matematica para ufms

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Sumário Mínimo Múltiplo Comum.................................................................................................................... 2 Máximo Divisor Comum......................................................................................................................4 Critérios de divisibilidade.....................................................................................................................5 Divisibilidade por 2................................................................................................................5 Divisibilidade por 3................................................................................................................5 Divisibilidade por 4................................................................................................................6 Divisibilidade por 5................................................................................................................6 Divisibilidade por 6................................................................................................................6 Divisibilidade por 8................................................................................................................6 Divisibilidade por 9................................................................................................................6 Divisibilidade por 10..............................................................................................................7 Divisibilidade por 11.............................................................................................................. 7 Divisibilidade por 12..............................................................................................................7 Divisibilidade por 15..............................................................................................................7 Divisibilidade por 25..............................................................................................................8 Razões - Introdução............................................................................................................................10 Proporções - Introdução..................................................................................................................... 14 Regra de três simples..........................................................................................................................24 Regra de três composta.......................................................................................................................27 PORCENTAGEM.............................................................................................................................. 29 Ângulos...............................................................................................................................................31 MEDIDA DE UM ÂNGULO.............................................................................................................33 ÂNGULOS CONGRUENTES...........................................................................................................37 ÂNGULOS CONSECUTIVOS..........................................................................................................38 ÂNGULOS ADJACENTES............................................................................................................... 39 ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO........................................................................................... 42 ÂNGULOS COMPLEMENTARES...................................................................................................43 ÂNGULOS SUPLEMENTARES.......................................................................................................44 ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE..........................................................................................46

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CONCURSO UFMS.FIZ UMA COLETA DE MATERIAL PARA O CONCURSO

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  • SumrioMnimo Mltiplo Comum....................................................................................................................2Mximo Divisor Comum......................................................................................................................4Critrios de divisibilidade.....................................................................................................................5

    Divisibilidade por 2................................................................................................................5Divisibilidade por 3................................................................................................................5Divisibilidade por 4................................................................................................................6Divisibilidade por 5................................................................................................................6Divisibilidade por 6................................................................................................................6Divisibilidade por 8................................................................................................................6Divisibilidade por 9................................................................................................................6Divisibilidade por 10..............................................................................................................7Divisibilidade por 11..............................................................................................................7Divisibilidade por 12..............................................................................................................7Divisibilidade por 15..............................................................................................................7Divisibilidade por 25..............................................................................................................8

    Razes - Introduo............................................................................................................................10Propores - Introduo.....................................................................................................................14Regra de trs simples..........................................................................................................................24Regra de trs composta.......................................................................................................................27PORCENTAGEM..............................................................................................................................29ngulos...............................................................................................................................................31MEDIDA DE UM NGULO.............................................................................................................33NGULOS CONGRUENTES...........................................................................................................37NGULOS CONSECUTIVOS..........................................................................................................38NGULOS ADJACENTES...............................................................................................................39NGULO AGUDO, OBTUSO E RETO...........................................................................................42NGULOS COMPLEMENTARES...................................................................................................43NGULOS SUPLEMENTARES.......................................................................................................44NGULOS OPOSTOS PELO VRTICE..........................................................................................46

  • Mnimo Mltiplo ComumMLTIPLO DE UM NMERO NATURAL

    Como 24 divisvel por 3 dizemos que 24 mltiplo de 3. 24 tambm mltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

    Se um nmero divisvel por outro, diferente de zero, ento

    dizemos que ele mltiplo desse outro. Os mltiplos de um nmero so calculados multiplicando-se esse nmero pelos nmeros naturais. Exemplo: os mltiplos de 7 so: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ... Observaes importantes: 1) Um nmero tem infinitos mltiplos 2) Zero mltiplo de qualquer nmero natural

    MNIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.) Dois ou mais nmeros sempre tm mltiplos comuns a eles. Vamos achar os mltiplos comuns de 4 e 6: Mltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Mltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Mltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes mltiplos, diferentes de zero, 12 o menor deles. Chamamos o 12 de mnimo mltiplo comum de 4 e 6.

    O menor mltiplo comum de dois ou mais nmeros, diferente de zero, chamado de mnimo mltiplo

    comum desses nmeros. Usamos a abreviao m.m.c.

    CLCULO DO M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais nmeros utilizando a fatorao. Acompanhe o clculo do m.m.c. de 12 e 30: 1) decompomos os nmeros em fatores primos 2) o m.m.c. o produto dos fatores primos comuns e no-comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatorao dos nmeros na forma de potncia, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

    O m.m.c. de dois ou mais nmeros, quando fatorados,

  • o produto dos fatorescomuns e no-comuns a eles, cada um elevado ao maior

    expoente.

    PROCESSO DA DECOMPOSIO SIMULTNEA Neste processo decompomos todos os nmeros ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposio o m.m.c. desses nmeros. Ao lado vemos o clculo do m.m.c.(15,24,60)

    Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

    PROPRIEDADE DO M.M.C.

    Entre os nmeros 3, 6 e 30, o nmero 30 mltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 o m.m.c.(3,6,30). Observe:

    m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30Dados dois ou mais nmeros, se um deles mltiplo de

    todos os outros, entoele o m.m.c. dos nmeros dados.

