ANTIDERIVADA OU PRIMITIVA

Definição. Uma função F é uma antiderivada ou primitiva de f, em um intervalo I, se F (x) = f(x) para

qualquer x em I.

Chama-se antiderivação ou primitivação o processo pelo qual se calcula antideriavada ou primitiva.

Teorema. Se F é uma antiderivada de f, em um intervalo I, então a antiderivada mais geral de f em I é

F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária.

INTEGRAL INDEFINIDA.

Definição. O conjunto de todas as antiderivadas de f é chamado integral indefinida de f, em

Teorema – Regra da Substituição. Se u = g(x) for uma função derivável cuja imagem é um intervalo I

e f for contínua em I, então

O método da substituição para o cálculo da integral é o seguinte:

1. Substitui-se u = g(x) e du = g (x)dx para obter-se

2. Integra-se em relação a u.

3. Substitui-se u por g(x) no resultado.

Fórmulas de antiderivadas, onde k é uma constante diferente de zero.

EQUAÇÃO DIFERENCIAL E PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Determinar uma antiderivada de uma função f(x) é um problema similar a determinar uma função y(x)

que satisfaça a equação

Essa equação é chamada equação diferencial, pois envolve uma função y desconhecida que está sendo

derivada.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem constante da equação. O

tipo de equação diferencial mais simples é a equação de primeira ordem da forma

diferencial com variáveis separáveis que pode ser escrita na forma h(y)dy = g(x)dx.

Resolução – Resolver a equação diferencial dy = f(x)dx é encontrar todas as funções G para as quais

y = G(x) a equação seja satisfeita. Assim, se F for uma antiderivada de f, todas as funções G serão

definidas por G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária. E y = F(x) + C é chamada solução

completa da equação dy = f(x)dx.

A equação y = F(x) + C representa uma família de funções a depender do p arâmetro C.

Para fixar essa constante arbitrária, especifica-se uma condição y( ) = , isto é y =

quando x = denominada condição inicial, o que permite encontrar uma solução particular para a

equação dy = f(x)dx.

A combinação da equação diferencial e a condição inicial é chamada de problema de valor inicial,

expresso por

INTEGRAL DEFINIDA

Teorema(T.V.M. para integrais)

Teorema – Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.

Teorema – Segundo Teorema Fundamental do Cálculo.

ÁREAS

Definição. Se f for uma função não negativa e integrável em um intervalo fechado [a, b], então a área

da região limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b será dada por

Definição. Se f e g forem funções integráveis em um intervalo fechado [a, b] e tais que f(x) g(x)

para todo x em [a, b], então a área de região limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e pelas retas x = a

e x = b será dada por

EXERCÍCIOS

01. Dizer se está certa ou errada cada uma das igualdades seguintes e justificar a resposta.

01.

02.

03.

04.

05. 06.

07.

02. Calcular as integrais indefinidas.

01.

02. 03.

04. 05. 06.

07. 08. 09.

10.

RESPOSTAS

01. 2 02.

03. 2

0

05. 06.

07.

08.

09.

10.

03. Achar a solução completa de cada equação diferencial.

02.

= x³ +

03.

04.

05.

06.

07. xdx + ydy = 0

RESPOSTAS

01. y = 5x -

x² + C 02. y =

03. y =

+ C

04. y² - 4x +

05. y =

06. y =

07. x² + y² = C

04. Achar a solução particular da equação diferencial determinada pelas condições iniciais indicadas.

01.

; y = 2 quando x = 9 03.

; y = 5 quando x = 4

02.

; y = 2 e y´ = 3 quando x = 0 04.

; y = - 2 quando x = 1

RESPOSTAS

01. 5y² - 20x + 4 = 812 03. y =

02. y = x³ +

+ 3x + 2 04. y = x³ +

05. Você está dirigindo numa rodovia a uma velocidade constante de 108 km/h (30 m/s) quando vê um

acidente à frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro em 75

metros?

Para determinar essa aceleração, siga os passos seguintes:

1. Resolva o problema de valor inicial

Equação diferencial:

Condições iniciais:

2. Determinar o valor de t que faz com que

3. Determinar o valor de k que faz com que s = 75 para o valor de t calculado no passo 2.

06. A equação padrão para a posição s de um corpo que se desloca com aceleração a constante ao

longo de um eixo coordenado é

Deduza essa equação, resolvendo o problema de valor inicial,

Equação diferencial:

Condições iniciais:

R: k = 6

07. Um carro é freado com desaceleração constante. O carro para 8 segundos após os freios terem sido

aplicados e percorre 200 metros durante esse tempo.

a) Determinar a aceleração do carro no instante em que os freios são aplicados.

b) Determinar a lei do movimento do carro durante esse intervalo de 8 segundos.

c) Determinar a velocidade do carro no instante em que os freios são aplicados.

R: a)

b) s =

c) 50 m/s

08. “O trabalho W realizado por uma força variável F satisfaz a equação diferencial

dW = Fds, com a condição inicial de que W = 0 quando s = .”

Uma força F agindo sobre uma partícula P é dada por F =

onde s é a coordenada de P.

Qual o trabalho realizado por essa força para mover P de s = 1 para s = 9?

R:

unidades de trabalho.

09. Um balão que sobe a uma taxa de 12 m/s está a uma altura de 80 m acima do solo quando um

objeto é jogado para fora . Quanto tempo o objeto, que foi jogado, leva para atingir o solo?

10. Calcular as integrais definidas.

RESPOSTAS

01. 21 02. 0 03.

04. 3 05.

06.

07.

08.

09. 36 10.

11.Encontrar a área da região limitada pelas curvas abaixo:

a) x2 = - y e y = -4 b) x

2 + y +4 = 0 e y = -8

c) x2 = y e x

4 = y d) x = y

2 – 2 e x = 6 – y

2

e) y2 = 4px e 4py = x

2 f) y = x

2+2 , y = - x , x= 0 e x = 1.

g) y = 1x + x , y = 0, x = -2, x=3 h) y = 1x , y = x2 – 2x , x = 0 e x = 2.

RESPOSTAS

a)

b)

c)

d)

e)

u.q. f)

u.q. g) 15 u.q. h)

12.Determine a área da região S limitada pelas curvas y = x + 6, y = x3 e 2y + x = 0. R.: 22 u.q.

13.Determine o valor de m tal que a região acima da reta y = mx e abaixo da parábola y = 2x –x2 tenha

uma área de 36 unidades quadradas. R: m = -4.

14.Determine a área da região do primeiro quadrante que é limitada acima por y = x e abaixo pelo

eixo do x e pela reta y = x – 2. R.:

u.q.

15.Encontre a área da região acima da parábola 4py = x2 e dentro do triângulo formado pelos eixos e

pelas as retas y = x + 8p e y = - x +8p. R.:

p²

16. Ache a área da região entre a parábola y2 = 4x e a reta y = 2x – 4. R.: 9 u.q.