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Teoria das Eleições

Fundamentos e Ensino da Álgebra 1

EXEMPLO 1.1EXEMPLO 1.1EXEMPLO 1.1EXEMPLO 1.1

Realizaram-se, no passado mês de Setembro de 2004, as

eleições para eleger o novo secretário-geral do Partido Socialista.

Sabemos que se apresentaram como candidatos José Sócrates, Manuel

Alegre e João Soares, que votaram 23433 militantes do partido e que o

vencedor foi José Sócrates. Suponhamos agora que os boletins de voto eram por ordem

de preferência, ou seja, que cada militante tinha três espaços para colocar por ordem da

sua preferência, os candidatos. Ora, como se candidataram três pessoas à referida

eleição, existem 3! = 6 boletins de voto diferentes:

Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto

1º opção: José Sócrates

2º opção: Manuel Alegre

3º opção: João Soares

















Figura 1.1: Os 6 boletins de voto por ordem de preferência possíveis para a eleição do Secretário-geral

do Partido Socialista

Consideremos agora a seguinte situação hipotética: Na distrital socialista de

Coimbra existem 15 militantes. Todos eles participaram no escrutínio em questão, e os

resultados obtidos foram os seguintes:





















































Figura 1.2: Boletins de voto por ordem de preferência, obtidos após o acto eleitoral na distrital de

Coimbra.



Analisando a Figura 1.2 verificamos que há muitas repetições entre os boletins de

voto preenchidos, ou seja, diferentes militantes colocaram os candidatos exactamente da

mesma forma. Como já referimos, uma forma lógica de organizar os boletins é agrupar

os que são iguais, e isso conduz-nos ao agrupamento feito na figura 1.3. e seguidamente

à tabela 1.1.

Boletim de Voto Boletim de Voto







Boletim de Voto Boletim de Voto







Figura 1.3: Os distintos boletins de voto obtidos.

Número de votos

9 3 2 1

1ª opção José Sócrates José Sócrates Manuel Alegre João Soares

2ª opção Manuel Alegre João Soares José Sócrates José Sócrates

3ª opção João Soares Manuel Alegre João Soares Manuel Alegre

Tabela 1.1




Recorrendo ao exemplo anterior, consideremos novamente o seguinte boletim de voto:

Boletim de Voto




Figura 1.4 – Exemplo de um boletim de voto para a suposta eleição do Secretário-geral do PS.

Suponhamos que depois dos boletins de voto estarem preenchidos, Manuel

Alegre desistiu da competição. Assim, o boletim de voto tomaria a forma abaixo

representada:

Boletim de Voto



Figura 1.5 – Transformação do boletim de voto da Figura 1.6 após Manuel Alegre desistir da sua

candidatura.

Deduzimos assim que a posição relativa dos restantes candidatos não é afectada:

José Sócrates permanece na primeira opção e João Soares move-se da terceira para a

segunda posição.




Há alguns anos a televisão portuguesa começou a ser invadida por uma grande

quantidade de programas, conhecidos por muitos pela falta de qualidade, mas que são

líderes de audiência! Recentemente surgiu mais um destes programas: A Quinta das

Celebridades.

Neste programa entram dentro de uma quinta doze

concorrentes, supostamente conhecidos na sociedade, os

quais têm como objectivo permanecer nessa mesma quinta,

sem contacto com a realidade exterior, o máximo de tempo.

Todas as semanas é expulso um concorrente e o último será o vencedor. Semanalmente

quer os concorrentes, quer o “grande público” nomeiam para sair, dois dos residentes da

quinta. Posteriormente o “grande público” vota novamente, mas agora para expulsar um

dos 4 ou mais ( em caso de empates ) nomeados.

Admitamos que numa dada semana estão nomeados para sair os seguintes

concorrentes:

Fátima Preto

(F)

Alexandre Frota

(A)

Pedro Camilo

(PC)

Paula Coelho

(P)

José Castelo Branco

(J)



Suponhamos ainda que para expulsar um concorrente da quinta, basta aceder à

página do programa na Internet e preencher um boletim de voto por ordem de

preferência. Nesse boletim cada elemento do “grande público” coloca por ordem de

preferência os nomes de todos os concorrentes nomeados, começando pelo que prefere

que saia da quinta nessa semana e terminando naquele que gostaria que permanecesse.

Admitamos que a lista de preferências para a votação de quem vai sair da quinta

numa dada semana é a seguinte:

Tabela 1.2

Quando aplicamos o método da pluralidade ao exemplo da “Quinta das

Celebridades” obtemos:

O Alexandre conseguiu 10000 votos em primeiro lugar.

A Fátima conseguiu 18000 votos em primeiro lugar.

O José Castelo Branco conseguiu 12000 votos em primeiro lugar.

O Pedro Camilo conseguiu 9000 votos em primeiro lugar.

A Paula Coelho conseguiu 6000 votos em primeiro lugar.

Neste caso o resultado da eleição é claro:

A Fátima Preto vai ser expulsa.

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção F J A PC P P

2º opção PC P J A J A

3º opção P PC P P PC PC

4º opção A A PC J A J

5º opção J F F F F F




Depois de terminada a fase final do Euro

2004, a UEFA decidiu atribuir o prémio “fair play”

à selecção mais bem comportada, durante a sua

participação, no referido evento tendo em conta os

seguintes parâmetros. Suponhamos que: numa

primeira fase a UEFA fez uma sondagem, ao público europeu em geral, no sentido de

eleger os 5 países mais bem comportados e posteriormente constituiu um júri com 150

elementos (representantes das federações dos vários países intervenientes) no intuito de

ordenar esses 5 países, em função do seu comportamento. Cada elemento do júri votou,

dispondo os 5 países pela sua ordem de preferência ou seja, do país que segundo o seu

ponto de vista foi o mais bem comportado, para o menos bem comportado. A lista de

preferências que fornece o resultado da votação está exposta na tabela seguinte:

Número de votos 72 70 8

1º opção República Checa Holanda Inglaterra

2º opção Holanda Suécia Holanda

3º opção Inglaterra França Suécia

4º opção França Inglaterra França

5º opção Suécia República Checa República Checa

Tabela 1.3

Se fosse utilizado o método da pluralidade a selecção mais bem comportada

seria a República Checa, com 72 votos em primeiro lugar. Mas notemos que a Holanda

tem 70 votos em primeiro lugar e 80 em segundo. O senso comum diz-nos que a

Holanda é uma melhor escolha para expressar o desejo de todos os elementos do júri.