    Considerando os nmeros 4 e 15, ques so primos entre si. O m.m.c.(4,15) igual a 60, que o produto de 4 por 15. Observe:

    m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60Dados dois nmeros primos entre si, o m.m.c. deles o

    produto desses nmeros.

  • Mximo Divisor Comum Dois nmeros naturais sempre tm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 so 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 o maior. Ento chamamos o 6 de mximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

    O maior divisor comum de dois ou mais nmeros chamado de mximo divisor comum desses nmeros.

    Usamos a abreviao m.d.c. Alguns exemplos: mdc (6,12) = 6 mdc (12,20) = 4 mdc (20,24) = 4 mdc (12,20,24) = 4 mdc (6,12,15) = 3

    CLCULO DO M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais nmeros utilizar a decomposio desses nmeros em fatores primos.1) decompomos os nmeros em fatores primos;2) o m.d.c. o produto dos fatores primos comuns.Acompanhe o clculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 390 = 2 x 3 x 3 x 5O m.d.c. o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3Portanto m.d.c.(36,90) = 18.Escrevendo a fatorao do nmero na forma de potncia temos:36 = 22 x 32

    90 = 2 x 32 x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

    O m.d.c. de dois ou mais nmeros, quando fatorados, o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao

    menor expoente.

    CLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISES SUCESSIVAS Nesse processo efetuamos vrias divises at chegar a uma diviso exata. O divisor desta diviso o m.d.c. Acompanhe o clculo do m.d.c.(48,30). Regra prtica: 1) dividimos o nmero maior pelo nmero menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18) 2) dividimos o divisor 30, que divisor da diviso anterior, por 18, que o resto da diviso anterior, e assim sucessivamente;

  • 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - diviso exata) 3) O divisor da diviso exata 6. Ento m.d.c.(48,30) = 6.

    NMEROS PRIMOS ENTRE SI

    Dois ou mais nmeros so primos entre si quando o mximo

    divisor comum desses nmeros 1. Exemplos: Os nmeros 35 e 24 so nmeros primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os nmeros 35 e 21 no so nmeros primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

    PROPRIEDADE DO M.D.C. Dentre os nmeros 6, 18 e 30, o nmero 6 divisor dos outros dois. Neste caso, 6 o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6 = 2 x 318 = 2 x 3230 = 2 x 3 x 5Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

    Dados dois ou mais nmeros, se um deles divisor de todos os outros, ento

    ele o m.d.c. dos nmeros dados.

    Critrios de divisibilidadePara alguns nmeros como o dois, o trs, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a diviso. Essas regras so chamadas de critrios de divisibilidade.

    Divisibilidade por 2Um nmero natural divisvel por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele par.Exemplos:1) 5040 divisvel por 2, pois termina em 0.2) 237 no divisvel por 2, pois no um nmero par.

    Divisibilidade por 3Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisvel por 3.Exemplo:234 divisvel por 3, pois a soma de seus algarismos igual a

  • 2+3+4=9, e como 9 divisvel por 3, ento 234 divisvel por 3.

    Divisibilidade por 4Um nmero divisvel por 4 quando termina em 00 ou quando o nmero formado pelos dois ltimos algarismos da direita for divisvel por 4.Exemplo:1800 divisvel por 4, pois termina em 00.4116 divisvel por 4, pois 16 divisvel por 4.1324 divisvel por 4, pois 24 divisvel por 4.3850 no divisvel por 4, pois no termina em 00 e 50 no divisvel por 4.

    Divisibilidade por 5Um nmero natural divisvel por 5 quando ele termina em 0 ou 5.Exemplos:1) 55 divisvel por 5, pois termina em 5.2) 90 divisvel por 5, pois termina em 0.3) 87 no divisvel por 5, pois no termina em 0 nem em 5.

    Divisibilidade por 6Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e por 3.Exemplos:1) 312 divisvel por 6, porque divisvel por 2 (par) e por 3 (soma: 6).2) 5214 divisvel por 6, porque divisvel por 2 (par) e por 3 (soma: 12).3) 716 no divisvel por 6, ( divisvel por 2, mas no divisvel por 3).4) 3405 no divisvel por 6 ( divisvel por 3, mas no divisvel por 2).

    Divisibilidade por 8Um nmero divisvel por 8 quando termina em 000, ou quando o nmero formado pelos trs ltimos algarismos da direita for divisvel por 8.Exemplos:1) 7000 divisvel por 8, pois termina em 000.2) 56104 divisvel por 8, pois 104 divisvel por 8.3) 61112 divisvel por 8, pois 112 divisvel por 8.4) 78164 no divisvel por 8, pois 164 no divisvel por 8.

    Divisibilidade por 9Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisvel por 9.Exemplo:2871 divisvel por 9, pois a soma de seus algarismos igual a

  • 2+8+7+1=18, e como 18 divisvel por 9, ento 2871 divisvel por 9.

    Divisibilidade por 10Um nmero natural divisvel por 10 quando ele termina em 0.Exemplos:1) 4150 divisvel por 10, pois termina em 0.2) 2106 no divisvel por 10, pois no termina em 0.

