-arvore-procura 2 1 5 3)


2

5

3

1

Capítulo 6

Procedimentos de ordem superior


1. Diga quando é que em programação se diz que um objecto computacional é um cidadãode primeira classe.

2. Diga o que é um procedimento de ordem superior e quais são as suas vantagens.


6.2.1 Procedimentos que recebem procedimentos

1. (1) Escreva um procedimento anónimo que recebe um procedimento e um número edevolve o resultado de aplicar o procedimento ao triplo do quadrado do número.

2. O procedimento somatorio

(define (somatorio calc-termo lim-inf proximo lim-sup)(if (> lim-inf lim-sup)

0(+ (calc-termo lim-inf)

(somatorio calc-termo(proximo lim-inf)proximolim-sup))))

é apenas o mais simples de um vasto número de abstracções semelhantes que podemser capturadas por procedimentos de ordem superior. Por exemplo, podemos usar oprocedimento somatorio para somar os quadrados dos múltiplos de 3 entre 9 e 21:

(somatorio (lambda (x) (expt x 2))9(lambda (x) (+ x 3))21)

66 CAPÍTULO 6. PROCEDIMENTOS DE ORDEM SUPERIOR

(a) (2) Diga o que fazem as seguintes utilizações desse procedimento:

i. (somatorio (lambda (x) x) 4 add1 500)ii. (somatorio (lambda (x) (sqrt x)) 5 (lambda (x) (+ x 5)) 500)iii. (somatorio (lambda (x) (somatorio (lambda (x) x) 1 add1 x)) 1 add1

5)

(b) (2) Mostre como é que o procedimento somatorio poderia ser definido gerando umprocesso iterativo (em vez de gerar um processo recursivo, como faz actualmente).

(c) (2) Defina um procedimento piatorio que calcula o produto dos termos de umafunção entre dois limites especificados.

(d) (2) Mostre como definir o factorial em termos da utilização do procedimentopiatorio.

3. A conversão de valores é uma operação comum em programação. Por exemplo, convertem-se temperaturas em graus Farenheit para graus Centígrados, horas locais em Lisboa parahoras locais em Nova Iorque, etc.

(a) (2) Escreva um procedimento converte que recebe o procedimento correspon-dente à função de conversão e o valor a converter e devolve o valor convertido. Porexemplo, se far-cent for o procedimento correspondente à função de conversão degraus Farenheit em Centígrados definido como

(define (far-cent f)(/ (* 5 (- f 32)) 9))

a avaliação de (converte far-cent 32) tem o valor 0.

(b) (2) Escreva um procedimento lis-ny para converter uma hora local em Lisboa(um número inteiro entre 0 e 23) para a hora local em Nova Iorque (onde sãomenos cinco horas do que em Lisboa). Tenha cuidado com a passagem da meianoite. Utilize o procedimento converte da alínea anterior e o procedimento lis-nypara mostrar qual a hora em Nova Iorque quando são 3 da manhã em Lisboa.

4. (3) Escreva um procedimento nenhum-p? que recebe um número inteiro positivo n eum predicado p, e devolve verdadeiro se nenhum inteiro positivo menor que n satisfaz pe falso no caso contrário.

> (nenhum-p? 87 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100)))#t> (nenhum-p? 187 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100)))#f

5. (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 18 e 19 da secção 2.2.3 (primos-entre-si?e divisor-fraco?) utilizando o procedimento nenhum-p?.

6. (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 10, 11, 12 e 13 da secção 3.2 (quadrado-perfeito?,primo?, livre-quadrados?, poderoso?) utilizando o procedimento nenhum-p.


7. (2) Escreva um procedimento conta-p que recebe um número inteiro positivo n e umpredicado p, e devolve o número de inteiros positivos menores ou iguais a n que satisfazemp.

> (conta-p 87 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100)))0> (conta-p 487 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100)))4

8. (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 6, 7 e 8 da secção 2.2.3 (numero-divisores,numero-primos-menores e numero-divisores-primos) utilizando o procedimento conta-p.

9. (2) Escreva um procedimento soma-p que recebe um número inteiro positivo n e umpredicado p, e devolve a soma de todos os inteiros positivos menores do que n quesatisfazem p.

> (soma-p 87 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100)))0> (soma-p 487 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100)))1000

10. (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 2 e 9 da secção 2.2.3 (somatorio e soma-divisores)utilizando o procedimento soma-p.

11. (3) Escreva um procedimento nesimo-p que recebe um número inteiro positivo n e umpredicado p, e devolve o n-ésimo elemento que satisfaz p.