De facto, comparando a Holanda, par a par, com todas as outras selecções, ela é sempre

a escolha favorita. Vejamos, comparando a Holanda com a República Checa temos 78

votos para a Holanda (70 da segunda coluna e 8 da terceira) contra 72 votos para a

República Checa. Do mesmo modo, comparando a Holanda com a Inglaterra resulta 142

votos para a Holanda (72 da primeira coluna e 70 da segunda) e 8 para a Inglaterra.

Finalmente quando a Holanda é comparada com qualquer uma das restantes selecções

obtém 150 votos.




Durante a última legislatura em que

António Guterres foi Primeiro-ministro de

Portugal, verificou-se uma situação muito

particular na disposição dos deputados na

Assembleia da República: 115 deputados

pertenciam ao partido do Governo e os outros 115

aos partidos que compunham a oposição.

No decorrer do ano 2000, José Daniel Rosas Campelo da Rocha, na altura

deputado do CDS/PP (partido da oposição), pelo círculo de Viana do Castelo, fez uma

greve de fome durante duas semanas, nos próprios corredores da Assembleia da

República, em protesto contra a decisão do Governo de transferir a fábrica de queijo

Limiano para Vale de Cambra.

Em Novembro desse mesmo ano, decorreu a votação

para o Orçamento de Estado de 2001. Habitualmente neste

género de votações os deputados estão obrigatoriamente sujeitos

à disciplina partidária. E se assim acontecesse, como a oposição

pretendia votar contra, o Orçamento não passaria. Mas Daniel

Campelo, forte defensor dos interesses do seu concelho, acordou com o Governo que se

absteria se fossem concedidos alguns benefícios para a sua região (tais como, a

construção de várias estradas e vias rápidas, investimentos nos portos e no sector da

saúde, apoios à construção de uma nova fábrica de queijo Limiano). Deste modo o

Governo teria a maioria e o Orçamento de Estado passaria. Assim foi.

Como Daniel Campelo pertencia ao CDS/PP

deduzimos que concordava com os princípios desse mesmo

partido, ou seja, seguindo as suas crenças votaria contra o Orçamento de Estado. Isto

significa que ele alterou o seu voto para influenciar o resultado da eleição, ou seja, fez

uma votação estratégica.




A tabela que abaixo apresentamos mostra, em cada coluna,

os valores da pontuação de cada concorrente nomeado,

baseada no processo que atrás apresentámos: uma vez que

existem 5 candidatos, o primeiro lugar merece 5 pontos, o

segundo merece 4, o terceiro 3, o quarto 2 e finalmente o

quinto merece apenas 1 ponto.

Número de

votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção:

5 pontos

F:

5x18000

J:

5x12000

A:

5x10000

PC:

5x9000

P:

5x4000

P:

5x2000

2º opção:

4 pontos

PC:

4x18000

P:

4x12000

J:

4x10000

A:

4x9000

J:

4x4000

A:

4x2000

3º opção:

3 pontos

P:

3x18000

PC:

3x12000

P:

3x10000

P:

3x9000

PC:

3x4000

PC:

3x2000

4º opção:

2 pontos

A:

2x18000

A:

2x12000

PC:

2x10000

J:

2x9000

A:

2x4000

J:

2x2000

5º opção:

1 ponto

J

1x18000

F:

1x12000

F:

1x10000

F:

1x9000

F:

1x4000

F:

1x2000

Tabela 1.4

De forma sistemática, obtemos:

Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total

F 90000+12000+10000+9000+4000+2000 127000

J 18000+60000+40000+18000+16000+4000 156000

A 36000+24000+50000+36000+8000+8000 162000

PC 72000+36000+20000+45000+12000+6000 191000

P 54000+48000+30000+27000+20000+10000 189000

Tabela 1.5



Concluímos então que, pela aplicação do método da Contagem

de Borda, será o Pedro Camilo que abandonará a Quinta das

Celebridades na semana em questão.


Todos os dias somos confrontados com a “guerra das audiências” entre os quatro

canais generalistas da televisão Portuguesa. Suponhamos que os estudantes de

Jornalismo da Faculdade de Letras da Universidade de Coimbra decidiram levar a cabo

uma pesquisa, no sentido de avaliar as preferências da população universitária, no que

respeita a este assunto. Para tal, abordaram 39 alunos e pediram-lhes que ordenassem

por ordem de preferências os 4 canais: RTP1, 2:, SIC, TVI. O resultado da votação foi o

seguinte:

Tabela 1.6


1º opção TVI SIC RTP1

2º opção SIC RTP1 2 :

3º opção RTP1 2: SIC

4º opção 2: TVI TVI



Utilizando o método de contagem de Borda, obtiveram a pontuação expressa na

tabela seguinte:

Tabela 1.7

Simplificando temos,

Tabela 1.8

Concluíram assim que, pelo método de contagem de Borda, a SIC é o canal

preferido dos estudantes de Coimbra. Embora, o critério da maioria diga que a TVI é a

estação predilecta. Além disso também pelo Critério ganhador de Condorcet deveria ser

a TVI a ganhar pois ela vence nas comparações par a par com todos os outros

candidatos, por 20-19.