    Divisibilidade por 11Um nmero divisvel por 11 quando a diferena entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem mpar e a dos de ordem par divisvel por 11.O algarismo das unidades de 1 ordem, o das dezenas de 2 ordem, o das centenas de 3 ordem, e assim sucessivamente.Exemplos:1) 87549 Si (soma das ordens mpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = 22-11 = 11 Como 11 divisvel por 11, ento o nmero 87549 divisvel por 11.2) 439087 Si (soma das ordens mpares) = 7+0+3 = 10 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si-Sp = 10-21 Como a subtrao no pode ser realizada, acrescenta-se o menor mltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtrao possa ser realizada: 10+11 = 21. Ento temos a subtrao 21-21 = 0. Como zero divisvel por 11, o nmero 439087 divisvel por 11.

    Divisibilidade por 12Um nmero divisvel por 12 quando divisvel por 3 e por 4.Exemplos:1) 720 divisvel por 12, porque divisvel por 3 (soma=9) e por 4 (dois ltimos algarismos, 20).2) 870 no divisvel por 12 ( divisvel por 3, mas no divisvel por 4).3) 340 no divisvel por 12 ( divisvel por 4, mas no divisvel por 3).

    Divisibilidade por 15Um nmero divisvel por 15 quando divisvel por 3 e por 5.Exemplos:1) 105 divisvel por 15, porque divisvel por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).2) 324 no divisvel por 15 ( divisvel por 3, mas no divisvel por

  • 5).3) 530 no divisvel por 15 ( divisvel por 5, mas no divisvel por 3).

    Divisibilidade por 25Um nmero divisvel por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.Exemplos:200, 525, 850 e 975 so divisveis por 25.

    Nmeros PrimosNmeros primos so os nmeros naturais que tm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 um nmero primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 um nmero primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 no um nmero primo. Observaes: => 1 no um nmero primo, porque ele tem apenas um divisor que ele mesmo. => 2 o nico nmero primo que par. Os nmeros que tm mais de dois divisores so chamados nmeros compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 um nmero composto.

    Reconhecimento de um nmero primo Para saber se um nmero primo, dividimos esse nmero pelos nmeros primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. at que tenhamos: => ou uma diviso com resto zero e neste caso o nmero no primo, => ou uma diviso com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o nmero primo.Exemplos:1) O nmero 161:

    no par, portanto no divisvel por 2;1+6+1 = 8, portanto no divisvel por 3;no termina em 0 nem em 5, portanto no divisvel por 5;por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 divisvel por 7, e portanto no um nmero primo.

    2) O nmero 113:

  • no par, portanto no divisvel por 2;1+1+3 = 5, portanto no divisvel por 3;no termina em 0 nem em 5, portanto no divisvel por 5;por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda maior que o divisor (7).por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) menor que o divisor (11), e alm disso o resto diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 um nmero primo.

    Decomposio em fatores primos Todo nmero natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposio do nmero 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores so primos. Chamamos de fatorao de 24 a decomposio de 24 num produto de fatores primos. Ento a fatorao de 24 23 x 3.

    De um modo geral, chamamos de fatorao de um nmero natural, maior

    que 1, a sua decomposio num produto de fatores primos.

    Regra prtica para a fatorao Existe um dispositivo prtico para fatorar um nmero. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

    1) Dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo;

    2) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente at obter o quociente 1.A figura ao lado mostra a fatorao do nmero 630.

    Ento 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.

    Determinao dos divisores de um nmero Na prtica determinamos todos os divisores de um nmero utilizando os seus fatores primos.

  • Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

    1) decompomos o nmero em fatores primos;

    2) traamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele divisor de qualquer nmero;

    3) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores j obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;

    4) os divisores j obtidos no precisam ser repetidos.

    Portanto os divisores de 90 so 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

    Razes - IntroduoVamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: (o tamanho do carro de corrida duas vezes o tamanho do

    kart). Podemos afirmar tambm que o kart tem a metade do

    comprimento do carro de corrida. A comparao entre dois nmeros racionais, atravs de uma diviso, chama-se razo. A razo pode tambm ser representada por 1:2 e significa que

    cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.Denominamos de razo entre dois nmeros a e b (b diferente de zero)

    o quociente ou a:b.

  • A palavra razo, vem do latim ratio, e significa "diviso". Como no exemplo anterior, so diversas as situaes em que utilizamos o conceito de razo. Exemplos:

    Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.Razo dos candidatos aprovados nesse concurso:

    (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi

    aprovado).Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.Razo entre o nmero de mulheres e o nmero de convidados:

    (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

    Observaes: 1) A razo entre dois nmeros racionais pode ser apresentada de trs formas. Exemplo: Razo entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

    2) A razo entre dois nmeros racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrrios. Exemplos: A razo entre 1 e -8 .

    A razo entre

    Termos de uma razoObserve a razo: (l-se "a est para b" ou "a para b").

    Na razo a:b ou , o nmero a denominado antecedente e

    o nmero b denominado consequente. Veja o exemplo: 3:5 =

    Leitura da razo: 3 est para 5 ou 3 para 5.

  • Razes inversas

    Considere as razes .

    Observe que o produto dessas duas razes igual a 1, ou seja, .

    Nesse caso, podemos afirmar que so razes inversas.