> (nesimo-p 4 (lambda (x) (= 0 (remainder x 100)))400> (nesimo-p 4 even?)8

12. (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 22, 23, 24, e 25 da secção 3.2 (nesimo-primo,nesimo-primo-mersenne, k-divisor, e kesimo-factor-primo) utilizando o procedi-mento nesimo-p.

13. (3) Escreva um procedimento soma-digitos-p que recebe um número inteiro positivon e um predicado p, e devolve a soma de todos os dígitos de n que satisfazem p.

> (soma-digitos-p 97 (lambda (x) (< x 5)))0> (soma-digitos-p 1452 (lambda (x) (< x 5)))7

14. (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 14 e 15 da secção 2.2.3 (soma-digitos esoma-digitos-pares) utilizando o procedimento soma-digitos-p.


15. (3) Escreva um procedimento existe-digito-p? que recebe um número inteiro posi-tivo n e um predicado p, e devolve verdadeiro se ocorrer um dígito em n que satisfaça pe falso no caso contrário.

> (existe-digito-p? 234 (lambda (x) (< x 5)))#t> (existe-digito-p? 558 (lambda (x) (< x 5)))#f

16. (1) Escreva o procedimento do exercício 29 da secção 3.2 (existe-digito?) utilizandoo procedimento existe-digito-p?.

17. (4) Escreva um procedimento digitos-p que recebe um número inteiro positivo n eum predicado p, e devolve o número composto apenas pelos dígitos de n que satisfazemp. Se nenhum dos dígitos de n satisfizer p deve devolver 0.

> (digitos-p 9558 (lambda (x) (< x 5)))0> (digitos-p 2458 (lambda (x) (< x 5)))24

18. (1) Escreva o procedimento do exercício 16 da secção 2.2.3 (digitos-impares) utili-zando o procedimento digitos-p.

19. (2) Escreva um procedimento conta que recebe uma lista e um predicado unário, edevolve o número de elementos da lista que satisfazem o predicado.

> (conta ’(4 5 6) (lambda(x) (> x 5)))1

20. (1) Escreva os procedimentos dos exercícios 3, 4, e 5 da secção 5.2.5 (conta-pares,conta-menores, e numero-ocorrencias) utilizando o procedimento conta.

21. (2) Escreva um procedimento todos? que recebe uma lista e um predicado unário, edevolve verdadeiro caso todos os elementos da lista satisfaçam o predicado e falso nocaso contrário.

> (todos? ’(4 5 6) (lambda(x) (> x 5)))#f> (todos? ’(4 5 6) (lambda(x) (>= x 4)))#t

22. (1) Escreva o procedimento do exercício 6 da secção 5.2.5 (todos-pares) utilizando oprocedimento todos?.

23. (2) Escreva um procedimento existe? que recebe uma lista e um predicado unário, edevolve verdadeiro se existir pelo menos um elemento da lista que satisfaça o predicadoe falso no caso contrário.


> (existe? ’(4 5 6) (lambda(x) (> x 5)))#t> (existe? ’(4 5 6) (lambda(x) (>= x 4)))#t> (existe? ’(4 5 6) (lambda(x) (< x 4)))#f

24. (1) Escreva o procedimento do exercício 7 da secção 5.2.5 (ocorre-lista) utilizandoo procedimento existe?.

25. (2) Escreva um procedimento nem-todos? que recebe uma lista e um predicado unário,e devolve verdadeiro caso exista pelo menos um elemento da lista que não satisfaz opredicado e falso no caso contrário.

> (nem-todos? ’(2 4 5 6) even?)#t> (nem-todos? ’(2 4 6) even?)#f

26. (2) Escreva um procedimento transforma que recebe uma lista e um procedimentounário f, e devolve a lista que resulta de aplicar o procedimento a todos os elementosda lista.

> (transforma ’(4 3 2 4) (lambda(x) (- x 1)))(3 2 1 3)> (transforma ’(4 3 2 4) (lambda(x) (>= x 4)))(#t #f #f #t)

27. (2) Escreva os procedimentos dos exercícios 9 e 10 da secção 5.2.5 (quadrados-listae substitui) utilizando o procedimento transforma (este é apresentado na Página 207do livro).

28. (2) Escreva um procedimento filtra que recebe uma lista l e um predicado p, edevolve a lista que resulta de ficar com todos os elementos da lista l que satisfazem opredicado p.

> (filtra ’(4 3 2 1 4) (lambda(x) (< 1 x 4)))(3 2)

29. (2) Escreva os procedimentos dos exercícios 17, 18, 19, e 20 da secção 5.2.5 (selecciona-pares,selecciona-menors, selecciona-primos, e remove-elemento) utilizando o procedi-mento filtra.

