estudo sobre métodos evolutivos multiobjetivos voltados ... · 1.1.1 contribuições do trabalho4...

Universidade Federal de Minas GeraisEscola de Engenharia

Departamento de Engenharia Elétrica

Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Estudo sobre Métodos EvolutivosMultiobjetivos voltados para Robustez e

Diversidade no Espaço de Decisão

Fernanda Caldeira Takahashi

Dissertação de Mestrado

Belo Horizonte23 de fevereiro de 2015

Agradecimentos

A conclusão do meu mestrado e o desenvolvimento desse trabalho só foram possíveiscom a ajuda de algumas pessoas que me apoiaram durante esses dois anos:

A meu orientador, Felipe Campelo, meus agradecimentos por me guiar durante esseprocesso e, também, pelas discussões interessantes (mesmo que fora do assunto). Motivo peloqual também agradeço ao meu pai, Ricardo Takahashi, e ao meu colega de orientação, FillipeGoulart. Ao qual também agradeço pela ajuda com o DEMO.

Também agradeço a minha família, meu pai (de novo), minha mãe, minha irmã, ... Semseus incentivos e broncas o mestrado seria mais difícil e a vida seria bem mais sem graça.

v

’To succeed, planning alone is insufficient. One must improvise as well.’I’ll improvise.

—SALVOR HARDIN (Isaac Asimov - Foundation, 1951)

Resumo

Algoritmos evolutivos para otimização multiobjetivo (MOEAs) são geralmente avalia-dos em função de sua habilidade de obter boas aproximações da fronteira Pareto-ótima, comuma distribuição idealmente uniforme de pontos no espaço de objetivos. Entretanto, ao ignorarinformações pertinentes ao espaço de variáveis de decisão, estes métodos retornam conjuntos-solução que não consideram informações sobre a sensibilidade de pontos em relação a per-turbações nas variáveis, ou que não contém possíveis configurações alternativas que levem avalores de desempenho similares. Este trabalho apresenta um método alternativo para a seleçãode soluções que, complementarmente aos modelos tradicionais que utilizam informações pro-venientes do espaço de objetivos, emprega uma medida de densidade de soluções no espaço devariáveis de decisão durante seu processo de seleção. Através de uma avaliação experimental,é verificado que a inclusão do método leva os algoritmos a apresentarem uma maior capacidadede gerar amostragens representativas do conjunto Pareto-ótimo. Tal abordagem torna possível acoleta de informações complementares relativas à sensibilidade das soluções localizadas em di-ferentes partes do espaço de busca, que fornece ao decisor informações potencialmente valiosaspara a seleção da solução que eventualmente venha ser selecionada para implementação.

Palavras-chave: otimização multiobjetivo, algoritmos evolutivos, análise de sensibilidade.

vii

Abstract

Multiobjective optimization evolutionary algorithms (MOEAs) are usually evaluated bytheir ability to obtain good approximations of the Pareto-optimal front with an ideally uniformspread of samples in the space of objectives. However, by discarding information about thespace of decision variables, these computational tools return solution sets that do not considerthe sensitivity of points to perturbations in their variables, or that do not contain possible alter-native designs leading to similar performance values. This work presents an alternative methodof selection which employs a measure of solution density in the space of decision variables inaddition to the traditional ones employed in the space of objectives during the selection pro-cedure of the algorithm. Through an experimental evaluation, it is verified that the inclusionof this approach leads the algorithms to present a greater capacity to generate a representativesampling of the Pareto-optimal set. The proposed approach makes it possible to gather comple-mentary information regarding the sensitivity of solutions belonging to different regions of thesearch space, providing potentially useful information for the decision maker to select whichparticular solution may end up being implemented.

Keywords: multiobjective optimization, evolutionary algorithms, sensitivity analysis.

viii

Sumário

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xiv

1 Introdução 1

1.1 Motivação 2

1.1.1 Contribuições do trabalho 4

1.2 Estrutura do Trabalho 4

2 Referencial Teórico 6

2.1 Conceitos 6

2.1.1 Otimização Multiobjetivo 6

2.1.2 Algoritmos Evolutivos 8

2.2 Abordagens Evolutivas Tradicionais 10

2.3 Estado da Arte 13

3 Método Proposto 18

3.0.1 Medida de Aglomeração nas Variáveis de Decisão - Γ 19

3.1 Implementações do Método 20

3.1.1 Implementação com NSGA-II 20

3.1.2 Implementação com DEMO 22

3.2 Comentários 24

ix

SUMÁRIO x

4 Experimentos Computacionais 25

4.1 Problemas teste 25

4.1.1 Exemplos 25

4.1.2 DTLZs 26

4.1.3 Problemas selecionados por Shir et al. [2009] 29

4.2 Métodos de Avaliação 30

4.2.1 Indicadores de qualidade de soluções no espaço de objetivos 30

4.2.2 Indicador de qualidade de soluções no espaço de variáveis de decisão 32

4.2.3 Sensibilidade das Soluções 34

4.3 Planejamento Experimental 37

5 Resultados 38

5.1 Estimativas de Sensibilidade 42

5.2 Convergência 51

5.3 Tempo Computacional 58

5.4 Comparações Preliminares com GDEA 59

6 Conclusões 63

7 Trabalhos Futuros 65

Referências Bibliográficas 66

A Tabelas de Indicadores 71

B Artigos Publicados 91

Lista de Figuras

1.1 Diferença dos resultados decorrentes da utilização de informações sobre o es-paço de variáveis de decisão. Essa figura é discutida com detalhe no Capítulo5 de resultados (pg. 38) 3

2.1 Fronteira de Pareto bem definida 10

3.1 Passos na metodologia proposta a cada iteração 19

4.1 Indicador ε: ~ε indica o deslocamento da fronteira referência B para que A adomine fracamente, o valor das componentes ε é o valor do indicador 31

4.2 Hiper - volume 32

4.3 Árvore Geradora Mínima 33

4.4 Pontos gerados durante a Estimativa de Sensibilidade 3, para um problema comdimensão 2 36

5.1 DTLZ2 - 3 objetivos, com população 100 e ∆ 0 e 10. O eixo x?3 é a média dasvariáveis x3 a x12 39

5.2 Variação de ∆ no espaço de variáveis de decisão, DTLZ2 - 3 objetivos. O eixox?3 é a média das variáveis x3 a x12 39

5.3 Lamé Superspheres, com população 100 e ∆ 0 e 10. O eixo x?2 é a média dasvariáveis x2 a x4 40

5.4 Problema 2, com população 200 e ∆ 0 e 50 40

5.5 Sensibilidade 2 da DTLZ2 - 3 objetivos, com população 100 e ∆ 0 42


xi

LISTA DE FIGURAS xii



5.9 Visualização das duas primeiras variáveis da sensibilidade 3 da DTLZ2 - 3objetivos 45

5.10 Sensibilidade 2 do Problema 2, com população 200 e ∆ 0 46




5.14 Sensibilidade 2 da Lamé Superspheres, com população 100 e ∆ 0 48


5.16 Sensibilidade 3 da Lamé Superspheres, com população 100 ∆ 0 49


5.18 Bootstrapping do indicador ε , DTLZ 4 - 2 objetivos com população 100 e di-ferentes valores de ∆. O histograma (a) mostra a variação da convergência emdiferentes execuções do algoritmo tradicional. 52

5.19 Bootstrapping do indicador ε , DTLZ 2 - 3 objetivos com população 100 e di-ferentes valores de ∆. O histograma (a) mostra a variação da convergência emdiferentes execuções do algoritmo tradicional. 53

5.20 Bootstrapping do indicador ε , EBN com população 100 e diferentes valores de∆. O histograma (a) mostra a variação da convergência em diferentes execuçõesdo algoritmo tradicional. 54

5.21 Média do indicador ε para o DTLZ2 com 3 objetivos, com população 100 56

5.22 Média do indicador ε para o Problema 2, com população 200 57

5.23 Boxplot do tempo computacional 58

5.24 Comparação entre o NSGA2 com δ0.4, NSGA2 com δ0.4, GDEA e GDEAcom a incorporação de um arquivo, com população 100 e 100 gerações para aZDT1, utilizada por Toffolo e Benini [2003] 59

LISTA DE FIGURAS xiii

5.25 Comparação entre o NSGA2 com δ0.4, NSGA2 com δ0.4, GDEA e GDEAcom a incorporação de um arquivo, com população 100 e 100 gerações para oProblema 2 60

5.26 Boxplot da árvore geradora mínima 60

5.27 Boxplot dos hipervolumes 61

5.28 Boxplot dos tempos computacionais 62

Lista de Tabelas

4.1 Planejamento das Simulações 37

5.1 Sensibilidade por Objetivo 50

A.1 Problema 1 72

A.2 Problema 2 - 2 var. 73

A.3 Problema 2 - 3 var. 74

A.4 Omni-Test 75

A.5 EBN 76

A.6 Two-on-One 77

A.7 Lamé Superspheres 78

A.8 DTLZ 1 - 2 obj. 79

A.9 DTLZ 2 - 2 obj. 80

A.10 DTLZ 3 - 2 obj. 81

A.11 DTLZ 4 - 2 obj. 82

A.12 DTLZ 6 - 2 obj. 83

A.13 DTLZ 1 - 3 obj. 84

A.14 DTLZ 2 - 3 obj. 85

A.15 DTLZ 3 - 3 obj. 86

A.16 DTLZ 4 - 3 obj. 87

A.17 DTLZ 5 - 3 obj. 88

xiv

LISTA DE TABELAS xv

A.18 DTLZ 5 modificado - 3 obj. 89

A.19 DTLZ 6 - 3 obj. 90

CAPÍTULO 1

Introdução

Otimização consiste na busca de uma solução, ou um conjunto de soluções, que sejaótima, ou pelo menos melhor que as existentes, para um determinado problema. Ao lidar comotimização multiobjetivo, passa-se a tratar problemas que envolvem dois ou mais objetivos,conflitantes (Chankong e Haimes [1983]; Ehrgott [2000]). Nesses casos busca-se soluções quenão sejam piores em todos os objetivos que qualquer outra solução, tais soluções são ditas nãodominadas. Nesse contexto, a melhora em um dado objetivo implica na piora de um outro. Isso,normalmente, faz com que a existência de uma única solução ótima dê lugar a um conjuntode soluções eficientes, não dominadas, que é chamado conjunto Pareto-ótimo. O conjuntoimagem dessas soluções não dominadas forma uma fronteira do conjunto imagem das soluçõesfactíveis. Essa fronteira é chamada fronteira Preto-ótima. As soluções que pertencem a essafronteira representam diferentes trade-offs entre os objetivos, por exemplo, custo e eficiênciade uma máquina, como um carro.

Métodos frequentemente utilizados para otimização multiobjetivo são os AlgoritmosEvolutivos Multiobjetivo (MOEAs). Durante o seu processo de otimização, tais algoritmosprocuram convergir para uma fronteira Pareto usando a informação fornecida pelos resultadosdas funções objetivo. Dessa forma, apenas o valor de função das soluções é considerado aose avaliar as soluções candidatas. Considerando que esses métodos costumam lidar com umconjunto finito de pontos, a escolha de quais soluções devem ou não pertencer ao conjuntoretornado é uma tarefa essencial. Uma abordagem comumente utilizada considera a distribui-ção dos pontos no espaço definido pelos objetivos, buscando uma amostragem uniforme nesseespaço.

É comum que existam valores mais apropriados que outros para as variáveis de decisão,o que só pode ser considerado se o espaço de variáveis de decisão for adequadamente amos-trado Isso, no entanto, não é buscado pelos algoritmos usuais de otimização multiobjetivo. Demaneira mais geral, tais variáveis podem ser mapeadas em qualquer função relevante para oprocesso de decisão, enquanto que, o mesmo não se aplica aos vetores de objetivos. Dessaforma, a tomada de decisão a respeito de qual alternativa de projeto (i.e., qual solução especí-

1

1.1 MOTIVAÇÃO 2

fica do problema de otimização multiobjetivo) deve ser implementada frequentemente leva emconsideração o valor das variáveis de decisão e não apenas as funções -objetivo consideradasno problema de otimização.

Existe, então, a necessidade de se investigar e construir algoritmos que, além de garantira convergência para a fronteira Pareto-ótima, isto é para soluções pertencentes ao conjunto desoluções ótimas que representam diferentes trade-offs do problema, consigam, também garantira manutenção da diversidade nos dois espaços (variáveis de decisão e objetivos). Tal tema temganhado força nos últimos anos, mas continua uma área de pesquisa pouco explorada.

1.1 Motivação

Em problemas de engenharia, normalmente espera-se que as variáveis de decisão pos-sam ser mapeadas em qualquer função relevante para o processo de decisão, diferentemente dosobjetivos. Além disso, também podem existir conjuntos de valores melhores que outros paratais variáveis e que não afetam a factibilidade do problema. Tais características, que normal-mente não são consideradas durante o processo de otimização e sim apenas durante a tomadade decisão, podem levar à formação de fronteiras Pareto-ótimas com pontos diversos daquelesalcançados ao considerar somente os objetivos explícitos do problema de otimização, mas comsoluções mais pertinentes à resolução do problema prático.

Deve-se considerar, também, a própria representatividade do espaço de variáveis dedecisão. Conhecer o formato e comportamento do conjunto-ótimo neste espaço possibilitaalgumas análises possivelmente importantes das soluções. Por exemplo, saber que existem duasregiões contíguas que levam a uma mesma região no espaço de objetivos mostra a existênciade alternativas de projeto que têm desempenhos similares no espaço de objetivo.

A figura 1.1 mostra o quão diferentes podem ficar as amostragens do espaço de variáveisde decisão quando o mesmo é considerado durante o processo de otimização. O algoritmo 1,que não considera a diversidade no espaço de variáveis de decisão, tende a não encontrar asduas regiões (as linhas pretas), de valores que contêm resultados Pareto-ótimos, enquanto oAlgoritmo 2 que considera os dois espaços pode teoricamente encontrá-las, apesar de tambémencontrar mais pontos ao redor da solução do problema.

Além disso, apenas considerando o conjunto-solução gerado pelo algoritmo, no espaçode objetivos, a interpretação da informação a respeito da sensibilidade das soluções em relação

1.1 MOTIVAÇÃO 3

1 2 3 4 5 6 7 8 90.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

x1

x 2

(a) Alg. 1 - Espaço de decisão

1 2 3 4 5 6 7 8 90.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

x1

x 2

(b) Alg. 2 - Espaço de decisão

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

200

250

300

350

f1

f 2

(c) Alg. 1 - Espaço de objetivos

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100

150

200

250

300

350

f1

f 2

(d) AG Alg. 2 - Espaço de objetivos

Figura 1.1: Diferença dos resultados decorrentes da utilização de informações sobre o espaçode variáveis de decisão. Essa figura é discutida com detalhe no Capítulo 5 de resultados (pg.38)

à perturbação paramétrica nas variáveis de projeto se torna muito complexa ou até mesmoinviável. Isso porque informação sobre a variabilidade das funções-objetivo, decorrente deperturbações nas variáveis de decisão, somente pode ser obtida por uma amostragem do espaçode variáveis de decisão.