    Duas razes so inversas entre si quando o produto delas igual a 1.

    Exemplo: so razes inversas, pois .

    Verifique que nas razes inversas o antecedente de uma o consequente da outra, e vice-versa.

    Observaes: 1) Uma razo de antecedente zero no possui inversa. 2) Para determinar a razo inversa de uma razo dada, devemos permutar (trocar) os seus termos. Exemplo: O inverso de .

    Razes equivalentesDada uma razo entre dois nmeros, obtemos uma razo equivalente da seguinte maneira:

    Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razo por um mesmo nmero racional (diferente de

    zero), obtemos uma razo equivalente. Exemplos:

    so razes equivalentes.

    so razes equivalentes.

    Razes entre grandezas da mesma espcie

  • O conceito o seguinte:

    Denomina-se razo entre grandezas de mesma espcie o quociente entre os nmeros que expressam as medidas

    dessas grandezas numa mesma unidade. Exemplos: 1) Calcular a razo entre a altura de dois anes, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razo entre as alturas h1 e h2 dada por:

    2) Determinar a razo entre as reas das superfcies das quadras de vlei e basquete, sabendo que a quadra de vlei possui uma rea de 162m2 e a de basquete possui uma rea de 240m2. Razo entre as rea da quadra de vlei e basquete: .

    Razes entre grandezas de espcies diferentesO conceito o seguinte:

    Para determinar a razo entre duas grandezas de espcies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas

    dessas grandezas. Essa razo deve ser acompanhada da notao que relaciona as grandezas envolvidas.

    Exemplos: 1) Consumo mdio:

    Beatriz foi de So Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustvel. Qual a razo entre a distncia e o combustvel consumido? O que significa essa razo? Soluo:

    Razo =

    Razo = (l-se "11,5 quilmetros por litro"). Essa razo significa que a cada litro consumido foram percorridos em mdia 11,5 km. 2) Velocidade mdia:

  • Moacir fez o percurso Rio-So Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razo entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razo?Soluo:

    Razo =

    Razo = 90 km/h (l-se "90 quilmetros por hora"). Essa razo significa que a cada hora foram percorridos em mdia 90 km. 3) Densidade demogrfica:

    O estado do Cear no ltimo censo teve uma populao avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua rea de 145.694 km2. Determine a razo entre o nmero de habitantes e a rea desse estado. O que significa essa razo?Soluo:

    Razo =

    Razo = 46 hab/km2 (l-se "46 habitantes por quilmetro quadrado"). Essa razo significa que em cada quilmetro quadrado existem em mdia 46 habitantes. 4) Densidade absoluta ou massa especfica:

    Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razo entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razo?Soluo:

    Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

    Razo =

    Razo = 7,8 g/cm3 (l-se "7,8 gramas por centmetro cbico"). Essa razo significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

    Propores - IntroduoRogerio e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerio pesa 120kg, e seu co, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu co, 16kg. Observe a razo entre o peso dos dois rapazes:

  • Observe, agora, a razo entre o peso dos cachorros:

    Verificamos que as duas razes so iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade umaproporo. Assim:

    Proporo uma igualdade entre duas razes.

    Elementos de uma proporoDados quatro nmeros racionais a, b, c, d, no-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporo quando a razo do 1 para o 2 for igual razo do 3 para o 4. Assim:

    ou a:b=c:d

    (l-se "a est para b assim como c est para d") Os nmeros a, b, c e d so os termos da proporo, sendo:

    b e c os meios da proporo.a e d os extremos da proporo.

    Exemplo: Dada a proporo , temos:

    Leitura: 3 est para 4 assim como 27 est para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

    Propriedade fundamental das proporesObserve as seguintes propores:

    Produto dos meios = 4.30 = 120Produto dos extremos = 3.40 = 120

    Produto dos meios = 9.20 = 180Produto dos extremos = 4.45 = 180

  • Produto dos meios = 8.45 = 360Produto dos extremos = 5.72 = 360

    De modo geral, temos que:

    Da podemos enunciar a propriedade fundamental das propores:Em toda proporo, o produto dos meios igual ao

    produto dos extremos.

    Aplicaes da propriedade fundamentalDeterminao do termo desconhecido de uma proporo Exemplos:

    Determine o valor de x na proporo:

    Soluo: 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120

    x = 24 Logo, o valor de x 24.

    Determine o valor de x na proporo:

    Soluo: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19 x =

    Logo, o valor de x .

    Os nmeros 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporo. Determine o valor de x.

    Soluo:

  • (aplicando a propriedade fundamental)

    5 . x = 8 . 35 5x = 280

    x = 56 Logo, o valor de x 56. Resoluo de problemas envolvendo propores Exemplo:

    Numa salina, de cada metro cbico (m3) de gua salgada, so retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cbicos de gua salgada so necessrios?

    Soluo: A quantidade de sal retirada proporcional ao volume de gua salgada. Indicamos por x a quantidade de gua salgada a ser determinada e armamos a proporo:

    Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3. (aplicando a propriedade fundamental)

    1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2

    x = 50 m3

    Logo, so necessrios 50 m3 de gua salgada.

    Quarta proporcionalDados trs nmeros racionais a, b e c, no-nulos, denomina-se quarta proporcional desses nmeros um nmero x tal que:

    Exemplo:Determine a quarta proporcional dos nmeros 8, 12 e 6.

