ESTUDOS DE CASOS

CURSO DE INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ECONÔMICA E

APLICADA Prof. Henrique Dantas Neder Instituto de Economia - Universidade Federal de Uberlândia Julho de 2000

Estudo de Caso 1 Uma regra básica de decisão para os investidores nos mercados financeiros é “diversificar”, ou seja distribuir os seus recursos a um conjunto de ações que provavelmente se comportarão diferentemente em resposta a várias condições de mercado. O risco para o investidor é reduzido porque, sob um dado conjunto de circunstâncias, algumas ações (ou ativos) no portfolio subirão enquanto outras cairão. Como podemos determinar quais ações são similares e quais não são para o propósito de diversificação ? Os dados apresentados são preços de ações de Janeiro de 1988 a Outubro de 1991, para dez companhias. Por exemplo, duas ações podem ser consideradas similares se elas mantém aproximadamente o mesmo nível, variam em um grau similar ou tendem a mover-se para baixo e para cima de uma forma relacionada em um período relevante de tempo. Uma análise inicial pode usar algumas técnicas gráficas para examinar estes aspectos dos dados. Construa histogramas para estas séries de preços. Que informação é perdida na conversão dos dados em histogramas ? O que se ganha com isto ? Gráficos em Séries de Tempo Outro instrumento simples para comparar séries de preços ao longo do tempo é um gráfico em série temporal. Plote os preços para cada uma das 10 companhias. Quais são as vantagens de utilizar a mesma escala para todas as séries? Quais são as desvantagens? Observe a forma geral das séries. Você pode agrupar as companhias de acordo com estas formas? Estas formas podem ser consideradas uma resposta para a questão colocada acima referente a similaridade ou deveríamos também considerar o nível das séries. Ou seja, dados dois gráficos com aproximadamente a mesma forma, poderíamos considerá-los como similares mesmo que um tivesse como média cerca de 20 dólares e o outro cerca de 65 dólares ? E a respeito da variabilidade? Como podemos considerar a variabilidade destes gráficos? Estatísticas Descritivas Pode ser útil ter um ou dois números que sintetizem as características relevantes do comportamento das ações. A média e a variância são duas estatísticas descritivas freqüentemente usadas para sumariar os dados. Calcule as médias dos preços das ações. Localize as médias nos histogramas. Isto significa que a companhia com maior média é melhor investimento do que a companhia com menor média? Apenas observando os histogramas, qual companhia tem os preços de suas ações mais variável? O que a variabilidade significa no contexto dos preços de ações? Duas possíveis medidas de variabilidade são a variância e o desvio interquartílico. calcule-os para cada companhia.

Qual é melhor medida de variabilidade, pensando a variabilidade como risco? Chega-se a mesma conclusão utilizando as duas medidas para as companhias? (dados em anexo na planilha PRECO.WKS)

ESTUDO DE CASO 2 Suicídio Tópicos Abordados: 1.Cálculo de Probabilidades Condicionais 2.Psicologia O suicídio tem sido o tema de um número crescente de estudos nos anos recentes e os psicólogos tentam entender as razões das pessoas decidirem acabar com suas vidas. Duas questões em tais estudos referem-se ao sexo da pessoa que comete o suicídio e o método escolhido para fazê-lo. 1. As mulheres cometem suicídio a uma taxa mais elevada do que os homens, ou é o contrário que ocorre? 2. Existem diferenças por sexo no método usado? Vejamos. Segue-se uma tabela de contingência de 2 por 4 que classifica os suicídios nos EUA em 1983 por sexo e método (“enforcamento” também inclui estrangulamento e sufocação). Por exemplo, dos 28.295 suicídios nos EUA naquele ano, 13.959 foram de homens utilizando revolveres.

Revolver Envenenamento Enforcamento Outros Total

Homens 13959 3148 3222 1457 21786

Mulheres 2641 2469 709 690 6509

Total 16600 5617 3931 2147 28295

Qual é a probabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriamente (ao acaso) entre estas 28.295 vítimas de suicídio seja homem? E qual é a probabilidade de que seja mulher? Dado que os números de homens e de mulheres no país são aproximadamente iguais, em que isto implica na taxa de suicídio entre homens comparada com a de mulheres? Dê uma resposta numérica explícita (por exemplo, “Mulheres cometem suicídio com cinco vezes mais probabilidade do que homens,” se isto é correto). Explique em uma sentença ou duas o que estas probabilidades dizem acerca das diferenças, se houverem, entre homens e mulheres no método escolhido de suicídio. Considere as seguintes probabilidades condicionais para uma pessoa escolhida aleatoriamente a partir destas 28.295 pessoas. Algumas já estão calculadas. 1.P( revolver dado homem ) = ... 2.P( revolver dado mulher ) = 40.6% 3.P( envenenamento dado homem ) = 14.4% 4.P( envenenamento dado mulher ) = ... 5.P( enforcamento dado homem ) = 14.8% 6.P( enforcamento dado mulher ) = ... 7.P( outros dado homem ) = ...

8.P( outros dado mulher ) = 10.6% Solução P(homem) = 21786/28295 = 0,77 e P(mulher) = 6509/28295 = 1 - 0,77 = 0,23. Dado que os números de homens e de mulheres são aproximadamente iguais no país, isto significa que os homens são muito mais prováveis de cometer suicídio do que as mulheres - de fato, 0,77/0,23 é mais do que 3,3 vezes mais provável. Interlúdio técnico: efetivamente os valores 77 % e 23 % são probabilidades condicionais, porque eles são calculados em relação a pessoas que cometem suicídio: P(homem dado suicídio)=(21786 sobre os 28295 suicídios) = 77%, P(homem dado suicídio)= 23%, similarmente. O que realmente queremos, entretanto, não é P( homem dado suicídio) e P(mulher dado suicídio) mas P(suicídio dado homem) e P(suicídio dado mulher), porque queremos comparar a taxa de suicídio entre os homens com aquela entre as mulheres. Você pode usara definição de probabilidade condicional para mostrar como estas coisas são relacionadas, como segue: 1.P(suicídio dado homem) = P(suicídio e homem )/P(homem) 2.P(suicídio dado mulher) = P(suicídio e mulher)/P(mulher) Portanto, P(suicídio dado homem)/P(suicídio dado mulher)= [P(suicídio e homem)/P(homem)]/[P(suicídio e mulher)/P(mulher)]. Mas P(homem) e P(mulher) são aproximadamente idênticos e iguais a 50% cada, portanto P(suicídio dado homem)/P(suicídio dado mulher)= P(suicídio e mulher)/P(suicídio e mulher) Agora, 1.P(homem dado suicídio)=P(suicídio e homem)/P(suicídio) 2.P(mulher dado suicídio) = P(suicídio e mulher)/P(suicídio) Portanto, P(homem dado suicídio)/P(mulher dado suicídio)= [P(suicídio e homem)/P(suicídio)]/[P(suicídio e mulher)/P(suicídio)]= P(suicídio e homem)/P(suicídio e mulher). Portanto neste caso especial, já que o número de homens e mulheres são aproximadamente iguais, temos que P(suicídio dado homem)/P(suicídio dado mulher)= P(homem dado suicídio)/P(mulher dado suicídio). Em outras palavras, a relação das taxas de suicídio para homens e mulheres pode ser calculada como (21786/28295)/(6509/28295)= 77 %/23 % = 3,3, como acima.

Usualmente P(A dado B) e P(B dado A) conduzem a duas questões bem diferentes.

ESTUDO DE CASO 3:

Tópicos Referidos

1.Cálculo e interpretação de probabilidades

2.Medicina

O teste ELISA foi aprovado pelo governo dos EUA em meados da década de 1980

para a verificação da presença do vírus da AIDS no sangue doado. O teste opera

através da detecção de anticorpos, substâncias que o corpo produz quando o

virus está presente, mas ele comete alguns erros. O teste ELISA foi projetado de

forma que quando uma dada amostra de sangue está de fato contaminada com

AIDS, o teste dá um resultado positivo (ou seja, o teste ELISA registra que na sua

opinião esta amostra de sangue tem AIDS) 99 % das vezes, ao passo que quando

a amostra que está sendo testada não está contaminada com o vírus o teste

ELISA anunciará um resultado negativo 94 % das vezes. A prevalência de AIDS

na população de pessoas que doam sangue é cerca de 1 %. Suponha que alguém

doe sangue e que o teste ELISA forneça um resultado positivo. Mostre que a

probabilidade da pessoa efetivamente ter AIDS dado este resultado positivo é de

somente cerca de 14 %! Isto significa que os projetistas do teste ELISA são

estúpidos, ou erros como este são inevitáveis? Explique brevemente. A seguinte

sugestão pode ser útil.

Preencha a tabela 2 X 2 abaixo para um conjunto imaginário de 10.000

amostras de sangue, usando os três fatos numéricos do parágrafo anterior.

Comece com o dado de 1 % e continue a preencher a tabela explicando as

passagens.