1º opção: 4 pontos TVI: 4x20 SIC: 4x15 RTP1: 4x4

2º opção: 3 pontos SIC: 3x20 RTP1: 3x15 2: : 3x4

3º opção : 2 pontos RTP1 : 2x20 2: : 2x15 SIC: 2x4

4º opção: 1 ponto 2: : 1x20 TVI: 1x15 TVI: 1x4

Estações de Televisão Pontuação discriminada Pontuação Total

TVI 80+15+4 99

RTP1 40+45+16 101

SIC 60+60+8 128

2: 20+30+12 62




O Gabinete de informação de uma dada estação de televisão, decidiu constituir um

júri para avaliar, em vários aspectos, as seguintes rádios: Antena 3 (A), RFM,

Comercial (C), Cidade (RC) e TSF. O objectivo é identificar a rádio que melhor satisfaz

as necessidades dos ouvintes no que respeita a serviços noticiosos, entretenimento,

passatempos, música entre outros. Consideremos que o júri é composto por 9 elementos

e que estes decidiram votar por ordem de preferência as rádios, usando como método de

votação o método de Copeland. A tabela de preferências é:

Tabela 1.9

Depois de efectuadas as comparações obtemos o seguinte:

- A: 3-1=2;

- RFM: 2-2=0;

- C: 2-2=0;

- RC: 2-2=0;

- TSF: 1-3=-2.

Número de votos 1 4 1 3

1º opção A C TSF TSF

2º opção RFM RC A A

3º opção C RFM RC RFM

4ª opção RC TSF RFM RC

5ªopção TSF A C C



Desta forma, segundo o método de Copeland, ganha a Antena 3. Referimos

apenas, que a TSF é a pior classificada.

Apliquemos agora a este exemplo o Método da contagem de Borda:

Tabela 1.10

Simplificando temos,

Tabela 1.11

Por sua vez o método de Contagem de Borda dita como vencedora a TSF, sendo a

Antena 3 a pior classificada.


1º opção: 5 pontos A: 1x5 C: 4x5 TSF: 1x5 TSF:3x5

2º opção: 4 pontos RFM: 1x4 RC: 4x4 A: 1x4 A: 3x4

3º opção : 3 pontos C: 1x3 RFM: 4x3 RC: 1x3 RFM: 3x3

4ª opção: 2 pontos RC : 1x2 TSF: 4x2 RFM: 1x2 RC: 3x2

5ª opção: 1 ponto TSF : 1x1 A: 4x1 C: 1x1 C: 3x1

Rádios Pontuação discriminada Pontuação Total

A 5+4+4+12 25

RFM 4+12+2+9 27

C 3+20+1+3 27

RC 2+16+3+6 27

TSF 1+8+5+15 29



EXEXEXEXEMPLO 1.EMPLO 1.EMPLO 1.EMPLO 1.9999

Aplicação do método da pluralidade com eliminação no

exemplo da “Quinta das Celebridades”.

1º Passo:

Tabela 1.12

Uma vez que nenhum dos concorrentes tem a maioria ( no mínimo metade mais

um ou seja pelo menos 27501) dos votos em primeiro lugar, vamos eliminar o

concorrente com menor número de votos em primeiro lugar isto é vamos eliminar a

Paula Coelho.

2º Passo:

Uma vez que a Paula Coelho foi eliminada, todos os concorrentes abaixo dela

sobem um degrau, logo José Castelo Branco ficará com mais 4000 votos em primeiro

lugar, e o Alexandre Frota com mais 2000. Agrupamos os boletins que ficaram iguais

depois da eliminação da Paula Coelho e obtemos a tabela seguinte:

Tabela 1.13

Concluímos, através dessa mesma tabela que o Pedro Camilo será eliminado.

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000






Número de votos 18000 16000 10000 9000 2000

1º opção F J A PC A

2º opção PC PC J A PC

3º opção A A PC J J

4º opção J F F F F



3º Passo:

Prosseguindo da mesma forma, verificámos que o Alexandre Frota fica com mais

9000 votos em primeiro lugar. Voltámos a organizar os dados e obtivemos a tabela

seguinte:

Tabela 1.14

É fácil verificar que José Castelo Branco será eliminado, pois é o concorrente com

menos votos em primeiro lugar.

4º Passo:

Finalmente, excluímos José Castelo Branco e obtivemos a tabela que se segue:

Tabela 1.15

Daqui concluímos que Alexandre Frota será expulso, pois é ele

que tem a maioria dos votos em primeiro lugar.

Então, segundo o método da pluralidade com eliminação, Alexandre Frota

abandonará, na semana em questão, a “quinta mais vigiada de Portugal”.

Número de votos 18000 16000 21000

1º opção F J A

2º opção A A J

3º opção J F F

Número de votos 18000 37000

1º opção F A

2º opção A F




Bastante tempo antes de se realizarem os Jogos Olímpicos

é necessário escolher qual a cidade onde se realizará este evento.

Essa é uma eleição que levanta muitas controvérsias pois provoca

grandes alterações no desenvolvimento da cidade, quer a nível

económico quer a nível político. Os eleitores são os membros do

Comité Olímpico Internacional e o método actualmente utilizado

é o método da pluralidade com eliminação com uma pequena

alteração. Essa alteração consiste no facto de que cada eleitor apresenta as suas

preferências em cada ronda em vez de as mostrar ordenadas, todas de uma só vez.

Suponhamos que para a organização dos Jogos Olímpicos de Verão 2004

concorreram três cidades: Beijing (China), Atenas (Grécia), Istambul (Turquia) e que

eram 29 os membros do Comité Internacional Olímpico. Além disso, vamos utilizar o

método da pluralidade com eliminação sem a pequena alteração utilizada na realidade.