    Soluo: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporo:

  • (aplicando a propriedade fundamental)

    8 . x = 12 . 6 8 . x = 72

    x = 9 Logo, a quarta proporcional 9.

    Proporo contnua

    Considere a seguinte proporo:

    Observe que os seus meios so iguais, sendo, por isso, denominada proporo contnua. Assim:

    Proporo contnua toda a proporo que apresenta os meios iguais.

    De um modo geral, uma proporo contnua pode ser representada por:

    Terceira proporcional Dados dois nmeros naturais a e b, no-nulos, denomina-se terceira proporcional desses nmeros o nmero x tal que:

    Exemplo: Determine a terceira proporcional dos nmeros 20 e 10. Soluo Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporo: (aplicando a propriedade fundamental)

    20 . x = 10 . 10 20x = 100

    x = 5 Logo, a terceira proporcional 5. Mdia geomtrica ou mdia proporcional Dada uma proporo contnua , o nmero b

    denominado mdia geomtrica ou mdia proporcionalentre a e c. Exemplo:

  • Determine a mdia geomtrica positiva entre 5 e 20.Soluo:

    5 . 20 = b . b 100 = b2

    b2 = 100 b = b = 10 Logo, a mdia geomtrica positiva 10.

    Propriedades das propores1 propriedade:

    Numa proporo, a soma dos dois primeiros termos est para o 2 (ou 1) termo,

    assim como a soma dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).

    Demonstrao Considere as propores:

    Adicionando 1 a cada membro

    obtemos:

    Exemplo:Determine x e y na proporo , sabendo que x+y=84.

    Soluo:

    Assim:

    x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36. Logo, x=36 e y=48.

  • 2 propriedade:

    Numa proporo, a diferena dos dois primeiros termos est para o 2 (ou 1) termo,

    assim como a diferena dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).

    Demonstrao Considere as propores:

    Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

    (Mult. os 2

    membros por -1)

    Exemplo:Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporo .

    Soluo: Pela 2 propriedade temos que:

    x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30. Logo, x=30 e y=12. 3 propriedade:

    Numa proporo, a soma dos antecedentes est para a soma dos consequentes,

    assim como cada antecedente est para o seu consequente.

    Demonstrao Considere a proporo:

    Permutando os meios, temos:

  • Aplicando a 1 propriedade, obtemos:

    Permutando os meios, finalmente obtemos:

    4 propriedade:

    Numa proporo, a diferena dos antecedentes est para a diferena dos consequentes,

    assim como cada antecedente est para o seu consequente. Demonstrao Considere a proporo:

    Permutando os meios, temos:

    Aplicando a 2 propriedade, obtemos:

    Permutando os meios, finalmente obtemos:

    Exemplo:Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporo .

    Soluo: Pela 4 propriedade, temos que:

    5 propriedade:

    Numa proporo, o produto dos antecedentes est para o produto dos consequentes,

    assim como o quadrado de cada antecedente est para quadrado do seu consequente.

    Demonstrao Considere a proporo:

  • Multiplicando os dois membros por , temos:

    Assim:

    Observao: a 5 propriedade pode ser estendida para qualquer nmero de razes. Exemplo:

    Proporo mltiplaDenominamos proporo mltipla uma srie de razes iguais. Assim: uma proporo mltipla.

    Dada a srie de razes iguais , de acordo com a 3 e 4

    propriedade, podemos escrever:

    Grandezas - Introduo Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminudas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfcie, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produo. comum ao nosso dia-a-dia situaes em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:

  • Em uma corrida de "quilmetros contra o relgio", quanto maior for a velocidade, menor ser o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas so a velocidade e o tempo. Num forno utilizado para a produo de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior ser a produo de ferro. Nesse caso, as grandezas so o tempo e a produo.

    Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produo de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

    Tempo (minutos) Produo (Kg)

    5 10010 20015 30020 400

    Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas so variveis dependentes. Observe que:

    Quando duplicamos o tempo, a produo tambm duplica.5 min ----> 100Kg10 min ----> 200Kg

    Quando triplicamos o tempo, a produo tambm triplica.5 min ----> 100Kg15 min ----> 300Kg

    Assim:Duas grandezas variveis dependentes so diretamente

    proporcionais quando a razo entre os valores da 1 grandeza igual a razo entre os valores correspondentes da

    2Verifique na tabela que a razo entre dois valores de uma grandeza

    igual a razo entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

    Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relgio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo,

  • assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixoVelocidade

    (m/s) Tempo (s)

    5 2008 12510 10016 62,520 50

    Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas so variveis dependentes. Observe que:

    Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido metade.5 m/s ----> 200s10 m/s ----> 100s

    Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido quarta parte.

    5 m/s ----> 200s20 m/s ----> 50s

    Assim:Duas grandezas variveis dependentes so inversamente

    proporcionais quandoa razo entre os valores da 1 grandeza igual

    ao inverso da razo entre osvalores correspondentes da 2.

    Verifique na tabela que a razo entre dois valores de uma grandeza igual ao inverso da razo entre os dois valores correspondentes da outra

    grandeza.

