P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S

EXEMPLOS -

DIELÉ

TRIC

OS

1

P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S

EXEMPLO 1

2

Um modelo primitivo para um átomo consiste de um núcleo carregado positivamente (+q) cercado por um nuvem esférica de raio R uniformemente carregada de carga negativa (- q). Calcule a polarizabilidade deste tipo de átomo.

Na presença de um campo elétrico externo E, o núcleo sofrerá um pequeno deslocamento em relação à nuvem dos elétrons (está muito amplificado na figura).

a+q

- q

E

d+q

- q O campo produzido pela nuvem eletrônica sobre o núcleo é dado por:

30

14e

qdE

a

No equilíbrio, esse campo compensa o campo externo, E = Ee

303

0

1(4 )

4eqd

E E p qd a Ea

Logo, a polarizabilidade atômica será dada por:

30 04 3 ap E a V

Nessa expressão, Va é o volume do átomo.

P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S

EXEMPLO 2

3

P

n

R

z

. cosb P Pn

0

( , ) (cos )ll l

l

r ar P

Na região externa a esfera:

( 1)

0

( , ) (cos )ll l

l

r br P

Obtenha o campo elétrico produzido por uma esfera de raio R uniformemente polarizada.

Como a polarização é uniforme, a densidade de carga é somente superficial:

Consideremos primeiro a situação r < R (interior da esfera):

P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S

EXEMPLO 2 - CONTINUAÇÃO

4

Como o potencial é contínuo em r = R :

( 1) ( 1)

0 02 1

(cos ) (cos )l ll ll l l l l l

l ll

l l

aR P bR P aR bR

b aR

Vamos agora usar a condição de descontinuidade do campo elétrico em r = R:

0 0

cosf d b

r R

Pr r

Usando as expressões anteriores:

1

1 1

00 0

11

(cos ) cos0 00

cos( )(cos ) ( 1) (cos )

cos( )(2 1) (cos )

3

l ll l l l

l l

ll l

Pl

PlaR P l aR P

P Pl aR P a

Todos os demais coeficientes são

nulos.

P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 5

Portanto:

03

20

cos3

( , )cos

3

Pr r R

rR P

r Rr

Como o eixo z é dado por r cos:

0 03

2300

0

32

0

3 3( , ) ( , )

.143

3

.1 44 3

P Pz r R r R

r rR Pz r Rr R

rr

r R

r R Rr

z

r

e

Epr

P

Epe

p P

Momento de dipolo da

esfera

EXEMPLO 2 - CONTINUAÇÃO

P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 6

Um capacitor de placas paralelas é preenchido com um material dielétrico de constante r. Qual o efeito na capacitância?

O potencial no interior do capacitor será diminuído por um fator 1/ r. Da definição de capacitância:

0r vacuo r

AQC C C

V d

EXEMPLO 3