Admitamos agora que dois dias antes da eleição se efectuou uma sondagem

apenas para analisar as tendências da votação. Os resultados dessa sondagem são

apresentados na tabela seguinte:

Tabela 1.16


1º opção I A B I

2º opção A B I B

3º opção B I A A



Utilizando o método da pluralidade com eliminação verificaremos quem será o

vencedor desta sondagem.

1º Passo:

Tabela 1.17

Atenas é a cidade com menos votos em primeiro lugar, logo será a eliminada.

2º Passo:

Como Atenas foi eliminada os 8 votos que no primeiro passo lhe pertenciam

passam para Beijing. Temos então,

Tabela 1.18

Encontramos um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar: Beijing é

a cidade vencedora desta sondagem.

Admitamos que a divulgação da referida sondagem influenciará alguns eleitores a

alterar a sua tendência de voto. Suponhamos que os 4 eleitores da última coluna da

tabela 1.16 decidem alterar os seus votos, pondo em primeiro lugar Beijing em vez de

Istambul.

Eis que o grande dia chegou! O Comité Olímpico foi a votos e os resultados da

eleição são os apresentados na tabela seguinte:

Tabela 1.19

Candidatos B I A

Número de votos em primeiro lugar 10 11 8

Candidatos B I A

Número de votos em primeiro lugar 18 11


1º opção I A B

2º opção A B I

3º opção B I A



Vamos agora aplicar o método da pluralidade com eliminação aos resultados

apresentados nesta tabela:

1º Passo:

Tabela 1.20

Istambul é a cidade com menos votos em primeiro lugar logo será eliminada.

2º Passo:

Sendo Istambul eliminada, os 7 votos que lhe pertenciam passam para Atenas.

Originando uma nova tabela.

Tabela 1.21

Atenas é a cidade vencedora da eleição pois é a que tem mais votos em primeiro

lugar.

É um facto bastante estranho não ser Beijing a vencedora. Se

repararmos a única alteração que ocorreu da sondagem para a eleição

oficial foi alguns eleitores alterarem Beijing de segunda para

primeira preferência. Em princípio isso deveria favorecer Beijing.

Mas o que realmente acontece é que esta situação é uma falha deste

método: o método da pluralidade com eliminação viola o critério da monotonia.

Candidatos B I A


Candidatos B I A




EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.11111111

O ano lectivo 2004/2005 ficará marcado pelo

irremediável atraso na colocação dos professores. Dada a

gravidade do assunto, é do conhecimento de todos que o nosso

Governo, liderado por Pedro Santana Lopes, constituiu uma

comissão de inquérito com o objectivo averiguar

responsabilidades. Suponhamos que a já citada comissão é

composta por 30 elementos e que são apontadas como causas

de tal problema as seguintes entidades ou situações:

A – A empresa contratada para a realização do concurso.

B – A actual ministra.

C – O ministro anterior.

D – Os serviços do ministério.

E – A dissolução do Governo de Durão Barroso.

Admitamos ainda que, a fim de se apurarem os responsáveis, cada elemento da

comissão votou por ordem de preferência as possíveis causas acima enunciadas;

colocando em primeiro a situação ou entidade que acha culpada e terminando com

aquela que considera isenta de culpa. O resultado de tal processo eleitoral encontra-se

na seguinte tabela:

Tabela 1.22

Número de votos 10 8 5 4 3

1º opção A D B C E

2º opção C C C B A

3º opção B B D D C

4º opção D E A E B

5º opção E A E A D



Verifiquemos quem é o vencedor de tal eleição utilizando o método da pluralidade

com eliminação.

1º Passo:

Tabela 1.23

A causa E tem menos votos em primeiro lugar que qualquer outra, logo será

eliminada.

2º Passo:

Como a causa E foi eliminada, os 3 votos que lhe foram atribuídos passam para

a causa A.

Tabela 1.24

A causa C é que será eliminada neste passo.

3º Passo:

Uma vez que a causa C foi eliminada os 4 votos que lhe pertenciam passam para

a causa B.

Tabela 1.25

Agora será a causa D a eliminada.

Causas Candidatas A B C D E

Número de votos em primeiro lugar 10 5 4 8 3


Número de votos em primeiro lugar 13 5 4 8





4º Passo:

Dado que a causa D foi eliminada os seus votos passam para a causa B.

Tabela 1.26

Finalmente concluímos que a vencedora da eleição é a causa B, ou seja a

comissão de inquérito aponta como culpada pelo atraso na colocação dos professores a

actual ministra da educação.

Verifiquemos, por outro lado, que a causa C é um candidato de Condorcet.

Realmente, temos que C comparada com A tem 17 votos contra 13; comparada com B

tem 25 contra 5; comparada com D tem 22 contra 8; e comparada com E tem 27 contra

3. Como a causa C é um candidato de Condorcet e não é a vencedora da eleição

podemos afirmar que o método da pluralidade com eliminação viola o critério ganhador

de Condorcet.






Vamos mais uma vez utilizar o exemplo da Quinta das Celebridades, agora para

mostrar como funciona o método da pluralidade com Runoff.

1º Passo:

Relembremos a lista de preferências:

Tabela 1.27

Como nenhum candidato tem uma maioria, vamos eliminar os três candidatos

com menos votos em primeiro lugar, porque pretendemos reter, apenas, os dois

candidatos com mais votos em primeiro lugar. Ou seja, vamos eliminar os candidatos A,

PC e P. Obtemos a tabela seguinte:

2º Passo:

Tabela 1.28

Agora é José Castelo Branco quem tem a maioria dos votos em

primeiro lugar, ou seja vai ter de ser ele a abandonar a “quinta mais

vigiada de Portugal”.