Em muitas aplicações práticas, é importante considerar informações como a sensibili-dade das soluções, alternativas de projetos ou ambas. O projeto, por exemplo, de uma antenaque deve funcionar para um faixa de frequência específica deve levar em conta o quão exataserá a fabricação da peças físicas da mesma: ao se escolher as especificações do projeto dentretodas as possibilidades, é importante que pequenas variações nas peças não façam com quea antena não funcione mais para a faixa de frequência desejada. Um exemplo de alternativa

1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO 4

de projeto pode ser na escolha de um modelo de carro a ser fabricado: podem existir doisprojetos com custo e desempenho semelhantes, mas que possuem carcaças diferentes, nessecaso é possível fazer uma pesquisa de marcado para descobrir qual dos dois será mais aceitopelos compradores. Contudo, isso só é possível se os dois modelos forem selecionados comosoluções eficientes durante o processo de otimização.

Em um contexto onde a robustez e/ou alternativas de soluções são importantes, se tornanecessário um método de otimização multiobjetivo que não apenas considere esses dados du-rante o processo de otimização, mas também se esforce para mantê-los e identificá-los. Otrabalho proposto é uma tentativa de lidar com tais características de uma maneira simples eque possa ser bem adaptada aos métodos usuais já existentes.

1.1.1 Contribuições do trabalho

Neste trabalho é apresentada uma nova metodologia que possibilita a obtenção de con-juntos solução que sejam mais representativos do espaço de variáveis de decisão. O métodoproposto busca manter soluções que ocupem diferentes áreas do espaço decisório, mesmo queem detrimento da forma da fronteira. Tal abordagem possibilita explorar regiões que de outraforma poderiam ser ignoradas, ou mesmo encontrar soluções mais robustas, pois não concentrapontos em uma região pequena que ocupam muito espaço na fronteira.

1.2 Estrutura do Trabalho

O restante deste trabalho está dividido em 6 capítulos. No Capítulo 2 são brevementeexplicados conceitos fundamentais de otimização multiobjetivo, bem como os MOEAs maistradicionais. Esse capítulo também apresenta uma revisão dos avanços de algoritmos que bus-cam uma maior diversidade no espaço de variáveis de decisão.

A metodologia proposta é apresentada em seguida, no Capítulo 3. A avaliação dométodo proposto é mostrada nos dois capítulos seguintes. O Capítulo 4 mostra como foramdefinidos os experimentos: as funções testes, os indicadores de qualidade e o planejamentoexperimental. Os resultados e discussão destes testes estão no Capítulo 5.

O desenvolvimento do trabalho é finalizado com as conclusões sobre os resultados ob-tidos e suas implicações, que são apresentadas no Capítulo 6. Por último, são sugeridos temas

1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO 5

de trabalhos futuros no Capítulo 7.

CAPÍTULO 2

Referencial Teórico

Nesse capítulo são apresentadas algumas importantes definições e conceitos relaciona-dos à otimização multiobjetivo, assim como os principais métodos evolutivos utilizados para asolução desse tipo de problema.

Os primeiros métodos para solução de problemas multiobjetivo eram numéricos e de-terminísticos. Apesar de serem muitos eficientes para muitas classes de problemas, eles nãolidavam muito bem com problemas multimodais, problemas ruidosos e apresentavam dificul-dade para serem adaptados a problemas discretos não lineares. Por conseguirem tratar dessestipos de problemas, os MOEAs se consolidaram como ferramentas importantes no campo daotimização multiobjetivo [Deb, 1999].

Por serem algoritmos estocásticos e populacionais, os MOEAs devem garantir a diver-sidade da sua população de soluções de forma a conduzir a obtenção de um conjunto soluçãoque represente uma amostragem representativa da fronteira Pareto-ótima. Além disso, comoa classe de problemas tratados por esses algoritmos inclui os problemas multimodais, a di-versidade da população se torna importante até mesmo para possibilitar a convergência para afronteira Pareto-ótima global.

2.1 Conceitos

Como forma de esclarecer e auxiliar o desenvolvimento desse trabalho, alguns conceitosfundamentais são explicitados nessa seção, de acordo com Takahashi [2007].

2.1.1 Otimização Multiobjetivo

Os seguintes conceitos sobre otimização multiobjetivo são abordados em diversos livrosda área, por exemplo em [Chankong e Haimes, 1983].

6

2.1 CONCEITOS 7

Um problema de otimização multiobjetivo irrestrito pode ser definido por:

Encontrar X∗ = argminx

f(x) (2.1)

suj. a gi(x)≤ 0 i = 1, ..., p

hi(x) = 0 i = 1, ...,q

x ∈ X

(2.2)

sendo f(·) : Rn 7→ Rm um vetor de funções-objetivo a serem minimizadas, g(·) e h(·) as restri-ções de desigualdade e igualdade, X as restrições de faixa das variáveis e X∗ um conjunto depontos que atendam ao critério de eficiência definido a seguir,

Sejam dois vetores a ∈ Rm e b ∈ Rm. A relação � entre esses vetores é definida como:

a� b se: ai ≤ bi para todo i = 1, . . . ,m (2.3)

Definição (Dominância): Sejam xa ∈ Rn e xb ∈ Rn dois vetores de variáveis de decisão noproblema de otimização multiobjetivo (2.1). Se f(xa)� f(xb) e f(xa) 6= f(xb), então se diz quexa domina xb. Essa situação é indicada pela notação: xa ≺ xb.

Quando não houver possibilidade de causar ambiguidade é possível, também, afirmar que: sef(xa)� f(xb) e f(xa) 6= f(xb), então f(xa) domina f(xb).

Definição (Solução Eficiente): Um vetor de variáveis de decisão x∗ para o problema (2.1) éuma solução eficiente do problema de otimização multiobjetivo (2.1) se não existir qualqueroutra solução factível desse problema que domine x∗.

Também se não houver possibilidade de causar ambiguidade, pode ser dito que: se f(x∗) não édominada pela imagem de nenhuma outra solução, então f(x∗) é um ponto eficiente.

Definição (Conjunto Pareto-Ótimo): O conjunto P de todas as soluções eficientes do pro-blema de otimização multiobjetivo (2.1) é denominado conjunto Pareto-ótimo desse problema.

2.1 CONCEITOS 8

Definição (Fronteira Pareto-Ótima): A imagem do conjuntoP de todas as soluções eficientesdo problema de otimização multiobjetivo (2.1), constituída de todos os pontos eficientes noespaço de objetivos, é denominada fronteira Pareto-ótima desse problema.

Definição (Espaço de Variáveis de Decisão): O domínio da função objetivo, em que existemtodas as soluções do problema.

Definição (Espaço de Objetivos): Conjunto formado pela imagem de todas as soluções doespaço de variáveis de decisão, definido pela função objetivo.

2.1.2 Algoritmos Evolutivos

Algoritmos evolutivos (Evolutionary Algorithms - EAs), que são tratados em [CoelloCoello et al., 2001] e [Deb, 2001], são métodos estocásticos que utilizam conjuntos de possíveissoluções, chamados populações, durante o processo de otimização. Tais algoritmos duram umnúmero finito de iterações, ou gerações. No decorrer dessas iterações, a criação de novassoluções e escolha de quais devem continuar existindo são, normalmente, feitas de acordo coma aptidão de cada solução presente na população. Isso ocorre de forma que a população finaltende a convergir para a solução ótima, ou fronteira Pareto-ótima. Esse processo é chamado deevolução.

As seguintes definições, como explicadas em Takahashi [2007], são importantes para acompreensão desse tipo de algoritmos:

Definição (Indivíduo): É uma solução candidata do problema de otimização. Costuma serrepresentada por um vetor (com uma ou mais dimensões), definido no espaço de variáveis dedecisão.

Definição (População): Um conjunto finito de soluções (indivíduos) formado a cada iteraçãodo algoritmo.

Definição (Geração): Uma iteração do algoritmo, durante a qual uma população é sujeita aoperadores de variação e seleção, de forma a gerar um novo conjunto de pontos.

2.1 CONCEITOS 9

Definição (Aptidão): Também chamada fitness é a medida de qualidade da solução, obtida apartir da função objetivo e, possivelmente, das funções de restrição.

Definição (Operadores): Também chamados “operadores genéticos”, ou “operadores de varia-ção” , são as regras básicas que regem a dinâmica de exploração dos EAs. Elas são as operaçõesdefinidas a fim de possibilitar a geração de novos indivíduos. O principais operadores genéticossão:

cruzamento ou recombinação combina a informação contida em dois ou mais indivíduos(pais) para gerar novos indivíduos (filhos).

mutação modifica aleatoriamente a informação contida em um indivíduo para gerar outro.

seleção utiliza a aptidão dos indivíduos para escolher aqueles que serão replicados ou elimina-dos na próxima geração.

Definição (Genótipo): Valores que compõem cada indivíduo-solução no espaço de variáveisde decisão.

Definição (Fenótipo): Valores que compõem cada solução no espaço de objetivos.

Dentre os algoritmos evolutivos o algoritmo genético (AG), proposto por Holland nadécada de 70 Holland [1975], é aquele cuja representação das soluções é feita na forma de cro-mossomos. Nele a criação de novas soluções na população faz uso de “operadores genéticos”que exploram analogias de novos indivíduos em populações de seres biológicos, por exemploo cross over e a mutação. O cross over, formulado de maneira a representar uma analogia como cruzamento dos seres vivos, produz novos indivíduos cujos cromossomos são construídos apartir de combinações aleatórias dos genes provenientes dos cromossomos de dois indivíduospais. A mutação, por sua vez, corresponde à modificação aleatória de alguns genes de umindivíduo.

Dentro desse contexto a população é um conjunto de cromossomos diferentes. O pro-cesso de seleção escolhe dentre esses cromossomos aqueles que oferecem melhores soluções,o que, de acordo com essa analogia, equivale à seleção natural dos seres vivos. Isso faz comque os indivíduos com melhores características sejam mais frequentemente selecionados, sendoseus genes transmitidos mais frequentemente para as gerações seguintes, de forma a propiciar

2.2 ABORDAGENS EVOLUTIVAS TRADICIONAIS 10

uma convergência para a solução ótima, ou soluções ótimas, de maneira análoga à especiaçãodos seres vivos.

2.2 Abordagens Evolutivas Tradicionais

Na década 90 houve um grande desenvolvimento na área de algoritmos genéticos, o que,nos anos subsequentes, levou ao surgimento de alguns dos principais trabalhos sobre otimiza-ção evolutiva multiobjetivo [Coello Coello et al., 2001; Deb, 2001]. Na abordagem tradicional-mente adotada, o conjunto final de soluções ótimas é aquele mais representativo no espaço deobjetivos. A Figura 2.1 mostra uma fronteira que pode ser considerada boa: nela as soluçõessão igualmente espaçadas e toda a extensão da fronteira é amostrada. O foco destas estratégiasconcentra-se em se conseguir uma fronteira representativa, sem considerar as característicasdas soluções no espaço de variáveis de decisão, e consequentemente acaba por deixar de ladoinformações possivelmente importantes. De certa forma, a qualidade das soluções, como vistada maneira tradicional, não considera que podem existir valores para as variáveis que são me-lhores que outros, ou que haja regiões no espaço de decisão que se comportam pior que outras,por exemplo que possuam variações bruscas em algum objetivo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f1

f 2

Figura 2.1: Fronteira de Pareto bem definida

Entre os MOEAs mais tradicionais, o NSGA - II [Deb et al., 2002a], descrito no Algo-ritmo 1, possui bons resultados em benchmarks na literatura, [Deb et al., 2002b]. Ele utiliza


uma abordagem elitista que ajuda em uma boa convergência para a fronteira de Pareto e a es-colha da solução mais apta está diretamente ligada à sua dominância: uma solução que dominaoutra é a mais apta entre as duas. E essa separação das soluções não dominadas é chamadanon-dominated sorting. Como pode acontecer de duas soluções serem não dominadas entresi, o método utiliza a Crowding Distance, definida no Algoritmo 2, para medir a aglomeraçãodas soluções no espaço de objetivos. A solução com maior crowding distance é aquela maisdistante das demais, logo é a solução com menor aglomeração e a mais apta.

Ao escolher as soluções com menor crowding para serem excluídas no momento dese reduzir a população intermediária, o algoritmo tende a construir uma fronteira Pareto sempequenas regiões muito povoadas ou grandes regiões muito vazias.

Um outro critério acrescentado para a escolha da solução mais apta é o de factibilidade.Antes de verificar a dominância e a aglomeração, verifica-se o quanto cada solução viola asrestrições. Aquela que possuir menos violações de factibilidade, ou violações de menor mag-nitude, é a mais apta.

Dessa forma podemos definir uma sequência de escolha da solução mais apta, que seguea seguinte ordem [1] factibilidade, [2] dominância e [3] aglomeração. Dentre esses critérios[2] e [3] estão estritamente ligados ao espaço de objetivos e enquanto o [1] considera tambémos valores das variáveis de decisão. A factibilidade de acordo com as restrições, tem o papelde definir os limites da região de busca do algoritmo e, sozinha, não oferece uma garantia demanutenção de diversidade do espaço de decisão.