    Regra de trs simplesRegra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos. Passos utilizados numa regra de trs simples: 1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

  • 2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais. 3) Montar a proporo e resolver a equao. Exemplos: 1) Com uma rea de absoro de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa rea para 1,5m2, qual ser a energia produzida? Soluo: montando a tabela:

    rea (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 x

    Identificao do tipo de relao:

    Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna). Observe que: Aumentando a rea de absoro, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

    Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora.

    2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Soluo: montando a tabela:

    Velocidade (Km/h) Tempo (h)

    400 3480 x

    Identificao do tipo de relao:

    Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna).

  • Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras so contrrias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrrio (para cima) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

    Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

    3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preo? Soluo: montando a tabela:

    Camisetas Preo (R$)3 1205 x

    Observe que: Aumentando o nmero de camisetas, o preo aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

    Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

    4) Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o nmero de horas de servio for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe far o mesmo trabalho? Soluo: montando a tabela:

    Horas por dia

    Prazo para trmino (dias)

    8 205 x

    Observe que: Diminuindo o nmero de horas trabalhadas por dia, o

  • prazo para trmino aumenta. Como as palavras so contrrias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

    Regra de trs compostaA regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125m3? Soluo: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espcie e, em cada linha, as grandezas de espcies diferentes que se correspondem:

    Horas Caminhes Volume

    8 20 1605 x 125

    Identificao dos tipos de relao: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna).

    A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde est o x. Observe que: Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemos diminuir o nmero de caminhes. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1 coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes. Portanto a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 3 coluna). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo com o sentido das setas.

    Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

  • Logo, sero necessrios 25 caminhes.

    2) Numa fbrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos sero montados por 4 homens em 16 dias? Soluo: montando a tabela:

    Homens Carrinhos Dias8 20 54 x 16

    Observe que: Aumentando o nmero de homens, a produo de carrinhos aumenta. Portanto a relao diretamente proporcional(no precisamos inverter a razo). Aumentando o nmero de dias, a produo de carrinhos aumenta. Portanto a relao tambm diretamente proporcional (no precisamos inverter a razo). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes.

    Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

    Logo, sero montados 32 carrinhos.

    3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual ser o tempo necessrio para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incgnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

    Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

  • Logo, para completar o muro sero necessrios 12 dias.

    Exerccios complementares Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exerccios: 1) Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levaro 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguiro extrair 5,6 toneladas de carvo? Resposta: 35 dias. 3) Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centmetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

    PORCENTAGEM frequente o uso de expresses que refletem acrscimos ou redues em preos, nmeros ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

    A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acrscimo de R$15,00O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00Dos jogadores que jogam no Grmio, 90% so craques.Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grmio, 90 so craques.

    Razo centesimal Toda a razo que tem para consequente o nmero 100 denomina-

  • se razo centesimal. Alguns exemplos:

    Podemos representar uma razo centesimal de outras formas:

    As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: Joo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

    Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definio:

    Porcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

    Exemplos:Calcular 10% de 300.

    Calcular 25% de 200kg.

    Logo, 50kg o valor correspondente porcentagem procurada. EXERCCIOS: 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

    Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2) Se eu comprei uma ao de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equao, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relao a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

  • Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

    Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAO. Se, por exemplo, h um acrscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

    Acrscimo ou Lucro

    Fator de Multiplicao

    10% 1,1015% 1,1520% 1,2047% 1,4767% 1,67

    Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo:

    Desconto Fator de Multiplicao10% 0,9025% 0,7534% 0,6660% 0,4090% 0,10

    Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

    ngulosO NGULO E SEUS ELEMENTOS Duas semi-retas que no estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regies: uma

  • convexa e outra no-convexa. Cada uma dessas regies, junto com as semi-retas, forma um ngulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ngulos:

    Todo ngulo possui dois lados e um vrtice. Os lados so as semi-retas que determinam. O vrtice a origem comum dessas semi-retas. O ngulo convexo, de vrtice O e lados , indicado por: AB, BA ou .

    ngulosObserve agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem esto contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se tambm ngulos.

    As semi-retas coincidem. Temos a o ngulo nulo e o ngulo de uma volta.

  • As semi-retas no coincidem. Temos a dois ngulos rasos ou de meia-volta.

    Podemos, ento, estabelecer que:

    ngulo a regio do plano limitada por duas semi-retas que tm a mesma origem.

    MEDIDA DE UM NGULO A medida de um ngulo dada pela medida de sua abertura. A unidade padro de medida de um ngulo o grau, cujo smbolo . Tomando um ngulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ngulos de mesma medida. Cada um desses ngulos representa um ngulo de 1 grau (1).

    Para medir ngulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor j vem graduado com divises de 1 em 1. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180 e de 360.O grau compreende os submltiplos:

    O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

    1=60'

    O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

  • 1'=60''Logo, podemos concluir que:

    1 = 60'.60 = 3.600''Quando um ngulo medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.

    Como medir um ngulo, utilizando o transferidorObserve a seqncia

    O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vrtice do ngulo.A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma

    das semi-retas do ngulo .Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-

    reta .Leitura de um nguloObserve as seguintes indicaes de ngulos e suas respectivas leituras: 15 (l-se "15 graus'') 4550' (l-se ''45 graus e 50 minutos'') 3048'36'' (l-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')ObservaesAlm do transferidor, existem outros instrumentos que medem ngulos com maior preciso. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegao.A representao da medida de um ngulo pode tambm ser feita atravs de uma letra minscula ou deum nmero.