30. (2) Escreva um procedimento posicoes-p que recebe uma lista e um predicado, edevolve a lista de todas as posições em que o elemento da lista satisfaz o predicado.

> (posicoes-p ’(4 3 2 2 1 4) (lambda(x) (< x 3)))(3 4 5)> (posicoes-p ’(4 3 2 2 1 4) (lambda(x) (> x 4)))()


31. (2) Escreva os procedimentos dos exercícios 22 e 23 da secção 5.2.5 (posicoes-listae posicoes-dos-pares) utilizando o procedimento posicoes-p.

32. (2) Escreva um procedimento da-pares que recebe um procedimento, um valor e umalista e que devolve uma lista de pares em que cada par contém o elemento da lista seguidodo valor obtido da aplicação do procedimento ao valor e ao elemento da lista respectivo.

> (da-pares (lambda (x y) (+ x y)) 3 ’(2 4 3 5 6))((2 5) (4 7) (3 6) (5 8) (6 9))> (da-pares (lambda (x y) (* x y)) 2 ())()> (da-pares (lambda (x y) (* x y)) 9 ’(1 3))((1 9) (3 27))

33. (2) Escreva um procedimento de ordem superior chamado lista-de-a-n-pred querecebe dois números inteiros (de e ate) e um predicado aplicável a inteiros (pred) e quedevolve a lista de todos os inteiros ente de e ate que satisfazem o predicado pred. Porexemplo:

> (lista-de-a-n-pred 1 10 even?)(2 4 6 8 10)> (lista-de-a-n-pred 1 10 (lambda (x) #t))(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10)

34. (4) Usando o procedimento lista-de-a-n-pred e outros procedimentos de ordemsuperior, escreva um procedimento correspondente ao crivo de Eratóstenes.

35. (2) Escreva um procedimento conta-arvore que recebe uma árvore binária e umpredicado p que se aplica a cada um dos nós da árvore, e conta quantos elementosda árvore satisfazem p.

> (conta-arvore a1 odd?)5> (conta-arvore a1 (lambda (x) (> x 5)))2

36. (2) Escreva os procedimentos dos exercícios 2, 4, e 6 da secção 5.2.6 (tamanho, procura?,e conta-pares-arvore) utilizando o procedimento conta-arvore.

37. (2) Escreva um procedimento conta-subarvore que recebe uma árvore binária a e umpredicado p que se aplica a árvores, e conta quantas subárvores de a satisfazem p.

> (define (dois-filhos? a)(and (not (arvore-vazia? a))

(not (arvore-vazia? (arv-esq a)))(not (arvore-vazia? (arv-dta a)))))

> (conta-subarvore a1 dois-filhos?)


3> (conta-subarvore a2 dois-filhos?)2> (conta-subarvore a3 dois-filhos?)1

38. (2) Escreva os procedimentos dos exercícios 7, 9, e 10 da secção 5.2.6 (numero-folhas,pai?, filho?) utilizando o procedimento conta-subarvore.

39. (2) Escreva um procedimento aplica-f-arvore que recebe uma árvore binária e umprocedimento f que se aplica à raiz de uma árvore, e devolve a árvore que resulta deaplicar o procedimento a todos os elementos da árvore.

> (aplica-f-arvore a2 (lambda(x) (* x x)))


100

1

464

144

40. (2) Escreva o procedimento do exercício 23 da secção 5.2.6 (substitui) utilizando oprocedimento transforma.

6.2.2 Procedimentos que produzem procedimentos

1. (1) A composição de duas funções de um argumento, f(x) e g(x), é a função f(g(x)).

Escreva um procedimento fn-composta que recebe como argumentos dois procedimentoscorrespondentes a funções de um argumento e que devolve o procedimento correspon-dente à composição dos seus argumentos.

Por exemplo, com o seu procedimento, seria gerada a seguinte interacção:

> (define (quadrado x) (* x x))> (define (soma-6 y) (+ 6 y))> ((fn-composta quadrado soma-6) 3)81

2. (a) (2) Escreva um procedimento fn-soma que receba como argumentos dois pro-cedimentos correspondentes a funções reais de variável real, f e g, e devolva oprocedimento correspondente à função correspondente à soma de f com g.Por exemplo, com este procedimento podemos gerar a interacção:

> (define (f1 x) (+ x 3))> (define (f2 y) (* y 10))> ((fn-soma f1 f2) 12)135


(b) (2) Podemos pensar numa generalização do procedimento do exercício anterior,fornecendo a operação a realizar entre as funções f e g. Por exemplo, se a operaçãofor a adição, o procedimento corresponde ao anterior, devolvendo f(x) + g(x); noentanto, se a operação for a potência, o procedimento devolve f(x)g(x).Escreva um procedimento aplica-op que recebe como argumentos uma operação(aplicável a dois argumentos) e duas funções reais de variável real e que devolve oprocedimento que corresponde a aplicar a operação fornecida às duas funções.Por exemplo,

> (define (f1 x) (+ x 3))> (define (f2 y) (* y 10))> ((aplica-op + f1 f2) 12)135> ((aplica-op * f1 f2) 12)1800

3. (2) Defina um procedimento funcao-i que recebe procedimentos para calcular as fun-ções reais de variável real f , g e h e devolve um procedimento que se comporta como aseguinte função matemática:

i(x) = 2f(x)2 + 3g(x)3 − h(x2)

4. (2) Escreva um procedimento nega que recebe como argumento um predicado de doisargumentos e que devolve o procedimento correspondente à negação do seu argumento.

> ((nega >) 2 3)#t> ((nega >) 2 2)#t> ((nega <=) 4 5)#f

5. (2) Escreva o procedimento conjuncao que recebe dois predicados de um argumentocada, e devolve um novo predicado de um argumento que verifica se esse argumentosatisfaz ambos os predicados recebidos originalmente.

> (define par>5? (conjuncao even? (lambda (x) (> x 5))))> (par>5? 4)#f> (par>5? 8)#t> (par>5? 9)#f

6. (a) (2) Escreva um procedimento faz-arredonda que recebe um inteiro n, e devolveum procedimento que recebe um argumento real e o arredonda para n casas deci-mais.


(b) (2) Utilize o procedimento faz-arredonda para definir o procedimento arredonda-3,que recebe um real e o arredonda para 3 casas decimais.

> (arredonda-3 1.23456)1.235

7. (2) Escreva um procedimento que recebe um número e devolve um procedimento querecebe outro número e o multiplica pelo primeiro.

> (define mult5 (cria-multiplicador 5))> (mult5 2)10

8. (2) Considere as seguintes definições para um procedimento que devolve a primeiraderivada de uma função:

(define (derivada f)(lambda (x)

(/ (- (f (+ x dx)) (f x))dx)))

(define dx 0.00001)

Com base na definição anterior escreva um procedimento que recebe um procedimentocorrespondente a uma função e um inteiro positivo n (n >= 1) e devolve a derivada deordem n da função. Lembre-se que a derivada de ordem n de uma função é a derivadada derivada de ordem n - 1. Utilize o procedimento derivada.

9. (2) Escreva um procedimento rasto que recebe uma cadeia de caracteres correspon-dendo ao nome de um procedimento, e um procedimento de um argumento. O procedi-mento rasto devolve um procedimento de um argumento que escreve no écran (usandoo procedimento primitivo display) a indicação de que o procedimento foi avaliado e ovalor do seu argumento, escreve também o resultado do procedimento, e devolve o valorde aplicar o procedimento original ao argumento recebido. Por exemplo, partindo doprincípio que o procedimento quadrado foi definido, podemos gerar a seguinte interacção:

> (define rasto-quadrado (rasto "quadrado" quadrado))> (rasto-quadrado 4)Avaliação de quadrado, com o argumento 4Resultado 1616>

10. A sequência de Fibonacci (ou números de Fibonacci) é definida recursivamente do se-guinte modo:

fib(n) =

0 se n = 01 se n = 1fib(n− 1) + fib(n− 2) se n > 1


ou seja, depois dos dois termos iniciais, cada termo da sequência corresponde à somados dois termos anteriores.

Sequências semelhantes à de Fibonacci, mas com termos iniciais diferentes, têm sido des-cobertas como transcrevendo vários aspectos da natureza. Um dos exemplos, a sequênciade Lucas, em honra ao Matemático francês François Lucas (1842–1891), corresponde àsequência 3, 1, 4, 5, 9, . . ..

A sequência de Fibonacci pode ser generalizada a uma colecção de sequências, para-metrizadas com base nos dois primeiros termos, a e b e definidas através da seguinteexpressão:

Fa,b(n) =

a se n = 0b se n = 1Fa,b(n− 1) + Fa,b(n− 2) se n > 1

Assim, F0,1(n) é uma expressão designatória correspondente ao n-ésimo termo da sequên-cia de Fibonacci, F3,1(n), é uma expressão designatória correspondente ao n-ésimo termoda sequência de Lucas.

