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Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

2016

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO

TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

étodos

uméricos

Introdução

O Método dos Elementos Finitos (FEM) tem sua origem em análise deestruturas e passou a ser aplicado em problemas de EM a partir de1968.

Assim como o FDM ele é útil para resolver equações diferenciais.

O FDM representa o domínio por um conjunto de pontos de grade. Suaaplicação torna-se difícil para problemas em regiões com contornos deformas irregulares, que podem ser resolvidos mais facilmente peloFEM.

A análise por FEM envolve quatro etapas:

Método do Elementos FinitosEtapa 1: Discretização do FEM

• Dividi-se o domínio em um número de elementos finitos(triangulares ou quadrangulares). Na figura 4 elementos e 7 nós.

• Procura-se uma aproximação para o potencial Ve dentro de umelemento.

• Relaciona-se as distribuições de potencial em vários elementos, talque o potencial seja contínuo através dos contornos entre oselementos interelacionados.

• A solução aproximada para toda a região é:

N é o número de elementos.

1

, ,N

e

e

V x y V x y

Método do Elementos FinitosA forma mais comum de aproximação para Ve no interior de umelemento é a aproximação polinomial. Para um elemento triangulartem-se:

E para um elemento quadrangular tem-se:

O elementos triangulares são os mais utilizados e são os utilizadosnesse estudo.

,eV x y a bx cy

,eV x y a bx cy dxy

Método do Elementos Finitos

Considerando um elemento triangular típico. Os potenciais Ve1, Ve2 eVe3 nos nós 1, 2 e 3, respectivamente são obtidos utilizando:

Etapa 2: Equações que regem os elementos

Os coeficientes a, b e c são determinados a partir de:

,eV x y a bx cy

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1

1

1

e

e

e

V x y a

V x y b

V x y c

1

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1

1

1

e

e

e

a x y V

b x y V

c x y V


Substituindo a última equação em:

Tem-se:

,eV x y a bx cy

3

1

,e i ei

i

V x y V

Método do Elementos FinitosA é a área do elemento, isto é:

O valor de A é positivo se os nós forem numerado no sentido horário.A equação

Fornece o potencial em qualquer ponto (x, y) dentro do elemento, desde que os potenciais nos vértices sejam conhecidos.

3

1

,e i ei

i

V x y V


i são denominadas funções de forma dos elementos e têm asseguintes propriedades:

3

1

, 1i

i

x y

1,

,0,

i j j

i jx y

i j


A energia associada ao elemento é dada por:

Onde assume-se um domínio bidimensional e livre de cargas (s = 0).Assim:


A matriz [C(e)] é conhecida como matriz de coeficientes. O elementoCij pode ser considerado como o acoplamento entre os nós i e j. Seuvalor é obtido, por exemplo:


De maneira similar:

Também:

Método do Elementos FinitosOs cálculos podem ficar mais fáceis definindo:

Observe que P1 + P2 + P3 = 0 = Q1 + Q2 + Q3 e, assim:

Com Pi e Qi (i = 1, 2, 3 são os números dos nós locais), cada termo damatriz dos coeficientes é determinado como:


Tendo considerado um elemento típico, o próximo passo é conectartodos esses elementos em um domínio. A energia associada a conexãode todos os elementos na malha é:

Etapa 3: Conexão de todos os elementos

n é o número de nós, N é o número de elementos e [C] é denominadamatriz de rigidez global, que representa a conexão das matrizes doselementos individuais. O maior problema agora é obter [C] a partir de[C(e)].


O processo pelo qual as matrizes de coeficientes de cada elementossão conectadas para obter a matriz de rigidez é melhor ilustrado comum exemplo. Considere a malha dos elementos finitos consistindo detrês elementos finitos:

Numeração global: 1, 2, 3, 4 e 5.Numeração local (anti-horário): 1, 2 e 3.


Assim a matriz [C] é:

• Que é uma matriz 5 x 5, já que cinco nós (n = 5) estão envolvidos.

• Novamente Cij é o acoplamento entre o nó i e j.

• Cij é obtido utilizando o fato de que a distribuição de potencial deveser contínua através dos contornos entre os elementos.