Outros algoritmos tiveram um impacto significativo no desenvolvimento dos MOEAsKnowles e Corne [2000]; Zitzler et al. [2002]; Beume et al. [2007]; Zhang e Li [2007]; Augeret al. [2012]. Mas, assim como o NSGA-II, o espaço de decisão não é utilizado, e as medidasde aglomeração servem apenas para a construção de uma fronteira Pareto bem representativano espaço de objetivos. No M-PAES,[Knowles e Corne, 2000], por exemplo, existe um critériopara aceitação de novas soluções em que elas devem se encontrar em uma região, no espaçode objetivos, menos povoada que seus pais. O SPEA2[Zitzler et al., 2002], ao retirar solu-ções não dominadas de seu arquivo, escolhe aquelas mais próximas de qualquer outra soluçãopresente. O SMS-EMOA[Beume et al., 2007], foi feito de forma que o conjunto de soluçõesencontrado ocupa o maior hipervolume possível, o indivíduo que contribui menos para o valordo hipervolume, que também considera apenas o espaço de objetivos, é retirado. No caso doMOEA/D[Zhang e Li, 2007], a diversidade das soluções no espaço de objetivos está direta-mente ligado ao quão bem o algoritmo foi ajustado. A diversidade das soluções depende de


Entrada: Tamanho da população (N);Número de Gerações (K) ;Vetor de funções objetivo (f(·));Dimensão do Problema (nd);Saída: População final (X);Valores dos objetivos para população final (FX );X← população inicial aleatória ;para t = 1 : K façaF ← f(X);front← fronteira(FX );cd← CrowdingDistance (FX , front);Y← X; // população intermediáriaFY ←FX ;para i = 1 : N/2 faça

// torneio binário(pai1, pai2)← torneio(front, cd);// cruzamentos( f ilho1, f ilho2)← crossover(pai1, pai2);// mutaçõesr =U(0,1);se r <probMut então

f ilho1← mutação( f ilho1);r =U(0,1);se r <probMut então

f ilho2← mutação( f ilho2);//acrescenta filhos na população intermediáriaY← [Y; f ilho1; f ilho2];FY ← [FY ; f( f ilho1); f( f ilho2)];

//Redução da população intermediáriafront← fronteira(FY );f ronti← max(front)para f ronti ∈ front faça

// f ronti começando da fronteira mais dominadan← num. de elementos em (Y);se n = N então

break();senão se n− num. de elementos em ( f ronti) ≥ N então

Y( f ronti)← []; //remove fronteira

senãoenquanto n>N faça

cd← crowdingDistance (FY , f ronti);Y( f ronti)← [Y( f ronti)] - [min(cd)];n← num. de elementos em (Y);

X← Y

Algoritmo 1: NSGA-II

2.3 ESTADO DA ARTE 13

Entrada: Valores de Objetivos (F); Número de objetivos (no);Saída: Crowding Distances (cd);// Normaliza todos objetivos entre 0 e 1F ′ = F

max(F)−min(F) ;// Atribui a cada ponto uma corwding distance zerocd1:N ← 0;para k = 1 : no faça

// Ordena a população de acordo com o objetivo kord← sort(F ′k);para i=2:N-1 faça

// Adiciona à crowding distance o valor do objetivo k do indivíduo anterior naordenação menos o valor do objetivo k do indivíduo posterior da ordenaçãocdord(i)← cd +F ′Y,k(ord(i−1))−F ′k(ord(i+1));

// Para o primeiro e o último indivíduos da ordenação o valor da crowding distance éigual a infinito, por convenção cdord(1)←∞;cdord(N)←∞;

Algoritmo 2: Crowding Distance

quão bem espaçados na fronteira Pareto estão os subproblemas a serem otimizados.

2.3 Estado da Arte

A habilidade de um AE em resolver adequadamente um determinado problema de oti-mização está diretamente ligada ao equilíbrio entre a exploration e a exploitation do algoritmo1.Enquanto o primeiro deve possibilitar uma busca expressiva do espaço de variáveis de decisão,o segundo deve garantir a convergência para a solução, ou soluções, ótima. O conceito da ex-

ploration está relacionado à diversidade pois um conjunto solução diverso só e possível comuma busca melhor pelo espaço de variáveis de decisão. Em um contexto mono objetivo, umaboa exploration ajuda a evitar a convergência prematura para um ótimo local. O artigo “Ex-ploration and Exploitation in Evolutionary Algorithms: A Survey” de Crepinšek et al. [2013],apresenta um estudo mais aprofundado sobre o tema e discute diversos métodos de manutençãode diversidade.

Dentre os métodos discutidos em Crepinšek et al. [2013], há métodos que não consi-deram nichos, alguns dos quais se baseiam na inserção de novos indivíduos na população: o

1A nomenclatura em inglês, exploitation e exploration é adotada aqui porque ambos os termos, quando tradu-zidos para o português, são vertidos para o mesmo termo, exploração.


método de garantia de unicidade[Mauldin, 1984] muta aqueles indivíduos duplicados na po-pulação, até que todos sejam diferentes; a abordagem de imigrantes aleatórios[Grefenstette,1992] insere novos indivíduos aleatórios na população a cada iteração; a “decimação”[Koza,1992] substitui uma parcela da população por indivíduos aleatórios em intervalos regulares deiterações. Há, também, métodos de reinicialização, em que acontece, periodicamente, umareinicialização da população[Koumousis e Katsaras, 2006] ou a reinserção de indivíduos maisaptos de gerações passadas [Ramsey e Grefenstette, 1993]. Outros métodos lidam com sub-populações e migrações entre elas [Martin e Cohoon, 1999; Ursem, 2000; Araujo e Merelo,2011]. Tais métodos seguem a ideia de que diferentes subpopulações podem focar em diferen-tes regiões promissoras no espaço de busca. Existem ainda métodos com diferenças na pressãoseletiva ranking selection [Michalewicz, 1996] e scalling [Grefenstette, 1986], entre outrosque restringem recombinações, substituições, ou que modificam os operadores [Matsui, 1999;Hutter e Legg, 2006; Chen et al., 2009].

Considerando métodos que envolvem nicho, podem ser destacados: fitness sharing ex-plícita[Goldberg e Richardson, 1987; Holland, 1975] e implícita[Smith et al., 1993]. Este mé-todo utiliza uma aptidão compartilhada entre os indivíduos de uma determinada região. Talaptidão, para cada indivíduo, é uma parcela da aptidão da região, sendo que esta possui a ap-tidão total dos indivíduos pertencentes nela. A dificuldade desses métodos situa-se justamenteem determinar a região de compartilhamento da aptidão. Há também métodos com nicho base-ados em substituições como: deterministic crowding[Mahfoud, 1995] e probabilistic crowding

[Mengshoel e Goldberg, 1999].

Durante os anos 2000, foram feitos alguns trabalhos cujas abordagens buscam aumentara diversidade do conjunto Pareto ótimo no espaço de decisão. Um aspecto importante que passaa ser tratado com o uso de tais estratégias é a construção de conjuntos Pareto ótimos que nãopossuam regiões sub-amostradas neste espaço. Uma abordagem é modificar a pressão seletiva,promovendo a diversidade através do controle de operadores, como mutação, de acordo com aaglomeração das soluções [Adra e Fleming, 2011].

Toffolo e Benini [2003] propuseram a utilização distância dos pontos no espaço de va-riáveis de decisão como um objetivo auxiliar do problema de otimização multiobjetivo. Talestratégia modifica a pressão evolutiva de forma a contribuir para um maior espalhamento dospontos no espaço de variáveis de decisão. O método, na realidade tenta maximizar dois obje-tivos, as distâncias no espaço de decisão e o ordenamento tradicional do espaço de objetivosde um problema de maximização. Dessa forma, a cada iteração, ele encontra as fronteiras dosobjetivos, mas o que é efetivamente otimizado são os níveis das fronteiras e as distâncias. Se-


guindo uma estratégia parecida, Ishibuchi et al. [2012] apresentaram um algoritmo que tambémfaz uma nova otimização biobjetiva. Nele as funções a serem otimizadas após a otimização doproblema multiobjetivo são o hipervolume e uma medida de diversidade biológica[Solow ePolasky, 1994] que é utilizada em Ulrich et al. [2010].

No trabalho de Deb e Tiwari [2005], foi proposta uma crowding distance alternativa queutiliza informação dos dois espaços, como forma de manter a diversidade em cada fronteira.Embora seja uma estratégia que utiliza os dois espaços, ela não busca efetivamente aumentara diversidade no espaço de variáveis de decisão, e o uso das distâncias neste espaço, comofoi feito, pode não ser o mais adequado pois a métrica proposta muitas vezes não representa aaglomeração adequadamente. A heurística utilizada é computacionalmente simples: para cadaeixo, as soluções são projetadas nele; para cada solução são consideradas suas vizinhas à direitae à esquerda; a crowding de cada solução é a soma das distâncias das vizinhas projetadas emcada eixo. Apesar da simplicidade e custo computacional baixo, ela pode levar a algumas falhaspara algoritmos que considerem mais o espaço de decisão, pois ela não apresenta uma maneiraestável de calcular o agrupamento, por exemplo, uma solução muito distante das demais mascom projeções próximas será tida como muito aglomerada e o espaço perto dela pode acabarnão sendo efetivamente explorado.

Xia et al. [2014] apresentam o DCMMMOEA, uma versão modificada do differential

evolution [Storn e Price, 1995] que trabalha com duas populações esparsas além da usual.Essas populações adicionais utilizam métodos de busca para aprimorar as soluções, uma con-siderando espaço de objetivos e a outra espaço de variáveis decisão. No fim da iteração todasas populações são utilizadas para gerar os filhos que irão compor próximas gerações, por meioda aplicação de operadores evolutivos. Esses operadores são tais que se privilegia a geração desoluções mais espalhadas no espaço decisório, aumentando assim sua diversidade, ao mesmotempo que tenta buscar por soluções não dominadas. Além disso o método utiliza uma funçãode aptidão composta, que considera a agregação nos dois espaços e a dominância das solu-ções, o que mantém a diversidade durante a seleção da nova população. Esse algoritmo, noentanto, depende de uma configuração adequada dos pesos na função de aptidão agregada enão é adequado para problemas com muitos objetivos.

Outros autores Shir et al. [2009]; Ulrich et al. [2010]; Zechman et al. [2011]; Narukawa[2013] levaram em consideração que as variáveis de decisão podem ter faixas de valores maisadequadas que outras. Em vista de tal observação, justifica-se o uso do espaço de variáveis dedecisão durante o processo de otimização para se construir a fronteira Pareto.


O algoritmo proposto por Shir et al. [2009] é uma estratégia evolutiva que realizaa seleção por dominância empregando como critério de desempate, em caso de mútua não-dominância, um tipo de nicho constituído a partir da distância de um ponto aos demais medidasimultaneamente nos dois espaços. Como o método é baseado no raio do nicho, o ajuste desseraio é crucial para seu funcionamento adequado. Além disso estudos precisam ser feitos parao uso desse algoritmo para espaços de objetivo com mais dimensões, pois foram apresentadosapenas testes em duas dimensões e a técnica não parece ter bom desempenho para muitos ob-jetivos, pois o custo computacional do cálculo da distância entre as soluções cresce tanto porcausa da dimensão do problema, quanto pela quantidade de objetivos a otimizar.

O trabalho de Narukawa [2013] mostra um algoritmo genético com seleção por domi-nância que emprega, como critério de desempate, um produto de dois índices: a tradicionalcrowding distance, e a distância de um ponto ao seu vizinho mais próximo no espaço de variá-veis de decisão; ou apenas a distância no espaço de variáveis de decisão. O maior diferencialdesse trabalho é o uso de um algoritmo multiobjetivo para muitos objetivos (many-objective).No entanto, a estratégia de aumentar a diversidade considerando apenas o espaço de decisãopode atrapalhar a convergência para a fronteira. Mesmo o uso do produto das distâncias temsuas limitação, por exemplo, quando a magnitude de um espaço for muito maior que o outroo processo de otimização pode efetivamente considerar apenas a ação do espaço com maiormagnitude, caso uma padronização não seja utilizada.

Ulrich et al. [2010] propõe um algoritmo evolutivo baseado no indicador de hipervo-lume (DIVA). Tal indicador tem cada partição do hipervolume ponderada por um outro indica-dor, o da diversidade no espaço de variáveis de decisão dos pontos da fronteira Pareto-ótima quedominam aquela partição. Esse método apresenta uma relação entre o tamanho da vizinhançaconsiderada no cálculo e o aumento da diversidade, o que também implica em uma diminuiçãodo hipervolume, pois há um trade-off entre a diversidade e o hipervolume. Ele também garanteque é possível alcançar a fronteira Pareto-ótima do problema, pois a inserção da diversidadecomo parte do indicador de hipervolume não modifica a posição da fronteira, no entanto o al-goritmo é muito complexo: com uma ordem de complexidade relativa ao número de pontos napopulação O(pn6) ele se torna impraticável para grandes populações. E como ela depende docálculo de hipervolume, também se torna impraticável para problemas com muitos objetivos.É notado, no entanto, que apenas a parte do cálculo da diversidade é O(n2), e a complexidadedo algoritmo pode diminuir caso outra maneira de se calcular a diversidade seja utilizada.

Além desses, o método proposto por Zechman et al. [2011] pode ser classificado comoum algoritmo de co-evolução, no qual diversas sub-populações evoluem simultaneamente em


diferentes regiões do espaço de variáveis de decisão, que possivelmente contêm diferentes par-tes do conjunto Pareto-ótimo. As diferentes sub-populações são levadas a não ocupar a mesmaregião do espaço de variáveis de decisão utilizando medidas de distância entre pontos das po-pulações nesse espaço. É uma estratégia que busca definir os conjutos de soluções próximas nafronteira Pareto, mas que sejam geneticamente diversas. Em suma, o método oferece diferen-tes resoluções de um problema, dependendo do número de fronteiras alternativas que se desejaencontrar, para que a análise de tais resultados mostre quais regiões de soluções mapeiam quaisregiões da fronteira Pareto e dessa forma seria possível definir quais as alternativas de projetoem um problema prático, por exemplo.

Estratégias evolutivas multiobjetivo estão consolidadas como eficientes métodos de oti-mização. O uso dessas estratégias de forma que agreguem informações provindas do espaço devariáveis de decisão, por outro lado, ainda é um tema pouco explorado. Diferentes abordagenstêm surgido nos últimos anos pois, embora os primeiros trabalhos a lidar com o tema sejamdo começo dos anos 2000, apenas nos últimos 5 anos houve um maior esforço em tratar esteassunto. Ainda assim, a expressividade desses trabalhos é pequena e as metodologias propos-tas ainda são muito deficientes ao se considerar as informações do espaço de variáveis que vãoalém da diversidade das soluções como, por exemplo, a sensibilidade/robustez de soluções.

CAPÍTULO 3

Método Proposto

O método proposto consiste de uma adaptação para Algoritmos Evolutivos Multiobje-tivo que permite, além da convergência para a fronteira Pareto-ótima, a obtenção de uma maiordiversidade das soluções no espaço de variáveis de decisão. Para isso, ele utiliza efetivamenteinformações provindas de tal espaço, de forma a garantir um maior espalhamento das soluções,durante o processo de otimização.

A metodologia proposta consiste das seguintes etapas:

1. Criação da uma população inicial aleatória.

2. Criação de uma população de filhos através de mutações e recombinações

3. Criação de uma ‘primeira população temporária’ com a junção dos filhos e da popula-

ção anterior

4. Ordenação dos pontos por um critério que considere a dominância de Pareto. (e.g. non-

dominated sorting)

5. Seleção de uma ‘segunda população temporária’ de acordo com a ordenação obtida no

passo anterior e aglomeração no espaço de objetivos (e.g. Crowding Distance).

