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1Análise Vetorial

1. Dados os vetores−→M = −10~ax + 4~ay − 8~az e

−→N = 8~ax + 7~ay − 2~az, encontre:

a) um vetor unitário na direção de −−→M + 2−→N ;

b) a intensidade de 5~ax +−→N − 3

−→M;

c) |−→M||−→N |(−→M +−→N ).

2. Os três vértices de um triângulo estão localizados em A(−1, 2, 5), B(−4,−2,−3) e C(1, 3,−2).

a) Encontre o valor do perímetro do triângulo.

b) Encontre um vetor unitário direcionado do ponto médio do lado AB até o ponto médio do lado

BC.

c) Mostre que esse vetor unitário multiplicado por um escalar é igual ao vetor de A para C, e que o

vetor unitário é, portanto, paralelo a AC.

3. O vetor direcionado da origem até o ponto A é dado como (6,−2,−4), e o vetor unitário posicionado

na origem com direção ao ponto B é13(2,−2, 1). Se os pontos A e B estão afastados de 10 unidades,

encontre as coordenadas do ponto B.

4. Um círculo centrado na origem e com raio de 2 unidades pertence ao plano xy. Determine o vetor

unitário em componentes cartesianas que pertence ao plano xy, é tangente ao círculo em (√

3, 1, 0) e

está na direção e no sentido dos valores crescente de y.

5. Um campo vetorial é especificado como−→G = 24xy~ax + 12(x2 + 2)~ay + 18z2~az. Dados dois pontos

P(1, 2,−1) e Q(−2, 1, 3), encontre:

1

2 Capítulo 1. Análise Vetorial

a)−→G em P;

b) um vetor unitário, em Q, direcionado no sentido de−→G ;

c) um vetor unitário direcionado no sentido de Q para P;

d) a equação da superfície na qual |−→G | = 60.

6. Se ~a é um vetor unitário em uma dada direção, B é uma constante escalar e ~r = x~ax + y~ay + z~az,

descreva a superfície ~r · ~a = B. Qual é a relação entre o vetor unitário ~a e o escalar B para essa

superfície? (DICA: considere primeiro um exemplo simples com ~a = ~ax e B = 1 e, então, considere

quaisquer ~a e B).

7. Dado o campo vetorial−→E = 4zy2 cos 2x~ax + 2zy sen 2x~ay + y2 sen 2x~az para a região |x|, |y| e |z|

menores que 2, encontre: a) as superfícies nas quais Ey = 0; b) a região na qual Ey = Ez; c) a região na

qual−→E = 0.

8. Demonstre a ambiguidade que surge quando o produto vetorial é utilizado para se calcular o ângulo

enre dois vetores, tentando encontrar o ângulo entre−→A = 3~ax − 2~ay + 4~az e

−→B = 2~ax + ~ay − 2~az.

Essa ambiguidade também surge quando o produto escalar é utilizado?

9. Dado um campo−→G =

25x2 + y2 (x~ax + y~ay), encontre:

a) um vetor unitário na direção de−→G no ponto P(3, 4,−2);

b) o ângulo entre−→G e ~ax em P;

c) o valor da seguinte integral dupla no plano y = 7:∫ 4

x=0

∫ 2

z=0

−→G · ~ay dxdz

10. Expressando diagonais como vetores e utilizando a definição de produto escalar, encontre o menor

ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo, no qual cada diagonal conecta vértices diametral-

mente opostos e passa pelo centro do cubo.

11. Dados os pontos M(0, 1;−0, 2;−0, 1), N(−0, 2; 0, 1; 0, 3) e P(0, 4; 0; 0, 1), encontre:

a) o vetor−→RMN ;

b) o produto escalar−→RMN ·−→RMP.

c) a projeção escalar de−→RMN em

−→RMP;

d) o ângulo entre−→RMN e

−→RMP.

12. Mostre que os campos vetoriais−→A = ρ cos φ~aρ + ρ sen φ~aφ + ρ~az e

−→B = ρ cos φ~aρ + ρ sen φ~aφ − ρ~az

são perpendiculares entre si em qualquer ponto do espaço.

13. a) Encontre a componente vetorial de−→F = 10~ax − 6~ay + 5~az que é paralela a

−→G = 0, 1~ax + 0, 2~ay +

0, 3~az. b) Encontre a componente vetorial de−→F que é perpendicular a

−→G . c) Encontre a componente

vetorial de−→G que é perpendicular a

−→F .

3

14. Mostre que os campos vetoriais−→A =

sen 2θ

r2 ~ar +2 sen θ

r2 ~aθ e−→B = r cos θ~ar + r~aθ são paralelos um em

relação ao outro em todos os pontos do espaço.

15. Três vetores que partem da origem são dados como ~r1 = (7, 3,−2), ~r2 = (−2, 7,−3) e ~r3 = (0, 2, 3).

Encontre:

a) o vetor unitário que é perpendicular a ambos os vetores ~r1 e ~r2;

b) o vetor unitário perpendicular aos vetores ~r1 − ~r2 e ~r2 − ~r3;

c) a área do triângulo definido por ~r1 e ~r2;

d) a área do triângulo definido pelas pontas dos vetores ~r1, ~r2 e ~r3.

16. O campo vetorial−→E =

Bρ~aρ, onde B é constante, deve ser transladado de foram que se origine na reta

x = 2, y = 0. Escreva a forma transladada de−→E em componentes cartesianas.

17. O ponto A(−4, 2, 5) e os dois vetores−→RAM = (20, 18,−10) e

−→RAN = (−10, 8, 15) definem um triângulo.

a) Encontre um vetor unitário perpendicular ao triângulo.

b) Encontre um vetor unitário no plano do triângulo e perpendicular a−→RAN .

c) Encontre um vetor unitário no plano do triângulo que divide o ângulo interior de A em duas

partes iguais.

18. Transforme o campo vetorial−→H =

Aρ~aφ, onde A é uma constante, de coordenadas cilíndricas para

coordenadas esféricas.

19. a) Expresse o campo−→D =

x~ax + y~ay

x2 + y2 em componentes e variáveis cilíndricas; b) Calcule−→D no ponto

onde ρ = 2, φ = 0, 2π e z = 5, expressando o resultado em componentes cilíndricas e cartesianas.

20. Um cilindro de raio a, centrado no eixo z, gira em torno do eixo z numa velocidade angular Ω rad/s.

A direção de rotação é anti-horária quando se olha na direção positiva de z.

a) Utilizando componentes cilíndricas, escreva uma expressão para o campo de velocidade ~v, que

fornece a velocidade tangencial em qualquer ponto do cilindro;

b) converta o resultado encontrando na parte a) em componentes esféricas;

c) converta em componentes cartesianas.

21. Expresse em componentes cilíndricas:

a) o vetor de C(3, 2,−7) a D(−1,−4, 2);

b) um vetor unitário em D direcionado no sentido de C;

c) um vetor unitário em D direcionado no sentido da origem.

22. Uma esfera de raio a, centrada na origem, gira em torno do eixo z numa velocidade angular Ω rad/s.

A direção de rotação é horário quando se olha na direção positiva do eixo z.

4 Capítulo 1. Análise Vetorial

a) Utilizando componentes esféricas, escreva uma expressão para o campo de velocidade ~v, que

fornece a velocidade tangencial em qualquer ponto dentro da esfera;

b) converta em componentes cartesianas.

23. As superfícies ρ = 3, ρ = 5, φ = 100, φ = 130, z = 3 e z = 4, 5 definem uma superfície fechada.

a) Calcule o volume dentro dessa superfície fechada;

b) calcule a área total da superfície fechada;

c) calcule o comprimento total das 12 arestas da superfície;

d) calcule o comprimento da linha reta mais longa que se encontra totalmente dentro do volume.

24. Expresse o campo−→E =

Ar2 ~ar em a) componentes cartesianas; b) componentes cilíndricas.

25. Dado o ponto P(r = 0, 8; θ = 30; φ = 45) e−→E =

1r2

(cos φ~ar +

sen φ

sen θ~aφ

); a) encontre

−→E em P; b)

encontre |−→E | em P; c) encontre um vetor unitário na direção de−→E em P.

26. Expresse o campo vetorial uniforme−→F = 5~ax em a) componentes cilíndricas; b) componentes esféricas.

27. As superfícies r = 2 e 4, θ = 30 e 60 identificam uma superfície fechada.

a) Calcule o volume dentro dessa superfície fechada;

b) calcule a área total da superfície fechada;

c) calcule o comprimento da linha reta mais longa que se encontra totalmente dentro da superfície

fechada.

28. Expresse o campo vetorial−→G = 8 sen φ~aφ em: a) componentes cartesianas; b) componentes cilíndricas.

29. Expresse o vetor unitário ~ax em componentes esféricas no ponto: a) r = 2, θ = 1 rad, φ = 0, 8 rad; b)

x = 3, y = 2, z = −1; c) ρ = 2, 5, φ = 0, 7 rad, z = 1, 5.

30. No ponto B(5, 120, 75) um campo vetorial tem o valor−→A = −12~ar − 5~aθ + 15~aφ. Calcule a compo-

nente vetorial de−→A que é: a) normal à superfície r = 5; b) tangente à superfície r = 5; c) tangente ao

cone θ = 120. d) Calcule um vetor unitário que seja perpendicular a−→A e tangente ao cone θ = 120.

2Lei de Coulomb e Intensidade de

Campo Elétrico

1. Quatro cargas positivas de 10 nC estão posicionadas na plano z = 0, nos vértices de um quadrado de

8 cm de lado. Uma quinta carga positiva de 10 nC está posicionada em um ponto a 8 cm de distâncias

das outras cargas. Calcule a intensidade da força total sobre essa quinta carga para ε = ε0.

2. Duas cargas pontuais de Q1 coulombs cada estão posicionadas em (0, 0, 1) e (0, 0,−1). Determine o

lugar geométrico das posições possíveis de uma terceira carga Q2, onde Q2 pode ser qualquer valor

positivo ou negativo, de forma que o campo total−→E = 0 em (0, 1, 0). Qual seria o lugar geométrico se

ad duas cargas originais fossem Q1 e −Q1.

3. Cargas pontuais de 50 nC cada estão posicionadas em A(1, 0, 0), B(−1, 0, 0), C(0, 1, 0) e D(0,−1, 0), no

espaço livre. Encontre a força total na carga em A.

4. Oito cargas pontuais idênticas de Q C cada estão posicionadas nos vértices de um cubo com lado de

comprimento a, com uma carga na origem e com as três cargas mais próximas em (a, 0, 0), (0, a, 0) e

(0, 0, a). Encontre uma expressão para o vetor da força em P(a, a, a), assumindo espaço livre.

5. Seja uma carga pontual Q1 = 25 nC posicionada em P1(4,−2, 7) e uma carga Q2 = 60 nC posicionada

em P2(−3, 4,−2).

a) Se ε = ε0, encontre−→E em P3(1, 2, 3).

b) Em qual ponto no eixo y tem-se Ex = 0?

6. Três cargas pontuais, 5× 10−9 C cada, estão posicionadas no eixo x em x = −1, 0 e 1, no espaço livre.

5

6 Capítulo 2. Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico

a) Encontre−→E em x = 5.

b) Determine o valor e a localização da carga pontual única equivalente que produziria o mesmo

campo em distância muito grandes.

c) Determine−→E em x = 5 usando a aproximação de b).

7. Uma carga pontual de 2 µC está posicionada em A(, 4, 3, 5) no espaço livre. Encontre Eρ, Eφ e Ez em

P(8, 12, 2).

8. Um dispositivo rudimentar para medir cargas consiste em duas pequenas esferas isolantes de raio a,

uma das quais mantém uma posição fixa. A outra pode se mover ao longo do eixo x e está sujeita a

uma força restritiva kx, onde k é uma constante de elasticidade de uma mola. As esferas descarregas

estão centradas em x = 0 e x = d, sendo a último fixa. Se às esferas são dadas cargas iguais e de sinais

opostos de Q coulombs, obtenha a expressão pela qual Q possa ser encontrada como uma função de x.

Determine a carga máxima que pode ser medida em termos de ε0, k e d, e determine a separação entre

as esferas. O que acontece se uma carga maior for aplicada?

9. Uma carga pontual de 100 nC está posicionada em A(−1, 1, 3), no espaço livre.

a) Encontre o lugar geométrico de todos os pontos P(x, y, z) em que Ex = 500 V/m.

b) Calcule y1 se P(−2, y1, 3) fizer parte desse lugar geométrico.

10. Uma carga de teste positiva é utilizada para mapear o campo de uma carga pontual única Q em

P(a, b, c). Se a carga de teste é colocada na origem, a força nesta tem a direção de12(~ax −

√3~ay), e

quando a carga de teste é movida para (1, 0, 0), a força é na direção de 0, 6~ax − 0, 8~ay. Encontre a, b e c.

11. Uma carga Q0 posicionada na origem produz um campo para o qual Ez = 1KV/m, no espaço livre, no

ponto P(−2, 1,−1). Calcule:

a) Q0.

b)−→E em M(1, 6, 5) em coordenadas cartesianas.

c)−→E em M(1, 6, 5) em coordenadas cilíndricas.

d)−→E em M(1, 6, 5) em coordenadas esféricas.

12. Elétrons encontram-se em um movimento aleatório numa certa região do espaço. Durante qualquer

intervalo de 1 µs, a probabilidade de encontrar um elétron em uma sub-região de volume 10−15 m2

é 0,27. Qual densidade volumétrica de carga, apropriada para tais durações de tempo, deve estar

associada e qual é essa região?

13. Uma densidade volumétrica de carga uniforme de 0, 2 µC/m3 está presente em uma casca esférica que

se estende de r = 3 cm a r = 5 cm. Se ρv = 0 em qualquer outra região, calcule:

a) a carga total presente na casca.

7

b) r1 se metade da carga total estiver localizada na região 3 cm < r < r1.

14. A densidade carga varia com o raio em um sistema de coordenadas cilíndricas segundo ρv =ρ0

(ρ2 + a2)2 C/m3.

Dentro de que distância, a partir do eixo z, encontra-se metade da carga total?

15. Um volume esférico cujo raio é de 2 µm contém uma densidade volumétrica uniforme de carga de

1015 C/m3.

a) Qual é a carga total interna ao volume esférico?

b) Assuma agora que uma grande região contenha uma dessas pequenas esferas em cada vértice

de uma estrutura cúbica de 3 mm de lado, e que não existam cargas entre as esferas. Qual é a

densidade volumétrica de carga média nessa grande região?

16. Dentre de uma região no espaço livre, uma densidade de carga é dada como ρv =ρ0ra

C/m3, onde ρ0

e a são constantes. Calcule a carga total presente dentro de

a) a esfera r 6 a;

b) o cone r 6 a, 0 6 θ 6 0, 1π.

c) a região r 6 a, 0 6 θ 6 0, 1π, 0 6 φ 6 0, 2π.

17. Uma linha de cargas uniforme de 16 nC/m está posicionada ao longo da reta definida por y = −2,

z = 5. Se ε = ε0:

a) calcule−→E em P(1, 2, 3);

b) calcule−→E no ponto do plano z = 0 no qual a direção e o sentido de

−→E é dado por

13(~ay − 2~az).

18. Uma linha de cargas uniforme e infinita ρL = 2 nC/m posiciona-se ao longo do eixo x, no espaço livre,

enquanto cargas pontuais de 8 nC estão posicionadas em (0, 0, 1) e (0, 0,−1).

a) Calcule−→E em (2, 3,−4).

b) Para qual valor de ρL deve ser mudado para fazer que−→E seja zero em (0, 0, 3)?

19. Uma linha de cargas uniforme de 2 µC/m posiciona-se no eixo z. Calcule−→E em coordenadas cartesia-

nas em P(1, 2, 3) se a carga existir em:

a) −∞ < z < ∞;

b) −4 6 z 6 4.

20. A porção do eixo z na qual |z| < 2 possui uma densidade de cargas não uniforme de 10|z| nC/m,

enquanto ρL = 0 nos outros pontos. Determine−→E no espaço livre em:

a) (0, 0, 4);

b) (0, 4, 0).

8 Capítulo 2. Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico

21. Duas linhas de cargas uniformes idênticas, com ρL = 75 nC/m, localizam-se em x = 0, y = ±0, 4 m, no

espaço livre. Qual força por unidade comprimento cada linha de cargas exerce na outra?

22. Duas lâminas de cargas uniformes idênticas com ρS = 100 nC/m2 localizam-se em z = ±2, 0 cm, no

espaço livre. Qual força por unidade de área cada lâmina exerce na outra?

23. Dada a densidade superficial de cargas ρS = 2 µC/m2 existente na região ρ < 0, 2 m, z = 0, sendo zero

fora dessa região, calcule−→E em:

a) PA(ρ = 0; z = 0, 5);

b) PB(ρ = 0; z = −0, 5).

24. Para o disco carregado do problema 23, mostre que:

a) o campo ao longo do eixo z se reduz àquele de uma lâmina de cargas infinita para pequenos

valores de z;

b) o campo no eixo z se reduz àquele de uma carga pontual para grandes valores de z.

25. Calcule−→E na origem se as seguintes distribuições de cargas estiverem presentes no espaço livre: carga

pontual, 12 nC, em P(2, 0, 6); densidade linear de cargas uniforme, 3 nC/m, em x = −2, y = 3;

densidade superficial de carga uniforme 0,2 nC/m2 em x = 2.

26. Um dipolo elétrico consiste em duas cargas pontuais de valores absolutos iguais, mais sinais opostos

±Q, separadas por uma distância d. Com as cargas ao longo do eixo z, nas posições z = ±d2

(com

a carga positiva na região positiva do eixo z), o campo elétrico em coordenadas esféricas é dado por−→E (r, θ) =

Qd4πε0r3 (2 cos θ~ar + sen θ~aθ), onde r d. Utilizando coordenadas cartesianas, determine

expressões para o vetor de força em uma carga pontual de valor q:

a) em (0, 0, z);

b) em (0, y, 0).

27. Dado o campo elétrico−→E = (4x− 2y)~ax − (2x + 4y)~ay, calcule:

a) a equação da linha de força que passa pelo ponto P(2, 3,−4);

b) um vetor unitário que especifique a direção e o sentido de−→E em (3,−2, 5).

