Faculdade Metropolitana de Rio do Sul - FAMESULCurso: Engenharia Civil / Engenharia de ProduçãoDisciplina: EstatísticaProfessor: Odair Hammes

Correlação e Regressão

Estuda as possíveis relações entre as variáveis de natureza quantitativa.

Correlação: é o instrumento para descobrir e medir essa relação

Regressão: é o instrumento para determinação dos parâmetros dessa função.

Correlação Linear

Diagrama de dispersão

Correlação fraca Correlação forte Correlação perfeita

Coeficiente de correlação linear

Se a correlação entre duas variáveis:

- é perfeita e positiva, então r = 1;

- é perfeita e negativa, então r = -1;

Se não há correlação entre as variáveis, então r = 0;

Para que se possam tirar conclusões significativas sobre o comportamento simultâneo das variáveis

analisadas, é necessário que:

0,6 ≤ | r | ≤ 1

Se, 0,3 ≤ | r | < 0,6, há correlação relativamente fraca entre as variáveis.

Se, 0 < | r | < 0,3, a correlação é muito fraca e, praticamente, nada se pode concluir sobre a relação

entre as variáveis em estudo.

Regressão Linear

Ajustamento da reta

Exemplos e exercícios

01. Uma população é composta por três pontos (x; y). São eles: (1; 2); (2; 2) e (3; 4).

a) Faça um diagrama de dispersão. b) Complete a tabela:

c) Calcule o coeficiente de correlação linear.

d) Determine a reta ajustada a essa correlação.

x y xy x2 y2

1

2

3

2

2

4

02. Uma população é composta por quatro pontos (x; y). São eles: (1; 1) (2; 2) (3; 2) e (4; 3).

a) Faça um diagrama de dispersão. b) Complete a tabela:

c) Calcule o coeficiente de correlação linear.

d) Determine a reta ajustada a essa correlação.

x y xy x2 y2

1

2

3

4

1

2

2

3

03. Considere uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma classe da faculdade A

e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística:

N°

Notas

Matemática Estatística

x y

8 5 6

24 8 9

38 7 8

44 10 10

58 6 5

59 7 7

72 9 8

80 3 4

92 8 6

95 2 2

x y xy x2 y2

5 6 30 25 36

8 9 72 64 81

7 8 56 49 64

10 10 100 100 100

6 5 30 36 25

7 7 49 49 49

9 8 72 81 64

3 4 12 9 16

8 6 48 64 36

2 2 4 4 4

∑=65 ∑=65 ∑=473 ∑=481 ∑=475

a) Faça um diagrama de dispersão.

c) Calcule o coeficiente de correlação linear.

d) Determine a reta ajustada a essa correlação.

04. A tabela a seguir apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra de aço varia

conforme a temperatura:

Temperatura (°C) 10 15 20 25 30

Comprimento (mm) 1 003 1 005 1 010 1 011 1 014Determine:

a) o coeficiente de correlação;

b) a reta ajustada a essa correlação;

c) o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18°C;

d) o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35°C;

05. Uma bola de tênis é solta de várias alturas, e a altura da bola na primeira rebatida é medida. Use

os dados da tabela para achar a reta de mínimos quadrados para a altura das rebatidas y em função

da altura inicial x.

x (cm) 20 40 48 60 80 100

y (cm) 14,5 31 36 45,5 59 73,5

06. A Lei de Hooke diz que o comprimento de uma mola é uma função linear de força F aplicada

sobre uma mola. Assim, existem constantes a e b tais que:

L= a + bF

A tabela mostra o resultado de pendurarmos vários pesos na corda.

F(onça) 2 4 6 8

L(pol.) 7,4 9,6 11,5 13,6

a) Determine as constantes a e b achando a reta de mínimos quadrados para esses dados.

b) Estime o comprimento da mola, considerando m peso de 5 onças pendurado nela.

07. Os comprimentos medidos de uma barra metálica (y) em oito temperaturas diferentes (x) resultaram na tabela abaixo:

x (ºC) 25,00 50,00 75,00 100,0 125,0 150,0 175,0 200,0

y (mm) 100,07 100,12 100,16 100,21 100,26 100,30 100,35 100,40

Determine:

a) o coeficiente de correlação;

b) a reta ajustada a essa correlação;

Regressão não linear

Regressão quadrática

y = a + bx + cx2

01. Encontre a parábola que tem a melhor aproximação por mínimos quadrados para os pontos:

(-1; 1) (0; -1) (1; 0) e (2; 2).

02. Quando um objeto é arremessado para cima, a Segunda Lei de Newton afirma que sua altura s(t)

no tempo t é dada por:

s(t) = s0 + v0t + ½gt2

onde v0 é a velocidade inicial e g é a constante de aceleração da gravidade. Considere as medidas

mostradas na tabela.

Tempo (s) 0,5 1 1,5 2 3Altura (m) 11 17 21 23 18

a) Encontre a aproximação quadrática por mínimos quadrados para esses dados.

b) Estime a altura na qual o objeto foi solto (em m), sua velocidade inicial (em m/s) e sua aceleração

da gravidade (em m/s2).

Regressão exponencial

y = a.ebx

01. Uma amostra de 200 mg de polônio-210 radioativa é observada conforme ela decresce. A tabela

mostra a massa restante em vários tempos.

Tempo (dias) 0 30 60 90Massa (mg) 200 172 148 128

Assumindo um modelo exponencial decrescente, utilize mínimos quadrados para encontrar a meia-

vida do polônio-210.

02. A tabela apresenta a população do mundo em intervalos de dez anos, referentes à segunda

metade do século XX. Supondo um modelo de crescimento exponencial, encontre a taxa de

crescimento relativo e preveja a população do mundo em 2010.

Ano 1950 1960 1970 1980 1990 2000População

(em bilhões) 2,56 3,04 3,71 4,46 5,28 6,08

Regressão quadrática

y = a + bx + cx2

01. Encontre a parábola que tem a melhor aproximação por mínimos quadrados para os pontos:

(-1; 1) (0; -1) (1; 0) e (2; 2).

02. Quando um objeto é arremessado para cima, a Segunda Lei de Newton afirma que sua altura s(t)

no tempo t é dada por:

s(t) = s0 + v0t + ½gt2

onde v0 é a velocidade inicial e g é a constante de aceleração da gravidade. Considere as medidas

mostradas na tabela.

Tempo (s) 0,5 1 1,5 2 3Altura (m) 11 17 21 23 18

a) Encontre a aproximação quadrática por mínimos quadrados para esses dados.

b) Estime a altura na qual o objeto foi solto (em m), sua velocidade inicial (em m/s) e sua aceleração

da gravidade (em m/s2).

Regressão exponencial

y = a.ebx

01. Uma amostra de 200 mg de polônio-210 radioativa é observada conforme ela decresce. A tabela

mostra a massa restante em vários tempos.

Tempo (dias) 0 30 60 90Massa (mg) 200 172 148 128

Assumindo um modelo exponencial decrescente, utilize mínimos quadrados para encontrar a meia-

vida do polônio-210.

02. A tabela apresenta a população do mundo em intervalos de dez anos, referentes à segunda

metade do século XX. Supondo um modelo de crescimento exponencial, encontre a taxa de

crescimento relativo e preveja a população do mundo em 2010.

Ano 1950 1960 1970 1980 1990 2000População

(em bilhões) 2,56 3,04 3,71 4,46 5,28 6,08