Estabilidade de Estruturas Aeronuticas I Prof.: Domingos Svio R. Jr. Seo 1 1Estabilidade e Flexo _________________________ 2 1.1Introduo__________________________________________________ 2 1.2Estabilidade_________________________________________________ 2 1.3Carga crtica _________________________________________________ 3 1.3.1Exerccio_______________________________________________________ 7 1.4Referncias __________________________________________________ 7 1Estabilidade e Flexo 1.1Introduo Asalmasfinaseoselementoslongitudinaisesbeltosdeaeronavesestosujeitos falhaporflambagememnveisdetensesrelativamentebaixos,freqentementeabaixodo limitedeproporcionalidadeeraramentemuitoacimadatensodeescoamento.Em conseqncia, o modo crtico de falha para a maior parte da estrutura por flambagem, em vez de ruptura por trao, e a predio das cargas de flambagem para colunas, placas e cascas assunto de vital preocupao para o engenheiro aeronutico. Neste captulo consideraremos o mais simples destes elementos, a coluna. Umacolunapodeflambarporinstabilidadeprimriaousecundria.Nainstabilidade primrianohdistorodaseotransversal,eocomprimentodeondadaflambada ordem do comprimento da coluna. Ela pode ocorrer por flexo lateral ou, se a seo flexvel emtoro,porumacombinaodeflexoetoro.Nainstabilidadesecundria,oulocal,h mudanas na forma da seo transversal e o comprimento de onda da flamba da ordem das dimensesdaseotransversal.Nestecaptuloserconsideradasomenteainstabilidade primria por flexo. Membrossubmetidostrao,bemcomocolunascurtas,falhamquandoatenso atuanteatingecertolimitederesistnciadomaterial.Umavezconhecidoestelimitedo material, relativamente simples determinar quantode cargaum elemento estrutural suporta. Aflambagem,entretanto,noocorrequandoatensonomembroatingecertaresistncia conhecida do material. A tenso na qual ocorre a flambagem depende de uma srie de fatores, incluindoasdimensesdomembro,aformacomoestesuportado,easpropriedadesdo materialdoqualmanufaturado.Adeterminaodatensodeflambagem,portanto,um problema relativamente complexo. 1.2Estabilidade O Conceito de estabilidade freqentemente explicado considerando o equilbrio de uma bola rgida em vrias posies, como mostrado na Figura 1.2-1. Figura 1.2-1: Estabilidade do Equilbrio e Superfcie de Estabilidade. Emboraabolaestejaemequilbrionastrsposiesmostradas,umexamemais cuidadosorevelaaexistnciadeimportantesdiferenasentreastrsposies.Seabolana parte (a)fordeslocada ligeiramente de sua posio original de equilbrio, ela retornar quela posio aps a retirada da fora perturbadora. Um corpo que se comporta desta maneira dito estar num estado de equilbrio estvel. J a bola em (b), ao ser deslocada ligeiramente de sua posioderepousonoretornar,mascontinuarasemoverparamaislongedaposio original.Oequilbriodabolaem(b),portantomuitoprecrio.chamadodeequilbrio instvel.Abolaem(c),aoserdeslocadadesuaposioderepousonoretornaposio original,mastambmnosemoveparamaislonge.Estecomportamentoreferidocomo equilbrio neutro, ou indiferente. A boladeslizandosobreasuperfcie daFigura1.2-1est em equilbrio em qualquer ponto ao longo da linha ABC. No trecho entre A e B o equilbrio estvel e no trecho entre B e C,instvel.NopontoB,transioentreosdoistrechos,abolaestemestadodeequilbrio neutro. O comportamento de uma coluna reta sujeita a uma carga central bastante similar aodabola.Aconfiguraoretadacolunaestvelparacargaspequenaseinstvelpara cargasgrandes.Seforassumidoqueumestadodeequilbrioneutronacolunaexistenuma transio entre os estados estvel e instvel, ento a carga sob a qual a configurao reta da colunapassaaserinstvelacargasobaqualoequilbrioneutropossvel.Estacarga referida normalmente como a carga crtica. 