28. Tem-se o campo−→E = 2xz2~ax + 2z(x2 + 1)~az. Encontre a equação da linha de força que passa pelo

ponto (1, 3,−1).

29. Se−→E = 20e−5y(cos 5x~ax − sen 5x~ay), calcule:

a) |−→E | em P(

π

6,

110

, 2)

;

b) um vetor unitário na direção de−→E em P;

c) a equação da reta que passa por P e possui a mesma direção de−→E .

9

30. Para campos que variam com z em coordenadas cilíndricas, as equações da linhas de força são obtidas

resolvendo-se a equação diferencialEρ

Eφ=

dρ

ρdφ. Encontre a equação da linha que passa pelo ponto

(2, 30, 0) para o campo−→E = ρ cos 2φ~aρ − ρ sin 2φ~aφ.

3Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss

e Divergência

1. Uma lata de tinta vazia é colocada em uma mesa de mármore, a tampa é removida e ambas as partes

são descarregadas, conectando-as à terra. Um fio isolante de náilon é colado no centro da tampa e três

moedas, de 1 centavo, 5 centavos e 10 centavos, são coladas no fio, de modo que não se toquem. À

moeda de um centavo é dada uma carga de +5 nC, e as outras moedas permanecem descarregadas.

Essa montagem é colocada dentro da lata de modo que as moedas fiquem penduradas sem encostrar

nas paredes e a tampa esteja bem presa. A parte de fora da lata é momentaneamente conectada à terra,

de novo. A montagem é cuidadosamente desfeita com luvas e ferramentas isolantes.

a) Que cargas são encontradas em cada uma das cinco partes metálicas?

b) Se à moeda de 1 centavo fosse dada uma carga de +5 nC, à moeda de 10 centavos uma carga de

−2 nC e à moeda de 5 centavos uma carga de −1 nC, qual seria a carga final do arranjo?

2. Uma carga pontual de 20 nC está posicionada em (4,−1, 3) e uma linha de cargas uniforme de −25

nC/m situa-se ao longo da interseção dos planos x = −4 e z = 6.

a) Calcule−→D em (3,−1, 0).

b) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície de uma esfera de raio 5 centrada na origem?

c) Repita a parte b) se o raio da esfera for 10.

3. A superfície cilíndrica ρ = 8 cm contém a densidade superficial de cargas ρS = 5e−20|z| nC/m2.

a) Qual é o valor da carga total presente?

11

12 Capítulo 3. Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência

b) Qual é o fluxo elétrico que deixa a superfície ρ = 8 cm, 1 cm < z < 5 cm, 30 < φ < 90?

4. Em coordenadas cilíndricas, seja−→D =

ρ~aρ + z~az

4π(ρ2 + z2)1,5 . Determine o fluxo total deixando:

a) a superfície cilíndrica infinitamente longa ρ = 7;

b) o cilindro finito ρ = 7, |z| 6 10.

5. Seja−→D = 4xy~ax + 2(x2 + z2)~ay + 4yz~az C/m2, calcule as integrais de superfície para encontrar a carga

total dentro do paralelepípedo retângulo 0 < x < 2, 0 < y < 3, 0 < z < 5 m.

6. No espaço livre, uma carga volumétrica de densidade constante ρv = ρ0 existe na região −∞ < x < ∞,

−∞ < y < ∞ e −d2< z <

d2

. Encontre−→D e−→E em todos os pontos.

7. Uma densidade volumétrica de cargas está posicionada no espaço livre segundo ρv = 2e−1000r nC/m3

para 0 < r < 1 mm, e ρv = 0 nos outros lugares.

a) encontre a carga total dentro da superfície esférica r = 1 mm.

b) Usando a lei de Gauss, calcule o valor de Dr na superfície r = 1 mm.

8. Use a lei de Gauss na forma integral para mostrar que um campo que varia com o inverso da distância

em coordenadas esféricas,−→D =

Ar~ar, onde A é uma constante, necessita de todas as cascas esféricas de

1 m de espessura para conter 4πA coulombs de carga. Isso indica uma distribuição contínua de cargas?

Se sim, encontre a variação da densidade de cargas com r.

9. Uma densidade volumétrica uniforme de cargas de 80 µC/m3 está presente na região 8 < r < 10 mm.

Seja ρv = 0 para 0 < r < 8 mm.

a) Encontre a carga total dentro da superfície esférica r = 10 mm.

b) Encontre Dr em r = 10 mm.

c) Se não existe carga em r > 10 mm, encontre Dr em r = 20 mm.

10. Uma densidade volumétrica de cargas varia em coordenadas esféricas segundo ρv =ρ0 sen(πr)

r2 , onde

ρ0 é uma constante. Encontre as superfícies nas quais−→D = 0.

11. Em coordenadas cilíndricas, seja ρv = 0 para ρ < 1 mm, ρv = 2 sen(2000πρ) nC/m3 para 1 < ρ <

1, 5 mm. Calcule−→D em todos os lugares.

12. O sol irradia uma potência total de aproximadamente 2× 1026 watts (W). Se imaginarmos a superfície

do sol demarcada pela latitude e longitude, assumindo uma irradiação uniforme,

a) que potência é irradiada pela região que se localiza entre a latitude 50 N e 60 N e longitude 12

W e 27 W?

b) Qual é a densidade de potência em uma superfície esférica a 149.668.992 km (93.000.000 milhas)

do sol, em W/m2?

13

13. Superfícies esféricas em r = 2, 4 m e 6 m carregam densidades superficiais uniformes de cargas de

20 nC/m2, −4 nC/m2 e ρS0, respectivamente.

a) Encontre−→D em r = 1 m, 3 m e 5 m.

b) Determine ρS0 tal que−→D = 0 em r = 7m.

14. Uma fonte de luz dentro de uma esfera translúcida de 20 cm de diâmetro gera uma densidade de fluxo

luminoso na superfície esférica de 100 cos2(

θ

2

)~ar lumens/m2.

a) Em que direção o fluxo luminoso é máximo?

b) Determine o ângulo θ = θ0 no qual a densidade de fluxo é metade do valor máximo.

c) Determine o ângulo θ = θ1 no qual metade do fluxo luminoso total é emitida dentro do cone

θ < θ1.

15. Uma densidade volumétrica de carga está posicionada da seguinte maneira: ρ0 = 0 para ρ < 1 mm e

para ρ > 2 mm, ρv = 4ρ µC/m3 para 1 < ρ < 2 mm.

a) Calcule a carga total na região 0 < ρ < ρ1, 0 < z < L, onde 1 < ρ1 < 2 mm.

b) use a lei de Gauss para determinar Dρ em ρ = 0, 8 mm, 1,6 mm e 2,4 mm.

16. Em coordenadas esféricas, uma densidade volumétrica de cargas ρv = 10e−2r C/m3 está presente.

a) Calcule−→D .

b) Verifique seu resultado da parte a) calculando−→∇ ·−→D .

17. Um cubo é definido por 1 < x, y, z < 1, 2. Se−→D = 2x2y~ax + 3x2y2~ay C/m2,

a) aplique a lei de Gauss para calcular o fluxo total que deixa a superfície fechada do cubo.

b) Calcule−→∇ ·−→D no centro do cubo.

c) Estime a carga total dentro do cubo, usando a Equação.

18. Determine se a divergência dos seguintes campos vetoriais é positiva, negativa ou zero:

a) o fluxo de energia térmica emJ

m2 − sem qualquer ponto em um cubo de gelo em processo de

resfriamento;

b) a densidade de corrente em A/m2 em um barramento que conduz corrente contínua;

c) a taxa de fluxo de massa emkg

m2 − sabaixo da superfície da água em uma bacia, na qual a água

está circulando no sentido horário quando vista de cima.

19. Uma superfície esférica de 3 mm de raio está centrada em P(4, 1, 5) no espaço livre. Seja−→D =

x~ax C/m2. Use os resultados da Seção 3.4 para estimar o fluxo elétrico líquido que deixa a super-

fície esférica.

14 Capítulo 3. Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência

20. Suponha que uma densidade de fluxo elétrico em coordenadas cilíndricas é da forma−→D = Dρ~aρ. Des-

creva a dependência da densidade de cargas ρv com as coordenadas ρ, φ e z se:

a) Dρ = f (φ, z);

b) Dρ =f (φ, z)

ρ;

c) Dρ = f (ρ).

21. Calcule−→∇ ·−→D no ponto especificado se:

a)−→D =

1z2 [10xyz~ax + 5x2z~ay + (2z3 − 5x2y)~az] em P(−2, 3, 5);

b)−→D = 5z2~aρ + 10ρz~az em P(3,−45, 5);

c)−→D = 2r sen θ sen φ~ar + r cos θ sen φ~aθ + r cos φ~aφ em P(3, 45,−45).

22. a) Uma campo de densidade de fluxo é dado como−→F 1 = 5~az. Calcule o fluxo de

−→F 1 que sai de uma

superfície hemisféricas r = a, 0 < θ <π

2, 0 < φ < 2π.

b) Qual observação simples teria poupado bastante trabalho na parte a)?

c) Agora suponha que o campo seja dado por−→F 2 = 5z~az. Utilizando as integrais de superfície

apropriadas, calcule o fluxo líquido de−→F 2 que sai da superfície fechada que consiste no hemisfério

da parte a) e na sua base circular no plano xy.

d) Repita a parte c) usando o teorema da divergência e uma integral volumétrica apropriada.

23. a) Uma carga pontual Q localiza-se na origem. Mostre que div−→D é zero em todos os pontos, exceto

na origem.

b) Substitua a carga pontual por uma densidade volumétrica uniforme de carga ρv0 para 0 < r < a.

Relacione ρv0 com Q e a de modo que a carga total seja a mesma. Encontre div−→D em todos os

pontos.

24. a) Uma densidade linear de cargas uniforme ρL localiza-se no eixo z. Mostre que−→∇ · −→D = 0 em

todos os pontos, exceto na linha de cargas.

b) Substitua a linha de cargas por uma unidade densidade volumétrica uniforme de cargas ρ0 para

0 < ρ < a. Relacione ρ0 e ρL de modo que a carga por unidade de comprimento seja a mesma e

encontre−→∇ ·−→D em todos os pontos.

25. Dentro da casca esférica 3 < r < 4 m, a densidade de fluxo elétrico é dado por−→D = 5(r− 3)3~ar C/m2.

a) qual é a densidade volumétrica de carga em r = 4?

b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r = 4?

c) qual fluxo elétrico deixa a esfera r = 4?

d) Qual é a carga contida dentro da esfera r = 4?

15

26. Se tivermos um gás perfeito de densidade de massa ρm kg/m3 e associarmos uma velocidade−→U m/s

a cada elemento diferencial, então a taxa de fluxo de massa é ρm−→U kg/(m2 − s). Considerações físicas

levam então à equação da continuidade,−→∇ · (ρm

−→U ) = −∂ρm

∂t.

a) Explique com palavras a interpretação física dessa equação.

b) mostre que ∮S

ρm−→U · d−→S = −dM

dt

onde M é a massa total do gás dentro da superfície fechada constante S, e explique o significado

físico dessa equação.

27. Seja−→D = 5r2~ar mC/m2 para r 6 0, 08 m e

−→D =

0, 205r2 ~ar µC/m2 para r > 0, 08 m.

a) Calcule ρv para r = 0, 06 m.

b) Calcule ρv para r = 0, 1 m.

c) Que densidade superficial de carga poderia ser posicionada em r = 0, 08 m para fazer que−→D = 0

para r > 0, 08 m?

28. Repita o problema 8, mas use−→∇ ·−→D = ρv e escolha uma integral volumétrica apropriada.

29. A região do espaço livre inclui o volume 2 < x, y, z < 3,−→D =

2z2 (yz~ax + xy~ay − 2xy~az C/m2).

a) Calcule o lado da integral volumétrica da equação do teorema da divergência para o volume aqui

definido.

b) Calcule o lado da integral de superfície da superfície fechada correspondente.

30. Seja−→D = 20ρ2~aρ nC/m2.

a) Qual é a densidade volumétrica de carga no ponto P(0, 5; 60; 2)?

b) Use dois métodos diferentes para calcular a quantidade de carga dentro da superfície fechada

limitada por ρ = 3, 0 6 z 6 2.

31. Dada a densidade de fluxo−→D =

16r

cos 2θ~aθ C/m2, use dois métodos diferentes para calcular a carga

total dentro da região 1 < r < 2 m, 1 < θ < 2 rad, 1 < φ < 2 rad.

4Energia e Potencial

1. O valor de−→E em P(ρ = 2, φ = 40, z = 3) é dado como

−→E = 100~aρ − 200~aφ + 300~az V/m. Determine

o trabalho incremental necessário para deslocar uma carga de 20 µC por uma distância de 6 µm:

a) na direção de ~aρ;

b) na direção de ~aφ;

c) na direção de ~az;

d) na direção de−→E ;

e) na direção de−→G = 2~ax − 3~ay + 4~az.

2. Um campo elétrico é dado como−→E = −10ey( sen 2z~ax + x sen 2z~ay + 2x cos 2z~az) V/m.

a) Calcule−→E em P

(5, 0,

π

12

).

b) Quanto trabalho é realizado para se mover uma carga de 2 nC por uma distância incremental de 1

mm a partir de P pela direção de ~ax?

c) De ~ay?

d) De ~az?

e) De (~ax + ~ay + ~az)?

3. Se−→E = 120~aρ V/m, calcule a quantidade incremental de trabalho realizado na movimentação de uma

carga de 50 µC por uma distância de 2 mm de:

a) P(1, 2, 3) em direção a Q(2, 1, 4);

17

18 Capítulo 4. Energia e Potencial

b) Q(2, 1, 4) na direção de P(1, 2, 3).

4. A energia despendida ao se deslocar uma carga de 4 µC da origem até (x, 0, 0) ao longo do eixo x

é diretamente proporcional ao quadrado do comprimento do caminho. Se Ex = 7 V/m em (1, 0, 0),

determine Ex no eixo x como uma função de x.

5. Calcule o valor de∫ P

A−→G ·−→dL para

−→G = 2y~ax com A(1,−1, 2) e P(2, 1, 2) usando o caminho:

a) segmentos de linha reta A(1,−1, 2) para B(1, 1, 2) para P(2, 1, 2);

b) segmentos de linha reta A(1,−1, 2) para C(2,−1, 2) para P(2, 1, 2).

6. Determine o trabalho realizado no deslocamento de uma carga de 2 µC de (2, 1,−1) até (8, 2,−1) pelo

campo−→E = y~ax + x~ay ao longo da:

a) parábola x = 2y2;

b) hipérbole x =8

7− 3y;

c) linha reta x = 6y− 4.

7. Seja−→G = 3xy2~ax + 2z~ay. Dado o ponto inicial P(2, 1, 1) e o ponto final Q(4, 3, 1), calcule

∫−→G ·−→dL

usando o caminho:

a) linha reta: y = x− 1, z = 1;

b) parábola: 6y = x2 + 2, z = 1.

8. Dado−→E = −x~ax + y~ay, calcule o trabalho envolvido no deslocamento de uma carga unitária positiva

por um arco circular do círculo centrado na origem, de x = a até x = y =a√2

.

9. Uma densidade superficial de carga uniforme de 20 nC/m2 está presente na superfície esférica r = 0, 6

cm no espaço livre.

a) Calcule o potencial absoluto em P(r = 1 cm, θ = 25, φ = 50).

b) Calcule VAB dados os pontos A(r = 2 cm, θ = 30, φ = 60) e B(r = 3 cm, θ = 45, φ = 90).

10. Expresse o campo potencial de uma linha de cargas infinita:

a) com zero de referência em ρ = ρ0;

b) com V = V0 em ρ = ρ0;

c) O zero de referência pode ser colocado no infinito? Por quê?

11. Seja uma densidade superficial de carga uniforme de 5 nC/m2 presente no plano z = 0, uma densidade

linear de carga uniforme de 8 nC/m posicionada em x = 0, z = 4, e uma carga pontual de 2 µC presente

em P(2, 0, 0). Se V = 0 em M(0, 0, 5), calcule V em N(1, 2, 3).

12. Em coordenadas esféricas,−→E =

2r(r2 + a2)2 ~ar V/m. Calcule o potencial em qualquer ponto, usando a

referência:

19

a) V = 0 no infinito;

b) V = 0 em r = 0;

c) V = 100 V em r = a.

13. Três cargas pontuais idênticas, de 4 pC cada, estão posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero

de 0,5 mm de lado, no espaço livre. Quanto trabalho deve ser realizado para mover uma carga para um

ponto equidistante das outras duas e na linha que as une?

14. Dado o campo elétrico−→E = (y + 1)~ax + (x − 1)~ay + 2~az, calcule a diferença de potencial entre os

pontos:

a) (2,−2, 1) e (0, 0, 0);

b) (3, 2,−1) e (−2,−3, 4).

15. duas linhas de cargas uniformes de 8 nC/m cada estão posicionadas em x = 1, z = 2, e em x = −1,

y = 2, no espaço livre. Se o potencial na origem vale 100 V, calcule V em P(4, 1, 3).

16. O potencial em qualquer ponto do espaço é dado, em coordenadas cilíndricas, por V =k cos(bφ)

ρ2 V/m,

onde k e b são constantes.

a) Onde está o zero de referência para o potencial?

b) Calcule o vetor intensidade de campo elétrico em qualquer ponto (ρ, φ, z).

17. Densidades superficiais de carga uniformes de 6 e 2 nC/m2 estão presentes em ρ = 2 e 6 cm, respecti-

vamente, no espaço livre. Considere que V = 0 em ρ = 4 cm e calcule V em:

a) ρ = 5 cm;

b) ρ = 7 cm.

18. Calcule o potencial na origem produzido por uma linha de cargas ρL =kx

x2 + a2 que se estende ao longo

do eixo x de x = a até +∞, onde a > 0. Assuma o zero de referência no infinito.

19. A superfície anelar 1 cm < ρ < 3 cm, z = 0, está carregada com a densidade superficial não uniforme

de carga ρS = 5ρ nC/m2. Calcule V em P(0, 0, 2 cm) se V = 0 no infinito.

