regressao multipla 2013 (1)
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Análise da Regressão Multipla
y = 0 + 1x1 + 2x2 + . . . kxk + u
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Introdução ao Modelo de Regressão Múltipla
y = 0 + 1x1i + 2x2i + . . . kxki + ui
i=1,2,…,k
Generalizando a função de regressão da população (FRP) de duas variáveis estudada em aulas anteriores, podemos escrever a FRP de mais de duas variáveis como
Onde as (k-1) = variáveis independentes ou explicativas são X2, X3, ..., Xk, Y = é a variável dependente ou explicada eu = é uma perturbação aleatória que segue as hipóteses clássicas.β1, β2, ..., βk = Os coeficientes de regressão, desconhecidos, e são chamados de coeficientes de regressão parcial.i = é o índice de observações e n é a dimensão da amostra.
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Modelo de Regressão Múltipla Hipoteses do Modelo
Continuamos a operar dentro do arcabouço do MCRL discutido no contexto da regressão simples, nomeadamente:
1. Modelo de regressao linear2. Os valores de X (veraavis explicativas) sao não estocásticas;3. E(ui|Xi) = 04. E(Ui
2|Xi) = σ2
5. ui ~ N(o;σ2)6. E(ui,uj)=0, para todo i≠j7. E(uiXi)=08. Não multicolinearidade perfeita9. O modelo de regressao está correctamente especificado.10. O número de observações é maior que o número de variáveis
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Modelo de Regressão Múltipla O Metodo dos Minimos Quadrados
O método dos mínimos quadrados (MQ) determina estimadores para os coeficientes de regressão através da minimização da soma dos quadrados dos resíduos. Os erros ou resíduos de estimação (ui) são definidos como a diferença entre os valores observados para a avriável explicativa e os valores estimados para essa mesma variável, ou seja
)...(^
33
^
22
^
1
^^
kikiiii XXXYYYu
onde é o valor estimado para a variável Y e são as estimativas dos parâmetros desconhecidos
k^
2
^
1
^
;...;;
k ;...;; 21
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Modelo de Regressão Múltipla O Metodo dos Minimos Quadrados
Por conseguinte, a regra dos mínimos quadrados para a estimação do vector β requer 2
min iu
ikikii YXXXn ^
33
^
22
^
1
^
...
iikiikiiii YYXXXXXX 22
^
323
^222
^
21
^
...
iikiikiiii YYXXXXXX 33
^233
^
232
^
31
^
... .................................................................................
ikikikikiikiki YYXXXXXX 2^
33
^
22
^
1
^
...
A aplicação deste método conduz ao seguinte sistema de equações
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Teste de Hipóteses no Contexto da Regressão Múltipla
No contexto da regressão múltipla, para além dos testes de significância sobre um coeficiente de regressão individual, podemos, entre outros, testar a significância global do modelo de regressão múltipla;
O objectivo é verificar se todos os coeficientes de inclinação são simultaneamente iguais a zero;
Caso seja estabelecido que este impacto é de facto estatisticamente significante, podemos concluir que Yi tem uma relação linear com todas as variáveis explicativas incluídas no modelo.
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Teste de Hipóteses no Contexto da Regressão Múltipla
Por exemplo, podemos querer testar a seguinte hipótese:
0...: 30 k2H
Esta hipótese nula é uma hipótese conjunta de que todos os (i= 1,2,..k) são simultaneamente iguais a zero.
A hipótese alternativa é de que pelo menos um coeficiente é diferente de zero.
Um teste de significância assim é chamado de teste de significância global da recta de regressão estimada
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Teste sobre a significância global do modelo de regressão múltipla,
Para testar a hipótese nula de que os j são simultaneamente iguais a zero, existem duas abordagens:
A abordagem da Analise de Variância (ANOVA) para testar a
significância global de uma regresso Multipla: o teste F Testando a significância global da regressão Múltipla em
termos de R2: o Teste F
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Teste sobre a significância global do modelo de regressão múltipla,
A abordagem da Analise de Variancia (ANOVA): O teste F
No contexto da Analise de Regressão, a variação total
(SQT) pode ser decomposta em:
Variação explicada (SQR): explicada pela linha de regressão;
Variação não-explicada ou variação residual (SQE): atribuída ao termo aleatório e representada pela dispersão das observações à volta da linha de regressão.
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Teste sobre a significância global do modelo de regressão múltipla,
O procedimento de ANOVA, requer a construção da seguinte Tabela:
Tabela de ANOVA
Fonte de Variacao SQ Gl SQM
Devida a Regressao SQR k-1 SQR/gl
Devida aos Residuos SQE n-k SQE/gl
Total SQT n-1
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Teste sobre a significância global do modelo de regressão múltipla,
Pode-se demonstrar que, sob a hipótese de distribuição normal para ui e a hipótese nula de
que , a variável
);1(~/
/knkF
glSQE
glSQRF
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Teste sobre a significância global do modelo de regressão múltipla – Abordagem ANOVA
Exemplo
regress LnY LnX2 LnX3 LnX4 X5 Source | SS df MS Number of obs = 16 -------------+------------------------------ F( 4, 11) = 10.92 Model | 1.12835383 4 .282088457 Prob > F = 0.0008 Residual | .284245018 11 .025840456 R-squared = 0.7988 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.7256 Total | 1.41259884 15 .094173256 Root MSE = .16075 ------------------------------------------------------------------------------ LnY | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- LnX2 | -1.170727 .4883241 -2.40 0.035 -2.245521 -.0959329 LnX3 | .7379375 .6528623 1.13 0.282 -.6990027 2.174878 LnX4 | 1.153217 .9019901 1.28 0.227 -.8320496 3.138484 X5 | -.0301109 .0164188 -1.83 0.094 -.0662484 .0060266 _cons | 3.572134 4.695165 0.76 0.463 -6.761856 13.90612
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Teste sobre a significância global do modelo de regressão múltipla – Abordagem R2
O teste F como medida de significância global da estimada linha de regressão, é também um teste de significância do R2 – ou seja, se R2 é estatisticamente diferente de zero.
Em outras palavras, testar
Equivale a testar
0...: 30 k2H
0: 20 RH
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Teste sobre a significância global do modelo de regressão múltipla – Abordagem R2
Dado o modelo de regressão de k variáveis:
para testar a hipótese:
uXXXY ikikiii ...33221
0...:0: 320
20 kHRH
:1H Nem todos os coeficientes de inclinação são simultaneamente iguais a zero
Calcule:
)/()1(
)1/(2
2
knR
kRF
Se rejeita a hipótese nula, caso contrario, não rejeita
);1( knkFF
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TRABALHO PRATICO
Considere os dados do Ficheiro Dados56.xlsx.
Faca a transformacao logaritmica de todas as variaveis e com a ajuda do Excel, estime o seguinte modelo de regressao.
a) Resumidamente, faça um diagnóstico económico ao modelo. O diagnóstico deve incluir, uma avaliação dos sinais e magnitudes dos coeficientes em termos de sua consistência com a teoria económica;
tiiii uXLnXLnXLnXLnY 554433221
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TRABALHO PRATICO
b) Faça um diagnóstico estatístico ao modelo. Essencialmente avalie a confiabilidade das estimativas em termos do graus de ajuste dos dados à linha de regressão e a significância individual dos coeficientes parciais usando a abordagem do teste de significância ou pela abordagem do intervalo de confiança conforme o nível de confiança especificado no quadro.
c) Teste a hipótese nula de que a elasticidade-cruzada do preço de cravos é unitária.