UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

5ª Lista de exercícios de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

Assunto: Cônicas Professor: Alexandre Correia Fernandes

01) O ponto C(4,3) é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados, escreva a equação da elipse.

02) As metades do eixo maior e da distância focal de uma elipse medem,

respectivamente, 5cm e 4cm, e seu centro é o ponto (6, -3). Se o eixo menor é paralelo ao eixo coordenado Ox, escreva a equação reduzida dessa elipse.

03) Dê a equação da elipse que passa pelos pontos (2,0), (-2,0) e (0,1).

04) Calcule a distância focal e a excentricidade da elipse 9x2 + 25y2 = 900.

05) Determine a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto

21,

21P e tem um foco

0,

36

1F .

06) Ache as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x2 + 25y2 = 225.

07) Construa o gráfico da cônica cuja equação é 169x2 + 25y2 = 4225 e obtenha as coordenadas dos focos.

08) Dê o centro C, o eixo maior a e o eixo menor b da elipse

.116

)3(4

)2( 22

yx

09) Determine os focos da cônica de equação .49

)2(25

)3( 22

yx

10) Qual é a equação do conjunto dos pontos P(x,y) cuja soma das distâncias a F1

(0,-5) e F2 (0, 55) é 68?

11) Os pontos A(10,0) e B(-5,y) estão sobre uma elipse cujos focos são F1 (-8,0) e F2 (8,0). Calcule o perímetro do triângulo BF1F2.

12) Obtenha a distância focal da hipérbole cuja equação é .1916

22

yx

13) Calcule a excentricidade da hipérbole cuja equação é 36x2 –49y2 = 1.

14) Construa os gráficos das cônicas x2 – y2 = 1 e y2 –x2 = 1. São coincidentes?

15) Determine as coordenadas dos focos da hipérbole cuja equação é

144y2 – 25x2 = 3600.

16) Obtenha os focos da cônica cuja equação é .17

)2(9

)2( 22

yx

17) Determine a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole 9x2 –16y2 = – 144 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada.

18) Ache as coordenadas do foco F e a equação da diretriz da parábola y2 = –16x.

19) Determine o foco e o vértice da parábola (y-5)2 = 12(x–3). 20) Ache a equação da diretriz da parábola representada pela equação y = (x – 2)2.

21) Determine as coordenadas do vértice da parábola cuja equação é

2x2 + 4x + 3y – 4 = 0.

22) Ache a equação da parábola que tem eixo de simetria vertical e passa pelos pontos A(0,0), B(3,3) e C(-6,30).

23) Obtenha a equação da parábola cuja diretriz é (d) x = 0 e cujo foco é F(4,1).

24) Qual é a equação do conjunto dos pontos P(x,y) que são eqüidistantes da reta (d)

y = 3 e do ponto F(0,0)?

25) Ache a distância do ponto P(3,6) à reta determinada pelos pontos de interseção da função f(x) = x2 –x com a sua inversa.

26) Dê a equação da parábola simétrica relativamente ao eixo dos y e que passa

pelos pontos de interseção da reta x + y = 0 com a circunferência x2 + y2 + 8y = 0.

27) Obtenha a equação da mediatriz do segmento cujas extremidades são os vértices

das parábolas y = x2 + 6x + 4 e y = x2 – 6x + 2.

28) Dada a parábola de equação x = y2 + 10y + 27, determine as coordenadas do vértice.

Respostas

01) .19

)3(16

)4( 22

yx

15) F1 (0, -13) e F2 (0,13)

02) .125

)3(9

)6( 22

yx

16) F1 (-2,2) e F2 (6,2)

03) 44 22 yx 17) 6252516 22 yx

04) 2c = 16; 54

e 18) F(-4,0); x = 4

05) 13 22 yx 19) F(6,5); V(3,5) 06) (4,0) e (–4,0)

20) 041y

07) F1 (0, -12) e F2 (0,12) 21) (-1,2) 08) C(2,3), a = 4 e b = 2 22) yxx 332 2 09) F1 (-5,2) e F2 (11,2) 23) )2(8)1( 2 xy

10) .11156

)25(256

22

yx

24) 962 yx

11) 36 25)

223

12) 2c = 10 26) 042 yx

13) 785

e 27) 3x – y – 6 =0

14) não são coincidentes 28) V(2, -5)