20. Uma carga pontual Q está posicionada na origem. Expresse o potencial em ambas as coordenadas

cartesianas e cilíndricas, e utilize a operação de gradiente em cada sistema de coordenadas para cal-

culara intensidade de campo elétrico. O resultado deve ser conferido, convertendo-o em coordenadas

esféricas.

21. Seja V = 2xy2z3 + 3 ln(x2 + 2y2 + 3z2) V no espaço livre. Calcule cada uma das seguintes grandezas

em P(3, 2,−1): a) V; b) |V|; c)−→E ; d) |−→E |; e)~aN ; f)

−→D .

20 Capítulo 4. Energia e Potencial

22. Um certo campo potencial é dado em coordenadas esféricas por V =V0r sen θ

a. Calcule a carga total

contida dentro da região r < a.

23. Sabe-se que o potencial é dado como V = 80ρ0,6 V. Assumindo as condições de espaço livre, calcule:

a)−→E ;

b) a densidade volumétrica de carga em ρ = 0, 5 m;

c) a carga total presente dentro da superfície fechada ρ = 0, 6; 0 < z < 1.

24. A superfície definida pela equação x3 + y2 + z = 1000, onde x, y e z são positivos, é uma superfície

equipotencial na qual o potencial vale 200 V. Se |−→E | = 50 V/m no ponto P(7, 25, 32) sobre a superfície,

calcule−→E .

25. Dentro do cilindro ρ = 2; 0 < z < 1, o potencial é dado por V = 100 + 50ρ + 150ρ sen φ V.

a) Calcule V,−→E ,−→D e ρv em P(1; 60; 0, 5) no espaço livre.

b) Quanta carga está presente dentro do cilindro?

26. Consideremos uma placa muito fina, quadrada e condutora imperfeita, de 2 m de lado, posicionada

no plano z = 0 com um vértice na origem, de modo que permaneça totalmente dentro do primeiro

quadrante. O potencial em qualquer ponto da placa é dado por V = −e−x sen y.

a) Um elétron entra na placa em x = 0, y =π

3com velocidade inicial zero. Em qual direção está seu

movimento inicial?

b) Por causa de colisões das partículas na placa, o elétron atinge uma velocidade relativamente baixa

e pequena aceleração (o trabalho que o campo exerce nele, em grande parte, é convertido em calor).

O elétron se move, portanto, ao longo de uma linha de força. Onde ele deixa a placa e em que

direção estará se movimentando nesse instante?

27. Duas cargas pontuais de 1 nC em (0; 0; 0, 1) e −1 nC em (0; 0;−0, 1) estão no espaço livre.

a) Calcule V em P(0, 3; 0; 0, 4).

b) Calcule |−→E | em P;

c) Agora trate as duas cargas como um dipolo na origem e calcule V em P.

28. Use a intensidade de campo elétrico de um dipolo, equação−→E =

Qd4πε0r3 (2 cos θ~ar + sen θ~aρ), para

calcular a diferença no potencial entre pontos em θa e θb, cada ponto tendo as mesmas coordenadas r e

φ. Sob quais condições a resposta concorda com a equação V =Qd cos θ

4πε0r2 , para o potencial em θa?

29. Um dipolo que tem um momento ~p = 3~ax − 5~ay + 10~az nC ·m está posicionado em Q(1, 2,−4) no

espaço livre. Calcule V em P(2, 3, 4).

21

30. Um dipolo para o qual ~p = 10ε0~az C ·m está posicionado na origem. Qual é a equação da superfície

na qual Ez = 0 mas−→E 6= 0?

31. Um campo de potencial no espaço livre é expresso como V =20xyz

V.

a) Calcule a energia total armazenada dentro do cubo 1 < x, y, z < 2.

b) Qual valor seria obtido caso fosse assumida uma densidade uniforme de energia igual ao valor no

centro do cubo?

32. a) Utilizando a Equação−→E =

Qd4πε0r3 (2 cos θ~ar + sen θ~aρ), calcule a energia armazenada no campo do

dipolo na região r > a. b) Por que não podemos deixar a se aproximar e zero, no limite?

33. Uma esfera de cobre de 4 cm de raio está carregada com uma carga total uniformemente distribuída de

5 µC, no espaço livre.

a) Use a lei de Gauss para achar−→D externo à esfera.

b) Calcule a energia total armazenada no campo eletrostático.

c) Use WE =Q2

2Cpara calcular a capacidade da esfera isolada.

34. Uma esfera de raio a contém uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ0 C/m3. Encontre a

energia total armazenada aplicando:

a) Equação WE = 12

∫vol ρvVdv;

b) Equação WE = 12

∫vol−→D ·−→E dv = 1

2

∫vol ε0E2dv;

35. Quatro cargas pontuais de 0,8 nC estão posicionadas, no espaço livre, nos vértices de um quadrado de

4 cm de lado.

a) Calcule a energia potencial total armazenada.

b) Uma quinta carga de 0,8 nC é instalada no centro do quadrado. Novamente calcule a energia total

armazenada.

5Corrente e Condutores

1. Dada a densidade de corrente−→J = −104[ sen (2x)e−2y~ax + cos(2x)e−2y~ay] kA/m2.

a) Calcule a correte total que atravessa o plano y = 1 na direção ~ay na região 0 < x < 1, 0 < z < 2.

b) Calcule a corrente total que deixa a região 0 < x, y < 1, 2 < z < 3 pela integração de−→J · d−→S sobre

a superfície do cubo.

c) Repita a parte b), mas utilizando o teorema da divergência.

2. Uma certa densidade de corrente é dada em coordenadas cilíndricas como−→J = 100e−2z(ρ~aρ + ~az)

A/m2. Calcule a corrente total que passa por cada uma dassas superfícies:

a) z = 0, 0 6 ρ 6 1, na direção de ~az;

b) z = 1, 0 6 ρ 6 1, na direção de ~az;

c) cilindro fechado definido por 0 6 z 6 1, 0 6 ρ 6 1, na direção para fora.

3. Seja−→J = 400

sen θ

r2 + 4~ar A/m2.

a) calcule a corrente total que flui pela porção da superfície esférica r = 0, 8, limita por 0, 1π < θ <

0, 3π, 0 < φ < 2π.

b) Calcule o valor médio de−→J sobre a área definida.

4. Assuma que uma feixe uniforme de elétrons de seção reta circular com raio de 0,2 mm é gerado por

um catodo em x = 0 e coletado por um anodo em x = 20 cm. A velocidade dos elétrons varia com x

como vx = 108√x m/s, com x em metros. Se a densidade de corrente no anodo é de 104 A/m2, calcule

a densidade volumétrica de carga e a densidade de corrente como funções de x.

23

24 Capítulo 5. Corrente e Condutores

5. Seja−→J =

25ρ~aρ −

20ρ2 + 0, 01

~az A/m2.

a) Calcule a corrente que atravessa o plano z = 0, 2 na direção ~az para ρ < 0, 4.

b) Calcule∂ρv

∂t.

c) Calcule a corrente que atravessa a superfície fechada, saindo desta, definida por ρ = 0, 01; ρ = 0, 4;

z = 0 e z = 0, 2.

d) Mostre que o teorema da divergência é satisfeito para−→J e para a superfície especifica na parte c).

6. A densidade de correte em uma certa região é aproximada por−→J =

0, 1r

exp(−106t)~ar A/m2 em

coordenadas esféricas.

a) Em t = 1 µs, quanta corrente atravessa a superfície r = 5?

b) Repita para r = 6.

c) Utilize a equação da continuidade para calcular ρv(r, t) assumindo que ρv → 0 à medida que

t→ ∞.

d) Encontre uma expressão para a velocidade da densidade de carga.

7. Assumindo que não há transformação de massa para energia ou vice-versa, é possível escrever uma

equação da continuidade para a massa.

a) Se utilizarmos a equação da continuidade para carga como nosso modelo, quais quantidades cor-

respondem a−→J e ρv?

b) Dado um cubo de 1 cm de lado, dados experimentais mostram que as taxas nas quais a massa

deixa cada uma das seis faces são 10,25; −9, 85; 1,75; −2, 00; −4, 05 e 4,55 mg/s. Se assumirmos

que o cubo é um elemento incremental de volume, determine um valor aproximado para a taxa

temporal de variação da densidade no seu centro.

8. A condutividade do carbono é de aproximadamente 3× 104 S/m.

a) Qual deve ser o tamanho e a forma de uma amostra de carbono para que tenha uma condutância

de 3× 104 S?

b) Qual é a condutância se todas as dimensões da amostra encontradas na parte a) forem meadas?

9. a) Usando dados tabulados no Apêndices C, calcule o diâmetro necessário para um fio de nicromo de

2 m de comprimento dissipar uma potência média de 450 W quando 120 V rms a 60 Hz forem a ele

aplicados. b) Calcule o valor rms da densidade de corrente no fio.

10. Um fio sólido de condutividade σ1 e raio a tem um revestimento de material que possui uma conduti-

vidade σ2, sendo seu raio interno a e seu raio externo b. Mostre que razão das densidades de corrente

nos dois materiais é independente de a e de b.

25

11. Duas superfícies cilíndricas perfeitamente condutoras de comprimento ` estão posicionadas em ρ = 3

cm e ρ = 5 cm. A corrente total que passa radialmente, no sentido para fora, pelo meio existente

entre os cilindros é de 3 A c.c. a) Calcule a tensão e a resistência entre os cilindros, e−→E na região

entre os cilindros, se um material condutor com σ = 0, 05 S/m estiver presente em 3 < ρ < 5 cm. b)

Mostre que integrando, no volume, a potência dissipada por unidade de volume, resulta na potência

total dissipada.

12. Duas placas idênticas, cada uma com área A, estão posicionadas em z = 0 e z = d. A região entre as

placas está preenchida com um material que possui uma condutividade dependente de z, σ(z) = σ0e−zd ,

onde σ0 é uma constante. Uma tensão V0 é aplicada à placa em z = d. A placa em z = 0 está no potencial

zero. Calcule, em termos dos parâmetros dados: a) a resistência do material; b) a corrente total que flui

entre as placas; c) a intensidade de campo elétrico−→E dentro do material.

13. Um tubo cilíndrico oco com uma seção reta retangular tem dimensões externas de 1,27 cm por 2,54 cm

e uma espessura da parede de 1,27 mm. Assuma que o material seja o latão, para o qual σ = 1, 5× 107

S/m. Uma corrente contínua de 200 A está circulando no tubo, para baixo. a) Qual é a queda de tensão

presente ao longo de um comprimento de 1 m do tubo? b) Calcule a queda de tensão se o interior do

tubo estiver preenchido com um material condutor para o qual σ = 1, 5× 105 S/m.

14. Uma placa condutora retangular está posicionada no plano xy, ocupando a região 0 < x < a, 0 < y < b.

Uma placa condutora idêntica é posicionada de forma paralela diretamente sobre a primeira, em z = d.

A região entre as placas está preenchida com material que possui condutividade σ(x) = σ0e−x/a, onde

σ0 é uma constante. Uma tensão V0 é aplicada à placa em z = d. A placa em z = 0 está no potencial 0.

Encontre, em termos dos parâmetros dados: a) a intensidade de campo elétrico−→E dentro do material;

b) a corrente total que circula entre as placas; c) a resistência do material.

15. Seja V = 10(ρ + 1)z2 cos φ V no espaço livre. a) Uma superfície equipotencial V = 20 V define uma

superfície condutora. Encontre a equação da superfície do condutor. b) Calcule ρ e−→E no ponto na

superfície do condutor onde φ = 0, 2π e z = 1, 5. c) Calcule |ρS| nesse ponto.

16. Em coordenadas cilíndricas, V = 1000ρ2.

a) Se a região 0, 1 < ρ < 0, 3 m está no espaço livre enquanto as superfícies ρ = 0, 1 m e ρ = 0, 3 m

são condutores, especifique a densidade superficial de carga em cada condutor.

b) Qual é a carga total contida em 1 m de comprimento na região de espaço livre 0, 1 < ρ < 0, 3

(sem incluir os condutores)?

c) Qual é a carga total contida em 1 m de comprimento, incluindo ambas as superfícies de cargas?

17. Seja o campo de potencial V =100xzx2 + 4

V no espaço livre. a) Calcule−→D na superfície z = 0. b) Mostre

que a superfície z = 0 é equipotencial. c) Assuma que a superfície z = 0 seja um condutor e calcule a

carga total naquela porção do condutor definida por 0 < x < 2, −3 < y < 0.

26 Capítulo 5. Corrente e Condutores

18. Um campo potencial V = 100 ln[(x + 1)2 + y2

(x− 1)2 + y2

]V. Sabe-se que o ponto P(2, 1, 1) pertence a uma super-

fície condutora e que o condutor está colocado no espaço livre. Em P, calcule um vetor unitário normal

à superfície e também o valor da densidade superficial de carga no condutor.

19. Seja V = 20x2yz− 10z2 V no espaço livre.

a) Determine as equações das superfícies equipotenciais nas quais V = 0 e 60 V.

b) Assuma que essas são superfícies condutoras e calcule as densidades superficiais de carga naquele

ponto na superfície V = 60 onde x = 2 e z = 1. Sabe-se que 0 6 V 6 60 V é a região que contém o

campo.

c) Forneça o vetor unitário nesse ponto, que é normal à superfície condutora e aponta na direção da

superfície V = 0.

20. Duas cargas pontuais de −100π µC estão posicionadas em (2,−1, 0) e (2, 1, 0). A superfície x = 0 é

um plano condutor. a) Determine a densidade superficial de carga na origem. b) Determine ρS em

P(0, h, 0).

21. Seja a superfície y = 0 um condutor perfeito no espaço livre. Duas linhas de cargas uniformes infinitas

de 30 nC/m cada estão posicionadas em x = 0, y = 1 e x = 0, y = 2.

a) Seja V = 0 no plano y = 0, calcule V em P(1, 2, 0).

b) Calcule−→E em P.

22. O segmento de reta x = 0, −1 6 y 6 1, z = 1 carrega uma densidade linear de carga ρL = π|y| µC/m.

Seja z = 0 um plano condutor determine a densidade superficial de carga em: a) (0, 0, 0); b) (0, 1, 0).

23. Um dipolo com ~p = 0, 1~az µC ·m está posicionado em A(1, 0, 0) no espaço livre, e o plano x = 0 é

perfeitamente condutor. a) Calcule V em P(2, 0, 1). b) Encontre a equação da superfície equipotencial

de 200 V em coordenadas cartesianas.

24. A uma certa temperatura, as mobilidades dos elétrons e dos buracos no germânio intrínseco são dadas

como 0, 43 m2/V · s e 0, 21 m2/V · s, respectivamente. Se as concentrações de elétrons e de buracos são

ambas de 2, 3× 1019 m−3, calcule a condutividade nessa temperatura.

25. As concentrações de elétrons e buracos aumentam com a temperatura. Para o silício puro, expressões

adequadas são ρh = −ρe = 6200T1,5e−7000

T C/m3. A dependência funcional das mobilidades com a tem-

peratura é dada por µh = 2, 3× 105T−2,7 m2/V · s e µe = 2, 1× 105T−2,5 m2/V · s, onde a temperatura

T é em graus Kelvin. Encontre σ em: a) 0 C;b) 40 C; c) 80 C.

26. Uma amostra de semicondutor tem uma seção reta retangular de 1,5 mm por 2.0 mm, e um compri-

mento de 11,0 mm. O material tem densidades de elétrons e buracos de 1, 8× 1018 e 3, 0× 10−15 m−3,

respectivamente. Se µe = 0, 082 m2/V ·m e µh = 0, 0021 m2/V ·m, calcule a resistência oferecida entre

as faces extremas da amostra.

6Dielétricos e Capacitância

1. Hidrogênio atômico contém 5, 5× 1025 tomos/m3 em certa temperatura e pressão. Quando um campo

elétrico de 4 kV/m é aplicado, cada dipolo formado pelo elétron é núcleo positivo possui um compri-

mento efetivo de 7, 1× 10−19 m. a) Calcule P. b) Calcule εr.

2. Calcule a constante dielétrica de um material no qual a densidade de fluxo elétrico seja quatro vezes a

polarização.

3. Um condutor coaxial tem raios a = 0, 8 mm e b = 3 mm, e um dielétrico de poliestireno para o qual

εr = 2, 56. Se−→P =

2ρ~aρ nC/m2 no dielétrico, calcule:

a)−→D e−→E como funções de ρ;

b) Vab e χe.

c) Se existem 4× 1019 moléculas por metro cúbico no dielétrico, calcule ~p(ρ).

4. Considere um material feito de dois elementos que possuem densidades N1 e N2 molculas/m3, res-

pectivamente. Os dois materiais estão uniformemente misturados, levando a uma densidade total

N = N1 + N2. A presença de um campo elétrico−→E induz momentos dipolos moleculares ~p1 e ~p2 den-

tro dos elementos individualmente, se misturados ou não. Mostre que a constante dielétrica do material

composto é dado por εr = f εr1 + (1− f )εr2, onde f é a fração numérica dos dipolos do elemento 1 no

composto, e onde εr1 e εr2 são as constantes dielétricas que os elementos não misturados teriam se cada

uma tivesse densidade N.

27

28 Capítulo 6. Dielétricos e Capacitância

5. A superfície x = 0 separa dois dielétricos perfeitos. Para x > 0 seja εr = εr1 = 3, enquanto εr2 = 5, onde

x < 0. Se−→E1 = 80~ax − 60~ay − 30~az V/m, calcule: a) EN1; b) ET1; c) E1; d) o ângulo θ1 entre

−→E1 e uma

normal à superfície; e) DN2; f) DT2; g)−→D2; h)

−→P2; i) o ângulo θ2 entre

−→E2 e uma normal à superfície.

6. O campo potencial em uma placa de material dielétrico para o qual εr = 1, 6 é dado como V = −5000x.

a) Calcule−→D ,−→E e−→P no material.

b) Calcule ρ, ρb e ρt no material.

7. Dois dielétricos perfeitos possuem permissividades relativas εr1 = 2 e εr2 = 8. A superfície plana entre

eles é a superfícies x− y + 2z = 5. A origem situa-se na região 1. Se−→E1 = 100~ax + 200~ay − 50~az V/m,

calcule−→E2.