Para C22, o nó global 2 pertence ao elemento 1 somente e é o mesmoque o nó local 3. Assim:

Para C44, o nó global 4 é o mesmo que os nós locais 2, 3 e 3 noselementos 1, 2 e 3, respectivamente. Assim:

A contribuição à posição i, j em [C] vem de todos os elementos quecontêm os nós i, j. Para encontra C11 por exemplo, o nó global 1pertence aos elementos 1 e 2 e que é o nó local 1 para ambos. Assim:


Para C14, a conexão global 14 é a mesma que as conexões locais 12 e13 nos elementos 1 e 2, respectivamente. Assim:

Como não há acoplamento ou conexão entre os nós 2 e 3:

Continuando, obtém-se:


Observe que as matrizes dos coeficientes dos elementos se sobrepõem nos nós compartilhados pelos elementos.

Há 27 termos (nove para cada elemento) na matriz de rigidez global[C] que tem as seguinte propriedades:

• A matriz é simétrica da mesma forma que a matriz doscoeficientes do elemento;

• A matriz é esparsa e de banda;


A partir do cálculo variacional, é sabido que a equação de Laplace (ouPoisson) é satisfeita quando a energia total é mínima. Portanto, énecessário que as derivadas parciais de W, em relação a cada valornodal do potencial, seja zero. Isso é:

Etapa 4: Resolução das equações resultantes

Por exemplo, para obter W/V1=0 para a malha de elementos finitosda figura anterior obtém-se:


W/Vk = 0 leva a

Onde n é o número de nós na malha. Ao reescrever a última equaçãopara todos os nós k = 1, 2 . . . , n, obtem-se um conjunto de equaçõessimultâneas, a partir do que a solução de:

Pode ser encontrada. Isso pode ser feito de duas maneiras: Métodoiterativo e método da matriz de banda.

ou


Método iterativo:

Esta abordagem é similar àquela usada no método das diferençasfinitas. Considere que o nó 1 na última figura, por exemplo seja um nólivre. O potencial no nó 1 pode ser obtido da equação:

como:

O potencial em um nó livre k é obtido da equação:

Como:


A última equação se aplica iterativamente a todos os nós livres namalha como n nós.

Cki = 0, se o nó k não está diretamente conectado ao nó i, só nós queestão diretamente ligados ao nó k contribuem para Vk.

Dessa forma se os potenciais nos nós conectados ao nó k sãoconhecidos, pode-se determinar Vk usando a equação:

O processo iterativo começa estabelecendo os potenciais nos nóslivres iguais a zero ou iguais ao valor médio dos potenciais.


Onde Vmin e Vmax são os valores mínimo e máximo dos potenciaispreestabelecidos nos nós fixos. Com esses valores iniciais, ospotenciais nos nós livres são calculados usando

Ao final da primeira iteração, quando os novos valores tiverem sidocalculados para todos os nós livres, esses valores tornam-se os valoresde partida para a segunda iteração. O procedimento é repetido atéque diferença de valore entre duas iterações subsequentes torne-sedesprezível.

Método do Elementos FinitosMétodo da matriz esparsa:

Se todos os nós livres forem numerados primeiro e os nós fixos porúltimo, a equação

Pode ser escrita tal que:

Onde os índices subscritos f e p, repectivamente, refrem-se aos nóscom potenciais livres e fixos. Já que Vp é constante (consiste devalores conhecidos e fixos) diferencia-se em relação a Vf, tal que,ao aplicar a equação


resulta em:

Onde [V] = [Vf], [A] = [Cff] e [B] = - [Cfp] [Vp]. Já que [A] é, emgeral, não singular, o potencial nos nós livres pode ser encontrado.


Dois grande problemas associados: memória computacional requeridapara armazenar os elementos da matriz e o tempo computacionalassociado.

O FEM apresenta várias vantagens em relação FDM e ao MoM. O FEMpode lidar mais facilmente com um domínio complexo, é possívelconstruir uma proposta computacional geral para resolver uma grandegama de problemas (com mesma EDP) com diferentes domínios econdições de contorno, necessitando somente mudar os dados deentrada do problema.


Exemplo: Considere a malha de 2 elementos. Usando o FEM determineos potenciais dentro da malha.

Para o elemento 1:


Similarmente para o elemento 2:


Aplicando:

Tem-se:

Referencias Bibliográficas

1. Elementos de eletromagnetismo – Sadiku.

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