A pessoa tem AIDS A pessoa não tem AIDS

O teste ELISA é positivo

O teste ELISA é negativo

Resposta:

Primeiramente, se 1 % das amostras de sangue são realmente de pessoas

com AIDS, então você pode colocar 1 % de 10.000 = 100 o total marginal na

primeira coluna e teremos 10.000 - 100 = 9.900 amostras de sangue que não tem

AIDS como o total marginal na segunda coluna. Em segundo lugar, se 99 % das

pessoas com AIDS serão corretamente classificadas pelo teste ELISA, 99 das 100

amostras na primeira coluna cairão na primeira linha naquela coluna, deixando

100 - 99 = 1 na segunda linha naquela coluna. Em seguida, se 94 % das 9900

pessoas que não tem AIDS serão corretamente informadas de que não estão

infectadas pelo ELISA, estimo que seriam 0,94 * 9900 = 9306 amostras de sangue

na segunda linha da segunda coluna, deixando 9900 - 9307 = 693 para a primeira

linha daquela coluna. Finalmente, portanto, os totais marginais nas linhas são 99 +

594 = 693 e 1 + 9306 = 9307

Finamente, estando a tabela completa, podemos calcular a probabilidade

condicional que queremos: P(uma pessoa tem AIDS dado que o ELISA é positivo)

= 99/693 = 14 %. Em outras palavras, somente cerca de 14 % dos resultados

positivos do ELISA efetivamente estão infectados. Isto parece ser um dado

desapontadoramente baixo considerando os números de performance (99 % e 94

%) bons do ELISA. Portanto, é importante dedicar um momento para ver porque.

A pessoa tem AIDS A pessoa não tem AIDS

O teste ELISA é positivo 99 591 693

O teste ELISA é negativo 1 9306 9307

100 9900 10000

Há uma variedade de pontos que podem ser observados em uma

explanação:

Algebricamente, uma fração é pequena quando seu numerador é pequeno

e/ou seu denominador é grande, e ambas as coisas acontecem aqui. O numerador

(99) é pequeno devido a incidência de AIDS ser baixa - desde que somente 1 %

das amostras de sangue estarão de fato contaminadas, o numerador poderia ser

no máximo 100. E o denominador (693) é grande porque o valor 591 é também

bastante grande, o que por sua vez ocorre devido a taxa de sucesso de 94 % do

ELISA entre as pessoas que não têm AIDS.

As células na diagonal da tabela 2 x 2 acima são valores de sucesso para o

ELISA; a outra diagonal mostra os erros do teste. Verifique o forte desequilíbrio

nas células da diagonal secundária: 1 contra 591. O teste ELISA foi evidentemente

projetado para ter horror a cometer um dos dois possíveis erros que ele pode

cometer, ou seja comunicar a pessoas que tem AIDS que elas não têm (falsos

negativos, como eles são chamados), o que faz sentido já que o ponto é retirar

sangue contaminado do sistema de doação de sangue. Mas é inevitável que ao

tentar arduamente não cometer este tipo de erro o ELISA tem que cometer um

grande número do outro tipo de erro, ou seja, comunicar às pessoas que não têm

AIDS que elas têm. Na prática pessoas cujo resultado é positivo com ELISA são

submetidas a um segundo teste (chamado Western blot) que é mais caro mas é

mais preciso, e aquelas pessoas são somente declaradas como tendo AIDS se

ambos os testes resultam positivos. Portanto, a resposta é não: os projetistas do

ELISA não são estúpidos; se falsos negativos são realmente resultados ruins e a

sua prevalência é baixa, os falsos positivos são inevitáveis.

ESTUDO DE CASO 4 Fumar: grande risco para mulheres

Tópicos Referidos

1.Cálculo e interpretação de probabilidades

2.Medicina

Fumantes mulheres tem duas vezes risco de câncer pulmonar se elas fumam o mesmo número de cigarros que homens, um novo estudo descobriu. O estudo registrado na Revista Americana de Epidemiologia, é um dos primeiros a revelar que o fumo afeta homens e mulheres diferentemente. Encontrou que mulheres mais jovens eram sete vezes mais prováveis de adquirir câncer que mulheres não fumantes mas tem cinco vezes mais risco que homens não fumantes. Os investigadores converteram os dados em "maços-anos" , com cada ano equivalente a 7305 cigarros, ou um média de um maço por dia. Mulheres que fumaram mais que 30 maços-anos tiveram 27 vezes mais risco de adquirir câncer pulmonar que mulheres não fumantes. Mas os homens que fumaram o mesmo número de anos eram 11 vezes mais prováveis de desenvolver câncer que os homens não fumantes. Para 60 maços-anos e mais, as mulheres correram um risco de câncer que foi 82 vezes mais alto do que se elas não fumassem, e os homens correram um risco 23 vezes mais alto. Os investigadores da Universidade de Yale , da Universidade de Toronto-Canadá e da Fundação de Tratamento do Cancer de Ontario, entrevistaram 442 mulheres e 403 homens com câncer pulmonar para o estudo. Os fumantes foram escolhidos a partir dos dados de 410 mulheres saudáveis e 362 homens saudáveis de cerca da mesma idade. Os membros familiares e cônjuges dos fumantes também eram cuidadosamente entrevistados para estabelecer detalhes da história de cada pessoa fumante e do número de cigarros que elas fumavam. Estudo conduzido pelo Dr. Harvey Risch, professor associado de epidemiologia e saúde pública na Escola de Medicina de Yale afirmou que a maioria dos fumantes fumam em média um maço por dia e fumam cerca de 40 anos. Mas apesar do resultados, Dr. Risch escreveu no New York Times que ele não pôde estabelecer quaisquer razões de que as mulheres eram mais suscetíveis a câncer pulmonar que os homens. O Conselho Anti-câncer Vitoriano de Epidemiologia encabeçado pelo Dr. Graham Giles disse ontem que os resultados da pesquisa tornam vital que as mulheres - especialmente mulheres jovens - deixem de fumar. Ele disse que muito pouca pesquisa tinha sido feita sobre a diferença no hábito de fumar de acordo com os sexos porque a maioria das mulheres não fumaram por tanto tempo como os homens. DISCUSSÃO: Dois tipos de questões podem ser levantadas a partir desse artigo. Em primeiro lugar há a questão geral referente a coleta dos dados, relatando-a e explicando-a.

É um caso interessante de um estudo retrospectivo porque começa com pessoas que têm câncer pulmonar (provavelmente de idade de 55 ou mais desde que a maioria têm fumado aproximadamente 40 anos). A segunda questão é a representação de probabilidades. Não está claro totalmente como estas poderiam ser calculadas da informação sobre as pessoas no estudo. Usando uma abordagem de freqüência para probabilidade, pode-se concluir que desde que os pesquisadores partiram de pessoas com câncer pulmonar (442 mulheres e 403 homens), as probabilidades que podem ser obtidas são: Pr (fumar | câncer pulmonar) NÃO Pr (câncer pulmonar | fumar). [Aqui Pr (A | B) é a probabilidade de evento A acontecer dada a ocorrência de evento B.] Talvez a luz dos comentários sobre pessoas saudáveis os pesquisadores poderiam calcular Pr (fumar | saudável). Porém, esta não está diretamente relacionados às probabilidades dadas no artigo. A mistura com " pessoas saudáveis " de cerca da mesma idade é de interesse porque não diz se elas eram os fumantes ou não. De sentenças anteriores no artigo, poderia se supor que elas eram não-fumantes. Isto poderia ser importante para a interpretação dos resultados. A mistura de aspectos é importante para um estudo como iste mas claro que não responde por outros fatores (genéticos ou sociais) por que as pessoas poderiam escolher fumar ou desenvolver uma propensão para câncer pulmonar. Uma pergunta adicional surge sobre a base para as conclusões para mulheres "mais jovens" dadas no começo do artigo, Pr (Câncer | mulher que fumou 30 pacotes-anos) = 27 Pr (Câncer | mulher não fumante) e Pr (câncer | homem que fumou 30 pacotes-anos) = 11 Pr (Câncer | homem não fumante) Após a discussão poderia ser de interesse olhar o relatório de pesquisa original na Revista Americana de Epidemeologia. ESTUDO DE CASO 5 Subterrâneo de Londres Tópicos Abordados:

1. Modelos de Probabilidade e Aproximações para a Distribuição Normal

2. Teorema do Limite Central 3. Engenharia Há um grande número de diferentes linhas subterrâneas em Londres, algumas das quais correm paralelas sob as mesmas ruas. Os construtores dos subterrâneos o arranjaram sobrepondo os túneis subterrâneos de cada linha uns sobre os outros, algumas vezes em duas ou três vias. Em muitas estações subterrâneas. Em muitas estações subterrâneas, para alcançar os túneis mais profundos você deve descer uma longa escada rolante. Por exemplo, na estação Pimlico, a escada rolante que desce até o mais profundo túnel é semelhante a uma “stairway” com 96 etapas. Durante o período de “rush” qualquer simples etapa de escada rolante tem duas pessoas lado a lado, de forma que a escada rolante tem que ser projetada para carregar 192 pessoas sem sobre carga. A população das vias subterrâneas nos períodos de “rush” é quase que exclusivamente composta de homens e mulheres adultos, que pesam em média 150 libras-peso com um desvio padrão de cerca de 28 libras-peso. Se o engenheiros que planejaram e projetaram a estação Pimlico projetaram a escada rolante para carregar 29.700 libras-peso sem ruptura, que proporção do tempo quando ela está completamente lotada com 192 pessoas haveria sobrecarga? ( Expresse sua resposta na forma “cerca de 1 em cada k viagens inteiramente carregadas”). Dado que os períodos de pico de tráfego pela manhã e no final da tarde duram cerca de uma hora e meia e o movimento na escada rolante é de tal forma como se ocorresse uma nova viagem com 192 novas pessoas a cerca de cada minuto durante este período, você considera esta taxa de falha como aceitavelmente baixa? (Sugestão: a esta taxa qual seria a freqüência aproximada de sobrecarga?) Se os engenheiros quisessem que a escada rolante falhasse somente cerca de uma vez em cada 10.000 viagens (o que significaria sobrecarga cerca de uma vez em cada 110 dias), para que peso a escada deveria ser projetada para suportar? (Seja explícito com referência ao seu modelo de probabilidade: em outras palavras, seja claro acerca da estrutura de população e amostra envolvida e comente brevemente sobre todas as hipóteses que você estabeleceu e se você considerou-as razoáveis. Solução Estamos querendo saber a probabilidade de que 192 passageiros aleatoriamente escolhidos sobrecarreguem a escada rolante. A população é conceitual: todos os passageiros de Londres que costumam usar a estação Pimlico no período de rush. Podemos considerar o tamanho N da população como praticamente infinito. A variável de interesse é o peso das pessoas. A média populacional é 150 libras; o

desvio padrão populacional é 28 libras; e o histograma populacional tem provavelmente uma longa cauda direita (porque voc6e não pode sobreviver como um adulto com um peso menor do que 80 libras ou alguma coisa assim mas você pode ir muito longe na cauda direita sem morrer imediatamente). Nós estamos pensando no peso total de 192 passageiros na escada rolante, no período de rush quando existe aglomeração, como sendo a soma de 192 extrações independentes e identicamente distribuídas - iid (ou AAS; isto não importa quando N é infinito) da população, de forma que a amostra são as 192 pessoas assim escolhidas, n = 192, e a estatística amostral de interesse é a soma S de todas as 192 extrações. Em termos de S a probabilidade que queremos é P(S > 29700 libras). Para calcular esta probabilidade temos que preencher um conjunto de dados imaginários, imaginando repetidamente que tomamos 192 extrações IID (independentes e identicamente distribuídas) da população e calculamos sua soma. A primeira vez o resultado pode ser 29400 libras; na próxima vez 28600 libras; e assim por diante. Uma maneira de calcular P(S > 29700) é considerar a média e o desvio padrão do conjunto de dados imaginário, aproximar o histograma das somas pela distribuição normal, e calcular a área a área sob a curva normal a direita de 29700. A média tendencial das somas neste conjunto de dados imaginário é o valor esperado da soma, E(S)= 192*150 lb = 28800 lb. O desvio padrão tendencial das somas deste conjunto de dados imaginário é o erro padrão da soma, SE (S) =28*192 = 388 lb; em outras palavras, a variável aleatória soma tem média 28800 lb e desvio padrão 388 lb.

O histograma tendencial (quando um número muito grande de extrações IID de 192 pessoas ocorre neste experimento imaginário) seguiria proximamente a curva normal pelo Teorema do Limite Central, porque 192 é um número grande de extrações e o histograma populacional provavelmente não era tão distanciado da curva normal. Assim, P(S> 29700) pode ser decentemente aproximado pela conversão de 29700 a unidades padronizadas pela curva normal, ou seja (29700-28800)/388 = 2,32 , e verificando a área a direita de 2,32 sob a curva normal padronizada, que é cerca de 1 % ou 1 em 100. Em outras palavras, se eles projetassem a escada rolante para sustentar 29700 lb, ela atingiria sua resistência máxima cerca de uma vez a cada 100 viagens totalmente carregadas. 1% parece ser um número bem pequeno, mas não é pequeno o bastante: Com 90 viagens inteiramente carregadas de um minuto nos horários de rush da manhã e do final de tarde combinados, a escada rolante não funcionará cerca de uma vez a cada 1,1 dias, o que é muito freqüente. Suponha que eles somente quisessem que ela não funcionasse uma vez a cada 10000 viagens inteiramente carregadas. Isto seria equivalente a perguntar o número de libras x tal que P(S > x) = 0,0001. A posição na curva normal padronizada com 0,0001 como área a direita é cerca de de 3,72, e trabalhando em sentido inverso de (x - 28800)/388 = 3,72, obtemos cerca de 30240 lb. Isto é muito interessante: para abaixar a taxa de falha de 1 em 100 para 1 em 10000 eles somente tem que aumentar a tolerância de carga de cerca de 540 lb, de 29700 para 30240. A razão é que 2,32 já é bastante distanciada na cauda direita da curva normal e a curva aproxima-se de zero muito rapidamente a partir daquele

ponto - você não tem que ir muito longe para fazer com que a área a direita do ponto caia bastante. Nota técnica: estamos provavelmente confiando muito no comportamento exato da curva normal e na forma de sua cauda direita ao fazer estes cálculos - um trabalho de engenharia cuidadoso seria baseado não na curva normal mas em simulações feitas a partir da distribuição efetiva de pesos dos passageiros nas horas de rush. ESTUDO DE CASO 6 Trial of the Pyx Tópicos Abordados: 1. Modelos de Probabilidade e Aproximações para a Distribuição Normal 2. Teorema do Limite Central 3. História Econômica Trial of the Pyx Desde o princípio do século 13, as moedas cunhadas pelo Royal MInt na Inglaterra tinham o seu conteudo de metal avaliado em uma base amostral, através de uma cerimônia chamada "Trial of the Pix". Em 1799, por exemplo, o procedimento era do seguinte modo. Cem moedas de ouro chamadas guinels eram escolhidas ao acaso de todas as moedas produzidas naquele ano, colocadas no "Pyx" (uma caixa de cerimonial), e pesadas. Permitia-se ao Mestre do "Pix", que era responsável pela qualidade das moedas, uma margem de erro, chamada "remédio" que era fixada de acordo com as tolerâncias dos processos de fabricação da época. Supunha-se que um guinel em 1799 pesava 128 gramas (há 360 gramas em uma onça), de forma que 100 guinels no "Pix"pesariam cerca de 12800 gramas. O "remédio" por esses dias era 1/400 da quantidade esperada, ou 32 gramas. Se o peso efetivo das moedas no "Pyx" diferisse de seu valor esperado por mais que o "remédio" tanto para mais como para menos, o Mestre do "Pix" ficava exposto a sérias penalidades. O governo britânico tinha um interesse em que as moedas não pesassem muito, mas o Mestre do "Pix" tinha um incentivo para faze-las pesar menos que o padrão, porque isto lhe permitiram obter a diferença (contanto que ele não fosse pego pelo "Trial of the Pyx"). Se o Mestre da "Pyx" é honesto e fabrica guinels que pesam exatamente128 gramas em média, com um desvio padrão de 1 grama, qual é a chance que ele sobreviverá ao "Trial of thePyx"? Para responder a esta pergunta, primeiramente

construa um modelo de probabilidade, sendo explícito quanto a população e a amostra. Se ao invés ele faz com que as guinés pesem somente 127,7 grãos em média (com o mesmo desvio padrão de 1 grama), qual é agora a probabilidade de que ele sobreviverá ao "Trial"? Se ele sobrevive, quanto ouro pode esperar ele embolsar em um ano comum no qual ele produz 100000 guinels? Ele perde ou ganha quanto? Mostre todo o seu desenvolvimento (mas você não precisa reconstruir o modelo explicitamente). DISCUSSÃO A população de interesse são todas as moedas cunhadas em 1799, com média igual a 128 gramas e um desvio padrão de 1 grama. Desta população uma amostra aleatória simples de 100 moedas foi selecionada para o "Trial of the Pyx". Seja S a soma dos pesos das 100 moedas na amostra. O valor esperado da soma, E(S), é 100 vezes a média da população: 12800 gr. O erro padrão (SE) é determinado pelo desvio padrão vezes a raiz quadrada do tamanho da amostra: 1*10 = 10 grama. Devido ao Teorema de Limite Central, o histograma de longo prazo (imaginando-se um número infinito de tentativas no mesmo ano) de S é normal, centrado em 12800 gramas com desvio padrão igual a 100 (a raiz quadrada do erro padrão SE). O Mestre do "Pix" só sobrevive ao "Trial ofo the Pyx" se o peso total S das 100 moedas na amostra pesa entre (12800-32 e 12800+32) gramas. Precisamos calcular P(sobreviver)=P(12768 <S <12832). Padronize subtraindo a média (12800) de todas as três quantidades dentro da probabilidade e dividindo pelo erro padrão. Usando Z = (S - E(S)) /SE faz com que esta probabilidade se iguale a P((12768-12800)/10 <Z <(12832-12800)/10) = P(-3,2 <Z <3,2) que é aproximadamente 99.9%. Então, se o Mestre do "Pix" é honrado ele está virtualmente certo de que irá sobreviver ao "Trial" Estudo de Caso 7: Dados de temperatura Tópicos Abordados: 1.Inferência 2.Meteorologia Em 1975, a temperatura máxima diária média no aeroporto de São Francisco era 63,7 graus (Fahrenheit), com um desvio padrão de 8 graus. Este valor de temperatura média foi pouco baixo quando comparado com a história recente: através da década passada a média correspondente foi de 65,1 graus. Alguém pode admirar-se se esta diferença é significativa.