1.3Carga crtica Semprequeseprojetaumelementoestrutural,necessrioqueelesatisfaa requisitosespecficosderesistncia,deflexoeestabilidade.Emcursosderesistnciados materiaisanterioresdiscutimosalgunsdosmtodosusadosparadeterminararesistnciaea deflexodeumelementoestrutural,considerando-osempreemequilbrioestvel.Todavia, algunselementosestruturaispodemestarsujeitosacargasdecompressoe,seforem compridoseesbeltos,acargapodersergrandeosuficienteparaprovocarumadeflexoou uma oscilao lateral. Mais especificamente, elementos estruturais compridos esbeltos sujeitos a uma fora de compresso axial so denominados colunas, e a deflexo lateral que ocorre denominada flambagem. Com muita freqncia a flambagem de uma coluna pode resultar em uma falha repentina e dramtica de uma estrutura ou mecanismo e, por isso, preciso dedicar especialatenoaoprojetodecolunasparaqueestaspossamsuportarcomseguranaas cargas pretendidas sem sofrer flambagem. Figura 1.3-1: Carga Crtica. Acargaaxialmximaqueumacolunapodesuportarquandoestnaiminnciade sofrerflambagemdenominadacargacrtica,PCR,Figura1.3-1a.Qualquercargaadicional provocarflambagemnacolunae,portanto,deflexolateral,comomostraaFigura1.3-1b. Para entender melhor a natureza dessa instabilidade, considere um mecanismo composto por duas barras sem peso, rgidas e conectadas por pinos nas extremidades (Figura 1.3-2a). Quando as barras esto na posio vertical, a mola, de rigidez k, no est esticada e umapequenaforaverticalPaplicadaaotopodeumadelas.Podemosperturbaressa posiodeequilbriodeslocandoopinoemAporumapequenadistncia(Figura1.3-2b). Comomostraodiagramadecorpolivredopino,quandoasbarrassodeslocadas(Figura 1.3-2c),amolaproduzumaforaderecuperaoF=k,enquantoacargaaplicadaP desenvolveduascomponenteshorizontais,Px=Ptg,quetendemaempurraropino(eas barras) ainda mais para fora da posio de equilbrio. Visto que pequeno, (L/2) e tg . Assim, a fora de restaurao da mola torna-se F = k L/2, e a fora perturbadora 2 Px = 2 P . Figura 1.3-2: Carga Crtica. Se a fora de restaurao for maior que a fora perturbadora, isto , k L/2 > 2 P , e observando que cancelado, poderemos resolver P, o que d4kLP Equilbrio estvel Essa uma condio para equilbrio estvel, visto que a fora desenvolvida pela mola seria adequada para devolveras barras a suas respectivas posies verticais. Poroutro lado, se k L/2 < 2 P , ou4kLP Equilbrio instvel Nesse caso, o mecanismo estaria em equilbrio instvel. Em outras palavras, se essa cargaPforaplicadaeocorrerumlevedeslocamentoemA.omecanismotenderasairdo equilbrioenoretornarasuaposiooriginal.OvalorintermediriodeP,definidopelo requisito, k L/2 = 2 P , a carga crtica. Aqui, 4kLP Equilbrio neutro Essa carga representa um caso de mecanismo que est em equilbrio neutro. Corno Pcrindependentedo(pequeno)deslocamentodasbarras,qualquerleveperturbao aplicada ao mecanismo no far com que ele se afaste mais do equilbrio, nem que retorne a suaposiooriginal.Emvezdisso,asbarraspermaneceronaposiodefletida.Essestrs estadosdeequilbriosorepresentadosgraficamentenaFigura1.3-3.Opontodetransio onde a carga igual ao valor crtico P = Pcr, denominado ponto de bifurcao. Nesse ponto o mecanismoestaremequilbrioparaqualquervalorpequenodemedidoparaadireitaou para a esquerda da vertical. Em termos fsicos, Pcr representa a carga sob a qual o mecanismo est na iminncia de sofrer flambagem. Figura 1.3-3: Carga Crtica. bastante vlido determinar esse valor considerando pequenos deslocamentos como fizemosaqui;contudoprecisoentenderquePcr,podenoseromaiorvalordePqueo mecanismo pode suportar. De fato, se uma carga maior for colocada nas barras, pode ser que omecanismotenhadesofrerumadeflexoadicionalantesqueamolasejacomprimidaou alongada o suficiente para manter o mecanismo em equilbrio. Assimcomoocorrecomomecanismodeduasbarrasqueacabamosdediscutir, podemos obter as cargas de flambagem crticas para colunas suportadas de vrios modos, e o mtodousadoparafazerissoserexplicadonasprximassees.Emboranoprojetode engenhariaacargacrticapossaserconsideradacomomaiorcargaqueacolunapode suportar, entendaque, assim como no mecanismo de duasbarras, se uma coluna estiverem posio fletida ou flambada, ela poder suportar uma carga maior ainda do quePcr. Entretanto, infelizmente,essacargapodeexigirqueacolunasofraumagrandedeflexoque,emgeral, no tolerada por estruturas de engenharia ou mquinas.Por exemplo, pode ser que apenas alguns newtons de fora bastem para provocar flambagem em uma rgua de medio, mas a carga adicionalqueelapode suportars podeseraplicada aps elatersofrido uma deflexo lateral relativamente grande. 1.3.1Exerccio Determineacargadeflambagemcrticaparaacolunaabaixo.Avalietambma estabilidade da estrutura. Considere a barra como rgida. Figura 1.3-4: Exerccio. R.: Pcr = KL/4 1.4Referncias [1]F.P.BeereE.R.JohnstonJr,MecnicadosMateriais,QuintaEdio,AMGHEditora, Porto Alegre, 2011. [2]R.C. Hibbeler, Resistncia dos Materiais, Stima Edio, Pearson, Rio de Janeiro, 2010.