8. A região 1 (x > 0) é um dielétrico com εr1 = 2, enquanto a região 2 (x < 0) tem εr2 = 5. Seja−→E1 = 20~ax − 10~ay + 50~az V/m.

a) Calcule−→D2.

b) Calcule a densidade de energia em ambas as regiões.

9. Sejam as superfícies cilíndricas ρ = 4 cm e ρ = 9 cm, que envolvem dois dielétricos perfeitos em forma

de cunha, εr1 = 2, para 0 < φ <π

2e εr2 = 5, para

π

2< φ < 2π. Se

−→E1 =

2000ρ

~aρ V/m, calcule:

a)−→E2.

b) a energia eletrostática total armazenada em 1 m de comprimento em cada região.

10. Seja S = 100 mm2, d = 3 mm e εr = 12 para um capacitor de placas paralelas.

a) Calcule a capacitância.

b) Após conectar uma bateria de 6 V no capacitor, calcule E, D e Q e a energia eletrostática total

armazenada.

c) Com a fonte ainda conectada, o dielétrico é cuidadosamente retirado das placas. Sem dielétrico,

recalcule E, D e Q e a energia armazenada no capacitor.

d) Se a carga e a energia encontrada na parte c) são menores que os respectivos valores encontrados

na parte b) (que você deve ter descoberto), o que foi feito da carga e da energia perdidas?

11. Os capacitores tendem a ser mais caros à medida que suas capacitâncias e tensões máximas, Vmax,

aumentam. A tensão Vmax é limitada pela intensidade do campo na qual o dielétrico se rompe, EBD.

Qual desses dielétricos proporcionará o maior produto CVmax para áreas iguais de placas?

a) ar: εr = 1; EBD = 3 MV/m.

b) titanato de bário: εr = 1200; EBD = 3 MV/m.

c) dióxido de silício: εr = 3, 78; EBD = 16 MV/m.

29

d) polietileno: εr = 2, 26; EBD = 4, 7 MV/m.

12. Um capacitor de placas paralelas preenchido com ar, com separação d entre as placas e área A de placa,

está conectado a uma bateria que aplica uma tensão V0 entre as placas. Deixando-se a bateria conectada,

as placas são separadas para uma distância de 10d. Determine por qual fator cada uma das seguintes

grandezas muda: a) V0; b) C; c) E; d) D; e) Q; f) ρS; g) WE.

13. Um capacitor de placas paralelas está preenchido com um dielétrico não uniforme caracterizado por

εr = 2 + 2× 106x2, onde x é a distância em relação a uma placa em metros. Se S = 0, 02 m2 e d = 1

mm, calcule C.

14. Repita o Problema 12, assumindo que a bateria é desconectada antes que a separação entre as placas

seja aumentada.

15. Seja εr1 = 2, 5 para 0 < y < 1 mm, εr2 = 4 para 1 < y < 3 mm e εr3 para 3 < y < 5 mm (região

3). Superfícies condutoras estão presentes em y = 0 e y = 5 mm. Calcule a capacitância por metro

quadrado de área da superfície se:

a) a região 3 for ar;

b) εr3 = εr1.

c) εr3 = εr2.

d) região 3 for prata.

16. Um capacitor de placas paralelas é feito utilizando duas placas circulares de raio a, com a placa inferior

no plano xy, centrada na origem. A placa superior está posicionada em z = d, com seu centro no

eixo z. A placa superior está em um potencial V0 e a placa inferior está aterrada. Um dielétrico tendo

permissividade que varia radialmente preenche a região entre as placas. A permissividade é dada por

ε(ρ) = ε0

(1 +

ρ

a

). Calcule: a)

−→E ; b)

−→D ; c) Q; d) C.

17. Dois cilindros condutores coaxiais de raios 2 cm e 4 cm possuem um comprimento de 1 m. A região

entre os cilindros contém uma camada de dielétrico de ρ = c até ρ = d com εr = 4. Calcule a

capacitância se:

a) c = 2 cm e d = 3 cm;

b) d = 4 cm e o volume do dielétrico é o mesmo que na parte a).

18. a) Se pudéssemos especificar um material a ser utilizado como dielétrico em um capacitor coaxial

para o qual a permissividade variasse continuamente com o raio, qual variação com ρ deveria ser

utilizada de modo que mantivesse um valor uniforme para a intensidade de campo elétrico?

b) Sob as condições da parte a), como apareceriam os raios interno e externo na expressão da capaci-

tância por unidade de distância?


19. Duas cascas condutoras esféricas possuem raios a = 3 cm e b = 6 cm. O interior é um dielétrico perfeito

para o qual εr = 8.

a) Calcule C.

b) Uma porção do dielétrico é agora removida de forma que εr = 1 para 0 < φ <π

2e εr = 8 para

π

2< φ < 2π. Calcule C novamente.

20. Mostre que a capacitância por unidade de comprimento de um cilindro de raio a é zero.

21. Com relação à Figura 6.1, seja b = 6 m, h = 15 m e o potencial do condutor 250 V. Tome ε = ε0. Calcule

os valores para K1, ρL, a e C.

Figura 6.1: Um exemplo numérico de capacitância, densidade linear de cargas, posição de uma linha decargas equivalente e característica da superfície de meio potencial para uma condutor cilíndrico de 5 m deraio em um potencial de 100 V, paralelo e a 13 m de um plano condutor que está no potencial zero.

22. Dois condutores de cobre "#16"(1,29 mm de diâmetro) são paralelos com uma separação d entre eixos.

Determine d de modo que a capacitância entre fios no ar seja 30 pF/m.

23. Um condutor de 2 cm de diâmetro está suspenso no ar com seu eixo a 5 cm de um plano condutor. Seja

o potencial do cilindro 100 V e o do plano 0 V. Calcule a densidade superficial de carga:

a) no cilindro, no ponto mais próximo do plano;

b) no plano, no ponto mais próximo do cilindro.

24. Para a configuração do condutor do Problema 23, determine a capacitância por unidade de compri-

mento.

25. Construa um mapa de quadrados curvilíneos para um capacitor coaxial de 3 cm de raio interno e 3 cm

de raio externo. Essas dimensões estão adequadas para o desenho.

a) Use o seu esboço para calcular a capacitância por unidade de comprimento assumindo εr = 1.

b) Calcule um valor exato para a capacitância por unidade de comprimento.

31

26. Construa um mapa de quadrados curvilíneos do campo potencial de dois cilindros circulares paralelos,

cada um com 2,5 cm de raio, separados de centro a centro por uma distância de 13 cm. Essas dimensões

estão razoáveis para o desenho real se a simetria for considerada. Para checar, calcule a capacitância

por metro tanto pelo seu desenho quanto pela fórmula exata. Assuma εr = 1.

27. Construa um mapa de quadrados curvilíneos do campo potencial entre dois cilindros circulares para-

lelos, um de 4 cm de raio, dentro de outro de 8 cm de raio. Os dois eixos estão separados por 2,5 cm.

Essas dimensões estão adequadas para o desenho. para checar, calcule a capacitância por metro, tanto

pelo seu desenho quanto pela fórmula exata

C =2πε

cosh−1(

a2 + b2 − D2

2ab

)onde a e b são os raios dos condutores e D é a separação dos eixos.

28. Um cilindro condutor sólido de 4 cm de raio está centrado dentro de um cilindro condutor retangular

de seção reta de 12 cm por 20 cm.

a) Faça um esboço em tamanho real de um quadrante dessa configuração e construa um mapa de

quadrados curvilíneos para seu interior.

b) Assuma ε = ε0 e estime C por unidade de comprimento.

29. O condutor interno da linha de transmissão mostrada na Figura 6.2 possui uma seção reta quadrada de

2a× 2a, enquanto o quadrado externo é 4a× 5a. Os eixos estão deslocados, conforme mostrado.

a) Construa um desenho de bom tamanho dessa linha de transmissão, digamos com a = 2, 5 cm, e

depois prepare um esboço de quadrados curvilíneos do campo eletrostático entre os condutores.

b) Use o mapa para calcular a capacitância por metro de comprimento se ε = 1, 6ε0.

c) Como seu resultado para a parte b) mudaria se a = 0, 6 cm?

30. Para o capacitor coaxial do Problema 18, suponha que o dielétrico está degradado, permitindo que a

corrente circule entre os condutores interno e externo, enquanto o campo elétrico ainda é uniforme com

o raio.

a) Qual a forma da função que deve assumir a condutividade do dielétrico?

b) qual a forma básica da função da resistência por unidade de distância, R?

c) Quais parâmetros permanecem no produto RC, onde a forma de C, a capacitância por unidade de

distância, foi determinada no Problema 18?

31. Uma linha de transmissão a dois fios consiste em dois cilindros condutores perfeitos paralelos, cada um

com um raio de 0,2 mm, separados de centro a centro de uma distância de 2 mm. O meio que envolve

os fios tem εr = 3 e σ = 1, 5 mS/m. Uma bateria de 100 V é conectada entre os fios. Calcule:


Figura 6.2: Veja o Problema 29.

a) a magnitude da carga por metro de comprimento em cada fio;

b) a corrente da bateria.

7Equações de Poisson e de Laplace

1. Seja V = 2xy2z3 e ε = ε0. Dado o ponto P(1, 2,−1), calcule:

a) V em P;

b)−→E em P;

c) ρv em P;

d) a equação da superfície equipotencial que passa por P;

e) a equação da linha de força que passa por P.

f) V satisfaz à Equação de Laplace?

2. Dado o campo potencial esférico simétrico no espaço livre V = V0e−ra , calcule:

a) ρv em r = a;

b) o campo elétrico em r = a;

c) a carga total.

3. Seja V(x, y) = 4e2x + f (x)− 3y2 na região do espaço livre onde ρv = 0. É sabido que Ex e V são zero

na origem. Encontre f (x) e V(x, y).

4. Dado o campo potencial V(ρ, φ) =V0ρ

dcos φ:

a) Mostre que V(ρ, φ) satisfaz à equação de Laplace.

b) Descreva as superfícies de potencial constante.

c) Descreva especificamente as superfícies onde V = V0 e V = 0.

33

34 Capítulo 7. Equações de Poisson e de Laplace

d) Escreva a expressão para o potencial em coordenadas cartesianas.

5. Dado o campo potencial V = (Aρ4 + Bρ−4) sen 4φ:

a) Mostre que ∇2V = 0;

b) Selecione A e B, de modo que V = 100 V e |−→E | = 500 V/m em P(ρ = 1; φ = 22, 5; z = 2).

6. Um capacitor de placas paralelas tem placas posicionadas em z = 0 e z = d. A região entre as placas

é preenchidas com um material que contém carga volumétrica de densidade uniforme ρ0 C/m3 e tem

permissividade ε. Ambas as placas são mantidas no potencial de terra.

a) Determine o campo potencial entre as placas.

b) Determine a intensidade de campo elétrico−→E entre as placas.

c) Repita as partes a) e b) para o caso de o potencial da placa em z = d ser aumentado para V0, com

a placa em z = 0 aterrada.

7. Seja V =cos 2φ

ρno espaço livre.

a) Calcule a densidade volumétrica de carga no ponto A(0, 5; 60; 1).

b) Encontre a densidade superficial de carga na superfície de um condutor que passa pelo ponto

B(2; 30; 1).

8. Uma carga volumétrica uniforme tem densidade constante ρv = ρ0 C/m3 e preenche a região r < a na

qual a permissividade ε é assumida. Uma casca condutora esférica está posicionada em r = a e possui

um potencial de terra. Calcule:

a) O potencial em todos os pontos;

b) A intensidade de campo elétrico−→E em todos os pontos.

9. As funções V1(ρ, φ, z) e V2(ρ, φ, z) satisfazem à equação de Laplace na região a < ρ < b, 0 6 φ < 2π,

−L < z < L. Cada uma vale zero nas superfícies ρ = b para −L < z < L; z = −L para a < ρ < b e

z = L para a < ρ < b. E cada uma vale 100 V na superfície ρ = a para −L < z < L.

a) Na região especificada, a equação de Laplace é satisfeita pelas funções V1 + V2, V1 − V2, V1 + 3 e

V1V2?

b) Na fronteira de superfície especificada, os valores de potencial dados neste problema são obtidos

das funções V1 + V2, V1 −V2, V1 + 3 e V1V2?

c) As funções V1 + V2, V1 −V2, V1 + 3 e V1V2 são idênticas a V1?

10. Considere o capacitor de placas paralelas do Problema 6, mas desta vez o dielétrico carregado existe

apenas entre z = 0 e z = b, onde b < d. Espaço livre preenche a região b < z < d. Ambas as placas

estão no potencial de terra. Resolvendo as equações de Laplace e de Poisson, calcule:

35

a) V(z) para 0 < z < d;

b) A intensidade de campo elétrico para 0 < z < d. Nenhuma carga superficial existe em z = b, então

V e−→D são contínuos no plano z = b.

11. Os planos condutores 2x + 3y = 12 e 2x + 3y = 18 estão nos potenciais 100 V e 0, respectivamente. Seja

ε = ε0 e calcule:

a) V em P(5, 2, 6);

b)−→E em P.

12. A derivação das equações de Laplace e de Poisson assume permissividade constante, mas existem casos

de variação espacial da permissividade nas quais as equações ainda se aplicam. Considere a identidade

vetorial−→∇ · (ψ−→G ) =

−→G ·−→∇ψ + ψ

−→∇ ·−→G , onde ψ e−→G são funções escalar e vetorial, respectivamente.

Determine uma regra geral nas direções permitidas, nas quais ε pode variar com relação ao campo

elétrico local.

13. Cilindros condutores coaxiais estão posicionados em ρ = 0, 5 cm e ρ = 1, 2 cm. A região entre os

cilindros é preenchida com um dielétrico perfeito homogêneo. Se o cilindro interno está em 100 V e o

externo a 0 V, calcule:

a) A localização da superfície de 20 V;

b) Eρ,max;

c) εr se a carga por metro e comprimento no cilindro interno vale 20 nC/m.

14. Repita o Problema 13, mas com o dielétrico preenchendo apenas parte do volume, dentro de 0 < φ < π,

e com espaço livre no volume restante.

15. Os dois condutores planos ilustrados na Figura 7.1 são definidos por 0, 001 < ρ < 0, 120 m, 0 < z < 0, 1

m, φ = 0, 179 e 0,188 rad. O meio que circunda os planos é o ar. Para a região 1: 0, 179 < φ < 0, 188,

despreze a existência de irregularidade nos campos e calcule:

a) V(φ);

b)−→E (ρ);

c)−→D (ρ);

d) ρS na superfície superior do plano inferior;

e) Q na superfície superior do plano inferior.

f) Repita as partes a) e c) para a Região 2, fazendo a localização do plano superior ser φ = 0, 188− 2π,

e então encontre ρS e Q na superfície inferior do plano inferior.

g) Calcule a carga total no plano inferior e a capacitância entre os planos.



16. Um capacitor de placas paralelas é construído usando duas placas circulares de raio a, com a placa

inferior no plano xy, centrada na origem. A placa superior está posicionada em z = d, com seu centro

no eixo z. O potencial V0 está na placa superior. A placa inferior está aterrada. Um dielétrico que

possui permissividade radialmente dependente preenche a região entre as placas. A permissividade é

dada por ε(ρ) = ε0

(1 +

ρ

a

). Calcule:

a) V(z);

b)−→E ;

c) Q;

d) C.

17. Esferas condutoras concêntricas estão posicionadas em r = 5 mm e r = 20 mm. A região entre as esferas

está preenchida com um dielétrico perfeito. Se a esfera interna está em 100 V e a externa está a 0 V:

a) encontre a localização da superfície equipotencial de 20 V.

b) Encontre Er,max.

c) Encontre εr se a densidade superficial de carga na esfera interna é 1, 0 µC/m2.

18. O hemisfério 0 < r < a, 0 < θ <π

2é composto de material condutor homogêneo de condutividade σ.

O lado plano do hemisfério apoia-se em um plano perfeitamente condutor. Agora, o material dentro

da região cônica 0 < θ < α, 0 < r < a é retirado e substituído por um material que é perfeitamente

condutor. Um gap de ar é mantido entre a ponta r = 0 desse novo material e o plano. Qual é a

resistência medida entre os dois condutores perfeitos? Despreze a existência de irregularidades no

campo.

19. Dois cones condutores possuem seus vértices na origem e eixos coincidentes com o eixo z O cone A tem

o ponto A(1, 0, 2) na sua superfície, enquanto o cone B tem o ponto B(0, 3, 2) na sua superfície. Seja

VA = 100 V e VB = 20 V. Calcule:

a) α para cada cone;

b) V em P(1, 1, 1).

37

20. Um campo potencial no espaço livre é dado como V = 100 ln[tan(θ/2)] + 50 V.

a) Calcule o máximo valor de |Eθ | na superfície θ = 40 para 0, 1 < r < 0, 8 m, 60 < φ < 90.

b) Descreva a superfície V = 80 V.

21. No espaço livre, seja ρv = 200ε0

r2,4 .

a) Use a equação de Poisson para encontrar V(r) se for assumido que r2Er → ∞ quando r → 0, e

também que V → 0, á medida que r → ∞.

b) Agora encontre V(r), usando a lei de Gauss e uma integral de linha.

22. Com uma solução apropriada para as equações de Laplace e de Poisson, determine o potencial absoluto

no centro de uma esfera de raio a, que contém uma carga volumétrica uniforme de densidade ρ0.

Assuma permissividade ε0 em todos os pontos. Dica: O que deve ser verdadeiro com relação ao

potencial e ao campo elétrico em r = 0 e em r = a?

23. Uma cuba retangular é formada por quatro planos condutores posicionados em x = 0 e 8 cm e y = 0 e

5 cm no ar. A superfície em y = 5 cm está em um potencial de 100 V, as outras três estão no potencial

zero, e os gaps necessários foram colocados nos dois vértices. Calcule o potencial em x = 3 cm, y = 4

cm.

24. Os quatros lados de uma cuba quadrada são mantidos nos potencial de 0, 20 e −30, 60 V. Os potenciais

mais alto e mais baixo estão em lados opostos. Calcule o potencial no centro da cuba.

25. A Figura 7.2, mude o lado direito de modo que o potencial varie linearmente de 0 na parte de baixo

daquele lado até 100 V na parte de cima. Solucione o problema, encontrando o potencial no centro da

cuba.