A maquinaria padrão de teste de significância tanto funciona ou falha em uma dada situação, e quando ela falha isto pode ocorrer por uma de duas razões: conceitual (a idéia global de teste de significância neste caso não faz sentido), ou técnico (a idéia é correta o bastante, mas as hipóteses técnicas subjacentes aos testes usuais não se sustentam). Se é legítimo fazer um teste para a resposta a questão acima, faça-o, descrevendo todas as suas hipóteses; se não, explique porque não, e distinga se a falha neste caso é conceitual ou técnica (ou ambas). Solução: Há dificuldades com a tentativa de fazer inferência neste problema, qualquer que seja o aspecto abordado. No lado conceitual, qual é a população a partir da qual estas 365 temperaturas podem ser pensadas como IID ou amostra aleatória simples? Se a população que você está interessado é 1975 em São Francisco, temos todos os dados; não há incerteza quanto a temperatura média desta população. Se, ao contrário, a população é algum período de tempo mais amplo em São Francisco, então nós não temos necessariamente uma amostra representativa das temperaturas ao longo de todo o período de tempo - tudo que nós temos é uma amostra escolhida em apenas um ponto do tempo, 1975. o que ocorreria se houvesse um aquecimento ou resfriamento gradual, por exemplo, no decorrer de um período de anos? Nós não somo capazes de prever isto. Se, ao invés disso, a população é 1975 em alguma região mais ampla do que São Francisco, novamente não temos necessariamente uma amostra representativa da temperatura através de toda a região - tudo que temos é uma escolhida em um lugar, São Francisco. É muito difícil inventar ou imaginar uma população da qual estes números podem plausivelmente ser considerados como uma IID ou amostra aleatória simples. Mesmo se você considerar que as coisas estão conceitualmente corretas, há um grande problema técnico aqui. 365 extrações IID de uma população de temperaturas não mostraria a tendência sazonal que você vê nos dados fornecidos como o problema - o gráfico mostra um padrão de altos e baixos no decorrer do tempo, ao passo que extrações IID dos dados pareceriam flutuações aleatórias ao redor de uma temperatura média subjacente. A inferência utilizando a maquinaria usual de amostragem aleatória simples não é apropriada aqui. ESTUDO DE CASO 8)

Tópicos Referidos

1.Amostragem

2.Demografia

A revista Times publicou no final da década de 1950 que “em média um ex-

estudante da Universidade de Yale, turma de 1924, tinha uma renda de $ 25.111

por ano,” o que seria equivalente hoje a cerca de $ 150.000 ( o sexismo na

sentença não estava na afirmação da Times mas nas políticas de admissão da

Universidade de Yale na década de 1920: somente homens eram admitidos

naqueles dias). A estimativa da Times baseou-se em respostas recebidas de uma

pesquisa amostral feita por questionários e endereçada àqueles membros da

turma de 1924 da Universidade de Yale cujos endereços eram conhecidos no final

da década de 1950 pela administração da universidade.

Qual é a população? O método utilizado na seleção da amostra produz

provavelmente representatividade? Existem possíveis fontes de viés no

procedimento amostral? Baseado nisto, você diria que a estimativa da Times é

provavelmente muito alta, muito baixa, ou aproximadamente correta?

Explique brevemente.

Resposta:

A população são todos os estudantes que se graduaram em 1924 ainda

vivos na época da pesquisa (o final da década de 1950). O método amostral

provavelmente não produziu representatividade: não houve tentativa de escolher

as pessoas aleatoriamente (as pessoas tanto estavam como não estavam na lista

de endereços mantida pela universidade, e elas tanto optaram por responder

como não responder se contatadas a partir daquela lista), e existem boas razões

(veja abaixo) para esperar que as pessoas amostradas e não amostradas diferem

substancialmente em renda

Você pode considerar qualquer uma das três espécies de viés - viés de

seleção, devido ao fato de que a lista de endereços era composta de pessoas que

permaneceram em contato com a Yale todos aqueles anos, e tais pessoas eram

muito provavelmente diferentes em renda daquelas que não tiveram que manter

contato como a universidade (Porque a universidade mantinha seus nomes?

Talvez porque eles eram fiéis doadores para algum fundo); viés de não resposta,

porque as pessoas que responderam e aquelas que não responderam o

questionário muito provavelmente diferem em renda, se as questões são sobre

renda (você enviaria o questionário de volta se não estivesse orgulhoso de como

está indo?), e viés de resposta, devido a que qualquer que seja a pessoa que

encaminhou a pesquisa poderia ter tido um interesse pessoal em fazer com que

aquelas pessoas parecessem prósperas e poderia ter formulado a questão de

uma forma que encorajassem-nas a exagerar a sua renda (esta terceira fonte de

viés parece menos plausível do que as outras duas, mas ainda é possível). No

mínimo as duas primeiras fontes de viés podem ter influído proeminentemente na

estimativa de $ 25.111. Dadas as direções dos vieses, parece muito provável que

a estimativa da Times foi substancialmente muito elevada.

ESTUDO DE CASO 9

Nielsen

TÓPICOS REFERIDOS:

1.Pesquisas Amostrais

2.Negócios

As companhias nos EUA gastam centenas de milhões de dólares por ano com

propagandas de seus produtos na televisão, rádio e nos jornais e há naturalmente

muito interesse em saber se a mensagem está atingindo o público certo. Duas

pesquisas foram conduzidas alguns anos atrás para medir o efeito de uma

campanha publicitária para o detergente Tide. Em uma pesquisa, entrevistadores

perguntaram às donas de casa se elas usavam Tide. Posteriormente, os

entrevistadores pediram para efetivamente ir na lavanderia e ver que detergente

estava sendo usado. Você esperaria que as duas pesquisas chegariam as

mesmas conclusões? A que espécies de vieses pode cada pesquisa estar

suscetível ? Explique brevemente.

Solução:

Não esperaríamos que os dois métodos conduzam a respostas similares -

esperaríamos a taxa aparente de uso de Tide como sendo maior quando os

entrevistadores perguntaram se a pessoa usou Tide do que quando elas

efetivamente solicitaram ver a caixa de Tide na lavanderia. Perguntar às pessoas

se elas usam um produto provavelmente conduz a uma resposta viesada - se você

diz “Olá, senhora ou senhor, você usa blah? ”as pessoas tenderão a responder

sim mesmo se elas não usam blah, por que as pessoas têm uma tendência natural

a se acomodar ou agradar alguém e a resposta agradável a questão acima é sim.

Pedir permissão para ir a lavanderia e ver que tipo de detergente está

sendo usada provavelmente conduzirá a uma elevada taxa de não resposta, o que

também abre a possibilidade de grandes vieses.

ESTUDO DE CASO 10:

A organização Nielsen a taxa de shows de TV pelo seguinte método. Eles

escolheram um painel de residências com aparelhos de TV e ligaram um medidor

em cada aparelho. O medidor registrou os períodos nos quais o aparelho estava

ligado e em que canal. No fim de cada mes, os medidores eram lidos e o pessoal

da Nielson calculou o número total de horas gastas pelos membros do painel

assistindo cada programa de TV. As taxas da Nielsen foram baseadas neste total.

O painel foi raramente alterado. A distribuição dos recursos para propaganda para

as redes de televisão foi (e ainda é) baseada em grande parte em taxas desse

tipo. Utilizando a linguagem da amostragem, discuta brevemente se esta é uma

boa maneira de estimar os hábitos de assistir televisão nacionalmente e sugira

uma forma melhor se ocorrer a você

ESTUDO DE CASO 11:

Esqueletos

Tópicos Referidos

1.Comparando duas Médias de Amostra

2.Antropologia

Uma antropóloga física levou amostras de esqueletos em locais de duas

diferentes tribos pré-históricas norte americanas. Ela quer determinar se há uma

diferença entre as alturas de esqueletos de fêmeas nas tribos, porque isto dará

informação indireta preciosa sobre hábitos dietéticos das duas culturas. As

amostras representam tudo dos esqueletos que ela poderia achar nos dois locais

e que ela poderia identificar confiantemente como fêmea e da qual era possível

calcular a altura com bastante precisão.