    Um ngulo raso ou de meia-volta mede 180.O ngulo de uma volta mede 360. Questes envolvendo medidas de ngulosObserve a resoluo das questes abaixo:

    Determine a medida do ngulo AB na figura:

    Soluo Medida de AB = xMedida de BC = 105Como m ( AC) 180, pois um ngulo raso, temos: m (AB) + m (BC) = m (AC) x + 105 = 180

  • x = 180 - 105 x = 75Logo, a medida de AB 75.

    Determine a medida do 6angulo no-convexo na figura:

    SoluoVerificamos que o ngulo no-convexo na figura (x) e o ngulo convexo (50) formam, juntos, um ngulo de uma volta, que mede 360. Assim:

    x + 50 = 360x = 360 - 50

    x = 310Logo, o valor do ngulo no-convexo 310.

    Como construir um ngulo utilizando o transferidorObserve a seqncia utilizada na construo de um ngulo de 50:

    Traamos uma semi-reta .

    Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A).Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente medida de 50.

    Traamos a semi-reta , obtendo o ngulo BC que mede 50.Os ngulos de 30, 45, 60 e 90 so ngulos especiais.Eles podem ser desenhados com esquadro.

  • TRANSFORMAO DE UNIDADESComo vimos, quando trabalhamos com medidas de ngulos, utilizamos o sistema sexagesimal.Observe nos exemplos como efetuar transformaes nesse sistema:

    Transforme 30 em minutos.SoluoSendo 1 = 60', temos: 30 = 30 . 60'= 1.800'Logo, 30 = 1.800

    Transforme 535' em minutos.Soluo 5 = 5 . 60' = 300' 300' + 35'= 335'Logo, 535'= 335'.

    transforme 8 em segundos.SoluoSendo 1 = 60', temos: 8 = 8 . 60'= 480'Sendo 1'= 60'', temos: 480'= 480 . 60'' = 28.800''Logo, 8 = 28.800''.

    Transforme 335' em segundos.Soluo 3 = 3 . 60'= 180' 180' + 35' = 215' 215' . 60'' = 12.900''Logo, 335'= 12.900''

    Transforme 220'40'' em segundos.Soluo 2 = 2 . 60' = 120' 120' + 20' = 140' 140'. 60''= 8.400'' 8.400'' + 40'' = 8.440''Logo, 220'40'' = 8.440''

    Consideramos o Grau como a unidade de medida de ngulos mais usual em nosso cotidiano. Nos estudos relacionados ao crculo trigonomtrico trabalhamos com outra unidade de medida de ngulos, o radiano. Existe uma relao entre as medidas em grau e as medidas em radianos. Vamos demonstrar tal relao baseando em algumas definies do crculo trigonomtrico.

  • Uma volta completa no crculo trigonomtrico corresponde, em graus, a 360 e em radianos, 2, pois no caso de medida de ngulo, o valor de (pi) passa a ser referente a 180. Dessa forma, se temos um ngulo na unidade grau podemos transform-lo para a unidade radiano e vice-versa por meio da aplicao de uma simples regra de trs.

    Transformar 60 em radianos.

    1 GRAU = 60 MINUTOS180GRAUS = RAD = 200 GRADO(GR)

    NGULOS CONGRUENTESObserve os ngulos abaixo:

  • Verifique que AB e CD tm a mesma medida. Eles so ngulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicao: Assim:

    Dois ngulos so congruentes quando tm a mesma medida.

    Propriedades da Congruncia

    Reflexiva: Simtrica: Transitiva:

    NGULOS CONSECUTIVOSObserve a figura:

    Nela identificamos os ngulos AC, CB e AB.Verifique em cada uma das figuras abaixo que:

  • Os ngulos AC e CB possuem:

    Vrtice comum: OLado comum:

    Os ngulos AC e AB possuem:

    Vrtice comum: OLado comum:

    Os ngulos CB e AB possuem:

    Vrtice comum: OLado comum:

    Os pares de ngulos AC e CB, AC e AB, CB e AB so denominados ngulos consecutivos.Assim:

    Dois ngulos so consecutivos quando possuem o mesmo vrtice e um lado comum.

    NGULOS ADJACENTESObserve os exemplos de ngulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

    Os ngulos AC e CB no possuem pontos internos comuns

  • Os ngulos AC e AB possuem pontos internos comuns

    Os ngulos CB e AB possuem pontos internos comuns

    Verifique que os ngulos AC e CB so consecutivos e no possuem pontos internos comuns. Por isso eles so denominados ngulos adjacentes. Assim: Dois ngulos so adjacentes quando so consecutivos e no possuem pontos internos comuns. Observao: Duas retas concorrentes determinam vrios ngulos adjacentes. Exemplos:

    BISSETRIZ DE UM NGULOObserve a figura abaixo:

  • m ( AC ) = m (CB ) = 20 Verifique que a semi-reta divide o ngulo AB em dois ngulos ( AB e CB ) congruentes.Nesse caso, a semi-reta denominada bissetriz do ngulo AB.Assim: Bissetriz de um ngulo a semi-reta com origem no vrtice desse ngulo e que o divide em dois outros ngulos congruentes.