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000







1º opção F J

2º opção J F




Retomemos, novamente, o exemplo da Quinta das

Celebridades para ilustrar o método de Coombs.

1º Passo:

Relembremos a lista de preferências:

Tabela 1.29

Como nenhum candidato tem mais que metade dos votos em primeiro lugar,

vamos averiguar o número de votos em último lugar de cada concorrente.

Verificámos que a Fátima Preto é quem aparece mais vezes em último lugar (em

37000 boletins contra o José Castelo Branco que aparece nos restantes), então será

eliminada.

2º Passo:

A lista de preferências é, obviamente, modificada e toma agora o seguinte

aspecto:

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção PC J A PC P P

2º opção P P J A J A

3º opção A PC P P PC PC

4º opção J A PC J A J

Tabela 1.30

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000








Novamente, nenhum candidato tem a maioria dos votos em primeiro lugar, por

isso vamos ter que recontar os votos para o último lugar.

O José Castelo Branco tem 29000 votos em último lugar, o Alexandre Frota tem

16000, o Pedro Camilo tem 10000 e a Paula Coelho não tem votos em último lugar. O

que significa que José Castelo Branco é quem será eliminado.

3º Passo:

Obtemos a seguinte lista de preferências:

Número de votos 27000 22000 4000 2000

1º opção PC A P P

2º opção P P A PC

3º opção A PC PC A

Tabela 1.31

Como anteriormente, nenhum candidato tem uma maioria de votos em primeiro

lugar, por isso vamos proceder como nos outros passos.

O Alexandre Frota tem 29000 votos em último lugar e o Pedro Camilo 26000. A

Paula Coelho continua a não ter nenhum. Então o Alexandre Frota será eliminado.

4º Passo:

Obtemos uma nova lista de preferências:


1º opção PC P

2º opção P PC

Tabela 1.32

Finalmente, a Paula Coelho tem 28000 votos em primeiro lugar, ou

seja, uma maioria (mais que 27500). Isso significa que será ela, a

celebridade, a abandonar a quinta.



Sistematizando agora a informação relativa às aplicações do método da

pluralidade com eliminação e suas variantes, no exemplo da Quinta das Celebridades,

concluímos que:

Método / Variante Concorrente vencedor

Pluralidade com Eliminação Alexandre Frota

Pluralidade com Runoff José Castelo Branco

Coombs Paula Coelho

Tabela 1.33

As diferentes modalidades do método da pluralidade com eliminação dão-nos

diferentes vencedores.

EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.11114444

Para ilustrar este método, consideremos de novo o

exemplo da votação nos concorrentes da “Quinta das

Celebridades”.

Analisemos a tabela seguinte:

Tabela 1.34

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000








Desencadeemos a comparação par a par entre Fátima Preto e José Castelo

Branco:

Na primeira coluna da tabela de preferência verificamos que os 18000 votos vão

para a Fátima Preto, uma vez que este candidato ocupa uma posição superior na ordem

de preferência, relativamente ao José Castelo Branco. No entanto, os restantes 37000

votos vão para o José Castelo Branco. Portanto, o vencedor desta comparação par a par

é José Castelo Branco, que ganha um ponto.

Tabela 1.35

No caso da comparação par a par entre o Alexandre Frota e o Pedro

Camilo, verifica-se que existem 43000 eleitores que preferem o Pedro Camilo ao

Alexandre Frota e apenas 12000 eleitores que preferem o Alexandre Frota ao Pedro

Camilo. Portanto o vencedor desta comparação par a par é o Pedro Camilo, que ganha

um ponto.

Tabela 1.36

Fazendo-se todas as comparações possíveis, os resultados são:

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000






Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000








F versus J: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

José Castelo Branco vence e obtém 1 ponto.

F versus A: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

Alexandre Frota vence e obtém 1 ponto.

F versus PC: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

Pedro Camilo vence e obtém 1 ponto.

F versus P: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

Paula Coelho vence e obtém 1 ponto.

J versus A: (12000+4000)=16000 votos

para (18000+10000+9000+2000)=39000

Alexandre Frota vence e obtém 1 ponto.

J versus PC: (12000+10000+4000)=26000 votos

para (18000+9000+2000)=29000


J versus P: (12000+10000)=22000 votos

para (18000+9000+4000+2000)= 33000


A versus PC: (10000+2000)=12000 votos

para (18000+12000+9000+4000)= 43000


A versus P: (10000+9)=19000 votos para (18000+12000+4000+2000)=36000




PC versus P: (18000+9000)=27000 votos

para (12000+10000+4000+2000)=28000


Procedendo desta forma os resultados obtidos após a contagem dos pontos são

os seguintes:

Tabela 1.37

Conclusão:

O vencedor da eleição é o concorrente P! Ou seja, é a Paula Coelho

que vai abandonar a “ vida rural”.

Fátima

Preto 0 pontos

José

Castelo

Branco

1 pontos

Alexandre

Frota 2 pontos

Pedro

Camilo 3 pontos

Paula

Coelho 4 pontos




Admitamos a seguinte situação:

Uma Escola Secundária da Região Centro do país decidiu

atribuir um prémio ao melhor aluno do ano lectivo 2003/2004.

Numa primeira fase do concurso seleccionaram os 5 alunos que

mais se destacaram positivamente durante o ano. Foram eles:

Cátia (C), Luís (L), Margarida (M), Ruben (R) e Sofia (S). Na

segunda fase os 22 elementos do conselho pedagógico reuniram

extraordinariamente e votaram por ordem de preferência os alunos seleccionados.

Decidiram ainda usar como método de votação o método de comparação par a par. Os

resultados obtidos são expressos na seguinte tabela:

Tabela 1.38

As comparações par a par são:

C versus R: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15

R vence e obtém 1 ponto.