(a) (2) Defina um procedimento que dê origem a um procedimento que calcula on-ésimo termo da sequência generalizada de Fibonacci. O seu procedimento devereceber como argumentos os dois primeiros termos da sequência, produzindo umprocedimento de um argumento que calcula o n-ésimo termo de uma sequênciaparticular. O procedimento deve gerar um processo iterativo.

(b) (2) Use o procedimento do exercício anterior para gerar outro procedimento quecalcula a sequência generalizada de Fibonacci cujos dois primeiros termos são o anodo seu nascimento e o seu número de aluno. Usando este procedimento, calculeo termo cuja posição corresponde a 10 somado ao mês do seu nascimento. Porexemplo, um aluno nascido em Março de 1988 e cujo número é 12345 deverá calcularo valor de F1988,12345(13).

(c) (2) Um dos aspectos interessantes associados às sequências de Fibonacci generali-zadas corresponde ao facto de, independentemente dos valores de a e b, o limite darazão entre um termo e o anterior quando n tende para infinito é sempre o mesmo:

limn→∞

Fa,b(n+ 1)

Fa,b(n)= ϕ

em que ϕ (leia-se Phi, o qual não deve ser confundido com o número π) é dado por

ϕ =1 +√

5

2≈ 1.6180

Phi é um número transcendente conhecido por proporção divina, proporção áurea ounúmero de ouro. A proporção divina foi recentemente glorificada no livro de DanBrown, O Código da Vinci. Este número, frequentemente usado nas proporçõesdas pinturas renascentistas, está envolvido com a natureza do crescimento. Onúmero ϕ pode ser encontrado na proporção em conchas, seres humanos, e aténa relação entre os machos e fêmeas de qualquer colmeia do mundo. Por esta


razão, os antigos consideravam que este número tinha sido utilizado pelo Criadordo universo e chamavam-lhe a proporção divina. Esta proporção corresponde àrelação que resulta quando uma linha é dividida de tal modo que o comprimentototal da linha tem a mesma relação com o comprimento do segmento maior que ocomprimento do segmento maior tem com o comprimento do segmento menor.Usando um método de aproximações sucessivas semelhante ao apresentado na Sec-ção 2.4.3 do livro, escreva um procedimento de ordem superior que calcule o valorda proporção divina com uma precisão de 10 casas decimais. O argumento do seuprocedimento deverá ser um procedimento para o cálculo da sequência de Fibo-nacci. O seu procedimento deverá utilizar expressões “let” para evitar cálculosrepetidos.

Capítulo 7

O desenvolvimento de programas


1. Diga quais são as fases por que passa o desenvolvimento de um programa e o que se fazem cada uma delas.

2. Enuncie e explique cada um dos tópicos que são habitualmente focados na documentaçãode utilização que acompanha um programa.

3. Em programação podemos ter erros sintácticos e erros semânticos. Defina cada um delese dê exemplos.

4. Durante o desenvolvimento de um programa, após a programação da solução, segue-sea fase de testes. Explique no que consiste a fase de testes.

5. O que é a depuração? Que tipos de depuração são efectuados nos programas e para quetipos de erros?

6. O que é a depuração da base para o topo? Qual a sua vantagem?

7. Comente a seguinte expressão: “A documentação de um programa deve ser efectuadaapós o código terminado, para garantir que não existem erros nessa mesma documenta-ção”.

8. Escolha a única resposta correcta. A documentação de um programa:

(a) Apenas deve ser escrita após o programa ter sido concluído.

(b) É constituída por vários tipos de documentos.

(c) Não pode ser alterada na fase de manutenção.

(d) Deve ser evitada, sempre que possível, pois corresponde a um trabalho desnecessá-rio.

9. Escolha a única resposta incorrecta. Em relação à metodologia de desenvolvimento deprogramas pode dizer-se que:

(a) Na fase da programação da solução decide-se a representação para as estruturas deinformação.

78 CAPÍTULO 7. O DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS

(b) A depuração lida com erros semânticos e erros sintácticos.

(c) A fase de desenvolvimento da solução recorre a uma linguagem de programação.

(d) A fase de testes nunca permite garantir a ausência completa de erros.


1. (2) Sugira casos de teste para o procedimento seguinte:

(define (saudacao hora)(cond ((> hora 12) "Boa tarde !")

((> hora 19) "Boa noite !")(else "Bom dia !")))

2. (1) Com base nos casos de teste concebidos, explique qual o problema com o procedi-mento saudacao.

3. (2) Sugira casos de teste para o procedimento seguinte:

(define (misterio a)(cond ((> a 0) #t)

((< a 3) #t)((= a 1) (+ a 5))(else (misterio (- a 2)))))

4. (1) Com base nos casos de teste concebidos, explique qual o problema com o procedi-mento misterio.

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