6. Seleção da nova população, a partir da ‘segunda população temporária’, considerando

a medida de aglomeração no espaço de variáveis de decisão

7. Caso o máximo de gerações não tenha sido atingido volta ao passo 2.

A principal característica deste método, que o diferencia dos demais, é a presença dasegunda população temporária, como exemplificado pela figura 3.1. Ela assume um tamanho deN× (1+δ ) indivíduos, onde N é o tamanho definido para a população e δ um fator que definauma proporção de N. A redução dessa população para o tamanho N é feita utilizando umamedida de aglomeração no espaço de variáveis de decisão (Γ) como critério para eliminaçãodos δ ∗N indivíduos excedentes.

18

CAPÍTULO 3 MÉTODO PROPOSTO 19

PopulaçãoAtual

Pais

Filhos

PrimeiraPopulaçãoIntermediária

SegundaPopulaçãoIntermediária

PróximaPopulação

F1

F2

F3

F3

F4 } DescartadosMutação eRecombinação

Non-dominatedsorting

Crowdingdistance

MAVD

Figura 3.1: Passos na metodologia proposta a cada iteração

3.0.1 Medida de Aglomeração nas Variáveis de Decisão - Γ

A medida de aglomeração aqui definida para ser aplicada no espaço de variáveis dedecisão se baseia na distância Euclidiana entre todos os pares de pontos. Gera-se uma matrizquadrada simétrica de tamanho N(1+ δ ), que contém as distâncias entre os pares de pontos.Para cada linha as nd +1 colunas de menor valor (onde nd é a dimensão do problema) são so-madas, até um limite de N(1+δ )−1 pontos, o que efetivamente retorna a soma das distânciasdos nd pontos mais próximos de cada ponto. Esse valor é utilizado como a Medida de Aglo-

meração nas Variáveis de Decisão (MAVD) daquele ponto, calculada de acordo com o índiceΓ (Algoritmo 3). A próxima geração é escolhida a partir da remoção dos δ ×N indivíduoscom menor valor dessa medida de aglomeração, permanecendo apenas os N mais espaçados.O valor de Γ é recalculado para cada ponto retirado da segunda população temporária. Essaabordagem, no entanto, requer de um grande custo computacional pois ela depende do cálculodo produto escalar e sua raiz, entre cada ponto e todos os outros.

3.1 IMPLEMENTAÇÕES DO MÉTODO 20

Entrada: População (X);Tamanho da população (N);Tamanho da população em excesso (∆); //onde ∆ = dδNeDimensão do problema (nd).Saída: Med. aglomeração nas var. decisão (Γ)// inicialização de matrizes e vetoresD← 0[(N+∆)×(N+∆)];Γ← 0[N+∆];// cálculo das distâncias entre pontospara i = 1 : (N +∆−1) faça

para j = (i+1) : (N +∆) façaDi, j← dist(xi;x j)

D← D+Dt ;// cálculo de Γ

para i = 1 : (N +∆) façaDi,:← sort (Di,:); // linha i, ordem cresc.Γi←

∑n+1j=2 Di, j; //soma as n menores dist.

Algoritmo 3: Cálculo da Medida de Aglomeração nas Variáveis de Decisão

3.1 Implementações do Método

3.1.1 Implementação com NSGA-II

A princípio a metodologia foi incluída no NSGA-II [Deb et al., 2002a], por isso segueuma estrutura semelhante àquela apresentada no Algoritmo 1: uma nova população de novosindivíduos é gerada através da aplicação dos operadores de recombinação e mutação, com umaseleção realizada por um torneio binário que considera primeiro a dominância e, como critériode desempate, a crowding distance. Tendo sido gerada a nova população, esta é combinadacom a anterior. Essa superpopulação é separada em níveis de acordo com a dominância dosindivíduos e sua crowding distance é computada. Diferentemente do NSGA-II, não se formaa próxima geração, com a escolha sendo feita primeiro pela regra de dominância, sendo acrowding distance utilizada como critério de desempate; mas apenas se reduz a superpopula-ção temporária para uma próxima população temporária, ainda de tamanho maior que aquelepredeterminado para a população. Essa segunda população temporária também é reduzida,mas de acordo com a aglomeração das soluções no espaço de variáveis de decisão, formando,finalmente, a próxima geração. Essa implementação é descrita pelo Algoritmo 4.


Entrada: Tamanho da população (N);Número de Iterações (K) ;Vetor de funções objetivo (f(·));Fator do tamanho da população (δ )Saída: População final (X);Valores dos objetivos para população final (F)∆← dδNe;// gera população inicial aleatóriaX← random(N,nd);t← 0;enquanto t ≤ K faça

t← t +1;F← f(X);// Fronts de dominância como no NSGA-IIfront← fronteira(F);// Crowding distance como no NSGA-IIcd← crowdingDistance (F, front);Y← X;FY ← FX ;para i = 1 : N/2 faça

// torneio bináriopai1← torneio(front, cd);pai2← torneio(front, cd);// gera filhos usando SBX( f ilho1, f ilho2)← SBX(pai1, pai2);// chance de mutação para cada filhor =U(0,1);se r <probMut então

f ilho1← mutação( f ilho1);r =U(0,1);se r <probMut então

f ilho2← mutação( f ilho2);//acrescenta filhos na população temporáriaY← [Y; f ilho1; f ilho2];FY ← [FY ; f( f ilho1); f( f ilho2)];

// escolhe N+∆ indivíduos de menor front ou maior crowding, de acordo com NSGA-IIpara i= 1 : (N +∆) faça

// calcula novamente fronteiras e crowdingfront← nonDominatedSorting(FY );cd← crowdingDistance (FY , front);N∆← seleção(front, cd); //escolha dos pontos com menor fronteira usando acrowding distance como desempate

para i= 1 : ∆ faça// cálculo do Γ

ap← Γ(Y(N∆))// remove indivíduo com menor Γ

N∆← [N∆] - [min(ap)];X← Y(N∆)

Algoritmo 4: NSGA-II com Γ


3.1.2 Implementação com DEMO

Uma outra abordagem entre os MOEAs é o Multi - objective Differential Evolution

(DEMO), proposto por [Robic e Filipic, 2005]. Ela foi baseada no Differential Evolution (DE)[Storn e Price, 1997]. Esta metodologia se caracteriza por gerar novos indivíduos, a partir docruzamento de um pai xi, com um vetor tentativa ui. Este último é gerado a partir da soma deum indivíduo aleatório xi1, com um vetor diferença vi:

ui = xi1 + vi

= xi1 + f × (xi2− xi3)(3.1)

onde, xi2 e xi3 também são indivíduos aleatórios e f é o fator de escala, um parâmetro ajustável.

O DE também se trata de um algoritmo elitista, pois ele escolhe entre pai e filho, aquelecom maior aptidão para participar da próxima geração.

xi =

ui caso U < crossover f actor

xi1 c.c.(3.2)

onde, xi é o filho, xi1 o pai, ui o vetor tentativa, U é uma variável aleatória uniforme e ocrossover factor é um parâmetro ajustável, com valor entre [0,1].

Para o caso caso multi - objetivo, a seleção proposta foi feita usando non-dominated

sorting e crowding distance.

Foi então, testado com o método proposto utilizando o DEMO[Robic e Filipic, 2005]como base, ilustrado pelo Algoritmo 5. Por ele também utilizar a non-dominated sorting eo crowding distance como critério de seleção, sua implementação segue passos similares aoNSGA-II. As principais diferenças entre tais implementações consistem nas mutações e re-combinações, que utilizam o vetor de diferenças e na construção da primeira população inter-mediária. Esta não inclui todos os pais e filhos, pois um filho só é selecionado se ele não fordominado pelo pai, e vice versa. Como essa implementação pode gerar uma primeira popula-ção temporária com tamanhos entre N e 2×N, a segunda população temporária terá o maiorvalor possível até um limite de N× (1+ δ ). Esta segunda população intermediária é criadautilizando os critérios non-dominated sorting e crowding distance, sendo posteriormente re-duzida com o uso da aglomeração das soluções no espaço de variáveis de decisão, formando,finalmente, a próxima geração.


Entrada: Tamanho da população (N);Número de Iterações (K) ;Vetor de funções objetivo (f(·));Fator do tamanho da população (δ )Saída: População final (X);Valores dos objetivos para população final (FX )∆← dδNe;// gera população inicial aleatóriaX← random(N,n);F← f(X);t← 0;enquanto t ≤ K faça

t← t +1;//inicializa a população temporariaY←∅;FY ←∅;para i = 1 : N faça

// mutaçãoui← X(rand)+ f × (X(rand)−X(rand)) ;// gera filhos usando o vetor tentativapara j = 1 : no faça

// no é o número de objetivosr =U(0,1);se r <crossFactor então

f ilhoi( j)← ui( j) ;

senãof ilhoi( j)← xi( j) ;

//acrescenta os não dominados população temporáriase f ilhoi ≺ Xi então

Y← [Y; f ilhoi];FY ← [FY ; f( f ilhoi)];

senão se Xi ≺ f ilhoi entãoY← [Y;xi];FY ← [FY ;F(i)];

senãoY← [Y;xi; f ilhoi];FY ← [FY ;F(i); f( f ilhoi)];

// escolhe N +∆ indivíduos de menor front ou maior crowdingse numElementos(Y)> N então

para i= 1 : (N +∆) faça// calcula novamente fronteiras e crowdingfront← fronteira(FY );cd← crowdingDistance (FY , front);N∆← seleção(front, cd);//escolha dos pontos com menor fronteira usando acrowding distance como desempate-

para i= 1 : ∆ faça// cálculo do Γ

ap← Γ(Y(N∆))// remove indivíduo com menor Γ

N∆← [N∆] - [min(ap)];X← Y(N∆)

Algoritmo 5: DEMO com Γ

3.2 COMENTÁRIOS 24

3.2 Comentários

A principal estratégia do método proposto é a incorporação da segunda população tem-porária e sua redução como meio de aumentar a diversidade das soluções no espaço de variáveisde decisão. O uso dessa segunda redução serve para buscar entre as soluções que mais conver-gem para a fronteira, aquelas com maior diversidade no espaço de variáveis de decisão. Dessaforma, ele busca a convergência como os métodos tradicionais, mas mantém as soluções maisdispersas nos dois espaços. A sua complexidade, no entanto, é maior que a do método origi-nal utilizado, pois está diretamente ligada ao cálculo das distâncias entre as soluções durantea medida de aglomeração Γ. Tal complexidade pode variar ao se escolher diferentes métodosapropriados para o cálculo dessa aglomeração. Além disso, a própria métrica Γ pode ser vari-ada ao se modificar a quantidade de vizinhos considerados para a soma final. Essa abordagemainda possui outros problemas em aberto, como a determinação de um valor apropriado dotermo δ que, possivelmente, varia de acordo com o problema a ser otimizado.

A metodologia apresentada se mostra mais simples e intuitiva que muitas outras propos-tas dentro desse tema, além de não utilizar uma média ponderada dos valores de diversidadenos dois espaços, o que nem sempre é simples em problemas práticos. Outra característicaimportante do método - acrescentar uma população intermediária e reduzi-la de acordo coma aglomeração no espaço de variáveis de decisão - é que ele pode ser incorporado a diferen-tes algoritmos evolutivos. Neste trabalho ele foi implementado com o NSGA-II e o DEMO,mas seria imediata a operação de adaptação em outros algoritmos, por exemplo, SPEA2 e oMOEA/D. A introdução da modificação causa um aumento na complexidade de uma ordem den2, associada ao cálculo da métrica de diversidade, em que n é o número de soluções.

CAPÍTULO 4

Experimentos Computacionais

A metodologia proposta deve utilizar um outro método como base, modificando-o paraque considere a diversidade no espaço de variáveis de decisão. Como forma a ressaltar osaspectos nos quais os algoritmos diferem, os testes e análises foram feitos usando ambos nasmesmas configurações para cada problema.

4.1 Problemas teste

Para testar o comportamento e eficiência do algoritmo, foram utilizados alguns pro-blemas de teste descritos na literatura, bem como outros de caráter mais ilustrativo, a fim deevidenciar características importantes do método descrito.

Para todos os problemas, o algoritmo proposto foi testado com valores de ∆ iguais a5%, 10%, 25%, 50% e 75% da população total do problema.

4.1.1 Exemplos

Duas funções foram planejadas de forma que algumas características do método pro-posto pudessem ser observadas:

Problema 1 Esse problema exemplo foi projetado de forma que regiões distintas do espaçode variáveis de decisão mapeiem as mesmas regiões no espaço de objetivos. O teste dosalgoritmos com esta função serve para avaliar o quão completa é a amostragem do espaçode variáveis de decisão que eles conseguem encontrar, como exemplificado na figura 1.1.A formulação do problema pode ser descrita como (4.1)-(4.2).

25

4.1 PROBLEMAS TESTE 26

min f1(x) =

(x− c1)T A1 (x− c1) se x≤ [4.5;3]T

(x− c3)T A1 (x− c3) c.c

f2(x) =

(x− c2)T A2 (x− c2) se x≤ [4.5;3]T

(x− c4)T A2 (x− c4) c.c.

(4.1)

onde,c1 = [1,1]T c2 = [3,3]T

c3 = [5,3]T c4 = [7,5]T

A1 =

[1 00 10

]A2 =

[14 2222 41

] (4.2)

Problema 2 O segundo problema é definido por (4.3)

min f1(x) =∑nd

i=1[sin(xi)+

13 sin(3xi)+

15 sin(5xi)+

17 sin(7xi)+0.1(xi +3)2]

f2(x) =∑nd

i=1 0.1(xi−3)2

(4.3)A fronteira obtida pela minimização desta função possui uma região de grande variaçãode valores de função e outras com variação menor. O teste com este exemplo permiteavaliar se o algoritmo encontra muitos pontos em uma região muito pequena no espaço devariáveis de decisão em detrimento da escolha de pontos mais espalhados neste domínio,mas que possuem espaçamentos inconstantes na fronteira.

4.1.2 DTLZs

As funções DTLZs [Deb et al., 2002b], são conhecidas da literatura e apresentam carac-terísticas difíceis e importantes de serem avaliadas em um algoritmo genético. Nesse trabalhoforam usadas as funções DTLZ 1 a 6, com as dimensões propostas por Deb et al. [2002b]. Elassão descritas a seguir:

Obs.: Para todos os problemas no é o número de objetivos, nd é a dimensão das variáveisde decisão e xno = [xno,xno+1, ...,xnd ]


DTLZ1min f1(x) = 1

2x1x2 . . .xno−1(1+g(xno))

f2(x) = 12x1x2 . . .(1− xno−1)(1+g(xno))

...fno−1(x) = 1

2x1(1− x2)(1+g(xno))

fno(x) = 12(1− x1)(1+g(xno))

suj. a 0≤ xi ≤ 1 i = 1,2, ...,nd

(4.4)

onde,

g(xno) = 100

|xno|+∑

xi∈xno

((xi−0.5)2− cos(10π(xi−0.5)))

(4.5)

com o nd = 6 para 2 objetivos e nd = 7 para 3.