Os dados:

Tribo N Média SD

1 25 59,4 polegadas 1,8 polegadas

2 27 61,3 polegadas 2,4 polegadas

Monte um modelo para estes dados sob a suposição (para o momento) que

estas são amostras aleatórias simples das populações de interesse, e use o

modelo para achar um intervalo de 95% de confiança para a diferença em altura

comum entre fêmeas nas duas populações tribais e um teste de significância para

a hipótese que esta diferença é zero.

O que conclui você? Você pensa que é razoável assumir que os esqueletos

que ela adquiriu com seu método de amostragem pode ser considerada uma

amostragem aleatória simples (AAS) das populações de todas as fêmeas nas

duas tribos?

Se não, quais seriam os efeitos em termos de quaisquer vieses nas

inferências que ela estabeleceu com seu método amostral.

Explique brevemente.

Solução:

A antropóloga tem a seguinte hipótese que ela gostaria de testar: não há

nenhuma diferença entre as duas tribos em termos de alturas (hipótese nula).

A diferença observada é Y = 59.4 - 61.3 = -1.9 polegadas. O erro padrão de

Y é determinado pela fórmula seguinte

27

4,2

25

8,1 22

[(1.8^2)/25 + (2.4^2)/27]^(1/2). Assim, a estatística z para as

duas amostras é z = (diferença observada - diferença esperada) / (SE para a

diferença) = -1.9 / .5856=-3.2

Em outra palavras, a diferença entre as alturas da tribo 1 e tribo 2 é

aproximadamente 3,2 SE abaixo do valor esperado sob a hipótese nula.

Conseqüentemente, nós rejeitamos a hipótese nula e aceitamos a hipótese

alternativa de que a diferença é real.

Observações:

1.O teste assume amostras aleatórias simples que não são o caso aqui.

2.A amostra é grande o bastante. Assim, devido ao Teorema do Limite

Central, o histograma de probabilidade para cada média de amostra e por

conseguinte da diferença delas segue a curva normal.

Portanto, a solução do problema assume amostras aleatória simples que

não são o caso neste problema. A antropóloga selecionou amostras convenientes

com viés de seleção presente. Assim, as médias de ambas as amostras são

viesadas e o valor provável pelo qual as estimativas amostrais viesadas diferem

da verdadeira nas duas populações é determinado pela

fórmula ]padrao [ 22 erroviés

O erro padrão de ambos as médias subestima a resposta correta. A

resposta correta é difícil de avaliar na ausência de qualquer informação relativa ao

componente de viés.

Porém, desde que foram juntadas ambas as amostras do mesmo modo que

os vieses embutidos em cada uma delas se cancelam em grande parte fora e

assim a inferência feita relativa a diferença entre elas é provavelmente altamente

precisa, enquanto cada uma individualmente não o é.

ESTUDO DE CASO 12 CAMPANHA NACIONAL PARA O PROGRESSO EDUCACIONAL Tópicos Abordados: 1.Estimação de Proporções 2.Educação Para monitorar mudanças na qualidade da educação oferecida pelas escolas primária e secundárias nos EUA uma iniciativa denominada Campanha Nacional para o Progresso Educacional (NAEP) administra testes anuais em uma variedade de questões utilizando amostras aleatórias de estudantes. Efetivamente, utiliza-se amostragem estratificada ao invés de amostragem aleatória simples, mas o seu método é aproximadamente equivalente a tomar Amostra Aleatória Simples (AAS) de cerca de 950 estudantes da população de todos os estudantes dos EUA em um dado grau de um dado ano. Em 1975, o NAEP aplicou um teste de matemática para adolescentes de 17 anos. Um dos itens do teste era: Faça a seguinte adição: 1/2 + 1/3 = .... 617 dos 950 estudantes conheciam a resposta certa, 5/6 (a resposta errada mais freqüente foi 2/5). Estime p, a porcentagem de todos os estudantes de 17 anos nos EUA que sabem a resposta certa e construa um intervalo de confiança de 95 % para p. Se eles querem ter 95 % de certeza de que a porcentagem nacional esteja dentro de um intervalo de 2 pontos percentuais, quantos estudantes deve conter a amostra? Solução:

Seja p a porcentagem dos estudantes de 17 anos nos EUA que sabem a resposta certa. Uma estimativa de p é dada por 617/950 = 0,65 ou 65 %, a partir da amostra aleatória simples (AAS). A estimativa da variância é dada por s2(p) = (estimativa de p)*(1-estimativa de p)/n. Assim, o erro padrão da estimativa de p é SE(p) = 0,015. Já que estamos tratando de uma amostra grande (n* p estimado > 5 e n*(1 - p estimado) > 5) a partir do Teorema do Limite Central temos que p tem distribuição aproximadamente normal com média = 0,65 e variância = 0,000225. Portanto, um

intervalo de confiança de 95 % é dado por (0,65 - 1,96*0,015 ; 0,65 + 1,96*0,015) = (0,619;0,679). Se eles querem ter 95 % de certeza de que a porcentagem nacional tenha um erro de no máximo 2 %, teriam que calcular: P( | p- p estimado| <= .02)=.95 ou padronizando P([ | p- p estimado| / SE(p) ] <= a )=.95 onde a=0,02/SE(p). Mas a=1.96, que implica que (0,02)/[(p estimado)*(1- p estimado)]/n=1.96. Resolvendo esta última equação para n e usando o valor estimado p = 0,65 obtemos n = 2185.

ESTUDO DE CASO 12:

Desconto em Preços

Tópicos abordados

1.Compação de duas Médias amostrais

2. Teste de Hipóteses

3.Administração

Lojas comerciais introduzem freqüentemente uma nova mercadoria a um baixo

preço especial para induzir as pessoas a comprá-la. Mas em meados doas anos

60 um proeminente psicólogo predisse no longo prazo esta prática reduziria

efetivamente as vendas.

Com a cooperação de uma cadeia de desconto (eu penso que era o mercado K),

uma experiência foi executada em 1968 para testar esta teoria. Um amostra

representantiva de 120 lojas foi escolhida, e as lojas foram organizadas em 60

pares, emparelhadas de acordo com características como volume de vendas e

localização. Estas lojas não anunciaram (nao faziam propaganda) , e exibiam sua

mercadoria de modo semelhante. Um tipo novo de biscoito foi introduzido em

todas as 120 lojas. Dentro de cada par de lojas, uma era escolhida ao acaso para

introduzir os

biscoitos ao baixo preço especial de 49 centavos por caixa, com o preço

aumentando a 69 centavos depois de duas semanas,; a outra loja no par

introduziu os biscoitos ao preço regular de 69 centavos por caixa. As vendas totais

dos biscoitos foi calculada para cada loja durante seis semanas a partir do

momento em que eles foram introduzidos; os resultados são apresentados abaixo.

Número do Par Vendas

Descontadas

Vendas Padrão Diferença

(Descontadas –

Padrão)

1

2

.....

.....

60

851

903

....

....

787

916

1004

....

....

699

-65

-101

....

....

+88

Média

Desvio Padrão

854

58

923

157

-69

150

Esta evidência apóia ou refuta a teoria do psicólogo?

Qual é a razão de emparelhar as lojas do modo que foi feito?

Explique brevemente.

Discussão

A teoria do psicólogo sugere que nós não devêssemos esperar nenhuma

diferença em média entre vendas descontadas e vendas padrão.Esta é a hipótese

nula que nós queremos testar.

A diferença observada das duas médias é Y=-69. O erro padrão de Y é

determinado por SE(Y)=150/(60(1/2)) =19,36. A estatísticas z amostral é z =

(diferença observada - diferença esperada) / (SE da diferença) = -69/19,36 = -

3,563.

Em outras palavras, a diferença entre as vendas descontadas e vendas padrão é

aproximadamente 3,5 SE abaixo do valor esperado sob a hipótese nula.

Conseqüentemente, rejeitamos a hipótese nula e aceitamos a hipótese alternativa

que a diferença é real.

Observações:

1.The teste assume amostras aleatórias simples que é o caso aqui.

2. A amostra é grande o bastante de forma que devido ao Teorema de Limite

Central o histograma de probabilidade para cada média amostral e

consequentemente da diferença delas segue a curva normal.

O emparelhando das lojas de acordo com volume de vendas, localização etc nos

permite comparar coisas semelhantes e elimina do procedimento de teste fatores

que podem potencialmente confundi-lo.