C versus M: (2+6+4+4) = 16 votos para (1+1+4) = 6

C vence e obtém 1 ponto.

Número de

votos

2 6 4 1 1 4 4

1ª opção C R R M M L S

2º opção L C C R L C M

3ª opção M M L C C S L

4ª opção R L S L R M R

5ª opção S S M S S R C



C versus L: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9


C versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4


R versus M: (6+4) = 10 votos para (2+1+1+4+4) = 12

M vence e obtém 1 ponto.

R versus L: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11

R e L empatam. R obtém ½ ponto e L obtém ½ ponto.

R versus S: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8


M versus L: (6+1+1+4) = 12 votos para (2+4+4) =10

M vence e obtém 1 ponto.

M versus S: (2+6+1+1) = 10 votos para (4+4+4) = 12

S vence e obtém 1 ponto.

L versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4

L vence e ganha 1 ponto.

Os resultados obtidos após a contagem dos pontos são:

Cátia 3 pontos

Ruben 2 + ½ pontos

Margarida 2 pontos

Luís 1+ ½ pontos

Sofia 1 ponto

Tabela 1.39



Conclusão: o vencedor é a Cátia!

Ao saber que era uma das seleccionadas para a votação, a Margarida informou o

conselho executivo que não estava interessada em tal prémio. Desta forma a Margarida

foi eliminada da votação.

Será que este facto afectará de algum modo o resultado da eleição?

Suponhamos então que o candidato M é eliminado da eleição original e que o

método de comparação par a par volta a ser aplicado. Então, os resultados obtidos são

os que a tabela seguinte apresenta:

Número de

Votos

2 6 4 1 1 4 4

1ª escolha C R R R L L S

2º escolha L C C C C C L

3ª escolha R L L R R S R

4ª escolha S S S S S R C

Tabela 1.40

Agora as comparações par a par são:

C versus R: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15


C versus L: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9


C versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4


R versus L: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11

R e L empatam. R obtém ½ ponto e L obtém ½ ponto.



R versus S: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8


L versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4

L vence e ganha 1 ponto.

Os resultados obtidos na nova eleição são:

Cátia 2 pontos

Ruben 2 + ½ pontos

Luís 1+ ½ pontos

Sofia 0 pontos

Tabela 1.41

Conclusão: O vencedor é o Ruben e não a Cátia!

Evidenciamos assim que o método da comparação par a par não satisfaz o critério

da independência.

Outra lacuna a referir, é o facto deste método poder desencadear resultados que

anunciam como vencedores todos os candidatos, isto é, resultado em que há um empate

generalizado. Normalmente não existe um processo fixo para desempatar mas, na

realidade, é fundamental pré-estabelecer regras para que caso seja necessário se proceda

a um desempate.



Comparação dos Resultados Obtidos

Recorrendo uma vez mais ao exemplo da Quinta das

Celebridades vamos mostrar, na tabela seguinte, que a

aplicação de métodos de votação distintos origina vencedores

distintos:

Vencedor Método de Votação

Fátima Preto Pluralidade

Pedro Camilo Contagem de Borda

Alexandre Frota Pluralidade com Eliminação

Paula Coelho Comparação Par a Par

Tabela 1.42

Concluímos assim que o concorrente eleito para sair da quinta “mais vigiada de

Portugal” varia de método para método.




Consideremos que a direcção de uma dada empresa possuí quatro membros, P1,

P2, P3 e P4, com a seguinte distribuição de votos,

Membros Votos

P1 8

P2 6

P3 5

P4 1

Tabela 2.1

Seguindo as regras da direcção, são necessários dois terços dos vinte votos para

aprovar uma moção. Usando a nossa notação este sistema de votação ponderada pode

ser descrito por [14: 8, 6, 5,1]. Note-se que q = 14 pois catorze é o primeiro inteiro

superior a dois terços de vinte.


Consideremos agora o sistema de votação ponderada [7: 5, 4, 4, 2]. A quota

q = 7 é inferior a metade da totalidade dos votos. Neste caso se os jogadores P1 e P4

votarem a favor e os outros dois jogadores votarem contra, os dois grupos ganham! Isto

é a versão matemática de anarquia. Como tal, não consideraremos este sistema de

votação ponderada válido.


Seja [17: 5, 4, 4, 2] um sistema de votação ponderada. A quota excede o número

total de votos. Assim é impossível aprovar qualquer moção. Este sistema será por isso

invalidado.




Estudemos agora o sistema de votação ponderada [15: 5, 4, 3, 2, 1]. Os cinco

jogadores têm quinze votos no total. Para uma moção ser aprovada é necessária a

unanimidade. Assim, em termos práticos, os sistemas de votação ponderada [15: 5, 4, 3,

2, 1] e [5: 1, 1, 1, 1, 1] são equivalentes.


Seja [11: 12, 5, 4] um sistema de votação ponderada. Nesta simulação o jogador

P1 controla um número de votos suficiente para fazer passar qualquer moção. Desta

forma o jogador P1 detém todo o poder e é chamado ditador.

EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2.6.6.6.6

No sistema de votação ponderada [12: 9, 5, 4, 2] o jogador P1 não é um ditador

mas tem o poder de impedir que qualquer moção seja aprovada. De facto mesmo que

todos os outros jogadores estivessem de acordo, a soma dos seus votos não seria

suficiente para fazer passar uma moção, contra a vontade do P1.