Figura 7.2: O mapa de campo correspondente a Equação (7.1), com b = d e V0 = 100 V.

V =4V0

π

∞

∑1,impar

1m

senh (mπx/b)senh (mπd/b)

senmπz

b(7.1)


26. Se X é uma função de x e X” + (x− 1)X − 2 = 0, assuma uma solução na forma de uma série infinita

de potenciais e determine valores numéricos para a2 até a8 se a0 = 1 e a1 = −1.

27. Sabe-se que V = XY é uma solução da equação de Laplace, onde X é uma função de x apenas e Y é

uma função de y apenas. Determine quais das seguintes funções potenciais também são soluções da

equação de Laplace:

a) V = 100X;

b) V = 50XY;

c) V = 2XY + x− 3y;

d) V = xXY;

e) V = X2Y.

28. Assume uma solução produto para a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas V = PF, onde V

não é uma função de z, P é uma função de ρ apenas, e F é uma função de φ apenas.

a) Obtenha as duas equações separadas, se a constante de separação é n2.

b) Mostre que P = Aρn + Bρ−n satisfaz à equação ρ.

c) Construa a solução V(ρ, φ). Funções dessa forma são chamadas de harmônicos circulares.

8O Campo Magnético Estacionário

1. a) Calcule−→H em coordenadas cartesianas em P(2, 3, 4), se existe um filamento de corrente no eixo z

no qual circula 8 mA na direção ~az.

b) Repita se o filamento está posicionado em x = −1, y = 2.

c) Calcule−→H se ambos os filamentos estão presentes.

2. Um condutor filamentar onde circula uma corrente I tem a forma de um triângulo equilátero com lados

de comprimento `. Calcule a intensidade de campo magnético no centro do triângulo.

3. Dois filamentos semi-infinitos no eixo z posicionam-se nas regiões −∞ < z < −a e a < z < ∞. Em cada

um circula uma corrente I na direção ~az.

a) Calcule−→H como uma função de ρ e φ em z = 0.

b) Qual valor de a resultará em uma intensidade de−→H em ρ = 1, z = 0, igual à metade do valor

obtido para um filamento infinito?

4. a) Um filamento tem formato de um círculo de raio a, centrado na origem no plano z = 0. Calcule−→H na origem.

b) Um segundo filamento tem a forma de um quadrado no plano = 0. Os lados são paralelos aos

eixos coordenados e uma corrente I circula na direção genérica ~aφ. Determine o comprimento b

dos lados (em termos de a), de tal forma que−→H na origem tenha a mesma intensidade daquela

causada pelo loop circular da parte a).

5. Os condutores filamentares paralelos mostrados na Figura 8.1 estão no espaço livre. Desenhe o gráfico

de |−→H | versus y, −4 < y < 4, ao longo da linha x = 0, z = 2.

39

40 Capítulo 8. O Campo Magnético Estacionário


6. Um disco de raio a pertence ao plano xy, com o eixo z passando pelo seu centro. Uma carga superficial

de densidade uniforme ρS está presente no disco, que gira em volta do eixo z, a uma velocidade angular

de Ω rad/s. Calcule−→H em todos os pontos no eixo z.

7. Dados os pontos C(5,−2, 3) e P(4,−1, 2), um elemento de corrente Id−→L = 10−4(4,−3, 1) A ·m em C

produz um campo d−→H em P.

a) Especifique a direção de d−→H por um vetor unitário~aH .

b) Calcule |d−→H |.

c) Que direção~a` deve IdL ter, em C, de modo que d−→H = 0?

8. Para o elemento de corrente de comprimento finito no eixo z, conforme mostra a Figura 8.2, use a lei

de Biot-Savart para derivar a Equação

−→H =

I4πρ

( sen α2 − sen α1)~aφ (8.1)

9. Uma lâmina de corrente−→K = 8~ax A/m circula na direção −2 < y < 2 no plano z = 0. Calcule H em

P(0, 0, 3).

10. Uma casca condutora esférica oca de raio a tem conexões filamentares feitas no topo (r = a, θ = 0) e na

base (r = a, θ = π). Uma corrente contínua I circula para baixo pelo filamento superior, pela superfície

esférica, e sai pelo filamento inferior. Calcule−→H em coordenadas esféricas a) dentro e b) fora da esfera.

11. Por um filamento infinito no eixo z circulam 20π mA na direção ~az. Três lâminas de corrente cilíndricas

uniformes também estão presentes: 400 mA/m em ρ = 1 cm, −250 mA/m em ρ = 2 cm e −300 mA/m

em ρ = 3 cm. Calcule Hφ em ρ = 0, 5; 1,5; 2,5 e 3,5 cm.

12. Na figura 8.3, sejam as regiões 0 < z < 0, 3 m e 0, 7 < z < 1, 0 m placas condutoras nas quais circulam

densidades uniformes de corrente de 10 A/m2 em direções opostas, conforme está mostrado. Calcule−→H em:

41

Figura 8.2: A intensidade de campo magnético causada por um filamento de corrente de comprimento finito

no eixo z éI

4πρ( sen α2 − sen α1)~aφ.

a) z = −0, 2 m;

b) z = 0, 2 m;

c) z = 0, 4 m;

d) z = 0, 75 m;

e) z = 1, 2 m;


13. Por uma casca cilíndrica oca de raio a centrada no eixo z circula uma densidade superficial uniforme

de corrente de Ka~aφ.

a) Mostre que H não é uma função de φ ou z.

b) Mostre que Hφ e Hρ valem zero em todos os pontos.

c) Mostre que Hz = 0 para ρ > a.

d) Mostre que Hz = Ka para ρ < a.


e) Por uma segunda casca, ρ = b, circula uma corrente Kb~aφ. Calcule−→H em todos os pontos.

14. Um toroide que possui seção reta de formato retangular é definido pelas seguintes superfícies: os

cilindros ρ = 2 e ρ = 3 cm e os planos z = 1 e z = 2, 5 cm. Pelo toroide passa uma densidade superficial

de corrente de −50~az A/m na superfície ρ = 3 cm. Calcule−→H no ponto P(ρ, φ, z):

a) PA(1, 5 cm; 0; 2 cm);

b) PB(2, 1 cm; 0; 2 cm);

c) PC(2, 7 cm; π/2; 2 cm)

d) PD(3, 5 cm; π/2; 2 cm)

15. Assuma que existe uma região com simetria cilíndrica na qual a condutividade é dada por σ =

1, 5e−150ρ kS/m. Um campo elétrico de 30~az V/m está presente.

a) Calcule−→J .

b) Calcule a corrente total que atravessa a superfície ρ < ρ0, z = 0, todo φ.

c) Use a lei circuital de Ampère para calcular−→H .

16. Um cabo coaxial balanceado contém três condutores coaxiais de resistência desprezível. Assuma um

condutor interno sólido de raio a, um condutor intermediário de raio interno bi e raio externo bo,

e um condutor externo com raios interno e externo igual a ci e co, respectivamente. Pelo condutor

intermediário passa uma corrente I no sentido positivo de ~az e está no potencial V0. Os condutores

interno e externo estão ambos no potencial zero, e por cada um deles circula uma correnteI2

no sentido

negativo de ~az. Assumindo que a distribuição de corrente em cada condutor é uniforme, calcule:

a)−→J em cada condutor;

b)−→H em todos os pontos;

c)−→E em todos os pontos.

17. Por um filamento de corrente no eixo z circula uma corrente de 7 mA na direção ~az, e lâminas de

corrente de 0, 5~az A/m e −0, 2~az A/m estão posicionadas em ρ = 1 cm e ρ = 0, 5 cm, respectivamente.

Calcule−→H em:

a) ρ = 0, 5 cm;

b) ρ = 1, 5 cm;

c) ρ = 4 cm;

d) Qual é o valor da lâmina de corrente que deveria estar posicionada em ρ = 4 cm de forma que−→H = 0 para todo ρ > 4 cm?

43

18. Um fio de 3 mm de raio é constituído de um material interno (0 < ρ < 2 mm) para o qual σ = 107

S/m, e de um material externo (2 mm < ρ < 3 mm) para o qual σ = 4× 107 S/m. Se pelo fio passa

uma corrente contínua total de 100 mA, determine−→H em todos os pontos como uma função de ρ.

19. Calcule−→∇ × [

−→∇ (−→∇ ·−→G )] se

−→G = 2x2yz~ax − 20y~ay + (x2 − z2)~az.

20. Um condutor sólido de seção reta com raio de 5 mm tem uma condutividade que vaira com o raio. O

condutor tem 20 metros de comprimento e existe uma diferença de potencial contínua de 0,1 V entre

suas duas extremidades. Dentro desse condutor,−→H = 105ρ2~aφ A/m.

a) Calcule σ como uma função de ρ.

b) Qual é o valor da resistência entre as duas extremidades?

21. Os pontos A, B, C, D, E e F estão cada um a 2 mm da origem nos eixos coordenados indicados na

Figura 8.4. O valor de−→H em cada ponto é dado. Calcule um valor aproximado para

−→∇ ×−→H na origem.

Figura 8.4: Veja o Problema 21

.

22. Um cilindro sólido de raio a e comprimento L, onde L a contém carga volumétrica de densidade

uniforme ρ0 C/m3. O cilindro gira em torno de seu eixo (o eixo z) com velocidade angular de Ω rad/s.

a) Determine a densidade de corrente−→J como uma função da posição dentro do cilindro girante.

b) Determine−→H no eixo, aplicando os resultados do Problema 6.

c) Determine a intensidade de campo magnético−→H dentro e fora.

d) Verifique seu resultado da parte c) tomando o rotacional de−→H .

23. Dado o campo−→H = 20ρ2~aφ A/m:

a) Determine a densidade de corrente−→J .

b) Integre−→J sobre a superfície circular ρ = 1, 0 < φ < 2π, z = 0, para determinar a corrente total

que passa pela superfície na direção ~az.

c) Calcule a corrente total novamente, desta vez por uma integral de linha em volta do caminho

circular ρ = 1, 0 < φ < 2π, z = 0.


24. Calcule ambos os lados do teorema de Stokes para o campo−→G = 10 sen θ~aφ e a superfície r = 3,

0 6 θ 6 90 e 0 6 φ 6 90. Considere que a superfície tenha direção ~ar.

25. Quando x, y e z são positivos e menores que 5, uma certa intensidade de campo magnético pode ser

expressa como−→H =

x2yzy + 1

~ax + 3x2z2~ay −xyz2

y + 1~az. Calcule a corrente total na direção ~ax que atravessa

a faixa x = 2, 1 6 y 6 4, 3 6 z 6 4, por um método que utilize:

a) Uma integral de superfície;

b) Uma integral de linha fechada.

26. Seja−→G = 15r~ar.

a) Determine∮ −→

G · d−→L para o caminho circular r = 5, θ = 25, 0 6 φ 6 2π.

b) Calcule∫

S(−→∇ ×−→G ) · d

−→S pela calota esférica r = 5, θ = 25, 0 6 φ 6 2π.

27. A intensidade de campo magnético é dada em uma certa região do espaço como−→H =

x + 2yz2 ~ay +

2z~az

A/m.

a) Calcule−→∇ ×−→H .

b) Calcule−→J .

c) Use−→J para encontrar a corrente total que passa pela superfície z = 4, 1 6 x 6 2, 3 6 z 6 5, na

direção ~az.

d) Mostre que o mesmo resultado é encontrado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.

28. Dado−→H =

3r2

sen θ~aθ + 54r cos θ~aφ A/m no espaço livre:

a) Calcule a corrente total na direção ~aθ que atravessa a superfície cônica θ = 20, 0 6 φ 6 2π,

0 6 r 6 5, por qualquer um dos lados do teorema de Stokes que você mais goste.

b) Cheque o resultado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.

29. Por um condutor longo, reto e não magnético de 0,2 mm de raio circula uma corrente contínua unifor-

memente distribuída de 2 A.

a) Calcule−→J dentro do condutor.

b) Use a lei circuital de Ampère para encontrar−→H e−→B dentro do condutor.

c) Mostre que−→∇ ×−→H =

−→J dentro do condutor.

d) Calcule−→H e−→B fora do condutor.

e) Mostre que−→∇ ×−→H =

−→J fora do condutor.

30. Um condutor sólido e não-magnético de seção reta circular tem um raio de 2 mm. O condutor não é

homogêneo, com σ = 106(1 + 106ρ2) S/m. Se o condutor tem 1 m de comprimento e apresenta uma

tensão de 1 mV entre suas extremidades, calcule:

45

a)−→H dentro;

b) O fluxo magnético total dentro do condutor.

31. A casca cilíndrica definida por 1 < ρ < 1, 4 cm consiste de um material condutor não magnético e por

ela passa uma corrente total de 50 A na direção ~az. Calcule o fluxo magnético total que atravessa o

plano φ = 0, 0 < z < 1:

a) 0 < ρ < 1, 2 cm;

b) 1, 0 < ρ < 1, 4 cm;

c) 1, 4 < ρ < 20 cm.

32. A região do espaço livre definida por 1 < z < 4 cm e 2 < ρ < 3 cm é um toroide de seção reta circular.

Seja a superfície em ρ = 3 pela qual circula uma corrente superfície−→K = 2~az kA/m.

a) Especifique as densidade de corrente nas superfícies em ρ = 2 cm, z = 1 cm e z = 4 cm.

b) Calcule−→H em todos os pontos.

c) Calcule o fluxo total dentro do toroide.

33. Utilize uma expansão em coordenadas cartesianas para mostrar que o rotaciona de gradiente de qual-

quer campo escalar G é igual a zero.

34. Por um condutor filamentar no eixo z circula uma corrente de 16 A na direção ~az, por uma casca

condutora em ρ = 6 circula uma corrente total de 12 A na direção −~az, e por outra casca em ρ = 10

circula uma corrente total de 4 A na direção −~az.

a) Calcule−→H para 0 < ρ < 12.

b) Faça o gráfico de Hφ versus ρ.

c) Calcule o fluxo total Φ que atravessa a superfície 1 < ρ < 7, 0 < z < 1.

35. Uma lâmina de corrente,−→K = 20~az A/m, está posicionada em ρ = 2, e uma segunda lâmina,

−→K =

−10~az A/m, está posicionada em ρ = 4.

a) Seja Vm = 0 em P(ρ = 3, φ = 0, z = 5) e posicione uma barreira em φ = π. Calcule Vm(ρ, φ, z) para

−π < φ < π.

b) Seja−→A = 0 em P e calcule

−→A (ρ, φ, z) para 2 < ρ < 4.

36. Seja−→A = (3y− z)~ax + 2xz~az Wb/m em uma certa região do espaço livre.

a) Mostre que−→∇ ·−→A = 0.

b) Em P(2,−1, 3) calcule−→A ,−→B ,−→H e−→J .

37. Seja N = 1000, I = 0, 8 A, ρ0 = 2 cm e a = 0, 8 cm para o toroide mostrado na Figura 8.5. Calcule Vm

no interior do toroide de Vm = 0 em ρ = 2, 5 cm, φ = 0, 3π. Mantenha φ dentro da faixa 0 < φ < 2π.


Figura 8.5: Um toroide de N voltas pelo qual passa uma corrente filamentar I.

38. considere que uma corrente contínua de I ampères está circulando na direção ~az pelo filamento que se

estende entre −L < z < L no eixo z.

a) Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule−→A em um ponto genérico P(ρ, 0, z). Dica: use a forma

senh−1 para o cálculo da integral.

b) A partir da parte a) calcule−→B e−→H .

c) Faça L → ∞ e mostre que a expressão para−→H se reduz à forma conhecida para um filamento

infinito.

39. Lâminas de corrente plana de−→K = 30~az A/m e −30~az A/m estão posicionadas no espaço livre em

x = −0, 2 e x = −0, 2, respectivamente. Para a região −0, 2 < x < 0, 2:

a) Calcule−→H ;

b) Obtenha uma expressão para Vm se Vm = 0 em P(0, 1; 0, 2; 0, 3);

c) Calcule−→B ;

d) Obtenha uma expressão para−→A se

−→A = 0 em P.

40. Mostre que a integral de linha do potencial vetor−→A ao longo de qualquer caminho fechado é igual ao

fluxo magnético envolvido pelo caminho, ou∮ −→

A · d−→L =

∫ −→B · d−→S .

41. Assuma que−→A = 50ρ2~az Wb/m em certa região do espaço livre.

a) Calcule−→H e−→B .

b) Calcule−→J .

c) Use−→J para encontrar a corrente total que atravessa a superfície 0 6 ρ 6 1, 0 6 φ 6 2π, z = 0.

d) Use os valores de Hφ em ρ = 1 para calcular∮ −→

H · d−→L para ρ = 1, z = 0.

42. Mostre que ∇2

(1

R12

)= −∇1

(1

R12

)=

−→R 12

R312

.

43. Calcule o potencial magnético dentro do condutor externo para a linha coaxial cujo potencial vetor

magnético é mostrado na Figura 8.6, se o raio externo do condutor externo vale 7a. Selecione o zero de

referência adequado e esboce esses resultados na figura.

47

Figura 8.6: O potencial magnético é mostrado dentro do condutor interno e na região entre condutores parauma cabo coaxial com b = 5a, no qual circula uma corrente I na direção ~az, Az = 0 é arbitrariamenteselecionado em ρ = b.

44. Expandindo a Equação (8.2)

−→∇ ×−→∇ ×−→A =−→∇ (−→∇ ·−→A )−∇2−→A (8.2)

em coordenadas cartesianas, mostre que (8.3) está correta.

∇2−→A ≡ ∇2 Ax~ax +∇2 Az~az (8.3)

9Forças Magnéticas, Materiais e

Indutância

1. Uma carga pontual, Q = −0, 3 µC e m = 3× 10−16 kg, está se movendo pelo campo elétrico−→E =

30~az V/m. Use a Equação (9.1) e as leis de Newton para desenvolver as equações diferenciais apropri-

adas e resolvê-as, sujeitas às conclusões iniciais em t = 0, ~v = 3× 105~ax m/s na origem. Em t = 3 µs,

calcule:

−→F = Q

−→E (9.1)

a) a posição P(x, y, z) da carga;

b) a velocidade ~v;

c) e a sua energia cinética.