ESTUDO DE CASO 13

Tópicos Referidos

1. Teste de Hipóteses de proporções

2. Justiça

Em 1969, o famoso pediatra Dr. Benjamim Spock foi julgado perante um juiz chamado Ford no tribunal Federal de Boston. Ele foi acusado de conspiração para violar a Lei de Serviço Militar (além do seu trabalho sobre desenvolvimento de crianças ele era ativo em protestos anti-guerra nos anos sessenta). Um advogado que escreveu sobre o caso naquele mesmo ano na Revista Jurídica de Chicago Lei Revisão disse sobre o caso, "De todos os acusado a tais tentativas, Dr. Spock que tinha dado sábios e bem-vindos conselho sobre gravidez para milhões de mães, gostaria de ter mulheres no seu juri " O júri foi escolhido de um painel de 350 pessoas selecionado pelos funcionários do tribunal e sob a supervisão do juiz Ford. Este conjunto de 350 pessoas incluía só 102 mulheres, embora 53% dos jurados elegíveis no distrito fossem do sexo feminino. Na próxima fase de seleção dos jurados para ouvir o caso, o Juiz Ford escolheu 100 jurados potenciais a partir destas 350 pessoas. Suas escolhas incluíram só 9 mulheres. Se 350 pessoas são escolhidas de todos os jurados elegíveis no distrito, qual é a probabilidade de que a amostra incluirá 102 mulheres ou menos? Se 100 pessoas são escolhidas ao acaso sem substituição de um grupo de pessoas que consiste em 102 mulheres e 248 homens, qual é a chance de que a amostra incluirá 9 mulheres ou menos? (Sugestão: lembra-se do fator de correção, se pertinente.) O que conclui você sobre a imparcialidade do Juiz Ford no processo de seleção? Explique brevemente.

DISCUSSÃO A população de interesse são todos os jurados elegíveis, com 53% deles sendo mulheres. A hipótese nula é que o Juiz Ford é do gênero neutro, enquanto a alternativa é que ele é parcial contra mulheres. Da população de interesse (onde o número de pessoas é grande) uma amostra aleatória simples (AAS) (sob a hipótese nula) de n=350 pessoas é selecionada pelos funcionários do tribunal que passa a ser a nova população de interesse. A proporção calculada de mulheres na amostra é 102/350 = 0,291 ou aproximadamente 29%. A proporção esperada de mulheres na amostra é p=53%, com um erro padrão dado por

%7,2350

47,053,0)1(s estimado) ( p

n

pppSE O histograma de longo prazo

da proporção estimada se a hipótese nula é verdadeira é normal, centrado em 53% com variância igual a 0,0272. Calculamos o valor de z e obtemos um valor de (29-53)/2,7=-8,9%, com um P-value associado de aproximadamente 0%. Então, é altamente improvável que seriam selecionadas 102 ou menos mulheres por casualidade em uma população de 350 pessoas. A população de interesse e as hipóteses nula e alternativa permanecem as mesmas. Desta população um AAS (sob a hipótese nula) de 100 pessoas é selecionada pelo Juiz Ford. A proporção de mulheres na população é 29%, enquanto a proporção estimada na amostra é 9%, com um erro padrão associado

igual a % 8,3100

71,029,0846,0 . O número 0,846 é o fator de correção de

população finita 1100

100350

1n

nN= 0,846. O histograma de longo prazo da

proporção estimada se a hipótese nula é verdadeira é normal, centrado em 29% com variância igual a .0382. Calculamos o valor de z e obtemos um valor de (9-29)/3,8=-5,2, com um p-value associado de aproximadamente 0%. Então, é altamente improvável que seriam selecionadas 9 ou menos mulheres em uma amostra de 100 pessoas por casualidade. Conclusão: Há forte evidência de que o Juiz Ford discriminou contra as mulheres na seleção do júri do Dr. Spock. ESTUDOS DE CASOS DIVERSOS ESTUDO DE CASO 14 Tópicos Abordados: 1. Regressão Múltipla

2. Recursos Hídricos A oferta de água no Sul da Califórnia em anos futuros pode ser previsto a partir dos dados a seguir apresentados? Um fator que afeta a disponibilidade é a precipitação pluvial. Se a precipitação pluvial puder ser predita, engenheiros, planejadores e “policy makers” podem executar suas funções mais eficientemente. Modelos de regressão múltipla tem sido usados neste interesse. O seguinte conjunto de dados contem 43 anos de medidas de precipitação (em polegadas) tomadas em seis locais no Vale Owens chamadas APMAM (Lago Mammoth), APSAB (Lago Sabrina), APSLAKE (Lago Sul), OPBPC (Riacho Gree), OPRC (Riacho da Rocha) e OPSLAKE e o volume de precipitação (medido em acre-pés) em um lugar perto de Bishop, Califórnia (com nome da variável BSAAM). A precipitação pode prever o volume de água disponível? Há certamente uma boa razão para assim pensar. A principal fonte da disponibilidade de água é a precipitação, embora haja alguma defasagem de tempo relacionada a estação. 1. Tente selecionar um conjunto de “importantes” variáveis explicativas. 2. Há fortes relações lineares entre as variáveis explicativas, surgindo o fenômeno da multicolinearidade. 3. Alguns modelos de regressão contem “outliers” (valores fora de padrão). Remova-os e examine novamente o modelo. 4. Já que estamos lidando com dados ordenados no tempo verifique a presença de autocorrelação. DADOS EM ANEXO: arquivo DADOS.XLS Estudo de Caso 7: Este exemplo foi obtido de um estudo cujo objetivo é o de projetar o consumo de arroz, milho, feijão, soja e trigo para o período 1992-95, em nível nacional e estimar os percentuais de participação estadual e regional neste consumo, a partir de séries históricas existentes e de recente pesquisa de orçamentos familiares do IBGE. A metodologia adotada para a projeção a nível nacional considera o consumo de grão como função do crescimento da população e da renda. Estas variáveis foram usadas nas seguintes equações:

D C P

C C e r

P P p

it it t

it i it

t

t

t

.

( )

( )

0

0

1

1

onde: Dit = demanda interna do produto i no ano t Cit = consumo per capita do produto i no ano t Pt = população residente projetada no ano t Ci0 = consumo per capita do produto i no ano-base eit = elasticidade-renda da demanda interna do produto i no ano t r = taxa anual de crescimento da renda per capita P0 = população residente no ano-base p = taxa anual de crescimento da população A elasticidade-renda da demanda (eit) foram obtidas de funções demanda ajustadas para cada produto, expressas por: Cit = f(Rt) onde: Cit = consumo interno per capita do produto i no ano t Rit = renda interna bruta per capita em Cr$ de 1980 no ano t Devem ser tentados, para ajuste de curvas, as seguintes funções:

C R

C log R +

C = + / R +

log C = + R +

C = + / R +log

onde é um termo estocástico com distribuição normal com média 0 e desvio

padrão desconhecido.

ANO POPULAÇAO RENDA INTERNA BRUTA

RENDA INTERNA BRUTA

(1000 hab.) (Cr$ 1.000.000 de 1980) PER CAPITA

(CR$ DE 1980)

1970 93139 5575 59,86

1971 95631 6154 64,35

1972 98190 6945 70,73

1973 100818 8002 79,37

1974 103516 8459 81,72

1975 106286 8876 83,51

1976 109130 9870 90,44

1977 112050 10523 93,91

1978 115049 10900 94,74

1979 118127 11542 97,71

1980 121286 12402 102,25

1981 124068 11651 93,91

1982 126898 11721 92,37

1983 129766 11280 86,93

1984 132659 11909 89,77

1985 135564 12897 95,14

1986 138493 14170 102,32

1987 141452 14474 102,32

1988 144428 14596 101,06

1989 147404 15092 102,39

1990 150368 14488 96,35

CONSUMO APARENTE PER CAPITA (KG/HAB/ANO) Ano arroz feijão milho trigo soja

1970 80,57 23,75 136,91 39,77 4,26

1971 68,88 28,13 134,41 39,2 7,46

1972 79,78 27,21 149,93 25,36 7,09

1973 71,13 22,28 140,32 48,4 13,71

1974 65,34 21,62 146,5 50,69 19,91

1975 73,81 21,06 142,86 34,63 19,02

1976 89,56 17,34 152,7 40,92 20,52

1977 80,2 20,76 156,18 41,38 28,01

1978 *63,39 20,84 130,63 61,23 29,1

1979 70,98 *19,28 149,81 55,33 35,28

1980 71,73 18,28 166,36 61,49 42,01

1981 72,54 19,46 177,28 53,1 36,74

1982 71,71 19,38 162,41 47,83 39,08

1983 70,51 16 149,97 49,14 39,98

1984 69,35 20,53 150,43 *51,5 36,93

1985 71,26 17,54 169,34 47,98 38,52

1986 73,94 17,33 156,6 56,26 46,61

1987 70,7 16,26 186,28 55,89 43,09

1988 72,7 18 175,31 46,68 41,34

1989 73,27 17,64 177,34 49,42 45,93

1990 73,15 16,02 164,93 49,45 44,05

Nota: para o arroz, feijão e trigo, entre 1970 e o ano indicado pelos asteriscos, o consumo foi estimado fazendo-se: produção + importação - exportação; para os anos seguintes e para os demais produtos, a estimativa foi obtida fazendo-se: estoque no início do período + produção no período + importação - exportação - estoque no final do período.