DTLZ2

min f1(x) = (1+g(xno))cos((x1

pi2 )). . .cos

((xno−1

pi2 ))

f2(x) = (1+g(xno))cos((x1

pi2 )). . .sin

((xno−1

pi2 ))

...

fno−1(x) = (1+g(xno))sin((x1

pi2 ))

suj. a 0≤ xi ≤ 1 i = 1,2, ...,nd

(4.6)

onde,g(xno) =

∑xi∈xno

(xi−0.5)2 (4.7)


DTLZ3 Problema 4.6, da DTLZ2 com a equação 4.5, a g(xno) da DTLZ1; e com nd = 11 para2 objetivos e nd = 12 para 3.

DTLZ4 O problema DTLZ2, equações 4.6 e4.7, com o mapeamento xi → xαi , onde o valor

sugerido é α = 100; e com nd = 11 para 2 objetivos e nd = 12 para 3.


DTLZ5

min f1(x) = (1+g(xno))cos((θ1

pi2 )). . .cos

((θno−1

pi2 ))

f2(x) = (1+g(xno))cos((θ1

pi2 )). . .sin

((θno−1

pi2 ))

...

fno−1(x) = (1+g(xno))sin((θ1

pi2 ))

suj. a 0≤ xi ≤ 1 i = 1,2, ...,nd

(4.8)

onde,θi =

π

4(i+g(xno))(1+2g(xno)xi) (4.9)

eg(xno) =

∑xi∈xno

(xi−0.5)2 (4.10)

Alternativamente pode-se usar a seguinte função g(xno):

g(xno) =∑

xi∈xno

(xi)0.1 (4.11)

Esse é um problema degenerado - a dimensão da solução do problema é uma dimensãomenor que o número de objetivos, ou seja se o número de objetivos for no = 3, a soluçãoserá uma curva (duas dimensões), se no = 2, a solução será um ponto. O valor sugeridopara nd é 12 para 3 objetivos.

DTLZ6min fno−1(xno−1) = xno−1

fno(x) = (1+g(xno))h( f1, f1, . . . , fno−1,g)

suj. a 0≤ xi ≤ 1 i = 1,2, ...,nd

(4.12)

onde,

h = no−no−1∑i=1

[fi

1+g(1+ sin(3π fi))

](4.13)

eg(xno) = 1+

9|xno|

∑xi∈xno

xi (4.14)



4.1.3 Problemas selecionados por Shir et al. [2009]

O trabalho Shir et al. [2009] apresentou um algoritmo que busca diversidade das solu-ções no espaço de varáveis de decisão. Esse trabalho utilizou as funções apresentadas nessaseção para avaliar a eficiência do algoritmo lá proposto, pois esses problemas têm a caracterís-tica de terem mais de um ponto no espaço de variáveis de decisão, levando ao mesmo ponto noespaço de objetivos. Dessa forma surgem regiões disjuntos no espaço de variáveis de decisãocuja união corresponde ao conjunto Pareto-ótimo do problemas.

Omni-Test (do Deb) :min f1(x) =

∑ni=1 sin(πxi)

f2(x) =∑n

i=1 cos(πxi)

suj. a xi ∈ [0,6]

(4.15)

Com n = 5.

EBNmin f1(x)(γ) =

(∑ni=1 |xi|

)γ n−γ

f2(x)(γ) =(∑n

i=1 |xi−1|)γ n−γ

(4.16)

Com γ = 1 e n = 10.

Two-on-Onemin f1(x) = x4

1 + x42− x2

1 + x22−gx1x2 +hx1 +20

f2(x) = (x1− k)2 +(x2− l)2 (4.17)

Com g = 10, h = 25,k = 0 e l = 0.

Lamé Superspheres

min f1(x) = (1+ r)cos(x1)

f2(x) = (1+ r)sin(x1)

r = sin2(π ∗ξ )

ξ = 1n−1∑n

i=2 xi

suj. a x1 ∈[0, π

2

]xi ∈ [1,5] i = 2,3, ...,n

(4.18)

Com n = 4.

4.2 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO 30

4.2 Métodos de Avaliação

4.2.1 Indicadores de qualidade de soluções no espaço de objetivos

Existem diferentes maneiras de se comparar fronteiras Pareto, a fim de se definir asdiferenças de desempenho entre algoritmos de otimização multiobjetivo. Nesta dissertação sãousados dois indicadores que comparam diferentes características entre fronteiras.

Binary ε-indicator: Como descrito por Zitzler et al. [2003], o método compara quanto umafronteira Pareto domina outra. Quando utilizado com a fronteira ótima, pode servir paraavaliar o quanto o resultado obtido chegou perto do ótimo. No presente trabalho foiutilizada a forma aditiva desse indicador, definida como (4.19):

Iε(A,B) = infε∈R{∀b ∈ B∃a ∈ A : a�ε b} (4.19)

Ou, alternativamente:

Iε(A,B) = maxb∈B

mina∈A

max1≤i≤n

ai−bi ∀ a ∈ A, b ∈ B (4.20)

Ele mostra o deslocamento necessário a ser aplicado a cada um dos pontos do conjunto B,na direção do vetor~ε , de forma que todos os seus pontos sejam dominados, pelo menosfracamente, por algum ponto de A. Tal vetor~ε , como descrito em 4.21, possui todas assuas coordenadas com valor ε , que é calculado por (4.20). Uma representação em duasdimensões é mostrada graficamente na figura 4.1.

~ε =

ε

ε

...

(4.21)

Para esse indicador, o valor ε é aquele que deve ser somado a todas variáveis de umvetor referência B, para que qualquer ponto de B seja dominado por um dado vetor A,formalizado por 4.22. Sendo assim, para avaliar a convergência de A, basta compará-loa um vetor referência B que seja ótimo. Nesse caso, quanto menor o valor de ε mais teráconvergido o vetor A avaliado.


∀ 1≤ i≤ n : ai ≤ ε +bi (4.22)

f (x)1

f(x

)2

!

B

A

!

!

Figura 4.1: Indicador ε:~ε indica o deslocamento da fronteira referência B para que A a dominefracamente, o valor das componentes ε é o valor do indicador

Indicador de hipervolume: É uma métrica que mede o tamanho do espaço dominado pelafonteira até um ponto de referência P. O valor desse indicador estabelece o quanto afronteira avaliada converge em direção à ótima. Ele é calculado através da união dospolítopos formados pelos hiperplanos que saem de cada ponto da fronteira até um pontode referência P para cada eixo no espaço de objetivos, sua representação matemática édefinida pela equação 4.23 [Zitzler et al., 2007].

I∗H(A) :=∫ P

OαA(z)dz (4.23)

onde A é a fronteira avaliada, O o ponto origem (0,0, . . .), P o ponto referência, z relaci-ona cada polítopo de A e α é a attainment function definida por 4.24.

αA(z) :=

1 se A� {z}

0 c.c.(4.24)


Visualmente, a figura 4.2 ilustra como é calculado o indicador para 2 objetivos, nesse casoo inciador representa uma área, para 3 objetivos um volume, e para n um hipervolume.Dessa forma, o quão maior for esse valor, maior é a região dominada pela fronteira emelhor será a convergência desta.

f (x)1

f(x

)2

P

Figura 4.2: Hiper - volume

Para um problema com 2 objetivos o volume se reduz a uma área. Na figura 4.2 é mos-trada qual a área dominada por uma fronteira com 5 pontos até um ponto P, e esta seriaa medida de hiper-volume para conjunto representado.

4.2.2 Indicador de qualidade de soluções no espaço de variáveis de decisão

Outra característica a ser avaliada é o quão diverso é o Conjunto de Soluções no Espaçode Variáveis de Decisão. Uma maneira de medir tal diversidade é avaliar a dispersão do con-junto de soluções: pode-se considerar que um conjunto mais disperso possuirá também maiordiversidade. Para quantificar essa dispersão, o seguinte indicador é proposto:

Árvore Geradora Mínima O conjunto de soluções no espaço de variáveis de decisão nadamais é que um conjunto de pontos. Dessa forma ele pode ser considerado um grafo, emque as soluções compõem os vértices.


Se o grafo formado pelas soluções for considerado completamente conexo e não dire-cional, é possível encontrar a árvore geradora mínima desse grafo. Ela é a árvore queconecta todos os vértices e cuja a soma das arestas é mínima. Se forem consideradas asdistâncias entre os pontos como o valor das arestas, a árvore geradora mínima forneceuma noção do quão espalhado é o grafo. No contexto desse trabalho, então, ela pode serutilizada para medir o espalhamento das soluções no espaço de variáveis de decisão.

Graficamente, podemos definir o hipervolume ocupado pelas soluções como o hipervo-lume das hiperesferas cujo diâmetro separa cada par de soluções mais próximas, a figura4.3 mostra um exemplo com duas variáveis. Nela, está representada a árvore geradoramínima de seis pontos, com cinco arestas. Há, também, uma esfera centrada no pontomédio de cada aresta que une duas soluções, dessa forma o diâmetro de cada esfera é adistância entre duas soluções. Como tal esfera situa-se entre duas soluções mais próxi-mas, não há em seu interior qualquer outro vértice.

Figura 4.3: Árvore Geradora Mínima

Com isso, o conjunto de esferas formado é tal que: (i) nenhuma hiperesfera pode crescersem que algum ponto seja incluído em seu interior, (ii) se alguma hiperesfera tiver seuraio diminuído a soma dos volumes das hiperesferas diminuirá.

Devido a essas propriedades, o conjunto de hiperesferas constitui uma representaçãorazoável da região que é descrita pelo conjunto de pontos, pois a soma dos hipervolumesdas hiperesferas é uma grandeza relacionada ao hipervolume dessa região. O indicadorproposto tem, dessa forma, a propriedade de crescer à medida que um número fixo depontos passa a se distribuir de maneira cada vez mais uniforme no interior de uma dada


região. Para o conjunto representado na figura 4.3 com duas variáveis, o hipervolumetambém se reduz a uma área.

Para se calcular um valor para o indicador da árvore geradora mínima, o primeiro passoé encontrar tal árvore: um algoritmo comumente utilizado para o cálculo da árvore ge-radora mínima é o algoritmo de Kruskal [Goldbarg e Luna., 2005]. Ele se trata de umaestratégia gulosa que encontra uma árvore que possui todos os vértices do grafo e cujasoma dos peso das arestas é mínima. Uma vez obtida tal árvore, o valor consideradopara o indicador de espalhamento do conjunto solução é a soma dos volumes obtidospelos diâmetros. Nesse trabalho, como a comparação é feita usando conjuntos soluçõesde mesmo tamanho, por simplicidade, é utilizada apenas a soma total dos diâmetros.

4.2.3 Sensibilidade das Soluções

Um aspecto frequentemente relevante para a escolha da alternativa de projeto a ser im-plementada é a sensibilidade dessa solução quanto a variações nas variáveis de decisão. Porexemplo, variações nas dimensões de uma peça, decorrentes de seu processo de fabricaçãopodem levar a grandes variações das funções-objetivo que representam o desempenho dessapeça, bem como à violação das restrições do problema. É possível realizar uma análise dessasensibilidade a partir do conjunto de soluções de um algoritmo de otimização multiobjetivo,desde que tanto o espaço de variáveis de decisão quanto o espaço de objetivos estejam suficien-temente amostrados. Um dos propósitos da metodologia proposta é precisamente permitir queo algoritmo procure soluções menos sensíveis de maneira mais eficiente.

A sensibilidade de uma solução está diretamente relacionada ao quanto uma variaçãodos valores das variáveis de decisão interfere nos valores dos objetivos. Dessa forma, se so-luções muito próximas no espaço de decisão são muito distantes no espaço de objetivos, elassão ditas sensíveis. Analogamente, se uma solução possui uma região grande ao redor dela quegera pontos muito próximos no espaço de objetivos, ela é uma solução robusta.

A sensibilidade das soluções, ou do conjunto-solução encontrado, pode ser calculada dediferentes maneiras, dependendo do foco da análise. Nesse trabalho foram utilizadas 3 manei-ras de fazer tal análise, definidas de forma a auxiliar na demarcação de regiões e soluções mais(ou menos) robustas, e também como forma de comparar a qualidade das soluções encontradas.

Estimativa de Sensibilidade 1: Esta se trata de uma estimativa de sensibilidade dos objetivos


em relação so pontos estimados.

Para uma dada região do conjunto-solução, é possível construir uma estimativa de sen-sibilidade utilizando a razão entre as medidas de distâncias entre todas as soluções presentescom as distâncias dessas soluções no espaço de objetivos:

ϕk =∑i=1

N

N∑j=1, j 6=i

| fk(xi)− fk(x j)|||xi−x j||2

N× (N−1)(4.25)

onde fk (·) é a k-ésima função-objetivo, ||·||2 é a norma Euclidiana, N é o número de pontos.Observe que esse cálculo retornará um vetor ϕ ∈ Rm das sensibilidades em relação a cadaobjetivo.

Estimativa de Sensibilidade 2: Esta outra abordagem é uma estimativa da sensibilidade dospontos estimados em relação à fronteira.

Ela utiliza os pontos vizinhos no Pareto, ao invés de definir uma região no espaço dedecisão. Ela considera os vizinhos na fronteira Pareto que estão dentro de uma região κ de va-riação aceitável do problema e utiliza a razão entre as distâncias normalizadas desses vizinhosno espaço de objetivos pelo espaço de variáveis de decisão.

É uma estimativa de sensibilidade que utiliza apenas os pontos encontrados e percorretoda a fronteira. Este método pode ainda ser utilizado para algoritmos dinâmicos em que ocálculo dessa sensibilidade pode interferir ao longo da evolução, focando em regiões mais oumenos sensíveis, a partir do momento em que uma Fronteira de Pareto já está bem definida.

O cálculo feito, para cada ponto i, é:

ωi =

N∑j=1

∣∣∣∣ f (xi)− f (x j)∣∣∣∣2

2

N∑k=1||xi−xk||22

(4.26)

ondex ∈ N | f (xl)≤ κl ∀ l = 1, ...,no (4.27)

N é o número de pontos e no é o número de objetivos .


Estimativa de Sensibilidade 3:

A última abordagem estima a sensibilidade de cada solução.