2. Uma carga pontual, Q = −0, 3 µC e m = 3× 10−16 kg, está se movendo pelo campo−→B = 30~az mT. Use

a Equação (9.2) e as leis de Newton para desenvolver as equações diferenciais apropriadas e resolvê-as,

sujeitas às condições iniciais em t = 0, ~v = 3× 105~ax m/s na origem. Resolva essas equações (talvez

com a ajuda do exemplo dado na Seção 7.5) para calcular em t = 3 µs:

−→F = Q−→v ×−→B (9.2)

a) a posição P(x, y, z) da carga;

b) a velocidade ~v;

49

50 Capítulo 9. Forças Magnéticas, Materiais e Indutância

c) e a sua energia cinética.

3. Uma carga pontual para a Q = 2× 10−16 C e m = 5× 10−26kg está se movendo pelos campos combina-

dos−→E = 100~ax − 200~ay + 300~az V/m e

−→B = −3~ax + 2~ay − ~az mT. Se a velocidade da carga em t = 0

é ~v(0) = (2~ax − 3~ay − 4~az)105 m/s:

a) calcule o vetor unitário que mostra a direção na qual a carga está acelerando em t = 0;

b) encontre a energia cinética da carga em t = 0.

4. Mostre que uma partícula carregada em um campo magnético uniforme descreve uma órbita circular

com um período orbital que é independente do raio. Encontre a relação entre a velocidade angular e a

densidade de fluxo magnético para um elétron (a frequência ciclotron).

5. Uma espira retangular de fio condutor no espaço livre une os pontos A(1, 0, 1) a B(3, 0, 1) a C(3, 0, 4)

a D(1, 0, 4) a A. Pelo fio circula uma corrente de 6 mA na direção ~az de B para C. Uma corrente

filamentar de 15 A circula ao longo de todo o eixo z na direção ~az.

a) Calcule−→F no lado BC.

b) Calcule−→F no lado AB.

c) Calcule−→Ftotal na espira.

6. A densidade de fluxo magnético numa região do espaço livre é dado como−→B = −3x~ax + 5y~ay −

2z~az T. Calcule a força total na espira retangular mostrada na Figura 9.1 se ela se situa no plano z = 0

e é limitada por x = 1, x = 3, y = 2 e y = 5, sendo todas as dimensões em cm.


7. Lâminas de corrente uniformes estão posicionadas no espaço livre conforme se segue: 8~az A/m em

y = 0, −4~az A/m em y = 1, −4~az A/m em y = −1. Encontre o vetor força por metro de comprimento

exercida em um filamento de corrente pelo qual circulam 7 mA na direção ~aL se o filamento está

posicionado em:

51

a) x = 0; y = 0, 5 e ~aL = ~az;

b) y = 0, 5; z = 0 e ~aL = ~ax;

c) x = 0; y = 1, 5 e ~aL = ~az;

8. Correntes filamentares de −25~az e 25~azA estão posicionadas no plano x = 0 no espaço livre em y = −1

e y = 1 m, respectivamente. Uma terceira corrente filamentar de 10−3~az A está posicionada em x = k,

y = 0. Encontre o vetor força em 1 m de comprimento do filamento de 1 mA e desenhe o gráfico de

|−→F | versus k.

9. Uma corrente de −100~az A/m circula no cilindro condutor ρ = 5 mm, e 500~az A/m está presente no

cilindro condutor ρ = 1 mm. Calcule a intensidade da força total por metro de comprimento que está

agindo para dividir o cilindro externo ao longo de seu comprimento.

10. Uma linha de transmissão plana consiste de dois planos condutores de largura b separados de d m no

ar, pelos quais circulam correntes iguais e opostas de I A. Se b d, encontre a força de repulsão por

metro de comprimento entre os dois condutores.

11. a) Use a Equação (9.3), para mostrar que a força de atração por unidade de comprimento entre dois

condutores filamentares no espaço livre com correntes I1~az em x = 0, y = d/2 e I2~az em x = 0, y = −d2

,

é µ0I1 I2

2πd. b) Mostre como um método mais simples pode ser utilizado para verificar seu resultado.

−→F 2 = µ0

I1 I2

4π

∮ [d−→L 2 ×

∮ d−→L 1 × ~aR12

R212

]

= µ0I1 I2

4π

∮ [∮~aR12 × d

−→L 1

R212

]× d−→L 2

(9.3)

12. Por uma fita condutora de corrente, que se posiciona no plano x = 0 entre y = 0, 5 e y = 1, 5, circulam−→K = 12~az A/m. Existe também um filamento de corrente de I = 5 A na direção ~az do eixo z. Encontre

a força exercida em:

a) o filamento pela fita de corrente;

b) a fita pelo filamento.

13. Uma corrente de 6 A circula de M(2, 0, 5) a N(5, 0, 5) por um condutor retilíneo e sólido posicionado

no espaço livre. Um filamento infinito de corrente situa-se ao longo do eixo z e é percorrido por 50 A

na direção ~az. Calcule o vetor torque segmento de fio usando a origem em: a) (0, 0, 5); b) (0, 0, 0); c)

(3, 0, 0).

14. A espira retangular do Problema 6 é agora submetida ao campo−→B produzido por duas lâminas de

corrente:−→K1 = 400~ay A/m em z = 2 e

−→K2 = 300~az A/m em y = 0, no espaço livre. Calcule o vetor

torque na espira, referindo a uma origem:

a) em (0, 0, 0);


b) no centro da espira.

15. Um filamento condutor sólido se estende de x = −b até x = b ao longo da linha y = 2, z = 0. Esse

filamento é percorrido por uma corrente de 3 A na direção ~ax. Por um filamento infinito no eixo z

circulam 5 A na direção ~az. Obtenha uma expressão para o torque exercido no condutor finito em

relação à origem posicionada em (0, 2, 0).

16. Assuma que um elétron está descrevendo uma órbita circular de raio a em volta de um núcleo carregado

positivamente.

a) Selecionando uma corrente e uma área apropriadas, mostre que o momento de dipolo orbital

equivalente éea2ω

2, onde ω é a velocidade angular do elétron.

b) Mostre que o torque produzido por um campo magnético paralelo ao plano de órbita éea2ωB

2.

c) Igualando as forças de Coulomb e centrífuga, mostre que ω vale

√e2

4πε0mea3 , onde me é a massa

do elétron.

d) Encontre valores para a velocidade angular, torque e para o momento magnético orbital para o

átomo de hidrogênio, onde a é aproximadamente 6× 10−11 m. Considere B = 0, 5 T?

17. O átomo de hidrogênio descrito no Problema 16 é agora submetido a um campo magnético que tem

a mesma direção daquele do átomo. Mostre que as forças causadas por B resultam na diminuição

da velocidade angular deeB

2mee uma diminuição no momento orbital de

e2a2B4me

. Quanto valem essas

diminuições para o átomo de hidrogênio em partes por milhão para uma densidade de fluxo magnético

externo de 0,5 T?

18. Calcule o vetor torque na espira quadrada mostra na Figura 18 em relação à origem em A no campo−→B , dados:

a) A(0, 0, 0) e−→B = 100~ay mT;

b) A(0, 0, 0) e−→B = 200~ax + 100~ay mT;

c) A(1, 2, 3) e−→B = 200~ax + 100~ay − 300~az mT;

d) A(1, 2, 3) e−→B = 200~ax + 100~ay − 300~az mT para x > 2 e

−→B = 0 nos outros pontos.

19. Dado o material para o qual χm = 3, 1 e dentro do qual−→B = 0, 4y~az T, calcule: a)

−→H ; b) µ; c) µr; d)

−→M;

e)−→J ; f)

−→Jb; g)

−→JT .

20. Calcule−→H em um material onde:

a) µr = 4, 2, existem 2, 7 × 1029 átomos/m3 e cada átomo tem um momento de dipolo de 2, 6 ×

10−30~ay A ·m2;

b)−→M = 270~az A/m e µ = 2 µH/m;

53


c) χm = 0, 7 e−→B = 2~az T.

d) Calcule−→M em um material onde existem densidades superficiais de corrente ligada de 12~az A/m

e −9~az A/m em ρ = 0, 3 e ρ = 0, 4 m, respectivamente.

21. Encontre a intensidade de magnetização em um material para o qual:

a) a densidade de fluxo magnético é 0, 02 Wb/m2;

b) a intensidade de campo magnético é 1200 A/m e a permeabilidade relativa é 1,005;

c) existem 7, 2× 1028 átomos/m3, cada um possuindo um momento de dipolo de 4× 10−30 A ·m2 na

mesma direção, e a susceptibilidade magnética vale 0,003.

22. Sob certas condições é possível aproximar os efeitos de materiais ferromagnéticos assumindo lineari-

dade na relação entre−→B e−→H . Seja µr = 1000 para um certo material do qual um fio cilíndrico de raio

1 mm é feito. Se I = 1 A e a distribuição de corrente é uniforme, calcule: a)−→B ; b)

−→H ; c)

−→M; d)

−→J e e)

−→Jb dentro do fio.

23. Calcule valores para Hφ, Bφ e Mφ em ρ = c para um cabo coaxial com a = 2, 5 mm e b = 6 mm se pelo

mesmo circula uma corrente I = 12 A no condutor central, e µ = 3 µH/m para 2, 5 mm < ρ < 3, 5 mm,

µ = 5 µH/m para 3, 5 mm < ρ < 4, 5 mm e µ = 10 µH/m para 4, 5 mm < ρ < 6 mm. Use: a) c = 3 mm;

b) c = 4 mm; c) c = 5 mm.

24. Uma linha de transmissão coaxial tem a = 5 mm e b = 20 mm. Considere que seu centro esteja no

eixo z e que uma corrente contínua I circule na direção ~az no centro do condutor. O volume entre os

condutores contém um material magnético para o qual µr = 2, 5, assim como ar. Calcule−→H ,−→B e−→M em

todos os pontos entre os condutores se Hφ =600π

A/m em ρ = 10 mm, φ =π

2e o material magnético

está posicionado em: a) a < ρ < 3a; b) 0 < φ < π.

25. Por um filamento condutor em z = 0 circula uma corrente de 12 A na direção ~az. Seja µr = 1 para

ρ < 1 cm, µr = 6 para 1 < ρ < 2 cm, e µr = 1 para ρ > 2 cm. Calcule: a)−→H em todos os pontos; b)

−→B

em todos os pontos.


26. Duas lâminas de corrente, K0~ay A/m em z = 0 e −K0~ay A/m em z = d, estão separadas por duas tiras

de material magnético, µr1 para 0 < z < a, e µr2 para a < z < d. Se µr2 = 3µr1, calcule a razãoad

tal que

10% do fluo magnético total esteja na região 0 < z < a.

27. Seja µr1 = 2 na região 1, definida por 2x+ 3y− 4z > 1, enquanto µr2 = 5 na região 2 onde 2x+ 3y− 4z <

1. Na região 1,−→H1 = 50~ax − 30~ay + 20~az A/m. Calcule: a)

−→HN1;

−→HT1; c)

−→HT2; d)

−→HN2; e) θ1, o ângulo

entre−→H1 e ~aN21; f) θ2, o ângulo entre

−→H2 e ~aN21.

28. Para valores de B abaixo do joelho da curva de magnetização para o aço-silício, aproxime a curva

por uma linha reta com µ = 5 µH/m. O núcleo mostrado na Figura 9.3 possui áreas de 1, 6 cm2 e

comprimento de 10 cm em cada perna externa, e uma área de 2, 5 cm2 e comprimento de 3 cm na perna

central. Calcule B na:

a) perna central;

b) perna central se um gap de ar de 0,3 mm está presente nessa perna.


29. No Problema 28, a aproximação linear sugerida no enunciado do problema leva a uma densidade de

fluxo de 0,666 T na perna central. Utilizando esse valor de B e a curva de magnetização para o aço-

silício, qual corrente é necessária na bobina de 1200 espiras?

30. Um núcleo toroidal tem uma área da seção reta circular de 4 cm2. O raio médio do toróide é de 6 cm. O

núcleo é composto de dois segmentos semicirculares: um de aço-silício e o outro de um material linear

com µr = 200. Existe um gap de ar de 0,4 mm em cada uma das duas junções, e o núcleo é envolvido

por uma bobina de 4000 espiras por onde circula uma corrente I1.

a) Calcule I1 se a densidade de fluxo no núcleo é de 1,2 T.

b) Calcule a densidade de fluxo no núcleo se I1 = −0, 3 A.

31. Um toróide é construído de um material magnético e possui área da seção reta de 2, 5 cm2 e um

comprimento efetivo de 8 cm. Existe também um pequeno gap de ar de 0,25 mm de comprimento e

uma área efetiva de 2, 8 cm2. Uma fmm de 200 A · e é aplicada ao circuito magnético. Calcule o fluxo

total no toróide se o material magnético:

55

a) é considerado como tendo uma permeabilidade infinita;

b) é considerado como sendo linear com µr = 1000;

c) é de aço-silício.

32. Determine a energia total na região esférica de 1 cm de raio, centrada na origem no espaço livre, no

campo uniforme:

a)−→H1 = −600~ay A/m;

b)−→H2 = 600~ax + 1200~ay A/m;

c)−→H3 = −600~ax + 1200~ay A/m;

d)−→H4 =

−→H2 +

−→H3;

e) 1000~ax A/m + 0, 001~ax T.

33. Um núcleo toroidal tem uma seção reta quadrada, 2, 5 < ρ < 3, 5 cm, −0, 5 < z < 0, 5 cm. A metade

superior do toróide, 0 < z < 0, 5 cm é construída de um material linear para o qual µr = 10, enquanto a

metade inferior, −0, 5 cm < z < 0, tem µr = 20. Uma fmm de 150 A · e estabelece um fluxo da direção

~aφ. Para z > 0, calcule: a) Hφ(ρ); b) Bφ(ρ); c) Φz > 0. d) Repita para z < 0. e) Calcule Φtotal .

34. Determine a energia armazenada por unidade de comprimento no campo magnético interno de um fio

retilíneo infinitamente longo de raio a, pelo qual circula uma corrente I.

35. Os cones θ = 21 e θ = 159 são superfícies condutoras e neles circulam correntes totais de 40 A,

conforme mostra a Figura 9.4. As correntes retornam por uma superfície esférica condutora de raio 0,25

m.

a) Calcule−→H na região 0 < r < 0, 25; 21 < θ < 159; 0 < φ < 2π.

b) Quanta energia está armazenada nessa região?



36. As dimensões do condutor externo de um cabo coaxial são b e c, onde c > b. Assumindo µ = µ0, calcule

a energia magnética armazenada por unidade de comprimento na região b < ρ < c para uma corrente

total I uniformemente distribuída que circula em sentidos opostos nos condutores interno e externo.

37. Calcule a indutância da configuração cone-esfera descrita no Problema 35 e na Figura 9.4. A indutância

é aquela oferecida na origem entre os vértices do cone.

38. Um núcleo toroidal tem uma seção reta retangular definida pelas superfícies ρ = 2 cm, ρ = 3 cm,

z = 4 cm e z = 4, 5 cm. O material do núcleo possui uma permeabilidade relativa de 80. Se o núcleo é

enrolado por uma bobina contendo 8000 espiras de fio, calcula a indutância.

39. Por planos condutores no ar em z = 0 e z = d circulam correntes de ±K0~ax A/m

a) Calcule a energia armazenada no campo magnético por unidade de comprimento (0 < x < 1) em

uma largura w (0 < y < w).

b) Calcule a indutância por unidade de comprimento dessa linha de transmissão por WH =12

LI2,

onde I é a corrente total em uma largura w em cada condutor.

c) calcule o fluxo total que passa pelo retângulo 0 < x < 1, 0 < z < d, no plano y = 0, e deste

resultado novamente encontre a indutância por unidade de comprimento.

40. Um cabo coaxial tem um condutor de dimensões de 1 mm e 5 mm. A região enter os condutores é ar

para 0 < φ <π

2e π < φ <

3π

2, e um material não condutor que possui µr = 8 para

π

2< φ < π e

3π

2< φ < 2π. Calcule a indutância por unidade de comprimento.

41. Uma bobina retangular é composta de 150 espiras de um condutor filamentar. Calcule a indutância

mútua no espaço livre entre essa bobina e um filamento retilíneo infinito no eixo z se os quatro vértices

da bobina etão posicionados em:

a) (0, 1, 0); (0, 3, 0); (0, 3, 1) e (0, 1, 1).

b) (1, 1, 0); (1, 3, 0); (1, 3, 1) e (1, 1, 1).

42. Ache a indutância mútua entre dois filamentos que formam anéis circulares de raios a e ∆a, onde ∆a

a. O campo deve ser determinado por método aproximados. Os anéis são coplanares e concêntricos.

43. a) Use as relações de energia para mostrar que a indutância interna de um fio cilíndrico não magnéticos

de raio a em que circula uma corrente I uniformemente distribuída éµ0

8πH/m. b) Calcule a indutância

interna se a porção do condutor para o qual ρ < c < a for removida.

10Campos Variantes no Tempo e Equações

de Maxwell

1. Na Figura 10.1, seja B = 0, 2 cos 120πt T, e assuma que o condutor que une as duas extremidades do

resistor seja perfeito. Assuma que o campo magnético produzido por I(t) é desprezível. Calcule: a)

Vab; b) I(t).


2. Na Figura 10.2, substitua o voltímetro por uma resistência R. a) Calcule a corrente I que circula como

resultado da movimentação da barra deslizante. b) A corrente da barra resulta em uma força exercida

na barra à medida que se move. Determine essa força. c) Determine a potência mecânica necessária

para manter uma velocidade contante ~v e mostre que essa potência é igual à potência absorvida por R.

57

58 Capítulo 10. Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell


3. Dado−→H = 300~az cos(3× 108t − y) A/m no espaço livre, calcule a fem desenvolvida na direção ~aφ

genérica ao longo do caminho fechado que possui vértices em:

a) (0, 0, 0); (1, 0, 0); (1, 1, 0) e (0, 1, 0).

b) (0, 0, 0); (2π, 0, 0); (2π, 2π, 0) e (0, 2π, 0).