    Utilizando o compasso na construo da bissetriz de um ngulo

    Determinao da bissetriz do ngulo AB.

    Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os pontos C e D sobre as semi-retas , respectivamente.

    Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior metade da distncia de C a D traamos arcos que se cruzam em E.

    Traamos , determinando

    assim a bissetriz de AB.

  • NGULO AGUDO, OBTUSO E RETOPodemos classificar um ngulo em agudo, obtuso ou reto.

    ngulo agudo o ngulo cuja medida menor que 90. Exemplo:

    ngulo obtuso o ngulo cuja medida maior que 90. Exemplo:

    ngulo reto o ngulo cuja medida 90. Exemplo:

    RETAS PERPENDICULARES As retas r e s da figura abaixo so concorrentes e formam entre si quatro ngulos retos.

  • Dizemos que as retas r e s so perpendiculares e indicamos:

    Observao Duas retas concorrentes que no formam ngulos retos entre si so chamadas de oblquos. Exemplo:

    NGULOS COMPLEMENTARESObserve os ngulos AB e BC na figura abaixo:

    Verifique que: m (AB) + m (BC) = 90Nesse caso, dizemos que os ngulos AB e BC

  • so complementares. Assim:

    Dois ngulos so complementares quando a soma de suas medidas 90.

    Exemplo: Os ngulos que medem 42 e 48 so complementares, pois 42 + 48 = 90. Dizemos que o ngulo de 42 o complemento do ngulo de 48, e vice-versa.Para calcular a medida do complemento de um ngulo, devemos determinar a diferena entre 90 e a medida do ngulo agudo dado.

    Medida do ngulo Complemento

    x 90 - xExemplo:

    Qual a medida do complemento de um ngulo de 75?SoluoMedida do complemento = 90 - medida do nguloMedida do complemento = 90 - 75Medida do complemento = 15Logo, a medida do complemento do ngulo de 75 15. Observao:Os ngulos XY e YZ da figura ao lado, alm de complementares, so tambm adjacentes. Dizemos que esses ngulos so adjacentes complementares.

    NGULOS SUPLEMENTARESObserve os ngulos AB e BC na figura abaixo:

  • As semi-retas formam um ngulo raso.

    Verifique que:m ( AB ) + m (BC) = 180

    Nesse caso, dizemos que os ngulos AB e BC so suplementares. Assim:

    Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas 180.

    Exemplo: Os ngulos que medem 82 e 98 so suplementares, pois 82 + 98 = 180. Dizemos que o ngulo de 82 o suplemento do ngulo de 98, e vice-versa. Para calcular a medida do suplemento de um ngulo, devemos determinar a diferena entre 180 e a medida do ngulo agudo dado.

    Medida do ngulo Suplemento

    X 180 - XExemplo:

    Qual a medida do suplemento de um ngulo de 55?SoluoMedida do suplemento = 180 - medida do nguloMedida do suplemento = 180 - 55Medida do suplemento = 125Logo, a medida do suplemento do ngulo de 55 125. Observao:

  • Os ngulos XY e YZ da figura ao lado, alm de

    suplementares, so tambm adjacentes. Dizemos que esses ngulos so adjacentes suplementares.

    NGULOS OPOSTOS PELO VRTICEObserve os ngulos AB e CD na figura abaixo:

    Verifique que:

    Nesse caso, dizemos que os ngulos AB e CD so opostos pelo vrtice (o.p.v). Assim:

    Dois ngulos so opostos pelo vrtice quando os lados de um deles so semi-retas opostas aos lados do outro.

    Na figura abaixo, vamos indicar:

    Sabemos que:

  • X + Y = 180 ( ngulos adjacentes suplementares) X + K = 180 ( ngulos adjacentes suplementares)Ento: Logo: y = kAssim: m (AB) = m (CD) AB CD m (AD) = m (CB) AD CBDa a propriedade:

    Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes.

    Observe uma aplicao dessa propriedade na resoluo de um problema:

    Dois ngulos opostos pelo vrtice tm medidas, em graus, expressas por x + 60 e 3x - 40. Qual o valor de x?

    Soluo:

    x + 60 = 3x - 40 ngulos o.p.v

    x - 3x = - 40 - 60 -2x = - 100 x = 50Logo, o valor de x 50.

    Mnimo Mltiplo ComumMximo Divisor ComumCritrios de divisibilidadeDivisibilidade por 2Divisibilidade por 3Divisibilidade por 4Divisibilidade por 5Divisibilidade por 6Divisibilidade por 8Divisibilidade por 9Divisibilidade por 10Divisibilidade por 11Divisibilidade por 12Divisibilidade por 15Divisibilidade por 25

    Razes - IntroduoPropores - IntroduoRegra de trs simplesRegra de trs compostaPORCENTAGEMngulosMEDIDA DE UM NGULONGULOS CONGRUENTESNGULOS CONSECUTIVOSNGULOS ADJACENTESNGULO AGUDO, OBTUSO E RETONGULOS COMPLEMENTARESNGULOS SUPLEMENTARESNGULOS OPOSTOS PELO VRTICE