Estudo de Caso 15: Deseja-se obter previsões de curto prazo para a série dos preços do café utilizando modelos simples de médias móveis e de alisamento exponencial. Verifique qual dos dois métodos gera os menores erros, de acordo com o critério do erro médio quadrático mínimo. (Dados em anexo - Planilha CAFEEXP.XLS) Estudo de Caso 16: Produtividade significa eficiência na produção. Ela é medida em termos da relação produção-insumos (“output-input”). Se essa relação aumenta - ou seja, se mais unidades de produto são produzidas com as mesmas unidades de insumo - a produtividade aumenta. A mensuração das mudanças na produção é uma questão relativamente simples. Se apenas um produto existe, mudanças na produção são meramente as mudanças no número de unidades produzidas. Se consideramos um agregado de produtos, mudanças na produção podem ser medidas por um “índice de produção”. As medidas das mudanças na quantidade insumida, entretanto, apresenta muitos problemas complicados: os insumos são utilizados em grande variedade - diferentes tipos de trabalho, muitos tipos de matérias-primas, investimentos em máquinas e equipamentos, habilidades administrativas, e assim por diante. Possivelmente, um índice de algum tipo poderia ser construído para medir as mudanças no agregado de fatores de produção, mas pesos apropriados para tal índice são extremamente difíceis e mesmo fisicamente impossíveis em alguns casos. Na prática, portanto, um índice de produtividade é usualmente construído tendo como base um único insumo que é considerado como o mais importante fator de produção. O insumo escolhido é geralmente o trabalho, desde que na média, a folha salarial consiste em cerca de dois terços do total de custos de produção em muitos tipos de operações. Além disto, dados sobre trabalho são mais disponíveis e unidades de trabalho - usualmente homens-hora - podem ser definidas e interpretadas mais precisamente que outros tipos de dados sobre insumos. A produtividade do trabalho pode se definida como homens-hora por unidade de produto ou como unidades de produto por homem-hora. A construção de um índice de produtividade, usando homens-hora por unidade de produto e quantidades no ano base como pesos, pode ser obtida pela seguinte fórmula:

Er q

r qb

ni ii

k

i ii

k

01

0 01

onde ri0 e r

nireferem-se a homens-hora por unidade de produto na base e no

período n, respectivamente. No caso de produtos agrícolas poderíamos calcular um índice de produtividade tendo como base o fator de produção terra. O município de Araguari

produz três produtos: soja, milho e café. Construa um índice de produtividade conjunta para este município.

milho soja café

ano quantidade area quantidade area quantidade area

1988 14400 7200 20400 10200 18480 17500

1989 17000 8500 19200 8000 10587 17645

1990 15300 8500 11880 9000 19800 22000

1991 14000 7000 15840 7200 19800 22000

1992 7500 16500 17280 7200 21516 16300

1993 27300 7800 19440 8100 41520 17300

1994 28000 8000 8500 20400 43250 17300

1995 28000 8000 24000 10000 40500 15000

1996 24500 7000 27000 15000 36000 12000

ESTUDO DE CASO 17 Uma associação de banqueiros tenta construir um modelo de regressão múltipla para orientar os bancos na sua seleção de localização para a construção de suas agências. Os economistas da associação , depois de consideráveis discussões, finalmente decidiram que o modelo seria construído com as seguintes variáveis: y = demanda total de depósitos em milhões de dólares, X2 = mediana da renda familiar anual em milhares de dólares na área,

X3 = número de empresas em centenas na área, X4 = número de famílias em milhares na área, X5 = mediana do valor das unidades residenciais em milhares de dólares na área. Uma amostra aleatória simples de 20 áreas em operação corrente através do país é selecionada e os dados para o ano do mais recente censo foram coletados e registrados na tabela abaixo.

y x2 x3 x4 x5

50 25 8 10 59

45 25 5 9 59

75 30 9 14 65

50 30 5 11 63

40 27 4 12 55

95 35 7 18 65

40 26 6 11 52

65 31 12 12 60

120 35 14 16 58

35 24 4 9 67

35 26 5 8 55

25 20 5 8 42

75 29 7 18 48

80 33 13 15 71

65 30 9 13 61

75 32 16 10 64

65 30 10 16 68

45 28 7 15 55

55 26 5 18 53

50 27 4 18 50 ESTUDO DE CASO 18 Um modelo de regressão exponencial, freqüentemente chamado de modelo de crescimento simples, é ajustado para uma série temporal e é escrito como:

y AeBx

onde y é um valor individual da variável dependente Y ( y é o valor estimado a

partir do modelo para a variável Y), x é a variável explicativa, que é freqüentemente o tempo, e é a base dos logaritmos naturais (neperiano). Com a transformação logarítmica (ou seja, tomando logaritmos de ambos os lados da equação) transformamos a equação original em equação linear:

ln y = ln A + Bx

Ajustou-se um modelo de regressão exponencial ao dados de população dos EUA, de 1850 a 1900, com X em unidades de décadas e estimou-se a seguinte equação:

ln lny a + bx = 3,236 + 0,0223x

o que é equivalente a:

,, , , , ,y e e e ex x x3 236 0 0223 3 236 0 0223 0 022325 43

o que significa que a taxa de crescimento por década estimada é: e0,0223 = 1,0225 (2,25 % por década) Este modelo tem muita aplicação prática quando, por exemplo, queremos projetar a produção agrícola de uma determinada área. Considerando como variável independente o tempo estime um modelo de crescimento linear para a produção dos produtos soja, arroz e milho. Estime também modelos de crescimento simples, conforme especificação feita anteriormente, assim como outros modelos não lineares tais como função polinomial de segundo grau, função potência e função recíproca. Avalie e escolha o melhor modelo ajustado. Verifique também se existe autocorrelação nos resíduos procedendo ao teste Durbin-Watson. Com base nos melhores modelos obtenha projeções da produção para os

próximos três anos. É possível também especificar modelos com defasagens tendo como variável explicativa, além do tempo que representa o movimento de tendência da série, os preços. A hipótese subjacente é a de que os preços no período anterior atuam como causa das decisões de produção dos agricultores nos anos seguintes. Estime estes modelos com defasagens e verifique se eleva-se o poder explicativo em relação aos modelos anteriores. Discuta os resultados. Os dados de produção e de preços estão disponíveis em arquivos anexos (arquivos PRODUCAO.XLS e PRECO2.XLS). Os preços a serem utilizados nos modelos devem ser “precos reais” ou seja, preços deflacionados utilizando-se um índice de inflação. Para a deflação sugerimos a utilização do IGP-Di da FGV que está disponível no arquivo IGP.XLS e obtenha preços médios anuais reais para os períodos de safra dos produtos.

ESTUDO DE CASO 19 Consideremos as seguintes séries temporais - Índice de Produto Industrial do Brasil, janeiro de 1969 a julho de 1980, com N = 139 observações e Consumo de Energia Elétrica no Estado do Espírito Santo. Baseado em um modelo de decomposição de série temporal estime a componente sazonal determinística e calcule projeções para um período de 5 meses a frente. (dados em anexo - arquivo SERIES.XLS)

ESTUDO DE CASO 20

Nome da história: Realização Educacional

Nome do Arquivo de Dados: Educação por Idade

Métodos: Tabela de Contingência, Teste Qui-Quadrado

Resumo: O conjunto de dados contem valores de freqüências que podem

ser usadas para construir uma tabela de dupla entrada da realização educacional

por idade. Solicita-se aos estudantes calcular totais de linhas e de colunas e

porcentagens. Estes resultados serão usados para responder questões tais como

“qual categoria de idade tem a maior porcentagem de graduados no colégio?”

(idades 35-44) e “que percentual de todos os americanos acima de 25 anos nunca

foram ao colégio? (65 %). O teste qui-quadrado é apropriado para determinar se a

categoria de idade e a realização educacional são independentes.

Diagramas de barra fornecem uma representação gráfica apropriada dos

dados. Por exemplo, um diagrama de barras comparando a porcentagem de

pessoas em cada grupo etário que completaram o colégio mostra que pessoas

mais jovens são mais prováveis de concluir o colégio do que pessoas mais velhas.

DADOS:

Referencia : Moore, David S., and George P. McCabe (1989). Introduction

to the Practice of Statistics. Fonte Original: World Almanac and Book of Facts,

1986

Descrição: Realização Educacional dos americanos por categorias de Idade

em 1984. As freqüências são apresentadas em milhares. Os dados foram

coletados pelo US Bureau of the Census. Americanos com idade menor do que 25

anos não estão incluídos porque muitos não completaram sua educação.