4. Superfícies condutoras estão posicionadas em ρ = 1 cm e ρ = 2 cm no espaço livre. O volume 1 < ρ <

2 cm contém os campos Hφ =2ρ

cos(6× 108πt− 2πz) A/m e Eρ =240π

ρcos(6× 108πt− 2πz) V/m.

a) Mostre que esses dois campos satisfazem à Equação (10.1).

−→∇ ×−→E = −∂−→B∂t

(10.1)

b) Calcule as integrais na Equação (10.2) para uma superfície plano definida por φ = 0; 1 < ρ < 2 cm;

0 < z < 0, 1 m e seu perímetro, e mostre que os mesmos resultados são obtidos.

fem =∮ −→

E · d−→L = − d

dt

∫S

−→B · d−→S (10.2)

5. A localização da barra deslizante na Figura 10.3 é dada por x = 5t + 2t3, e a separação entre os dois

trilhos é de 20 cm. Seja−→B = 0, 8x2~az T. Encontre a leitura do voltímetro em: a) t = 0, 4 s; b) x = 0, 6 m.


6. Um filamento perfeitamente condutor que contém um pequeno resistor de 500 Ω tem a forma de um

quadrado, conforme ilustrado na Figura 10.4. Calcule I(t) se:

59

a)−→B = 0, 3 cos(120πt− 30)~az T;

b)−→B = 0, 4 cos[π(ct− y)]~az µT, onde c = 3× 108 m/s.


7. Cada trilho na Figura 10.5 possui uma resistência de 2, 2 Ω/m. A barra se move para a direita a uma

velocidade constante de 9 m/s em um campo magnético uniforme de 0,8 T. Calcule I(t), 0 < t < 1 s, se

a barra estiver em x = 2 m e t = 0 e:

a) um resistor de 0, 3 Ω estiver presente na extremidade esquerda, com a extremidade direita aberta;

b) um resistor de 0, 3 Ω estiver presente em cada extremidade.


8. A Figura 10.2 é modificada para mostrar que a separação entre os trilhos é maior quando y é maior.

Especificamente, considere que a separação d = 0, 2 + 0, 02y. Dada a velocidade uniforme vy = 8 m/s

e uma densidade uniforme de fluxo magnético Bz = 1, 1 T, calcule V12 em função do tempo se a barra

estiver posicionada em y = 0 e em t = 0.

9. Uma espira filamentar quadrada de fio possui 25 cm de lado e tem uma resistência de 125 Ω por

metro de comprimento. A espira pertence ao plano z = 0 com seus vértices em (0; 0; 0), (0, 25; 0; 0),

(0, 25; 0; 0, 25) e (0; 0, 25; 0) em t = 0. A espira está se movendo com uma velocidade vy = 50 m/s no


campo Bz = 8 cos(1, 5× 108t− 0, 5x) µT. Encontre uma função do tempo que expresse a perda ôhmica

que é entregue à espira.

10. a) Mostre que a razão entre as amplitudes da densidade de corrente de condução e da densidade de

corrente de deslocamento éσ

ωεpara o campo aplicado E = Em cos ωt. Assuma µ = µ0. b) Qual é a

razão entre as amplitudes se o campo aplicado for E = Eme−t/τ , onde τ é real?

11. Sejam as dimensões internas de um capacitor coaxial a = 1, 2 cm, b = 4 cm, e l = 40 cm. O material

homogêneo dentro do capacitor possui os parâmetros ε = 10−11 F/m, µ = 10−5 H/m e σ = 10−5 S/m.

Se a intensidade de campo elétrico é−→E =

106

ρcos 105t~aρ V/m, calcule:

a)−→J ;

b) a corrente de condução total Ic pelo capacitor;

c) a corrente de deslocamento total Id pelo capacitor;

d) a razão entre as amplitudes de Id e de Ic, o fator de qualidade do capacitor.

12. Mostre que a corrente de deslocamento que circula entre os dois cilindros condutores em um capacitor

coaxial sem perdas é exatamente a mesma que a corrente de condução que flui no circuito externo, caso

a tensão aplicada enter os condutores seja V0 cos ωt V.

13. Considere a região definida por |x|, |y| e |z| < 1. Seja εr = 5, µr = 4 e σ = 0. Se Jd = 20 cos(1, 5× 108t−

bx)~ay µA/m2:

a) Calcule−→D e−→E ;

b) use a forma pontual da lei de Faraday e uma integração com relação ao tempo para encontrar−→B

e−→H ;

c) use−→∇ ×−→H =

−→Jd +

−→J para encontrar

−→Jd.

d) Qual é o valor numérico de b?

14. Uma fonte de tensão V0 sen ωt é conectada entre duas esferas condutoras concêntricas, r = a e r = b,

b > a, onde a região entre elas é um material para o qual ε = εrε0, µ = µ0 e σ = 0. Calcule a corrente de

deslocamento total pelo dielétrico e compare-a com a corrente da fonte determinada pela capacitância

e de métodos de análise de circuitos.

15. Seja µ = 3 · 10−5 H/m, ε = 1, 2 · 10−10 F/m e σ = 0 em todos os pontos. Se−→H = 2 cos(1010t −

βx)~az A/m, use as equações de Maxwell para obter expressões para−→B ,−→D ,−→E e β.

16. Derive a equação da continuidade a partir das equações de Maxwell.

17. A intensidade de campo elétrico na região 0 < x < 5, 0 < y <π

12, 0 < z < 0, 06 m no espaço livre é

dada por−→E = C sen 12y sen az cos 2 · 1010t~ax V/m. Começando pela relação

−→∇ ×−→E , use as equações

de Maxwell para encontrar um valor numérico para a, sabendo-se que a é maior que zero.

61

18. A linha de transmissão de placas paralelas mostrada na Figura 10.6 possui dimensões b = 4 cm e

d = 8 mm, enquanto o meio entre as placas é caracterizado por µr = 1, εr = 20 e σ = 0. Despreze os

campos foras do dielétrico. Dado o campo−→H = 5 cos(109t− βz)~ay A/m, use as equações de Maxwell

para auxiliar a encontrar:

a) β, se β > 0;

b) a densidade de corrente de deslocamento em z = 0;

c) a corrente de deslocamento total que atravessa a superfície x = 0, 5d, 0 < y < b, 0 < z < 0, 1 m na

direção ~ax.


19. Na Seção 10.1, a lei de Faraday foi utilizada para mostrar que o campo−→E = −1

2kB0ektρ~aρ resulta do

campo magnético variável−→B = B0ekt~az.

a) Mostre que esses campos não satisfazem à outra equação de Maxwell para o rotacional.

b) Se fizermos B0 = 1 T e k = 106 s−1, estaremos estabelecendo uma densidade de fluxo magnético

consideravelmente alta em 1 µs. Use a equação−→∇ ×−→H para mostrar que a taxa na qual Bz deveria

variar (mas não varia) com ρ é apenas aproximadamente 5 · 10−6 T por metro no espaço livre em

t = 0.

20. O ponto C(−0, 1;−0, 2; 0, 3) pertence à superfície de um condutor perfeito. A intensidade de campo

elétrico em C é (500~ax − 300~ay + 600~az) cos 107t V/m, e o meio em volta do condutor é caracterizado

por µr = 5, εr = 10 e σ = 0.

a) Encontre um vetor unitário normal à superfície do condutor em C, se a origem está dentro do

condutor.

b) Encontre a densidade superficial de carga em C.

21. a) Mostre que, sob condições de campo estático, a Equação (10.3) se reduz à lei de circuital de Ampère.

b) Verifique que a Equação (10.4) se torna a lei de Faraday quando tomamos seu rotacional.


∇2−→A = −µ−→J + µε

∂2−→A∂t2 (10.3)

−→E = −−→∇V − ∂

−→A∂t

(10.4)

22. Em um meio desprovido de fontes do qual−→J = 0 e ρv = 0, considere um sistema de coordenadas

cartesianas no qual−→E e−→H são funções apenas de z e t. O meio tem permissividade ε e permeabilidade

µ.

a) Se−→E = Ex~ax e

−→H = Hy~ay, comece pelas equações de Maxwell e determine a equação diferencial

parcial de segunda ordem que Ex deve satisfazer.

b) Mostre que Ex = E0 cos(ωt− βz) é uma solução daquela equação para um valor particular de β.

c) Calcule β como função dos parâmetros dados.

23. Na região 1, z < 0, ε1 = 2 · 10−11 F/m, µ1 = 2 · 10−6 H/m e σ1 = 4 · 10−3 S/m. Na região 2, z > 0,

ε2 =ε1

2, µ2 = 2µ1 e σ2 =

σ1

4. É sabido que

−→E1 = (30~ax + 20~ay + 10~az) cos 109t V/m em P(0, 0, 0−).

a) Encontre−→EN1,

−→ET1,−→DN1 e

−→DT1 em P1.

b) Calcule−→JN1 e

−→JT1 em P1.

c) Calcule−→ET2,−→DT2 e

−→JT2 em P2(0, 0, 0+).

d) Use a equação da continuidade para ajudar a mostrar que JN1 − JN2 =∂DN2

∂t− ∂DN1

∂t, e então

determine−→DN2,

−→JN2 e

−→EN2.

24. Em um meio no qual ρv = 0, mas a permissividade é uma função da posição, determine, as condições

para a variação da permissividade de forma que: a)−→∇ ·−→E = 0; e b)

−→∇ ·−→E .= 0.

25. Em uma região onde µr = εr = 1 e σ = 0, os potenciais retardados são dados por V = x(z− ct) V e−→A = x

( zc− t)~az Wb/m, onde c =

1√

µ0ε0.

a) Mostre que−→∇ ·−→A = −µε

∂V∂t

.

b) Calcule−→B ,−→H ,−→E e−→D .

c) Mostre que esses resultados satisfazem às equações de Maxwell se−→J e ρv são zero.

26. Seja a corrente I = 80t A na direção ~az ao longo do eixo z no espaço livre dentro do intervalo −0, 1 <

z < 0, 1 m. a) Calcule Az em P(0, 2, 0) e b) desenhe Az versus t para o intervalo de tempo −0, 1 < t <

0, 1 µs.

ARespostas dos exercícios

Capítulo 1

1. a) ~a = 0, 92~ax + 0, 36~ay + 0, 14~az b) 48,6;

c) −580, 5~ax + 3193~ay − 2902~az.

2. a) 23,9 b) ~aMM = −0, 27~ax − 0, 14~ay + 0, 95~az

3.−→B = 7, 83~ax − 7, 83~ay + 3, 92~az

4. 0, 5(−~ax +√

3~ay).

5. a)−→G(1, 2,−1) = 48~ax + 36~ay + 18~az;

b) ~aG = −0, 26~ax + 0, 39~ay + 0, 88~az;

c) ~aQP = 0, 59~ax + 0, 20~ay − 0, 78~az;

d) 16x2y2 + 4x4 + 16x2 + 16 + 9z4 = 100

9. a) ~aG = 0, 6~ax + 0, 8~ay b) θ = 53 c) 26

10. 70, 53

11.−→RMN = −0, 3~ax + 0, 3~ay + 0, 4~az b) 0,05

c) 0,12 d) 78

13. a)−→F ||G = 0, 93~ax + 1, 86~ay + 2, 79~az;

b)−→F pG = 9, 07~ax − 7, 86~ay + 2, 21~az;

c)−→GpF = 0, 02~ax + 0, 25~ay + 0, 26~az

15. a) ~ap12 = 0, 08~ax + 0, 41~ay + 0, 91~az;

b) ~ap = 0, 30~ax + 0, 81~ay + 0, 50~az

c) 30,3 d) 32,0

16.−→E(x, y) =

B[(x− 2)~ax + y~ay]

(x− 2)2 + y2

17. a) ~ap = 0, 664~ax − 0, 379~ay + 0, 645~az;

b) ~aAN = −0, 550~ax − 0, 832~ay + 0, 077~az;

c) ~abis = 0, 168~ax + 0, 915~ay + 0, 367~az.

18.−→H(r, θ) =

Ar sen θ

~aφ

19. a)−→D =

1ρ~aρ b)

−→D = 0, 41~ax + 0, 29~ay.

20. a) ~v(ρ) = −Ωρ~aφ, onde ρ < a;

b) ~v(r, θ) = −Ωr sen θ~aφ, onde r sen θ < a;

c) ~v(x, y) = −Ω(y~ax − x~ay), onde√

x2 + y2 < a

21. a)−→RCD = −6, 66z~aρ − 2, 77~aφ + 9~az;

b) ~aDC = −0, 59~aρ + 0, 21~aφ − 0, 78~az;

c) ~a = −0, 90~aρ − 0, 44~az.

63

64 Apêndice A. Respostas dos exercícios

22. a) ~v(r, θ) = Ωr sen θ~aφ (r < a);

b) ~v(x, y) = Ω(−y~ax + x~ay), onde√

x2+y2+z2<a.

23. a) 6,28 b) 20,7 c) 22,4 d) 3,21

24. a)−→E(x, y, z) =

A(x~ax + y~ay + z~az)

(x2 + y2 + z2)3/2

b)−→E(ρ, z) =

A(ρ~aρ + z~az)

(ρ2 + z2)3/2

25. a)−→E = 1, 10~aρ + 2, 21~aφ b) EP = 2, 47

c) ~aE = 0, 45~ar + 0, 89~aφ

26. a)−→F (ρ, φ) = 5(cos φ~aρ − sen φ~aφ);

b) F(r,θ,φ)=5( sen θ cos φ~ar+cos θ cos φ~aθ− sen φ~aφ)

27. a) 2,91 b) 12,61 c) 17,49 d) 2,53

28. a)

−→G(x, y, z) =

8y√x2 + y2 + z2

(xz

x2 + y2 ~ax+

+yz

x2 + y2 ~ay − ~az

)

b)−→G(ρ, z) =

8ρ sen φ√ρ2 + z2

(zρ~aρ − ~az

)29. a) 0, 59~ar + 0, 38~aθ − 0, 72~aφ

b) 0, 80~ar − 0, 22~aθ − 0, 55~aφ

c) 0, 66~ar + 0, 39~aθ − 0, 64~aφ

30. a) −12~ar; b) −5~aθ + 15~aφ; c) −12~ar + 15~aφ;

d) ~b =1√41

(5~ar + 4~aφ

)Capítulo 2

1. F = 4, 0× 10−4 N

2. a) y = 1± 21/4

√|Q2|Q1

b) z = ±21/4

√|Q2|Q1

3.−→F = 21, 5~ax µN

4.−→F (a, a, a) =

1, 90q2

4πε0a2 (~ax + ~ay + ~az)

5. a)−→E = 4, 58~ax − 0, 15~ay + 5, 51~az

b) y1 = −6, 89 ou y2 = −22, 11

6. a)−→E(x = 5) = 5, 8~ax V/m

b) x = 0 c)−→E(x = 5) = 5, 4~ax V/m

7.−→E = 159, 7~aρ + 27, 4~aφ − 49, 4~az V/m

8. a) Q = 2(d− x)√

πε0kx

b) Qmax = 4a√

πε0k(d− 2a)

c) Nada acontece.

9. a) (x+1)=0,56[(x+1)2+(y−1)2+(z−3)2]1,5

b) y1 = 1, 69 ou y1 = 0, 31

10. P(a, b, c) = −3, 344~ax + 5, 793~ay

11. a) Q0 = −1, 63 µC;

b)−→E M = −30, 11~ax − 180, 63~ay − 150, 53~az

c)−→E M = −183, 12~aρ − 150, 53~az

d) Er = −237, 1 V/m

12. ρv = −43, 3 µC/m3

13. a) Q = 82, 1 pC b) r1 = 4, 24 cm

14. ρ = a

15. a) Q = 3, 35× 10−2 C

b) ρv,med = 1, 24× 106 C/m3

16. Qa = πρ0a3 b) Qb = 0, 024πρ0a3

c) Qc = 0, 0024πρ0a3

17. a)−→E P = 57, 5~ay − 28, 8~az V/m

b)−→Ez=0 = 23~ay − 46~az V/m

18. a)−→E tot = 2, 0~ax + 7, 3~ay − 9, 4~az V/m

b) ρL = −3, 75 nC/m

19. a)−→E P = 7, 2~ax + 14, 4~ay kV/m

b)−→E P = 4, 9~ax + 9, 8~ay + 4, 9~az kV/m

20. a)−→E(0, 0, 4) = 34, 0~az V/m

b)−→E(0, 4, 0) = 18, 98~ay V/m

65

21.−→F = 126~ay µN/m

22. −5, 6× 10−4~az N/m2

23. a) Ez,Pa = 8, 1 kV/m b) Ez,Pb = −8, 1 kV/m

25.−→E = −3, 9~ax − 12, 4~ay − 2, 5~az V/m

26. a)−→F (0, 0, z) =

qQd~az

4πε0z3 N;

b)−→F (0, y, 0) =

−qQd~az

4πε0y3 N

27. a) y2 − x2 = 4xy− 19; b) ~aQ = 0, 99~ax + 0, 12~ay

28. z2 = x2 + 2 ln x

29. a) |−→E P| = 12, 2 V/m

b) ~aE = −0, 87~ax − 0, 50~ay

c) y =15

ln cos 5x + 0, 13

30. ρ2 =2√

3sen 2φ

Capítulo 3

1. a) −5 nC b) −2 nC

2. a)−→D(3,−1, 0) = −0, 38~ax + 0, 13~az nC/m2

b) 0 c) Φ = −326 nC

3. a) Q = 0, 25 nC b) Φ = 9, 45 pC

4. a) Φa = 1 b) Φb = 1

5. Φ = 360 C

6.−→Din = ρ0z~az C/m2, para |z| < d/2

−→E in =

ρ0z~az

ε0V/m, para |z| < d/2

−→Dout =

ρ0d2

~az para z >d2

−ρ0d2

~az para z <d2

−→Eout =

ρ0d2ε0

~az para z >d2

−ρ0d2ε0

~az para z <d2

7. a) Q = 4, 0× 10−9 nC;

b) Dr = 3, 2× 10−4 nC/m2

8. ρ(r) =Ar2

9. a) Q = 164 pC b) Dr(10 mm) = 130 nC/m2

c) Dr(20 mm) = 32, 5 nC/m2

11. a) Dρ = 0, para ρ < 1 mm;

b) Dρ=10−15

2π2ρ sen (2000πρ)+2π[1−103ρ cos(2000πρ)] C/m2,

para 1 < ρ < 1, 5 mm

c) Dρ =2, 5× 10−15

πρC/m2, para ρ > 1, 5 mm

13. a) Dr(r = 1) = 0; Dr(r = 3) = 8, 9 nC/m2

Dr(r = 5) = 6, 4× 10−10 C/m2

b) ρs0 = −49

nC/m2

15. a) Q =8πL

3(ρ3

1 − 10−9) µC

b) Dρ(ρ1) =4(ρ3

1 − 10−9)

3ρ1µC/m2

c) Dρ(0, 8 mm) = 0;

Dρ(1, 6 mm) = 3, 6× 10−6 µC/m2

Dρ(2, 4 mm) = 3, 9× 10−6 µC/m2

17. a) Φ = 0, 1028 C b)−→∇ ·−→D = 12, 83 C/m3

c) Q = 0, 1026 C

19. Φ = 113 nC

21. a) 8,96 b) 71,67 c) −2

23. b) ρv0 =3Q

4πa3 C/m3

25. a) 17, 50 C/m3 b)−→D(4) = 5~ar C/m2

c) Φ = 320π C d) Q = 320π C

27. a) 1, 20 mC/m3 b) 0 c) −32 µC/m2

29. a) 3,47 C b) 3,47 C

31. −3, 91 C

Capítulo 4

1. a) −12 nJ b) 24 nJ c) −36 nJ

d) −44, 9 nJ e) −41, 8 nJ


2. a)−→E P = −(5~ax + 25~ay + 50

√3~az) V/m;

b) 10 pJ c) 50 pJ d) 100√

3 pJ e) 135 pJ

3. a) 3, 1 µJ b) 3, 1 µJ

4. Ex = 7x V/m

5. a) 2 b) −2

6. a) −28 µJ b) −28 µJ c) −28 µJ

7. a) 90 b) 82

8. W =−a2

2

9. a) 8,14 V 1,36 V

10. a) V`(ρ) =ρL

2πε0ln(

ρ0

ρ

)b) V`(ρ) =

ρL2πε0

ln(

ρ0

ρ

)+ V0

c) Não.