Ela consiste em variar o valor das coordenadas por ±α em cada dimensão do espaçode variáveis de decisão e verificar o valor dos objetivos para cada variação. Essa variação éfeita,então, de acordo com a figura 4.4 e, assim, são testados 2×nd novos pontos, em que nd éo número de dimensões do problema. A sensibilidade é calculada pela média das razões entreas distâncias dos novos pontos para o original no espaço de objetivos pelas distâncias α doespaço de variáveis de decisão.

µ i =

2×nd∑k=1

|| f (xi)− f (x?k)||2α

2×nd(4.28)

onde xi é a solução avaliada, x?k é uma das soluções geradas apartir da variação α em algumadas dimensões, no é o número de objetivos, nd é a dimensão das variáveis de decisão e N é otamanho da população de soluções.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

α

α

α

α

x1

x 2

Figura 4.4: Pontos gerados durante a Estimativa de Sensibilidade 3, para um problema comdimensão 2

4.3 PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL 37

4.3 Planejamento Experimental

Cada um dos dois algoritmos, NSGA-II e DEMO, foi testado com diferentes configu-rações, inclusive para o valor de delta, sendo que δ = 0 representa o algoritmo tradicional.Alguns problemas foram testados com o NSGA-II, tradicional e modificado, e outros com oDEMO, tradicional e modificado, conforme está indicado na tabela 4.1. Cada configuração foiexecutada 30 vezes e todos os experimentos foram realizados em um computador cuja espe-cificação é: 2 processadores Intel Xeon E5-2640, 64 bits, 2.5 GHz, em que cada processadorpossui 6 núcleos e 12 threads (com um total de 24 threads), 96 GiB de memória RAM e SistemaOperacional Ubuntu 14.04 (Kernel Linux 3.13.0-32-generic).

A configuração dos experimentos pode ser definida de acordo com os seguintes tópicos,relacionados na tabela 4.1:

• Algoritmos, em dois blocos: DEMO e NSGA-II.

• Problemas, que separam cada Algoritmo de novo em blocos: o NSGA-2 com 7 blocos, eo DEMO com 12.

• δ , com 6 níveis: 0, 0.05, 0.1, 0.25, 0.5, 0.75.

• População, com 3 níveis e variando de acordo com o problema.

Tabela 4.1: Planejamento das Simulações

Alg. Prob. # Var. de Dec. # Obj. δ Iter. Pop. Rep.

NSGA-2

Problema 1 2 2

0, 0.05, 0.1, 0.25, 0.5, 0.75

300 100, 200, 300

30

Problema 2 2, 3 2 300 100, 200, 300Omni-Test 5 2 500 50, 100, 150

EBN 10 2 500 50, 100, 150Two-on-one 2 2 500 50, 100, 150

Lamé Superspheres 4 2 500 50 100 150

DEMO

DTLZ1 6, 7 2, 3

0, 0.05, 0.1, 0.25, 0.5, 0.75

300 50, 100, 150

30

DTLZ2 11, 12 2,3 300 50, 100, 150DTLZ3 11, 12 2,3 300 50, 100, 150DTLZ4 11, 12 2,3 300 50, 100, 150DTLZ5 12 3 300 50, 100, 150

DTLZ5-modificado 12 3 300 50, 100, 150DTLZ6 11, 12 2,3 300 50, 100, 150

CAPÍTULO 5

Resultados

Neste Capítulo são discutidos os resultados obtidos através da execução dos experimen-tos descritos na seção 4.3. Dessa forma são mostrados testes feitos tanto com o NSGA-II quantoo DEMO, sendo explicitados aqueles que apresentaram algumas características mais relevantespara a comparação dos algoritmos acrescidos do método proposto com suas versões tradici-onais. Assim, os resultados a serem apresentados evidenciam a diferença de comportamentoentre os algoritmos tradicionais e o algoritmo proposto, bem como suas implicações.

O comportamento esperado pelo algoritmo é o de gerar soluções mais uniformementeespalhadas sobre o conjunto Pareto-ótimo, no espaço de variáveis de decisão. Na prática, issogeralmente produzirá conjuntos de soluções semelhantes a uma nuvem envolvendo o conjuntoPareto-ótimo. Esse comportamento pode ser visualizado na figura 1.1, cujas soluções encon-tradas pelo método proposto encontram melhor o conjunto analítico, mas geram um nuvem aoredor deste. Da mesma forma, figura 5.1b, em que o conjunto Pareto-ótimo exato é reduzidoa um plano, próximo do qual se situa a maioria das soluções do algoritmo clássico, enquantoas soluções produzidas pelo método proposto ocupam uma região maior ao redor do conjuntoPareto-ótimo exato. A constatação desse comportamento e a discussão de suas implicações éfeita ao longo deste capítulo.

A figura 5.1 se refere ao problema DTLZ2, considerando 3 objetivos. Nela, as fronteirasencontradas se mostram muito próximas. Aquela obtida pelo método proposto, no entanto,gera alguns pontos mais afastados e parece não convergir tanto. Para representar o espaçode variáveis de decisão foi feita uma transformação pois ele possui doze dimensões, o que édifícil de representar graficamente. As duas primeiras variáveis das soluções foram utilizadascomo as duas primeiras dimensões da figura. A terceira dimensão no gráfico é a média dasdemais variáveis. Como as soluções Pareto-ótimas de uma DTLZ em 3 dimensões possuemxi = 0.5, para i = 3, ...,nd , ao usar a fórmula x?3 =

1nd−2

∑ni=3 xi, teremos um valor aproximado

de x?3 = 0.5.

Com a transforação, existe um claro maior espalhamento no eixo vertical no domíniodas variáveis, isso mostra que nem todas as variáveis, além das duas primeiras, das soluções

38

CAPÍTULO 5 RESULTADOS 39

0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f2(x)

f1(x)

f 3(x)

δ .10δ 0

(a) Espaço de objetivos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

10.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

x1

x2

x* 3

δ .10δ 0

(b) Espaço de variáveis de decisão

Figura 5.1: DTLZ2 - 3 objetivos, com população 100 e ∆ 0 e 10. O eixo x?3 é a média dasvariáveis x3 a x12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

10.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

x1

x2

x* 3

(a) ∆ 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

10.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

x1

x2

x* 3

(b) ∆ 10

Figura 5.2: Variação de ∆ no espaço de variáveis de decisão, DTLZ2 - 3 objetivos. O eixo x?3 éa média das variáveis x3 a x12

atingiram o valor 0.5 esperado. Nota-se também, mas de forma sutil, uma maior ocupação daregião próxima da reta x1 = 1 no plano x1,x2 da figura 5.2b (método proposto) em relação à5.2a (algoritmo tradicional).

A função Lamé Superspheres também precisa de uma transformação para ser represen-tada. Da mesma forma apresentada no trabalho Shir et al. [2009], usamos a variável x1 paraum eixo e, para o outro, a expressão x?2 = 1

nd−1∑n

i=2 xi. A tabela A.7 mostra que, apesar dagrande semelhança das representações gráficas mostradas na figura 5.3, há um expressivo au-mento do indicador de comprimento da árvore geradora mínima, cuja média aumenta mais de


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f1(x)

f 2(x)

δ .10δ 0


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.62.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

x1

x* 2

δ .10δ 0


Figura 5.3: Lamé Superspheres, com população 100 e ∆ 0 e 10. O eixo x?2 é a média dasvariáveis x2 a x4

3 vezes, frente uma pequena variação no indicador de hipervolume, que não atinge 5%, quandose aumenta o valor de δ até 0.25.

−2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)

δ .25δ 0


−3 −2 −1 0 1 2 3 4−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x1

x 2

δ .25δ 0


Figura 5.4: Problema 2, com população 200 e ∆ 0 e 50

Na figura 5.4, relativa ao Problema 2, fica claro o comportamento desse teste, em que ageração de uma fronteira bem espalhada no espaço de objetivos gera pontos muito próximos noespaço de variáveis de decisão. Em particular, a regiaõ ao redor do ponto (0,0) no espaço devariáveis de decisão fica muito concentrada para o algoritmo tradicional, pois ele tenta amostraruniformemente a parte da fronteira aproximadamente entre [0,2] para f1(x). Com a modifica-ção de δ = 0.25 essa região não é tão bem amostrada na fonteira: há menos pontos e algunssituam-se mais afastados da fronteira. Porém a região ao redor do ponto (0,0) no espaço de


variáveis de decisão não fica tão aglomerada. De forma geral, nesse exemplo, houve um maiorespalhamento em todas as regiões no espaço de variáveis de soluções onde há um concentraçãodo conjunto ótimo.

Conforme o esperado, algoritmos acrescidos da metodologia proposta(δ0.1) produzemsoluções com maior espalhamento no espaço de variáveis de decisão que os métodos tradicio-nais (δ0), o que pode ser observado nas figuras 5.1b, 5.3b e 5.4b. Um ponto relevante é que talespalhamento não se traduz em um correspondente maior espalhamento no espaço de objetivos,como pode ser visto nas figuras 5.1a, 5.3a e 5.4a.

Essas observações, no entanto, são apenas indícios visuais nas imagens. O que deve seravaliado, de fato, são os valores obtidos pelos indicadores utilizados para avaliar as qualidadesdo espalhamento das solução e da convergência da fronteira.

No Apêndice A, são apresentadas tabelas dos valores obtidos para o indicador de hipervolume e da árvore geradora mínima, de cada problema, considerando as variações da popula-ção e do δ . Como os algoritmos são estocásticos e foram executados 30 vezes, são apresentadasinformações complementares, como aquelas oferecidas por um boxplot (valores de máximo emínimo, medianas, percentis, entre outros) e a quantidade de execuções em que o valor en-contrado para o indicador foi válido, o que é importante devido ao indicador de hiper volume,cujo cálculo depende de um ponto de referência (se a fronteira não possui pontos dominadospor esse ponto, não é possível calcular um valor para o hiper volume). Outro ponto a observaré que as tabelas das DTLZs com 2 objetivos, possuem valores inusitados pois o conjunto Pa-reto ótimo se caracteriza por constituir uma linha, o que faz com que valor do comprimento daárvore geradora mínima se aproxime do comprimento desta linha, ou seja 1.

Para a grande maioria das funções aqui testadas, o indicador de comprimento da árvoregeradora mínima cresce à medida que se aumenta o valor de δ . Embora o valor do indicadorde hipervolume no espaço de objetivos tenha a tendência oposta, de diminuição à medida queo valor de δ cresce, tal diminuição não é tão significativa para valores moderados de δ . Essefenômeno pode ser observado nas tabelas A.2, A.5, em que o valor da árvore geradora mínimamais que dobra enquanto a diminuição do hipervolume não chega a 10%, e A.16, em que até oδ0.1 possui uma igualmente pequena, mas com um crescimento da árvore de até quase 10 vezesmais. As variações encontradas, no entanto, dependem do problema, dessa forma não é umaregra que a estratégia proposta consiga sempre uma variação grande para a árvore geradoramínima e uma pequena para o hipervolume. Por exemplo, a tabela A.14 mostra que para afunção DTLZ2 com 3 objetivos, há um crescimento da árvore geradora mínima, associado

5.1 ESTIMATIVAS DE SENSIBILIDADE 42

a uma diminuição também pequena do hipervolume para valores de δ até 0.1. A partir doδ = 0.25 o valor do comprimento da árvore geradora mínima cresce rapidamente, associadoa uma redução também acentuada do valor do hipervolume. Isso indica que para tais valoresde δ há uma perda da capacidade do conjunto solução obtido pelo algoritmo de representar oconjunto Pareto-ótimo do problema.

5.1 Estimativas de Sensibilidade

Os resultados apresentados nessa seção comparam o desempenho de algoritmos basea-dos no método proposto em encontrar soluções pouco sensíveis(δ = 0.1) contra o desempenhodas suas versões tradicionais desses algoritmos (δ = 0).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

10.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

x* 3

x1

x2

0.4872421.2530741.4560941.5200101.557003

(a) Espaço de variáveis de decisão

0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f 3(x)

f1(x)

f2(x)

(b) Espaço de objetivos

Figura 5.5: Sensibilidade 2 da DTLZ2 - 3 objetivos, com população 100 e ∆ 0

No caso da DTLZ2 com 3 objetivos, a tabela 5.1 mostra que a sensibilidade 1, que re-presenta uma sensibilidade média de todos os pontos do conjunto solução, é menor no casodo algoritmo proposto do que no tradicional. As figuras 5.5a, 5.5b, 5.6a e 5.6b mostram umcomportamento semelhante para a medida de sensibilidade 2. Nestas figuras, pode ser obser-vado que um maior número de pontos menos sensíveis é gerado pelo algoritmo proposto doque pelo algoritmo tradicional. Isso é percebido pela maior proporção de pontos menos sen-síveis nas figuras 5.6a e 5.6b em relação às 5.5a, 5.5b, assim como uma menor proporção depontos mais sensíveis daquelas em relação a essas. Estas figuras mostram, em suas legendas,que quando se mede a sensibilidade considerando apenas diferenças entre pontos gerados noconjunto solução, as sensibilidades medidas são menores no caso do método proposto que no


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

10.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

x* 3

x1

x2

0.4285070.6568900.7270100.7862920.993209


0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f 3(x)

f1(x)

f2(x)



tradicional.

As figuras de 5.7a a 5.8b revelam uma maior dificuldade de se distinguir os resultadosda avaliação da sensibilidade 3 entre o método proposto e o tradicional. Visualizando-se, en-tretanto, os mesmos dados, sob outra perspectiva, na figura 5.9, pode-se notar que o métodoproposto gera mais pontos de sensibilidade mais baixa (entre 0.3 e 0.38), com valores de x1

dentro no intervalo [0.6,0.8], que o tradicional, em que há uma maior concentração dos pontosmais sensíveis (com valores acima de 0.42), cuja coordenada x1 situa-se dentro de [0,0.2].

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

10.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

x* 3

x1

x2

0.2970290.3818330.4114710.4240450.427392


0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f 3(x)

f1(x)

f2(x)




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

10.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

x* 3

x1

x2

0.2971690.3792280.4167440.4308250.457258


0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f 3(x)

f1(x)

f2(x)




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x1

x 2

0.2970290.3818330.4114710.4240450.427392

(a) ∆ 0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x1

x 2

0.2971690.3792280.4167440.4308250.457258

(b) ∆ 10

Figura 5.9: Visualização das duas primeiras variáveis da sensibilidade 3 da DTLZ2 - 3 objetivos

A solução do método proposto para o problema 2 apresentou uma pequena melhora nasensibilidade 1 (tabela 5.1) e um intervalo de variação da sensibilidade 2 - figuras 5.10a, 5.10b,5.11a e 5.11b- com valores um pouco mais baixos, quando comparado com o método tradi-cional. A sensibilidade 3 foi a que apresentou maiores diferenças: as figuras 5.10a e 5.10b,mostram uma grande região vermelha que não existe nas figuras 5.11a e 5.11b. As imagensmostram que as abordagens tradicionais tendem a concentrar muitos pontos em uma regiãopequena, situada perto do ponto (2,2) no espaço de objetivos e do (0,0) no espaço de variáveisde decisão, na qual ocorre uma grande variação dos valores de função objetivo. Assim, a formada fronteira Pareto-ótima é amostrada de maneira mais precisa. O algoritmo proposto amos-tra com menor intensidade essa região, ao invés disso, amostra com maior intensidade outrasregiões do conjunto Pareto-ótimo. Essas regiões amostradas mais fortemente pelo algoritmoproposto, embora não tenham tanta importância para a descrição da fronteira Pareto-ótima, sãoexatamente os locais onde se encontram as soluções com menor sensibilidade.