Uma das mais importantes decisões que uma

equipa de basquetebol profissional tem que tomar é como

fazer o recrutamento de jogadores colegiais. Em muitos

casos a decisão de como escolher um jogador específico é

feita através de votos decisivos. Tome, por exemplo, o caso de Akron Fleyers. No seu

sistema, o treinador principal (TP) tem 4 votos, o director geral (DG) tem 3 votos, o

director de operações de exploração (DE) tem 2 votos e o psiquiatra da equipa (PE) tem

1 voto. Destes 10 votos, uma simples maioria de 6 votos é necessária para um jogador

ser recrutado. Em suma, os Akron Fleyers funcionam como um sistema de votação

ponderada [6: 4, 3, 2, 1].



Iremos agora encontrar a distribuição do poder de Banzhaf deste sistema

decisivo de voto. A tabela seguinte mostra as 15 possíveis coligações, quais são as

vencedoras e quais são as perdedoras e, para cada coligação vencedora, os jogadores

críticos (estão a negrito).

Coligação Peso da coligação Vence ou perde

{TP} 4 Perde

{DG} 3 Perde

{DE} 2 Perde

{PE} 1 Perde

{TP, DG} 7 Ganha

{TP, DE} 6 Ganha

{TP, PE} 5 Perde

{DG, DE} 5 Perde

{DG, PE} 4 Perde

{DE, PE} 3 Perde

{TP, DG, DE} 9 Ganha

{TP, DG, PE} 8 Ganha

{TP, DE, PE} 7 Ganha

{DG, DE, PE} 6 Ganha

{TP, DG, DE, PE} 10 Ganha

Tabela 2.2

Tudo o que temos de fazer agora é contar o número de vezes em que cada jogador

é crítico (ou seja o número de vezes em cada um se encontra a negrito) e dividir pelo

número total de jogadores críticos.

A distribuição de poder de Banzhaf é

TP : 5/12 = 41,67 %

DG : 3/12 = 25 %

DE : 3/12 = 25 %

PE : 1/12 = 8, 33 %



Note que a soma dos índices de poder é sempre 1. Este facto fornece um controle

útil nos seus cálculos. Neste exemplo aplicando a fórmula inicialmente, saberíamos à

partida que o número total de coligações possíveis: seria 24 – 1 = 15, o que permitiria

um maior controlo de possíveis erros.


O CONSELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES UNIDAS

O principal responsável por manter a paz internacional e

segurança das nações é o Conselho de Segurança das Nações

Unidas. O Conselho de Segurança é um exemplo clássico de um

sistema de votação ponderado. Consiste em 15 nações votantes –

5 delas são membros permanentes – Reino Unido, China, França, Rússia e E.U.A; as

outras 10 nações são membros não permanentes, eleitos por um período de dois anos

numa base rotativa. Para aprovar uma moção no Conselho de Segurança é necessário

um voto positivo de cada um dos membros permanentes (dando efectivamente a cada

membro permanente o poder de veto) mais um voto positivo de pelo menos quatro dos

dez membros não permanentes. Desta forma a coligação vencedora consiste em cinco

membros permanentes e quatro ou mais membros não permanentes.

Temos:

4

10= 210

coligações com 5 membros permanentes e exactamente 4 membros não permanentes, e

5

10+

6

10+

7

10+

8

10+

9

10+

10

10= 638

coligações com 5 membros permanentes e mais de 4 membros não permanentes.

Há um total de

4

10 +

5

10+

6

10+

7

10+

8

10+

9

10+

10

10= 210+ 638= 848

coligações com 5 membros permanentes e 4 ou mais membros não permanentes.



Em cada uma destas coligações vencedoras, cada membro permanente é crítico.

Os membros não permanentes apenas são críticos nas coligações vencedoras mínimas,

isto é nas coligações constituídas por 5 permanentes e 4 não permanentes (existem 210

coligações deste tipo). Em cada uma destas coligações com 9 elementos um membro

não permanente é crítico em:

3

9= 84

coligações, pois neste caso fixamos os 5 permanentes e o não permanente é

considerado como crítico. Nas coligações com 10 ou mais elementos um membro não

permanente nunca é crítico.

O número total de vezes em que todos os jogadores são críticos é de

5 x 848 + 10 x 84 = 5080.

Sendo assim o poder de cada membro permanente é

84108485

848

×+× =

5080

848 = 0,167.

O poder de um membro não permanente é

84108485

84

×+× =

5080

84 = 0,0167.

Repare-se na discrepância de poder entre membros permanentes e não

permanentes: um membro permanente tem dez vezes mais poder que um membro não

permanente.

Fica a dúvida se seria esta a intenção do decreto das Nações Unidas ou então se

houve um erro de cálculo, baseado na falta de conhecimento da matemática dos votos

ponderados.




Vamos considerar o exemplo 2.10. A distribuição é

[6: 4, 3, 2, 1] e agora vamos encontrar a distribuição de

poder de Shapley-Shubik.

Há 24 coligações sequenciais diferentes (4!)

envolvendo 4 jogadores. Listam-se na tabela 2.4 as coligações e os jogadores pivotais

estão a negrito.

⟨TP, DG, DE, PE⟩ ⟨DG, TP, DE, PE⟩ ⟨DE, TP,DG, PE⟩ ⟨PE, TP, DG, DE⟩ ⟨TP, DG, PE, DE⟩ ⟨DG, TP, PE, DE⟩ ⟨DE, TP, PE, DG⟩ ⟨PE, TP, DE, DG⟩ ⟨TP, DE, DG, PE⟩ ⟨DG, DE, TP, PE⟩ ⟨DE, DG, TP, PE⟩ ⟨PE, DG, TP, DE⟩ ⟨TP, DE, PE, DG⟩ ⟨DG, DE, PE, TP⟩ ⟨DE, DG, PE, TP⟩ ⟨PE, DG, DE, TP⟩ ⟨TP, PE, DG, DE⟩ ⟨DG, PE, TP, DE⟩ ⟨DE, PE, TP, DG⟩ ⟨PE, DE, TP, DG⟩ ⟨TP, PE, DE, DG⟩ ⟨DG, PE, DE, TP⟩ ⟨DE, PE, DG, TP⟩ ⟨PE, DE, DG, TP⟩

Tabela 2.3

A distribuição de poder de Shapley-Shubik é:

TP: 24

10 = 0,42 ⇒ 42%

DG: 24

6 = 0.25 ⇒ 25%

DE: 24

6 = 0,25 ⇒ 25%

PE: 24

2 = 0,08 ⇒ 8%

Vale a pena mencionar que a distribuição de poder de Shapley-Shubik é

exactamente igual à distribuição de poder de Banzhaf. Contudo, de modo geral,

escolhendo aleatoriamente situações reais é muito pouco provável que os métodos de

Banzahf e de Shapley-Shubik nos dêem a mesma resposta.