11. VN = 1, 98 kV

12. a) V(r) =1

r2 + a2 b) V(r) =−r2

a2(r2 + a2)

c) V(r) =a2 − r2

2a2(r2 + a2)+ 100

13. 576 pJ

14. a) 2 V b) 10 V

15. −68, 4 V

16. a) Em φ =(2m− 1)π

2b, onde m = 1, 2, 3, . . .

b)−→E =

kρ3 [2 cos(bφ)~aρ + b sen (bφ)~aφ]

17. a) −3, 026 V b) −9, 678 V

18. V =k

16ε0a

19. 0,081 V

21. a) −15, 0 V b) 15,0 V

c)−→E P = 7, 1~ax + 22, 8~ay − 71, 1~az V/m

d) |−→E P| = 75, 0 V/m

e) ~aN = −0, 095~ax − 0, 304~ay + 0, 948~az

f)−→DP = 62, 8~ax + 202~ay − 629~az pC/m2

22. Q = −π2aε0V0 C

23. a)−→E = −48ρ−0,4 V/m b) −673 pC/m3

c) −1, 96 nC

24.−→E P = −(47, 34~ax + 16, 10~ay + 0, 32~az) V/m

25. a) VP = 279, 9 V,

−→E P = −179, 9~aρ − 75, 0~aφ V/m,

−→DP = −1, 59~aρ − 0, 664~aφ nC/m2,

ρvP = −443 pC/m3

b) −5, 56 nC

26. a)

√3~ax − ~ay

2; b) O ponto de saída é em

(0, 69; 0) e sai na direção de −~ay.

27. a) 5, 78 V; b) |−→E P| = 25, 2 V/m; c) VP = 5, 76 V

29. 1,31 V

30. As superfícies cônicas de θ = 54, 7 e θ = 125, 3

31. a) 387 pJ b) 207 pJ

32. a)(qd)2

12πε0a3 J

33. a)−→D =

5× 10−6

4πr2 ~ar C/m2 b) 2,81 J c) 4,45 pF

34. a)4πa5ρ2

015ε0

b)4πa5ρ2

015ε0

35. a) 0, 779 µJ b) 1, 59 µJ

Capítulo 5

1. a) −1, 23 MA b) 0 c) 0

2. a) 100π A b) 100πe−2 A c) 0

3. a) 77,4 A b) 53~ar A/m2

4. ρv = 10−4x−0,5 C/m3

5. a) −178, 0 A b) 0 c) 0

6. a) 2,31 A b) 2,77 A

c) ρv(r, t) =10−7e−106t

r2 C/m3

d) ~v = 106r~ar m/s

67

7. b) −550 g/m3 − s

9. a) 0,28 mm b) 6, 0× 107 A/m2

11. a)−→E =

9, 55ρ`

~aρ V/m; V =4, 88`

V; R =1, 63`

Ω;

b) V =14, 64`

W

12. a)1, 72dσ0 A

Ω b) I =σ0 AV0

1, 72d

c)−→J =

−V0ez/d

1, 72d~az V/m

13. a) 0,147 V b) 0,144 V

14. a)−→E = −V0

d~az V/m b) I =

0, 63abσ0V0

dA

c) R =d

0, 63abσ0Ω

15. a) (ρ + 1)z2 cos φ = 2

b) −18, 2~aρ + 145~aφ − 26, 7~az V/m

c) 1, 32 nC/m2

16. a) ρs1

∣∣∣∣ρ=0,1

= −200ε0 C/m2

ρs2

∣∣∣∣ρ=0,3

= 600ε0 C/m2;

b) −320πε0 C

17. a) −100ε0xx2 + 4

~az C/m2 c) −0, 92 nC

18. ~aP = 0, 447~ax + 0, 894~ay ρs = 792 pC/m2

19. a) 2x2y− z = 0, em V = 0

2x2y− z =6z

, em V = 60 V

b) 1, 04 nC/m2;

c) ~an = −(0, 60~ax + 0, 68~ay + 0, 43~az)

20. a) 17, 9 µC/m2;

b) ρsP=100

1[(h−1)2+4]3/2 +

1[(h+1)2+4]3/2

µC/m2

21. a) 1,20 kV b)−→E P = 723~ax − 18, 9~ay V/m

22. a) −0, 29 µC/m2 b) −0, 24 µC/m2

23. a) 289,5 V

b)

z[(x−1)2+y2+z2]1,5 − z

[(x+1)2+y2+z2]1,5

= 0, 222

24. 2,36 S/m

25. a) 4, 7× 10−5 S/m b) 1, 1× 10−3 S/m;

c) 1, 2× 10−2 S/m

26. 155 kΩ

Capítulo 6

1. a) 6, 26 pC/m2; b) 1,000176

2. εr =43

3. a)−→E =

144, 9ρ

~aρ V/m−→D =

3, 28ρ

~aρ nC/m2

b) Vab = 192 V χe = 1, 56

c) ~p(ρ) =5, 0× 10−29

ρ~aρ C ·m

5. a) EN1 = 80 V/m b)−→ET1 = −60~ay − 30~az V/m

c) ET1 = −67, 1 V/m d) E1 = 104, 4 V/m

e) θ1 = 40 f) 2, 12 nC/m2 g) 2, 97 nC/m2

h)−→D2 = 2, 12~ax − 2, 66~ay − 1, 33~az nC/m2

i)−→P2 = 1, 70~ax − 2, 13~ay − 1, 06~az nC/m2

j) θ2 = 54, 5

6. a)−→E = 5~ax kV/m

−→D = 70, 8~ax nC/m2

−→P = 26, 6~ax nC/m2

b) ρv = ρb = ρt = 0

7.−→E2 = 125~ax + 175~ay V/m

8. a)−→D2 = 0, 35~ax − 0, 44~ay + 2, 21~az nC/m2

b) we1 = 26, 6 nJ/m3 we2 = 59, 0 nJ/m3

9. a)−→E1 =

−→E 2

b) WE1 = 45, 1 µJ WE2 = 338 µJ

10. a) 3,54 pF

b) E = 2 kV/m; D = 0, 21 µC/m2; Q = 21 pC;

We = 63 pJ

c) E = 2 kV/m; D = 17, 7 nC/m2; Q = 1, 8 pC;

We = 5, 4 pJ

13. 451 pF


15. a) 3,05 nF para εr3 = 1; b) 5,21 nF para εr3 = 2, 5;

c) 6,32 nF para εr3 = 4; d) 9,83 nF se prata.

16. a)−→E = −V0

d~az V/m

b)−→D = − ε0(1 + ρ/a)V0

d~az C/m

c) Q =5πε0a2

3dV0 d) C =

5πε0a2

3dF

17. a) 143 pF b) 101 pF

19. a) 53,3 pF b) 41,7 pF

21. K1 = 23, 0 ρL = 8, 87 nC/m C = 35, 5 pF

22. d = 1, 88 mm

23. a) 473 nC/m2 b) −15, 8 nC/m2

24. 24,3 pF/m

25. a) 59 pF/m b) 57 pF/m

26. C = 17, 7 pF/m (valor aproximado) e

C = 17, 3 pF/m (valor exato)

27. C = 11, 5ε0 F/m

28. b) 90 pF/m

29. b) C ∼= 110 pF/m

30. a) σ =σ0

ρ, onde σ0 é uma constante.

b) R =b− a2πσ0

31. a) Q = 3, 64 nC/m; b) I = 206 mA

Capítulo 7

1. a) VP = −8 V b)−→E P = 8~ax + 8~ay − 24~az V/m

c) −4xz(z2 + 3y2) C/m3 d) xy2z3 = −4

e) y2 − 2x2 = 2 e 3x2 − z2 = 2

f) Não, porque a densidade de carga não é zero.

2. ρv(a) =ε0V0

a2 e−1 C/m3

b)−→E(a) =

V0

ae−1~ar V/m c) 0

3. f (x, y) = −4e2x + 3x2 e V(x, y) = 3(x2 − y2)

4. b) Superfícies com x constante;

c) Em x = 0 e x = d d) V(x) =V0x

d

5. b) A = 112, 5; B = −12, 5 ou A = −12, 5; B =

112, 5

6. a) V(z) =ρ0z2ε

(d− z)

b)−→E =

ρ0

2ε(2z− d)~az V/m

c) V(z) =V0

dz +

ρ0z2ε

(d− z)

−→E = −V0

d~az +

ρ0

2ε(2z− d)~az V/m

7. a) −106 pC/m3 b) ±0, 399 pC/m2

8. a)

V(r) =

ρ0

6ε(a2 − r2), r < a

0, r > a

b)

−→E =

ρ0r3ε

~ar, r < a

0, r > a

10. a)

V(z) =

ρ0bz2ε

[b + 2εr(d− b)b + εr(d− b)

]− z

b

, z < b

ρ0b2

2ε0

[d− z

b + εr(d− b)

], z > b

b)

−→E =

ρ0

ε

z− b

2

[b + 2εr(d− b)b + εr(d− b)

]~az, z < b

ρ0b2

2ε0

[1

b + εr(d− b)

]~az, z > b

11. a) 33,33 V b)−→E P =

1003

~ax + 50~ay V/m

13. a) 1,01 cm b) 22,8 kV/m c) 3,15

14. εr = 5, 31

69

15. a) V(φ) = (−2× 104)φ + 3, 78× 103 V

b)−→E =

2, 0× 104

ρ~aφ V/m

c)−→D =

2, 0× 104ε0

ρ~aφ V/m

d) ρs =2, 0× 104

ρC/m2 e) Q = 84, 7 nC

f) V(φ) = 28, 7φ + 194, 9 V;−→E = −28, 7

ρ~aφ V/m

−→D = −28, 7ε0

ρ~aφ V/m ρs = −

28, 7ε0

ρC/m2

Q = 122 pC; g) C = 471 pF

16. a) V(z) =V0z

dV; b)

−→E = −V0

d~az V/m

c)5πa2ε0V0

3d; d)

5πa2ε0

3d

17. a) 12,5 mm b) 26,7 kV/m c) 4,23

19. a) 56, 31 b) 23,3 V

20. 1, 56~aθ kV/m;

b) Superfície cônica em θ = 107.

21. a) V(r) = 833, 3r−0,4 V b) V(r) = 833, 3r−0,4 V

22.ρ0a2

2ε0V

23. V(3, 4) ∼= 71, 9173 V

24. 12,5 V

25. 12,5 V

Capítulo 8

1. a)−→Ha = −294~ax + 196~ay µA/m;

b)−→Hb = −127~ax + 382~ay µA/m

c)−→HT = −421~ax + 578~ay µA/m

2.−→H =

9I2π`

~ay A/m

3. a)−→H =

I2πρ

(1− a√

ρ2 + a2

)~aφ A/m

b) a =1√3

4. a)−→H =

I2a

~az A/m b) 1, 80a

6.−→H =

ρsΩ2z

[a2 + 2z2(1−

√1 + a2/z2)√

1 + a2/z2

]~az A/m

7. a) ~aH = 0, 53~ax + 0, 80~ay + 0, 27~az

b) 5, 73 µA/m; c) ~a` = ±(−~ax + ~ay − ~az)√

3

8.−→H =

I4πρ

( sen α2 − sen α1)~aφ

9.−→HP = −1, 50~ay A/m

10.

−→H =

−I

2πr sen θ~aφ, para r > a

0, para r < a

11.

Hφ =

2, 0 A/m, para ρ = 0, 5 cm

933 mA/m, para ρ = 1, 5 cm

360 mA/m, para ρ = 2, 5 cm

0, para ρ = 3, 5 cm

12.

−→H =

0, z = −0, 2 m

−2~ax A/m, z = 0, 2 m

−3~ax A/m, z = 0, 4 m

−2, 5~ax A/m, z = 0, 75 m

0, z = 1, 2 m

14. a)−→HA = 0 b)

−→HB = 71, 4~aφ A/m

c)−→HC = 55, 6~aφ A/m; d)

−→HD = 0

15. a)−→J = 45e−150ρ~az kA/m2

b) I = 12, 6[1− (1 + 150ρ0)e−150ρ0 ] A

c) Hφ =2, 00

ρ[1− (1 + 150ρ)e−150ρ] A/m

16. a)

−→J =

− I~az

2πa2 A/m2, para 0 < ρ < a

I~az

π(b20 − b2

i )A/m2, para bi < ρ < b0

− I~az

2π(c20 − c2

i )A/m2, para ci < ρ < c0


b)

−→H =

− ρI4πa2 ~aφ, 0 < ρ < a

− I4πρ

~aφ, a < ρ < bi

I4πρ

[2(ρ2 − b2

i )

(b20 − b2

i )− 1

]~aφ, bi < ρ < b0

I4πρ

~aφ, b0 < ρ < ci

I4πρ

[1−

(ρ2 − c2i )

(c20 − c2

i )

]~aφ, ci < ρ < c0

c)

−→E =

− V0

ρ ln(bi/a)~aρ, a < ρ < bi

V0

ρ ln(ci/b0)~aρ, b0 < ρ < ci

17. a)−→Hinterno = 2, 2× 10−1~aφ A/m

e−→Hexterno = 2, 3× 10−2~aφ A/m

b) 3, 4× 10−1~aφ A/m c) 1, 3× 10−1~aφ A/m

d) −1, 3× 10−1~az A/m

18.

Hφ =

663 A/m, ρ < 2 mm

2, 7× 103ρ− 8× 10−3

ρ, 2 < ρ < 3

1, 6× 10−2

ρ, ρ > 3 mm

19. 0

20. a) 6× 107ρ S/m b) 1, 3 Ω

21.−→∇ ×−→H ∼= 530~ax + 460~ay − 148~az A/m2

22. a) ρ0ρΩ~aφ A/m2 b)ρ0Ωa2

2(a2 − ρ2)~az A/m

23. a) 60ρ~az A/m2 b) 40π A c) 40π A

24. 15π

25. a) −259 A b) −259 A

26. a) 995, 8 b) 995, 8

27. a)2(x + 2y)

z3 ~ax +1z2 ~az A/m c)

18

A

28. a) −2, 73 kA b) −2, 73 kA

29. a) 1, 59× 107~az A/m2

b)−→H = 7, 96ρ~aφ MA/m

−→B = 10ρ~aφ Wb/m2

d)−→H =

1πρ

~aφ A/m−→B =

µ0

πρ~aφ Wb/m2

30. a) 500ρ(1 + 5× 105ρ3)~aφ A/m b) 2, 5 nWb

31. a) 0, 392 µWb b) 1, 49 µWb c) 27 µWb

32. a)

−→K =

60ρ~aρ A/m, z = 1

−60ρ~aρ A/m, z = 4

b)−→Hfora = 0

−→Hdentro = −60

ρ~aφ A/m

c) 0, 92 µWb

34. a)

−→H =

162πρ

~aφ, 0 < ρ < 6

42πρ

~aφ, 6 < ρ < 10

0, ρ > 10

c) 5, 9µWb

35. a) Vm = −40φ A

b)−→A = 40µ0 ln

(3ρ

)~az Wb/m

36. b)−→AP = −6~ax + 12~ay

−→BP = −4~ax − ~ay + 3~az Wb/m2

−→HP = −3, 2~ax − 0, 8~ay + 2, 4~az MA/m;

−→J = 0

37. Vm = 120− 400π

φ A, para 0 < φ < 2π

38. a)Az =µ0 I4π

senh−1

(L− z

ρ

)− senh−1

[−(L + z)

ρ

]b)−→B =

µ0 I4πρ

[1√

1 + ρ2/(L− z)2+

1√1 + ρ2/(L + z)2

]~aφ

71

39. a)−→H = −30~ay A/m

b) Vm = 30y− 6 A

c)−→B = −30µ0~ay Wb/m2

d)−→A = µ0(30x− 3)~az Wb/m

41. a)−→B = −100ρ~aφ Wb/m2 −→

H = −100ρ

µ0A/m

b)−→J = −200

µ0~az A/m2 c) −500 MA

43. Az =µ0 I96π

[(ρ2

a2 − 25)+ 98 ln

(5aρ

)]Wb/m

exerci cio s

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