−3 −2 −1 0 1 2 3 4−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x1

x 2

0.2411910.5352230.7180470.8836281.492195


−2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)


Figura 5.10: Sensibilidade 2 do Problema 2, com população 200 e ∆ 0

−3 −2 −1 0 1 2 3 4−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x1

x 2

0.2090900.4283310.7153960.8481751.347814


−2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)




−3 −2 −1 0 1 2 3 4−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x1

x 2

0.4399191.0178541.2164751.5210091.633186


−2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)



−3 −2 −1 0 1 2 3 4−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x1

x 2

0.4409130.9958791.2320661.4563531.632068


−2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)




No caso da Lamé Superspheres, embora os gráficos do método proposto e do tradicional,mostrados nas figuras 5.17 e 5.16, sejam muito semelhantes, é possível perceber que existe umamenor sensibilidade no método proposto. Tal diminuição pode ser observada com a existênciade mais pontos menos sensíveis, para a sensibilidade 2 (figuras 5.14a, 5.14b, 5.15a e 5.15b), epela tabela 5.1. Para a terceira sensibilidade - figuras 5.16a, 5.16b, 5.17a e 5.17b - não há umadiferença clara entre os dois métodos.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.62.95

3

3.05

3.1

3.15

3.2

x1

x* 2

0.5934930.8588180.9982191.0326851.258867


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f1(x)

f 2(x)


Figura 5.14: Sensibilidade 2 da Lamé Superspheres, com população 100 e ∆ 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.62.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

x1

x* 2

0.5643140.7159670.8105050.9141211.172327


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f1(x)

f 2(x)




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.62.95

3

3.05

3.1

3.15

3.2

x1

x* 2

0.6203090.6223910.6224000.6224030.915398


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f1(x)

f 2(x)


Figura 5.16: Sensibilidade 3 da Lamé Superspheres, com população 100 ∆ 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.62.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

x1

x* 2

0.6091070.6223020.6223830.6223990.662720


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f1(x)

f 2(x)




Tabela 5.1: Sensibilidade por Objetivo

Perc. 25 Mediana Perc. 75Obj. δ 0 δ 5 δ 25 δ 50 δ 0 δ 5 δ 25 δ 50 δ 0 δ 5 δ 25 δ 50

EBN 1 0.209 0.15 0.0994 0.02 0.219 0.154 0.104 0.0222 0.227 0.159 102 0.02382 0.209 0.15 0.0994 0.0196 0.219 0.154 0.104 0.0211 0.227 0.159 102 0.0225

Two-on-One 1 6.82 6.54 6.21 5.54 6.86 6.55 6.26 5.6 6.9 6.6 6.34 5.632 1.74 1.64 1.53 1.36 1.75 1.65 1.56 1.37 1.76 1.66 1.58 1.38

Lamé Superspheres 1 0.248 0.182 0.15 2.85e-13 0.285 0.188 0.156 3.62e-12 0.325 0.197 0.165 2.15e-112 0.252 0.178 0.152 2.34e-13 0.287 0.183 0.157 4.23e-12 0.341 0.201 0.164 2.31e-11

Omni-Test 1 2.28 2.63 0.415 3.3e-14 4.5 4.37 0.43 6.01e-14 4.59 4.5 0.486 2.47e-132 2.39 2.7 0.426 3.15e-14 4.53 4.44 0.449 6.32e-14 4.62 4.52 0.463 2.32e-13

Prob. 1 1 5.05 4.69 6 6.15 5.3 4.77 6.08 6.28 5.44 4.96 6.21 6.362 117 71.1 59.3 53.2 118 72.5 60.3 54.1 119 73.9 61.1 55

Prob. 2 - 2 var. 1 1.27 1.12 1.09 1.05 1.28 1.13 1.1 1.06 1.29 1.14 1.11 1.072 0.616 0.592 0.579 0.56 0.62 0.601 0.587 0.569 0.623 0.608 0.596 0.578

Prob. 2 - 3 var. 1 1.33 1.22 1.15 1.09 1.33 1.23 1.16 1.1 1.35 1.25 1.17 1.112 0.718 0.675 0.626 0.533 0.721 0.684 0.633 0.539 0.729 0.695 0.646 0.546

DTLZ 1 - 2 obj. 1 0.5 0.5 0.5 9.22 0.5 0.501 0.5 9.62 0.5 0.51 0.5 9.922 0.5 0.5 0.5 8.94 0.5 0.501 0.5 9.35 0.5 0.51 0.5 9.55

DTLZ 2 - 2 obj. 1 1.04 0.996 0.552 - 1.04 1 0.575 - 1.05 1.01 0.596 -2 1.04 0.991 0.556 - 1.04 0.999 0.576 - 1.05 1 0.607 -

DTLZ 3 - 2 obj. 1 1.03 39 28.2 40 1.04 41.9 30.6 40 1.05 46.8 36.1 402 1.04 37.4 25.4 39.7 1.04 39.6 27.2 39.7 1.05 42.8 37.1 39.7

DTLZ 4 - 2 obj. 1 54.4 0.715 0.562 - 54.8 0.913 0.603 - 55.2 1.18 0.726 -2 41.6 0.787 0.657 - 41.7 1.03 0.711 - 41.8 1.39 0.762 -

DTLZ 6 - 2 obj. 1 1 0.999 0.863 - 1 1 0.929 - 1 1 0.946 -2 3.52 2.47 1.91 - 3.59 2.56 1.92 - 3.59 2.59 2.08 -

DTLZ 1 - 3 obj. 1 0.294 0.269 9.21 7.4 0.297 0.272 10.2 9.77 0.3 0.275 13.1 10.82 0.29 0.269 9.89 7.52 0.295 0.272 11.3 7.66 0.299 0.275 14.2 8.813 0.295 0.307 7.78 4.59 0.298 0.309 8.2 5.54 0.301 0.311 8.61 6.21

DTLZ 2 - 3 obj. 1 0.693 0.591 0.471 0.47 0.697 0.597 0.484 0.493 0.704 0.605 0.489 0.5042 0.697 0.59 0.469 0.496 0.702 0.6 0.479 0.506 0.706 0.609 0.497 0.5163 0.731 0.612 0.467 0.487 0.737 0.628 0.482 0.489 0.744 0.633 0.489 0.497

DTLZ 3 - 3 obj. 1 0.694 27.9 35.5 36.1 0.699 30.8 36.8 36.1 0.702 34.4 40.4 36.12 0.696 27.1 38.1 30.8 0.702 29.9 39.1 30.8 0.706 33.1 41.8 30.83 0.735 32.3 44.3 39.8 0.739 34.9 47.7 39.8 0.746 39 53.4 39.8

DTLZ 4 - 3 obj. 1 23.6 1.12 0.457 0.463 24.2 1.17 0.469 0.463 25 1.22 0.496 0.4632 22.4 1.12 0.445 0.488 22.6 1.19 0.473 0.488 23.4 1.23 0.497 0.4883 21.7 1.1 0.544 0.53 21.9 1.18 0.554 0.53 22.5 1.27 0.572 0.53

DTLZ 5 - 3 obj. 1 0.458 0.455 0.349 0.282 0.46 0.458 0.358 0.282 0.472 0.46 0.37 0.2822 0.458 0.455 0.353 0.294 0.46 0.458 0.362 0.294 0.472 0.46 0.375 0.2943 0.577 0.597 0.384 0.438 0.582 0.604 0.401 0.438 0.585 0.611 0.417 0.438

DTLZ 5 mod. - 3 obj. 1 0.469 - - - 0.484 - - - 0.493 - - -2 0.469 - - - 0.484 - - - 0.493 - - -3 0.59 - - - 0.604 - - - 0.619 - - -

DTLZ 6 - 3 obj. 1 0.622 0.621 0.277 - 0.626 0.623 0.286 - 0.629 0.625 0.297 -2 0.62 0.619 0.276 - 0.623 0.621 0.29 - 0.627 0.622 0.295 -3 2.16 1.83 0.667 - 2.21 1.84 0.714 - 2.25 1.87 0.746 -

5.2 CONVERGÊNCIA 51

5.2 Convergência

É de se esperar que as soluções encontradas pela metodologia proposta convirjam maislentamente para o conjunto Pareto-ótimo que aquelas obtidas pelos métodos tradicionais. Issoacontece porque o que leva à convergência para a fronteira Pareto-ótima é a seleção por domi-nância de Pareto, enquanto o processo de eliminação de pontos por aglomeração no espaço devariáveis de decisão elimina inclusive pontos pertencentes à fronteira não-dominada, possivel-mente em favor de pontos de fronteiras dominadas, o que enfraquece a pressão seletiva paraa convergência. Contudo, como o algoritmo proposto escolhe tais soluções esparsas dentreaquelas que caminham para a fronteira, pode-se presumir que dando um número suficiente-mente grande de iterações ele também irá convergir. Como forma de comparação é importanteverificar que em alguns casos o algoritmo proposto possui uma convergência suficientementepróxima daquela obtida pelo tradicional, ao longo de uma quantidade de iterações.

A natureza estocástica da classe de algoritmos estudadas faz com que haja diferençasentre os conjuntos soluções obtidos a cada execução do algoritmo. Os histogramas das figuras5.18 a 5.20 mostram diferentes comportamentos observados, durante os experimentos, no in-dicador ε de comparação de diferentes fronteiras Pareto-ótimas geradas pelos algoritmos aquiestudados. O primeiro histograma de cada figura mostra valores encontrados no bootstrap-

ping[Mooney e Duval, 1993] do indicador ε , quando são comparadas entre si apenas fronteirasobtidas com o algoritmo tradicional. Dessa forma caracterizando a variação intrinseca das solu-ções desse algoritmo para cada problema. Essa distribuição foi encontrada ao se calcular 1000vezes o indicador ε entre uma fronteira gerada pelo algoritmo tradicional, escolhida aleatoria-mente dentre as 30 obtidas, e uma outra fronteira também gerada pelo algoritmo tradicional, etambém sorteada aleatoriamente, dentre as 30 opções. Os demais histogramas de cada figuraforam encontrados comparando fronteiras geradas pelo algoritmo tradicional com fronteirasgeradas pelo algoritmo modificado para cada valor de ∆, sendo ambas fronteiras escolhidasaleatoriamente. Eles mostram a forma como os resultados obtido para diferentes valores dedelta variam em relação à abordagem tradicional. Essa comparação permite identificar se aconvergência dos resultados com diferentes valores de delta é muito diferente daquela obtidapelos algoritmos tradicionais.


−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

ε−indicator

δ 0

(a) ∆0

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

ε−indicator

δ 0 − δ 5

(b) ∆5

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

ε−indicator

δ 0 − δ 10

(c) ∆10

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

ε−indicator

δ 0 − δ 25

(d) ∆25

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

ε−indicator

δ 0 − δ 50

(e) ∆50

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

ε−indicator

δ 0 − δ 75

(f) ∆75

Figura 5.18: Bootstrapping do indicador ε , DTLZ 4 - 2 objetivos com população 100 e diferen-tes valores de ∆. O histograma (a) mostra a variação da convergência em diferentes execuçõesdo algoritmo tradicional.


−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

500

1000

1500

2000

2500

ε−indicator

δ 0

(a) ∆0

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

500

1000

1500

2000

2500

ε−indicator

δ 0 − δ 5

(b) ∆5

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

500

1000

1500

2000

2500

3000

ε−indicator

δ 0 − δ 10

(c) ∆10

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

500

1000

1500

2000

2500

ε−indicator

δ 0 − δ 25

(d) ∆25

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

500

1000

1500

2000

2500

ε−indicator

δ 0 − δ 50

(e) ∆50

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

500

1000

1500

2000

2500

ε−indicator

δ 0 − δ 75

(f) ∆75

Figura 5.19: Bootstrapping do indicador ε , DTLZ 2 - 3 objetivos com população 100 e diferen-tes valores de ∆. O histograma (a) mostra a variação da convergência em diferentes execuçõesdo algoritmo tradicional.


−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

500

1000

1500

2000

2500

3000

ε−indicator

δ 0

(a) ∆0

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

500

1000

1500

2000

2500

3000

ε−indicator

δ 0 − δ 5

(b) ∆5

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

500

1000

1500

2000

2500

3000

ε−indicator

δ 0 − δ 10

(c) ∆10

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

500

1000

1500

2000

2500

3000

ε−indicator

δ 0 − δ 25

(d) ∆25

−2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

500

1000

1500

2000

2500

3000

ε−indicator

δ 0 − δ 50

(e) ∆50

−2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

500

1000

1500

2000

2500

3000

ε−indicator

δ 0 − δ 75

(f) ∆75

Figura 5.20: Bootstrapping do indicador ε , EBN com população 100 e diferentes valores de∆. O histograma (a) mostra a variação da convergência em diferentes execuções do algoritmotradicional.


A variação do delta é o principal fator para a diferença da convergência entre os doisalgoritmos, e é razoável supor que para valores maiores de delta a convergência irá acontecertardiamente, ou não acontecerá no tempo estipulado, dependendo do problema. É possívelobservar, pelos histogramas, que a diferença de convergência entre os algoritmos depende doproblema a ser otimizado. A figura 5.18 da DTLZ4 com dois objetivos, mostra um problemaem que a variação da convergência foi mínima para qualquer caso. Os histogramas da DTLZ2com 3 objetivos, figura 5.19, mostram que as diferenças de desempenho entre execuções doalgoritmo proposto e execuções do algoritmo tradicional são similares às diferenças de desem-penho observadas entre execuções do próprio algoritmo tradicional. O algoritmo tradicional,entretanto, atinge mais vezes a fronteira Pareto-ótima exata, o que é evidenciada pelo pequenopico no 0 no histograma correspondente a esse algoritmo, na figura 5.19. Na figura 5.20, osprimeiros histogramas deslocaram um pouco para a direita, o que mostra que o EBN possuiuma pequena variação para valores de δ pequenos, além disso os testes com valores de δ maisaltos raramente convergiram até o fim das execuções;

As figuras 5.21 e 5.22, ilustram como a convergência acontece. Para o método tradi-cional ela acontece com clara antecedência em relação ao método proposto com δ = 0.1. Épossível observar que a curva entre os tempos 30 e 60 da figura 5.21b é mais acentuada que ada figura 5.21a, sendo que a última ainda atinge valores do indicador ε mais baixos, menoresque 0.1, que a primeira ainda demora a atingir.Um comportamento similar é mostrado na figura5.22, a curva em ?? entre os tempos 20 e 30 é menos íngreme e atinge valores menores que 0.1no tempo 30,enquanto para o caso da figura 5.22 esse valores isso só acontece no intervalo detempo entre 30 e 40. Mesmo com tais diferenças, ambos convergiram ao fim das iterações.