Número de Casos: 20

Nomes das Variáveis:

1. Educação: Nível de educação alcançado

2. Grupo Etário

3. Freqüência : 1000 americanos nesta categoria de educação e idade.

25-34 35-44 45-54 55-64 >64

Não completaram o colégio

5416 5030

5777

7606

13746

Completaram o colégio 16431

1855

9435

8795

7558

No colégio 1-3 anos 8555

5576

3124

2524

2503

No colégio 4 ou mais anos

9771

7596

3904

3109

2483

Dados em Anexo: arquivo Dados.XLS

ESTUDO DE CASO 21:

Nome da história: Plano de Dieta com Alimentos Ricos em Fibra

Métodos: Tabela de Contingência, Teste Qui-Quadrado

Resumo: Um fabricante considerou a produção de biscoitos ricos em um

certo tipo de fibra comestível como um apoio dietético. As pessoas consumiriam

alguns biscoitos antes de uma refeição, enchendo seus estômagos de forma que

elas sentiriam menos fome e comeriam menos. Um laboratório estudou se as

pessoas realmente comem menos desta forma. Mulheres com peso excessivo

comem os biscoitos com distintos tipos de fibra (fibra de farelo, fibra de goma,

ambas e um biscoito de controle) e permitiu-se que comessem o quanto

desejassem a partir de um menu preparado. A quantidade de comida que

comeram e o seu peso foram monitorados, enquanto efeito colateral foi registrado.

Infelizmente, algumas pessoas desenvolveram inchação e indisposição estomacal

a partir de alguns destes biscoitos de fibra. Uma tabela de contingência de

“Biscoito” versus “Indisposição” mostra a relação entre os quatro tipos distintos de

biscoitos e quatro níveis de severidade na indisposição registrada pelas pessoas.

Um teste Qui-Quadrado pode ser usado para testar se problemas

estomacais são independentes do biscoito (o tipo de fibra ingerido). Os resíduos

da tabela de contingência ajudam a identificar as células onde a violação da

hipótese nula é maior.

Dados:

Referência: Estes dados são distribuídos com um software, Data Desk.

Data Description, Inc. (1993). Data Desk¨.Ithaca, NY: Data Description, Inc.

Número de casos: 12

Nomes das Variáveis:

1.Biscoito: Tipo de Fibra no Biscoito

2.Dieta: Uma de quatro dietas (tipo de biscoito)

3.Pessoa: Uma identificação de cada uma das 12 pessoas

4.Digestão: Calorias Digeridas. Diferença entre calorias ingeridas e

calorias que foram eliminadas pelo sistema.

5.Estado: Grau de inchação e indisposição registrado pelas pessoas

Dados em anexo - arquivo DADOS.XLS:

ESTUDO DE CASO 22

Nome da História: Álcool e Tabaco

Métodos: Correlação, VarIável Dummy, Outlier, Regressão, Diagrama de

Dispersão

Resumo: Dados do governo britânico de gastos de domicílios podem ser usados

para examinar a relação entre gastos domiciliares com fumo e bebidas alcoolicas.

Um diagrama de dispersão de gastos com álcool versus gastos com fumo em 11

regiões da Grã Bretanha mostra um relação linear positiva com a Irlanda do Norte

como um outlier. A influência da Irlanda do Norte é ilustrada pelo fato de que a

correlação entre os gastos com alcool e fumo salta de 0,224 para 0,784 quando a

Irlanda do Norte é eliminada do conjunto de dados.

Este conjunto de dados pode ser usado para ilustrar o efeito de uma

simples observação nos resultados de regressão. Em uma regressão simples do

gasto com alcool sobre gasto com fumo, o gasto com fumo não aparece como

preditor significativo do gasto com alcool. Entretanto, incluindo uma variável

dummy que toma o valor 1 para Irlanda do Norte e 0 para todas as outras regiões

resulta em coeficientes significativos tanto para o gasto com fumo como para a

variável dummy e um elevado R2 .

ESTUDO DE CASO 23:

Nome de história: Votando no Presidente

Tópicos de história: Governo

Métodos: Variável Dummy, Regressão, Scatterplot,

Resumo: O conjunto de dados “Votos" contém o porcentual de votos populares

que foi obtido candidatos presidenciais Democráticos nas eleições de 1980 e

1984. Ambos os candidatos, Jimmy Carter em 1980 e Walter Mondale em 1984,

foram derrotados pelo republicano Ronald Reagan. (Em 1980 o candidato

independente, John Anderson, obteve 6.7% dos votos nacionais). Muitos estados

têm persistido nas tradições políticas. Assim nós esperamos comportamento

semelhante em duas eleições sucessivas. Um scatterplot mostra uma relação

linear positiva forte e empresta apoio a esta hipótese. Um agrupamento de

estados votou pesadamente no Partido Democrata em 1980 mas não em 1984.

Um olhar mais íntimo aos dados revela que todos os estados neste agrupamento

são estados meridionais. Criando uma variável dummy para estados meridionais e

inclusive esta variável em uma regressão dos percentuais de 1984 em relação

aos percentuais de1980 melhora significativamente o modelo.

ESTUDO DE CASO 24:

NOME: Porcentagem ajustada de Gordura de Corpos para Medidas Corporais

Simples

TIPO: Amostra

TAMANHO: 252 observações, 19 variáveis,

RESUMO DESCRITIVO:

Porcentagem de gordura de corpo, idade, peso, altura, e dez medidas de

circunferência do corpo (por exemplo, abdômen) são registradas para 252

homens. A gordura de corpo, uma medida de saúde, é estimada por uma técnica

de pesagem. Ajustando a gordura de corpo para as outras medidas usando

regressão múltipla fornece um modo conveniente de calcular a gordura de corpo

para homens usando só uma balança e uma fita métrica.

FONTE:

Os dados foram fornecidos generosamente pelo Dr. Garth Fisher, Centro

de Pesquisa de Desempenho Humano, Brigham Young University, Provo, Utah,

84602, que deu para permissão distribuir os dados livremente e os usar para

propósitos não-comerciais. Referência para os dados é feita em Penrose, et al.

(1985).

DESCRIÇÕES VARIÁVEIS:

Colunas

3 - 5 Número de caso

10 - 13 porcentagem de gordura de corpo calculada a partir da equação de

Brozek,

457/Densidade - 414.2

18 - 21 gordura de corpo em percentual que usa a equação de Siri,

495/Density - 450

24 - 29 densidade (gm/cm^3)

36 - 37 idade (anos)

40 - 45 peso (lbs)

49 - 53 altura (polegadas)

58 - 61 índice de adiposidade = Weight/Height^2 (kg/m^2)

65 - 69 gordura Peso Livre

= (1 - fração de gordura de corpo) * Peso,

usando a fórmula de Brozek (lbs)

74 - 77 circunferência de pescoço (cm)

81 - 85 circunferência de tórax (cm)

89 - 93 circunferência de abdômen (cm) " ao umbigo

e nivela com a crista " de iliac

97 - 101 circunferência de quadril (cm)

106 - 109 circunferência de coxa (cm)

114 - 117 circunferência de joelho (cm)

122 - 125 circunferência de tornozelo (cm)

130 - 133 circunferência de bíceps estendida (cm)

138 - 141 circunferência de antebraço (cm)

146 - 149 circunferência de pulso (cm) " distal para o

styloid processa "

NOTAS ESPECIAIS:

Os dados são como recebidos do Dr. Fisher. Porém, note que há alguns

erros. As densidades de corpo para casos 48, 76, e 96, por exemplo, parecem

ter um dígito errado como pode ser visto do dois valores de porcentagem gordura

do corpo. Também note a presença de um homem (caso 42) com mais de 200

libras em peso que é menos de 3 pés alto (a altura deve ser presumivelmente

69.5 polegadas, não 29.5 polegadas)! As porcentagens de gordura estimadas são

truncadas para zero quando negativas (caso 182).

NOTAS PEDAGÓGICAS:

Estes dados podem ser usados para mostrar a utilidade da regressão

múltipla e praticar construção de modelo.

Pode ser achada informação adicional sobre estes dados no artigo " Data

sets and Stories" "Ajustando Porcentagem de Gordura de Corpo para Medidas

de Corpo Simples" no Journal of Statístics Education_ (Johnson 1996).

ESTUDO DE CASO 25

Nome da história: Força de trabalho policial e Crime Tópicos abordados: Ciência Social Métodos: Regressão, Outlier, Variável Dummy Resumo: Este arquivo de dados contem mudanças percentuais nos efetivos e alterações no número semanal de roubos sazonalmente ajustados para 25 delegacias na cidade de Nova Iorque de um período base de 27 semanas em 1966 para um período experimental de 58 semanas no final de 1966 e 1967. Durante o período experimental o efetivo policial alocado a Delegacia 20 aumentou em cerca de 40 %. A delegacia 20 cobre o Sul e Oeste do Central Park, estendendo-se até o Rio Hudson. Se uma regressão simples da mudança na taxa criminal sobre a mudança no efetivo policial designado for realizada, a delegacia 20 exercerá influência indevida na regressão. Por outro lado, indexando a delegacia 20 com uma variável dummy e executando a regressão da taxa criminal sobre dois regressores taxa de mudança nos efetivos policiais e a variável dummy

fornece uma forma de estimar os efeitos do experimento de mudança nos efetivos policiais sob certas importantes hipóteses.