O REGRESSO AO CONSELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES UNIDAS

Vamos agora aplicar o método de Shapley-Shubik ao exemplo do

Conselho de Segurança das Nações Unidas. Seguindo o esquema

apresentado anteriormente temos:

Passo 1: Existem 15! coligações sequenciais envolvendo os 15 membros. Isto são

cerca de 1,3 triliões de coligações sequenciais diferentes;

Passo 2: Um membro não permanente pode ser pivotal numa destas coligações

apenas se for o nono jogador na coligação sequencial (pois são necessários 5

permanentes e 4 não permanentes para formar uma coligação vencedora mínima),

precedido pelos 5 membros permanentes e por três não permanentes (estes últimos

podem ser escolhidos de

3

9 maneiras diferentes). Os oito elementos que o precedem

podem ser ordenados de 8! maneiras diferentes. Os seis que o seguem podem ser

ordenados de 6! maneiras diferentes. Deste modo cada membro não permanente será

pivotal em

3

9 × 8!× 6!, isto é, !6!3

!6!8!9, aproximadamente 2,44 biliões de coligações

sequenciais;

Passo 3: Segue-se, que qualquer um dos membros não permanentes é pivotal em

aproximadamente 2,44 biliões dos 1,3 triliões de coligações sequenciais.

Desta forma cada membro não permanente tem um índice de poder de Shapley-

Shubik de

!15!3

!8!9

= 0,001865

ou seja, aproximadamente 0,19% .



Assim, o índice de poder dos 10 membros não permanentes é inferior a 2% (0,19

x 10). Os restantes 98% ficam distribuídos pelos 5 membros permanentes, dando a cada

um cerca de 5

%98= 19,6% do poder. Consequentemente cada membro permanente tem

cerca de cem vezes mais poder do que um membro não permanente. A desproporção

entre membros permanentes e não permanentes é ainda mais reflectida neste método!

EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO 4.14.14.14.1

Consideremos um grupo de três amigos, João, Ricardo e

Vasco que pretendem fazer uma viagem a três países, Alemanha,

Suíça e Itália. Cada um deles tem uma sugestão quanto à ordem de

visita dos países, as quais são apresentadas a seguir:

Prioridades João Ricardo Vasco

1.º Alemanha Itália Suíça

2.º Suíça Alemanha Itália

3.º Itália Suíça Alemanha

Tabela 4.1

Vejamos o que acontece quando comparamos cada uma das opções par a

par:

Alemanha/Suíça: 2 votos contra 1 voto;

Suíça/Itália: 2 votos contra 1 voto;

Itália/Alemanha: 2 votos contra 1 voto.

Temos que a Alemanha ganha à Suíça, a Suíça ganha à Itália e a Itália à

Alemanha. Ocorre portanto o chamado Paradoxo do voto, ou seja, não existe

nenhuma opção que obtenha a maioria frente a todas as restantes opções.




Suponhamos que temos 9 mandatos a distribuir num determinado círculo eleitoral

sendo o número de votos obtido pelas listas X, Y, Z e W, respectivamente 10000, 6000,

5500 e 2000.

Divisores X Y Z W

1 10000 6000 5500 2000

2 5000 3000 2750 1000

3 3333,3 2000 1833,3 666,7

4 2500 1500 1375 500

Tabela 4.2

Como temos 9 mandatos para atribuir, vamos ordenar nove quocientes por ordem

decrescente da sua grandeza:

10000 > 6000 > 5500 > 5000 > 3333,3 > 3000 > 2750 > 2500 > 2000

- A lista X recebe o 1º, o 4º, o 5º e o 8º mandato.

- A lista Y recebe o 2º e o 6º mandato.

- A lista Z recebe o 3º e o 7º mandato.

- A lista W recebe o 9º mandato (pois em caso de empate o mandato é atribuído ao

que tem menor número de votos).



EXEXEXEXEMPLO 4.3EMPLO 4.3EMPLO 4.3EMPLO 4.3

Uma turma do 12º ano pretende efectuar uma viagem de finalistas e, para isso,

organizar uma eleição para determinar o país de destino. As opções eram México (M),

Cuba (C), Venezuela (V) e Brasil (B). As opiniões recolhidas foram as seguintes:

- 13 estudantes votaram México e Cuba;

- 12 estudantes votaram Venezuela e Cuba;

- 10 estudantes votaram Brasil e Cuba;

- 5 estudantes votaram Cuba, Brasil e México.

Calculamos de seguida quantos votos recebeu cada país.

PAÍS CONTAGEM

México 13 + 5 = 18

Cuba 13 + 12 + 10 + 5 = 40

Venezuela 12

Brasil 10 + 5 = 15

Tabela 4.3

Como se verifica na tabela, Cuba é o destino escolhido pelos estudantes.

exemplo 1.1exemplo 1mcag/fea2005/acetatos2.pdf · 2005. 2. 3. · 2ª opção manuel alegre joão...

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