0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.5

1

1.5

f2(x)

i = 30

f1(x)

f 3(x)

0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.5

1

1.5

f2(x)

i = 90

f1(x)

f 3(x)

0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.5

1

1.5

f2(x)

i = 150

f1(x)

f 3(x)

0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.5

1

1.5

f2(x)

i = 210

f1(x)

f 3(x)

0 30 60 90 120 150 180 210

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3ε indicator

(a) ∆ 0

0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.5

1

1.5

f2(x)

i = 30

f1(x)

f 3(x)

0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.5

1

1.5

f2(x)

i = 90

f1(x)

f 3(x)

0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.5

1

1.5

f2(x)

i = 150

f1(x)

f 3(x)

0

0.5

1

1.5 0

0.5

1

1.50

0.5

1

1.5

f2(x)

i = 210

f1(x)

f 3(x)

0 30 60 90 120 150 180 210

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3ε indicator

(b) ∆ 10

Figura 5.21: Média do indicador ε para o DTLZ2 com 3 objetivos, com população 100


−5 0 5 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)

i = 30

−5 0 5 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)

i = 50

−5 0 5 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)

i = 70

−5 0 5 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)

i = 100

20 30 40 50 60 70 800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5ε indicator

(a) ∆ 0

−5 0 5 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)

i = 30

−5 0 5 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)

i = 50

−5 0 5 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)

i = 70

−5 0 5 100

1

2

3

4

5

6

7

f1(x)

f 2(x)

i = 100

20 30 40 50 60 70 800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5ε indicator

(b) ∆ 20

Figura 5.22: Média do indicador ε para o Problema 2, com população 200

5.3 TEMPO COMPUTACIONAL 58

5.3 Tempo Computacional

A metodologia proposta claramente aumenta a complexidade computacional dos algo-ritmos, uma vez que ela acrescenta mais um passo em cada iteração onde é calculada a distânciaEuclidiana entre todos os pontos.

0 5 10 25 50 750

20

40

60

80

100

120

140

δ

Pop=50Pop=100Pop=150

(a) DTLZ 2, com 3 objetivos

0 5 10 25 50 750

1000

2000

3000

4000

5000

6000

δ


(b) Problema 2

0 5 10 25 50 750

100

200

300

400

500

600

δ


(c) Lamé Superspheres

Figura 5.23: Boxplot do tempo computacional

Com o aumento do valor de δ , também cresce a quantidade de pontos a serem avaliadospela medida de aglomeração, assim é de se esperar que também ocorra uma piora no tempocomputacional do algoritmo. No gráfico apresentado pela figura 5.23, é possível perceber estecomportamento, presente em todos os problemas testados. Eles mostram um crescimento não

5.4 COMPARAÇÕES PRELIMINARES COM GDEA 59

linear do tempo computacional, com o crescimento mais rápido que um linear, tanto para oaumento de delta, quanto para o aumento da população. Tal comportamento é o esperado dadoo tipo de complexidade computacional da modificação proposta, que, em teoria, é quadráticaem relação ao número de soluções consideradas acrescido de ∆.

5.4 Comparações Preliminares com GDEA

A comparação com o GDEA de Toffolo e Benini [2003], é uma primeira análise aser feita com diferentes algoritmos que consideram o espaço de variáveis de decisão. Essascomparações foram feitas utilizando também uma ZDT, náo explicadas anteriormente, pois talclasse de funções foi utilizada pelos autores para testar esse algoritmo.

A princípio pode-se perceber que o GDEA, como foi proposto, atinge uma grande di-versidade no espaço de variáveis de decisão, de acordo com as figuras 5.25 e 5.24, onde háum grande espalhamento das soluções referentes à implementação de tal algoritmo. Diversasdessas soluções, no entanto, estão em regiões que com pouco significado prático e longe dafronteira. Por isso foi, implementada, também uma versão desse algoritmo com um arquivo.Nota-se, nesse caso que o seu espalhamento no espaço de variáveis já não é tão bom após aincorporação do arquivo, mas as soluções no espaço de objetivos se aproximam mais da fron-teira.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x1

x 2

DEMONSGA2ToffoloToffolo+arquivo


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f1

f 2



Figura 5.24: Comparação entre o NSGA2 com δ0.4, NSGA2 com δ0.4, GDEA e GDEA coma incorporação de um arquivo, com população 100 e 100 gerações para a ZDT1, utilizada porToffolo e Benini [2003]


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x1

x 2



−2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f1

f 2



Figura 5.25: Comparação entre o NSGA2 com δ0.4, NSGA2 com δ0.4, GDEA e GDEA coma incorporação de um arquivo, com população 100 e 100 gerações para o Problema 2

Os boxplots da figura 5.26 mostram os valores das árvores geradores mínimas obtidaspelos diferentes algoritmos.

demo nsga2 gdea gdea_arq0

1

2

3

4

5

6

7

δ

Árvore Greadora Mínima

(a) ZDT 1


40

60

80

100

120

140

160

180

δ

Árvore Greadora Mínima

(b) Problema 2

Figura 5.26: Boxplot da árvore geradora mínima

Eles mostram que o valores obtidos pelo GDEA são maiores que aqueles obtidos pelo


método proposto, mas que tal melhoria se reduz quando são consideradas apenas as soluçõesválidas. Para o caso do Problema 2, no qual encontrar bons conjuntos solução depende dadiversidade do espaço variáveis de decisão, as figuras 5.26b e 5.25a indicam que as soluçõesencontradas pelo GDEA não são tão boas quanto aquelas obtidas pelo método proposto, emparticular utilizando o DEMO.

Os hipervolumes obtidos durantes esses testes são apresentados nos boxplots da figura5.27. Eles também evidenciam o comportamento em que as soluções do GDEA com arquivoconvergem melhor que aquelas obtidas pela versão original. Percebe-se também que o métodoproposto com o DEMO teve um desempenho melhor para o Problema 2, pois nesse caso,oGDEA não consegue amostrar toda a fronteira adequadamente, deixando alguns espaços va-zios.

demo nsga2 gdea gdea_arq0.74

0.76

0.78

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

δ

Hiper Volume

(a) ZDT 1


60

62

64

66

68

70

72

δ

Hiper Volume

(b) Problema 2

Figura 5.27: Boxplot dos hipervolumes

Outra característica a ser considerada é ilustrada pela figura 5.28. O GDEA se mostramais custoso computacionalmente que os algoritmos modificados usados para testar o métodoproposto e a inclusão do arquivo o torna ainda mais caro. Essa comparação também mostraque o DEMO apresenta um desempenho melhor de maneira geral, para os problemas testadosnessa seção.



20

40

60

80

100

120Tempo

(a) ZDT 1


20

40

60

80

100

120Tempo

(b) Problema 2

Figura 5.28: Boxplot dos tempos computacionais

CAPÍTULO 6

Conclusões

A otimização multiobjetivo busca encontrar um conjunto de soluções eficientes para umdeterminado problema. Os métodos tradicionais desse tipo de otimização costumam se focarno espaço de objetivos, buscando uma descrição da fronteira Pareto-ótima contendo pontosigualmente espaçados. Tal abordagem, no entanto, pode negligenciar a necessidade de umaboa amostragem do conjunto Pareto-ótimo no espaço de variáveis de decisão. Neste trabalhofoi proposto um método para ser incorporado a Algoritmos Evolutivos que busca manter umadiversidade de soluções no espaço de variáveis de decisão. Esse método propõe acrescentar,ao algoritmo evolutivo, uma etapa no processo de seleção na qual a boa distribuição no es-paço de variáveis de decisão seja considerada, assim possibilitando a escolha de soluções maisespalhadas neste espaço.

A metodologia proposta, quando comparada aos demais métodos que utilizam informa-ção proveniente dos dois espaços (de variáveis de decisão e de objetivos), se mostra de fácilcompreensão e implementação. Isso acontece pois ela se baseia na obtenção de um conjuntosolução mais esparso, ao escolher, ao longo das iterações, as soluções mais separadas dentreaquelas que convergiram, mais para a fronteira. A simplicidade de interpretar e implementaresta estratégia permite que ela seja facilmente adaptada à maioria dos algoritmos evolutivos.

A proposta dos algoritmos que lidam com os dois espaços é buscar um maior espalha-mento das soluções no espaço de variáveis de decisão, porém não foi definida, até então, umamaneira concreta de se comparar tais soluções. Neste trabalho foi sugerido o uso da árvoregeradora mínima como indicador do volume ocupado pelo conjunto solução. Ele se mostrouútil principalmente para a comparação entre as soluções encontradas pelos algoritmos tradici-onais e o proposto com diferentes valores de δ . Tal comparação é importante para averiguara qualidade do algoritmo e não pode ser feita levianamente, ela necessita de indicadores quemostrem quantitativamente a diferença entre as soluções.

Além da avaliação do conjunto solução, também foi avaliada a qualidade das fronteirasencontradas. Pelos resultados obtidos experimentalmente, é possível verificar que a metodo-logia apresentada consegue gerar soluções mais esparsas no espaço decisório, sem prejudicar

63

CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES 64

muito a qualidade da fronteira, mas é necessário o ajuste do parâmetro δ da metodologia. Talajuste ainda é um ponto a ser estudado, pois além de depender do problema a ser otimizado,para valores muito altos, ele pode levar o algoritmo a um comportamento próximo de uma buscaaleatória, prejudicando todos os indicadores. O valor de δ também influencia na convergênciado algoritmo e seu tempo computacional. De forma geral, o método proposto irá convergir maistardiamente e seu custo computacional será maior, quando comparado ao método tradicional.Valores muito grandes para o parâmetro δ podem tornar impraticável a execução do método.

A obtenção de conjuntos Pareto mais espalhados permite uma melhor avaliação do es-paço decisório. Pelas diferentes estimativas de sensibilidade é possível determinar melhor ocomportamento da função otimizada, informação que além de possivelmente útil para o deci-sor, possibilita uma maior compreensão de problemas específicos.

A metodologia proposta contribui para a pesquisa em métodos de otimização robusta,no sentido que ele possibilita a geração de mais pontos em regiões que variam pouco na fron-teira. Desta forma, o método proposto encontra soluções de menor sensibilidade com maioreficiência. Além disso, ela também favorece a obtenção de soluções que representem melhoro espaço de variáveis de decisão. Como um método de otimização ele propicia a criação dealgoritmos cujo objetivo não é unicamente a convergência para a fronteira Pareto e mostrou umdesempenho satisfatório ao buscar a diversidade no espaço de variáveis de decisão.

CAPÍTULO 7

Trabalhos Futuros

Durante o desenvolvimento desse trabalho, surgiram diversos tópicos cujo estudo seriainteressante para a melhor compreensão e aprofundamento do assunto aqui investigado. Dentreesses tópicos, um estudo dos valores de delta que defina quais os melhores valores a seremusados em determinadas classes de problemas pode facilitar o uso do método. Além disso,a implementação de um ajuste automático de delta pode ampliar o potencial de utilização dométodo proposto.

É ainda necessária a comparação do método proposto com diferentes algoritmos quetambém buscam aumentar a diversidade no espaço de variáveis de decisão, além da exploraçãode diferentes técnicas para comparação dos resultados no que diz respeito ao espalhamento dassoluções, como por exemplo, técnicas de estatística espacial.

Alguns trabalhos complementares, que poderiam representar uma especialização dastécnicas aqui propostas para situações mais específicas, envolvem a investigação estratégiasque direcionem a busca do algoritmo para soluções mais robustas, ou que foquem em encontrarsoluções alternativas.

65

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APÊNDICE A

Tabelas de Indicadores

As seguintes tabelas, de A.1 a A.19, mostram os valores obtidos com os indicadores dehiper volume (HV) e árvore geradora mínima (AGM), para os problemas testados de acordocom a Tabela 4.1 do planejamento experimental. Elas sumarizam os resultados obtidos a partirde 30 execuções para cada valor de δ , para cada função.

Nessas tabelas, os valores indicados por “-”, aparecem quando não foi possível calcularo hiper volume para uma quantidade suficiente de execuções do algoritmo. Normalmente issoacontece devido à falta de soluções que dominem o ponto de referência para as fronteiras Paretoencontradas.

71

APÊNDICE A TABELAS DE INDICADORES 72

Tabe

laA

.1:P

robl

ema

1

delta

0de

lta5

delta

10de

lta25

delta

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AG

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VA

GM

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010

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1.63

2e+0

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1.63

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413

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1.63

3e+0

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5-

Pop

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5-

Pop

300

10.8

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637e

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637e

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637e

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1e+0

45.

903e

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-D

esvi

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Pop

100

1.91

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411.

723

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6358

3.45

22.

417

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62.

723e

+04

-Po

p20

02.

135

0.83

172.

389

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774

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+04

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p30

01.

677

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p10

011

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414

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011

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6e+0

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5e+0

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628e

+04

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5-

Pop

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637e

+04

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637e

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637e

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5-

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-Po

p30

011

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637e

+04

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637e

+04

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5-

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632e

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5-

Pop

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636e

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p30

09.

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1.63

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3030

3030

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Tabe

laA

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δ5

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0.21

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050.

243

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Pop

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p50

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p15

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431

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437

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438

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Pop

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p10

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1Po

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550.

438

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19.

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413

Vál

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3030

2130

30


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19-

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Pop

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Pop

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5-

Pop

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3

APÊNDICE B

Artigos Publicados

Foi publicado em congresso o seguinte artigo relacionado a essa dissertação:

F. C. Takahashi, R.H.C. Takahashi e F. Campelo. Algoritmo genético multiobjetivo com me-dida de aglomeração no espaço de variáveis de decisão. Em Anais do XX Congresso Brasileiro

de Automática, CBA14, páginas 2485-2492, Belo Horizonte, Brasil.

91

estudo sobre métodos evolutivos multiobjetivos voltados ... · 1.1.1 contribuições do trabalho4...

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