ETAPA 3

Séries Geométricas - Séries de Taylor.

Esta atividade foi importante para compreendermos as técnicas de resolução de uma

Equação Diferencial aplicando o estudo de séries.

Passo 1

Propor uma solução para a equação diferencial encontrada para o circuito elétrico

estudado.

R*i+ 1/C*Vc(t)=Vs

Solução para a equação:

R*i+ 1/C*Vc(t)=Vs

i= (d.Vc(t))/dt

R* (d.Vc(t))/dt+1/C*Vc(t)=Vs

Se multiplicado 1/RC teremos uma equação diferencial, onde q(t) é a solução e Vs é

uma constante e 1/RC é uma função.

R/R*(d.Vc(t))/dt+1/C*(Vc(t))/R=Vs/R

Se Vs=0

(d.Vc(t))/dt+1/RC*Vc(t)=0

(d.Vc(t))/dt=1/RC*Vc(t)

1/(Vc(t))*dVc(t)=dt/RC

Integrando a equação teremos:

ln|Vc(t)|=t/RC+C

e^ln|Vc(t)|

=e^(t∕RC)+C

Solução

|Vc(t)|=Ke^(t∕RC)

Passo 2

Estudar as condições de convergência para uma série geométrica e uma série de

potência.

Utilizar como bibliografia o LivroTexto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Séries de Taylor

∑_(n=0)^∞▒f^((n))/n!*〖(xa)〗^n

f(a)=f(a)+(f^' (a))/1! (xa)+(f^'' (a))/2! 〖(xa) ^2+(f^''' (a))/3! 〖(xa)〗^3 〖(xa)〗^4

Vc(t)=K〖.e〗^(t∕Rc)=

Se t=0

Vc(t)=K〖.e〗^(0∕Rc)=

Vc(t)=K.e^0=K

Vc^' (t)=(K〖.e〗^(t∕Rc))/Rc=(K.e^0)/Rc=K/Rc

Vc^''(t)=(K〖.e〗^(t∕Rc))/Rc*(1/Rc)=(K.e^(t∕Rc))/〖(Rc)〗^2 =K/〖(Rc)〗^2

Vc'''(t)=(K〖.e〗^(t∕Rc))/Rc*(1/Rc)=(K.e^(t∕Rc))/〖(Rc)〗^3 =K/〖(Rc)〗^3

Vc^''''(t) =(K〖.e〗^(t∕Rc))/Rc*(1/Rc)=(K.e^(t∕Rc))/〖(Rc)〗^4 =K/〖(Rc)〗^4

f(t)=f(K)(K∕Rc)/1 (xa)+(K∕〖(Rc)〗^2 )/2 〖(xa)〗^2(K∕〖(Rc)〗^3 )/6 〖(xa)〗^3+(K∕

〖(Rc)〗^4 )/24 〖(xa)〗^4

f(0)=f(K)(K∕Rc)/1 (x)+(K∕ 〖 (Rc) 〗 ^2 )/2 〖 (x) 〗 ^2(K∕ 〖 (Rc) 〗 ^3 )/6 〖 (x) 〗 ^3+

(K∕ 〖 (Rc) 〗 ^4)/24 〖 (x) 〗 ^4

Passo 3

O circuito elétrico acima tem uma solução no qual a solução das equações de primeira

ordem e métodos de resolução.

Quando pensamos sobre as soluções de uma equação diferencial, devemos nortear o

nosso raciocínio para três questões fundamentais.

Primeiro: dada uma equação diferencial arbitrária, será que ela possui solução?

Segundo: se existir solução, esta solução será única? Terceira: existe alguma solução

que satisfaça a alguma condição especial?

Para nos ajudar a responder estas perguntas, existe o chamado Teorema de Existência e

Unicidade de solução que nos assegura explicações para algumas dessas questões, desde que a

equação dada tenha algumas características.

ETAPA 4

Passo 1

Descrever, em um texto, a proposição de uma solução em forma de séries para a

equação diferencial do circuito elétrico analisado.

O circuito elétrico acima tem uma solução no qual a solução das equações de primeira

ordem e métodos de resolução.

Quando pensamos sobre as soluções de uma equação diferencial, devemos nortear o

nosso raciocínio para três questões fundamentais.

Primeiro: dada uma equação diferencial arbitrária, será que ela possui solução?

Segundo: se existir solução, esta solução será única? Terceira: existe alguma solução

que satisfaça a alguma condição especial?

Para nos ajudar a responder estas perguntas, existe o chamado Teorema de Existência e

Unicidade de solução que nos assegura explicações para algumas dessas questões, desde que a

equação dada tenha algumas características. O Teorema de Existência e Unicidade de solução é

tratado em nosso trabalho no terceiro capítulo, após conhecermos os métodos de resolução de

uma equação diferencial de primeira ordem.

Passo 2

Descrever, explícita e detalhadamente, em um texto, o critério de convergência utilizado

para a solução encontrada no passo anterior.

Não tem solução em série.

A equação que descreve o circuito para t > 0 é derivando a equação em t, temos: cuja

solução é da forma que substituindo na equação diferencial de primeira ordem temos portanto a

solução da equação é Circuitos Elétricos de Segunda Ordem.

Os circuitos elétricos RLC's são aqueles que possuem resistores, indutores e capacitores.

Em geral a análise desses circuitos resulta em equações diferenciais de ordens maiores ou iguais

a dois. Porém, estaremos estudando as equações de, no máximo, segunda ordem.

Para solucionar uma equação homogênea, podemos utilizar a solução da equação de

segunda ordem padrão chegando na equação característica.

Esta equação característica é usualmente escrita por inspeção direta da equação

homogênea padrão, desta forma é possível a existência de três combinações:

a) quando α > ω0 (Circuito Superamortecido), temos a solução da equação homogênea;

b) quando α= ω0 (Circuito Criticamente Amortecido);

c) quando α < ω0 (Circuito SubAmortecido);

O uso de números complexos para resolver problemas em circuitos de corrente

alternada, o chamado método fatorial, foi efetuado primeiramente pelo matemático e engenheiro

eletricista Charles Proteus Steinmetz, em um artigo apresentado em 1893.

A utilização dos cálculos desenvolvidos por Charles Proteus facilitou a resolução e

identificação de correntes e tensões nos circuitos de primeiras e de segundas ordens. Desta

forma, os cálculos de circuitos elétricos deixaram de depender exclusivamente das equações

diferenciais e passaram a utilizar as funções senoidais. Em engenharia elétrica, as funções

senoidais são extremamente importantes, pois a senóide é a excitação dominante da indústria

elétrica de potência mundial.